准地转理论quasigeostrophictheory

第九章 準地轉理論（quasigeostrophic theory ）之運用
（Bluestein, chapter 5）
● 9.1前言
氣壓P ，溫度T ，大氣密度ρ，風速向量V ，相對濕度RH 以及雲與降水cloud and precipitation 的量分布及變化是天氣學討論的問題，亦是預報未來天氣的依據而為了達到預報的目的，尚需要
1. 一個由長期觀測而建立的天氣類型；如中緯度氣旋。

2. 一組完整的、正確且即時的觀測資料。

3. 一個數值模式；包括初始化及時間積分等部分。

4. 一部有足夠能力的計算機。

5. 一個由氣象預報轉為天氣預報的方法。

6. 一套人機交互作業程序。

如此才能構成一個完整的天氣預報系統。

基本上以上六項目前雖不完備，但已具相當水準，因而吾人已可透過 （1） 概念模式（conceptual model ）表現天氣系統的主要結構特徵。

（2） 風、溫度、水汽、垂直運動，即運動學（kinematics ）法，瞭解降水
的形、量與地區分布。

（3） 完整（原始primitive ）方程組與電腦模擬（simulation ）或預報天氣。

（4） 透過統計方法⎩⎨⎧)
,(mod )(MOS statistics output el prognosis perfect
動力統計完整預報建立類
型辨識技術（pattern-recognition technique ），進而製作天氣預報；但問題是我們需要先找到簡明方法，以決定
a. 氣壓趨勢（field of pressure tendency ）或等壓面高度趨勢。

b. 垂直運動場（field of vertical motion ）。

本章即以準地轉運動為原則，討論此二問題。

● 9.2利用觀測量估計垂直度
由以上分析可知垂直運動乃天氣學中很重要的因子，但它難以直接觀測，是一個計算量。

計算方法種類頗多，其中由觀測量計算者有： 1. 絕熱法（adiabatic method ）
在絕熱運動中0=∂∂+∇⋅+∂∂=p
t Dt D p θ
ωθθθ ∴ p
t p ∂∂∇⋅+∂∂-=θθ
θω……………………………………………… (9-1)
2. 熱力學法
由熱力學第一定律dp dT C dq p α-=可得
ωα
p p C dt dT dt dq C -=1………………………………………………………. (9-2) 而
p
T
T t T dt dT p ∂∂+∇⋅+∂∂=ω
..…….……………………………………. (9-3) 將(9-3)式代入(9-2)式得 ωα
ωp
p p C p T T t T dt dq C -∂∂+∇⋅+∂∂=1 ∴p T C dt dq C T t T C p T t T T V dt dq C p p p p p p ∂∂--∇⋅+∂∂=
-∂∂∂∂-∇⋅-=-ααω11 在絕熱條件下
p
T C T
t T
p p ∂∂-∇⋅+∂∂=ω
)(1)(1)(1γρρρ-Γ∇⋅+∂∂=∂∂+∇⋅+∂∂=g T t T z T g C g g T t T p p p ………………………………… (9-4) p
p S T V t T
∇⋅+∂∂=
式中R p g S p σγρ=-Γ≡
)(1；p
p ∂∂-=∂∂-≡θαθθασln 3. 基本定義法
θ
θω∂∂+∇⋅+∂∂=≡∙p p t p
dt dp
p t
p
∇⋅+∂∂=；0=∙θ，即為等熵運動時。

如果氣壓趨勢
0≅∂∂t
p
，則 p ∇⋅≅ω，i.e.,p gw ∇⋅-=-=ωρ
由於在等熵面上p
c R
p p T ≡
==κθκ常數；)(
∴κκ
Cp Tp =0，即在等熵面上等壓線與等溫線相同（僅差一轉換常數）。

i.e.，冷平流下降
0暖平流上升
<>∇⋅-∝T
V w
如果氣壓系統移動很快（移速V ~），或氣壓局部變化太大，則t
p
∂∂項即不能省略，亦即垂直運動受等熵面上氣壓趨勢的影響。

其次，如果
0=∇⋅+∂∂=
p t
p
ω，則 p t
p
∇⋅-=∂∂，即氣壓的局部變化來自風對氣壓系統的平流。

上述諸方法之共同優點為：
a. 物理意義簡單明確；都由最基本的定理開始。

b. 不需邊界條件或任何假設。

c. 容易計算且可直接使用觀測資料。

但亦有其缺點：
a.
t
p
∂∂需用到兩次連續觀測資料，而探空觀測時距長（正常作業為12小時），影響結果的準確性。

b. 運動中非絕熱影響會存在。

c. 第1及2方法中分母⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→∂∂Γ→→0-中的.2中的.10p 即d θγ時不能用。

d. 第3方法中的ω來自氣壓趨勢及平流，因而當0≠∇⋅-p 時，必須將系統本身的移動及強度變化考慮進去才能決定ω；此時有三種狀況要考慮
i.如果氣壓趨勢為0，則
0<
=>
∇⋅-=-∝p w ω
ii.如果氣壓趨勢不為0，則垂直運動由兩作用項的向量合或差所決定。

iii.如果系統為短波時，由2
2
4πβL U C -=可知，波之相速隨波長減短而趨近於平均風速，此時
t
p
∂∂可能與p V ∇⋅-互抵。

∴ 使用時要注意。

習題1：請說明θ
θωρ∂∂-∂∂-=-=∙p
t p gw 的條件，並利用此式解釋
（1）“heating without air movement is not necessary associated with appreciable
vertical motion ”.
（2）“heating only causes small vertical displacement (from the standpoint of z-system), showing an increase of thickness between neighboring isobar surfaces ”. （3）如果上升氣塊升到a. LCL ，b. LFC 以上，ω會如何？
4.等熵軌跡法：即由氣塊沿等熵面移動中所經歷之氣壓變化而求ω。

由Mongomery 流函數gz T C p +=ψ
即氣塊總量2
2
V gz T C KE E p ++=+ψ=
又知，在等熵上，E 是守恆的，
∴ KE KE E ∆-=∆ψ⇒=∆+∆ψ=∆0
i.e.，如果運動氣塊KE 減小，則其ψ即增加，即等熵面之氣壓減小，該
減小值除以t ∆就是平均t p p i f average ∆-=θω)(。

此法之優點為
a.對大範圍ω可能是最佳求法。

b.明示三度空間運動，即包括水平即垂直運動。

缺點有
a.θ面製作不易，且在不穩定區θ非單一值。

b.軌跡線圖不易製作，且對風向很敏感。

c.只能求ω，不能求瞬間ω。

d.因凝結時絕熱假定是不成立，本法不能用。

e.求得之ω不均勻。

5.渦度法
（1）傳統法：在無輻層上（或絕對渦度守恆）
0=Dt
D η
即
0=∂∂+∇⋅+∂∂p
t p ηωηη，式中 t t f t ∂∂+∂∂=∂∂ςη，v y
v x u y v x u p βςςηηη+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∇⋅
∴ p
v y
v x u
∂∂+∂∂+∂∂-=βςςω………………………………………（9-5）
（2）角動量守恆法：依方法（1）但保留輻散項，即
p
f
v t p ∂∂+-∇⋅-=∂∂ω
βςς ∴ ⎰
⎰+∇⋅+∂∂=
==p
p p p d v t
f
dp dp d p 0
)
()0()(
1
)(βςς
ωωωω （3）同（2）但保留p
∂∂ς
ω垂直平流項，即
p
p v t p ∂∂+∂∂--∇⋅-=∂∂ωηηωβςη…………………………………（9-6） ∵ p p p p p ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂-=∂∂-η
ω
ωηηηωηωηηωη222
)( ∴)(2ηωηωηηωp p p ∂∂+∂∂-=∂∂-...............................................................（9-7） （2）代入（1）得
0)(2=∂∂-∇⋅+∂∂ς
ωηηηp t p 即
)()(2ηηηηωp t
p ∇⋅+∂∂=∂∂- ∴⎰∇⋅+∂∂=--l u
p p p u u l l dp t
)(2ηη
ηηωηω
))((2u l p p p t
-∇⋅+∂∂=-ηη
η
圖9-1 求ω之示意圖
習題2請說明以上各種方法之優缺點。

3試證
t
∂∂ς
與)(ςp ∇⋅-趨向於正負號相反。

（Bluestein, CH5.2, p.285~）
6.紅外線雲圖
對流雲區之垂直運動可由雲頂溫度之時間變率求得，即
z
T
w T t T Dt DT BB BB z BB BB ∂∂+∇⋅+∂∂=，BB T 為雲之黑體溫度。

如果，BB T 與其環境溫度相同，且平流作用可省略時，
利用探空資料求得利用連續雲圖求得
←←∂∂=z
T
Dt
DT w BB ………………………………...（9-8） 此法中，我們是假設Dt
DT BB
全由垂直運動而來，即當雲頂上升時BB T 下降，雲頂下降時BB T 升高。

9.3準地轉ω方程（Quasigeostrophic ω equation ）
一準地轉垂直運動診斷方程可如下求得：
已知 Φ∇=∂∂-∂∂=201
p g g g f y u x v ς gz =Φ重力位高度
p RT p z g p -=-=∂∂-=∂Φ∂ρ1 即 p
R p T ∂Φ∂-= 及 在等壓面上
)()(t
p R p p t R p t T ∂Φ
∂∂∂-=∂Φ∂∂∂-=∂∂ `p
R p ∂∂-
=χ
； t ∂Φ∂≡χ為重力位高度趨勢
而準地轉渦度方程為
p f f V t g p g g ∂∂++∇⋅-=∂∂ω
ςς0
)( ，即 p f f f V t f p g p ∂∂++Φ∇∇⋅-=∂Φ∂∇ω
2020)1()(1……………………...（9-9） 絕熱準地轉熱力方程為
R
p
T V t T p g ωσ+∇⋅-=∂∂ ，即 R
p
p R p V p R p p g ωσχ+∂Φ∂-∇⋅-=∂∂-)( ，或 ωσχ-∂Φ
∂∇⋅-=∂∂)(p
V p p g ………………………………………….（9-10） 以⨯∂∂
-
)(0p
f σ（9-9）＆⨯∇)(2p σ（9-10）
，而後以所得後式減去前式則得 ωσσσσ
σ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∇⋅∇+∇+∂∂+∇)2(22
2202p p p p p f []⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣
⎡∂Φ∂-∇⋅-∇-+Φ∇∇⋅-∂∂-
=)(1)1(2200p V f f V p f p
g p p p g σσ…………（9-11）
上式中 )(1
ln γρθθαθσ-Γ=∂∂-=∂∂-
=d g
p p p RT 為靜力穩定指數
而σp ∇及σ2p ∇，即公式（9-11）左邊( )中兩項，就準地轉平衡垂直運動而言均可省略。

所以公式（9-11）可簡化為
[]
)()()(2
02
2202T V R f V p f p f p g p g p g p
∇⋅-∇-+∇⋅-∂∂-=∂∂+∇σ
ςσωσ………...（9-12） （A ） （B ） （C ）
或 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂Φ∂-∇⋅-∇-⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ∇+⋅-∂∂-
=)(1)1(2200p V f f V p f p g p p g σ
σ…..（9-12’） 此顯示：平流之最強區冷暖減小增大渦度平流向上下沉上升⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
由上述結果可見：準地轉ω方程中
a. 不含
t
∂∂
，可以是分析方程。

b. 只用定壓面高度場即可求得ω。

c. 沒有用連續方程求ω時對偏地轉風的依賴。

d. 具有較完整之動力（渦度方程）及熱力（熱力學第一定律）基礎。

e. 計算結果較準確。

但仍具有下述缺點：
a. 計算不易。

b. 仍有不少假設。

c. 0<σ時方程式由橢圓（elliptic ）式變為雙曲線（hyperbola ）式，不能用漸近（緩弛）法（relaxation method ）求解。

d. B & C 二強迫函數（forcing function ）均含三次偏微分之垂直變化，合起來都是四次偏微分，取定差不易且有些不準確性。

e. 需設定邊界條件。

f. 各強迫函數單獨而言會隨座標而變，全式才不受座標轉換的影響（稱為加氏不變，Galilean invariant ），即單獨計算（B ）或（C ）都會因改變座標而改變計算結果。

即有下述狀況：
圖9-2 座標移動圖
如左圖所示，如果我們在緯流上加一均勻且固
定的速度c
，這就如同在),(y x 座標中觀測到風
速為u ，但在),(y x ''座標（以c
-移動）中則觀
測到c u
+風速，即大氣的緯流並沒有改變，但由於觀測者所在座標系統不同，而觀測到不相同的緯流，所以會造成不同的平流作用。

此結果來自座標轉換，而非大氣本身。

凡有此差異之函數稱“非加氏不變（non Galilean
invariant ）”函數，反之則為“加氏不變”函數。

準此，我們檢視右邊第一項：
在),(y x 座標中為⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+Φ∇∇⋅-∂∂-
)1(2
00f f V p f p p g σ 在),(y x ''座標中為
⇓
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Φ∇⋅-∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Φ∇∇⋅-∂∂-
)1()1(2002
00f f c p f f f V p f p p p g σσ 兩者相較後者多出了一項。

)(0
p
c f g p ∂∂∇⋅--=ςσ
（9-13）
再看右邊第二項：
在),(y x ''座標中為⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂Φ∂-∇⋅+-∇-
)()(1
2p c V p g p σ ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡∂Φ∂-∇⋅-∇-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂Φ∂-∇⋅-∇-=)(1)(122p c p V p p p g p σσ 而由熱力方程p RT
p -=-=∂Φ∂α知，上式第二項 ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡∇⋅-∇-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂Φ∂-∇⋅-∇-
)(1)(1
22p RT c p c p p p p σσ )(2T c p R
p p
∇⋅-∇-= σ………….（9-14） ∵ 熱力風方程為T k p
f R p
V p g ∇⨯=
∂∂-
ˆ
0 ∴ （14）式)()(202p
V c f T c p R g p
p p σσσ∂⋅-⋅∇=∇⋅-∇-
⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∇⋅=)(0p c f g p ςσ ...（9-15） i.e.，（9-13）及（9-14）所多出的一項相同但正負相反。

此顯示ω方程知強迫函數
（forcing function ）個別項均非“加氏不變”，但合起來後是。

9.4 Q-G ω方程式物理意義及應用
1. A 項 ωσ)(2
2
02p
f p
∂∂+∇ 代表的是ω之空間二次導數，也就是ω的空間分布。

當大氣運動為波動時
w p ∝-∝-+++∝∇ωωωωωωω0432124
i.e.，當運動下沉
上升有項0)(<>+C B
（see Holton, p.167）
圖9-3 中差法示意圖
2. B 項 [][]
0)()(0<
=>
+∇-∂∂
∝+∇⋅-∂∂-
g z g p g f z
f V p f ςςσ 而04043212
<
=>
Φ-Φ+ΦΦ+Φ∝Φ∇∝g ς所以地面
高壓
低壓中心為最大負渦度正渦度中心。

如中心隨高度向上游增加，且g V ~與ς∇⋅-V 均向上增加，則該高壓
低壓
中心
之負渦度
正渦度平流向上增加，即0>B ，如不計較其他作用（i.e.，w ∝-∝∇ωω2 []
)(g z f V z ς+∇⋅-∂∂
∝），則有下降上升運動)
0()0(<∝->∝-w w ωω，使低壓中心輻合加強，高壓中心輻散增大。

此顯示當f V V p g p ∇⋅->∇⋅-ς時，“差別渦度平流如為向上增大，會使得地面低壓上空為上升區（增加其輻合），而地面高壓上空為下降區（增加其輻散）；其次，若一地之正相對渦度增加，則中心之0Φ相對於四周之i Φ（i=1,2,3,4）的差加大，亦即中心部分500-1000hPa 厚度會相對減小，而定壓面間厚度*T ∝，因而
*0T 會減小。

此一氣溫下降即由上升運動所引起之絕熱冷卻所致。

此顯示：垂直運動使厚度與溫度間關係在相對渦度（高度場分布）變動中得以維持，亦即能保持流體力平衡。

下面透過公式來探討以上的描述：
（1） 如果在北半球渦度平流式向上增（愈來愈氣旋式），則由渦度方程
D f v V t
g g p g g 0--∇⋅-=∂∂βςς 知
0)(>∂∂≡-∂∂
t
t T gl gu ςςς，式中h f
g p gl gu T 2
∇=
-≡ςςς，l u z z h -≡，即熱力渦度隨高度愈來愈氣旋
式。

（thermal vorticity: the vorticity of the thermal wind ）
【thermal vorticity: 將算子⨯∇⋅k ˆ加諸熱力風方程，即)(ˆT
g V p V k ≡∂∂⨯∇⋅，其中T k fp R V T ∇⨯-=ˆ，則得T fp R p g 2∇=∂∂ς，亦即h f g
p gl gu g T 2∇=-≅∂∂≡ςςςς
i.e.，冷（暖）中心之氣旋（反氣旋）式渦度向上增大。

】
（2） 而0)(20>-∇=l
u p g z z f g
ς，則0)(<-∂∂l u z z t ，即厚度趨勢場中的局部最小區，與負厚度趨勢區趨向於重疊（co-located ）。

（3） 由而可知由於渦度平流向上增加，會使得局部熱力渦度增加
（
0>∂∂t
T ς），而局部厚度則會減小（0)(<-∂∂
l u z z t ）。

（4） ∵ *T z ∝∆，∴ z ∆減小，該層空氣需降溫，否則就與厚度方程不
符，亦即會違背流體靜力平衡。

（5） 使*T 降低之過程有：
a. 該層空氣有冷平流。

b. 非絕熱冷卻。

c. 上升運動。

i.e.，在a & b 兩作用可省略或不存在時，上升即造成降溫之原因。

即
R
p
t T ωσ=∂∂。

這也就是說，當σ很小時，如其他條件不變則上升運動就會隨之增大。

（6） 又知
D f t g
0-≅∂∂ς而p
D ∂∂-=ω
，所以當低壓有輻合而形成上升運動
時，其相對上層應為輻散，因而渦度平流應為隨著高度向上減小，即
愈來愈反氣旋式，而非氣旋式，這就形成了與（1）至（6）相反的過程。

此顯示，大氣為了反應渦度平流向上增加而產生上升運動，但伴隨上升運動而來的是熱力渦度減小。

這種大氣受擾動後會因擾動作用本身使擾動減小的過程，正是大氣能自我趨於平衡狀態的秉性。

這又
是LeChatelier ’s principle 的一個實例。

（7） 上述討論中，渦度平流向上增加是主環流（primary circulation ），而
上升運動與輻散則為次環流（secondary circulation ）。

習題：請討論“渦度平流隨高度向上愈來愈反氣旋式”的狀況。

3. C （溫度平流）項：
T T V R
w p p g p ∇⋅-∝∇⋅-∇-
∝∝-)(2σ
ω，此顯示在最大暖平流區有上升運
動。

而暖平流使氣層溫度加大，
∴
0)(>-∂∂l u z z t ，即0)(2<∂∆∂∇t z p or 0)()(2
<∂∂=-∂∂∝∆∇∂∂t
t z t T gl gu p ςςς 此表示，如果大氣整體平均之厚度趨勢為零，則正厚度趨勢區與最大正渦度
區趨於一致。

否則就不符地轉平衡。

再看一下
D f t
g
0-≅∂∂ς就知道，只有當低層輻合上層輻散時才有上升運動，但ω方程指出須渦度平流向上增加w 始為正，因而下層0<D 上層0>D 的輻
散場垂直配置關係又是與主環流（暖平流）相反的次環流。

上升冷卻反制暖平流的上升運動，因而亦是協氏定則（LeChatelier ’s principle ）的實例。

由上述分析可知：
Ｂ項，差別渦度平流使高度場受擾動，溫度同時因次環流而有所改變。

Ｃ項，溫度平流使溫度場受擾動，高度場同時因次環流而有所改變。

∴ 動力與熱力作用在大氣運動中互為因果。

（interplay between dynamics and thermodynamic ）
i.e.，在差別渦度平流下，垂直運動使得厚度與T 之間關係得以維持（即維持一能符合流體靜力平衡的溫度場）。

如果在渦度平流向上增加過程中，沒有垂直運動，則不是500hPa 不能保持地轉平衡，就是500-1000hPa 層內的溫度變化不能保持流體靜力平衡。

習題4：試證)()(T V p
R
p V p p g ∇⋅-=∂Φ∂-∇⋅- 【證T p R p RT p p p p ∇=∇=∇=∂Φ∂-
∇)()1()(ρ；∴)()(T V p
R
p V p p g ∇⋅-=∂Φ∂-∇⋅-】
根據以上分析可知：對綜觀天氣系統而言
（1） 高層渦度場受到渦度平流影響後仍需維持地轉平衡，所以中緯度斜壓波中 a. 暖平流→脊線（1000-500hPa for example ）上1000-500hPa 厚度加大→500hPa 脊線上重力位增加→反氣旋渦度更加反氣旋式（以保持地轉平衡）→脊線上輻散增大（以散去上升來的質量，保持質量守恆）。

但脊線上的渦度平流來自上游槽線區，即為正渦度平流。

所以對暖平流所引起之作用而言，恰相反。

b. 冷平流→槽線上100-500hPa 厚度減小→槽線上重力位減小→氣旋式渦
度增加（以保持地轉平衡）→槽線上輻合加大→為維持質量守恆而有下沉運動。

但槽線上的渦度平流來自上游脊線區，即為負渦度平流。

即對冷平流所引起之作用而言，亦恰好相反。

由以上分析可知，最大暖平流區的上升運動使相對之上層氣住受到壓縮而形成輻散。

”所以在暖平流區上層
0<-≅∙
D ης
因而相伴於垂直上升運動，高層脊線加強。

同理，對冷平流而言，相對之上層會被拉長，而造成水平輻合，
∴ 0>-≅∙
D ης
因而伴隨最大冷平流之下沉區使得槽線加深。

（2）由而可知：渦度場需滿足地轉平衡（vorticity is constrained to be geostrophic ）；溫度場需滿足流體靜力平衡。

i.e.，The vertical motion field is determined uniquely by the geotential field. The vertical motion field is just what is required to ensure that changes in vorticity will be geostrophic and changes in temperature be hydrostatic.
9.5 ω方程之Q 向量表示法
（Holton, p.170~ & Bluestein, p.350~）
ω方程之作用項（B & C ）互相抵消且非Galilean invariant ，因而需要再加調
整，以提高可用性。

其方式如下：
在f 平面上準地轉預報方程為
00=-a g g v f Dt u D ………..（9-16） ，式中∇⋅+∂∂
≡
g g V t
Dt D
00=+a g g u f Dt v D ………（9-17） g
p T T p C RT S d p p ργ
θθθ-Γ=
∂∂-=∂∂-≡
0=-w S Dt
T D p g …………（9-18）
而熱力風為
y
T
f R p u p
g ∂∂=
∂∂0 & x T
f R p v p
g
∂∂-
=∂∂0 （9-19a & 9-19b ）
利用（9-16）&（9-18）透過p p ∂∂（9-16）y
f R ∂∂
-0（9-18）消去其中的時間導數
項，則得
000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂+∂∂+∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂+∂∂+∂∂∂∂w S y T
v x T u t T y f R v f y u v x u u t u p p p g g a g g g g g 再利用鏈微分法則（chain rule of differentiation ），上式可改寫成 ))((000y
T f R p u p y v x u t p v p f y f RS g g g a p ∂∂-∂∂∂∂
+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂ω )()(0y
T x v x T y u f R y u p v y u p u p g g g g g g ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂- ……（9-20）
上式中0)(0=∂∂-∂∂y
T
f R p u p
g （熱力風關係式）
， )()(0y
T x v z T y u f R y u p v y u p u p g g g g g g ∂∂∂∂+∂∂∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂-
又知0=∂∂+∂∂y
v x u g
g
將以上關係代入公式（9-20）即得
2202Q p
v f y g
-=∂∂-∂∂ωσ ……….（9-21）
T y
V p R y T y v x T y u p R Q g
g g ∇⋅∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂-
≡)(2 ….（
9-22） 同理，取p p
∂∂（9-17）x
f R ∂∂
+0（9-18），則得 1202Q p
u f x g
-=∂∂-∂∂ωσ
………………
（9-23） T x
V p R y T x v x T x u p R Q g
g g ∇⋅∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂-=)(1 …
（9-24） 而後再取
x ∂∂（9-23）y
∂∂
+（9-21），則得 Q p
f ⋅∇-=∂∂+∇22
22
2ω
ωσ …………..（9-25） 式中 )(),(21T y
V p R T x V p R Q Q Q g
g ∇⋅∂∂-∇⋅∂∂-==
或 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛∇⋅∂∂∇⋅∂∂-=21Q Q T y V T x V p R Q p g
p g ……………………（9-26）
x V k y T p R g
∂∂⨯∂∂-=ˆ 求得。

後乘上的變化量轉向量可由沿等溫線上的
即y
T
V Q g ∂∂︒90
此結果顯示：
a. 由分析地壓面天氣圖上的Q
即可求得ω。

b. 而Q
⋅∇在座標轉換中是不變的。

c. 1Q 與2Q 分別代表x 與y 方向地轉風變量（
y
V x
V g g ∂∂∂∂&）與溫度梯度（T ∇）
之無向積（即點積，dot product ）。

d. 如果以x 軸與等溫線平行，y 軸則垂直等溫線並指向低溫方向（指向pT ∇-方向）
9-4（a ） Q 向量座標圖 ∵ ),(21Q Q Q =),(T y V p R T x V p R p g
p g ∇⋅∂∂-∇⋅∂∂-=
∴ 適當選擇x 及y 可以使1Q 或2Q 為0，即
圖9-4（b ） 02=Q
此時
0=∂∂y
V g ，i.e.，02=Q &
0)()(0
1>∂∂∂∂-=<>y T
x V p R Q g
)(方向指向x + 或者
圖9-4（C ） 01=Q
此時
0=∂∂x
V g ，i.e.，01=Q &
0)()(0
2<∂∂∂∂-=<<y T y V p R Q g
)(y -指向 x
T ∆
T
由此可見：
1Q 代表x 方向，即沿等溫線的水平風切變形（shearing deformation ）對溫度場的改變（使等溫線彎曲――起波）；
2Q 則代表y 方向，即垂直等溫線的水平風切對溫度場的改變（使等溫線距離改變――改變溫度梯度）。

e.如進一步分析，則
k x V y T p R x V k y T p R Q Q Q g g ˆ
ˆ21⨯∂∂∂∂=∂∂⨯∂∂-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛= )ˆˆ)((x
u j x v i y T p R g
g ∂∂-∂∂∂∂-
= （prove it ） 或 )ˆˆ)((21y v j x v i y T p R Q Q Q g
g ∂∂+∂∂∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= （prove it ）
上圖為一張理想化之近地面高低壓及溫度分布。

如以等溫線之切線為x i ˆ軸，其垂直線為y j ˆ軸，則由圖可知
（1）對左邊的高壓而言
i
x
v v i
x
v i g g g ˆ)(ˆˆ2
1-∝∆-≅∂∂ ； 0ˆ=∂∂x
u j
g
∴ )ˆˆ)((21x u j x v i y T p R Q Q Q g
g ∂∂-∂∂∂∂-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛= i
x v i y T p R Q g
ˆ)ˆ)((0
1-∝∂∂∂∂-
==<<
即指向x -方向
（2）對低壓而言，仍是0Q 2=，但因0)(ˆˆ4
3>∆-≅∂∂x
v v i
x
v i
g g g
∴ 0)ˆ)((0
1>∂∂∂∂-==><
x v i
y T p R Q Q g
即指向i ˆ+方向 i.e.，在上述H 及L 間，0>⋅∇Q
而 Q Q p f ⋅∇-∝-⇒⋅∇-=∂∂+∇22222
02
ωω
ωσ……………….… (9-27)
，即Q ⋅∇∝ω。

所以當0>⋅∇Q
時0>ω（for 0>σ，穩定大氣），即
在上游（西）高壓與下游（東）低壓中心間的北風區有下沉運動。

（3）同理，在右邊高壓與中間低壓間，0<ω（for 0>σ），即在低壓與下
游高壓中心間的南風區有上升運動。

上述結果分析顯示：
近高壓中心的Q 向量與熱力風反向（Q
vector are antiparallel to the thermal
wind ），而在低壓中心附近Q 與熱力風則是平行的，因而“脊前（下游）
槽後（上游）
冷平流
區有下沉運動，脊後（上游）槽前（下游）
暖平流區則有上升運動”。

又知，垂直非地轉風具有“下沉氣流一面沉降一面向暖區偏，上升空氣則偏向冷區”的分量，因而形成橫過等溫線的環流（transverse circulation ），造成溫度場變化；不但會使得溫度梯度增大，且形成冷暖氣團交會區隨高度向上游（冷區）傾斜。

如果使用高空圖，結果亦相同。

如圖9-5理想化之（正壓）高空波動，在脊上Q
與熱力風逆向而在槽上則同向。

圖9-5 正壓大氣之垂直運動分布 ∴ 在脊前（槽後） v j u i V ˆˆ-= ；在脊後（槽前）v j u i V ˆˆ+= 。

由於圖中
0≅∂∂y
u ，
所以02=Q ，而01>Q ，即指正x 方向；在脊後
y
u
∂∂亦可省略，但01<Q ，即指向負x 方向。

準此，00>⇒>⋅∇ωQ
有下降運動。

在脊後（槽前）00<⇒<⋅∇ωQ
有上升運動。

一般高空圖上中緯度幾均為斜壓波，如圖9-6所示：
圖9-6
)ˆˆ)((21y v j x v i y T p R Q Q Q g
g ∂∂+∂∂∂∂-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
)ˆˆ)((x u j x v i y T p R g g ∂∂-∂∂∂∂-= for level of nondivergence 在A 點
0>∂∂x
v g ，i.e.， )ˆ)((0
1
><∂∂∂∂-
=x v i y T p R Q g
指向正i ˆ
0>∂∂x u g
，i.e.， )ˆ)((0
2
><∂∂∂∂=x u j y T p R Q g
指向負j ˆ
在B 點
0)(1
12<-∆≅∂∂g g g
v v x x v ，i.e.， )ˆ)((0
1
<<∂∂∂∂-=x v i
y T p R Q g 指向負i ˆ
0≅∂∂x u g
i.e.，02≅Q ⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛∇<>∂∂之影響因素，以及受曲率與緯度兩p x u g 0 由而可知，上圖Q
⋅∇以即ω之分布仍為槽前（後）有上升（下沉）運動。

習題1.試證ω方程中的“差別渦度平流”來自下述二作用的共同貢獻：（1）熱力
風對地轉絕對渦度的平流，與（2）地轉風對熱力渦度（上層渦度－下層渦度≡）的平流。

2.試證Q-G ω方程中的“溫度平流項”乃下述作用的共同貢獻：（1）熱力風對地轉渦度的平流，（2）地轉風對熱力渦度平流，以及（3）熱力變形。

即Q-G ω方程可寫成
ωσ)(2
22
2
p f p
∂∂+∇[]
)()(2
0T V p R f V p f p g p g p g ∇⋅-∇-+∇⋅-∂∂-=σςσ
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂⋅-+∇⋅∂∂--=p V f p V f g g g g
ςςσ)(0
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂∇⋅-+∇⋅∂∂+)()(0p r F p F r p V p V f g g g g g p g g p g ςςσ ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⨯
⋅-∇⋅∂∂+∇⋅∂∂=p f f k f p V p V f g g p g g p g
ˆ)(20ςσ Trenberth formulation 式中)(g g g F r f De = & y
v x u F g
g g ∂∂-∂∂=
伸展變形（stretching deformation ） y u x v F g
g g ∂∂+
∂∂= 風切變形（shearing deformation ） 3.在何條件下)(2)(022
2
2
g p g p
p V f p f ςσωσ∇⋅∂∂=∂∂+∇？ 式中
p
V g ∂∂為熱力風，可利用厚度圖求得，因而ω可由圖9-7得到：
圖中A 區之熱力風對地轉風渦度
之平流0<，即0<∝-w ω下沉
而B 區熱力風對地轉渦度之平流0>，即0>∝-w ω上升
1000-500hPa 厚度
圖9-7 熱力風與垂直運動示意圖
9.6非絕熱效應及摩擦力對垂直運動之影響
如果將運動方程中的摩擦項（*準地轉渦度方程多出fric p
k ⨯∇⋅ˆ項）及熱力方程中
Dt
DQ
保留，則Q-G ω方程會多出 )(0g K p f ςσ∂∂
-
differential friction term )1(2Dt DQ C p R p p ∇-σ diabatic heating term 其中，差別摩擦項中K 為渦動黏滯係數（turbulent viscosity ），由於摩擦力
向上減小，所以當摩擦層內有一氣旋存在時，摩擦力對其正渦度之破壞向上減小，
i.e.，
0)(0)(<∂∂∝-∂∂⇒>∂∂≡-∂∂t
T
z z t t t l u T gl gu ςςς 即摩擦力會形成上升運動，因而形成上下層間T 的減小與厚度下降。

然而，上升運動伴有下層輻合上層輻散，即
0<∂∂t
T
ς 此結果符合LeChaterlier 準則。

習題：請討論當摩擦力層內有一反氣旋時狀況。

至於非絕熱項Dt
DQ Dt DQ C p R p p ∝
∇-)1(2
σ i.e.，在
0>Dt
DQ
區，溫度上升， ∴
0)(0)(<-∂∂
⇒>-∂∂gl gu l u t
z z t ςς 又知，在摩擦及渦度平流條件下：
D f t
g 0-=∂∂ς
∴
)()()(000l u l u gl gu D D f D f D f t
--=---=-∂∂
ςς 因而如滿足
0)(<-∂∂
gl gu t
ςς，必須0&0><u l D D ，亦即有上升運動，此結果與暖平流者同。

尤有進者，上升運動的冷卻作用對0>∙
Q 有反制作用。

9.7地形作用（topographic forcing ）
圖9-8 降坡運動所引起之近地層旋生示意圖
如左圖所示，g V 與0z ∇方向相反（向降坡方向），即總風速V 沿坡向下，其水平分量為g V ，垂直分
量則為w k
ˆ。

此時下沉增溫使得 0)(>-∂∂l u z z t 即0)(<-∂∂
gl gu t
ςς 即下沉運動伴有反氣旋式熱力渦度趨勢。

在無渦度平流及摩擦作用下，只有“低
層輻合上層輻散，即低層有上升運動”方能滿足上述結果。

在此過程中，地形引發之下沉運動為主環流，而上升及伴隨之低層輻合則為次環流。

習題1.在討論ω方程時，均假設大氣是靜力穩定的，即0>∂∂-
≡p
p RT θ
θσ，請列出引起σ局部變化之原因。

答：將熱力方程Dt
DQ
T C Dt D p θθ=
對p 微分，並引入連續方程關係，則可得： )()()()(Dt
DQ T C p p D p p p p t p p θθθωθθ∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∇⋅-∂∂-=∂∂-∂∂ （1） （2） （3） （4） i.e.，σ的局部變化來自
（1）差別溫度平流：暖平流向上減小或冷平流向上增加，則σ變小。

（2）σ的垂直移動。

（3）氣柱之垂直伸展或收縮：低層輻合（散），伸展（收縮），σ減小（增
大）。

（4）差別加溫（differential diabatic heating ）。

2.如果在β平面上，Q-G ω方程會增加一項，即
x T p R Q p f p p
∂∂-⋅∇-=∂∂+∇βσωσ 2)(2
2
2
2
試討論冷槽上ω的分布。

答：在冷槽左（x -）邊0<∂∂x
T
∴ 0>-∝∂∂-
ωβσx
T p R 即0<ω 上升 在冷槽右（x +）邊
0>∂∂x
T
即0>ω 下沉 3.試證ωωσ-∝∂∂+∇)(2
2
2
2
p f p
而w -∝ω 4.試例舉ω方程之優缺點。

5.試例舉並說明使用Q
向量之優點。

6.如果等高線與等溫線均為正弦波，但相位相反，則槽前後之ω分布如何？
9.8 Q-G 高度趨勢方程（Q-G height tendency equation ）
地轉渦度及熱力方程可寫成
p
f f V f
g g ∂∂=+∇⋅+∇ω
ςχ2
02)( ………………………………. (9-28) t
∂Φ
∂≡χ dt
d T C p T T V t p g θ
ωθ1)ln ()(=
∂∂-∇⋅+∂∂ 即
σωχ-∂Φ
∂∇⋅-=∂∂)(p
V p g …………………………………………. (9-29) 式中 p
p
p RT ∂∂-=-ln 1
0σ
p RT p -=-=∂Φ∂α，i.e.，)(p
R p T ∂Φ
∂-= （hydrostatic equation ） )289()299(2
-+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯-∂∂σf p 可得到絕熱重力位趨勢方程： ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂Φ∂-∇⋅-∂∂-+Φ∇∇⋅-=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂+∇)()1()(2
0200202p V f p f f V f p f p g
g σχσ……(9-30) （A ） （B ） （C ） 上式中（A ）χ-∝
（B ）地轉風對地轉絕對渦度平流。

f V f f V f
g g ∇⋅-Φ∇⋅-=∇020
0)1
(
當波長較短時（L~3000km ）主要取決於第一項 ∴ 當0)1(
2
0>Φ∇∇⋅-f V f g 時0>-χ，即0<χ。

（C ）差別溫度平流。

暖平流時[]0>，而z
p ∂∂
+∝∂∂-
，所以當暖平流向上減小時，即
[]0<∂∂
z 時[]0<∂∂∝-z χ，i.e.，0>∂Φ∂=t
χ即重力位增大。

由而可知：
局部地區重力位±∝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛升降渦度平流⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+暖冷平流向上減小。

準此，在一定壓面上等高線均勻，波長中等之正壓波動（不計f V g ∇⋅-）會向下游（東）移動。

右圖上中脊前（槽後）有負渦度平流0>∂Φ
∂→
t
；槽前（脊後）有正渦度平流0<∂Φ∂→t 。

i.e.，當有CV A （PV A ）時0)(~2>Φ∇∂∂
∂∂t
t g ς，即0<≡∂Φ∂χt ，即重力位高度下降。

反之，當有A V A （NV A ）時0)(~2<Φ∇∂∂
∂∂t
t g ς，即0>χ，重力位高度上升。

至於（C ）項⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∇⋅-∂∂-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂Φ∂-∇⋅-∂∂-)()(2
020p RT V f p p V f p g g σσ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⋅-∂∂⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∇⋅-∂∂-=)(~202
T V p R z f T V p Rf p g g σσ i.e.，)(~T g z
t V ∇⋅-∂∂
∂Φ∂≡
-χ 當暖平流向上增加時
0<∂Φ∂t 為差別溫度平流，亦即差別厚度平流。

對O 點而言，如果是下有暖平流，上有冷平流，暖平流向上減小，則O 點之0>∂Φ
∂≡
t
χ，形成u p 高度增加，亦即其重力位增大。

冷平流向上減小，或暖平流向上增加，則O 點之0<∂Φ
∂≡
t
χ，形成u p 高度減小，亦即其重力位下降。

大氣等壓面高度隨溫度平流的變動，是為了符合流體靜力平衡，亦即符合厚度方成： )ln(21
*p p T g
R z d =
∆
圖（1）大氣原來的狀況。

如果下層有冷平流，上層有暖平流、冷平流向上減小的極端狀況（假設z 與
z z ∆+2固定不變），則（1）→（2），即p p ∆-面的高度下降（0<∆-p p χ）。

反之，
若下層有暖平流，上層有冷平流、冷平流向上遞增的極端狀況，則（1）→（3），即p p ∆-面的高度上升（0>∆-p p χ）。

當0→∆，而上下二邊界條件為已知，則中間某一等壓面的高度趨勢χ就可以用溫度平流，也就是厚度平流求得。

如下圖中p 與p p ∆-2間有不隨高度增減的最大暖平流區，則z ∆2會增加，此時如果p 與p p ∆-2二處的0=ω（例如分別在地面與對流層頂），中間會有0<ω，此時p 面上產生輻合，p p ∆-2面則形成輻散，中間會有0=D ；但上升運動會形成絕熱降溫，而形成反制作用。

由而可知：差別溫度平流導致上下層T 改變，進而形成上下層厚度改變，所以差別溫度平流相當於差別厚度平流。

在此作用下，大氣為保持流體靜力平衡就必須改變等壓面高度，即
0≠∂Φ
∂t。

習題1.請利用重力位趨勢方程，討論影響長波運動的曲率效應與緯度效應，並由
而說明駛流（steering ）作用。

2.請解釋以下陳述（statement ）：
（1） 發展（增強）脊的中、低對流層有強盛暖平流。

（2） 發展（加深）槽的中、低對流層有強盛冷平流。

（3） 在低平流層發展脊有冷平流，發展槽則有暖平流。

（4） 冷對流層有較低暖之對流層
頂；暖對流層有較高而冷之對流層頂（參閱右圖）。

3.何謂「熱力渦度」（T ς）？試證h f
g p T 2
∇=
ς，h 為定壓面厚度，並利用此關係說明「冷（暖）心低壓（高壓）之強度均隨高度向上增加」。

9.9理想化的斜壓擾動
由Q-G ω及χ方程可知，ω及χ的特徵概略可由重力位分布獲得。

Q-G ω方程：
平流區冷暖有最強渦度平流隨高度增加率運動下沉上升⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ Q-G χ方程：
平流隨高度減小暖冷渦度平流升降重力位⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 利用此模式可知，發展之斜壓波，需溫度槽（脊）落後高度（氣壓）槽（脊），且等溫線振幅小於等高線振幅，如此則
（1）。

上升下降
重力位隨高度向上減小暖平流冷平流，且暖平流冷平流線上有脊槽→ （2）。

下降
上升
重力位正渦度平流負渦度平流有前後槽
→ 發展性斜壓波有關特徵歸納（Holton, p.179）如下：
由表可見，垂直運動場及輻散場的作用在使溫度改變符合流體靜力平衡，而渦度變化符合地轉條件，則是為了保持熱力風平衡。

習題1.一斜壓波如右圖所示，請在
下方相對應位置標示出冷暖 平流、正負渦度平流、槽脊 、高低壓中心及輻合散的位 置。

天氣及厚度圖
垂直剖面圖
上層（對流層） 下層 平均溫度
2.請標示NV A 及PV A 位置。

9.10長波運動學
由
n
V
VK f f Dt
D s ∂∂-
+=+≡=ςηη
&
0 可得到Rossby frequency equation ：2
2
)2(
π
ββ
L U k U c -=-=。

式中c 、U 、L 分別為波之相速、環境風速、波長；y
f
∂∂=
β。

此顯示： （1） 重疊在西風氣流中的大氣波動，其相速U c <；此為前進波（prograsive
wave ）。

（2） 在相同U 與β條件下，波長愈大，c 愈小；0=c 時2
k
U U c β
=
≡（駐
波standing wave ）。

（3） 波長超過0=c 的波其0<c ，即為後退波（retrogressive wave ）。

設波長為L 之波在氣流速度為L U 之中移動，則Rossby 頻率方程可寫成：
c L L U U L U c -=-=2
2
4π
β，此顯示：（a ）當β&L 不變時西風波之相速（c ）與風速（U ）成正比。

（b ）當β與U 不變時，較短的波有較大的相速。

又由2
2
24πββ
s c L k U ==，可得駐波波長2
1)(2βπc s U L ，代入上式可得 )(42
22
L L c s -=π
β ………………….……………………………... (9-31) 上式告訴我們：當波長>L 駐波長s L 時，0<c 即有後退現象。

Cressman(1948, On the forecasting of long waves. J. met. 5)發現，當s L L >>時新的槽會在原有槽線
的上游生成並取代原槽線，這就是說超長波的後退現象來自波長調整，而此調整則係因
0)1
()1(0200200<∇⋅-Φ∇-∇⋅=+Φ∇∇⋅-f V f f V f f f V f g g g
i.e.，地轉風對地球渦度（f ）之平流大於其相對渦度（Φ∇--21
0f ）之平流。

亦即緯度效應的結果。

ωσ)(2
2202
p
f p ∂∂+∇[]
)(0f V p f g p g +∇⋅-∂∂-=ςσ)(2T V p R p g p ∇⋅-∇-σ )1()(20dt
dQ
C p R K p f p p
g ∇--∂∂-σςσ Forcing function
Typical cause Vertical motion
Differential vorticity advection
[]
0)(0>+∇⋅-∂∂-f V p
f g p g ςσ (downstream of )strong cyclonic geostrophic vorticity maximum aloft
0<ω, rising motion []
0)(0<+∇⋅-∂∂
-
f V p
f g p g ςσ (downstream of)strong anticyclonic geostrophic vorticity maximum aloft 0>ω, sinking motion Temperature advection
0)`(2>∇⋅-∇-T V p
R p g p σ warm advection
(at low levels)
0<ω, rising motion 0)(2
<∇⋅-∇-
T V p
R p g p σ cold advection
(at low levels) 0>ω, sinking motion Differential friction
0)(0>∂∂
g K p
f ςσ cyclonic vorticity
in the boundary layer;
Ekman pumping
0<ω, rising motion 0)(0<∂∂
g K p
f ςσ anticyclonic vorticity
in the boundary layer; Ekman suction 0>ω, sinking motion Diabatic heating
0)1(2>∇-dt
dQ C p R p p σ latent-heat release
associated with con- densation or fusion; heating of cold air by warm surface; radiative heating
0<ω, rising motion 0)1(2<∇-
dt
dQ C p R p p σ cooling associated
with evaporation or sublimation; cooling of warm air by cold surface; radiative cooling
0>ω, sinking motion
χσ)(2
2202
p f p ∂∂+∇[]
)(0f V f g p g +∇⋅-=ς⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∇⋅-∂∂-)(20T V p R p f p g σ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡∂∂--+)1(
)(200dt dQ C p R p f K f p g σς
Forcing function
Typical pattern
Height tendency a middle levels V orticity advection
[]0)(0>+∇⋅-f V f g p g ς
downstream from a cyclonic vorticity maximum (trough
aloft)
0<χ, height falls
[
]
0)(0<+∇⋅-f V f g p g ς
downstream from an anticyclonic vorticity maximum (ridge aloft)
0>χ, height rises Differential temperature advection
0)(20>⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∇⋅-∂∂-T V p R p f p g σ cold advection at low levels; no
temperature advection aloft 0<χ, height falls 0)(20<⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⋅-∂∂-T V p R p f p g σ warm advection at low level; no
temperature advection aloft 0>χ, height rises Friction
0)(0>-g K f ς surface anticyclonic 0<χ, height falls
0)(0<-g K f ς
surface cyclonic
0>χ, height rises Differential diabatic heating
0)1(20>∂∂-dt
dQ C p R p f p σ warm air flowing over a cold
surface or latent heat release maximum aloft
0<χ, height falls
0)1(20<∂∂-dt dQ C p R p f p σ cold air flowing over a warm surface or latent heat release maximum below
0>χ, height rises。