2019大一轮高考总复习文数讲义：第04章 三角函数与解

第七节 解三角形应用举例
实际应用中的常用术语 1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 3．方向角
相对于某一正方向的水平角(如图③)
(1)北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°. (3)其他方向角类似． 4．坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫作坡角，坡面的垂直高度h 与水平宽度b 之比即i ＝h b ＝
tan α(其中α为坡角)叫作坡比(如图④)．
提醒： 辨明两个易误点
(1)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出
的量．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．( )
(2)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为34，设α为坡角，那么cos α＝3
4.( )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦⎤0，π
2.( ) 答案： (1)√ (2)× (3)×
2．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α＞β B ．α＝β C ．α＋β＝90°
D ．α＋β＝180°
解析：选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B ．
3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )
A ．北偏东15°
B ．北偏西15°
C ．北偏东10°
D ．北偏西10°
解析：选B 如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A 在点B 的北偏西15°.
4．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为10 km ，现测得∠ABC ＝120°，若地面上有一点O 到A ，B ，C 三点距离皆为p km ，则p 的值为( )
A ．10
B ．20
C ．10 3
D ．20 3
解析：选A 由题意知AC 2＝102＋102－2×10×10×cos 120°＝300. ∴AC ＝103，∴2×cos 30°×p ＝103，即2p ＝103
32
＝20，∴p ＝10.
测量距离问题 [明技法]
距离问题的类型及解法
(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．
(2)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．
[提能力]
【典例】 如图，隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．
解：在△ACD 中，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝75°＋45°＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°， 所以AC ＝CD ＝ 3 km.
在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. 所以BC ＝
3sin 75°sin 60°＝6＋2
2
.
在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°
＝3＋2＋3－3＝5，所以AB ＝5 km ，
所以A ，B 之间的距离为 5 km. [刷好题]
(2018·宝鸡模拟)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )
A ．50 2 m
B ．50 3 m
C ．25 2 m
D ．2522
m
解析：选A 在△ABC 中，∠CBA ＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理得AB sin C ＝AC
sin B ，
所以AB ＝AC sin C sin B ＝50×sin 45°
sin 30°
＝50 2.故选A ．
测量高度问题 [明技法]
求解高度问题应注意
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
[提能力]
【典例】 (2018·沈阳模拟)要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为________m.
解析：设电视塔AB 高为x m ，如图，
则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x . 在Rt △ADB 中，由∠ADB ＝30°，得BD ＝3x . 在△BDC 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°， 即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°， 解得x ＝40，所以电视塔高为40 m. 答案：40
[母题变式1] 在本例中，若∠ACB ＝30°，∠BCD ＝60°，DC ＝100 m ，且CB －DB ＝40 m ．如何求解？
解：设CB ＝x ，则DB ＝x －40.
在△BCD 中，由余弦定理得(x －40)2＝1002＋x 2－2×100x cos 60°，
即(x －40)2＝1002＋x 2－100x ，解得x ＝420. 又在Rt △ABC 中，∠ACB ＝30°， ∴
AB
420
＝tan 30°， 即AB ＝420tan 30°＝420×
3
3
＝1403(m)， 即电视塔的高度为140 3 m.
[母题变式2] 在本例中，若电视塔的高度为30 m ，且在D ，C 两点的仰视角分别为45°和60°，且∠DBC ＝30°，则C 、D 两点间的距离是多少米？
解：因为AB ＝30，∠ADB ＝45°，∠ACB ＝60°， 所以BD ＝30，BC ＝10 3.
在△DBC 中，由余弦定理，得CD ＝10 3 m. 即C 、D 两点间的距离为10 3 m. [刷好题]
(2018·武汉模拟)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.
解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.
又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m ．在Rt △BCD 中，
CD ＝BC ·tan 30°＝3002×
3
3
＝100 6(m)． 答案：100 6
测量角度问题 [明技法]
解决测量角度问题的注意事项
(1)首先应明确方位角或方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
[提能力]
【典例】 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处 (3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
解：设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝ 103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)×2×cos 120°＝6，
解得BC ＝ 6.
又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC
，
∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2×sin 120°6＝2
2，
∴∠ABC ＝45°，故B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，
在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD
sin ∠CBD ，
∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t ＝1
2.
∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶． 又在△BCD 中，∠CBD ＝ 120°，∠BCD ＝30°， ∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝6，解得t ＝
6
10
小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟． [刷好题]
在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，
则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.
根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°，
解得sin α＝20sin 120°28＝53
14
.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为53
14.。