高三数学一轮复习课时作业2：三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质
一、选择题
1．(2013·银川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π
3对称的函数
是( )
A ．y ＝2sin(2x ＋π
3)
B ．y ＝2sin(2x －π
6)
C ．y ＝2sin(x 2＋π
3
)
D ．y ＝2sin(2x －π
3
)
2．函数y ＝tan(π
4－x )的定义域是( )
A ．{x |x ≠π
4
}
B ．{x |x ≠－π
4
}
C ．{x |x ≠k π＋π
4
，k ∈Z}
D ．{x |x ≠k π＋3π
4
，k ∈Z}
3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．『－1，1』
B ．『－5
4，－1』
C ．『－5
4
，1』
D ．『－1，5
4
』
4．(2013·日照质检)函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象关于直线x ＝π
6
对称，则φ的最小值为( )
A.5π12
B.11π6
C.11π12
D ．以上都不对
5．(2013·青岛质检)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f (π7)，b ＝f (π6)，c ＝f (π
3)，则
a ，
b ，
c 的大小关系是( )
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜a ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
6．(2013·潍坊模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，，且当x ＝π
2
时，f (x )取得最大值，则( )
A ．f (x )在区间『－2π，0』上是增函数
B ．f (x )在区间『－3π，－π』上是增函数
C ．f (x )在区间『3π，5π』上是减函数
D ．f (x )在区间『4π，6π』上是减函数 二、填空题
7．(2013·延吉模拟)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3
，则正数ω＝________．
8．已知函数f (x )＝3sin(ωx －
π
6
)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈『0，π
2
』，则f (x )的取值范围是________．
9．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R)，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；
③f (x )在区间『－π4，π
4』上是增函数；
④f (x )的图象关于直线x ＝3π
4对称．
其中真命题是________． 三、解答题
10．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ， (1)求f (π
4
)的值；
(2)若x ∈『0，π
2
』，求f (x )的最大值及相应的x 值．
11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π
8，
(1)求φ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．
12．(2013·潍坊模拟)已知向量a ＝(A sin ωx ，A cos ωx )，b ＝(cos θ，sin θ)，f (x )＝a ·b ＋1，其中A ＞0，ω＞0，θ为锐角．f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且当x ＝
π
12时，f (x )取得最大值3.
(1)求f (x )的解析式；
(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ＞0)个单位得g (x )的图象，若g (x )为奇函数，求φ的最小值．
解析及答案
一、选择题
1．『解析』 根据函数的最小正周期为π，排除C ，又图象关于直线x ＝π3对称，则f (π
3)
＝2或f (π
3
)＝－2，代入检验知选B.
『答案』 B
2．『解析』 y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠k π＋3π
4，k ∈Z ，故选D.
『答案』 D
3．『解析』 f (x )＝(sin x ＋12)2－54， ∵sin x ∈『－1，1』， ∴－5
4
≤f (x )≤1，
∴f (x )的值域为『－5
4
，1』．
『答案』 C
4．『解析』 函数y ＝sin 2x 的图象平移后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)，其图象关于x ＝π6对称，所以2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝－k 2π－
π12(k ∈Z)，
故当k ＝－1时，φ的最小值为5π
12
.
『答案』 A
5．『解析』 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π
3)， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，从而f (π
3)＝f (0)，
又f (x )在『0，π6』上是增函数，∴f (0)＜f (π7)＜f (π
6
)，即c ＜a ＜b .
『答案』 B
6．『解析』 ∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝1
3，
∴13×π
2＋φ＝2k π＋π2
，
∴φ＝2k π＋π
3(k ∈Z)．
∵－π＜φ≤π， ∴令k ＝0得φ＝π
3.
∴f (x )＝2sin(x 3＋π
3
)．
令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π
2，k ∈Z.
易知f (x )在区间『－2π，0』上是增函数．
『答案』 A
二、填空题
7．『解析』 由|α－β|的最小值为π3知函数f (x )的周期T ＝4
3π， ∴ω＝2πT ＝32.
『答案』 3
2
8．『解析』 依题意得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π
6)． 因为x ∈『0，π2
』，
所以2x －π6∈『－π6，5
6π』，
所以sin(2x －π6)∈『－1
2，1』，
所以f (x )∈『－3
2，3』．
『答案』 『－3
2，3』
9．『解析』 f (x )＝1
2sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈『－π4，π4』时，2x ∈『－π2，π2』，
故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3
4π对称，故④是真
命题．
『答案』 ③④
三、解答题
10．『解析』 (1)∵f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ， ∴f (π4)＝sin π4cos π4＋sin 2π4＝(22)2＋(2
2)2＝1.
(2)f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝1
2sin 2x ＋1－cos 2x 2
＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝2
2sin(2x －π4)＋12， 由x ∈『0，π2』得2x －π4∈『－π4，3π4
』，
所以，当2x －π4＝π2，即x ＝3
8π时，f (x )取到最大值为2＋12.
11．『解析』 (1)∵直线x ＝
π
8
是函数f (x )图象的一条对称轴， ∴2×π8＋φ＝π
2＋k π，k ∈Z ，
即φ＝π
4＋k π，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，
∴φ＝－3
4
π.
(2)由(1)知f (x )＝sin(2x －3
4
π)，
令－π2＋2k π≤2x －3
4π≤π2＋2k π，k ∈Z ，
得π8＋k π≤x ≤5π
8
＋k π，k ∈Z. 因此y ＝f (x )的单调增区间为『π8＋k π，5
8
π＋k π』，k ∈Z.
12．『解析』 (1)f (x )＝a ·b ＋1＝A sin ωx ·cos θ＋A cos ωx ·sin θ＋1＝A sin(ωx ＋θ)＋1，
∵f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π
2，
∴T ＝π＝2π
ω
，
∴ω＝2.
∵当x ＝π
12
时，f (x )的最大值为3，
∴A ＝3－1＝2，且有2·π12＋θ＝2k π＋π
2(k ∈Z)．
∴θ＝2k π＋π3，∵θ为锐角，∴θ＝π
3.
∴f (x )＝2sin(2x ＋π
3
)＋1.
(2)由题意可得g (x )的解析式为g (x )＝2sin 『2(x ＋φ)＋π
3』，
∵g (x )为奇函数，
∴2φ＋π3＝k π，φ＝k π2－π
6(k ∈Z)，
∵φ＞0，∴当k ＝1时，φ取最小值π
3.。