相似理论与模型试验例题集

Cl2 = 1 Cτ Ca
④将（3）式代入（5）式得
x2
( x ' )2
τ a =1
τ ' a'
经整理得 τ a = τ 'a' = π 。
( ) x2
x' 2
（5）
（1）式中有4个参数（n=4）。基本量
[L];[T];[D] (k=3),则准则数为n-k=4-3=1个。
导出之准则称傅里叶（J.Fourier）准则，记
模型试验相似指标为： 由几何方程得：Cε Cl /Cδ=1； 由边界方程得：Cp/Cσ=1； 由物理方程得：CECε/Cσ=1，Cv = 1 。 其中：Cl为几何相似常数；
Cp为荷载（面力）相似常数；
CE为弹性模量相似常数； Cδ为位移相似常数； Cε为应变相似常数； Cσ为应力相似常数； Cv为泊松比相似常数。 钢筋钢纤维高强混凝土结构是由三种材料组成的
d2 y' dl ' 2
= Kq'
l'
2
（2）
式中符号同（1）。
②写出单值条件的相似常数式：
CE
=
E E'
; CI
=
J⎫
J
'
⎪ ⎪
Cy
=
y y'
; Cl
=
l l'
⎪ ⎬ ⎪
Cq
=
q q'
⎪ ⎪ ⎭
③将（3）式代入（1）式得：
( ) ( ) CE E'CJ J '
Cyd2 y' Cl 2 dl ' 2
=
EJy ql 4
=
E'J 'y' q' l' 4
= idem
由（7）式可得变形 y = π ql4
EJ
（7） 。
本例中参数n=5个，基本量有[L],[K](即m,kg)
两个，K=2。根据π定理可知其准则数为
π=n-k=5-2=3个。也就是说 π = EJy 不是独立
ql 4
的准则，而是由几个准则组成的准则。
X'
=0
对于平衡方程：
cσ cγ cL
(
∂σ ' x
∂x '
+
∂τ
' yx
∂y '
+
∂τ
' zx
∂z '
)
+
X'
=0
相似指标：ccγ σcL = 1
,相似准则π1=
σ γL
=
σ' γ ' L'
①
由几何方程： c ε .c L = 1 ， л2= εL
②
cδ
δ
由物理方程： cε c E = 1
cσ
,л3=
CE=
E E'
=2
，由
cσ cγ cL
=1
得： cγ
=
cσ cL
=
2 = 1 =γ 20 10 γ '
即 γ ' = 10γ （石膏的混合料比岩石大10倍，很难，
找不到这种材料。）
为此：取cε ≠1而是 cε =5，cσ = cε .cE = 5 * 2 = 10
加铁则屑即cγ 可= c。cELcε
=
kCq
q
'C l
'
l'
2
（3） （4）
CECJ Cy
( ) ( ) CqCl4
E'J '
d2 y' dl' 2
= kq'
l'
2
比较（5）式和（2）式得：
CECJC y
C
q
C
4 l
=1
④将（3）式代入（6）式得：
EJ y
E' q
J ' y' l4
=1
( ) q ' l ' 4
（6）
( ) 准则
π
P' = 10*1000 = 100kg (0.1t )
100
此时所测的应力σ '值即为钢桥对应点的应力σ
值。
若模型所用材料与钢桥材料不同时，且已知两者
( ) 弹性模量之比
E E'
= CE
=2
。则
π2
=
EL2 P
=
E' L' P'
2
可导出
CE
=
CP Cl2
=2
则从即（模5型）上式所可C测得P得：=应C2C力E l2σ='仅Cσ为=钢2桥。上（即对1应0σσ）'点=应2,σ力' 之= σ2
⑤将
π
=
EJy ql4 分解为：
π = J El y
l4 q l
（8）
（8）式中 J ，El ，y 均为无因次数群，也
l4 q l
就是说均是准则。且正好是n-k=5-2=3个。故从 （1）式进行相似转换后得3个准则为：
π1
=
J l4
⎫ ⎪ ⎪
π2
=
El ⎪
q
⎬ ⎪
π3 =
y l
⎪ ⎪⎭
（9）
例5 在半无限的平面内，不稳定导热的方程是：
非定性量（被测量）：
应力：Cσ
= σx
σ
' x
=
L
=
τ τ
xy
' xy
应变： cε
= εx
ε
' x
= εy
ε
' y
= εz
ε
' z
=ε ε'
位移： cδ
=U U'
=V V'
=δ δ'
采用方程分析法求相似准则：
cσ
∂σ
' x
cL∂x '
+
cσ
∂τ
' yx
cL∂y '
+
cσ
∂τ
' zx
cL∂z '
+ cγ
于原型对应点应力。均小了2倍(因 CE = 2 ）。
例4、已知梁受力后变形方程为：
EJ
d2 y dl 2
=
M
(x)
=
Kql 2
（1）
式中E—弹性模数；J—转动惯量；y—变形；l— 梁的长度；M（x）--弯矩；K—系数；q—荷 载。
试求准则。
解 ①设一与（1）式相似之梁受力后的变形方程
为：
( ) ( ) E'J '
复合结构，要使模型和原型各组成部分应力变形严格
相似，必须要使加载变形前后结构模型与原型始终保
持几何相似，故有Cl= Cδ，即Cε=1，因此，上述应力 变形相似条件可写为：
Cp/ Cσ=1；CE Cε/ Cσ=1；Cv=1
（1）
为了使模型的破坏荷载和破坏形态与原结构完全
相似，不但要满足上述弹性状态下应力应变相似，而
型，故有：
CE= Cσ=Cp=CR=1 ；Cμ=1；Cρ=1
(2)
式中 CR为强度相似常数；
Cμ为钢筋配筋率相似常数；
Cρ为钢纤维体积率的相似常数。
在这种情况下，只要确定适当的几何相似常 数就可以了。
试验得到的模型强度就等于结构强度。
例3、一钢桥跨度10m，最大集中荷重为10t，现 用一个1m长，几何形状与钢桥相似之梁作试验， 求桥的应力。
对于严格相似（Cε = 1 ）时，有：
cσ = 1 cγ cL
cE =1 cσ
cL = 1 cδ
cγ = 1
cx = 1 cσ
如对于一个软弱岩体高边坡问题，原型为20m高， 试 验 室 内 可 采 用 相 似 材 料 模 型 试 验 ， 取 1m ， 则 cL=20/1=20,可采用石膏作相似材料，通过试验可知：
∂t
∂τ
=
a
∂ 2t ∂x2
（0<x<∞）
（1）
式中t—温度，℃；τ—时间，h；
a—导温系数，㎡/h；x—距离，m。
试求准则。
解 ①设与（1）式相似之模型的导热方程为：
∂t'
( ) ( ) ∂τ'
= a'
∂2t' ∂x' 2
0 p x' p ∞
（2）
式中符号同（1）式。
②写出单值条件的相似常数式
Ct Ca
cε =1，这时不考虑自重应力场，上部荷载采用施
加边界面力模拟。
例2 对钢筋钢纤维高强混凝土梁或柱的强度特性 （极限承载力）试验研究。
由于钢筋钢纤维高强混凝土结构的强度高，几何 尺寸大，不易进行原型的破坏性试验，可采用缩尺结 构模型。
根据试验目的，此类试验不但要搞清加载过程中 结构截面上的应力分布情况，而且还要测量模型的破 坏荷载。所以，模型设计不但要满足应力、变形的相 似条件，而且还要满足强度相似条件。根据相似理论 和弹性力学的基本方程，采用方程分析法，可推导出 其静力模型相似指标为：
时，则 E L2
π3
=
π1 π2
P
σ L2
=E
σ
（5）
P
根据相似定理
π3
=
E
σ
=
E'
σ'
。经转换得
CE
=
E E'
=
σ σ'
=
Cσ
因E相同，即 CE = 1，则Cσ