指数函数的导数

3. 求下列函数的导数：
(1) y x x ( x 0) (2) y 2x x
[解]
(1) 两边取对数, 得 ln y x ln x.
由于y是x的函数,由复合函数的求
导法则对上式两边对x求导,可得 :
1 y' ln x x 1 , y' y(ln x 1)
y
x
y' x x (ln x 1).
[解] 设该切线与曲线相切的切点为
(x0, x0lnx0). 1
y' x'ln x x(ln x)' ln x x x
ln x 1 故曲线在点(x0，x0lnx0)处的切线斜率为 lnx0+1.由已知可得：lnx0+1=1，即x0=1. 故切点为(1，0).所以所求切线方程为： y－0=x1，即x－y－1=0.
(Cu)' Cu' (C为常数)
u u'v uv'
( )' v
v2
(v 0)
设函数u ( x)在点x处有导数u'x '( x),函数y f (u)在点x的对应点u处有 导数y'u f '(u), 则复合函数y f [( x)] 在点x处也有导数, 且y'x y'u u'x 或记 f 'x [( x)] f '(u)'( x).
[例1] 求下列函数的导数：
(1) y e2x cos 3x (2) y a5x
[解] (1) y' 2e2x cos 3x e2x (3sin 3x) e2x (2cos 3x 3sin 3x).
[解] (1) y' 2e2x cos 3x e2x (3sin 3x) e2x (2cos 3x 3sin 3x).
(2) y' a5x ln a (5x)' 5a5x ln a.
[例2] 求下列函数的导数：
(1) y esinx (2) y ln(1 2x )
(3) y (2e)2x (4) y ln x x4 1
(5) y 10sin2 x
ex (6) y x2 ln 3
[解析]
(1) y' esinx cos x
问题：能否用上述方法推导出ex、 ax (a>0，a≠1)的导数公式？
(1) (e x )' e x
问题：能否用上述方法推导出ex、 ax (a>0，a≠1)的导数公式？
(1) (e x )' e x (2) (a x )' a x ln a (a 0,a 1)
三、理解公式，初步应用：
x
1. 常见函数的求导公式及求导法则：
C' 0 (C为常数) ( xn )' nxn1 (n Q)
(sin x)' cos x (cosx)' sin x
(ln x)' 1 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(log a
x)'
1 x
log a
e
2. 函数四则运算及复合函数的求导法则：
2. 函数四则运算及复合函数的求导法则：
[解析]
(4) 变形, y ln x 1 ln( x4 1), 2
则y'
1 x
1 ( x4 1)'
2
x4 1
1 x
2x3 x4 1
x4 1 x( x4 1)
[解析] (5) y' 10sin2 x ln 10 (sin2 x)' 10sin2 x ln 10 2 sin x cos x 10sin2 x ln 10 sin 2 x
2. 函数四则运算及复合函数的求导法则：
设u u(x), v v(x)均可导,则 (u v)' u'v' (uv)' u'v uv' (Cu)' Cu' (C为常数)
2. 函数四则运算及复合函数的求导法则：
设u u(x), v v(x)均可导,则
(u v)' u'v'
(uv)' u'v uv'
一、复习旧知，以旧悟新：
1. 常见函数的求导公式及求导法则：
1. 常见函数的求导公式及求导法则：
C' 0 (C为常数)
1. 常见函数的求导公式及求导法则：
C' 0 (C为常数) ( xn )' nxn1 (n Q)
1. 常见函数的求导公式及求导法则：
C' 0 (C为常数) ( xn )' nxn1 (n Q) (sin x)' cos x
**[练习]** 分别求曲线：(1) y=logxe； (2) y=exelnx在点(e，1)处的切线方程.
设u u(x), v v(x)均可导,则
2. 函数四则运算及复合函数的求导法则：
设u u(x), v v(x)均可导,则 (u v)' u'v'
2. 函数四则运算及复合函数的求导法则：
设u u(x), v v(x)均可导,则 (u v)' u'v' (uv)' u'v uv'
[解析]
(1) y' esinx cos x (1 2x )' 2x ln 2
(2) y' 1 2x 1 2x
[解析]
(1) y' esinx cos x (1 2x )' 2x ln 2
(2) y' 1 2x 1 2x (3) y' (2e)2x ln( 2e) (2x)'
2(2e)2x (ln 2 1)
[解析] (5) y' 10sin2 x ln 10 (sin2 x)'
10sin2 x ln 10 2 sin x cos x
10sin2 x ln 10 sin 2 x
(6)
y'
ex
x2
ex x4
2x
(x
2)e x x3
[例3] 求曲线y=xlnx的平行于直线 xy+1=0的切线方程.
1. 常见函数的求导公式及求导法则：
C' 0 (C为常数) ( xn )' nxn1 (n Q) (sin x)' cos x (cosx)' sin x
1. 常见函数的求导公式及求导法则：
C' 0 (C为常数) ( xn )' nxn1 (n Q) (sin x)' cos x (cosx)' sin x (ln x)' 1
(2) lny ln 2 x ln x.
1 y' ( x )'ln x x (ln x)' y
1 ln x x 1 ln x 2 ,
2x
x 2x
y' ln x 2 2x
x
x
x1
2 (ln x 2).
2x
二、提出问题，推导公式：
问题：能否用上述方法推导出ex、 ax (a>0，a≠1)的导数公式？