第三章 傅里叶分析(修订)

第3章 傅里叶分析
傅里叶分析是利用傅里叶变换来分析信号的一种通用工具，其实质是将信号分解成若干个不同频率的正弦波之和。

它在信号处理的理论和应用中具有重要意义。

3.1 傅里叶变换概述
我们知道，傅里叶变换定义了以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种变换关系，也就是说，傅里叶变换建立了时域和频域之间的联系。

所以当自变量“时间”或“频率”取连续值或离散值时，就形成了各种不同形式的傅里叶变换对。

一、 时间连续、频率连续的傅里叶变换（FT ）
其傅里叶变换公式为： 正变换 ⎰
∞
∞-Ω-=Ωdt e t x j X t j )()(
反变换 ⎰
∞
∞
-ΩΩΩ=
d e j X t x t j )(21)(π
连续时间非周期信号x (t )的傅里叶变换结果是连续的非周期的频谱密度函数X (j Ω)，如图所示。

可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域的非周期性造成频谱的连续性。

二、 时间连续、频率离散的傅里叶变换——傅里叶级数（FS ）
周期为T 的周期性连续时间函数x (t )可展开成傅里叶级数，其系数为X (jk Ω0)，X (jk Ω0)是离散频率的非周期函数。

x (t )和X (jk Ω0)组成变换对，其变换公式为： 正变换 ⎰
-Ω-=
Ω2
/2
/00)(1)(T T t jk dt e t x T
jk X
反变换 ∑∞
-∞
=ΩΩ
=
k t
jk e jk X t x 0)()(0
式中，k ——谐波序号；
Ω0=2π/T ——两条相邻的离散谱线之间角频率的间隔；
x (t )和X (jk Ω0)之间的变换关系如图所示。

可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域函数的周期性造成频域函数的离散化。

三、 时间离散、频率连续的傅里叶变换——序列的傅里叶变换（DTFT ） 1. DTFT 的定义
序列的傅里叶变换公式为：
正变换 ∑∞
-∞
=-=n n
j j e n x e
X ωω
)()(
反变换 ⎰-
=
π
π
ωωωπ
d e e X n x n j j )(21)(
注意：序列．．x(n)．．．．只有当．．．n ．为整数时才有意义，否则没有定义。

．．．．．．．．．．．．．．．．
由于存在关系
ωωj e z j z X e X n x DTFT ===)()()]([
因此，序列的傅里叶变换也就是单位圆上的Z 变换。

x (n )和X (e j ω
)之间的变换关系如图所示。

可见，时域的离散化造成频谱函数的周期性延拓，而时域的非周期性造成频域的连续性。

2. DTFT 的性质 （1） 线性定理
)()()]()([2121ωωj j e bX e aX n bx n ax DTFT +=+
（2） 时移定理
)()]([00ωωj n j e X e n n x DTFT -=-
（3） 频移定理
)(])([)(00ωωω-=j n j e X e n x DTFT
（4） 对称性定理
对于复数序列x (n )，则当它满足：
○1 x (n )=x*(-n )时，该序列称为共轭对称序列．．．．．．x ．e ．(．n ．
)； 对于实序列而言，此条件变为x (n )=x (-n )，即x e (n )又称为偶对称序列。

○2 x (n )=-x*(-n )时，该序列称为共轭反对称序列．．．．．．．x ．o ．(．n ．
)； 对于实序列而言，此条件变为x (n )=-x (-n )，即x o (n )又称为奇对称序列。

任意一个序列总能表示成一个共轭对称序列与一个共轭反对称序列之和，即
x (n )= x e (n )+ x o (n )
证：欲证明这一点，只需找到x e (n )和x o (n )即可，则令
)]
()([2
1
)()]
()([2
1
)(n x n x n x n x n x n x o e --=-+=**
不难看出，这里的x e (n )与x o (n )分别满足共轭对称与共轭反对称的条件，且二者之和为x (n )，由此得证。

类似地，序列x (n )的傅里叶变换X (e j ω
)也可分解成共轭对称与共轭反对称分量之和，即
X (e j ω
)= X e (e j ω
)+ X o (e j ω
)
其中，)]()([21
)(ωωω
j j j e e X e X e
X -*+=
)]()([2
1
)(ωωωj j j o e X e X e X -*-=
有关序列的傅里叶变换的对称性定理，参见P59 表3.1.1所示。

其中， 性质4表明：序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量；
性质5表明：序列虚部乘j 后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量；
反过来，性质6、性质7则表明：序列的共轭对称和共轭反对称分量的傅里叶变换分别等于序列傅里叶变换的实部和j 乘虚部；
性质10表明：对于任意实序列x (n )，其傅里叶变换X (e j ω
)满足共轭对称性，且可以得出，实序列傅里叶变换的实部是ω的偶函数，而虚部是ω的奇函数；
性质11、性质12表明：实序列x (n )的偶对称序列分量x e (n )和奇对称序列分量x o (n )的傅里叶变换分别为序列x (n )的傅里叶变换的实部和j 乘虚部。

（5） 卷积定理
注意：此处的卷积又称为线性卷积。

．．．．．．．．．．．．．
I. 时域卷积定理
若)()()(n h n x n y *=，则
)()()(ωωωj j j e H e X e Y =
证：已知
∑∞
-∞
=-=
*=m m n h m x n h n x n y )()()()()(
则
)
()()()(]
)()([])()([])()([)()]([)()
()
(ωωωωωωωωωω
j j m n m n j m
j m n m j m n j m n n
j n n
j m n n
j j e H e X e
m n h e
m x e e
m n h m x e
m n h m x e m n h m x e
n y n y DTFT e Y =-=
-=-=-==
=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=---∞
-∞=∞-∞
=---∞
-∞=∞
-∞=-∞
-∞=-∞
-∞=∞
-∞
=-
复习：序列的运算
序列的运算包括翻褶、移位、和、积等。

（a ） 翻褶
如果序列为x (n )，则x (-n )是以n =0的纵轴为对称轴将序列x (n )加以翻褶。

（b ） 移位
如果序列为x (n )，当m 为正时，则序列x (n+m )是指将序列x (n )依次逐项左移m 位；当m 为负时，则右移m 位。

（c ） 和
两序列的和是指同序号（n ）的序列值逐项对应相加。

（d ） 积
两序列的积是指同序号（n ）的序列值逐项对应相乘。

线性卷积的几何意义．．．．．．．．．
： 若两序列x (n )和h (n )的卷积和定义为
∑∞
-∞
=-=
*=m m n h m x n h n x n y )()()()()(
则卷积的运算过程包含以下四步：
○
1翻褶：先在坐标系上作出h (m )，将h (m )以m =0的纵轴为对称轴翻褶成h (-m )； ○
2移位：将h (-m )移位n ，即得h (n-m )； 注意： h ．(．-．m ．) ．与．h ．(．m ．)．的移位规律恰好相反，当．．．．．．．．．．．n ．为正时，则右移．．．．．．．n ．位；当．．．n ．为负时，则左．．．．．．移．n ．位。

．．
○
3相乘：再将相同m 值所对应的h (n-m )和x (m )值相乘； ○
4相加：将上述所有对应点的乘积叠加，即得y (n )值； 依次取n =…，-2，-1，0，1，2，…，即可得到全部的y (n )值。

II. 频域卷积定理
若)()()(n h n x n y =，则
⎰-
-=*=
π
π
θωθωωωθπ
πd e H e X e H e X e Y j j j j j )()(21)()(21)()(
上述两个卷积定理表明：离散时间序列的时域卷积对应频域相乘，而时域相乘则对应其频域
卷积。

（6） Parseval （帕塞瓦）定理
⎰∑-
∞
-∞
==
π
π
ωωπ
d e X n x j n 2
2
)(21)(
证：
ω
πωπω
πωππ
π
ωπ
π
ωωπ
π
ωω
π
π
ωωd e X d e X e X d e n x e X d e e X n x n x n x n x j j j n n j j n n j j n n ⎰⎰⎰∑∑⎰∑∑
-
-
*-
∞-∞=*∞
-∞
=-
*
∞
-∞
=*
∞
-∞
===
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡==
2
2
)(21)()(21)()(21)(21)()()()(
Parseval （帕塞瓦）定理表明：信号在时域的总能量就等于其频域的总能量。

四、 时间离散、频率离散的傅里叶变换——离散傅里叶变换（DFT ）
除了三种傅里叶变换的形式以外，其实还有一种情况——时间离散、频率离散的傅里叶变换（即：我们在后续章节中将要介绍的离散傅里叶变换DFT ）。

由上述讨论的四种傅里叶变换的形式，我们不难得出这样的结论：一个域（时域或频．．．．．．．．．．．域）的离散化必然造成另一个域的周期延拓．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

习题：3.1, 3.2, 3.3
思考题：P102 3.1, 3.3, 3.4
3.2 周期序列的离散傅里叶级数（DFS ）
既然一个域的离散化会造成另一个域的周期延拓，我们不妨从周期序列的离散傅里叶级数开始讨论，然后再讨论可视为是周期序列的一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换。

一、 DFS 的定义 1. 周期序列的概念
设)(~n x 是周期为N 的一个周期序列，即
)(~)(~rN n x n x +=， r 为任意整数
因为在任何z 值下，周期序列z 变换的和式都不收敛，即
∞==∑∑∞
-∞
=-∞
-∞
=-⋅n n
n n z n x z n x )(~
)(~
也就是说，周期序列不是绝对可和的，所以不能用z 变换表示。

但是，和连续时间周期信号一样，周期序列可以用离散傅里叶级数来表示，也就是用周期为N 的复指数序列来表示。

2. 周期序列的离散傅里叶级数变换对
（1） 数学推导（可略，参见教材P61~62）
I.
)(~n x 的推导
周期为N 的复指数序列为
n N
j e
n e )2(
1)(π
=
其k 次谐波序列
kn N
j k e
n e )2(
)(π=
由于
kn N
j n rN k N
j
e
e
ππ
2)(2=+，r 为任意整数
则
)()(n e n e k rN k =+
因而，离散傅里叶级数的所有谐波分量中只有N 个是独立的。

这里，我们取k =0 ~ (N-1)的N
个独立谐波分量来构成)(~
n x 的离散傅里叶级数，即 ∑-==10
2)(~1)(~N k kn N
j e
k X N n x π
（3.2.1） 式中，)(~
k X 为k 次谐波的系数。

II.
)(~
k X 的推导
欲求解系数)(~
k X ，就要利用等比级数的求和性质
⎩⎨
⎧==--=
∑-=为其他值为任意整数，，，r m mN r e
e
N e
N
r N j rN N
j
N n rn N
j 011111221
2πππ （3.2.2） 将（3.2.1）式两端同乘以rn N
j
e
π2-，然后从n =0 ~ (N-1)的一个周期内求和，则
)
(~1)(~)(~
1)(~
10
)(21
0101
)(21
2r X e
N k X e k X N
e n x N n n r k N
j
N k N n N k n r k N j N n rn N
j
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡==∑∑∑∑∑-=--=-=-=--=-π
π
π
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛====+==-∑-=-成立故有，，则又由于时，，即当），可知由性质公式（r k m e
N mN r k mN r k N n n
r k N j 01)-(N ~0k 112.3.210)(2π 将上式中的r 换成k ，可得
∑-=-=10
2)(~)(~N n kn N j e n x k X π
通过推导，我们可以看出，周期序列)(~
n x 与其离散傅里叶级数的系数)(~
k X 组成一个变换对，且)(~
k X 也是一个周期为N 的周期序列。

（2） 结论
一般，我们习惯采用符号
N
j
N e
W π2-=，kn N
j
kn N
e
W
π2-=
则周期序列的离散傅里叶级数变换公式为：
正变换 ∑-===1
)(~)](~[)(~N n kn N
W n x n x DFS k X 反变换 ∑-=-==10
)(~1)](~[)(~N k kn N W k X N k X IDFS n x 上述表达式求和时，都只取N 个序列值，这表明：虽然周期序列是无限长序列，但只
要研究其一个周期（有限长）的性质，则其他周期的性质也就不难得知了，因而周期序列和有限长序列有着本质的联系。

3. kn
N W 的性质（简单介绍，参见教材P63）
（1） 周期性
)
()(N n k N
n N k N kn N W W W ++== （2） 对称性
)
()()(n N k N
n k N N kn N kn N W W W W --*-=== （3） 正交性（重点强调）
⎩
⎨⎧==-=∑-=为其他值
为任意整数
，，，k m mN k mN k W N N n kn
N 01)(110δ
二、 DFS 的性质
设)(~
n x 和)(~n y 均是周期为N 的周期序列，且有 )](~[)(~n x DFS k X =，)](~[)(~
n y DFS k Y =
1. 线性性质
)(~)(~)](~)(~[k Y b k X a n y b n x a DFS +=+
2. 移位性质
)(~)](~[k X W m n x DFS m k N -=+ （时移）
)(~)](~[l k X n x W DFS nl N += （频移，又称调制特性）
3. 周期卷积
（1） 时域卷积
若)(~n f =△)(~n y ○*)(~n x ∑=∑-==--=--=1
1
)(~)(~
)(~)(~
N m k m n N m m n x m y m n y m x 换元
令，则 )(~
)(~)](~[)(~k Y k X n f DFS k F ⋅==
证：（可略，参见教材P63）由于
)(~)(~n x n f =○*∑-=-=1
)(~)(~
)(~N m m n y m x n y 则
()())
(~)(~])(~)(~])(~)(~[])(~)(~[)(~)](~[)(~1
10
10
1
101
01
k Y k X W m n y W m x W W m n y m x W m n y m x W n f n f DFS K F N m N n k m n N mk N N m N n mk N k m n N N n nk
N N m N n nk
N
=-=-=-===∑∑∑∑∑∑∑-=-=--=-=--=-=-=
注意：此处的卷积为周期卷积。

它和前面所介绍的非周期序列的线性卷积的区别在于：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．○．1．参．
与周期卷积运算的两个序列都是周期为．．．．．．．．．．．．．．．．．N ．的周期序列，则其卷积结果仍是一个以．．．．．．．．．．．．．．．．．N ．为周期．．．
的周期序列；．．．．．．○．2．求和运算只在一个周期（．．．．．．．．．．．m=0~N ．．．．．-．1．）的范围．．．．内进行。

．．．． 周期卷积的运算过程（参见P64图3.2.2）：
运算在m =0~N-1区间内进行，先计算出n =0，1，…，N-1的卷积结果，然后将所得的结果进行周期延拓，即可得到所求的整个周期序列。

注意：计算过程中，一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的一个周期的同一位置．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的序列值就移入计算区间。

．．．．．．．．．．．． （2） 频域卷积
由于DFS 和IDFS 的对称性，同样可以证明：时域周期序列的乘积对应频域周期序列的周期卷积，即：
若)(~)(~)(~
n y n x n f =，则
)(~)(~K X k F =○*)(~
K Y ∑-=-=10)(~)(~1N l l k Y l X N
∑-=-=
1
)(~
)(~1
N l l k X l Y N
习题：3.4
思考题：P102 3.5, 3.6
3.3 离散傅里叶变换（DFT ）
一、 DFT 的定义
由前述讨论可知，周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因而其离散傅里叶级数表达式同样也适用于有限长序列，这就得到了我们将要介绍的有限长序列的离散傅里叶变换．．．．．．．．．．．．．。

1. 有限长序列和周期序列的关系
设x (n )是长度为N 的有限长序列。

我们可以把它看成是周期为N 的周期序列)(~n x 的一个周期，而把)(~
n x 看成是以N 为周期对x (n )进行周期延拓的结果，则有限长序列x (n )和周期序列)(~
n x 之间的关系可表示为 ⎩⎨
⎧-≤≤=n
N n n x n x 其他，，010)(~
)( 通常，我们将周期序列)(~n x 的第一个周期（n =0~N-1）定义为“主值区间”，故x(n)是)(~
n x 的“主值序列”，且上述关系式可简写为
N n x n x ))(()(~= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛延拓，可得到周期序
列
对有限长序列进行周期 （3.3.1） 式中，((n ))N 表示“n 对N 求余数”，或称“n 对N 取模值”；
令 为整数，，m N n mN n n 1011-≤≤+=
则n 1为n 对N 的余数，无论n 1加上多少倍的N ，其余数均为n 1，也就是说，周期性重复出
现的x ((n ))N 数值是相等的。

例如，)(~
n x 是周期N =9的序列，则n=25、-5的余数分别为 n = 25 = 2×9 + 7，即 ((25))9 = 7
n = -5 = -1×9 + 4，即 ((-5))9 = 4
)4(~))5(()5(~)7(~))25(()25(~99x x x x x x =-=-==，因此，
利用长度为N 的矩形序列符号R N (n )，即
⎩⎨
⎧-≤≤=n
N n n R N 其他，
，
01
01)(
则（3.3.1）式又可写成
)()(~)(n R n x n x N = ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛可得到有限长序列序
列
对周期序列进行截取，
同理，频域周期序列)(~
k X 也可看成是对有限长序列X (k )的周期延拓，而有限长序列X (k )则可看成是周期序列)(~
k X 的主值序列，即
)()(~
)())(()(~
k R k X k X k X k X N N
==或
2. 有限长序列的离散傅里叶变换对
由DFS 和IDFS 的公式表达式可以看出，其求和运算分别只限定在n =0~N-1和k = 0~N-1的主值区间内进行，则它们完全适用于主值序列x (n )和X (k )。

因此，我们可以类推得到有限长序列的离散傅里叶变换公式为： 正变换 10)()]([)(1
-≤≤=
=∑-=N k W
n x n x DFT k X N n kn N
，
反变换 10)(1)]([)(10
-≤≤==∑-=-N n W k X N k X IDFT n x N k kn
N ，
习题：3.5, 3.6, 3.7
思考题：P102 3.7, 3.8
二、 DFT 的性质
由于DFT 与DFS 之间的密切关系，应注意其性质的异同之处以及与DFT 所隐含的周期性之间的关系。

1. 线性性质
设x 1(n )和x 2(n )均是长度为N 的有限长序列，且有
)]([)(11n x DFT k X =，)]([)(22n x DFT k X =
则 )()()]()([2121k bX k aX n bx n ax DFT +=+
说明：
（1） 若x 1(n )和x 2(n )的长度均为N ，则ax 1(n )+bx 2(n )的长度也为N ；
（2） 若x 1(n )和x 2(n )的长度不等，设分别为N 1和N 2，则ax 1(n )+bx 2(n )的长度应为二者中的最大值，即N = max[N 1, N 2]；
例如，当N 1<N 2，则应取N = N 2，且需要在x 1(n )的尾部补上N 2 - N 1个零值点，使其变为长度为N 2的序列，再作N 2点的DFT 。

2. 对称性
与前面介绍的序列的傅里叶变换DTFT 相似，有限长序列的离散傅里叶变换DFT 也具有对称性（又称圆周共轭对称），且这种对称性与周期序列的共轭对称性密切相关。

（1） 时域对称性
不难证明（参见教材P71~72的数学推导）：任意一个长度为N 的有限长序列x (n )总可以分解成两个长度相等的圆周共轭对称分量x ep (n )和圆周共轭反对称分量x op (n )之和，即
x (n )= x ep (n ) + x op (n ) （3.3.2）
其中，
)
4.3.3()3.3.3()
(]))(())(([2
1
)()(~)()
(]))(())(([21
)()(~)(n R n N x n x n R n x n x n R n N x n x n R n x n x N N N N o op N N N N e ep --==-+==**式中，)(~n x e 和)(~n x o 分别是以N 为周期对有限长序列x (n )进行周期延拓后，所得到的周期
序列)(~
n x 的共轭对称分量和共轭反对称分量。

（2） 频域对称性 利用（3.3.2）式、（3.3.3）式及（3.3.4）式，并考虑到DFT 和DFS 的关系，就可以推导出下列DFT 的频域对称性质（证明从略，参见教材P72~73）。

设)]}(Im[)]({Re[)]([)(n x j n x DFT n x DFT k X +==，则有
○1 )())(()]([k R k N X n x DFT N
N -=*
* 这表明：共轭复序列的DFT 等于序列DFT 的逆象共轭。

○2 )())(()]([k R k X n N x DFT N
N *
*=- 这表明：复序列逆象共轭的DFT 等于序列DFT 的共轭。

○
3 )
()]}(Im[{)()]}({Re[k X n x j DFT k X n x DFT op ep ==
这表明：复序列实部的DFT 等于序列DFT 的圆周共轭对称分量；而复序列虚部乘以j 的DFT 等于序列DFT 的圆周共轭反对称分量。

○
4 )]
(Im[)]([)](Re[)]([k X j n x DFT k X n x DFT op ep ==
这表明：序列圆周共轭对称分量的DFT 等于序列DFT 的实部；而序列圆周共轭反对称分量的DFT 等于序列DFT 的虚部乘以j 。

○
5 若序列x(n)是实序列，则序列的DFT 只有圆周共轭对称分量，即满足 )())(()(k R k N X k X N N -=*
若序列x(n)是纯虚序列，则序列的DFT 只有圆周共轭反对称分量，即满足
)())(()(k R k N X k X N N --=*
根据该性质，不论属于哪一种情况，只要知道一半数目的就可以了，另一半可利用对称性求得，这样在计算DFT 时可以节约计算时间，提高效率。

3. 循环移位（又称圆周移位） （1） 循环移位的定义
有限长序列x (n )左移m （m 为正整数）位的循环移位定义为
)())(()(n R m n x n x N N m +=
可见，上式的循环移位表示将序列x(n)周期延拓成周期序列N n x n x ))(()(~=后，再左移m 位并取其主值序列而得到的。

注意：序列的循环移位始终限定在主值区间内进行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 如图所示（P75图3.3.1），有限长序列循环移位的过程中，在主值区间（n =0~N-1）内，当某序列值从区间的一端移出时，与它同值的序列值又从区间的另一端移入，因而，此过程可以看成是将序列x (n )按逆时针方向排列在一个N 等分的圆周上，则序列循环左移m 位就相当于将该序列在圆周上顺时针旋转m 位。

（2） 时域移位特性
利用DFT 与DFS 的关系以及DFS 的时移性质，不难证明：
)()]())(([)]([)(k X W n R m n x DFT n x DFT k X m k
N N N m m -=+==
（3） 频域移位特性
由时域与频域的对偶关系，可得
)()]())(([n x W k R l k X IDFT nl
N N N =+
4. 循环卷积（又称圆周卷积）
（1） 循环卷积的定义
长度均为N 的有限长序列x (n )和h (n )的循环卷积定义为
)()(n x n y =○N N n x n h ))(([)(=○*)(]))((n R n h N
N
)())(()()())(()(1
010n R m n x m h n R m n h m x N N m N N N m N ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=∑∑-=-= （3.3.5）
可见，循环卷积就是周期卷积在主值区间（n =0~N-1）内的值
（2） 循环卷积的运算方法
○
1利用求和定义式（3.3.5）直接求解； ○
2利用与周期卷积的关系求解； ○
3根据循环卷积的特点，利用图解法求解，其步骤如下： I. 将序列x (n )按逆时针方向均匀地（N 等分）分布在一个圆周（内圆）上，而将序
列h (n )按顺时针方向均匀地（N 等分）分布在另一个圆周（外圆）上，如图（a ）所示；
II. 求两个圆上相应序列的乘积，并叠加N 项乘积作为n =0时循环卷积值y (0)； III. 若求n =1时循环卷积值y (1)，则将外圆h (n )固定，把内圆上的序列x (n )顺时针旋
转一个单位（或将内圆x (n )固定，把外圆上的序列h (n )逆时针旋转一个单位，即内、外圆相对旋转一个单位），并将对应项的乘积叠加，即为所求的y (1) 值，如图（b ）所示；
IV. 类似地，依次取n =2~N-1，重复步骤Ⅲ，直到将内圆序列循环移位一周，便可以
求得所有的y (n )值；
（3） 时域和频域循环卷积定理
I. 时域循环卷积定理
利用DFT 与DFS 的关系以及DFS 的时域周期卷积性质，可以证明：
若)()(n x n y =○
N )(n h ，则)()()(k H k X k Y = 这表明：两序列循环卷积的离散傅里叶变换等于其傅里叶变换的乘积。

II. 频域循环卷积定理
由时域与频域的对偶关系，可得
若)()()(n h n x n y =，则)(1
)(k X N
k Y =
○
N )(k H 这表明：两序列乘积的离散傅里叶变换等于其傅里叶变换的循环卷积乘以1/N 。

（4） 循环卷积、周期卷积和线性卷积的关系
○
1利用周期卷积计算循环卷积 先计算两序列的周期卷积（列表法，参见例 3.2.3），再对卷积结果取其主值区间（n =0~N-1）内的值即可。

○
2利用循环卷积计算线性卷积 I. 用循环卷积代替线性卷积的条件
设两个有限长序列x (n )、h (n )的点数分别为N 和M ，其循环卷积的长度为L ，则要用循环卷积代替线性卷积的条件是：循环卷积的长度．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．L ．必须不小于线性卷积的长度．．．．．．．．．．．．N ．+．M ．-．1．
，即
L ≥N +M-1 否则，在循环卷积周期延拓时会产生混叠。

II. 用循环卷积实现线性卷积的具体步骤
i) 根据上述条件，取L =N +M-1，分别将序列x (n )、h (n )补零扩展为L 点序列，即
⎩⎨
⎧-≤≤-≤≤=1010)()(L n N N n n x n x ，，，⎩⎨⎧-≤≤-≤≤=1
01
0)()(L n M M n n h n h ，， ii) 分别计算序列x(n)、h(n)的L 点离散傅里叶变换，即
)]([)(n x DFT k X =，)]([)(n h DFT k H =
iii) 利用时域循环卷积定理计算序列x (n )、h (n )的L 点循环卷积，且它就等于其线
性卷积，即
)()()()(n x n h n x n y =*=○
L )]()([)(k H k X IDFT n y =
（5） 长序列卷积的计算（可略，参见教材P81~84）
在长序列x (n )通过数字系统h (n )得到输出y (n )=x (n )*h (n )的过程中，尽管数字系统的单位采样响应h (n )一般较短（如FIR 数字滤波器），但是由于输入序列x (n )较长而造成无法对信号进行实时处理，因此，我们必须将长序列划分为若干个短序列来进行卷积。

其方法一般有两种：重叠相加法和重叠保留法。

○
1重叠相加法 将长序列x (n )划分成长度为N 的相互连接但互不重叠．．．．．．．．．的若干个小段，并将每一段分别与长度为M 的h (n )作L 点循环卷积（取L =N +M-1），然后将各段的卷积结果相加，即可得到输出序列y (n )（参见P82图3.3.6所示）。

注意：相邻两端的卷积结果中必有．．．．．．．．．．．．M ．-．1．个点发生重叠，因此应将这些重叠部分叠加才能得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．到正确的输出结果。

．．．．．．．．．
○
2重叠保留法 将长序列x (n )划分成长度为L 的若干个小段，且相邻两段重叠．．．．．．M ．-．1．个点（即每段开始．．．．．．．．的．M ．-．1．个点是前一段最后的．．．．．．．．．M ．-．1．个点，但第一个分段的前．．．．．．．．．．．M ．-．1．个点为零）．．．．．
，再将每一段分别与长度为M 的h (n )作L 点循环卷积，并将各段的卷积结果的前M-1个点舍去，然后将各段的卷积结果的后N 个点依次连接，即可得到输出序列y (n )（参见P83图3.3.7所示）。

注意：若每段作．．．．L ．+．M ．-．1．点循环卷积，则其结果与线性卷积结果一致。

但这里每段作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．L ．点循．．
环卷积，则其结果中前．．．．．．．．．．M ．-．1．个点必然发生混叠现象，与线性卷积结果不一致，因此应将这．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．些点舍去，才能得到正确的输出结果。

．．．．．．．．．．．．．．．．． 5. Parseval （帕塞瓦）定理
∑∑-=-==1
0*1
*
)()(1)()(N k N n k Y k X N n y n x 证： 由DFT 的逆变换和正变换的定义，可得
∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=--===⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=1
*
10
10**
1
01010*)
()(1)()(1)(1)()()(N k kn N N n N k N n N k kn N N n k X k Y
N
W n x k Y N W k Y N n x n y n x 如果令y (n ) = x (n )，则上式变为
∑∑-=-==1
0*1
*
)()(1)()(N k N n k X k X N n x n x 即
∑∑-=-==102
1
2
)(1)(N k N n k X N n x 这表明：序列在时域的能量与在频域的能量是相等的。

习题：3.8, 3.9, 3.10
思考题：P103 3.17, 3.18
三、 DFT 与DTFT 及Z 变换的关系
离散傅里叶变换DFT 、序列的傅里叶变换DTFT 以及Z 变换可以从不同角度对有限长序列进行分析，因而它们之间必然有一定的联系。

1. Z 变换与DTFT 的关系
我们在前面介绍DTFT 时曾经提到：它与Z 变换之间存在关系
ωωj e z j z X e X n x DTFT ===)()()]([
即：若Z 变换的收敛域包含单位圆，则序列的DTFT 也就是单位圆上的Z 变换。

因此，在
计算序列的DTFT 时，我们可以先求序列的Z 变换，再将其结果中的变量z 用e j ω
代替即可。

2. Z 变换与DFT 的关系
有限长序列x (n )的DFT 为
110)()(1
0-==∑-=N k W n x k X N n kn
N ，，，，
其Z 变换为
∑∞
-∞
=-=
n n
z
n x z X )()(
对照上述公式，可知
110)()()(2-=====-N k z X z X k X k N j k N
e z W z ，，，， π
这表明：序列的DFT 也就是其Z 变换在单位圆上的等间隔采样，其角度间隔为ω=2π/N ，
即将单位圆N 等分，各序列的DFT 值均匀分布在单位圆上。

因此，在计算序列的DFT 时，我们也可以先求序列的Z 变换，再令k N
j e
z π2=即可。

3. DTFT 与DFT 的关系
由于Z 变换在单位圆上的取值就等于序列的傅里叶变换 X (e j ω
)，则
1
10)
()
()
()(222-=====
=N k e X e
X z X k X k N
j k N
j
e z k N
j ，，，， πωω
ππ
这表明：序列的DFT 也就是其DTFT 的等间距采样，其采样间距为ω=2π/N 。

序列的Z 变换、DFT 以及DTFT 的关系如图所示（P68图3.2.5）。

四、 频域采样 1. 频域采样定理
由上述讨论可知，有限长序列x (n )的离散傅里叶变换（DFT ）X (k )，实际上就是其傅里
叶变换（DTFT ）X (e j ω
)在主值区间内的等间距采样值。

那么，如何采样才能确保由频域采样
值X (k )不失真地恢复其连续频谱X (e j ω
)呢？其依据也就是频域采样定理。

频域采样定理：．．．．．．． 对于长度为．．．．．M ．的有限长序列，频域采样不失真的条件是：频域采样点数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．N ．不小于序列．．．．．长度．．M ．，即．．
M N ≥
2. 数学推导（见教材P69~70，可略）
利用X (k )表示X (z )的内插公式来证明，即
1
1
111)()
()()(----=--=
=∑z
W z
N z z k X z X k N N
k N k k φφ式中，内插函数
五、 DFT 在实际应用中的问题
由于DFT 实现了频域采样，且存在快速算法，所以在实际应用中，可以利用DFT 来分析时域连续信号。

在此过程中，可能遇到的问题有：混叠失真、栅栏效应、频谱泄漏等。

1. 混叠失真现象
前面曾经讨论过，假设信号最高频率为f h ，根据采样定理，采样频率f s 应满足
f s ≥2f h
即时域采样间隔T 应满足
h
s f f T 21
1≤
=
（3.3.6） 如果不满足上述要求，就会产生频率响应的周期延拓分量互相重叠的现象，即混叠失真现象。

设有限长序列的记录长度为T 0=NT （N 为采样点数）。

对DFT 来说，频率函数也要经采样成为离散的序列，其频域采样间隔（即频率分辨率）为F 0，则
01
F T =
（3.3.7） 由公式（3.3.6）和（3.3.7）可见， 信号最高频率f h 与频率分辨率F 0存在矛盾。

要使f h
增加，则时域采样间隔T 就必须减小⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛≤=h s f f T 211，而采样频率f s 就增加，由于采样点数N 满足
0F f T T N s ==
则当N 给定时，F 0必然增加，即频率分辨力下降。

反之，若要提高频率分辨力（减小F 0），
就要增加T 0，当N 给定时，必然导致T 增加（f s 减小），因此要不产生混叠失真，则必然应减小信号最高频率f h 。

通过上述分析可知，要想兼顾信号最高频率f h 与频率分辨率F 0，即保持其中一个不变，而提高另一个性能的唯一方法就是增加采样点数．．．．．．N ．
，使其满足 0
02F f F f N h
s ≥
=
上述公式是在未采用任何特殊数据处理（比如加窗处理）的情况下，实现基本DFT 算法所
必须满足的最低条件。

2. 栅栏效应
因为DFT 计算信号频谱，只给出了基频整数倍处的离散谱，而不是连续频谱，这就象通过一个“栅栏”观看景象一样，只能在离散点上看到真实景象，这种现象称为“栅栏效应”。

减小栅栏效应的一个方法就是要使频域采样更密，即增加频域采样点数，这样必然使各谱线间的距离更近，从而使原来被“栅栏”挡住的频谱分量显露出来，为此，我们可以在不改变原有数据记录的基础上，采用在时域数据的末尾补零的方法来实现。

补零的好处在于：○
1使频域采样更密，减小栅栏效应；○2使采样点数N 变为2的整数次幂，便于利用计算机实现快速傅里叶变换（FFT ）。

习题：3.11, 3.12, 3.13 思考题：P102 3.20
3.4 快速傅里叶变换（FFT ）
由于离散傅里叶变换（DFT ）实现了有限长序列的频域离散化，因而可应用于信号的频谱分析、数字滤波器的设计以及系统的分析、设计和实现等方面。

但是在相当长的时间里，由于DFT 的计算量太大，即使采用计算机也很难对问题进行实时处理，所以没有得到真正的运用。

直到1965年，库利（J.W.Cooley ）和图基（J.W.Tukey ）在《计算数学》杂志上发
表了著名的“机器计算傅里叶级数的一种算法”的文章，提出了DFT 的一种快速算法，后来又相继出现了桑德（G.Sande ）和图基快速算法等一系列高速有效的运算方法，使DFT 的计算大大简化，运算时间缩短了一、二个数量级，从而DFT 在实际中真正得到广泛的应用。

一、 直接计算DFT 的问题及改进途径
N 点有限长序列x (n )的离散傅里叶变换公式为： 正变换 110)()]([)(1
-==
=∑-=N k W
n x n x DFT k X N n kn N
，，，，
反变换 110)(1)]([)(10
-===∑-=-N n W k X N k X IDFT n x N k kn
N ，，，， 二者的差别只在于W N 的指数符号不同，以及相差一个常数因子1/N ，因而它们的运算量完全相同。

这里，我们只讨论DFT 正变换的运算问题。

一般来说，x (n )、 kn
N W 和X (k )均为复数，则每计算一个X (k )值，都需要进行N 次复数乘法（x (n )与 kn
N W 相乘）以及N-1次复数加法。

而X (k )共有N 个点（k =0~N-1），所以实现
整个DFT 运算需要进行N 2次复数乘法和N (N-1)次复数加法。

由此可见，直接计算DFT 时，其乘法次数和加法次数都与N 2成正比，当N 很大时，其运算量是很可观的，例如当N =1024时，DFT 所需的复数乘法为1048576次，即一百多万次，这对于实时性很强的信号处理来说，对计算速度的要求是太高了。

因而我们需要改进DFT 的计算方法，以便减少其运算量。

通过观察，我们发现通过利用系数kn
N W 所固有的周期性、对称性等特性，可以将长序
列的DFT 分解为短序列的DFT ，这样就可以大大减少DFT 的运算量。

正是基于这种基本思路而形成了快速傅里叶变换算法（Fast Fourier Transform ，缩写为FFT ），这种算法基本上可分为两大类：按时间抽取法（Decimation-In-Time ，缩写为DIT ）和按频率抽取法（Decimation-In-Frequency ，缩写为DIF ）。

注意：快速傅里叶变换（．．．．．．．．FFT ．．．）并不是一种新的变换，而是离散傅里叶变换（．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．DFT ．．．）的一种．．．．快速算法。

．．．．．
二、 按时间抽取（DIT ）的基-2FFT 算法（库利-图基算法） 1. 算法的原理
先假设序列x (n )的长度N =2M （M 为整数）。

如果不满足这个条件，可以人为地在序列末尾补上若干个零值点，使其达到这一要求。

这种N 为2的整数幂的FFT 也称基-2FFT 。

将长度为N =2M 的序列按n 的奇偶分为两组，即令n =2r 和n =2r +1（r =0, 1, …, N /2-1），则x (n )的DFT 可表示为
()
()
()
∑
∑
∑∑∑∑∑-=-=-=+-=-=-=-=+=
++
=-=+
=
==1
2/0
2
21
2/0
211
2/0
)12(1
2/0
21
01
01
)()()12()2(1,,1,0)()()()]([)(N r rk
N
k N N r rk N
N r k r N
N r rk N
N n n kn N
N n n kn N
N n kn N
W r x W
W
r x W
r x W
r x N k W
n x W
n x W
n x n x DFT k X 为奇数
为偶数。