信息安全数学基础第7章 椭圆曲线基础-2
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信息安全数学基础
《信息安全数学基础》是高等学校信息安全专业本科生的教材，也可作为信息科学技术类专业（如计算机科学技术、通信工程和电子科学技术等）本科生和研究生的教材，同时，也可以供从事信息安全和其他信息技术工作的人员参考。
内容提要
《信息安全数学基础》系统地介绍了信息安全理论与技术所涉及的数论、代数、椭圆曲线等数学理论基础。
全书共分为6章：第1章是预备知识，介绍了书中后面几章所涉及的基础知识；第2章和第3章是数论基础，包括整数的因子分解、同余式、原根、二次剩余、数论的应用等内容；第4章是代数系统，包括群、环、域的概念，一元多项式环和有限域理论初步等内容；第5章是椭圆曲线，包括椭圆曲线的预备知识、椭圆曲线、椭圆曲线上的离散对数等内容；第6章是线性反馈移位寄存器，包括反馈移位寄存器、分圆多项式和本原多项式、m序列等内容。
书中每章末都配有适量习题，以供学生学习和复习巩固书中所学内容。
椭圆曲线密码学的原理
椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography, ECC）是一种基于椭圆曲线的公钥密码体制，其原理和运算方式与传统的RSA算法有所不同。
椭圆曲线密码学是一种现代密码学领域的前沿技术，被广泛应用于许多安全领域，如数据加密、数字签名、密钥交换等。
本文将主要介绍椭圆曲线密码学的原理及其应用。
椭圆曲线密码学是通过椭圆曲线上的离散对数问题来实现安全通信的。
首先，我们需要选择一条合适的椭圆曲线作为密码系统的基础。
椭圆曲线的方程可以表示为y² = x³ + ax + b，其中a和b是定义曲线的参数。
为了保证安全性，这些参数需要经过严格的选择和审核，以确保计算离散对数问题的困难性。
在椭圆曲线密码系统中，每个用户都有一对密钥，分别是公钥和私钥。
公钥由椭圆曲线上的一个点和曲线的参数生成，私钥是一个随机数，只有用户自己知道。
公钥可以被广泛分发，而私钥必须严格保密。
为了实现安全通信，发送方使用对方的公钥对要发送的数据进行加密，接收方使用自己的私钥对密文进行解密。
椭圆曲线密码学所基于的数学原理是椭圆曲线上的离散对数问题。
即给定一点P和一个整数k，求解使得kP = P + P + ... + P（k个P相加）的问题。
这个问题在目前的计算能力下是非常难以求解的。
利用这个困难问题，我们可以构建一个安全的公钥密码系统。
相比于传统的RSA算法，椭圆曲线密码学具有许多优势。
首先，椭圆曲线密码学能够提供相同的安全性，但使用更短的密钥长度。
这对于存储和传输密钥来说是非常重要的，可以减少存储和传输的开销。
其次，椭圆曲线密码学的加密和解密速度更快，特别是在资源有限的设备上。
这使得椭圆曲线密码学非常适合嵌入式设备和移动设备上的安全通信应用。
除了基本的加解密功能，椭圆曲线密码学还可以用于数字签名和密钥交换等安全协议。
数字签名可以用来验证信息的真实性和完整性，并防止信息被篡改。
而密钥交换协议则可以用来安全地协商通信双方之间的共享密钥，以确保通信过程中的机密性和完整性。
《计算机信息安全技术》课后习题及参考答案
第1章计算机信息安全概述习题参考答案1. 对计算机信息安全造成威胁的主要因素有哪些？答：影响计算机信息安全的因素有很多，主要有自然威胁和人为威胁两种。
自然威胁包括：自然灾害、恶劣的场地环境、物理损坏、设备故障、电磁辐射和电磁干扰等。
人为威胁包括：无意威胁、有意威胁。
自然威胁的共同特点是突发性、自然性、非针对性。
这类不安全因素不仅对计算机信息安全造成威胁，而且严重威胁着整个计算机系统的安全，因为物理上的破坏很容易毁灭整个计算机信息管理系统以及网络系统。
人为恶意攻击有明显的企图，其危害性相当大，给信息安全、系统安全带来了巨大的威胁。
人为恶意攻击能得逞的原因是计算机系统本身有安全缺陷，如通信链路的缺陷、电磁辐射的缺陷、引进技术的缺陷、软件漏洞、网络服务的漏洞等。
2. 计算机信息安全的特性有哪些？答：信息安全的特性有：⑴完整性完整性是指信息在存储或传输的过程中保持未经授权不能改变的特性，即对抗主动攻击，保证数据的一致性，防止数据被非法用户修改和破坏。
⑵可用性可用性是指信息可被授权者访问并按需求使用的特性，即保证合法用户对信息和资源的使用不会被不合理地拒绝。
对可用性的攻击就是阻断信息的合理使用。
⑶保密性保密性是指信息不被泄露给未经授权者的特性，即对抗被动攻击，以保证机密信息不会泄露给非法用户或供其使用。
⑷可控性可控性是指对信息的传播及内容具有控制能力的特性。
授权机构可以随时控制信息的机密性，能够对信息实施安全监控。
⑸不可否认性不可否认性也称为不可抵赖性，即所有参与者都不可能否认或抵赖曾经完成的操作和承诺。
发送方不能否认已发送的信息，接收方也不能否认已收到的信息。
3. 计算机信息安全的对策有哪些？答：要全面地应对计算机信息安全问题，建立一个立体的计算机信息安全保障体系，一般主要从三个层面来做工作，那就是技术、管理、人员。
（1）技术保障指运用一系列技术层面的措施来保障信息系统的安全运营，检测、预防、应对信息安全问题。
信息安全数学基础
信息安全数学基础
韩琦
计算机科学与技术学院
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近世代数
群
举例
例 (希尔密码) 在希尔密码(Hill Cipher)中加密变换为 (������1 ������2 · · · ������������ ) = (������1 ������2 · · · ������������ )������ ������������������ 26 这里密钥������ ∈ ������������������ (������26 ), ������������ , ������������ ∈ ������26 , ������26 = {0, 1, · · · , 25}，������������ 为明 文，������������ 为密文，式1.1右边的行向量(������1 , ������2 , · · · , ������������ )与矩阵������ 乘是先进行 通常的实数行向量与实数矩阵乘再对所得行向量的每一分量取模26。 加密过程 字母������������ · · · ������分别对应0, 1, · · · , 25，加密前先将明文字母串变换为������26 上 的数字串，然后再按上述表达式每次������个数字的将明文数字串变换为密 文数字串，最后将密文数字串变换为密文字母串。
1
当生成元������是无限阶元素时，则������称为无限阶循环群。 如果������的阶为������，即������������ = 1，那么这 时������ =< ������ >=< 1, ������, ������2 , · · · , ������������−1 >，则������称为由������所生成的������阶循 环群，注意此时1, ������, ������2 , · · · , ������������−1 两两不同。
“信息安全数学基础”案例教学
“信息安全数学基础”案例教学摘要:本文针对“信息安全数学基础”课程教学中存在的问题和困境,结合教学实践经验,给出几个课程教学案例,对激发学生学习兴趣,提高课程教学质量具有积极的借鉴意义。
关键词:案例教学;信息安全数学基础;密码学在当今的信息时代,信息已成为国家的重要战略资源。
信息的安全直接关系到一个国家的政治稳定、经济发展和社会进步。
为加强对信息安全人才的培养,我国教育部、科技部、信息产业部、国防科工委、国家自然科学基金都把“信息安全”作为优先发展的领域。
2001年以来国内已有50多所高等院校建立了信息安全本科专业,部分院校还设立了信息安全相关的硕士点、博士点。
而“未来的信息战争在某种程度上是数学的战争”,数学在信息安全中占有非常重要的地位。
如信息安全模型的建立、密码体制的设计、安全性证明以及对密码体制的形式化分析和密码分析,涉及数论、代数、组合数学、椭圆曲线理论等方面的知识,而这些数学知识是学生在“高等数学”、“线性代数”、“概率统计”等工科必修数学课程中没有学习过的。
因此考虑到相关数学基础知识在信息安全专业学习中的重要性,绝大部分院校在各自的信息安全专业人才培养方案中都将“信息安全数学基础”课程作为一门专业必修课。
[1]1课程现状笔者自本校2004年设立信息研究与安全本科专业以来,已连续讲授了3届本科生的“信息安全数学基础”课程,并编写了《信息安全数学基础》教材(国防工业大学出版社2009年3月出版),积累了比较丰富的授课经验,希望能与大家共享。
由于“信息安全数学基础”课程课时紧、内容多、难度大,各个知识点之间缺少联系,是对数论、近世代数、椭圆曲线理论等数学专业知识的简单集成和压缩,理解起来比较困难。
笔者在教学过程中边摸索边改进,注重数学理论的引入,介绍相关知识的实际背景和科学史实,激发学生的学习兴趣,避免学生学习的盲目性。
尤其是笔者在教学过程中集中体现启发式教学的理念,大量使用案例教学,将枯燥无味的数学理论知识做成实践—理论—实践的三明治,色、香、味俱全,使学生“吃”起来津津有味,很好的调动了学生的积极性和主动性,使课堂气氛活跃,充分体现了学生的主体地位和老师的主导作用。
椭圆曲线密码算法及其在信息安全中的应用
椭圆曲线密码算法及其在信息安全中的应用随着信息技术的发展，信息安全变得尤为重要。
而密码学是信息安全的基础，它研究的是如何让信息安全地传输。
椭圆曲线密码（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种非常重要的密码算法，它的安全强度高、运算速度快，因此受到了广泛的关注和应用。
本文将介绍椭圆曲线密码算法的原理、特点和应用。
一、椭圆曲线密码的基本概念1. 椭圆曲线椭圆曲线是一个在平面上由一组满足特定条件的点构成的集合，这个集合会构成一个曲线。
在密码学中，我们通常会使用表示为y² = x³ + ax + b（其中a、b是常数）的椭圆曲线。
椭圆曲线的基本操作是点的加法、点的乘法和点的倍乘。
点的加法可以定义为一种在椭圆曲线上的几何运算，而点的乘法和点的倍乘则是将点进行反复加法的运算。
2. 椭圆曲线密码算法的原理椭圆曲线密码算法是一种基于椭圆曲线数学理论的密码算法。
其基本思想是利用曲线上的点作为加密密钥和解密密钥，通过运用多点基数倍算法来实现加密和解密，同时短密码可以提供与RSA算法相同的安全强度。
椭圆曲线密码算法相较其他现代密码算法来说，其密钥长度更短，在加密过程中的运算速度更快。
同时，椭圆曲线密码算法可以保证密钥交换的安全性和绝对保密性，应用于电子商务、移动通信、数字证书等领域。
二、椭圆曲线密码算法的特点1. 安全强度高椭圆曲线密码算法的安全强度比传统的对称加密算法和公钥加密算法要高，即需要更长的密钥才能破解，而使用同长度密钥的情况下，破解椭圆曲线密码算法所需的时间比其他密码算法长得多，同时由于椭圆曲线算法的数学基础更加复杂，因此更难被破解。
2. 运算速度快椭圆曲线密码算法的解密运算速度也比较快，大约只有RSA算法的1/10，这也是它受到广泛应用的原因之一。
因为随着网络带宽和数据通信量的不断增大，加密和解密的运算量也对算法的速度提出了更高的要求。
3. 密钥长度短椭圆曲线密码算法在同样的安全强度下，所需的密钥长度比RSA算法和DH算法要短，这也使得椭圆曲线密码算法可以减少密钥的存储空间和传输开销，同时也有助于减少算法运算的时间，提高其运算速度。
现代密码学中的椭圆曲线
现代密码学中的椭圆曲线椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是当今密码学领域中备受关注的一个重要技术。
它以椭圆曲线上的离散对数难题作为安全基础，被广泛应用于数字签名、密钥交换、公私钥加密等领域。
本文将介绍椭圆曲线密码学的基本概念、原理及其在现代密码学中的重要性。
一、椭圆曲线的基本概念椭圆曲线是由满足某个二次方程的点所构成的集合，在密码学中通常表示为$y^2 = x^3 + ax + b$，其中a、b为曲线参数。
对于有限域上的椭圆曲线，曲线上的点通过特定的加法运算规则进行操作，形成群结构。
这个群的阶数通常被记为n，是曲线上的点的个数。
二、椭圆曲线密码学的原理椭圆曲线密码学主要利用椭圆曲线上的离散对数难题来实现安全通信。
对于给定的椭圆曲线E和一个点G，计算nG是一个容易的问题，而给定点nG和G，计算n的困难性则构成了椭圆曲线上的离散对数问题。
基于椭圆曲线离散对数难题，可以实现数字签名、密钥交换等功能。
在数字签名中，发送者使用自己的私钥对消息进行签名，接收者使用发送者的公钥对签名进行验证，确保消息的完整性和真实性；在密钥交换中，双方可以通过协商阶段生成密钥，用于后续通信的加密和解密。
三、椭圆曲线密码学在现代密码学中的重要性椭圆曲线密码学相比传统的RSA等密码算法具有更高的安全性和效率。
由于其算法参数相对较小，可以在带宽受限或计算资源受限的环境下快速进行加密和解密操作，适合移动设备、物联网设备等场景。
除此之外，椭圆曲线密码学也广泛应用于区块链、SSL/TLS等信息安全领域。
许多主流的加密通信协议和标准都采用了椭圆曲线密码算法，保障了用户数据的机密性和完整性。
总之，椭圆曲线密码学作为一种先进的密码学技术，具有重要的应用前景和研究价值。
它在信息安全领域中扮演着至关重要的角色，为保护网络通信的安全提供了有力的支持。
希望通过本文的介绍，读者能对椭圆曲线密码学有更深入的了解，进一步推动其在实际应用中的发展和普及。
5-7椭圆曲线基础
(2) 椭圆曲线上的群运算
P+Q+R=0
P+Q+Q=0
(2) 椭圆曲线上的群运算
P+Q+0=0
P+P+0=0
椭圆曲线上的群运算
已知点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，计算P+Q
PQ 的斜率 λ
λ
3x12
y2 y1 x2 x1
2a2 x1 a4 2 y1 a1x1
若 z 是 mod p 的二次剩余，当 p mod 4=3时，z 的平方根是±z(p+1)/4 mod p
有限域上的椭圆曲线
E11(1,6)：y2=x3+x+6 (mod 11)
x
z=x3+x+6 mod 11
z是否为二次剩余 z的模平方根y
0
6
N
-
1
8
N
-
2
5
Y
4,7
3
3
Y
5,6
4
8
N
-
5
4
有限域上的椭圆曲线
如何确定椭圆曲线上的点 常选取Fp 或 F2m上的椭圆曲线
有限域上椭圆曲线的计算
无穷远点O : 有一个无穷远点(0:1:0)是椭圆曲线上的点
将该方程映射到平面坐标系，令 x=X/Z, y=Y/Z
y2 +a1xy +a3 y = x3 +a2x2 +a4x+a6
E/K : if a1, a2, a3, a4, a6∈ K,，称 E 定义在K上 E(K) :
E(K ) {(x, y)| x, y K : y2 a1xy a3 y x3 a2x2 a4x a6 } {O}
信息安全考试重点
第1章信息安全概述1．被动攻击：攻击者在未被授权的情况下，非法获取信息或数据文件，但不对数据信息作任何修改。
被动攻击手段：搭线监听、无线截获、其他截获、流量分析阻止被动攻击：加密对付被动攻击的重点是预防，不是检测被动攻击使得机密信息被泄露，破坏了信息的机密性2．主动攻击：包括对数据流进行篡改或伪造主动攻击四种类型：伪装、重放、消息篡改、拒绝服务伪装、重放、消息篡改，破坏了信息的完整性，拒绝服务，破坏了信息系统的可用性3．信息安全的目标：机密性：Confidentiality，指保证信息不被非授权访问。
完整性：Integrity，指信息在生成、传输、存储和使用过程中不应被第三方篡改。
可用性：Availability，指授权用户可以根据需要随时访问所需信息。
其它信息安全性质：可靠性，不可抵赖性，可审查性，可控性4．信息安全基础研究的主要内容：密码学研究和网络信息安全基础理论研究密码理论是信息安全的基础，信息安全的机密性，完整性和抗否认性都依赖密码算法密码学的主要研究内容是：加密算法（保护信息机密性）消息认证算法（保护信息的完整性）数字签名算法（保护信息的抗否认性）密钥管理5．网络攻击方式：①泄密：将消息透露给未被授权的任何人或程序②传输分析：分析通信双方的通信模式③伪装：欺诈源向网络中插入一条消息④内容修改：对消息内容进行插入、删除、转换或修改⑤顺序修改：对通信双方的消息顺序进行插入、删除或重新排序⑥计时修改：对消息的延时和重放⑦发送方否认：发送方否认发过来某消息⑧接收方否认：接收方否认接收到某消息6．安全理论的主要内容：身份认证、授权和访问控制、安全审计和安全协议7．安全技术：防火墙技术、漏洞扫描和分析、入侵检测、防病毒等8．平台安全：物理安全、网络安全、系统安全、数据安全、用户安全和边界安全物理安全是指保障信息网络物理设备不受物理损害，或是损坏时能及时修复或替换，通常是针对设备的自然损害、人为破坏或灾害损害而提出的网络安全的目标是防止针对网络平台的实现和访问模式的安全威胁9．信息安全管理研究：①安全策略研究，主要内容包括安全风险评估、安全代价评估、安全机制的制定以及安全措施的实施和管理等安全策略是安全系统设计、实施、管理和评估的依据②安全标准研究，主要内容包括安全等级划分、安全技术操作标准、安全体系结构标准、安全产品测评标准和安全工程实施标准等③安全测评研究，主要内容有测评模型、测评方法、测评工具、测评规程等第2章密码学基础1．研究各种加密方案的学科称为密码编码学，加密方案则被称为密码体制或者密码，研究破译密码的学科称为密码分析学数据安全基于密钥而不是算法的保密，也就是说，对于一个密码体制，其算法是可以公开的，但具体对于某次加密过程中所使用的密钥则是保密的2．根据密钥的使用方式分类：对称密码体制（秘密钥密码体制）和非对称密码体制（公钥密码体制）对称密码体制分为两类：序列密码或流密码，分组密码3．攻击密码体制一般有两种方法：密码分析和穷举攻击穷举攻击是指攻击者对一条密文尝试所有可能的密钥，直到把它转化成为可读的有意义明文如果无论有多少可以使用的密文，都不足以唯一地确定在该体制下地密文所对应的明文，则此加密体制是无条件安全的5．加密算法应该至少满足下面的两个条件之一：①破译密码的代价超出密文信息的价值②破译密码的时间超出密文信息的有效期满足上述两个条件之一的密码体制被称为在计算上是安全的第3章对称密码体制1．雪崩效应：明文或密钥的微小改变将对密文产生很大的影响2．弱密钥：DES算法在每次迭代时都有一个子密钥供加密用，如果一个外部密钥所产生的所有子密钥都是一样的，则这个密钥就称为弱密钥。
椭圆曲线
例如，若E是 F7上椭圆曲线 y2 = x3 + 2x + 4 则 E7 (a,b) 上的点是 E7 (2,4) = {O,(0,2),(0,5),(1,0),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),
(6,1), (6, 6)}
(1) ElGamal密码体制的原理 密钥产生过程： 首先选择一素数p以及两个小
这里 ∞ 为无穷远点.
一条椭圆曲线E指的是由韦尔斯特拉斯(Weierstrass)方程： y2 + axy + by = x3 + cx2 + dx + e
所确定的平面曲线，它是由方程的全体解(x, y)再加上 一个无穷远点∞ 构成的集合。其中系数a，b，c，d， e 是满足一些简单条件的实数。亦即：椭圆曲线
• A的私钥取为nA=121，公钥为 PA=121(2,2)=(115,48)。 • B的秘密钥取为nB=203，公开钥 PB=203(2,2)=(130,203)。 • 由此得到的共享密钥为
121(130,203)=203(115,48)=(161,169)
如果选整数作为共享密钥，则可简单地取其中的一 个，如取 x 坐标，或取 x 坐标的某一简单函数。
在椭圆曲线构成的Abel群Ep(a,b)上考虑方程 Q=kP，其中P，Q∈ Ep(a,b) ，k<p，则由k和P易求 Q，但由P、Q求k则是困难的，这就是椭圆曲线上 的离散对数问题，可应用于公钥密码体制。DiffieHellman密钥交换和ElGamal密码体制是基于有限 域上离散对数问题的公钥体制，下面考虑如何用椭 圆曲线来实现这两种密码体制。
9P = (4, 7) 10P = (22, 5) 11P = (10, 5) 12P = (17, 9)
椭圆曲线密码学的基础原理
椭圆曲线密码学的基础原理椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种基于椭圆曲线数学理论的密码学算法，被广泛应用于信息安全领域。
相比传统的RSA和DSA等公钥密码算法，ECC具有更高的安全性和更小的密钥长度，因此在资源受限的环境下具有独特的优势。
一、椭圆曲线的基本概念椭圆曲线是由满足特定方程的点集构成的曲线，其方程通常表示为y^2 = x^3 + ax + b。
其中，a和b是给定的常数，定义了曲线的形状。
椭圆曲线上的点满足特定的运算规则，包括点的加法、点的倍乘等。
这些运算规则使得椭圆曲线成为一种适合用于密码学的数学结构。
二、椭圆曲线密码学的基本原理椭圆曲线密码学的核心思想是利用椭圆曲线上的点运算来实现加密和签名等功能。
具体而言，ECC中的加密算法基于离散对数问题，即给定椭圆曲线上的点P和整数n，求解满足nP = O（O为无穷远点）的整数n的问题。
而签名算法则基于椭圆曲线上的点倍乘运算。
三、ECC的优势相较于传统的公钥密码算法，ECC具有以下优势：1. 安全性高：ECC的安全性基于椭圆曲线上的离散对数问题，该问题难度较大，使得破解难度大大增加。
2. 密钥长度短：相同安全级别下，ECC所需的密钥长度远小于RSA等算法，减少了存储和传输的开销。
3. 运算速度快：ECC的运算速度较快，尤其在资源受限的环境下表现出色，如物联网设备和移动设备等。
四、ECC的应用ECC广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 数字签名：ECC可以用于生成和验证数字签名，确保数据的完整性和真实性。
2. 密钥交换：ECC可以用于生成共享密钥，实现安全的密钥交换过程。
3. 加密算法：ECC可以用于对数据进行加密和解密，保护数据的机密性。
五、ECC的发展趋势随着信息技术的不断发展，对安全性和效率的要求越来越高，ECC作为一种高效且安全的密码学算法，具有广阔的发展前景。
未来，ECC有望在云计算、物联网、移动通信等领域得到更广泛的应用。
信息安全数学基础教学大纲
《信息安全数学基础》课程教学大纲课程编码：ZJ28603课程类别：专业基础课学分： 4 学时：64学期： 3 归属单位：信息与网络工程学院先修课程：高等数学、C语言程序设计、线性代数适用专业：信息安全、网络工程（中韩合作）一、课程简介《信息安全数学基础》（Mathematical foundation of information security）是信息安全、网络工程（中韩合作）专业的专业理论课程。
本课程主要讲授信息安全所涉及的数论、代数和椭圆曲线论等基本数学理论和方法，对欧几里得除法、同余、欧拉定理、中国剩余定理、二次同余、原根、有限群、有限域等知识及其在信息安全实践中的应用进行详细的讲述。
通过课程的学习，使学生具备较好的逻辑推理能力，具备利用数学理论知识解决信息安全实际问题的能力，树立信息安全危机意识和防范意识，树立探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感，树立为国家信息安全事业发展做贡献的远大理想。
二、课程目标本课程教学应按照大纲要求，注重培养学生知识的学习和应用能力，使学生在学习过程中，在掌握信息安全领域所必需的数学基础知识的同时，提升学生的理论水平、业务素质、数学知识的应用能力，支撑人才培养方案中“课程设置与人才培养目标达成矩阵”相应指标点的达成。
课程目标对学生价值、知识、能力、素质要求如下：课程目标1：激发学生爱国主义情怀和专业知识钻研精神，使其树立正确的价值观。
课程目标2：培养学生树立信息安全危机意识和防范意识。
课程目标3：激发学生树立为国家信息安全事业发展做贡献的远大理想。
课程目标4：使学生掌握整除的相关概念和欧几里德算法的原理与应用。
课程目标5：使学生掌握同余式的求解方法及其在密码学中的经典应用。
课程目标6：使学生掌握群环域等代数结构的特点及其在密码学中的经典应用。
课程目标7：使学生掌握信息安全数学基础中的专业韩语知识。
三、教学内容与课程目标的关系四、课程教学方法1、理论课堂（1）采用案例式教学，讲述我国科技工作者将自主科研创新和国家重大需求相结合，经过不懈努力取得辉煌成果的真实事件，激发学生爱国主义情怀和专业知识探究热情，使学生树立正确的价值观。
安全椭圆曲线的选取及点群阶的计算
安全椭圆曲线的选取及点群阶的计算摘要：选取安全椭圆曲线的核心步骤是对椭圆曲线点群阶的计算。
SEA算法及Satoh算法是计算点群的有效工具。
本文主要讨论了安全椭圆曲线的选取及利用前两种算法计算点群阶。
关键词：安全椭圆曲线，点群阶，SEA算法，Satoh算法1 引言自1985年N.Kobliatz和ler分别提出椭圆曲线公钥密码体制以来，在理论研究、标准化和产品化等要素的综合影响下，椭圆曲线公钥密码体制以自身优势成为信息安全和密码学界关注的热点之一。
在现代密码及数字签名中要确保信息安全，关键是如何构造安全的椭圆曲线，而影响椭圆曲线密码体制的安全性的主要因素是参数的选取，其核心步骤是寻找素数阶的椭圆曲线。
目前，构造安全椭圆曲线的方法一般有两种：①复乘法，即构造给定阶的椭圆曲线。
这种方法构造的椭圆曲线具有附带结构特征，从安全性角度来说，这是一个潜在的威胁；②随机曲线法，即随机选取椭圆曲线参数，计算它的阶，直到找到素数阶椭圆曲线。
因此从长远的角度或从不断出现的对ECC的攻击来看，利用随机曲线法选择安全椭圆曲线是非常必要的。
2 安全椭圆曲线的选取为了得到一条随机性很好的素数阶椭圆曲线，我们可以采用下面的方法，随机选取参数，利用相关算法计算出它的阶，再对阶进行素性测试，直到得到理想的椭圆曲线。
实际应用中，许多情况下我们利用SEA算法计算出阶之前，利用已有的信息就可断定阶为合数。
下面给出构造安全椭圆曲线的方法：输入有限域的大小输出椭圆曲线是大的素因子，且（1）随机产生上的一条椭圆曲线；（2）利用算法计算出；（3）利用大整数分解算法分解，并检测的分解中有无的>2160素因子，如果没有，返回（1）；（4）检测，否则返回（1）（5）检测否则返回（1）（6）输出实现上面算法的最关键的一步就是计算椭圆曲线点的个数即点群阶。
3 椭圆曲线的点群阶3.1 椭圆曲线的点群阶定义椭圆曲线的点群阶是指所定义的椭圆曲线上的点数(我们所关心的是曲线在第一象限中的整数点数)并上无穷远点(用表示)。
椭圆曲线密码ppt课件
⑴ 密钥生成
• 用户随机地选择一个整数d作为自己的秘密的解 密钥，2≤d≤p-2 。
• 计算y=αd mod p，取y为自己的公开的加密钥。 • 由公开钥y 计算秘密钥d，必须求解离散对数，
由于上述运算是定义在模p有限域上的，所以称为 离散对数运算。
③从x计算y是容易的。可是从y计算x就困难得多， 利用目前最好的算法，对于小心选择的p将至少 需用O(p ½)次以上的运算，只要p足够大，求解 离散对数问题是相当困难的。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
要小，所以ELGamal密码的加解密速度比RSA稍快。 ②随机数源
由ELGamal密码的解密钥d和随机数k都应是高质量 的随机数。因此，应用ELGamal密码需要一个好的随机 数源，也就是说能够快速地产生高质量的随机数。 ③大素数的选择
为了ELGamal密码的安全，p应为150位（十进制数） 以上的大素数，而且p-1应有大素因子。
三、椭圆曲线密码
2、椭圆曲线
②定义逆元素
设P（x1 ，y1）和Q（x2 ，y2）是解点，如果 x1=x2 且y1=-y2 ，则
P（x1 ，y1）＋Q（x2 ，y2）＝0 。
这说明任何解点R（x ，y）的逆就是
R（x ，-y）。
注意：规定无穷远点的逆就是其自己。
O（∞，∞）＝-O（∞，∞）
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
三、椭圆曲线密码
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《信息安全数学基础》 第7章
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《信息安全数学基础》 第7章
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椭圆曲线密码算法在1985年提出. 从1998年起, 一些国际标准化组织开始了对椭圆曲线密码的标准 化工作, 1998年IEEE-P1363工作组正式将椭圆曲线密 码写入了当时正在讨论制定的“公钥密码标准”的草 稿.
椭圆曲线密码算法在与RSA算法相同安全性的情 况下, 其密钥短较短, 160比特长的密钥相当于RSA算 法密钥长1024比特的安全性, 因而有利于容量受限的 存储设备如智能卡等在安全领域的使用.
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一般说来, 基于离散对数问题的密码算法, 都可 以改写为基于椭圆曲线离散对数问题的算法, 比如公 钥密码算法ElGamal, 密钥协商协议Diffie-Hellman算 法, 美国的数字签名算法ECDSA等. 基于椭圆曲线的公 钥密码算法还有中国的SM2, 俄罗斯的数字签名标准 GOST R 34.10-2001算法等. 下面仅介绍椭圆曲线上的 ElGamal密码算法.
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7.4 在密码学中的应用