对数函数与指数函数的导数

1 )( x
1 x2
)

ln a x2
sin
1 x
cos 1
a x
.
(3) y ln( 1 x2 x)
解: y
1
( 1 x2 x)
1

1 (

1
2x 1)
1 x2 x
1 x2 x 2 1 x2
1

.
1 x2
x 1 x2 (4) y ln
x
解:函数的定义域为(0,), y ln(x 1 x2 ) ln x.
y
1
( x 1 x2 ) 1
x 1 x2
x

1
[1 1 1 (1 x2 )] 1
x 1 x2
2 1 x2
x
1
2x
1
1
1

(1
)
.
x 1 x2
x
(2) y [ f (e x2 )] f (e x2 ) (e x2 ) f (e x2 ) (e x2 ) ( x2 )
2xex2 f (ex2 ). (3)y [ f (e x )]e f (x) f (e x )[e f (x) ] f (e x ) e x e f (x)
f (e x ) e f (x) f ( x) e f (x)[ f (e x )e x f (e x ) f ( x)].
解此类题应注意: (1)分清是由哪些函数复合而成的. (2)用逐步的方法来进行求导.
练习1:求下列函数的导数:
1
(1) y 2x ; (2) y 2log3 x (3) y 1 ln x
2 1 x2 x 1 x2 x
例3:已知f(x)为可导函数,试求下列函数的导数: (1)y=f(lnx); (2)y=f( e x2); (3)y=f(ex) e f ( x.)
解:(1) y [ f (ln x)] f (ln x) (ln x) 1 f (ln x).
(4) y a5x ln a (5x) 5a5x ln a.
例2:求下列函数的导数:
e2 x e2 x (1) y e x e x ;
解:
y

(ex ex )2 ex ex

2

ex

ex

ex
2 ex
; (ex

ex
)

ex

ex;

y
(4) y sin(ln x) sin x ln x
答案:
(1)
y


ln 2 x2
1
2x.
(2) y 2log3 x ln 2 . x ln 3
(3) y 1 . 2x 1 ln x
(4) y sin x cos(lnx) cosx ln x. x
例4:设一质点的运动规律为 s e2t sin(t ), ,为
x)

1 x
log a
e.
证:利用对数的换底公式即得:
(loga
x)

( ln x ) ln a

1 ln a

1 x

loga x
e
.
2.指数函数的导数:
(1) (e x ) e x .
(2) (a x ) a x ln a(a 0, a 1).
由于以上两个公式的证明,需要用到反函数的求 导法则,这已经超出了目前我们的学习范围,因此在这 里我们不加以证明,直接拿来使用.
常数,试求t=1/2时质点运动的速度v0.
解: v st (e2t ) sin(t ) e2t [sin(t )]
e2t (2t ) sin(t ) e2t cos(t ) (t )
2e2t sin(t ) e2t cos(t ).

ex

ex

(e
x
2 ex
)2
(e
x

ex
)

e
x

ex

2e x (1 e2x (1 e2x )2
)
.
cos 1
(2) y a x (a 0, a 1)
解:设y=au,u=cosv,v=1/x,则:
y

(au )u
uv
vx

cos 1
ax
ln a ( sin
1 y ( x ) ln x x (ln x) 1 ln x x 1 ln x 2 ,
y
2x
x 2x
y ln x 2 2x
x
x
x1
2 (ln x 2).
2x
方法二: y 2x x eln2x x eln2 x ln x .
y=f(x),则
ux
uy yx

1 y
f ( x).
(2)本题用的求导方法习惯上称为对数求导法,即先两 边取对数,再对x求导.一般适用于下列两类函数:
①形如y=(x-a1)(x-a2)…(x-an)的函数,取对数后,可
将积转化为和的形式,或
y

(x (x

a1 )( b1 )(
x x

an )
bn ),取对
数后,可转化为代数和的形式.
②无理函数或形如y=[f(x)]g(x)这类幂指函数.
(3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商 变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求 导变为可能(无求导公式变为有求导公式).
例如我们利用上面例题中的(2)可知 ( xn ) nxn1 (n Q) 中的n的范围可以扩大到全体实数.
最小距离.
答案:
2 .
2
四、小结：
(1)对数函数、指数函数的导数是常用的导数公式中较 难的两类函数的导数,要熟记公式,会用公式,用活公 式.
(2)解决指、对数函数的导数问题,应充分重视指数、对 数的运算性质的准确使用,以保证变换过程的等价性.
(3)在求指、对数函数的导数过程中,要遵循先化简,再 求导的原则;要结合导数的四则运算法则和复合函数 的求导法则进行求导.
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数:
(1)y=ln(2x2+3x+1)
(2)y=lg 1 x2
(3)y=e2xcos3x
(4)y=a5x
解:(1)
y
2
x
2
1 3
x

1

(2
x
2

3
x

1)

4x 3 2x2 3x1.
(2)法1:y
lg e ( 1 x2 ) 1 x2
y eln2 x ln x (ln2 x ln x) eln2 x ln x ( 1 ln x 2x
2x x
1
x1
(ln x 2) x 2 (ln x 2).
2x
x 1) x
对数函数 与指数函数 的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.复合函数的导数公式.
5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容.
有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函 数的可导性.结合前一章节的知识,我们可知,初等函数 在其定义域内都是连续而且可导.
二、新课——指、对函数的导数：
1.对数函数的导数:
(1) (ln x) 1 .
x
1
下面给出公式的证明,中间用到重要极限
lim(1
x0

x) x

e.
证: y f ( x) ln x,
x x
x
y ln(x x) ln x ln
ln(1 );
x
x
y
1 y

y
g( x) ln
f (x)
g(x)
f (x) ; f (x)

y

y[ g( x ) ln
f
( x)
g( x)
f (x)] f (x)

y
[
f
( x)]g( x)[g( x) ln
f
( x)
g( x)
f
( x) ].
f (x)
说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny,
(6) y x ln x ln( x 1) (7) y x x2 a2 a2 ln x x2 a
x 1
2
2
a
(5) y ln
1 x2 1 x2
(6)
y

ln x (x 1)2
.
(5)
y

2x
x4
. 1
(7) y x2 a2 .
例6:求下列函数的导数:(1)y=xx(x>0);(2)y=[f(x)]g(x).
由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为(1,0). 所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0.
练习2:分别求曲线①y=logxe;② y e xe ln x 在点(e,1)处 的切线方程.
答案:①x+ey-2e=0,②(1+e)x-ey-e2=0.
延伸:设点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的
lg e
1 x2
x x lg e 1 x2 x2 1.
(2)法2:


y
y


lg
1 2

1 x
lg e 1 x2
2


(1
1 2

lg(1
x2 )
x 2 );
x lge x2 1
.
(3) y 2e2x cos 3x e2x (3sin3x) e2x (2cos 3x 3sin3x).
故当t=1/2时,质点运动速度v0为:
v0

s
|
t

1
2


1
[2

sin(
e
2
)

cos( 2
)].
例5:求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.
解:设该切线与曲线相切的切点为(x0,x0lnx0). y x ln x x(ln x) ln x x 1 ln x 1. x 故曲线在点(x0,x0lnx0)处的切线斜率为lnx0+1.
1 x x2 x 1

x 1 x 2
1
x
(1
x)2

1 x
x2 1
.
方法二:由于y>0,故可以两边取对数.
ln y ln( x 1 x ) ln x 1 [ln(1 x) ln(1 x)].
1 x
2

y y

1 x

1( 1 2 1 x
又如下面一题我们就有两种不同的解法:
题目:已知0<x<1,求 y x 1 x 的导数.
1 x
方法一: y x 1 x x( 1 x ) 1 x x 1 1 x (1 x )
1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x
1 x 1 1 x 2

1) 1 x

1 x

1 1 x2

y

y( 1 x

1 1 x2Байду номын сангаас
);
y x
1 x 1 x2 x 1 x x(1 x2 )
1 x x2 x 1
1 x
x2 1
.
练习3:用两种不同的解法求函数 y 2x x 的导数.
方法一:由于y>0,故两边取对数,得 ln y ln 2 x ln x.
解:(1)两边取对数,得lny=xlnx.
由于y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式
两边对x求导,可得:
1 y ln x x 1 , y y(ln x 1), y x x (ln x 1).
y
x
(2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:
1
ln(1
x )

1

x
ln(1
x )

1
ln(1
x
)
x x
,
x x
x x x
xx
x

y
lim
y

1
lim ln(1
x
)
x x

1
ln[ lim (1
x
)
x x
]
x0 x x x0
x
x x0
x
1 ln e 1 .
x
x
(2)
(log a