2018版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数2.5.1几种函数增长快慢的比较课件湘教版必修120180426347
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
10.2 1 ，c＝23，则( a＝log1 3 ， b ＝ 2 3
)
A．a＜b＜c C．c＜a＜b
B．c＜b＜a D．b＜a＜c
§6
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)在什么条件下是增函数？y＝2x 与 y＝3x 哪个增 长的速度更快？指数函数增长速度的快慢由什么决定呢？ 2．幂函数 y＝xn，当 x>0，n>1 时是增函数吗？当 x>1 时，其增长的快慢与 n 有什么关系？
3．对数函数y＝logax，当a>1时是增函数，那么随着a的增大，函数值的增
1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907
y4 2 4.322 5.322
关于 x 呈指数型函数变化的变量是________．
[思路探究] 利用表格中数据增长速度的快慢来判断，指数型函数增长速度是越来越快．
3．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为________．
4．比较y＝4x，y＝x4与y＝log4x增长情况．
三种函数图像的比较 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表： x 1 y1 2 y2 2 y3 2 5 26 32 10 10 101 15 226 20 401 25 626 30 901
[自主练习] 1．当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( A．y＝100 x C．y＝x100 B．y＝100ln x D．y＝100· 2x )
2．我国工农业总产值从 1990 年到 2010 年的 20 年间翻两番，设平均每年的 增长率为 x，则有( A．(1＋x)19＝4 C．(1＋x)20＝2 ) B．(1＋x)20＝3 D．(1＋x)20＝4
指数函数对数函数幂函数增长的比较老师版本
1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x0510********关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案] y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答] 设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N)．＋作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.天数1234567891011…累积收益方案一4080120160200240280320360400440…二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252；(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快答案：C2．下列所给函数，增长最快的是( )A．y＝5x B．y＝x5C．y＝log5x D．y＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 答案：C4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x) 5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9150，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9x50.答案：y＝0.9x50·m6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A ．y ＝10xB ．y ＝lg xC ．y ＝x 10D ．y ＝10x 答案：D 2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x ＝1.104x 是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( ) A ．h (x )＜g (x )＜f (x ) B ．h (x )＜f (x )＜g (x ) C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12. ∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]． 答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分， 第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．。
指、幂、对函数增长的比较(绝对精品)
总结:要点点拨
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【目标回顾】
1. 2. 3. 通过学习，是否理解并掌握了三种函数增长的差异； 通过学习，是否学会了简单的数据分析； 通过学习，是否掌握了数形结合思想的应用.
作业:巩固提升
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
作业
参见学案，请及时完成.
结语:勇往直前
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
人要学会走路，也得学会摔跤，而 且只有经过摔跤才能学会走路。 ——马克思
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y=2x
y=x2 y=log2 x
2
1 04 41源自89 1.584 9
16 16
16 16 2
32
25
64
36
128
49
256
64 3
…
… …
2.321 9 2.584 9 2.807 3
二：请用图形计算器或计算机软件作图，并观 察图像，体会它们增长的快慢？
探究②:得结论
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
图像观察结果
越来越慢 x轴平行一样
慢于 快于 远快于
反馈:学以致用
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
解析：5个.
数形结合，转化为图像交点问题.
解析：2个.
数形结合，转化为图像交点问题.
小结：通过解答以上两个小题，请同学们理解并掌握 数形结合思想在函数研究中的应用.
y=2x
函数值的变化量 y=x100
y=log2x
3.321 928 1 3.321 928 1 1.584 962 5 0.736 965 6 0.485 426 8 0.362 570 1 0.152 003 1 0.137 503 5 0.125 530 9
幂函数对数函数指数函数增长速度比较
幂函数对数函数指数函数增长速度比较幂函数、对数函数和指数函数是高中数学中经常涉及的三种基本函数类型。
这三种函数具有不同的定义和性质，它们的增长速度也各不相同。
下面，我将从三个方面分别阐述幂函数、对数函数和指数函数的增长速度及其比较。
一、幂函数的增长速度幂函数的一般形式为y=x^a，其中a为正实数，x为自变量，y为因变量。
当a>1时，幂函数的增长速度比线性函数快，而当0<a<1时，则比线性函数慢。
幂函数随着x的增大而增大，增长速度越来越快，但增长速度的大小与指数a的大小有关。
例如，y=x^2和y=x^3的增长速度比y=x和y=x^1.5快，因为x^2和x^3比x和x^1.5的增长速度更快。
另一方面，y=x^0.5和y=x^0.3的增长速度比y=x慢，因为x^0.5和x^0.3比x的增长速度更慢。
二、对数函数的增长速度对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为正实数且a ≠ 1，x为正实数。
对数函数随着x的增大而增加，但增长速度非常缓慢。
例如，y=log2(x)和y=log3(x)的增长速度比y=log5(x)和y=log10(x)慢，因为以2或3为底的对数的增长速度比以5或10为底的对数慢。
三、指数函数的增长速度指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为正实数且a ≠ 1，x为自变量。
指数函数随着x的增大而快速增加。
例如，y=2^x和y=3^x的增长速度比y=1.5^x和y=1.1^x快，因为2和3比1.5和1.1更大。
比较三种函数的增长速度根据上述三种函数的增长速度特性，我们可以得出以下结论：1. 当x越来越大时，指数函数的增长速度最快，其次是幂函数，最慢的是对数函数。
2. 如果幂函数和指数函数的底相同，那么指数函数的增长速度比幂函数快。
例如，y=2^x的增长速度比y=x^2的增长速度快。
3. 如果对数函数和指数函数的底相同，那么对数函数的增长速度比指数函数慢。
例如，y=log2(x)的增长速度比y=2^x的增长速度慢。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
§３．6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【使用说明与预习指导】1、 认真阅读课本第98--103页的内容，认真归纳出98—99页三个表的规律以及100-103页信息技术应用部分得到的规律，规范填写预习案部分的内容，并熟记基础知识。
2、 根据预习到的知识和以前学过的知识，小组合作、讨论完成【探究案】部分的内容，由组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。
3、 及时整理展示、点评的结果（用双色笔），独立完成【检测案】部分的内容并和组员核对结果。
【学习目标】1.通过观察和类比函数图象，体会三种函数增长的快慢。
2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
3.培养学生数形结合的思想以及分析推理能力 【重点难点】重点：认识指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸，对数增长的含义； 难点：比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。
【预习案】1、幂函数的图像和性质： 函数 性质 y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=定义域 值 域 单调性奇偶性 定点坐标幂函数的图像一定过 ，一定不过 。
2、指数函数与对数函数的图像和性质： 指数函数对数函数图 像性 质定义域： 定义域： 值 域： 值域： 定点坐标：定点坐标：当0x >时， ，当0x <时， 当1>x 时， ，当10<<x 时， 单调性：单调性：x y a =的图像与1()x y a=的图像关于对称log a y x =的图像与1log ay x =的图像关于 对称x y a =与log a y x =互为 ，它们的图像关于 对称。
【探究案】探究1.在左下图中画函数xy 2=、2x y =的图像。
x0 1 2 3 4 5 x y 2=3x y =探究2.在右下图中画函数xy 3=、3x y =的图像。
x0 1 2 3 4 x y 3=3x y =结合上图及课本98—99页、100—103页的内容可得下面的结论：①在同一坐标系中，指数函数x a y =与幂函数ax y =有 个交点。
2018版高中数学第三章指数函数和对数函数6指数函数幂函数对数函数增长的比较课件北师大版必修1
1．在区间 (0，＋∞ )上，当a>1，n>0时，是否总有logax<xn<ax
不成立？ 提示 不是，但总存在 x0 ，使得当 a>1 ， n>0 ， x>x0 时， logax<xn<ax成立．
2．能否举例说明“指数爆炸”增长的含义？
提示 如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增 长”，其“增长量”是成倍增加的，从图像上看出，存在 x0 ，当 x>x0 时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效 果．
§6 指数函数、幂函数、 对数函数增长的比较
学习目标
1. 了解指数增长、幂增长、对数增长的意义 ( 重
点)；2.能结合具体实际问题，建立恰当函数模型(重、难点)．
预习教材 P98－103 完成下列问题：
知识点一 三种函数模型的性质
1 ．当 a>1 时，指数函数 y ＝ ax 在 R 上是增函数，对数函数 y ＝
3．判断某个增函数增长快慢的依据是什么？
提示 依据是自变量每改变一个单位，函数值增长量的大 小．增长量越大，增长速度越快．
题型一 函数模型的增长差异
【例 1】 (1)当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的 应该是( ) B．y＝log2x
e D．y＝2x
A．y＝10 000x C．y＝x
4.322 5.322
关于x呈指数函数变化的变量是________．
解析
(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长， 则当 x 越来
e y＝2x 增长速度最快．
越大时，函数
(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的． 从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4 均是从 2 开始 变化，变量 y1，y2，y3，y4 都是越来越大，但是增长速度不 同，其中变量 y2 的增长速度最快，可知变量 y2 关于 x 呈指 数函数变化．
18版高中数学第三章指数函数和对数函数3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案北师大版必修1
3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性．(重点)2. 会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．(难点)[基础·初探]教材整理指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读教材P98～P103有关内容，完成下列问题．1. 三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x>0，n>1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快．2. 三种函数的增长对比对数函数y＝log a x(a>1)增长最慢，幂函数y＝x n(n>0)，指数函数y＝a x(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有a x>x n>log a x.1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝x10比y＝1.1x的增长速度更快些．( )(2)对于任意的x>0，都有2x>log2x.( )(3)对于任意的x，都有2x>x2.( )【答案】(1)×(2)√(3)×2. 下列函数中，自变量x充分大时，增长速度最慢的是( )A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x【解析】对数函数的增长速度最慢，即增长最慢的是y＝log6x.【答案】 B[小组合作型]A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.图361(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2 016)，g(2 016)的大小.【导学号：04100066】【精彩点拨】先观察图像，比较相关区域函数值的大小，最后得出结论．【尝试解答】(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)．∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2<2 016.从图像上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8)．三种函数模型的表达形式及其增长特点：指数函数模型：能用指数型函数f x ＝ab x＋c a，b，c为常数，a>0，b表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸对数函数模型：能用对数型函数f x＝m log a x＋n m，n，a为常数，m≠0，x>0，a表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长幂函数模型：能用幂型函数f x＝axα＋b a，b，α为常数，a≠0，α表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.[再练一题]1. 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图362所示．图362(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．【解】(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？【精彩点拨】首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．【尝试解答】设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.案二，投资11天及其以上，应选方案三．解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系.[再练一题]2. 有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)【解】设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.乙方案在10年后树木产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得更多的木材．[探究共研型]探究诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是？图363【提示】 由题中图像可知，该函数模型为指数函数．20世纪90年代，气候变化专业委员会向各国政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中CO 2体积分数增加，据测，1990年，1991年，1992年大气中CO 2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位，若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO 2体积分数增加的可比单位数y 与年份增加数x (即当年数与1989年的差)的关系，模拟函数可选用二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r (其中p ，q ，r 为常数)，或g (x )＝ab x＋c (a ，b ，c 为常数且b >0，b ≠1)．(1)根据题目中的数据，求f (x )，g (x )的解析式；(2)如果1994年大气中CO 2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．【精彩点拨】 (1)列出方程组求系数，从而求解析式； (2)由x ＝5得出函数值，通过比较选择模拟函数． 【尝试解答】 (1)由题目中的数据得⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝3，9p ＋3q ＋r ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝12，r ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝3，ab 3＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝83，b ＝32，c ＝－3，所以f (x )＝12x 2＋12x, g (x )＝83·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x－3.(2)因为f (5)＝15，g (5)＝17.25，f (5)更接近16， 所以选用f (x )＝12x 2＋12x 作为模拟函数好．解决函数应用题时的常用方法：先依据给出的数据作出散点图，大体估计函数模型，设出函数模型，列出方程组求系数，即可确定出函数模型将求出的函数通过数据比较确定出最适合的函数模型.[再练一题]3. 某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ， Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 【解】 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c ， 即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg.1. 以下四种说法中，正确的是( )A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，x a＞log a xC．对任意的x＞0，a x＞log a xD．一定存在x0，使x＞x0，总有ax0＞x n＞log a x【解析】对于A，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B、C都受a的影响．【答案】 D2. 下列函数中，随着x的增长，函数值增长速度最快的是( )A．y＝50 B．y＝1 000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝11 000ln x【解析】随着x的增大，函数值增长速度最快的是指数型函数，故选C.【答案】 C3. 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．【解析】已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2,3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…，x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N＋.【答案】y＝a(1＋r)x，x∈N＋4. 三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：其中变量是____________________________________________________________________．呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________．【解析】由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y2随x的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y 3随x 的增加增加越来越慢，属于对数函数变化．【答案】 y 3 y 2 y 15. 用模型f (x )＝ax ＋b 来描述某企业每季度的利润f (x )(亿元)和生产成本投入x (亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y 1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y 2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y 3＝2(亿元)．又定义：当f (x )使[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2的数值最小时为最佳模型．(1)当b ＝23时，求相应的a 使f (x )＝ax ＋b 成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y 4(亿元)的值.【导学号：04100067】【解】 (1)b ＝23时 ，[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋16，∴a ＝12时，f (x )＝12x ＋23为最佳模型．(2)f (x )＝x 2＋23，则y 4＝f (4)＝83.。
高中数学第4章幂函数指数函数和对数函数5.1几种函数增长快慢的比较课件湘教版必修第一册
果只能购买其中的一种债券,你认为应购买哪种?
解 A 种债券的收益是每 100 元一年到期收益 3 元;B 种债券的半年利率为
51.4-50
,所以
50
5.68 元;C
100 元一年到期的本息和为
100-97
种债券的年利率为
,100
小.
解 ∵f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),
∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2,2 021>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2
时,f(x)<g(x),∴f(8)<g(8).
当x>x2时,f(x)>g(x),
∴f(2 021)>g(2 021).
探究二
指数函数、对数函数与幂函数模型比较
例2已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图,设两个函数的图象相交于点
A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1<x2.
(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的
97
100-97
100(1+ 97 )≈103.09(元),收益为
51.4-50 2
100(1+ 50 ) ≈105.68(元),收益为
元一年到期的本息和为
3.09 元.通过以上分析,应购买 B 种债券.
素养形成
最新湘教版高中数学《几种函数增长快慢的比较》教学课件
一 几种函数增长快慢的比较
当底数a>1时，指数函数y=ax和对数函数y=logax都是增函数；我们早已熟 悉的一次函数y=kx+b，当k>0时也是增函数；幂函数y=xα，当α>0时是［0，+∞) 上的增函数. 这些函数的函数值y都随着自变量x的增长而增长．
增函数的共同特点是，函数值y随着自变量x的增长而增长．同为增长， 但增长的快慢可能不同．这好比赛跑，有冠军亚军，也有排不上名次的．
一 几种函数增长快慢的比较
可见，当幂指数大于1时，不论一次函数的一次项系数和常数项多么大， 只要自变量足够大，幂函数的增长就比一次函数快得多.
类似地，C组的函数总比D组增长得快． 总之，指数增长最快，对数增长最慢．
在区间(0，＋∞)上，a>1， a>0，总会存在一个x0，当x> x0时，就有logax<xa<ax.
一 几种函数增长快慢的比较
同一组的比赛容易分出高低，看图便知分晓． 从图4.5-2(1)看出，A组内，a越大跑得越快；E组内，a越小跑得越快． 从图4.5-2(2)看出，B组和D组一起比赛，都是α越大跑得越快．
图4.5-2
一 几种函数增长快慢的比较
现在来看C组，一次函数y＝kx＋b (k>0). 如果两个一次函数的一次项系数相等，只有常数项不同，则两个函数的差是常 数．起跑时在前面的永远在前面，领先距离永远不变．从图象上看，是两条平行直 线． 如果两个一次函数的一次项系数不相等，系数大的跑得就快．不管起跑时落后 有多少，系数大的总能后来居上，而且将遥遥领先．在方格纸上画几个一次函数的 图象便能看出这个规律. 小组选拔赛的情形一目了然．组与组之间的比赛呢？ 上面已经对B，D两组做了比较．
新教材高中数学第四章幂函数指数函数和对数函数45函数模型及其应用451几种函数增长快慢的比较课件湘教
是
．
答案：y＝x2
解析：作出y＝x2与y＝ln x的图象，通过比较图象可得．
题型探究 课堂解透
题型1 几种函数模型增长的差异 例1 （1）下列函数中，增长速度最快的是（ A ） A．y＝2021x B．y＝x2021 C．y＝2021x D．y＝log2021x （2）已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表： 则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（
方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上年增加9%. 你觉得哪个方案较好？
解析：方案一 5年后树木面积是10＋1×5＝15(万平方米). 方案二 5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米). 因为15.386>15，所以方案二较好．
（2）最低种植成本是 80 （元/100 kg.）
课堂十分钟
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是（ ） A．y＝100 B．y＝100x C．y＝1.01x D．y＝log2x
答案：C 解析：因为1.01>1，所以函数y＝1.01x是增函数，所以y＝1.01x增长速度最快．
2. 能反映如图所示的曲线的增长趋势的是（ ）
A．f1（x）＝x2 B．f2（x）＝2x C．f3（x）＝log2x D．f4（x）＝2x
答案：D
解析：对比四种函数的增长速度，当x充分大时，指数函数增长速度越来越快， 因而最终在前面的物体具有的函数关系是f4(x)＝2x.
题型2 指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较 例2 函数f（x）＝2x和g（x）＝x3，x≥0的图象，如图所示．设两 函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2. （1）请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； （2）结合函数图象，比较f（8），g（8），f（2021），g（2021）
几种常见函数的增长情况
几种常见函数的增长情况函数的增长情况是指函数随着自变量的变化而变化的趋势。
在数学中，我们常常研究函数的增长性质，可以根据函数的定义和特性分析其增长情况。
下面将介绍几种常见函数的增长情况。
一、常数函数f(x)=c常数函数是指函数的输出始终保持不变，不随自变量的变化而变化。
因此常数函数的增长情况是不变的，可以表示为O(1)。
二、线性函数 f(x) = ax + b线性函数是指自变量的变化与函数输出值之间存在一一对应的关系。
线性函数的图像是一条直线，斜率为非零的常数a决定了直线的倾斜程度。
线性函数的增长情况是与自变量成正比的，即随着自变量的增加，函数的输出值以固定比例增加。
因此线性函数的增长情况可以表示为O(n)，其中n表示自变量。
三、多项式函数 f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0多项式函数是指函数的表达式包括多个项，并且每个项的系数可以是常数，指数可以是整数。
多项式函数的图像通常是曲线，其增长情况取决于多项式的最高项和次高项的系数。
根据多项式函数的表达式，我们可以得到以下结论：1.当多项式的最高项指数大于0时，多项式的增长情况是与自变量的幂函数关系。
2.当多项式的最高项指数等于0时，多项式的增长情况是常数函数，即O(1)。
3.当多项式的最高项指数小于0时，多项式的增长情况是指数函数关系。
四、指数函数f(x)=a^x指数函数是指指数的自变量的幂函数关系，其中a是常数，且a大于0且不等于1、指数函数的图像是一个曲线，增长情况随着自变量的增加而快速增长。
指数函数的增长情况可以表示为O(a^x)，其中a为底数。
五、对数函数 f(x) = log_a(x)对数函数是指底为 a 的指数函数的反函数，其中 a 是常数，且 a 大于 0 且不等于 1、对数函数的图像是一个曲线，增长情况随着自变量的增加而缓慢增长。
对数函数的增长情况可以表示为 O(log_a(x))。
高中数学同步教学 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
和y=logax(a>1)的增长速度.由于指数函数值增长非常快,人们常称
这种现象为“指数爆炸”.
【做一做1】 当x(x>0)增大时,下列函数中,增长速度最快的是
(
)
A.y=2x
B.y=x10
C.y=lg x
D.y=10x2
是(
)
解析:由于f1(x)=ax,
所以f1(0)=1.由于f3(x)=logax,
故f3(1)=0.由于f2(x)=xa,
所以f2(1)=1,且f2(0)=0,
从而A,C,D均不正确,B正确.
答案:B
题型一
题型二
题型三
题型二 比较函数增长的差异
【例2】 分析指数函数y=2x与对数函数y=log2x在区间[1,+∞)上
的增长情况.
解:指数函数y=2x,当x由x1=1增加到x2=3时,x2-x1=2,y2-y1=23-21=6;
对数函数y=log2x,当x由x1=1增加到x2=3时,x2-x1=2,而y2-y1=log23log21≈1.585.
由此可知,在区间[1,+∞)上,指数函数y=2x随着x的增长函数值的
增长速度快,而对数函数y=log2x的增长速度缓慢.
§6
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.巩固幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质.
2.通过比较幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢,了解这三
种函数增速的差别.
3.体会数形结合思想在研究函数中的应用.
三种增长函数模型的比较
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
例题、 假设你有一笔资金用于投资，现有三 种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天 多回报10元；
方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报 比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
借
自变量x函数值源自y=2xy=x100(x>0) y=log2x
助
···
···
···
···
计
1
2
1
0
1.007 004 4 2.009 733 8 2.009 725 8 0.010 071 0
算
10
1 024
10100 3.321 928 1
器
100
1.27×1030
10200 6.643 856 2
y=log4x
x
小结 比较了指数函数、幂函数、对数函数的增长
在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足够大 时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快, 会超过并远远大于y=xn的增长速度,而 y=logax的增长速度则越来越慢.
(1100,1200) 1.72×10361 8.28×10307 0.125 530 9
谈谈函数y=2x，y=x100(x＞0)， y=log2x的函数值增长快慢的体会。
随着x的值越大 1. y=log2x的函数值增长的越来越慢， y=2x和y=x100的函数值增长的 越来越快， y=log2x增长比y=2x和y=x100要慢的多。 2. 对函数y=2x和y=x100而言， 在x比较小时，会存在y=x100比y=2x的增长 快的情况，
几种函数增长快慢的比较
几种函数增添快慢的比较（一）教课目的1．知识与技术（1）掌握几种常用函数增添快慢的比较方法（2）熟习几种常用函数增添快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的比较表，比较几种常用函数增添的快慢，进而熟知常有函数增添快慢的一般性结论.3．感情、态度与价值观经过几种常有函数增添快慢的比较，感觉“绝对与相对”的内涵和处延，培育思想的发散性 .（二）教课要点与难点要点：函数增添快慢比较的常用门路；难点：认识影响函数增添快慢的要素.（三）教课方法合作沟通与知识讲解相联合，经过学习熟习的几种常有函数增添快慢的比较，领会比较方法，掌握基本结论，进而培育应用基本方法比较函数增添快慢的能力.教课环节教课内容师生互动设计企图察看函数 y xx 在与 y4[0， +∞）上的图象，说明在不一样区间内，函数增添的快慢状况 .在同一坐标中函数图象如下y xy提出问题4y引入课题yxO16x结论：若则0＜ x＜16xx4若 x＞16 则x x4师：增函数的共同特色是函数值y 随自变量x 的增添而增添，但不一样函数在同一区间内的增添快慢是否同样师生合作察看研究函数x与 y x 的增添快慢.y4① x∈ (0，16)时，y x 的图象在由问题x图象上方引入课题，激y发学习兴趣 .4可知 y x 增添较快② x(16,) 时，y x 的图在xy图象下方，4幂、指对函1．实例研究：数增添快比较函数 y=2x，y= x2， y =慢比较形2log x 的增添快慢 .成比较方方法：① 作图，列表比较、法.考证x可知 y 4 增添较快师生合作：借助计算机作图，列表，进行研究由特别到一① 列表般研究规律xy =2x2②应用二分法求2x= x2的根，即 y = 2 x与 y = x2的交点横坐标 .2．规律总结① 一般地，关于指数函数y=a x(a＞ 1)和幂函数y=x n(n ＞ 0)，在区间 (0,) 上，无论 n 比 a 大多少，只管在 x 的必定变化范围内， a x会小于 x n，但因为a x的增添快于 x n的增添，所以总存在一个 x0，当 x＞ x0时，就会有 a x＞ x n.②关于对数函数y=log a x(a＞1)和幂函数 y = x n(n＞ 0)在区间 (0, ) 上，跟着 x的增大， log a x 增添得愈来愈慢 .在 x 的必定变化范围内，log a x 可能会大于 x n，但因为log a x 的增添慢于 x n的增添，所以总存在一个x0，当 x＞ x0时，就会有 log a x ＜x n.③在区间 (0, ) 上，只管函数y = a x(a ＞ 1) ， y = log a x(a ＞ 1)和 y = x n(n＞ 0)都是增函数，但它们的增长速度不一样，并且不在同一个“品位”上.跟着 x 的增添，y = a x(a＞ 1)的增添速度愈来愈快，会超出并远远大于 y = x n(n＞0)的增添速度，而 y = log a x(a＞ 1)的增添速度则会愈来愈慢 .所以，总会存在一个 x0，当 x＞x0时，就有 log a x＜ x n＜a x.y =x21y=log2x––0x⋯y=2x8⋯y=x29⋯y=log2x⋯② 作图③ 结论x∈ R 时 log2x＜x2，且 log2x＜ 2x. 进一步研究 y = x2与 y = 2 x的增添快慢 .① 列表x01234y=2x124816y=x2014916x5678y=2x3264128256y=x225364964② 作图③结论 x∈ (0，2)时 2x＞ x2，x∈ (2，4)时， 2x＜ x2，x∈ (4,) 时 2x＞ x2在同一平面直角坐标系内三个函数图象以下：作出以下函数的图象，并进一步熟习比较它们的增添状况：函数增添快稳固练习（ 1） y=–100,x∈ [1,10] ；慢的比较方（ 2）y=20lnx+100,x∈ [1,10] ；法及步骤 .（ 3） y=20x, x∈ [1,10].由图象能够看到，函数（ 1）以“爆炸”式的速度增添；函数（ 2）增长迟缓，并逐渐趋于稳固； 函数（ 3）以稳固的速率增添 .课后作业第一课时习案学生独立达成稳固知识，培养能力备选例题例 1 某人此刻一笔资本 x 万元用于投资，经过市场检查研究，有三种方案：第一种方案：存入银行，年收益 Q 1 = ；第二种方案：借给朋友投资，年收益Q 2= +；第三种方案：办工厂，年收益Q 3 = + 2x –35；问： (1)投资 4 万元，选择哪一种投资方案 .(2)投资 10 万元，选择哪一种投资方案 . 【分析】 (1)投资 4 万元，则有：Q 1 = ；Q 2= ；Q 3=–，∴ Q 2 ＞Q 1＞ Q 3∴选择第二种方案(2)投资 10 万元，则有： Q 1 = ； Q 2 = ； Q 3 = 5，∴ Q 3 ＞Q 2＞ Q 1 ，∴选择第三种方案 . 例 2为了发展电信事业方便用户，电信企业对挪动电话采纳不一样的收费方式，此中所使用的 “便民卡” 与“如意卡” 在某市范围每个月 （30 天）的通话时间 x （分），与通话费 y(元 ) 的关系以下图 .便民卡 如意卡（ 1）分别求出通话费 y 1， y 2 与通话时间 x 之间的函数关系式；（ 2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪一种卡廉价.【剖析】（ 1）由图象可设y 1 = k 1x +29， y 2 = k 2 x ，把点 B (30, 35)， C (30, 15)分别代入 y 1 ，y 2 得 k 11, k 2 1 .52∴ y 11 x 29, y2 1x .5 2（ 2）令 y 1 = y 2，即 1x29 1x ，则 x 96 2.52 3当 x = 96 2时， y 1 = y 2，两种卡收费一致；3当 x ＜96 2 时， y 1＞ y 2，即如意卡廉价；3当 x ＞96 2时， y 1＜ y 2，即使民卡廉价 .3【评析】此题中的图形为直线，这就说明变量x ， y 之间知足一次函数关系，为此可采纳待.定系数法，求出详细的函数关系式，最后运用方程的思想求出要点点进而使问题得以解决图表题目的办理要点就在于正确理解其所有信息，运用合理的方法解决问题.。
几种函数增长快慢的比较
g(x)=a·
bx+c(a≠0,b>0,且 b≠1).哪个模型能更好地反映该公司生产量 y 与年份 x 的
关系?
方法指导
要选择最能反映该公司生产量 y 与年份 x 的关系式,应该分析各
函数的变化情况,通过研究这些函数的变化趋势与表格提供的实际数据是否相
增长速度
越来越快
不变
图象
本题考查了数学模型和直观想象的数学核心素养.
越来越慢
课前预学
课堂导学
某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%,要增长到原来
的 x 倍,需经过 y 年,则函数 y=f(x)的图象大致为( D ).
解析 设该林区森林的原有蓄积量为 a,由题意可得 ax=a(1+0.104)y,故 y=log1.104x(x≥1),
B.y=2021
D.y=2021x
(2)下面对函数 f(x)=log 1 x,g(x)=
2
1
2
与 h(x)=-2x 在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是( C ).
A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢
B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快
际问题.
课堂导学
课前预学
某汽车制造商在 2021 年初公告:公司计划 2021 年的生产目标定
为 43 万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:
年份
2018
产量
8(万) 18(万) 30(万)
2019
2020
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C.y＝x100
D.y＝100x
125 6 解得 a＝ ，b＝ ，c＝－42. 3 5
125 6x 则 g (x )＝ · －42， 3 5
125 64 故 g(4)＝ · －42＝44.4，与计划误差为 1.4. 3 5
由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x). 函数 g(x)＝ 0.3x －1呈直线增长，函数 f(x) 随着 x 的逐渐增大， 其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.
1 2 3 4 5
1. 当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是
( D )
a＋b＋c＝8， 将点坐标代入，可得4a＋2b＋c＝18， 9a＋3b＋c＝30，
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.
(2)构造指数函数模型
g(x)＝a· bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，
ab＋c＝8， 2 将点坐标代入，可得 ab ＋c＝18， 3 ab ＋c＝30，
第2章——
2.5 函数模型及其应用
2.5.1
[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快 慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义. 2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.
几种函数增长快慢的比较
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实
重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
四年 . 现在你有两个函数模型：二次函数模型 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a· bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，
哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？
解
建立年销量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点 (1,8) ，
(2,18)，(3,30). (1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数； 解 由函数图象特征及变化趋势，知 曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1， 曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)比较两函数的增长差异 (以两图象交点为分界点，对f(x)，
g(x)的大小进行比较).
解 当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；
[预习导引]
1.三种函数模型的性质
函数
性质
在(0，＋∞)上的 增减性 图象的变化
y＝ax(a＞1) 单调递增 随x增大逐渐 变陡 ______
y＝logax
y＝xn
(a＞1)
单调递增 变缓 随x增大逐渐____
(n＞0)
单调递增 随n值而不同
2.三种函数的增长速度比较
(logax(a＞1)和
要点一 函数模型的增长差异
例1
(1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该
是( D )
B.y＝log2x e 1 000 C.y＝x D.y＝ x 2 解析 由于指数型函数的增长是爆炸式增长， e 则当 x 越来越大时，函数 y＝ x 增长速度最快. 2
y＝xn(n＞0)都是 增函数 ，但 增长速度 不同，且不在同一
个“档次”上. (2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越 来越快，会超过并远远大于 y ＝ xn(n ＞ 0) 的增长速度，而 y ＝ logax(a＞1)的增长速度则会 越来越慢 . (3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________.
解析 以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变 化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同， 其中变量 y2的增长速度最快，可知变量 y2关于x呈指数函数 变化. 答案 y2
y与年份x的关系.
规律方法
1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求
出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进 而求出待定参数.
2.理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的
含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣.
跟踪演练2 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图.
规律方法
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝
logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不 同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1) 的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长 速度，而 y ＝ logax(a ＞ 1) 的增长速度则会越来越慢，总会存
解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数.
要点二 几种函数模型的比较
例2
某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，
公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的 汽车生产量如下表所示：
年份
产量
2010
8(万)
2011
18(万)
2012
30(万)
如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、
A.y＝10 000x
(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
y1
1
2
5
26
10
101
15
226
20
401
25
626
30
901
y2
y3
2
2
32
10
1 024 32 768 1.05×106
20 30 40
3.36×107
50
1.07×109
60
y4
2 4.322 5.322 5.907
在一个x0，若x＞x0，有logax＜xn＜ax.
跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t
(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟
合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所
提到的红豆生长时间与枝数的关系的
函数模型是( A )
A.指数函数：y＝2t B.对数函数：y＝log2t
C.幂函数：y＝t3 D.二次函数：y＝2t2