相似

2011三角形判定和性质9. 已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，BC ＝2AD ，E 是BC 的中点，连接AE ．AC ．（1）点F 是DC 上一点，连接EF ，交AC 于点O （如图1），求证：△AOE ∽△COF ；（2）若点F 是DC 的中点，连接BD ，交AE 与点G （如图2），求证：四边形EFDG 是菱形．解答：（1）证明：∵点E 是BC 的中点，BC ＝2AD ，∴EC ＝BE ＝21BC ＝AD ， 又∵AD ∥DC ，∴四边形AECD 为平行四边形，∴AE ∥DC ，∴∠AEO ＝∠CFO ，∠EAO ＝∠FCO ，∴△AOE ∽△COF ；（2）证明：连接DE ，∵DE 平行且等于BE ，∴四边形ABED 是平行四边形，又∠ABE ＝90°，∴□ABED 是矩形，∴GE ＝GA ＝GB ＝GD ＝21BD ＝21AE ， ∴E ．F 分别是BC ．CD 的中点，∴EF ．GE 是△CBD 的两条中线，∴EF ＝21BD ＝GD ，GE ＝21CD ＝DF ， 又GE ＝GD ，∴EF ＝GD ＝GE ＝DF ，∴四边形EFDG 是菱形．11. （2011四川眉山，25，9分）如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线于F ．（1）求证：∠DCP=∠DAP；（2）若AB=2，DP ：PB=1：2，且PA⊥BF，求对角线BD 的长．解答：（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，∴△CDP≌△ADP，∴∠DCP=∠DAP；（2）解：∵四边形ABCD 为菱形，∴CD∥BA，CD=BA ，∴△CPD∽△FPB， ∴PF CP BF CD PB DP ===21， ∴CD=21BF ，CP=21PF ， ∴A 为BF 的中点，又∵PA⊥BF，∴PB=PF，由（1）可知，PA=CP ， ∴PA=21PB ，在Rt△PAB 中，222)21(2PB PB += 解得PB=334， 则PD=332， ∴BD=PB+PD=23．24. ）如图1，在等边△ABC 中，点D 是边AC 的中点，点P 是线段DC 上的动点（点P 与点C 不重合），连接BP ．将△ABP 绕点P 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A 1B 1P ，连接AA 1，射线AA 1分别交射线PB、射线B 1B 于点E 、F ．（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF 与△AEP 始终存在 关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP ＝β．当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF 与△AEP 全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当α＝60°时，点E 、F 与点B 重合．已知AB ＝4，设DP ＝x ，△A 1BB 1的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式．解答：解：（1）相似（1分）由题意得：∠APA 1＝∠BPB 1＝α，AP ＝A 1P ，BP ＝B 1P ，则∠PAA 1＝∠PBB 1＝2180α-︒＝90°－2α，（2分） ∵∠PBB 1＝∠EBF ，∴∠PAE ＝∠EBF ，又∵∠BEF ＝∠AEP ，∴△BEF ∽△AEP ；（3分）（2）存在，理由如下：（4分）易得：△BEF ∽△AEP ，若要使得△BEF ≌△AEP ，只需要满足BE ＝AE 即可，（5分）∴∠BAE ＝∠ABE ，∵∠BAC ＝60°，∴∠BAE ＝60°－（90°－2α）＝2α－30°，∵∠ABE ＝β，∠BAE ＝∠ABE ，（6分） ∴2α－30°＝β，即α＝2β＋60°；（7分）（3）连接BD ，交A 1B 1于点G ，过点A 1作A 1H ⊥AC 于点H ．∵∠B 1A 1P ＝∠A 1PA ＝60°，∴A 1B 1∥AC ，由题意得：AP ＝A 1P ，∠A ＝60°，∴△PAA 1是等边三角形，∴A 1H ＝23（2＋x ），（8分）在Rt△ABD 中，BD ＝23，∴BG ＝23－23（2＋x ）＝3－23x ，（9分）∴S △A 1BB 1＝21×4×（3－23x ）＝23－3x （0≤x ＜2）．（10分） 27. (2011襄阳，25，10分)如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ，B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF ．（1）求证：∠ADP ＝∠EPB ；（2）求∠CBE 的度数；（3）当ABAP 的值等于多少时，△PFD ∽△BFP ？并说明理由．解答：证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形．∴∠A ＝∠PBC ＝90°，AB ＝AD ，∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，∵∠DPE ＝90°，∴∠APD ＋∠EPB ＝90°，∴∠ADP ＝∠EPB ；（2）过点E 作EG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，则∠EGP ＝∠A ＝90°，又∵∠ADP ＝∠EPB ，PD ＝PE ，∴△PAD ≌△EGP ，∴EG ＝AP ，AD ＝AB ＝PG ，∴AP ＝EG ＝BG ，∴∠CBE ＝∠EBG ＝45°；（3）当AB AP ＝21时，△PFD ∽△BFP ， 设AD ＝AB ＝a ，则AP ＝PB ＝21a ， ∴BF ＝BP •AD AP ＝41a ． ∴PD ＝22AP AD +＝25a ，PF ＝22BF PB +＝45a ，∴PF BF PD PB ＝55 又∠DPF ＝∠PBF ＝90°，∴△PFD ∽△BFP ．28. （2011湖北武汉，24，10分）（1）如图1，在△ABC 中，点D ．E ．Q 分别在ABACBC 上，且DE ∥边长，AQ 交DE 于点P ，求证：DP BQ =PE QC； （2）如图，△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点． ①如图2，若AB =AC =1，直接写出MN 的长；②如图3，求证：MN 2=DM •EN ．解答：（1）证明：在△ABQ 和△ADP 中，∵DP ∥BQ ，∴△ADP ∽△ABQ ， ∴DP BQ =PE QC， 同理在△ACQ 和△ADP 中，PE QC =AP AQ， ∴DP BQ =PE QC；（2； （3）证明：∵∠B +∠C =90°∠CEF +∠C =90°，∴∠B =∠CEF ，又∵∠BGD =∠EFC ，∴△BGD∽△EFC，∴DGCF=BGEF，∴DG•EF=CF•BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF•BG，由（1）得DMBG=MNBF=ENCF，∴（MNGF）2=MNBF•ENCF=DMBG•ENCF，∵BG=GF=C，2）证明：∵∴∠FAG ∥∠C ，∵∠CFE=∠CEF ，∴∠AGF=∠CFE ，∴AF=AG ，∵∠BAD=∠C ，∴∠BAF=∠DAG ，△ABF ≌△ADG ，∴FB=DG ，∴FD+DG=BD ，故答案为：BD ．31. （2011福建莆田，25，14分）已知菱形ABCD 的边长为1，∠ADC=60º，等边△AEF 两边分别交DC 、CB 于点E 、F 。

（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是DC 、CB 的中点，求证菱形ABCD 对角母AC 、BD 的交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为点P 。

①（4分）猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②（5分）拓展运用：如图3，猜想△AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ，交边DC 的延长线于点N ，试判断11DM DN是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。

解答：（1）证明：如图1，分别连接OE 、0F ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BD 平分∠ADC ．AO=DC=BC ，∴∠COD =∠COB =∠AOD =90°．∠ADO = ∠ADC = ×60°=30°， 又∵E 、F 分别为DC 、CB 中点，∴OE = CD ，OF = BC ，AO = AD ，∴0E=OF =OA ，∴点O 即为△AE F 的外心．（2）①猜想：外心P 一定落在直线DB 上．AB CD 第25题 图1 O F E证明：如图2，分别连接PE 、PA ，过点P 分别作PI ⊥CD 于I ，PJ ⊥AD 于J ， ∴∠PIE =∠PJD =90°，∵∠ADC=60°，∴∠IP J=360°-∠PIE -∠PJD -∠JDI =120°，∵点P 是等边△AEF 的外心，∴∠EPA =120°，PE =PA ，∴∠I PJ =∠EPA ，∴∠IPE =∠JPA ，∴△P IE ≌△PJA ，∴PI =PJ ，∴点P 在∠ADC 的平分线上，即点P 落在直线DB 上．② 为定值2．当AE ⊥DC 时．△AEF 面积最小，此时点E 、F 分别为DC 、CB 中点．连接BD 、AC 交于点P ，由（1）可得点P 即为△AEF 的外心．如图3．设MN 交BC 于点G ，设DM =x ，DN =y （x ≠0．y ≠O ），则CN=y -1，∵BC ∥DA ，∴△GBP ∽△MDP ．∴BG =DM =x ．∴CG =1-x∵BC ∥DA ，∴△GBP ∽△NDM ，∴ ，∴ ，∴x +y =2xy ，∴ + =2，即 =2图形的相似第25题 图2J第25题 图3BM（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。

重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。

请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O 是△ABC 的重心（如图1），连结AO 并延长交BC 于D ，证明：23AO AD =；（2）若AD 是△ABC 的一条中线（如图2），O 是AD 上一点，且满足23AO AD =，试判断O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O 是△ABC 的重心，过O 的一条直线分别与AB 、AC 相交于G 、H （均不与△ABC 的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，试探究BCHG AGHS S四边形的最大值。