平稳地震地面运动改进金井清谱的相关函数模型_secret

平稳地震地面运动改进金井清谱的相关函数模型
摘要：胡聿贤平稳地震地面运动谱模型是对Kanai-Tajimi模型的一种改进。

在本文中，通过数学推导证明胡聿
贤谱是将基岩地震动模拟为过滤白谱过程，经具有某种特性的线性单自由度土层滤波后而形成的，从而在物理
上解释了胡聿贤模型的合理性。

研究了低频截止频率的作用，推导出胡聿贤模型的相关函数的表达式。

本文的
结果可为结构随机地震反应时域分析提供基础。

关键词：地震地面运动；随机过程；Kanai-Tajimi谱；胡聿贤谱；相关函数
A correlation function model to earthquake-induced ground motion process
with a modified Kanai-Tajimi spectrum
Abstract: A modified Kanai-Tajimi spectral model, called Hu spectral model, is analyzed in this paper. The Kanai-Tajimi model is modified by the frequency parameter over the low frequency range. It is proved that the earthquake-induced ground motion model with Hu spectral model is essentially the filtered color noise process. This model can consider the characteristics of bedrock and overlaying soil and can solve the convergence problem of the displacement and velocity variance of the ground motion. The study shows that the modified Kanai-Tajimi spectral model is distinct in physical meaning and practically reasonable. Furthermore, the frequency parameter to restrain the low frequency content of earthquake ground motion is discussed and the autocorrelation function of modified Hu spectral model is deduced by correlation theory and state space method in time domain in this paper. These results provide a basis for random response analysis and reliability assessment of the seismic structures. Key words: earthquake-induced ground motions; stochastic process; Kanai-Tajimi spectral model; Hu spectral model; correlation function
引言
强地震往往造成巨大的经济损失和人员伤亡，主要原因是土木工程设施无法抵御强烈的地震地面运动，在地震过程中发生破坏甚至倒塌，从而形成非常严重的震害。

所以如果要减轻地震灾害，最为有效的手段就是努力提高工程结构的实际抗震能力，在经济许可的条件下优化结构的抗震性能。

这就要求人们必须对结构在地震作用下的反应做出较为精确的分析，首先需要对地震地面运动进行估计并做出描述。

由于地震的震源、传播路径和结构场地中存在着不确定性，强地震引发的地面运动被认为是随机过程。

因此结构的地震反应也必然是随机过程，采用概率方法分析结构的地震反应并评估结构的抗震可靠度显得更为合理。

强地震动的发生属于稀有事件，通过大量样本建立它的统计特性是不可能实现的。

比较现实的做法是给出结构场地地震地面运动过程的随机模型，通过强震观测资料拟合出该模型在不同场地条件下的参数，并以此作为结构随机激励的依据。

地面运动随机模型通常具有明确的物理概念，一般用功率谱密度函数描述。

美国学者Housner首先将随机过程模型用于描述地震地面运动[1]，采用的模型等价于白噪声。

后来在地震工程中获得广泛使用的随机地震动模型是由日本学者Kanai和Tajimi发展的过滤高斯白噪声模型[2][3]，称为Kanai-Tajimi模型（金井清模型）。

Kanai-Tajimi模型将基岩地震动模拟为白噪声过程，覆盖土层简化为某种特性的单自由度线性滤波器，因而它具有明确的物理意义。

但是Kanai-Tajimi谱也存在着明显缺陷，主要是过分夸大了地震动的低频成分，用于低频结构的随机地震反应分析时可能得到不合理的结果。

此外，Kanai-Tajimi谱在零频处存在奇异点，不满足连续两次可积的条件，由它导出的地面速度和地面位移的方
差无界。

为了克服Kanai-Tajimi 模型的不足之处，国内外一些学者对Kanai-Tajimi 模型进行了改进，提出了多种解决方案，如胡聿贤模型[4][5]、Clough-Penzien 模型[6]、欧进萍模型[7]等。

在这些模型的基础上，国内一些学者又做出了进一步的修正，如杜修力[8]、赖明[9]、李春祥[10]等人提出的修正方案。

在众多改进Kanai-Tajimi 模型的方案中，由我国学者胡聿贤提出的改进模型在保持了Kanai-Tajimi 模型优点的情况下较好地克服了其不足之处，与强震观测记录统计的结果符合得比较好，数学表达上也比较简洁，是描述地震地面运动过程随机特性的一个较为理想的模型。

本文试图通过数学推导解释胡聿贤谱在物理上的意义，研究低频截止频率的作用，给出胡聿贤模型的相关函数表达式，为结构随机地震反应时域分析提供方便。

1 改进的Kanai-Tajimi 模型
Kanai-Tajimi 平稳地震地面运动谱密度模型表示为
02
2222
4)2()()2()(S S g g g
g g g K
a
⋅+-+=
ωωζωωωωζωω (1)
式中，g ω和g ζ为覆盖土层滤波器的参数；0S 为基岩扰动白噪声的强度。

Kanai-Tajimi 谱本质上是经过一次过滤的白噪声过程，采用的滤波器方程为
x x t a g g g 2
2)(ωωζ--= (2)
)(22t U x x x
g
g
g
-=++ωωζ (3) 式中，)(t U 为强度为0
S 的白噪声过程。

胡聿贤谱对Kanai-Tajimi 谱的改进方案为
)()(222ωωωωωK
a n
c
n n H a
S S ⋅+= (4) 式中，c ω为低频截止频率；参数n 可取1、2或3，一般取n=3，因为只有这样才能满足连续两次可积条件。

与Kanai-Tajimi 谱相比，胡聿贤谱仅修正了Kanai-Tajimi 谱的低频部分，基本上没有改变其高频部分。

显然，当n=3时由胡聿贤加速度功率谱模型导出的地面运动的速度和位移都是有限的。

所以胡聿贤谱既保留了Kanai-Tajimi 谱的优点，又克服了它的不足。

Kanai-Tajimi 谱没有反映基岩地震动的真实频谱特性，因为它将基岩地震加速度模拟为白谱，显然不
符合地震的物理本质。

如果基岩地震加速度)(t U
取为某种有色谱，例如其谱密度具有如下形式： 0222)(S S n
c
n n U ⋅+=ωωωω (5) 则可以证明：通过滤波器方程（2）和（3）求得的地震地面加速度过程)(t a 的谱密度具有式（4）的胡聿贤谱的形式。

这样，胡聿贤谱可以理解为：具有式（5）谱密度形式的基岩地震动随机过程，经过覆盖土层单自由度线性滤波器过滤后的地面加速度过程的谱密度即为胡聿贤谱。

实际地震发生时，基岩加速度过程不可能为白谱，而只能是具有某种特征的色谱，所以胡聿贤谱比Kanai-Tajimi 谱更符合地震的物理本质。

2 低频截止频率的作用
既然胡聿贤谱是有色谱（5）过滤后的结果，那么基岩地震加速度过程)(t U
又具有什么特征呢？基岩地震动过程（5）具有两个谱参数，分别为0S 和c ω，它们同谱幅值的关系示于图1中。

从图1可以看出，基岩地震加速度过程的谱密度函数（5）同白谱相比，只是在低频部分有所不同，而在中高频部分是基本相同的。

当频率ω超过c ω大约2倍时，它同白谱几乎没有差别。

所以式（5）的基岩地震动功率谱模型相当于对白谱做出的修正，它削减了白谱的低频含量，仅改变白谱在低频范围内的能量分布情况，而谱参数c ω则决定了对白谱进行修正的范围，即大致在0~c ω2的范围内对白谱做出修正。

图1 基岩地震动过滤白谱（n=3） 图2 胡聿贤功率谱模型（n=3）
下面证明式（5）的谱密度函数是一种过滤白谱过程。

取n=3，考虑如下的滤波方程：
)()(t y t U = (6) )(3t p y y c =+ω (7)
式中，)(t p 为强度为0S 的白噪声过程。

令t
i e
t p ω=)(，t i yp e i H y ωω)(=。

将)(t p 和)(t y 代入式（7），注意到0≠t
i e
ω，得传递函数为
3
3
1
)(c
yp i i H ω
ωω+-=
(8)
所以)(t y 的谱密度为
06
62
1
)()()(S S i H S c p yp y ⋅+=
=ωωωωω (9)
由于
06
66
6
)()(S S S c
y y ⋅+==ωωωωωω (10) 可得
06
66
)()(S S S c
y U ⋅+==ωωωωω (11) 显然，当n=3时式（11）与式（5）完全相同。

所以基岩地震加速度可以被看作一种过滤白谱过程，而胡聿贤谱是过滤白谱再过滤一次的结果，即为两次过滤白谱。

在基岩地震动过滤白谱（5）中，0S 表征基岩扰动加速度的强度，取决于地震释放能量的大小，一般可由最大地震地面加速度均值确定；参数c ω控制基岩地震动的低频截止范围，c ω越大，地震低频含量就越少，它在物理上应该同震源机制存在关系。

一般而言，地震发生时基岩地震动的高频含量是比较丰富的，经过土介质过滤后，高频含量被大量滤掉，而某些长周期的成分被放大了。

从这个意义上讲，基岩地震动模型（5）仅修正白谱的低频部分而不改变其高频部分不仅在数学上非常简洁，在物理上也具有一定的合理性。

因为被土介质过滤后，基岩地震动传播到场地后其高频分量的影响已经不是很大了。

关于低频截止频率c ω的取值，一些学者做过专门的研究。

洪峰等[11]利用实际地震地面加速度记录，采用最小二乘法拟合胡聿贤谱的谱参数，给出了两种场地条件下参数c ω的取值，结果见表1。

王君杰等[13]
基于台湾SMART-1台网三次地震记录的N-S 分量，计算了其加速度功率谱密度和位移功率谱密度的统计值，通过非线性拟合技术对这些统计值进行了拟合，得到了胡聿贤谱模型的参数取值，结果列于表2中。

表1 胡聿贤功率谱模型的参数（洪峰的结果，n=3）
场地条件 0S
g ω(rad/s)
c ω(rad/s)
g ζ
软土场地 1.574 10.25 1.742 1.006 中等土场地
1.076
17.07
2.108
0.7845
表2 胡聿贤功率谱模型的参数（王君杰的结果，n=3）
地震编码 0S (×10-3)
g ω(rad/s)
c ω(rad/s)
g ζ
E-05 3.30 16.77 2.65 0.63 E-39 55.00 6.97 3.60 0.40 E-45
14.05
10.59
1.51
0.56
王君杰根据三次实际地震拟合出的胡聿贤谱模型如图2所示，从中可以看出c ω对地面运动功率谱形状的影响。

3 基岩地震动过程的时域特征
式（4）的功率谱密度函数描述了胡聿贤谱的频域特性，而时域特性主要通过相关函数体现。

胡聿贤模型是对基岩地震加速度过滤白谱进行再次过滤的结果，而基岩地震加速度则可以通过式（6）和式（7）的过滤方程得到。

引入状态向量，将式（7）写成状态方程形式
)(}{}]{[}]{[t p F z B z
A r =+ (12) 式中
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=y y y z z z z 321}{，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100][A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=01010
000
][3c B ω，⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧=001}{r F
][A 和][B 都具有对称性，式（12）所对应的特征方程为
3,2,1}0{}]){[]([==+j B A j j ϕλ (13)
可解得特征值为
c ωλ-=1，c i ωλ2312+=
，c i
ωλ2
313-= (14) 对应的复振型为
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=21111}{λλϕ，⎪⎭⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧=22221}{λλϕ，⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=23331}{λλϕ (15)
可以证明，各复振型之间具有如下的加权正交性：
0}]{[}{}]{[}{==k T j k T j B A ϕϕϕϕ k j ≠时
}]{[}{}]{[}{j T j j j T j A B ϕϕλϕϕ-=
作复模态变换
∑==3
1
}{}{j j j h z ϕ (16)
将式（16）代入式（12），分别前乘T }{1ϕ，T }{2ϕ和T
}{3ϕ，并利用复振型的正交性，可得到三个相互解耦的方程：
3,2,1==-j p h h j
j j j ηλ (17)
式中，231
}
]{[}{}{}{j
j T j r T j j A F λϕϕϕη=
=。

方程（17）的解为
⎰∞
-=0
)()(ττητ
λd t p e
t h j j j (18)
复振型反应j h 、k h )3,2,1,(=k j 的相关函数为
)]()([)(*
ττ+=t h t h E R k j h h k j (19)
式中“*”表示共轭复数。

将式（18）代入式（19），交换期望与积分运算的次序，得
3210
,,,)()(**
=-+=⎰
⎰
∞∞+k j dvdu
v u R e
R p v
u k
j h h k j k j τηητλλ (20)
式中，)(2)(0τδπτS R p =，为白噪声的相关函数。

由复振型变换（16）和复振型表达式（15），可知体系的反应为
∑===3
1
23)()()(j j j t h t z t y
λ (21) 反应的相关函数为
∑∑===3
13
12
*2)()()(j k h h k j y k j R R τλλτ (22)
将式（20）代入式（22），可得
∑∑⎰⎰==∞∞+-+=31310091j k p v u y dvdu v u R e R k j )()(*ττλλ τλλλπ**
k e S j k k
j ∑∑==+-=31310192 (23) 考虑到)()(2
2
τττy y R d d R -=，经积分运算得到基岩过滤白谱的相关函数为 )]2
3sin 323(cos [32
0τωτωπωτωτωc c
c y U c
c e e S R R -+-==- (24) 4 胡聿贤模型的相关函数
如果基岩地震加速度过程具有式（11）的功率谱密度和式（24）的相关函数，则将它作为输入，把覆盖土层视为单自由度体系，再经过一次过滤即可得到胡聿贤模型，滤波方程为式（2）和式（3）。

将滤波方程（2）和（3）改写为如下的状态方程形式：
)(}{}]{[}]{[t U F u K u
M g -=+ (25) 式中，)(t U
为具有式（24）的相关函数的过滤白噪声过程；T
x x u },{}{ =为状态向量；][M 、][K 和}{g F 为系数矩阵和向量，按下式计算：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0112][g g M ωζ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=100][2
g K ω，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=01}{g F 方程（25）的解向量}{u 可分解为各阶复振型的反应，即
∑==2
1
}{}{j j j q u γ (26)
式中，}{j γ和)(t q j 分别为第j 阶复振型和复振型反应。

根据文献[15]，地面加速度的相关函数为
)(4)()(2
24τωζτωτx g g x g a R R R += (27)
其中
∑∑===212
1
)()(j k q q x k j R R ττ (28)
∑∑===212
1
*
)()(j k q q k j x k j R r r R ττ (29)
式中，j r 为复频率，D g g i r ωωζ±-=2,1，2
1g g D ζωω-=。

而复振型反应的相关函数为
02,1,)(4)1()(0
2
*≥=-+-=⎰⎰
∞∞++ττωτk j dvdu
v u R e
R U v
r u r D
k
j q q k j k j (30)
将式（24）代入式（30），积分后得：
021112120≥=+++⋅+⋅-=-+τρκβαωωπτττ
μμττω,,)()()(*
*
*
k j e e e e r r S R k
c
k
j p jk jk jk jk k
j D k j c q q (31)
式中各系数由下列各式确定
)
)(()(**c j c k j k jk r r r r ωωα-++-=
，)(
*
c j c k jk r r μωμωμβ-++⋅-=1
1 )(
****c
j c
k jk r r ωμωμμκ-+
+⋅-=1
1，
2
221111c k c c k c k c k c k jk r r r r r ωωωμωμμμωμωμρ+-++--⋅-+--⋅-=)()()(
******
**
其中i 2
321--
=μ， 对于μ有*μμ=2，13=μ，12-=+μμ， μμ=2*，13=*μ，12-=+**μμ
将式（31）代入式（28）和式（29），利用Euler 变换，整理后得
)]
sin cos ()23sin 23cos
([12)(54322
120τωτωτωτωωωπττ
ωζτ
ωτ
ω
g g g g c
c
D D c c D
c x b b e
b b e e
b S R -+-+=-- (32) )]
sin cos ()23sin 23cos ([12)(5432212
0τωτωτωτωωωπττ
ωζτ
ωτ
ω
g g g g c
c D D c c D
c x c c e
c c e e c S R -+-+=-- (33)
式中各系数的计算公式分别为
4
2
24
2
124c c g g D
K b ωωωωω+--= L
K b c c g g D ]
22[4422422ωωωωω--=
L
K b c g D g ]
2[3422
223ωωωω+=
}2)(2)2(28{2422422244224232
4c c g g c g g C g g C g g
g c D K K L M K K b ωωωωωωωωωωωωωζωω++++-+++-=
}2)(2)2(28{24
2242
2244224225c c g g c g g C g g C g g
c D K K L M K K b ωωωωωωωωωωωωωωω+++-+--++= 211c b c ω-=
23222
3c b b c ω+=
，223323c b b c ω-=
54242b b K c D g g g ωωζω--=，452
52b b K c D g g g ωωζω+-=
其中
K=122
-g ζ,
L=])12(2)[12(2)(4
22242228448c g c g g g c g c c g g ωζωωωζωωωωωω+-+-++-,
M=4
22246)12(8c g g c g g ωωζωωω+-+
将式（32）代入式（33）和式（27），整理后得
)]
sin cos ()23
sin 23cos
([)
1(12)(5432212
0τωτωτωτωζωπττ
ωζτ
ωτ
ω
D D c c g c a g g c
c e
e e S R A +A +A +A +A -=-- (34)
式中，1A 、2A 、3A 、4A 、5A 为系数，由下列各式确定
12
221)4(b c g g ωζω-=A
3222222232)2(b b c g c g g ωζωζω++=A ，32
222223)2(32b b c g g c g ωζωωζ+-=A
523442248)841(b b D g g g g ωζζζω--+=A ，54224235)841(8b b g g g D g ζζωωζ-+--=A
式（34）即胡聿贤谱的相关函数，它与式（4）的谱密度函数（取n =3）构成傅立叶变换对。

5 结论
(1) 胡聿贤对金井清谱的改进方案具有明确的物理意义，改进的金井清谱（胡聿贤谱）实质上表述的是一种过滤有色噪声过程。

胡聿贤谱使得功率谱密度函数在零点不再有奇异点，保证了地面速度方差和位移方差的有界性，该模型更加符合地震动的实际情况。

(2) 胡聿贤功率谱中的频率控制参数c ω将金井清谱的低频分量合理缩减，参数值越大，对地面运动的低频含量的削弱就越强。

这使得胡聿贤功率谱不仅可用于中高频结构的随机地震反应分析，而且还可用于低频结构的反应分析。

(3) 相关函数是平稳过程重要的时域特征，通过相关函数可以非常方便的计算出随机过程的均方等统计量。

胡聿贤谱为两次过滤白噪声过程，其相关函数可以通过滤波方程在时域内求解出来，物理概念比较清晰。

可为结构随机地震反应时域分析提供基础。

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