2012-2013学年度第一学期八县(市)一中期末联考【试卷解答】

2012—2013学年度第一学期八县(市)一中期末联考
高中二年 数学 (文科) 解答
考试日期： 1月25日 完卷时间：120 分钟 满分：150 分
一、 选择题：(每小题5分，共60分)
二、填空题：(每小题4分，共16分)
13． 0 14．极大值 8 ，极小值 4 15．最大值 6 ，最小值 2 16．___2n____
三、解答题：
17. （满分12分）设P ：对任意实数x 都有012
>++ax x
a 恒成立；q ：关于x 的方程
02
=+-a x x 有实数根，如果q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数a 的取值范围。

解析：
对于p:当a=0时，1>0 恒成立。

……………(1分) 当a>0 时，042
<-=∆a a
时，得,40<<a ……………(3分)
∴p 为真时，.40<≤a ……………(4分)
q 为真命题时，4
1
,041≤
∴≥-=∆a a 。

……………(7分) 因为
q p ∨为真，q p ∧为假，则q p ,一真一假。

当假时真q p ;4414
1
,
4a 0<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧><≤a a ……………(9分) 当真时假q p ;04
1
,
40a <⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≥<a a a 或……………(11分) .44
1
0<<<∴a a a 或的取值范围为……………(12分)
18. （本题满分12分）过点P(0,1)的直线与双曲线13
2
2
=-y
x 有且仅有一个公共点，求
直线l 的方程。

解析：
(1) 当l 过点P(0,1)且与渐近线平行时，即为所求。

∵双曲线13
2
2
=-y
x 的渐近线：x y 3±=，……………(2分)
∴
l
的斜率3±=k ，则所求满足条件
l
为)0(31-±=-x y 即
13+±=x y 。

……………(5分)
（2）设过点P(0,1)且与双曲线13
2
2
=-y
x 相切的直线为1+=kx y ……………(6
分)
联立⎩⎨
⎧=-+=3
31
2
2
y x kx y 消y 得：042)3(22=---kx x k 。

……………(7分)
当032≠-k 时，0)4)(3(4422=---=∆k k 。

2±=⇒k 。

……………(10分)
l ⇒方程：12+±=x y 。

……………(11分)
综上满足条件的直线方程为13+±=x y 和12+±=x y 。

……………(12分)
19.（本题满分12分）设以P(2,2)为圆心的圆与椭圆122
2
=+y x 交于A 、B 两点，如图3
所示，求线段AB 中点M 的轨迹方程。

解析：将P(2,2)带入椭圆方程，得：1222
22
>⨯+ ∴点P 在椭圆外 ……………(1分)
设),(y x M 连MP 则2
2
--=x y K mp ……………(3分)
设),(),,(2211y x B y x A
则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+121222
2
2212
1y x y x 两相减，0)(2)(22212221=-+-y y x x
0))((2))((21212121=-++-+y y y y x x x x ……………(5分)
∵y y y x x x 222121=+=+
……………(6分)
∴x x y y y x
y y x x x 2
121212120)(4)(2--=-
⇒=-+- ……………(7分)
又∵AB 垂直于PM ，∴
12
2
2121-=--⋅--x y x x y y ……………(9分)
∴
242
22=--⇒--=x xy y y x y x ……………(11分)
则所求的点M 的轨迹方程是：)11(024≤≤-=--x x xy y ……………(12分)
20.（本题满分12分）已知二次函数)(x f 满足：①在X=1时有极值；②图像过点（0，-3）
且在该点处的切线与直线02=+y x 平行。

（1） 求
)(x f 的解析式；
（2） 求函数)1()(+=x f x g 的单调递增区间； 解析：
（1） 设c bx x a x f ++=2)(，……………(1分) 则b ax x f +=2)('. ……………(2分)
由题设可得⎪⎩
⎪⎨⎧-=-==+⎪⎩⎪⎨⎧-=-==,3,
2,
02,3)0(,2)0(',0)1('c b b a f f f 即 ……………(5分) 解得：⎪⎩
⎪⎨⎧-=-==.3,2,
1c b a ……………(6分)
所以32)(2--=x x x f . ……………(9分)
(2) 43)1(2)1()1()(22
-=-+-+=+=x x x x f x g . ……………(10分) 令02)('>=x x g ,得0>x . ……………(11分) 故)(x g 的单调递增区间为），（∞+0。

……………(12分) 21.（本题满分12分）已知函数e k x x f x )()(-=
（1）求)(x f 的单调区间；
（2）求)(x f 在区间[0,1]上的最小值；
解析：
（1）,)1()('e k x x f x +-=……………(2分) 令0)('=x f ，得1-=k x ， ……………(4分)
)(')(x f x f 与的变化情况如下表：
∴)(x f 的单调递减区间是)1,(--∞k ；单调递增区间是),1(+∞-k ……………(6分)
（2） 当01≤-k ，即1≤k
时，函数)(x f 在[0,1]上单调递增，
∴)(x f 在区间[0,1]上的最小值为k f -=)0(；……………(8分)
当110<-<k ，即21<<k 时，由（1）知)(x f 在)1,0[-k 上单调递减，在]1,1(-k 上单
调递增，
∴)(x f 在区间[0,1]上的最小值为e k f k 1)1(--=-， ……………(10分) 当11≥-k ，即2≥k
时，函数)(x f 在[0,1]上单调递减，
∴)(x f 在区间[0,1]上的最小值为e k f )1()1(-=。

……………(12分)
22.（本题满分14分）已知抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上，过M(2,0)作直线l 与抛物线相交于AB 两点，且满足)2,5(=+
（1）求直线l 方程 （2）求抛物线方程
（3）当抛物线上一动点P 从A 向B 运动时，求ABP ∆面积的最大值。

解析：
（1）设⇒⎪⎭
⎪⎬⎫=+)2,5(),(),,(2211y x B y x A 25212
1=+=+y y x x ……………(1分)
则弦AB 中点)1,2
5
(N 中 ……………(2分)
又M(2,0)在弦AB 上，∴由两点式l AB 方程：
222
50
1)2(0=--=
-=-k x k y 即：l AB ：42-=x y ……………(4分)
（2）设抛物线方程px y 22
=联立⎩⎨⎧=-=px
y x y 24
22
消x 得：
042
=--p py y
221==+p y y ∴所求的抛物线的方程为：x y 42
= ……………(6分)
（3）联立42
082442212
2
=-=⇒=--⇒⎩⎨
⎧=-=y y y y x
y x y
45||1)1
(||212=-+=y y k
AB ……………(8分)
设),(00y x P ，则x y 02
04=
5
|
42|00--=
-y x d p
l ……………(9分)
∴|82|4
32
|42|35
|42|452
1||2
102
00000--=--=--⋅==-∆y y y x y x d AB S p l ABP
………(10分)
∵420≤≤-y ……………(11分) 当10=y 时，9|82|
max 02
0=--y y ……………(13分)
∴S ABP ∆的最大值为4
27
……………(14分) 方法二：
210022422
2
==∆⇒=+-⇒⎩⎨⎧=+=b b y y x
y b x y ……………(9分) l 切：2
1
2+=x y ……………(10分)
两平行线间的距离：5
2954
21=+=d ……………(12分) 4275
294521max =⨯
⨯=S ……………(14分)
方法三：
22)'82()(002
00-=--=y y y y f ……………(11分)
令：]2,2[10
2200-∈=⇒=-y y ……………(12分)
10=y 是极小点也是最小值点
∴9|82|max 02
0=--y y ……………(13分)
∴4
27max =
S ……………(14分)。