高中数学 第一章立体几何初步 1.6.2 垂直关系的性质练习 北师大版必修2

6.2 垂直关系的性质
A组
1.若直线a⊥平面α,b∥α,则a与b的关系是()
A.a⊥b,且a与b相交
B.a⊥b,且a与b不相交
C.a⊥b
D.a与b不一定垂直
解析:a与b垂直,但可能相交,也可能异面.
答案:C
2.已知直线l垂直于△ABC的两边AB,AC,直线m垂直于△ABC的两边BC,BA,则直线l,m的位置关系是()
A.异面
B.平行
C.相交
D.不确定
解析:由已知得l与m均垂直于平面ABC,它们必平行.
答案:B
3.导学号62180051设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线a⫋α,直线b⫋β,且a不与l垂直,b 不与l垂直,那么a与b()
A.可能垂直,不可能平行
B.可能平行,不可能垂直
C.可能垂直,也可能平行
D.不可能垂直,也不可能平行
解析:当a,b都平行于l时,a与b平行.假设a与b垂直,如图所示,由于b与l不垂直,在b上任取一点A,过点A作b'⊥l.
∵平面α⊥平面β,∴b'⊥平面α,∴b'⊥a,
又由假设a⊥b易知a⊥平面β,从而a⊥l,
这与已知a不与l垂直矛盾,故假设不正确,即a与b不可能垂直.
答案:B
4.以等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线CD为棱,将△ABC折叠,使平面ACD⊥平面BCD,则AC与BC的夹角为()
A.30°
B.60°
C.90°
D.不确定
解析:如图所示,令CD=AD=BD=1,
则AC=BC=.
∵平面ACD⊥平面BCD,AD⊥CD,且平面ACD∩平面BCD=CD,
∴AD⊥BD,∴AB=,∴∠ACB=60°.
答案:B
5.下列命题中错误的是()
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析:若平面α⊥平面β,则在平面α内与面的交线不相交的直线平行于平面β,故A正确;若α内存在直线垂直于平面β,则α⊥β,与题设矛盾,所以B正确;由面面垂直的性质知选项C正确.
故选D.
答案:D
6.如图所示,已知▱ADEF的边AF⊥平面ABCD,若AF=2,CD=3,则CE=.
解析:∵AF⊥平面ABCD,AF∥DE,
∴DE⊥平面ABCD,CD⫋平面ABCD.
∴DE⊥CD.
∵DE=AF=2,CD=3,
∴CE=.
答案:
7.已知直线m,n与平面α与β,若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则直线m,n的位置关系
是.
解析:由α⊥β,n⊥β,得n⫋α或n∥α,又m∥α,所以直线m,n的位置关系为相交、平行或异面.答案:相交、平行或异面
8.如图所示,平面ABC⊥平面BDC,∠BAC=∠BDC=90°,且AB=AC=2,则AD=.
解析:如图所示,取BC的中点E,连接ED,AE.
∵AB=AC,∴AE⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BDC,
∴AE⊥平面BDC,∴AE⊥ED.
在Rt△ABC和Rt△BCD中,AE=ED=BC=,
∴在Rt△AED中,AD==2.
答案:2
9.导学号62180052
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:(1)EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明:(1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.
又EF⊈平面PCD,PD⫋平面PCD,
所以EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,
所以△ABD为等边三角形.因为F是AD的中点,
所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⫋平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.
又BF⫋平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.
B组
1.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是()
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆但要去掉两个点
解析:平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⫋平面PAC.
且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.
又BC⫋平面PBC,所以AC⊥BC,动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A,B两点.
答案:D
2.导学号62180053在三棱锥A-BCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形,那么必有()
A.平面ABD⊥平面ADC
B.平面ABD⊥平面ABC
C.平面ADC⊥平面BCD
D.平面ABC⊥平面BCD
解析:因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,
所以AD⊥平面BCD.
又AD⫋平面ADC,所以平面ADC⊥平面BCD.
答案:C
3.
如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小()
A.变大
B.变小
C.不变
D.有时变大,有时变小
解析:∵l⊥平面ABC,∴BC⊥l,∵BC⊥CA,AC∩l=A,∴BC⊥平面ACP,∴BC⊥CP,即∠PCB=90°.
答案:C
4.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α与β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:.
解析:利用面面垂直的判定,可知①③④⇒②为真;利用面面垂直的性质,可知②③④⇒①为真.
答案:若①③④,则②(或若②③④,则①)
5.已知平面α⊥平面β,在α,β的交线上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α和β内,它们都垂直于AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,则CD的长为 cm.
解析:如图所示,连接AD,CD.
在Rt△ABD中,AB=4,BD=12,
∴AD==4(cm).
又α⊥β,CA⊥AB,CA⫋α,
∴CA⊥β,CA⊥AD.∴△CAD为直角三角形.
∴CD==13(cm).
答案:13
6.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别为CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明:(1)∵平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,∴PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
∴AB∥DE,且AB=DE.
∴四边形ABED为平行四边形,
∴BE∥AD,
又∵BE⊈平面PAD,AD⫋平面PAD,
(3)∵AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,
∴BE⊥CD,AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD,
又∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.
∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点,
∴PD∥EF,∴CD⊥EF,
又∵BE∩EF=E,∴CD⊥平面BEF.
又∵CD⫋平面PCD,
∴平面BEF⊥平面PCD.
7.
已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且=λ(0<λ<1).
(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
(1)证明:∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC,且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
∵=λ(0<λ<1),
∴不论λ为何值,恒有EF∥CD.
又EF⫋平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解:由(1)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,
∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,
∴BD=,AB=tan 60°=,
∴AC=.
由AB2=AE·AC,得AE=,
∴λ=,
故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD.
8.
导学号62180054如图所示,在四棱锥P-ABCD中,G为AD的中点,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;
(2)求证:AD⊥PB;
(3)若E为BC的中点,能否在棱PC上找一点F,使得平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.
(1)证明:∵在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
(2)证明:如图所示,连接PG,
则PG⊥AD,由(1)得BG⊥AD,
又PG∩BG=G,BG⫋平面PBG,PG⫋平面PBG,
∴AD⊥平面PBG.
∵PB⫋平面PBG,
∴AD⊥PB.
(3)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下:
取PC的中点F,连接DE,EF,DF,
则在△PBC中,EF为中位线,则EF∥PB.
∵EF⫋平面DEF,PB⊈平面DEF,
∴PB∥平面DEF.
在菱形ABCD中易得GB∥DE.
∵DE⫋平面DEF,BG⊈平面DEF,
∴BG∥平面DEF.
∵PB∩GB=B,
∴平面DEF∥平面PGB.
又侧面PAD为正三角形,G为AD的中点,
∴PG⊥AD.
又侧面PAD所在平面垂直于底面ABCD, ∴PG⊥平面ABCD,而PG⫋平面PGB,
∴平面PGB⊥平面ABCD.
故平面DEF⊥平面ABCD.。