广东省陆丰市碣石中学2013届高三上学期第四次月考数学文试题

图2正视图直观图2013届高三第四次月考数学文试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 是虚数单位，复数ii+1对应的点位于（ ） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （ ）.A {12}x x -≤< .B 1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤<3．已知向量(,1)a x = ，(3,6)b =，且a b ⊥ ，则实数x 的值为（ ）A ．12 B ．2- C ．2 D ．21- 4．已知过(1,)A a -、(,8)B a 两点的直线与直线210x y -+=平行，则a 的值为（ ）A ．10-B ．2C ．5D ．175．“1ln >x ”是“0>x ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥5121y x x y y ，则目标函数y x z -=的最大值等于（ ）.A 7 .B 4 .C 3 .D 57．将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） A ．sin(2)10y x π=-B ．sin(2)5y x π=-C ．1sin()210y x π=-D ．1sin()220y x π=- 8．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为1，其直观图和正(主)视图如图1，则它的左(侧)视图的面积是（ ）.A 3 .B 1.C 21 .D 239．已知双曲线())0,012222>>=-b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，且双图1曲线的离心率等于3，则该双曲线的标准方程为（ ）.A 16322=-y x .B 1241222=-y x .C 1182722=-y x .D 1271822=-x y10．对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。

已知123,234*=*=，并且有一个非零常数m ，使得对任意实数x ,都有x m x *=，则m 的值是（ ）A. 4-B. 4C.5-D.6二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．公路部门对通过某路段的300辆汽车的车 速进行检测,将所得数据按[),50,40[)60,50,[60,70),[70,80]分组,绘制成如图2所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于h km /60的汽车有____ 辆.12．如图3所示的算法流程图中，输出S13．将石子摆成如图4的梯形形状.称数列.根据 图形的构成,数列第6项6a = ;（二）选做题（14、1514．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4,22π，曲线C 的方程为θρsin 4=，则OA （O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为______ .15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，过圆C 外一点P 做一条直线与圆C 交于A B ，两点，2BA AP =，PT 与圆C 相切于 T 点.已知圆C 的半径为2，30CAB ∠= ,则PT =______ .TP AC三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）设x x x f 2sin 3cos 2)(2+=函数(1)求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间 (2)当的最大值时，求)(3,0x f x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈π17．（本小题满分12分）某校为了解学生的学科学习兴趣，对初高中学生做了一个喜欢数学和喜欢语文的抽样调查，随机抽取了100名学生，相关的数据如下表所示：(1) 用分层抽样的方法从喜欢语文的学生中随机抽取5名，高中学生应该抽取几名? (2) 在(1)中抽取的5名学生中任取2名，求恰有1名初中学生的概率．\18．（本小题满分14分）如图6，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点,M 是PD 的中点,2,60AB BAD =∠= .(1) 求证：//OM 平面PAB ; (2) 平面PBD ⊥平面PAC ;(3) 当四棱锥ABCD P -的体积等于3时,求PB 的长.19．（本小题满分14分）已知函数32()33f x x ax bx =-+ （1）若1,0a b ==，求(2)f '的值；（2）若()f x 的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-，求,a b 的值； （3）在（2）的条件下，求函数()f x 的单调区间． 20．（本小题满分14分）设椭圆()012:222>=+a y a x C 的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）若直线AP 与BP 的斜率之积为21-，求椭圆的离心率； （2）对于由(1)得到的椭圆C ，过点P 的直线l 交x 轴于点()0,1-Q ，交y 轴于点M ，=，求直线l 的斜率.21．（本小题满分14分）已知数列{}na 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=,n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅,n *N ∈， n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．碣石中学2013届高三第四次月考文科数学参考答案与评分标准 2012.11.30三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)（本小题主要考查三角倍角公式,三角特殊值的运算,函数()()()()()ϕωϕω+=+=x A x f x A x f cos sin 或的周期,最值，单调区间等知识,考查化归、转化、换元的数学思想方法，以及运算求解能力） 解：（1）132sin 22sin 3cos 2)(2+⎪⎭⎫⎝⎛+=+=πx x x x f ……….2分 ππ==∴22)(T x f 的最小正周期函数……………………………….1分 Zk k x k k k ∈+≤≤-+≤-,632222ππππππππ由所以函数的单调递增区间是)(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ…………………………6分 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊂65,66230ππππx x 时，，当 3)(,6262的最大值是，即当x f x x πππ==+∴…………………………………12分17. ( 本小题满分12分)（本小题主要考查分层抽样、古典概型等知识，考查或然与必然,样本估计总体的统计思想方法，以及数据观察能力、抽象思维能力和应用意识） 解：(1) 由表中数据可知, 高中学生应该抽取527345⨯=人. …4分 (2) 记抽取的5名学生中,初中2名学生为A ，B ，高中3名学生为a ，b ，c ，则从5名学生中任取2名的所有可能的情况有10种，它们是：(,)A B ，(,)A a ，(,)A b ，(,)A c ，(,)B a ，(,)B b ，(,)B c ，(,)a b ，(,)a c ，(,)b c .……7分其中恰有1名初中学生的情况有6种，它们是：(,)A a ，(,)A b ，(,)A c ，(,)B a ，(,)B b ，(,)B c . …9分故所求概率为63105=. …12分18.（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）解:(1) 在PBD ∆中，O 、M 分别是BD 、PD 的中点, OM ∴是PBD ∆的中位线，PB OM //∴， …………1分⊄OM 平面PBD ，⊂PB 平面PBD ，……3分 //OM ∴平面PAB . …………4分 (2) 底面ABCD 是菱形,AC BD ⊥∴， …………5分 PA ⊥平面ABCD ,⊂BD 平面ABCDPA BD ⊥∴. …………6分⊂AC 平面PAC ,⊂PA 平面PAC ,⋂AC A PA =,…………7分⊥∴BD 平面PAC , …………8分 ⊂BD 平面PBD , …………9分∴平面PBD ⊥平面PAC . …………10分(3) 底面ABCD 是菱形,,60,20=∠=BAD AB∴菱形ABCD的面积为32232260sin 2120=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=AD AB S ABCD 菱形,…………11分 四棱锥ABCD P -的高为PA ,∴33231=⨯⨯PA ,得23=PA …………12分PA ⊥平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,AB PA ⊥∴. …………13分在PAB Rt ∆中,252232222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=AB PA PB . …………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查导数、函数解析式、函数极值、函数的单调性、单调区间等知识，考查待定系数、化归与转化数学思想方法，综合运用能力和运算求解能力） 解（1）求导数得2()363f x x ax b '=-+, …………………………3分当1,0a b ==时，2()363(2)f x x x x x '=-=-， ∴ (2)0f '=…………………………………4分（2）由于()f x 的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-,所以(1)11(1)12f f =-⎧⎨'=-⎩ ………………………6分即1331136312a b a b -+=-⎧⎨-+=-⎩解得1,3a b ==- ……………………9分（3）由1,3a b ==-得：22()3633(23)3(1)(3)f x x ax b x x x x '=-+=--=+- ……………10分由()0f x '>，解得1x <-或3x >；由()0f x '<，解得13x -<<. --------------------13分故函数()f x 在区间(,1),(3,)-∞-+∞上单调递增，在区间(1,3)-上单调递减. ---14分20.(本小题满分14分)（本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查综合运用能力以及运算求解能力）解:(1) 由已知()()0,,0,a B a A -,设()()a x y x P ±≠000,. …………1分 则直线AP 的斜率ax y k AP +=00,直线BP 的斜率ax y k AP -=00.由1220220=+y ax ,得()2202202a x a y -=. …………2分 ∴⨯AP k AP k a x y +=00()()2202222220200022a x a a x a a x y a x y -=---=-=-⨯ …………3分 2122-=-∴a,得42=a , …………4分 ∴214242=-=e . …………5分 ∴椭圆的离心率22=e . …………6分 (2) 由题意知直线l 的斜率存在. …………7分 设直线l 的斜率为k , 直线l 的方程为()1+=x k y …………8分 则有()k M ,0，设()()a x y x P ±≠000,，由于Q M P ,,= 根据题意，得()()0000,12,y x k y x +±=- …………9分解得⎩⎨⎧-=-=k y x 002或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=33200k y x …………11分又点P 在椭圆上，又由（1）知椭圆C 的方程为12422=+y x 所以()()124222=-+-k …………①或12343222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-k …………② 由①解得02=k ，即0=k ,此时点P 与椭圆左端点A 重合, 0=∴k 舍去; …………12分由②解得162=k ，即4±=k …………13分∴直线直线l 的斜率4±=k . …………14分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力）（2）①当n 为偶数时，要使不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8217n n n n n λ++<=++恒成立． ……5分828n n+≥ ，等号在2n =时取得．∴此时λ 需满足25λ< ……6分②当n 为奇数时，要使不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8215n n n n n λ-+<=--恒成立． ……7分82n n - 是随n 的增大而增大， 1n ∴=时82n n -取得最小值6-．∴此时λ 需满足21λ<-． ……8分综合①、②可得λ的取值范围是21λ<-． ……9分（3）11,,32121m n m n T T T m n ===++， 若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++，……10分 即2244163m nm m n =+++． 由2244163m nm m n =+++，可得2232410m m n m -++=>， ……12分 即22410m m -++>，∴11m <<． ……13分又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．因此，当且仅当2m =， 12n =时，数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列． …14分[另解] 因为1136366n n n=<++，故2214416m m m <++，即22410m m --<，∴11m -<<（以下同上 ）．。