(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(含答案解析)(2)

一、选择题
1．数学归纳法证明
*1111
(1,)n 1n 2
n 2
n n N n +++
>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ）
A ．
1
22
k +
B ．1
21
k + C ．
11+2122++k k D ．11
2k 12k 2
++－ 2．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
3．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1
c a
+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个大于2
4．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中
正六边形的个数是()f n .
由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A ．271
B ．272
C ．273
D ．274
5．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立
D ．当9n =时该命题成立
6．在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有
3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ）
A ．3++=m n p r b b b b
B ．3
++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b b
D ．3
m n p r b b b b =
7．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为
A ．528
B ．1032
C ．1040
D ．2064
8．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了
C ．甲被录用了
D ．无法确定谁被录用
了
9．圆有6条弦，两两相交，这6条弦将圆最多分割成( )个部分 A ．16 B ．21 C ．22 D ．23
10．用反证法证明“自然数,,a b c 中至多有一个偶数”时，假设原命题不成立，等价于( ) A ．,,a b c 没有偶数 B ．,,a b c 恰好有一个偶数 C ．,,a b c 中至少有一个偶数
D ．,,a b c 中至少有两个偶数
11．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队
C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队
D ．任意顺序排队接水的总时间都不变
12．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（ ） A ．丁
B ．乙
C ．丙
D ．甲
二、填空题
13．已知1111
()123
2f n n n n n
=
++++
+++，则()(1)f k f k +=+_________. 14．某同学在解决一道数学题时发现
01212323434234345445567
----222222222222====，，，，，依此规律可以求得112
n
k k k =+∑关于n 的最简表达式为__________．
15．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆周长为1C ，外接圆周长为2C ，
则
121
2
C C =.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABC
D 的内切球表面积为1S ，
外接球表面积为2S
，则
1
2
S S =__________． 16．观察下列各式：(1) 2()2x x '=，(2) 43()4x x '=，(3) (cos )sin x x '=-，……
，根据以上事
实，由归纳推理可得：若定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()g x ，则(0)g =____. 17．将自然数1，2，3，4，…排成数阵（如右图所示），在2处转第一个弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，…，则转第100个弯处的数是______．
18．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束，……，)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中的三角垛倒数第二层茭草总束数为______．
19．在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行： 设实系数一元二次方程2
2100a x a x a ++=……①
在复数集C 内的根为1x ，2x ，则方程①可变形为()()2120a x x x x --=， 展开得()2
22122120a x a x x x a x x -++=.……②
比较①②可以得到：112
20
122a x x a a x x a ⎧
+=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
类比上述方法，设实系数一元n 次方程1
1100n
n n n a x a x
a x a --++
++=（2n ≥且
*
N n ∈）在复数集C 内的根为1x ，2x ，…，n x ，则这n 个根的积1
n
i i x ==∏ __________．
20．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则
121
4
S S =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外
接球体积为2V ，则
1
2
V V =____. 三、解答题
21．已知数列{}n x 满足10x =，2
1n n n x x x c +=-++(
)n N
*
∈，104
c <≤，求证：数列{}n x 是递增数列.
22．已知数列1111
,
,,,
,
112123123n
++++++
+，其前n 项和为n S ；
（1）计算1234,,,S S S S ；
（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 23．已知数列{}n a 中，11a =，136n
n n
a a a +=
-. （1）写出234,,a a a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的结论. 24．数列{}n a 满足2(n n S n a n =-∈N *）. （1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 25．已知()()()2
012211+=+-+-n
x a a x a x ()()1++-∈n
n a x n *N .
（1）求0a 及12n n S a a a =++
+；
（2）试比较n S 与223n n -的大小，并用数学归纳法证明.
26．证明：22
3
3
3
3
(1)1234
n n n ++++⋯+=，其中*n N ∈.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
求出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】
当n k =时，左边的代数式为111
12k k k k
++⋯++++，
当1n k =+时，左边的代数式为11111
232122
k k k k k k ++⋯++++++++， 故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果为：
11111
212212122
k k k k k +-=-+++++，故选D ． 【点睛】
本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化，属于中档题.
2．C
解析：C 【详解】 由题观察可发现，
347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，
即1010123a b +=, 故选C.
考点：观察和归纳推理能力.
3．D
解析：D 【解析】
分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为111
6a b c b c a
+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315
,,2,343
a b a b ==+=<所以B 错误. 若111
,,,222
a b c <
<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.
4．A
解析：A 【分析】
观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】
由图可知，()11f =，
()212667f =+⨯-=，
()()312362619f =++⨯-⨯=， ()()212362619f =++⨯-⨯=，
()()4123463637f =+++⨯-⨯=，
…
()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=
故选A. 【点睛】
此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-
5．A
解析：A 【解析】
分析：利用互为逆否的两个命题同真同假的原来，当()P n 对n k =不成立时，则对
1n k =-也不成立，即可得到答案．
详解：由题意可知，原命题成立的逆否命题成立， 命题()P n 对8n =不成立时，则()P n 对7n =也不成立， 否则当7n =时命题成立，由已知必推得8n =也成立， 与当8n =时命题不成立矛盾，故选A ．
点睛：本题主要考查了数学归纳法以及归纳法的性质，互为逆否的两个命题同真同假的性质应用，其中正确四种命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
6．D
解析：D 【详解】
分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论.
详解：由题意，类比上述性质：在等比数列{}n b 中，
则由“如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=”，则必有“3
m n p r b b b b =”成立，故选D.
点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）.
7．B
解析：B 【解析】
第一行数字之和为1112-=；第二行数字之和为2122-=；第三行数字之和为3142-=； 第四行数字之和为4182,...-=，第n 行数字之和为12n n
a ，31041122a a ∴+=+
810241032
=+=，故选B.
【方法点睛】本题主要考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
8．C
解析：C
【分析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
【点睛】
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
9．C
解析：C
【解析】可以用归纳思想，1条弦，分圆成2个部分。

加一条弦，增加2个部分，共4部分，再加一条，增加3个部分，共7个部分，所以6条弦，共（2+2+3+4+5+6）=22个部分。

选C.
10．D
解析：D
【解析】
“至多一个”的反面是“至少2个”所以原命题等价命题是“a,b,c中至少有两个偶数
”选D.
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用
（2m+2T+t）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论
【详解】
事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要t分钟，并设拎大桶者开始接水时
已等候了m分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了
22
m t T
++ 2m+2t+T
分钟，共节省了T t- T-t
分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短．
故选B.
【点睛】
一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．
12．D
解析：D
【分析】
利用反证法，可推导出丁说的是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案.
【详解】
假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；
假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话，
这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，
故假设不成立，故乙说的是谎话；
假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话；
综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为甲
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判断，以实际问题为背景考查了逻辑推理，属于中档题.解题时正确使用反证法是解决问题的关键.
二、填空题
13．【分析】根据题意共有项且各项的分母从变到故得到的代数式再用表示【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用考查了数列的递推式解题时要认真审题仔细解答注意公式的灵活运用
解析：
111 21221 k k k
+-
+++
【分析】
根据题意()f k 共有k 项且各项的分母从1k +变到2k ，故得到()1f k +的代数式，再用
()f k 表示
【详解】
()11111232f n n n n n =+++++++， ()1111123
2f k k k k k
∴=
++++
+++ ()()()()
()
111
1
111121321f k k k k k +=
+++
+
+++++++
111112342122k k k k k =
++++
++++++()111
21221
f k k k k =++-+++ 故答案为111
21221
k k k +-+++ 【点睛】
本题主要考查了数学归纳法的应用，考查了数列的递推式，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．
14．【解析】分析：由已知中：可得：利用裂项相消法可得答案详解：由已知中：归纳可得：故故答案为：点睛：常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子
解析：3
32n
n +-. 【解析】 分析：由已知中：
01212323234345456
,,, (222222222)
=-=-=- 可得：1123
222
k k k k k k -+++=-，利用裂项相消法，可得答案. 详解：由已知中：01212323234345456
,,, (222222222)
=-=-=-， 归纳可得：
1123222
k k k k k k -+++=-. 故
01122311
1344556233 (32222222222)
k n n n k k n n n -=++++=-+-+-+-=-∑. 故答案为：3
32n
n +-
. 点睛：常见的归纳推理类型及相应方法 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．
15．【解析】分析：平面图形类比空间图形二维类比三维得到类比平面几何的结论确定正四面体的外接球和内切球的半径之比即可求得结论详解：平面几何中圆的周长与圆的半径成正比而在空间几何中球的表面积与半径的平方成正
解析：1 9
【解析】
分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.
详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的
平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是1
3
，1
2
1
9
S
S
∴=，故答案为1
9
.
点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.
16．0【解析】由（x2）=2x中原函数为偶函数导函数为奇函数；（x4）=4x3中原函数为偶函数导函数为奇函数；（cosx）=﹣sinx中原函数为偶函数导函数为奇函数；…我们可以推断偶函数的导函数为奇函数
解析：0
【解析】
由（x2）'=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
（x4）'=4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
（cosx）'=﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
…
我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．
若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），
则函数f（x）为偶函数，
又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数
故g（﹣x）+g（x）=0，即g（﹣0）=﹣g（0），g（0）=0
故答案为：0．
17．2551【解析】观察由1起每一个转弯时增加的数字可发现为11223344…即第一二个转弯时增加的数字都是1第三四个转弯时增加的数字都是2第五六个转弯时增加的数字都是3第七八个转弯时增加的数字都是4…
解析：2551
【解析】
观察由1起每一个转弯时增加的数字，
可发现为“1，1，2，2，3，3，4，4，…”，
即第一、二个转弯时增加的数字都是1，
第三、四个转弯时增加的数字都是2， 第五、六个转弯时增加的数字都是3， 第七、八个转弯时增加的数字都是4， …
故在第100个转弯处的数为：
()5015012(12350)1225512
+++++⋯+=+⨯
=.
故答案为2551.
点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
18．120【解析】试题分析：由题意第n 层茭草束数为1+2+…+n=利用1+3+6+…+=680求出n 即可得出结论解：由题意第n 层茭草束数为1+2+…+n=∴1+3+6+…+=680即为n （n+1）（2n
解析：120 【解析】
试题分析：由题意，第n 层茭草束数为1+2+…+n=，利用
1+3+6+…+
=680，求出n ，即可得出结论．
解：由题意，第n 层茭草束数为1+2+…+n=，
∴1+3+6+…+
=680，
即为[n （n+1）（2n+1）+n （n+1）]=n （n+1）（n+2）=680， 即有n （n+1）（n+2）=15×16×17， ∴n=15，∴=120．
故答案为120 考点：归纳推理．
19．【解析】计算可得：①设方程a0x+a1=0的1个根是x1则；②设方程a0x2+a1x+a2=0的2个根是x1x2则；③设方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0的3个根是x1x2x3则；④设方程a0 解析：()
1n
n
a a - 【解析】 计算可得：
①设方程a 0x +a 1=0的1个根是x 1,则1
10
a x a =-
； ②设方程a 0x 2+a 1x +a 2=0的2个根是x 1,x 2,则2
120
a x x a =
； ③设方程a 0x 3
+a 1x 2
+a 2x +a 3=0的3个根是x 1,x 2,x 3,则3
1230
a x x x a =-
； ④设方程a 0x 4
+a 1x 3
+a 2x 2
+a 3x +a 4=0的4个根是x 1,x 2,x 3,x 4,则4
12340
a x x x x a =； …
观察式子的变化规律，
发现每一个方程的一个根都可能写成规律性的式子， 是首项与尾项的分式形式，且符号是正负相间：
3
12000
,,a a a a a a -
- 依此类推,第n 个式子是()
1n
n
a a -. 点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
20．【解析】设正四面体的棱长为高为四个面的面积为内切球半径为外接球半径为则由得；由相似三角形的性质可求得所以考点：类比推理几何体的体积 解析：
127
【解析】
设正四面体ABCD 的棱长为a ，高为h ，四个面的面积为S ，内切球半径为r ，外接球半径为R ，则由11
43
3Sr Sh ⨯=
，得1144r h ===；
由相似三角形的性质，可求得R =，所以12V V =3311()().327r R ==
考点：类比推理，几何体的体积. 三、解答题
21．证明见解析. 【分析】 若1
04
c
<，要证{}n
x 是递增数列．即证n x 对任意1n 成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可． 【详解】
证明：若1
04
c <≤
，要证{}n x 是递增数列.
即2
10n n n x x x c +-=-+>，即证n x <1n ≥成立. 下面用数学归纳法证明：
当1
04
c <≤
时，n x 对任意1n ≥成立.
①当1n =时，11
02
x =<，结论成立
②假设当n k =（1k
，N k *∈）时结论成立，即k x <因为函数()2
f x x x c =-++在区间1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
内单调递增，
所以()1k k x f x f
+=<=
∴当1n k =+时，1k x +成立.
由①，②知，0n x <<1n ≥，N n *∈成立. 因此，2
1n n n n x x x c x +=-+>，即{}n x 是递增数列.
【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 22．（1）4381,,,325；（2）21
n n S n =+，证明见解析 【分析】
（1）根据已知条件，计算出1234,,,S S S S 的值；（2）由（1）猜想21
n n
S n =+，根据数学归纳法证明方法，对猜想进行证明. 【详解】
（1）计算12141,1123
S S ==+
=+， 341331232S =
+=++，4318212345
S =+=+++， （2）猜想21
n n
S n =
+. 证明：①当1n =时，左边11S ==，右边21
111
⨯=
=+，猜想成立. ②假设()
*
n k k N =∈猜想成立.
即111121*********
k k
S k k =+
++⋯+=++++++⋯++成立，
那么当1n k =+时，
()()
11
22
1231
112k k k S S k k k k k +=+
=
++++
++++++， 而()()()()()()()2
212122
1121211
k k k k k k k k k +++==+++++++， 故当1n k =+时，猜想也成立.
由①②可知，对于*n N ∈，猜想都成立. 【点睛】
本小题主要考查合情推理，考查利用数学归纳法证明和数列有关问题，属于中档题. 23．（1）235a =，313a =，4317a =，猜想321
n n a =+（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）依递推公式计算234,,a a a ，并把各分子都化为3，可归纳出n a ； （2）用数学归纳法证明即可． 【详解】
解：（1）11a =，136n n n a a a +=-，∴235a =，33193
a ==，43
17a =， 猜想3
21
n n a =
+ （2）用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，由13
121
a ==
+知猜想成立； ②假设()
*
n k k N =∈时，猜想成立，即3
21
k k a =
+ 则()()119393321362162132211621
k k k k k k k k
a a a +++=====-++-+--+ ∴1n k =+时，猜想成立，
根据①②可知，猜想对一切正整数n 都成立. 【点睛】
本题考查归纳推理，考查数学归纳法，属于基础题．在用数学归纳法证明时，在证明
1n k =+时的命题时一定要用到n k =时的归纳假设，否则不是数学归纳法． 24．（1）123437151,,,248a a a a ====，121
2
n n n a --=；（2）证明见解析.
【详解】
试题分析：（1）分别令1,2,3,4n =，可求解1234,,,a a a a 的值，即可猜想通项公式n a ；
（2）利用数学归纳法证明. 试题
（1）123437151,,,248a a a a ====，由此猜想121
2
n n n a --=；
（2）证明：当1n =时，11a =，结论成立；假设n k =（1k ≥，且k N +∈），结论成
立，即121
2
k k k a --=
当+1n k =（1k ≥，且k N +∈）时，
()11112122k k k k k k k a S S k a k a a a ++++=-=+--+=+-，即122k k a a +=+，所以1111
21
22212222
k k k k k k a a +-+--++-===，这表明当1n k =+时，结论成立， 综上所述，1212
n n n a --=()n N +
∈.
考点：数列的递推关系式及数学归纳法的证明. 25．（1）3n ，43n n -；（2）223,n n S n n N *
>-∈. 【解析】
分析：（1）令2x =，则
04n
n
i i a ==∑，1x =，则03n a =，两式做差得到结果；（2）要比较n S 与223n n -的大小，只要比较4n 与22n 的大小，接下来应用数学归纳法得到结果即可. 详解：
（1）令1x =，则03n
a =， 令2x =，则
4n
n i
i a
==∑，
所以
1
43n
n n i
i a
==-∑．
（2）要比较n S 与223n n -的大小，只要比较4n 与22n 的大小． 猜想：2*42,n n n N >∈． 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，42>,结论成立．
②假设当()
*
n k k N =∈时结论成立，即242k k >，
则当1n k =+时，(
)1
22224
444222k k k k k k +=⨯>⨯=++，
因为*k N ∈，所以22221k k k +≥+，所以()()
()2
2
2
2
2
2222121k
k k k
k k ++≥++=+
所以()2
1
4
21k k +>+，
即1n k =+时结论也成立． 由①②可知，*n N ∈时，242n n > 所以2
*
23,n
n S n n N >-∈.
点睛：本题考查了二项式展开式的系数和问题，以及数学归纳法的证明的应用，数学归纳法，注意假设n=k+1的证明过程中，一定要用到n=k 的结论. 26．证明见解析 【分析】
由等式的特点利用数学归纳法证明题中的等式即可. 【详解】
①当1n =时，左边3
11==，右边22
1214
⨯==，左边=右边，等式成立；
②假设当n k =时，等式成立，即：22
3
3
3
3
(1)1234
k k k ++++⋯+=，
当1n k =+时，左边()()223
3
3
3
3
3
(1)123114
k k k k k +=+++⋯+++=++
()
()()()2
222
1411244
k k k k k ⎡⎤+++++⎣⎦=
=， 即当1n k =+时，等式也成立，
综合①②可得22
3
3
3
3
(1)1234
n n n ++++⋯+=
. 【点睛】
1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.。