第五章相似理论与结构模型试验
流体力学第五章 量纲分析和相似理论
第五章 量纲分析与相似原理
5.2 量纲分析与П定理
2. П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物理
学家布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
若某一物理过程包含 n 个物理量，即：
f(q1 ， q 2，q 3, ……, q n )＝0
其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由 n个物理量构成的 n-m 个无 量纲的关系表达式来描述。即：
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1. 物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性。
2. 物理量的单位：物理量的度量标准。
基本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无 任何联系且相互独立的量纲作为基本量纲，可由基本量 导出的量纲为导出量纲。
SI制中的基本量纲：
dim m = M , dim l = L , dim t = T ，dim θ=Θ
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）
物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同 一方程中各项的量纲必须相同。
用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，
这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲
1. 客观性 2. 不受运动规模的影响 3. 可以进行超越函数运算
整理课件
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
2. 量纲一的量(无量纲量)
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
diB m M 2L 2T 2 diA m M 1L 1T1 diC m M 3L 3T 3
第五章 相似原理与量纲分析
例：长度比为1/50的船舶模型，在水池中以1m/s的 速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（1） 原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度； （3）原型中需要的功率？
第三节 流动相似条动，它们都应为相同 的微分方程组所描述。 2、单值条件（几何条件、边界条件、物性条件、初 始条件）相同或相似； 3、由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。
边界条件：包含几何、运动和动力三个方面的因素。 例如固体边界上的法线流速为零，自由液 面上的压强为大气压强等 。
流动相似的含义： 1、几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；
2、动力相似是决定两个液流运动相似的主导因素；
3、运动相似是几何相似和动力相似的表现； 4、凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似 和动力相似的流动。
例：有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通 过的流量为0.18m3/s ，现用水来作模型试验，当模型 管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度 为 0.13cm2/s），问水的模型流量应为多少时才能达 到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm， 试求在5m长输油管两端的压差应为多少（用油柱高 表示）？
M F l kM k F kl k kl3kv2 M Fl
p Fp A k F kp k kv2 p Fp A k A
功率比例尺 动力粘度比例尺
kP
P F v k F kv k kl2 kv3 P Fv k k k k kl kv
例1：当通过油池底部的管道向外输油时，如果池内 油深太小，会形成大于油面的漩涡，并将空气吸入 输油管。为了防止这种现象，需通过模型实验确定 油面开始出现漩涡的最小油深hmin。已知输油管内 径d=250mm，qV=0.14m3/s，运动黏度ν=7.5x10-5m/s。 倘若选取的长度比例尺kl=1/5，为了保证流动相似， 模型输出管的内径、模型内液体的流量和运动黏度 应等于多少？在模型上测得h'min=60mm，油池的最 小深度hmin应等于多少？
相似理论与结构模型试验
一、相似理论与结构模型试验相似理论主要应用于指导模型试验，确定“模型”与“原型”的相似程度、等级等。
随着计算机技术的进步，相似理论不但成为物理模型试验的理论而继续存在，而且进一步扩大应用范围和领域，成为计算机“仿真”等领域指导性理论。
相似理论是说明自然界和工程中各相似现象相似原理的学说。
在结构模型试验研究中，只有模型和原型保持相似，才能由模型试验结果推算出原型结构的相应结果。
结构模型中的“相似”主要是指原型结构和模型结构的主要物理量相同或成比例。
常需要满足的相似条件有：几何相似、质量相似、荷载相似、物理相似、时间相似和边界初始条件相似。
1.几何相似模型与原结构之间所对应部分的尺寸成比例，模型比例即为几何相似常数。
S l=l ml p =b mb p=ℎmℎp式中：S l——几何相似常数；l、b、ℎ——结构的长、宽、高三个方向的线性尺寸；m、p——分别代表模型和原型。
对一矩形截面，模型和原型结构的面积相似常数、截面抵抗矩相似常数和惯性矩相似常数分别为：S A=A mA p =ℎm·b mℎp·b p=S l2式中：S A——面积相似常数。
S w=W mW p =16b m·ℎm216b p·ℎp2=S l3式中：S w——截面抵抗矩相似常数。
S I=I mI p =112b m·ℎm3112b p·ℎp3=S l4式中：S I——惯性矩相似常数相似常数。
2.质量相似要求模型与原型结构对应部分质量成比例，质量之比称为质量相似常数。
S m=m mm p式中：S m——质量相似常数。
对于具有分布质量部分，用质量密度ρ表示。
Sρ=S mS V =S mS l3式中：Sρ——质量密度相似常数。
3.荷载相似要求模型与原型在各对应点所受的荷载方向一致，大小成比例。
S p=P mP p =A m·σmA p·σp=Sσ·S l2式中：S p——集中荷载相似常数。
相似理论与模型试验
Page
7
④ 模型试验能预测尚未建造出来的实物对象或根本不 能直接研究的实物对象的性能。 ⑤当其它各种分析方法不可能采用时，模型试验就成了 现象相似性问题唯一的和更为重要的研究手段。 目前，相似理论和模型试验方法已用于物理、化学、工 程结构、热力学、气象、航天等各个领域，并有着广泛的应用 前景。
Page
Page
2
但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较大的局限性， 在于它常常只能得出个别量之间的规律性关系，难以发现或抓 住现象的全部本质，从而无法向实验条件范围以外的同类现象 推广。 但通过人们长期实践、总结，一种用于指导自然规律研究 的全新理论——“相似理论”，便应运而生了。它是把数学解 析法和试验法的优点结合起来，用来研究和解决生产和工程中 的问题。这是科学研究的主要方法之一，也是解决生产和工程 问题的一种有效方法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。
相似理论与模型实验
授课对象：研究生 授课教师：严仁军 二О一四年十月
引 言
1.人们对自然规律的不倦探索
在古代，人们以初等数学为工具从量的方面来探索自然界 的规律性。但初等数学以研究常量为主，只能研究事物在静 止状态下的规律性，这就大大限制了它在客观世界中被利用 的范围。 高等数学的出现，是人们认识客观世界的一个飞跃，也是 探索自然规律的一种有力工具。但自然界的现象毕竟是错综 复杂的。有许多实际问题至今靠高等数学尚不能全部解决或 根本无法解决，于是逼使人们不得不走直接实验的道路。
8
一、物理模拟和数学模拟
物理模拟——是指基本现象相同情况下的模拟。 这时模型与原型的所有物理量相同，物理本质一致。 区别只在于各物理量的大小比例不同。因此，物理模拟也可说 成是保持物理本质一致的模拟。 （两个现象物理量及其性质相同，只有大小不同）。
流体力学(相似原理与)
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界 上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等 。
五、流动相似的含义
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流 动。
1 v l
小，失去了模型实验的价值。
v l
显然，要同时满足以上两个条件，则
l 1
,即模型不能缩
从上述分析可见，一般情况下同时满足两个或两个以上作用力
相似是难以实现的。
二、模型设计
模型设计首先定出长度比尺 ，再以选定的比尺 l 小（或放大）原型的几何尺度，得出模型流动的几何边界。 通常，模型和原型采用同一种类流体，则 1 ，然后按 所选用的相似准则确定相应的速度比尺，再按下式计算出模型流的
二、佛汝德准则
作用在流体上的力主要是重力。即：重力
重力比尺
G V g p p p p 3 G g l G V g m mm m
G = mg = ρVg
由于作用力F中仅考虑重力G，因而 F = G，即λf = λG 于是
2 2 3 l v g l
模型流量为
Q p
因为
Q m
vpA p v mA m
2 l
vp v m
所以
Q v . 3 ( 90 4 . 3 ) 8 . 2 0 . 325 3 p m 2 Q 0 . 091 ( m / s ) m 2 2 v 50 2 . 3 l p
相似理论和模型试验的结构动响应分析运用
相似理论和模型试验的结构动响应分析运用
陈喆;陈国平
【期刊名称】《振动、测试与诊断》
【年(卷),期】2014(034)006
【摘要】主要讨论了相似理论在结构动力学模型试验中的实际应用问题,目的在于研究如何通过相似理论和缩比模型试验的结果准确预估实际结构的动力学特性.首先,在考虑实际工程试验条件前提下,给定几何参数和物理参数的相似比数,根据相似理论和有限元法推导出非等比缩放的缩比模型和实际模型之间固有振动、频域响应和时域响应之间的相似性关系;然后,通过薄板结构的振动试验来验证这种相似关系的准确性和工程应用价值.通过理论推导和试验证明,根据缩比模型动力学试验结果,运用所推导的动力学相似关系可以准确预估实际结构的动力学特性.
【总页数】6页(P995-1000)
【作者】陈喆;陈国平
【作者单位】南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室南
京,210016;南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室南京,210016【正文语种】中文
【中图分类】O327;TH113
【相关文献】
1.土-桩-结构振动台模型试验相似理论及其实施 [J], 姜忻良;徐炳伟;李竹
2.基于振动台模型试验的二元结构边坡地震动力响应研究 [J], 关振长;廖重辉;龚振
峰;黄宏伟
3.混凝土结构模型试验的相似理论研究 [J], 李树山;解伟
4.相似理论在水下复杂结构体的模型试验中的应用 [J], 王三德;杨德森
5.结构动力模型试验相似理论及其验证 [J], 迟世春;林少书
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
相似理论
▪ （1）理论基础：量纲齐次方程的数学理论，相似第二定律（即π定理）
▪
•
可以不局限于已知物理方程的物理现象，尤其对于一些机理尚未 弄清及规律还未充分掌握的复杂现象尤为明显；
可以通过相似实验核定所选参数的正确性，从而不断为善实验； 应用范围广，只要方程分析法能用，量纲分析法也能用，而方程 分析法不能用时，量纲分析法也能使用。 很难控制无量纲的量； 考虑不了现象中的单值条件； 不能区别量纲相同，但在方程中却有着不同物理意义的量纲； 量纲分析法并没有体现所研究对象的本质问题，从而导致有时获得 的相似判据不易显示其真正的物理意义。
相似理论与结构模型试验
姓名：张朋 学号：2017200253 专业：建筑与土木工程
目录：
▪ 1.相似概述与模型试验
▪ 2.相似分类及相似定理
▪ 3.相似条件的推导 ▪ 4.总结
1.相似概述与模型试验
▪ 相似：从我们初中学习的相似三角形这一概念出发，进行类比，在 许多现实世界的一些物理现象也可以实现相似，即各种物理量的相 似（如：时间，力，速度，加速度等），从而由现象相似简化到参 数相似。 ▪ 模型试验：是根据实体与原型之间相关联的相似要求设计而得的， 利用模型研究实体是一次认识论的飞跃，模型试验直观、有效的特 点始终是各类科研项目必选的研究方法之一，无论在传统的数学、 物理、化学学科，还是生物医药、航空航天、土木建筑等学科中都 起到了至关重要的作用。但模型不能完全反映实体的各个特征，必 须在实践中不断的摸索与改进，使之能更精确的描述实体。所以模 型试验在科学研究和技术革新等方面还需要更多完善。
谢谢大家观看！！！
▪ 分别以a=1,带入公式（2.68） b=1, c=1, 列出π矩阵：
3.相似条件的推导
第五章模型试验
第五章模型试验5.1概述结构试验模型，是仿照原型（真实结构）并按照一定比例关系复制而成，它具有原型的全部或部分特征。
通过对模型的试验，可以得到与原型相似的工作情况，从而可以对原型的结构性能进行了解和研究。
模型试验的主要问题是如何设计模型。
为了使模型试验的结果能与原型联系起来，进行模型设计时必须遵循一定的规律，即应根据相似理论来设计模型。
相似理论是研究相似现象性质和鉴别相似现象的一门科学，它提供了确定相似判据的方法，是指导模型试验、整理试验结果并把这些试验结果推广到原型上去的理论。
(1)为验证一种新的理论，这种试验有时不可能在真实结构上进行（例如破坏性试验或地震反应试验），或不宜在真实结构上进行（例如要求改变某些参数、研究不同条件下某一因素的影响），这时需要模型试验。
(2)为检验设计或提供设计依据，设计比较复杂的结构或新型结构时，往往对计算结果没有把握，必须依靠模型试验来判断所设计结构物的性能。
并把试验结果应用到该设计中去。
5.2相似定理1.相似第一定理—相似现象的性质几何学中的图形相似是指它们相应角的大小相等、相应点之间的距离成比例。
而两个物理现象的相似是指两个现象具有相同物理性质的变化过程，而且两个现象中对应的同名物理量之间有固定的比例常数。
结构模型试验就是根据物理现象的规律，用模型试验来模拟原型结构的实际工作情况，再根据模型试验的结果来反推原型结构的某些特性下面通过分析两个质点系的动力相似，说明相似第一定理的内容两个质点系的质量为：m1，m2, …,m i，…m nM1，M2…，M i，…M n称 为相似判据。
相似第一定理为：相似现象的相似指标等于1，或者相似判据相等。
相似第一定理说明相似现象的基本性质，相似判据相等是两个相似现象的必要条件。
相似判据把两个相似现象中的物理量联系起来，以判别两个现象是否相似并把某一现象研究所得的结果推广应用到另一相似现象中去、2.相似第二定理－相似判据的确定相似第一定理指出了相似现象必须满足的条件—相似判据相等，相似第二定理则指出了确定相似判据的方法1)方程式分析法研究现象中的各物理量之间的关系可以用方程式表达时，可以用表达这一物理现象的方程式导出相似判据。
相似理论与模型试验
Fp=Fm/kF=1000/1=1000N
力矩M
压强p
kM
功率N
Fl m Fl p
k kl3kv2
动力粘度
kN kM kt 1 k kl 2kv3
kp
pm pp
kF kA
k kv2
k k klkv
46
Dynamic Similarity
Forces at corresponding locations on model and prototype are similar
满足了主要动力相似，抓住了解决问题 的实质。 （注意：对于Eu准数而言，在其他相似准 数作为决定性相似准数满足相等时， Eu 准数同时可以满足）
57
第三节 模型设计与数据换算
1 模型流动设计
设计模型流动,要使之成为原型流动的 相似流动，原则上要满足几何相似、运 动相似和主要动力相似。具体设计时， 首先要考虑该流动性质选择决定性相似 准数，此外还要考虑实验规模和实验室 的条件以及实验时所采用的流体是否与 原型流动中的流体相同且是否同一温度 等因素。
up vp
up um vp vm
vm um
45
三 动力相似（受力相似）
定义:两流动的对应部位上同名力矢成
同一比例。引入力比例系数 也可写成 kF kmka (k kl3)(klkt 2 )
k
kF kl
2kv
Fm Fp
2
C
力学物理量的比例系数可以表示为密度、
尺度、速度比例系数的不同
❖第一节 基本概念
❖ 1、相似 ❖ 指自然界中两个及以上现象在外在表象
及内在规律性方面的一致性。工程界常指 “模型”与“工程原型”之间的一致性。
第五章 相似理论与结构模型试验
2.2.6.边界条件和初始条件
在材料力学和弹性力学中，常用微分方程描
述结构的变形和内力，边界条件和初始条件是求 微分方程的必要条件。原型与模型采用相同组微 分方程和边界条件及初始条件描述。
2.2.6.1 边界条件
原型与模型在外界接触的区域内各种条件 保持相似。如支撑条件、约束情况、边界受力 等相似。
d 水泥砂浆
水泥砂浆被广泛地用来制作钢筋混凝土板壳等 薄壁
似，即模型与原模型结构对应部分的质量成比例 Sm=mm/mp或Sp=ρm/ρp 质量是密度与体积的乘积：
Sp=ρm vmvm/(ρpvpvp)=Sm/S3l
可见，在给定几何常数后，密度相似常数可以
由质量相似常数导出。
2.2.3.荷载相似
模型与原型在各对应点所受的荷载方向一
致，荷载大小成比例。集中荷载与力的量纲相
3.1 模型的类型分类
如按模型试验研究范围可分为：弹性模型试验、强
度模型试验。
如按试验模拟的程度分类：断面模型试验(平面)，
半整体模型，整体模型试验。
如按试验加载方法分类：静力结构模型试验，动力
结构模型试验，等等。
3、模型设计
3.2 模型几何尺寸的确定
确定几何尺寸是关键的一步，主要应考虑： a、 模型的尺寸大小要适中，可行，对于与结构 物相互作用问题，应考虑影响范围。 b、 测量手段，应考虑传感器的大小和精确度要 求。当传感器精度不够时应加大模型尺寸。 c、 试验待求量应方便、可以实施 因此，设计时应综合考虑模型类型、制作条件及试 验等，才能确定出一个最优的几何尺寸。
1.3.模型试验特点
经济性好
特点
针对性强 数据准确
1.4.模型试验适用范围
1
机械设计中相似理论与模型试验的应用研究
时 代 农 机TIMES AGRICULTURAL MACHINERY第 ４５ 卷第 ４ 期２０１８ 年 ４ 月 Ａｐｒ．２０１８ Ｖｏｌ．４５ Ｎｏ．４２０１８年第４期228机械设计中相似理论与模型试验的应用研究王 理摘 要：模型试验是现代化机械设计中的一个重要的方法手段，而相似理论则是模型试验的理论基础。
文章就将以现代化的机械设计为例，对相似理论与模型试验在其中的应用进行研究，通过对相关理论的介绍以及特定的例子来说明相似理论和模型试验在机械设计中应用的重要性。
关键词：相似理论；模型试验；机械设计(铁岭师范高等专科学校，辽宁 铁岭 112001)作者简介：王理（１９９０－），辽宁铁岭人，大学本科，助理实验师，研究方向：机械设计制造及其自动化。
１ 相似理论与模型试验（1）相似原理相似理论是对物理现象的相似条件和相似现象性质的一种论述，从20世纪开始就被广泛的运用在各类学科当中。
相似理论包含三条定理，即相似第一定理、相似第二定理与相似第三定理。
相似第一定理，任意两个相似的现象只要满足单值条件相同，就可以确定对应的相似准则的数值也相同。
这是由法国的J Bertrand 所建立的，对于单值条件条件来说，其主要包括以下因素：物理参数、系统的初始条件与几何性质等。
相似第二定理，由美国学者J Buckingham 提出，当一个现象由n 个包含k 个基本量纲的物理量所组成时，在彼此的相似现象中，相似准则只需要通过将各个物理量之间的关系方程式转化成为无量纲方程式的形式就可以自行导出。
相似第三定理，由原苏联人M B Kupnhyeb 提出，即现象的单值条件相似且由其导出的相似准则在数值上相等，则现象就相似。
（2）相似原理的特征相似原理主要存在以下几点特征：一是相似现象能为文字上完全相同的现象所描述；二是对于存在相似现象的物理量来说，其在空间对应的各点和时间上相互对应的各瞬间存在一定的比例规律。
三是各相似常数值都满足一定的自然规律，不能够任意选择。
工程流体力学-第五章
三、Π定理
对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为函数关
系， f(a1,a2, …an)=0 而这些变量含有m个基本量纲，可把这n个变量转换成为有 (n-m)=i个无量纲量的函数关系式
F(1,2, … n-m)=0
这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中的 变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或物理现 象的内在关系。
之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准
则。
量纲分析法有两种：瑞利法和π定理
瑞利法
解题步骤：首先找出影响流动的物理量，并用它们
写出假拟的指数方程； 然后以对应的量纲代替方程中的物理量本身，并 根据量纲和谐性原理求出各物理量的指数，整理 出最后形式。
例题a：自由落体运动的位移s与时间t、重力加速度g有关。 试求位移s的表达式。
实验研究 发展流体 力学理论 验证流体 力学假说 解释流 动现象 解决流体 力学问题
流体力学的研究方法中实验研究既是理论分析 的依据，同时也是检验理论的准绳，具有很重要的 作用。 本章将探讨其理论基础： 量纲分析 相似理论
直接实验法 物理规律 理论分析法 模型研究法 相似理论
从相似的概念入手，引入相似准数； 从相似原理和量纲分析出发导出相似准数的结 构； 分析实际问题与实验模型相似的条件；
[B]=MLT
4 基本量 导出量
一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量：
具有独立性、唯一性）和其他物理量（导出量），后者可由前 者通过某种关系到除，前者互为独立的物理量。基本量个数取 基本量纲个数，所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内， 这就是选取基本量的原则。 流速 密度 力 压强 dimv＝LT－1 dimρ＝ML－3 dimF＝MLT－2 dim p=M L－1 T－2
结构动力模型试验相似理论及其验证
结构动力模型试验相似理论及其验证一、本文概述《结构动力模型试验相似理论及其验证》这篇文章主要探讨结构动力模型试验中的相似理论及其应用。
结构动力模型试验是土木工程领域常用的一种研究方法，通过构建实际结构的小比例模型，在实验室环境下模拟结构在动力荷载作用下的响应，以研究结构的动力性能和抗震性能。
相似理论作为结构动力模型试验的基础，为模型设计和试验结果的解读提供了重要的理论依据。
本文首先介绍了结构动力模型试验的基本原理和方法，阐述了相似理论在模型设计中的重要性和必要性。
接着，文章详细阐述了相似理论的基本概念和原则，包括几何相似、运动相似、动力相似等方面，为后续的模型设计和试验验证提供了理论基础。
在此基础上，文章通过具体的案例分析和试验验证，探讨了相似理论在结构动力模型试验中的应用。
通过对不同比例模型的试验结果进行对比分析，验证了相似理论的正确性和有效性。
文章还探讨了相似理论在实际应用中的限制和影响因素，提出了相应的改进措施和建议。
本文旨在深入探讨结构动力模型试验中的相似理论及其应用，为土木工程领域的相关研究提供有益的参考和借鉴。
通过本文的研究，可以更好地理解和应用相似理论，提高结构动力模型试验的准确性和可靠性，为土木工程结构的动力性能分析和抗震设计提供有力的支持。
二、相似理论基础相似理论是结构动力模型试验的理论基础，其核心在于通过构建与实际结构在几何、材料、边界条件等方面相似的模型，以预测实际结构的动力行为。
该理论建立在量纲分析的基础之上，通过导出相似准则，为模型设计和试验条件的确定提供了指导。
在相似理论中，相似准则是判断模型与实际结构是否相似的关键。
这些准则包括几何相似、运动相似、动力相似等。
几何相似要求模型与实际结构在尺寸上具有相似的比例；运动相似则要求模型与实际结构在对应点的运动轨迹相似；动力相似则要求模型与实际结构在受力、变形、加速度等方面具有相似的特性。
为了实现这些相似准则，需要在模型设计和制作过程中，对材料的物理性能、加载条件、边界约束等进行控制。
——相似理论与模型试验
（1）式实际上可用于描述彼此相似的两个现象。这
但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较 大的局限性，在于它常常只能得出个别量之间的规律 性关系，难以发现或抓住现象的本质（全部），从而 无法向实验条件范围以外的同类现象推广。
但通过人们长期实践、总结，一种用于指导自 然规律研究的全新理论——“相似理论”便应运而生了 。它是把数学解析法和试验法的优点结合起来，用来 研究和解决生产和工程中的问题。这是科学研究的主 要方法之一，也是解决生产和工程问题的一种有效方 法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。
[L]：1=-a-2b+4b+c [F]：0=a+b
a2bc 1 ①
②
a b
∴ 3b c 1
c
a 1
b 3b
∴ y=k q-b[EI]bL1-3b
令：d=-b
∴
y=k q d L(13d )
(EI )d
做二次试验后解得：d=1, k= 5 ∴y= 5ql 4
384
384EI
从上面二例可以看出，采用量纲分析法求等式的关键在于： 选择的物理参数要正确。
量纲分析法除了求导相似准则外，还可用于：（1）、导出无 量纲量；（2）、可简化方程，把多个物理量减少等，其用途较 多。
3、 相 似 理 论
3.1 相似概论 相似——两种物理量对应时刻的对应点成比例，可称
相似。 3.1.1 几何相似 ——对应尺寸成比例。 如两个三角形相似，对应边成比例， 比例值CL称为几何相似常数。
对于完全方程，除以方程中的任一项，将变 为无量纲的量。
如
：
s=v0t+
1 2
gt
2[L]
但对于非完全方程如P=0.013H(重液公式)则 不成立。
第五章相似理论与结构模型试验
第五章相似理论与结构模型试验1.引言在工程设计和实验研究中，通常无法进行真实比例的试验，因此需要采用相似理论和结构模型来进行模拟和预测。
相似理论是根据物体的物理和几何属性之间的相似关系进行推导和分析。
结构模型是将实际系统缩小比例而制成的模型，通过对模型进行试验，可以得到实际系统的响应和行为。
2.相似理论相似理论是将实际系统的物理和几何属性与模型的物理和几何属性之间的相似关系进行研究和描述的理论。
根据相似理论，可以得到各种物理量之间的关系，并且可以根据这些关系对实际系统进行预测和分析。
相似理论主要分为几何相似性、动力相似性和物理相似性。
2.1几何相似性几何相似性是指实际系统和模型之间的几何形状和尺寸之间的相似关系。
根据几何相似理论，可以得到实际系统和模型之间的比例关系，并根据这些比例关系对实际系统进行预测和分析。
例如，在建筑工程中，通常采用比例模型来对建筑结构进行模拟和预测。
2.2动力相似性动力相似性是指实际系统和模型之间的动力响应和行为之间的相似关系。
根据动力相似理论，可以得到实际系统和模型之间的动力特性之间的关系，并根据这些关系对实际系统进行预测和分析。
例如，在风洞实验中，通常采用比例模型来对空气动力学特性进行研究和分析。
2.3物理相似性物理相似性是指实际系统和模型之间的物理属性之间的相似关系。
根据物理相似理论，可以得到实际系统和模型之间的物理量之间的关系，并根据这些关系对实际系统进行预测和分析。
例如，在流体力学实验中，通常采用模型来对流体的流动行为进行模拟和预测。
结构模型试验是指将实际系统缩小比例而制成的模型进行试验和分析。
通过对结构模型进行试验，可以得到实际系统的响应和行为，并对实际系统进行评估和优化。
3.1模型制备在结构模型试验中，首先需要制备结构模型。
根据相似理论，可以确定结构模型的几何形状和尺寸，同时需要选择合适的材料和制备工艺。
模型制备通常采用加工、焊接等技术，以保证模型的质量和精度。
第5章模型试验
lp
bp
hp
原型
C l 称为几何相似常数
（二）荷载相似： C = p m p
pp
C p 称为荷载相似常数
（三）时间相似常数：
tm Ct = t p 指作用时间的比，不是时间长的比
二.相似原理 相似原理是研究自然界相似现象的性质 和鉴别相似现象的基本原理，它由三个相似 定理组成。 第一相似定理：彼此相似的现象，单值条件 相同，其相似准数的数值也相同。
f (x1 , x2 , x3 ......) = g (π 1 , π 2 , π 3 ......) = 0
以简支梁在均布荷载作用下为例，由材料 力学知识得梁跨中处的应力和挠度为：
ql 2 σ= 8w
5ql 4 f = 384 EI
可写出原型与模型相似的两个准数方程式：
ql q l π1 = = = σw σ m wm σ p w p
对于实际的质量运动物理系统，则有：
FP = m p a p
而模拟的质量运动系统，有：
Fm = mm am
因为这两个系统运动现象相似，故他们各个 对应的物理量成比例：
Fp Fm Fm m m a m = = C F = Cm Ca mm a m m p a p Fp m p a p
F = 常量 相似准数 π = ma
第5章模型试验
模型试验主要应用于下面几个方面： （1）代替大型结构试验或作为大型结 构试验的辅助试验。 （2）作为结构分析计算的辅助手段。 （3）验证和发展结构设计理论。
一.相似的概念 指模型和实物相对应得物理量的相似， 它通常所讲的几何相似概念更广泛些。 （一）几何相似：C = l m = bm = hm = 模型
Am hm bm CA = = = C l2 Ap h p b p
第5章量纲分析和相似原理
引申：
1、反正确反映客观规律的物理方程，一定能表示成 由无量纲项组成的无量纲方程。
2、量纲和谐原理规定了一个物理过程中各物理量 之间的关系
量纲和谐原理的重要性
其应用为： a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公 式的正确性和完整性。 b.可用来建立物理方程式的结构形式。 c.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 比如，在剪切流中，牛顿流体的方程为
关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。
5.3.1 相似概念
流动相似：是几何相似概念的扩展，两个流动的相应点上 的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自 的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。
共有四方面内容
1 几何相似：
长度比尺：
lp1 lm1
lp2 lm2
...... lp lm
量纲分析和相似原理可以用定性的理论分析方法 建立物理量之间的联系，是解决实际工程问题的 有力工具
而且在求解流体力学基本方程组时，对于某些流 动问题，利用量纲分析有可能将原来的偏微分方 程简化为常微分方程，使流动的数学求解得到极
大的简化。
5.1 量纲分析的意义和量纲和谐原理
5.1.1 量纲（dimension）的概念 物理量：属性dimq 量纲（因次）
gmlm
其中无量纲数 Fr 之比
FrpFrm
v 称为弗劳德数，表征惯性力与重力 gl
在重力起主要作用的流动实验中，必须考虑Fr 数这一相似 参数。在Fr → ∞的流动中，重力效应可以忽略不计。
适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各 种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出 流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动等
第五章——量纲分析和相似原理
（3）运动相似 ——速度（加速度）场相似 在不同的流动空间中，对应点、对应时刻上的速度（加 速度）方向一致，大小成比例
速度比例常数
CV
V' V
基本比例常数
加速度比例常数
Ca
a ' V '/ t ' CV a V / t Ct
CV2 Cl
流量比例常数
CQ
Q' Q
l '3/ t ' l3 /t
'
不可压定常流相似，他们的弗劳德数、欧拉数、雷诺数必相等
这些无量纲数组称为相似准则或相似判据
相似原理可表述为：两种流动现象相似的充分必要条件是：能 够用同一微分方程描述同一种类的现象；并且满足单值条件相 似；有单值条件中的物理量组成相似准则相等
19
5.2 相似原理与模型实验
3. 相似原理的应用 应用相似原理进行试验研究的步骤： （1）分析导出的相似准则，判断决定性准则 （2）根据选定的相似准则设计实验方案 （3）确定实验中要测量的物理量，测定相似准则中的物理量 （4）将实验结果换算到实物系统中
p
g
V2 2g
l d
F2
Vd
,
d
令
F2
Vd
,
d
则
p V 2 l g 2g d
——达西公式。为沿程阻力系数。
8
5.1 量纲分析
3. Π定理的几点说明 （1）无量纲数组的特性 ① 对于确定的物理现象，无量纲数组个数是固定的 但是形式上不是唯一的 ② 无量纲数的算术运算的结果仍是无量纲数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.2.模型试验原则
1
2
严格按照相似理论进行设 计，要求模型和原型尺寸 的几何相似并保持一定的 比例
3
要求施加于模型的荷载 按原型荷载的某一比例 缩小或放大
要求模型和原型的材料相似 或具有某种相似关系
遵循 原则 4
要求确定模型结构试验过程中各 参与的物理量的相似常数，并由 此求得反映相似模型整个物理过 程的相似条件
型相似得
SmSv/(SFSt)=1
3.1.3
2.3.2.相似判据
又称为相似准则或相似准数，由物理量组成的无量量纲。 如将式3.1.1代入3.1.3得：
Fptp/(mpvp)=Fmtm/(mmvm)
这即表示了一个相似判据。当模型和原型各物理量满足上 式时，两个系统相似。在相似定理中习惯用π表示相似判据， 即
对于几何相似的矩形截面简支梁，可导出下列关系
2.2.1几何相似
SA=Am/Ap=bmhm/bphp=S2l SW=Wm/Wp=(bmh2m/6)/(bph2p/6)=S3l SI=Im/Ip=(bmh3m/12)/(bph3p/12)=S4l
其中SA、Sw、SI分别为有几何相似常数导出 的面积比，截面抵抗矩比和惯性矩比。
Sð=SE×Sϵ Sϵ为应变相似常数，此为正应力与正应变相似常 数的关系，其他如剪应力和剪应变、泊松比等相似常 数与上面的关系式基本相同。
2.2.5.时间相似
对结构的动力问题，在随时间变化的过程中， 要求结构模型和原型在对应的时刻进行比较，要求 相对应的时间成比例。虽然不直接采用St时间相似 常数，但速度，加速度等物理量都与时间有关，按 相似要求它们在模型与原型中应成比例。
模型与原型在各对应点所受的荷载方向一 致，荷载大小成比例。集中荷载与力的量纲相 同，而力又可以用应力与面积乘积表示则集中 荷载相似常数表示如下：
Sp=pm/pp=Amðm/(Apðp)=S2lSð 其中Sð为应力相似常数。当Sð=1表示模型 结构的应力和原型相同，上式可写为Sp=S2l。
2.2.3.荷载相似
2.2.相似要求
边界、初 始条件相似
几何相似
时间相似
相似量
质量相似
物理相似
荷载相似
2.2.1几何相似
模型与原结构之间所对应部分的尺寸成比例，模型 比例即为几何相似常数。
下面以矩形截面简支梁为例，截面尺寸：bp×hp跨 度为lp,模型为bm×hm,跨度为lm,几何相似表达如下：
hm/hp = bm/bp=sl 其中sl为几何相似常数。
2.2.6.2 初始条件
对动力问题，为保证模型和原型的动力反应 相似，还要求初始时刻的运动参数相似，如初 始几何位置，质点位移、速度、和加速度等。
2.3.基本概念 相似原理基本概念
相似指标 相似判据 单值条件 相似误差
2.3.1.相似指标
两个系统中的相似常数之间的关系式为相似指标。 以牛顿第二定律说明如下：
模型试验理论基础内容
2.1
相似含义
2.2
相似要求
2.3基本概念来自2.4相似原理2.5
量纲分析
2.1.相似的含义
在结构模型中的“相似”主要是指原型结构和模 型结构的主要物理量相同或成比例。
2.2.相似要求
在相似系统中，各物理量之比称为相似常数， 相似系数或相似比。以下为与结构性能有关的主要 物理量相似常数。
2.2.2.质量相似
在结构动力问题分析中要求结构的质量分布相 似，即模型与原模型结构对应部分的质量成比例
Sm=mm/mp或Sp=ρm/ρp 质量是密度与体积的乘积：
Sp=ρm vmvm/(ρpvpvp)=Sm/S3l 可见，在给定几何常数后，密度相似常数可以 由质量相似常数导出。
2.2.3.荷载相似
2.2.6.边界条件和初始条件
在材料力学和弹性力学中，常用微分方程描 述结构的变形和内力，边界条件和初始条件是求 微分方程的必要条件。原型与模型采用相同组微 分方程和边界条件及初始条件描述。
2.2.6.1 边界条件
原型与模型在外界接触的区域内各种条件 保持相似。如支撑条件、约束情况、边界受力 等相似。
π=Fptp/(mpvp)=Fmtm/(mmvm)=不变量
2.3.3.单值条件
决定一个物理现象基本特性的条件。单值条件 是该物理现象从其他众多物理现象中区分出来。属 于单值条件的因素有：
Ø 系统几何特性 Ø 材料特性 Ø 对系统有重大影响的物理参数 Ø 系统初始状态 Ø 边界条件等
2.3.4.相似误差
模型试验基础
L/O/G/O
目录
1
模型试验简介
2
模型试验理论基础
3
模型设计
4
模型材料的选择
5
模型加载方法
1.1.模型试验简介
由于受试验规模、试验场所、设备容量和 试验经费等各种条件的限制，结构试验绝大多 数的试验对象都是采用结构模型。它是按照原 型的整体、部件或构件复制的试验代表物，而 且较多的还是采用缩小比例的模型试验。
引入应力相似常数后，力相似常数可用几 何相似常数表示。类似如下：
线荷载相似常数： Sw=Sl/Sð
面荷载相似常数： Sq=Sð
集中力矩相似常数： SM=S3lSð
2.2.4.物理相似
模型与原型的各对应点的应力和应变、刚度和变 形间的关系相似。SE=1表示采用相同的材料时的弹性 模量相似常数，如果模型采用不同的材料制作，则有
1.3.模型试验特点
经济性好
特点
针对性强
数据准确
1.4.模型试验适用范围
1 代替大型结构试验或作为大型结构 试验的辅助试验
2
作为结构分析计算的辅助手段
3
验证和发展结构计算理论
1.5.模型试验过程
模型设计
模型试验
分析总结
模型制作
模型测试
2.模型试验理论基础
自然界中自相似现象
几何相似
概述
相似理论是说明自然界和工程中各相似现 象相似原理的学说。是研究自然现象中个性与 共性，或特殊与一般的关系以及内部矛盾与外 部条件之间的关系的理论。在结构模型试验研 究中，只有模型和原型保持相似，才能由模型 试验结果推算出原型结构的相应结果。
原型：Fp=mpdvp/dtp 模型：Fm=mmdvm/dtm
相似常数引入：
3.1.0
Fm=SFFp,mm=Smmp,vm=Svvp,tm=Sttp 3.1.1
2.3.1.相似指标
将相似常数代入后得
FmSmSv/(SFSt)=mmdvm/dtm 3.1.2
与模型Fm=mmdvm/dtm 比较，并由于模型与原