高中数学圆锥曲线典型例题
高中数学-圆锥曲线中的定点、定值与最值问题
[例 2] 如图，在平面直角
坐标系 xOy 中，椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、
右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)
和e，
23都在椭圆上，其中
e
为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1 与直
线 BF2 平行，AF2 与 BF1 交于点 P，
法二：同(2)法一假设前内容． 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M 必在x轴上． 取k＝0，m＝ 3，此时P(0， 3)，Q(4， 3)， 以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－ 3)2＝4， 交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)； 取k＝－12，m＝2，此时P1，32，Q(4,0)， 以PQ为直径的圆为x－522＋y－342＝4156， 交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．
因为 MP ＝－4mk－x1，m3 ， MQ ＝(4－x1,4k＋m)， 由 MP ·MQ ＝0，得－1m6k＋4kmx1－4x1＋x12＋1m2k＋3＝0， 整理，得(4x1－4)mk ＋x12－4x1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立， 所以4x1x2－1－4x41＝＋03，＝0， 解得x1＝1. 故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
圆锥曲线中的最值问题
[例3] 如图，在直角坐标系xOy中，点 P1，12到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距 离为54.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的 两动点，且线段AB被直线OM平分．
(1)求p，t的值； (2)求△ABP面积的最大值．
[思路点拨] (1)利用点M(t,1)在曲线上及点P 1，12 到准线的距 离为54求p与t的值；
(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)
(1)当5AC =时，求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值．7．已知抛物线1C ：28x y =的焦点点，1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程；(2)过F 的直线l 与1C 交于A ，（i ）若AC BD =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与系.8．已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线切线，切点分别为,A B ．求证：9．已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点．a b (1)求椭圆的方程；(2)P 是椭圆C 上的动点，过点P 作椭圆为坐标原点）的面积为5217，求点12．过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案：）(),0a-，(),0F c，所以AF时，在双曲线方程中令x c=，即2bBFa=，又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形，即易知2BFA BAF ∠=∠；当BF 与AF 不垂直时，如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+，002tan 2y x aBAF +∠=4．(1)21±2(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F1 1x5．(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式可解；【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：三角换元法；（5）平面向量；（7．(1)2213x y -=(2)（i ）36±；（ii ）点F 在以【分析】（1）根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标，结合同焦点建立方程组求解可得；（2）（i ）设()11,A x y ，(2,B x 物线方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合以及点M 坐标，利用FA FM ⋅【详解】（1）1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46，且所以公共点的横坐标为26±，代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--，342931x x k =-，9．(1)2212x y +=，2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】（1）用b 表示12,e e ，由12e e ⋅=10．(1)2222114222x y x y +=-=，；(2)1；(3)是，=1x -【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦，又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为由22x y =，得212y x =，得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩，得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。
全国名校高中数学题库--圆锥曲线
uuu v uuu v
⎩ y = 4x △ = 16k 2 − 16 > 0 ， k < −1或k > 1 设 P ( x1 , y1 ) ， Q ( x 2 , y 2 ) ，则 y1 + y 2 = 4k ， y1 y2 = 4k ��� � ���� ��� � ���� 由 OP ⋅ OQ = 0 ，即 OP = ( x1 , y1 ) ， OQ = ( x2 , y2 ) ，于是 x1 x2 + y1 y2 = 0 ，
即⎜ x −
⎛ ⎝
4 ⎞ 2 16 4⎞ 16 ⎛ ⎟ +y = （y≠0）. ∴点 R 的轨迹方程为 ⎜ x − ⎟ +y2= （y≠0）. 3⎠ 9 3⎠ 9 ⎝
2
2
6、已知动圆过定点 (1, 0 ) ，且与直线 x = −1 相切.(1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程；(2) 是否存在直线 l ，使 l 过点（0，1） ，并与轨迹 C 交于 P, Q 两点，且满足 OP ⋅ OQ = 0 ？若存在，求出直线 l 的方 程；若不存在，说明理由. 解： （1）如图，设 M 为动圆圆心， F (1, 0 ) ，过点 M 作直线 x = −1 的垂线，垂足为 N ，由题意知： MF = MN ， 即动点 M 到定点 F 与定直线 x = −1 的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨 迹为抛物线，其中 F (1, 0 ) 为焦点， x = −1 为准线， ∴ 动点 R 的轨迹方程为 y 2 = 4 x （2）由题可设直线 l 的方程为 x = k ( y − 1)( k ≠ 0) ，
即k
2
由⎨
⎧ x = k ( y − 1)
2
得 y 2 − 4ky + 4k = 0
高中数学_圆锥曲线400题
高中数学_圆锥曲线400题一、单选题( ) 1. 一双曲线的两渐近线为1:20L x y -=与2:20L x y +=且通过点()﹐其方程式为(1)22182x y -= (2)22182x y -=- (3)22128x y -= (4)22128x y -=-﹒( ) 2. 拋物线2118y x =+的焦点在 (1)()0,3 (2)()0,10 (3)330,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ (4)2570,32⎛⎫⎪⎝⎭﹒( ) 3. 在坐标平面上﹐过点()2,5P 而与双曲线221254x y -=相切的直线有几条﹕ (1)0 (2)1 (3)2(4)3 (5)4﹒( ) 4. 坐标平面上有一双曲线﹐已知其两焦点为()10,2--与()10,2-﹐一渐近线的斜率为34-﹐问此双曲线的贯轴长度为何﹕ (1)3 (2)4 (3)6 (4)8 (5)16﹒( ) 5. = (1)其长轴长为(2)其短轴长为(3)正焦弦长为(4)长轴的两端点为()6,2-﹑()6,2-- (5)长轴的方程式为0x y +=﹒( ) 6. 设拋物线的对称轴平行于y 轴且通过()1,0﹑()0,5-﹑()2,11三点﹐则方程式为 (1)245y x x =+- (2)265y x x =-- (3)245y x x =+- (4)2325y x x =+-﹒( ) 7. 通过点()1,1且与椭圆2223x y +=相切的直线方程式为 (1)23x y += (2)210x y -+= (3)23x y += (4)21x y -=﹒( ) 8. 拋物线的方程式为()()()2223465425x y x y +-=-+-﹐那么它的对称轴方程式为 (1)3470x y +-= (2)90x y +-= (3)4380x y --= (4)68310x y +-=﹒( ) 9.如右圖﹐A ﹐B ﹐C ﹐D 四個點中有一點是橢圓的焦點﹐選出該焦點： (1)A (2)B (3)C (4)D ﹒( )10. 下列何者正确﹕ (1)与拋物线恰交于一点的直线是切线 (2)与椭圆恰交于一点的直线是切线 (3)与双曲线恰交于一点的直线是切线 (4)通过()1,3作椭圆2299x y +=的切线恰有一条﹒( )11. 设k 为一常数﹐若方程式222117x y k k +=+-表一椭圆且与双曲线221759x y -=有相同的焦点﹐则k 的值为 (1)9- (2)9-或8 (3)10- (4)10-或9﹒( )12. 已知方程式()()2225423x y x y ⎡⎤-+=+-⎣⎦的图形为拋物线Γ﹐则Γ的正焦弦长为何﹕ (1)(2)(3)(4)5 (5)10﹒( )13. 下列各叙述何者为真﹕ (1)若双曲线的两渐近线互相垂直﹐则此双曲线必为等轴双曲线(2)设a ﹑b ﹑c 为实数﹐方程式22ax by c +=的图形是双曲线⇔0ab < (3)若直线L 与圆锥曲线Γ恰交于一点P ﹐则L 必为Γ的切线 (4)过双曲线的中心可作双曲线的二条切线﹒( )14. 设P 为双曲线22:1916x y Γ-=在第一象限的一点﹐若1F ﹑2F 为Γ的两焦点且12:1:3PF PF =﹐则下列哪些值可能为△12PF F 的周长﹕ (1)18 (2)20 (3)22 (4)24 (5)26﹒( )15. 拋物线的顶点为()1,0﹐焦点为()0,1﹐则下列何者正确﹕ (1)其方程式为()241y x =- (2)其对称轴为10x y --= (3)其方程式为22261070x xy y x y +++-+= (4)其正焦弦长为4 (5)其准线为30x y --=﹒( )16. 求椭圆229436x y +=上的点P 到直线:210L x y +=的最长距离为 (1)15 (2) (3)5( )17. 求拋物线28y x =被直线22x y -=所截的弦长为 (1)40 (2)(3)(4)50﹒ ( )18. 阿光在做习题时﹐遇到一题题目如下﹔「求过点()3,5且与双曲线22:48210x y x y Γ--+-=相切的直线方程式﹒」阿光的作法如下﹔35435821022x y x y ++⨯--⨯+⨯-= ⇒125412510x y x y ---++-= ⇒8480x y --=⇒220x y --=﹒答﹔切线方程式为220x y --=﹒就阿光的作法与答案﹐试判别下列何者为真﹕ (1)作法与答案皆正确(2)作法正确﹐但计算过程中有发生错误﹐使得答案不正确(3)作法正确﹐但答案错误﹐因为切线要有两条﹐所以阿光少写一条铅直切线3x = (4)作法不正确﹐因为()3,5不在双曲线上﹒( )19.同例題1﹐如果調整檯燈罩﹐將其往下壓﹐如圖﹒那麼桌面上S 區域的邊界是下列哪種圓錐曲線的一部分？ (1)圓 (2)橢圓 (3)拋物線 (4)雙曲線﹒( )20. (1)10(2)10+(3)14 (4)15﹒二、多选题( ) 1. 已知一拋物线的焦点为()4,3﹐准线为y 轴﹐则下列哪些点也在此拋物线上？ (1)()2,3(2)()4,7 (3)()4,1- (4)()4,3- (5)()0,3﹒( ) 2. 已知椭圆的长轴平行于x 轴﹐中心为()1,2且通过点()4,6﹐试问下列哪些点一定会在这椭圆上﹕ (1)()3,4 (2)()4,2- (3)()5,6 (4)()2,2-- (5)()2,6-﹒( ) 3. 已知拋物线方程式为284200y x y -++=﹐则 (1)对称轴为2x = (2)顶点()2,2- (3)焦点()2,0 (4)正焦弦长为8 (5)开口向上﹒( ) 4. 直线y x k =+与双曲线22412y x -=的相交关系为 (1)0k =时﹐没有交点 (2)3k =时﹐有一个交点 (3)3k <-时﹐有二个交点 (4)3k >时﹐没有交点 (5)k =时﹐没有交点﹒( ) 5. 下列有关双曲线224x y -=的叙述哪些是正确的？ (1)顶点为()0,2与()0,2- (2)贯轴长为2 (3)贯轴与共轭轴等长 (4)渐近线互相垂直 (5)通过中心可作出两条切线﹒( ) 6. 下列方程式何者表示一个完整的拋物线﹕ (1)()()222253412x y x y +=+- (2)(3)2y -=(4)25410y x y +--= (5)25x y +-﹒( ) 7. 设a ﹑b ﹑c 为实数﹐若二次函数2x ay by c =++的图形通过()1,0且与y 轴相切﹐下列何者为真﹕ (1)0a < (2)0b > (3)1c = (4)240b ac +> (5)0a b c ++≥﹒( ) 8. 已知坐标平面上三点()3,0A ﹐()3,0B -﹐(),P x y ﹐下列叙述哪些是正确的？(1)若8PA PB +=﹐则P 点的轨迹是一个椭圆 (2)若6PA PB +=﹐则P 点的轨迹是一个圆 (3)若4PA PB +=﹐则P 点的轨迹是一个椭圆 (4)若PA PB =﹐则P 点的轨迹是一条直线(5)若3PA PB -=﹐则P 点的轨迹是双曲线的一支﹒( ) 9. 设220ax cy dx ey f ++++=﹐22220a c d e +++≠在坐标平面﹐下列叙述何者正确﹕ (1)若0ac <﹐图形不可能为无图形 (2)0ac =﹐则图形为一直线 (3)0f =时必过原点 (4)若图形为椭圆﹐则0ac > (5)0ac >时图形可能为点﹒( )10. 一双曲线贯轴平行y 轴﹐中心为()1,2-且过()2,4-﹐则下列哪些点也会在双曲线上﹕ (1)()0,3 (2)()1,3- (3)()1,1- (4)()2,0- (5)()0,0﹒( )11. 关于10Γ=﹐则下列何者为真﹕ (1)Γ表一椭圆 (2)Γ表一双曲线 (3)Γ的中心为()2,2- (4)Γ对称于直线20x -= (5)Γ的一顶点为()2,3﹒( )12. 在坐标平面上﹐请问下列哪些直线与双曲线221364x y -=不相交﹕ (1)3y x = (2)32y x =(3)31y x =+ (4)3y x =- (5)100y =﹒( )13. 下列叙述何者正确﹕ (1)已知拋物线上三点﹐可以求出拋物线之方程式 (2)已知顶点及正焦弦长﹐可以求出拋物线之方程式 (3)已知椭圆的两焦点及椭圆上一点﹐可以求出椭圆的方程式 (4)已知椭圆的中心及长轴﹑短轴的长度﹐可以求出椭圆的方程式 (5)已知椭圆的四个顶点坐标﹐可以求出椭圆的方程式﹒( )14. 下列哪些叙述是正确的﹕ (1)Γ为拋物线﹐L 为一直线﹐若L 与Γ仅有一个交点﹐则L必为Γ的切线 (2)Γ为椭圆﹐L 为一直线﹐若L 与Γ仅有一个交点﹐则L 必为Γ的切线 (3)Γ为双曲线﹐L 为一直线﹐若L 与Γ仅有一个交点﹐则L 必为Γ的切线 (4)Γ为一圆锥曲线（拋物线、椭圆或双曲线）﹐V 为它的一个顶点﹐L 为过V 的对称轴﹐则过V 的切线必与L 垂直 (5)Γ为一圆锥曲线（拋物线、椭圆或双曲线）﹐P 在Γ上﹐则通过P 恰可作一条Γ的切线﹒( )15. 下列各方程式中﹐哪些图形的焦点相同﹕ (1)22192x y -= (2)22129x y -= (3)223824x y -= (4)22143x y += (5)221143x y +=﹒( )16.在()0,0O 有三個同心圓﹐半徑為1﹐2﹐3﹐在()4,0P 有四個同心圓﹐半徑為1﹐2﹐3﹐4﹐如右圖所示﹒A ﹐B ﹐C ﹐D ﹐E ﹐F 在某一個橢圓上﹐則下列有關此橢圓的選項哪些是正確的？ (1)中心為()2,0(2)長軸長為4 (3)短軸長為3 (4)一頂點為9,02⎛⎫⎪⎝⎭(5)一焦點為()4,0﹒( )17. 下列哪些叙述是正确的﹕ (1)()()22321250x y x y -+++-=的图形为两直线 (2)2的图形为双曲线的一支 (3)24y x =与24y x =图形的形状与大小均相同（不论位置） (4)22260x y -+=与22260x y --=图形的形状与大小均相同（不论位置） (5)2262x y =+与2262y x =+图形的形状与大小均相同（不论位置）﹒( )18. 坐标平面上﹐下列哪些直线与双曲线22:149x y Γ+=-不相交﹕(1)230x y -= (2)3210x y -+= (3)210x y -+= (4)320x y += (5)3y =﹒( )19. 一拋物线Γ的方程式为28x y =﹐()P 为Γ上一点﹐今有一平行y 轴的光線自上方射向P ﹐經反射後射到Γ上另一點Q 再反射﹒令1L 為過P 的切線﹐2L 為過Q 的切線﹐1L 和2L 交於R ﹒則下列哪些正確﹖(1)Q 的坐標為23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(2)經過Q 的反射線與y 軸交於()0,1103(3)2L 320y ++= (4)1L 與2L垂直 (5)R 的y坐標為2-﹒( )20. 已知坐标平面上一双曲线Ω的对称轴平行坐标轴﹐贯轴长2﹐图形过()2,10A -﹐()4,10B ﹐()1,4C 三点﹐且这三点不在双曲线的同一支上﹒关于此双曲线﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)Ω的贯轴平行x 轴 (2)Ω与x 轴必相交 (3)Ω与直线5y =没有交点 (4)Ω与直线1x =交于两点 (5)一直线过点()1,4C 且平行于Ω的其中一条渐近线﹐则此直线与Ω交于两点﹒( )21. 设1F 与2F 为坐标平面上双曲线22:1916x y Γ-=的两个焦点﹐P 为Γ上一点﹐使得此三点构成一直角三角形；试问符合条件的P 点有n 个﹐则n =﹕ (1)4n ≥ (2)4n ≤ (3)6n ≥ (4)6n ≤ (5)8n ≥﹒( )22. 关于双曲线22:1254y x Γ-=﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)过点()0,0的直线不可能与Γ相切 (2)过点()5,0-有两条切线 (3)斜率为52的切线有两条 (4)斜率为3的切线有两条 (5)斜率为2的直线有可能将双曲线的两支分在此直线的两侧﹒( )23. 2=的点(),x y 所成的图形﹐下列叙述何者正确﹕ (1)此图形为一椭圆 (2)此图形为一双曲线 (3)此图形的中心在()1,1-(4)此图形对称于20x y -+= (5)已知此图形上有一点22⎛ ⎝⎭﹐则22⎛ ⎝⎭必也在此图形上﹒( )24. 关于双曲线22:1254y x Γ-=﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)过点()0,0的直线不可能与Γ相切 (2)Γ的共轭双曲线的焦点为(0, (3)斜率为52的切线有两条 (4)斜率为3的切线有两条 (5)斜率为2的直线有可能将双曲线的两支分在此直线的两侧﹒( )25. 设a 与b 为实数﹐关于二元二次方程式22240x ay bx y ++-=的图形Γ﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)若Γ是一椭圆﹐则0a < (2)若Γ是一双曲线﹐则0a > (3)若Γ是一圆﹐则1a = (4)若Γ是一拋物线﹐则0a =且0b = (5)若0a =且0b =﹐则Γ是一拋物线﹒( )26. 已知()1,2A ﹐()3,1B --﹐()5,5C ﹐:0L x y -=﹐满足下列条件的P 的图形叙述何者正确﹕ (1)0PA PB -=时图形为双曲线的一支 (2)10PB PC +=时图形为椭圆 (3)P 到C 的距离与P 到直线L 的距离相等时为拋物线 (4)15PB PC +=时图形为椭圆 (5)4PA PB -=时图形为双曲线﹒( )27. 下列何者为真﹕ (1)椭圆内接最大面积的矩形﹐此矩形必为正方形 (2)过点()3,4可做2条切线与双曲线221916x y -=相切 (3)过点()0,0可做1条切线与双曲线221916x y -=相切 (4)等轴双曲线的正焦弦长等于贯轴长 (5)若1Γ﹑2Γ互为共轭双曲线﹐又双曲线1Γ的两焦点间的距离为4﹐则2Γ的两焦点间的距离亦为4﹒( )28. 已知等轴双曲线Γ的一条渐近线为0x y +=﹐中心的坐标()1,1-且Γ过点()4,0﹐试问下列叙述哪些是正确的﹕ (1)Γ的两渐近线互相垂直 (2)0x y -=为Γ的另外一条渐近线(3)Γ的贯轴在直线1x =上 (4)点()3,1--为Γ的一个焦点 (5)点(1,1-+为Γ共轭双曲线Γ'的一个顶点﹒( )29. 设xy 平面上Γ6=﹐试问下列叙述哪些是正确的﹕ (1)Γ的图形可以当成两个拋物线 (2)Γ的贯轴所在直线是两渐近线的角平分线 (3)3410x y -+=是Γ的对称轴 (4)1711,55⎛⎫- ⎪⎝⎭是Γ的顶点 (5)147,55⎛⎫- ⎪⎝⎭是Γ的顶点﹒( )30. 已知双曲线的两条渐近线方程式为20x y +=与20x y -=﹐两顶点的距离为1﹐下列何者可能是此双曲线的方程式﹕ (1)224161x y -= (2)221641x y -= (3)2241x y -= (4)2241x y -+= (5)2241x y -+=﹒三、填充题1. 求拋物线2112y x x =-+-的焦点坐标为____________﹒2. 设双曲线22:1416x y Γ-=﹐P 为其上动点﹐1F ﹑2F 为其两焦点﹐求(1)若15PF =﹐则2PF =____________﹒(2)若19PF =﹐则双曲线上满足此条件的P 点共有____________个﹒ 3. 设k 为实数且2y x kx k =++的图形与直线21y x =+没有交点﹐则k 的范围为____________﹒ 4. 设直线:32L x y k =+与拋物线2:y x Γ=相切﹐则k 值为____________﹒ 5. 已知拋物线顶点()1,2﹐焦点()1,2-﹐则准线方程式为____________﹒6. 求拋物线2134y x x =-++的焦点坐标为____________﹒7. 设椭圆22:14x y Γ+=与直线1:3L y x k =+交于相异两点﹐则k 的范围为____________﹒8. 双曲线的方程式为229490x y -+=﹐则共轭双曲线的共轭轴长为____________﹒ 9. 椭圆22114x y +=与直线2y x k =+交于相异两点﹐则k 的范围为____________﹒10. 设L 为过点()1,0-且斜率为m 的直线﹐若L 与拋物线24y x =相交于相异两点﹐则m 的范围为____________﹒11. 双曲线的共轭轴为y 轴﹐贯轴平行x 轴﹐一焦点为()2,2且通过点222,3⎛⎫⎪⎝⎭﹐则其贯轴长为____________﹒12. 拋物线的准线:3L x =﹐焦点()3,0F -﹐则此拋物线方程式为____________﹒ 13. 求椭圆22346850x y x y +-+-=的长轴长为____________﹒14. ()()2241x y x y +-+=的图形为一双曲线﹐其标准式为____________﹒ 15. 双曲线中心为()6,6﹐贯轴平行x 轴﹐贯轴长为10﹐中心至焦点距离为13﹐则(1)其渐近线方程式为____________﹒(2)其共轭双曲线方程式（标准式）为____________﹒ 16. 设一拋物线的顶点为()3,2﹐焦点为()5,2﹐则(1)此拋物线的方程式____________﹒ (2)准线方程式为____________﹒17. 设22:164x y k k Γ+=--（k 为实数）﹐若Γ表一焦点在x 轴上的椭圆﹐则k 的范围为____________﹒18. 曲线222430x xy y x y +++++=与1x y +=-之交点为A ﹑B ﹐则AB =____________﹒ 19. 双曲线()()22211416x y +--=上两点(),m n ﹑(),2m n +﹐则m =____________﹒20.如圖﹐一拋物線鏡滿足方程式22y x =﹐一光線從()5,2平行對稱軸射向鏡面上P 點﹐經反射又射到拋物線鏡面上的Q點﹐則Q 點的坐標為____________﹒21. 椭圆22421610x y x y +--+=﹐则(1)中心坐标为____________﹒(2)焦点坐标为____________﹒(3)长轴长为____________﹒ (4)短轴方程式为____________﹒(5)正焦弦长为____________﹒22. xy 平面上三点A ﹑B ﹑C ﹐已知()0,5A ﹐()0,5B -﹐AC =BC =﹐则以A ﹑B 为两焦点且通过C 点的双曲线方程式为____________﹒23. 已知21:45y x x Γ=+-与22:241y x x Γ=-+-交于A ﹑B 两点﹐则直线AB 的方程式为____________﹒24. 若一椭圆的两焦点为()12,3F ﹐()22,3F -﹐长轴长为10﹐试求(1)椭圆的正焦弦长为____________﹒(2)椭圆的方程式为____________﹒ 25.設一光線沿著2y =的直線行進﹐在拋物線22y x =上的兩點B ﹑C 反射（如圖）﹐則CD方程式為____________﹒26. 等轴双曲线Γ的一条渐近线为20x y -=﹐中心的坐标()2,1且Γ过点()3,2﹐则此双曲线Γ的方程式为____________﹒27. 有一拋物线Γ的对称轴为10y +=且准线为1x =若Γ的正焦弦长是12﹐则Γ的方程式为____________﹒28. 已知平面上两点﹐()5,0A -﹐()3,0B ﹐若动点(),P x y 满足﹐则(1)10PA PB +=﹐P 点轨迹为____________﹒ (2)8PA PB -=﹐P 点轨迹为____________﹒29. 设Γ为以()10,0A ﹐()10,0B -为焦点且过(C 的椭圆﹐则(1)Γ的方程式为____________﹒ (2)内接矩形的最大面积为____________﹒ 30.设)4P-为椭圆()222148y x ++=上一点﹐且1F ﹑2F 为椭圆的两焦点﹐12F PF ∠的角平分线方程式为____________﹒ 31.右圖是一個雙曲線﹐且A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五個點中有一為其焦點﹐試判斷其焦點為____________﹒32. 椭圆22:943624360x y x y Γ++++=﹐则Γ的长轴方程式为____________﹒ 33. 过()3,2且与22236x y -=相切的直线方程式为____________﹒34. k 的图形是椭圆﹐则常数k 的范围为____________﹒35. 已知()5,3A -﹐()1,3B --为平面上两点﹐则以A 为顶点﹐B 为焦点的拋物线方程式为____________﹒36. 设双曲线Γ方程式为22491618430x y x y -+++=﹐而1F ﹑2F 是Γ的焦点﹐试回答下列问题﹔(1)两焦点1F 与2F 的坐标为____________﹒(2)若(),P x y 是Γ上的任一点﹐则12PF PF -=____________﹒ (3)两渐近线的方程式为____________﹒37. 设一直线L 与椭圆22312210x y x y ++-+=相切于一点()1,4P -﹐则L 的方程式为____________﹒ 38. 方程式22193x y k k +=--的图形﹐表示椭圆其长轴在x 轴上﹐则k 的范围为____________﹒39.如圖﹐用尺量量看﹐哪一點最有可能是橢圓的焦點﹖答﹕____________﹒ （請填代號）40. 直线20x y t -+=与图形x =t 的范围为____________﹒ 41. 「P 点与()5,0F 之距离」比「P 到直线:80L x +=之距离」多2﹐则P 点的轨迹方程式为____________﹒42. 有一椭圆其一焦点为()2,1-﹐短轴的一端点为()1,4﹐长轴平行y 轴﹐则此椭圆的方程式为____________﹒43. 双曲线方程式为()()2293162144x y ---=﹐则此双曲线的焦点坐标为____________﹒ 44. 以()1,1为顶点且通过()3,3A 与()1,3B -的拋物线方程式为____________﹒ 45. P 为椭圆()()221424x y ++-=上一点﹐直线:3412L x y +=﹐则(1)P 到直线L 的最长距离为____________﹒ (2)椭圆对直线L 的正射影长为____________﹒46. 若直线416ax y +=与椭圆221167x y +=相切﹐则a =____________﹒（二解）47. 双曲线的两焦点()12,6F -﹐()22,4F --且通过点()2,4P -﹐则此双曲线方程式为____________﹒ 48. 平面上有一椭圆﹐已知其焦点为()0,0和()4,4-且2x y +=为此椭圆的切线﹐则此椭圆的正焦弦长为____________﹒49. 设椭圆22432412240x y x y +-++=﹐则(1)中心坐标为____________﹒(2)正焦弦长为____________﹒50. 直线2y x k =+与2513y x x =-+交于两点P ﹑Q ﹐若3PQ =﹐则k =____________﹒51. 设方程式()()2223151x y k k +-+=-+的图形为贯轴平行y 轴的双曲线﹐则k 的范围为____________﹒52. 若方程式22132x y t t +=--的图形为椭圆﹐则t 的范围为____________﹒53. k =图形为一线段﹐k =____________﹒54. 拋物线253y x x =-++的一切线L 且垂直35x y -=﹐则L 的方程式为____________﹒ 55. 设拋物线的对称轴平行于y 轴且通过()0,3﹑()2,0﹑()4,5-﹐则这拋物线的焦点坐标为____________﹒56. 设22141x y t t +=-+为焦点在y 轴的双曲线﹐则t 的范围为____________﹒57. 双曲线()()2211:1169x y Γ---=﹐试求下列各直线与双曲线Γ的交点个数﹔(1)()3114y x -=-﹔____________个 (2)34y x =﹔____________个 (3)()4113y x -=-﹔____________个 (4)4x =﹔____________个 (5)14y x =﹔____________个﹒ 58. 设一拋物线的对称轴平行于x 轴且过()1,1﹑()3,2﹑()3,1-三点﹐则拋物线方程式为____________﹒59. 双曲线6Γ=﹐则(1)此双曲线的中心点坐标为____________﹒(2)贯轴长为____________﹒60. 设()1,0A ﹐()1,0B -为平面两定点﹐(),P x y 为动点﹐若△PAB 的周长为8且△PAB 的面积为2﹐则22x y +=____________﹒61. 若P 为拋物线2:1y x Γ=-上的动点﹐Q 为圆()22:11C x y +-=上的动点﹐则(1)PQ 的最小值为____________﹒(2)当PQ 有最小值时﹐P 点的y 坐标为____________﹒ 62. 设直线y x k =+与双曲线22412y x -=相切﹐试求(1)切点坐标为____________﹒ (2)定数k 的值为____________﹒63. 平面上双曲线()()2212125144x y -+-=与椭圆()()22212112x y k k-++=+共焦点﹐则k =____________﹒ 64. 已知F 是椭圆的一个焦点﹐1B ﹑2B 是短轴的两个端点且1290B FB ∠=︒﹐1A 是长轴上距离F 较近的一个端点﹐若11A F =﹐则椭圆长轴长为____________﹒ 65. 直线1kx y +=与拋物线28x y =-相切﹐则k =____________﹒66. 等轴双曲线的中心为()7,2且一焦点为()3,2﹐则此双曲线方程式为____________﹒ 67. 方程式轴是铅垂线且过()0,3﹑()2,1﹑()2,9-三点的拋物线为____________﹒ 68. 直线():12L y m x =++与22416x y -=恰有一交点﹐则m =____________﹒ 69. 请将下列各题填入适当的代号﹔(A)椭圆 (B)拋物线 (C)双曲线 (D)线段 (E)二射线 (F)一射线 (G)无图形 (H)双曲线的一部分(1)14x +的图形为____________﹒(2)5=的图形为____________﹒(3)=____________﹒(4)(),P x y ﹐2cos 22sin cos x y θθθ=⎧⎨=⎩﹐0θπ≤≤﹐P 的轨迹图形为____________﹒(5)(),P x y ﹐2sin cos x y θθ=⎧⎨=-⎩﹐θ为实数﹐P 的轨迹图形为____________﹒70. 已知x ﹑y 为实数﹐1z x yi =+﹐2z x yi =-﹐若126z z +=﹐则动点(),P x y 的轨迹图形方程式为____________﹒71. 已知拋物线的焦点()0,0﹐准线20x y ++=﹐若PQ 为正焦弦﹐P 在第二象限﹐则P 的坐标为____________﹒ 72.如圖所示為坐標平面上兩曲線的部分圖形﹐其中之一為橢圓的部分圖形﹐另一個為拋物線的部分圖形﹒已知兩曲線均通過()4,0C 與()4,0D -且皆以y 軸為對稱軸﹐皆以()0,3F -為其焦點﹔又橢圓的中心為原點﹐則此兩曲線的頂點A ﹑B 的距離AB =____________﹒73. 双曲线22:8x y Γ-=﹐点()1,1A ﹐由A 向Γ作切线﹐则切线方程式为____________﹒74. 已知椭圆的长轴平行x 轴且长轴上一个顶点()2,3到两个焦点1F ﹑2F 的距离分别为4及10若椭圆的中心x 坐标小于2﹐则椭圆的方程式为____________﹒（请化成标准式） 75. 已知椭圆221369x y +=有一弦以()2,1为中点﹐含此弦的直线方程式为____________﹒76. 若双曲线2212:19x y a Γ-=上一点P 到此双曲线两渐近线的距离乘积为3613﹐今有一椭圆2Γ与双曲线1Γ共焦点且短轴长为4﹐则椭圆2Γ方程式的标准式为____________﹒77. 设一个拋物线方程式为28y x =今有一椭圆与拋物线的准线相切且拋物线的焦点为椭圆中心﹐拋物线的顶点为椭圆之一焦点﹐则此椭圆的短轴长为____________﹒78. 已知直线y x k =--是拋物线2350x x y +--=的切线﹐则(1)k =____________﹒(2)切点为____________﹒79. 直线L 与22416x y +=相切且斜率为1﹐若切点为(),a b ﹐则1a b -+之值____________﹒ 80. 设E ﹑F 为椭圆2248x y +=的两焦点﹐设椭圆上一点()1,2A ﹐求EAF ∠的角平分线方程式为____________﹒81. 设3AB =﹐P 点在AB 上且1AP =﹐若A 在x 轴上移动﹐B 在y 轴上移动﹐则P 点的轨迹方程式为____________﹒82. 设拋物线通过()3,0﹑()5,6且其对称轴为1x =﹐则其方程式为____________﹒ 83. (),P x y 在2222142x y -=上﹐则22x y +的最小值为____________﹒84. 设()2,4P 为椭圆22242240x y x y +-+-=上一点﹐且F ﹑F '为椭圆的两焦点﹐则FPF '∠的角平分线为____________﹒85. 设4Γ=﹐则(1)共轭轴的长为____________﹒(2)顶点坐标为____________﹒ 86.某行星繞太陽的軌道為如圖之橢圓﹐太陽位於橢圓軌道之一焦點處﹒據觀測﹐此行星與太陽的最近距離為a 萬公里﹐最遠距離為b 萬公里﹐則 (1)行星位於____________時﹐距太陽的距離恰為a ﹑b 平均值（即距離為2a b+萬公里）﹒ (2)又已知此軌道的正焦弦長為短軸長的35﹐則太陽位置為____________﹒（以上各問題均依圖上所標示參考位置作答）87. 已知拋物线()()2:141x y Γ-=+﹐L 为过点()0,3-与Γ相切的直线﹐其斜率小于0﹐则(1)直线L的方程式为____________﹒(2)切点坐标为____________﹒88. 有一道光线经过()2,6A -沿水平方向前进碰到拋物线2:4y x Γ=上一点P ﹐经反射后通过一点B ﹐已知20PB =﹐求B 点的坐标为____________﹒89. 设圆锥曲线有顶点()2,1﹐焦点()0,0﹐则(1)若为长轴平行于x 轴的椭圆﹐则椭圆方程式为____________﹒ (2)若为拋物线﹐则准线方程式为____________﹒90. 点A 在y 轴上移动﹐点B 在x 轴上移动﹐AB 长度为10﹐P 在AB 上且:2:3AP PB =﹐则P 点的轨迹方程式为____________﹒91. 以(12,1F +﹐(22,1F -为两焦点的椭圆Γ通过点(2Q +﹐则Γ的方程式为____________﹒92. 若双曲线的顶点与焦点分别是椭圆()2294136x y ++=的焦点和顶点﹐则此双曲线的方程式为____________﹒（请化成标准式）93. 拋物线的准线垂直x 轴且过三点()1,0﹑()1,1-﹑()5,1-﹐则此拋物线的焦点坐标为____________﹒94. 设F 与F '为双曲线()()2215:123x y Γ-+-+=上两焦点﹐且有一点P 的坐标为()3,2-﹐试求FPF '∠的角平分线方程式为____________﹒95. 若(),P x y 在椭圆22:440x y Γ+-=上﹐O 为Γ的中心﹐()1,0A 且60POA ∠=︒﹐则PO 长为____________﹒96. 椭圆的对称轴平行于坐标轴﹐一短轴端点为()3,3-﹐一焦点为()6,7-﹐其正焦弦长为____________﹒97. 拋物线的轴垂直于x 轴﹐并通过()1,0-﹑()9,0-﹑()0,18三点﹐则过()1,0-的切线方程式为____________﹒98. 圆锥曲线22:23440x y x Γ---=焦点为1F ﹑2F ﹐若()4,2P 在圆锥曲线上﹐求12F PF ∠的角平分线方程式为____________﹒ 99. 椭圆()()2221100210021100x y --+=在第一﹑二﹑三﹑四象限内的面积依次为1R ﹑2R ﹑3R ﹑4R ﹐则1234R R R R -+-=____________﹒100. 过()3,2A 且与()()21122x y +=-共焦点﹐共对称轴的拋物线方程式为____________﹒101. 两渐近线为20x y +=﹐20x y -=﹐且一焦点为()的双曲线其共轭双曲线方程式为____________﹒102. 坐标平面上有一椭圆﹐已知其焦点为()0,0﹑()4,4且y x =为此椭圆的切线﹐则此椭圆的长轴长为____________﹒103. 与椭圆()()2212194x y -++=共焦点且共轭轴长为4的双曲线方程式为____________﹒104. 双曲线2224810x x y y ---+=上一点112⎛⎫+ ⎪⎝⎭到两渐近线的距离乘积为____________﹒105. 坐标平面上的一直线:40L x y -+=与线外一定点()3,3A ﹒今L 上任一点P 与A 的联机段的中垂线与过点P 并垂直L 的直线相交于Q 点﹐则动点Q 所形成曲线的顶点坐标为____________﹒ 106. 已知正焦弦PQ 的两端点分别为()5,1P -﹐()3,1Q --﹐则拋物线方程式为____________﹒107. 设k 为实数﹐若方程式()2211105y x k k++=--为双曲线﹐则此双曲线的焦点坐标为____________﹒（有两解）108. 设2212518x y +=上一点P 与两焦点F ﹑'F ﹐夹角为60度﹐求△'PFF 的面积为____________﹒109.如圖﹐有一太陽灶﹐它是由拋物線繞軸旋轉而做成的拋物面﹐開口直徑20公寸﹐開口距底部之深為6公寸﹒試問烤肉盤應置於距離底部____________公寸﹐才能將肉烤熟﹒110. 有一个过原点的等轴双曲线中心为()1,2-﹐其中一条渐近线为238x y -=﹐则双曲线方程式为____________﹒（不用化简乘开）111. 椭圆22191x y +=上两点()0,1A -﹐()3,0B ﹐若()00,C x y 为椭圆上另一点﹐则(1)△ABC 面积的最大值为____________﹒(2)()00,C x y =____________﹒112. 设()1,0A -﹐()0,2B ﹐P 是拋物线24y x =上的动点﹐则△ABP 面积的最小值为____________﹒ 113. 已知两圆221:16C x y +=﹐()222:104C x y -+=﹐若动圆C 与1C ﹑2C 均相切﹐则此动圆C 的圆心轨迹方程式为____________﹒ 114.已知橢圓22194x y +=上兩點P ﹑Q 如圖所示（P ﹑Q 是和x 軸夾角為60︒的直線與橢圓之交點）﹔現在想找出P ﹑Q 的坐標﹐則(1)若使用參數式()3cos ,2sin θθ﹐則對P 而言﹐θ與60︒的大小關係為____________（請填60θ<︒﹐60θ=︒﹐60θ>︒）﹒(2)同樣的﹐對Q 而言﹐θ與120︒的大小關係為____________﹒（請填120θ<︒﹐120θ=︒﹐120θ>︒）﹒115. 拋物线的准线方程式为10x y --=﹐焦点坐标为()1,1-﹐则此拋物线的方程式为____________﹒（以220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=形式表示）116. 设()15,0F -﹐()25,0F 为22:1169x y Γ-=的两焦点﹐若AB 为过2F 的任一焦弦﹐则△1ABF 面积的最小值为____________﹒117. 若一动圆与定圆()()22:314C x y +++=外切﹐且与直线:1L x =相切﹐则此动圆圆心的轨迹方程式为____________﹒118. 某行星绕一恒星之轨道为椭圆形且恒星在其一焦点处﹐据观测﹔此行星与恒星的最近距离为100万公里﹐最远距离为140万公里﹐则此椭圆的正焦弦长为____________万公里﹒ 119. 设圆()22:116C x y -+=﹐()1,0A -﹐()7,0B ﹐则(1)通过A 且与圆C 相切的所有圆的圆心轨迹方程式为____________﹒ (2)通过B 且与圆C 相切的所有圆的圆心轨迹方程式为____________﹒120. 有一双曲线A 的贯轴方程式是40y +=﹐且点()4,4-是一个焦点；若直线280x y -+=是A 的一条渐近线﹐则A 的方程式为____________﹒ 121. 设椭圆224972x y +=﹐则此椭圆切线斜率为23的切线方程式为____________﹒ 122. 设()5,4A 为平面上一点﹐P 为拋物线212y x =上一点﹐F 为拋物线的焦点﹐则当PF PA +有最小值时﹐P 点坐标为____________﹒123. 设1F ﹑2F 为双曲线221930x y -=的两个焦点﹐且P 为双曲线上一点﹐若12120F PF ∠=︒﹐则△12PF F 的最短边长度为____________﹒ 124. 已知椭圆与双曲线()22114x y +-=共焦点﹐且椭圆的正焦弦长度等于1﹐则椭圆的方程式为____________﹒125. 在坐标平面上﹐O 为原点﹐1B ﹑2B ﹑3B ﹐……在x 轴上﹐1B 在O 的右边﹐2B 在1B 的右边﹐3B 在2B 的右边﹐……﹐110OB =﹐1230B B =﹐23B B =50﹐1OB ﹑12B B ﹑23B B ﹐……的长度成等差数列﹐分别作正△11OB A ﹑正△122B B A ﹑正△233B B A ﹐……﹐其中1A ﹑2A ﹑3A ﹐……均在第一象限上﹐已知1A ﹑2A ﹑3A ﹐……在一个拋物线上﹐则此拋物线的方程式为____________﹒ 126. 已知一椭圆Γ的两焦点为()3,7F ﹐()'9,1F ﹐若直线2x y +=-为Γ的一切线﹐则Γ的长轴长为____________﹒ 127. 设一曲线方程式为()()()22223341213x y x y +-=-+-﹐则(1)对称轴方程式为____________﹒(2)顶点坐标为____________﹒ 128. 已知圆()()22:219C x y -++=及两点()2,3A ﹐()0,1B -﹐则(1)过点A 且与圆C 相切的圆之圆心形成的图形方程式为____________﹒ (2)过点B 且与圆C 相切的圆之圆心形成的图形方程式为____________﹒129. 拋物线2:8y x Γ=的焦点为F ﹐P 为Γ上的动点﹐点()4,2A -﹐当PA PF +有最小值时﹐此时P点坐标为____________﹒130. 在图中﹐圆O 的圆心为原点﹑半径为4﹐F 的坐标为()6,0﹐Q 在圓O 上﹐P 點為FQ 的中垂線與直線OQ的交點﹐當Q 在圓O 上移動時﹐求動點P 的軌跡方程式為____________﹒ （化成標準式）131. 椭圆22:4936x y Γ+=﹐则(1)若P 为椭圆Γ上的动点且()3,0A -﹐()0,2B -﹐则△PAB 面积最大值为____________﹒ (2)椭圆Γ的内接正方形面积为____________﹒ 132.台南一中大榕樹旁的長方形草皮裝設有灑水系統﹒其中高為1公尺的噴水管OA 直立於地面（如圖）﹐水自噴嘴A 噴出後呈拋物線狀﹐先向上至最高點後落下﹒若最高點離地面2公尺﹐但A 距拋物線對稱軸2公尺﹐則此噴嘴A 經360度旋轉後﹐可噴灑的草地區域為圓形﹐其直徑約為____________公尺﹒（取整數﹐小數點以下四捨五入）133.图形:x y Γ=100x y ++=的正射影（垂直投影）总长度为____________﹒（注意x ﹑y 范围限制）134. 与y 轴相切且与圆22124360x y x y +--+=相外切的圆其圆心的轨迹方程式为____________﹒135. 若P 点为椭圆2213611x y +=上的一点且P 在第一象限﹒今已知P 到焦点()5,0的距离是72﹐则P 点的坐标为____________﹒136. 双曲线Γ的一渐近线为23x y +=﹐Γ过()6,3﹑()4,0﹐又其贯轴（顶点联机）平行x 轴﹐则Γ的方程式为____________﹒137. 平面上与圆()2221x y -+=外切且与圆2249x y +=内切之所有圆的圆心﹐所成图形的方程式为____________﹒ 138. 设椭圆6Γ﹐则(1)在第一象限之顶点的坐标为____________﹒(2)又Γ内接矩形中﹐周长最大者﹐其周长为____________﹒139. 在坐标平面上﹐过()1,0F 的直线交拋物线24y x =于P ﹑Q 两点﹐P 在上半平面且2PF QF =﹐则P 的x 坐标为____________﹒140. 平面上有两点()2,5A ﹐()4,1B --﹐P 为椭圆()()2211194x y +-+=上任一点﹐则△PAB 的最大面积为____________﹒141. 若(),P a b 为椭圆22141x y +=上的任一点﹐则(1)23a b -的最小值为____________﹒(2)此时(),a b =____________﹒142. =____________﹒143. 设P 为椭圆2212516x y +=上一点﹐1F ﹑2F 为两焦点﹐若1260F PF ∠=︒﹐则△12PF F 的面积为____________﹒144. 与直线:120L x +=相切且与圆22:16C x y +=相切的圆其圆心轨迹方程式为____________﹒ 145. 过()3,0F 的直线交拋物线212y x =于P ﹑Q 两点﹐过P ﹑Q 两点作y 轴垂线﹐分别交y 轴于R ﹑S ﹐若:3:1PF FQ =﹐则梯形PQSR 的面积为____________﹒146. 圆()221:11C x y -+=﹐圆()222:125C x y ++=﹐则(1)若动圆C 和圆1C 外切且与圆2C 内切﹐动圆C 的圆心所形成的圆锥曲线方程式为____________﹒(2)若动圆C 同时与圆1C ﹑圆2C 均内切﹐动圆C 的圆心所形成的圆锥曲线方程式为____________﹒147. 设k 为一常数﹐已知拋物线Γ=﹐且过点()8,0﹐则Γ的顶点坐标为____________﹒148. 设一拋物线216x y =-﹐焦点F ﹐点()6,5A -﹐若在拋物线上有一点P ﹐使得PA PF +有最小值﹐则(1)P 点的坐标为____________﹒(2)最小值为____________﹒149. 设圆()()22:1236C x y ++-=及圆C 内一定点()3,2A ﹐通过A 点且与圆C 相（内）切的所有圆之圆心的轨迹（即圆心所成的图形）的方程式为____________﹒ 150.已知圓的方程式為()2211x y -+=﹐四邊形OAPQ 為圓內接梯形﹐底邊AO 為圓的直徑且A ﹑O 在x 軸上﹐現有一橢圓以A ﹑O 為焦點﹐且通過P ﹑Q 兩點﹐若1PQ =﹐則此橢圓的短軸長為_____________﹒四、计算题1. 已知一双曲线Γ的两焦点为()2,9F -与()2,3F '--﹐则(1)双曲线Γ方程式为何﹕ (2)Γ的共轭双曲线方程式为何﹕2. 设()()2:122y x Γ-=-﹐一光线沿3y =的直线行进﹐射在Γ上的P 点﹐经反射后又射在Γ上的Q 点﹐试求(1)PQ的方程式﹕ (2)PQ 长度为何﹕3. 自点()2,0作拋物线224y x x =-+的切线﹐试求(1)切线方程式﹒(2)切点﹒4. 下列叙述何者正确﹕(1)方程式222240x y x y k +-++=的图形是一个椭圆的充要条件是3k <﹒ (2)5的图形是一个椭圆﹒(3)椭圆()()22131916x y +-+=的正焦弦长为92﹒5. 已知一双曲线的顶点与焦点分别与椭圆221167x y +=的焦点与顶点相同﹐求此双曲线的方程式﹒6. 下列1～5各小题的方程式图形为何﹕请在(A)～(J)各项中选出对应的图形：(A)没有图形 (B)一线段 (C)一直线 (D)一射线 (E)两射线 (F)两相交直线 (G)双曲线 (H)拋物线 (I)椭圆 (J)双曲线的一支 (1)2248230x y x y ---+=﹒(2)()()()2222112x y x y ⎡⎤-+-=+-⎣⎦﹒10=﹒7=﹒2x =+﹒7. 设拋物线()()()22253122x y x y ⎡⎤-+-=-+⎣⎦﹐则(1)对称轴方程式﹒(2)顶点坐标﹒8. 若椭圆两焦点为)1F ﹐()2F ﹐切线L 为5x y +=﹐求此椭圆方程式﹒9. 已知()222210:x y x y aΓ++=+的图形为拋物线﹐则(1)a =﹕(2)Γ的顶点坐标﹒10. 已知直线2y x k =+与拋物线24y x =相切﹐求(1)k 的值﹒ (2)切点坐标﹒11. 试求过拋物线2432y x x =-+上一点()1,3P 所作的切线方程式﹒12. 设P 为椭圆22916144x y +=上一点﹐且P 到直线:10L x y +=的距离最短﹐求P 点坐标﹒13. 拋物线Γ﹐则(1)准线方程式﹒(2)对称轴方程式﹒(3)焦点坐标﹒(4)顶点坐标﹒(5)正焦弦长﹒14. 双曲线的两焦点()118,1F ﹐()212,1F -﹐有一渐近线的斜率为34﹐求此双曲线的方程式﹒ 15.某彗星的軌道為一拋物線﹐而以太陽為焦點﹐當彗星與太陽的距離為4百萬公里時﹐兩者連線與拋物線的軸成60︒﹐如右圖所示﹒問當彗星與太陽的連線垂直拋物線的軸時﹐兩者的距離為何？16. 在水槽边两点3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭﹐3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭同时作相同的圆形水波﹐图中的实线同心圆代表波峰（连续的波峰相距2单位）﹐虚线同心圆代表波谷（连续的波谷相距2单位）﹒若水槽中遇到来自A ﹑B 两点的波峰同时到达﹐则出现如图中P 点所形成的亮线；但若遇到波峰与波谷同时到达﹐则形成图中暗线的轨迹﹒很明显地﹐AB 的中垂线是中央亮线﹐则(1)离中央亮线最近的第一条亮线（即P 点所在的曲线）所满足的方程式为何﹕(2)在平行AB 且相距10单位处设一屏障（如图）﹐若中央亮线与此屏障的交点是H ﹐最近的第一条亮线与此屏障的交点是Q ﹐则HQ 的距离为何﹕17. 试求下列锥在线点T 的切线T L 与法线N L 方程式各为何﹕(1)28y x =﹐9,62T ⎛⎫⎪⎝⎭﹒ (2)229425x y +=﹐()1,2T -﹒ (3)22235x y -=﹐()2,1T -﹒。
(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)
一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -+=与椭圆C 相交于不同的两点A B 、，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（ ） A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22152x y +=D ．22163x y +=2．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，记椭圆E 的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若C ，D 恰好是线段AB 的两个三等分点，则（ ） A ．221k e -=B ．221k e +=C ．2211e k-= D ．2211e k+=3．已知()5,0F 是双曲线()2222:=10,0x y C a b a b->>的右焦点，点(A .若对双曲线C 左支上的任意点M ，均有10MA MF +≥成立，则双曲线C 的离心率的最大值为（ ）A B ．5C ．52D ．64．已知点()P m n ,是抛物线214y x =-上一动点，则A ．4B ．5C D ．65．过椭圆:T 2212x y +=上的焦点F 作两条相互垂直的直线12l l 、，1l 交椭圆于,A B 两点，2l 交椭圆于,C D 两点，则AB CD +的取值范围是（ ）A ．3⎡⎢⎣B ．3⎡⎢⎣C ．3⎡⎢⎣D ．3⎡⎢⎣ 6．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若1MF =，则E 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．5D ．27．如图，F 是抛物线28x y =的焦点，过F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若AOF 与BOF 的面积之比为1:4，则AOB 的面积为（ ）A ．10B ．8C ．16D ．128．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若双曲线右支上存在一点P ，使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．231e <<B ．23e >C ．3e >D ．13e <<9．设抛物线2:4(0)C x y p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,M N 两点，交l 于点P ，且PF FM =，则||MN =（ ）A ．2B ．83C ．5D ．16310．己知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并与抛物线交于A ，B 两点，若点A 的纵坐标为4，则线段AB 的长为（ ） A ．253B ．496C ．436D ．25411．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．(D ．(12．已知过点(,0)A a 的直线与抛物线22(0)y px p =>交于M.N 两点，若有且仅有一个实数a ，使得16OM ON ⋅=-成立，则a 的值为（ ） A ．4-B ．2C ．4D ．8二、填空题13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点(c,0)F 关于直线2y x =的对称点Q 在双曲线上，则双曲线的离心率是______．14．过双曲线221x y -=上的任意一点(除顶点外)作圆221x y +=的切线，切点为,A B ，若直线AB 在x 轴､y 轴上的截距分别为,m n ，则2211m n-=___________. 15．已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，C 的准线为l 且与x 轴相交于点B ，A 为C 上的一点，直线AO 与直线l 相交于E 点，若BOE BEF ∠=∠，6AF =，则C 的标准方程为_____________.16．设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆2229a x y +=与线段PF 交于A ,B 两点，若A ,B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为____________.17．在双曲线22221x y a b-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.18．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率13e =，则tan BDC ∠=___________.19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点11(,)P x y ，22(,)Q x y .①抛物线24y x =焦点到准线的距离为2； ②若126x x +=，则8PQ =；③2124y y p =-；④过点P 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A ，则直线AQ 平行于 抛物线的对称轴；⑤绕点(2,1)-旋转且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条. 以上结论中正确的序号为__________.20．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足||3||PF FQ =，若||OP b =，则E 的离心率为_________.三、解答题21．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x ya b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点21,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，且124AF AF +=. （1）求C 的方程；（2）过点2F 且斜率为1的直线与C 交于点M 、N ，求OMN 的面积.23．在平面直角坐标系中，动点(),P x y （0y >）到定点()0,1M 的距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点M 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若8AB =，求直线l 的方程.24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点421,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，离心率为53.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与圆22:1O x y +=相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，Q 为椭圆C 上一个动点(点O ，Q 分别位于直线l 两侧)，求四边形OMQN 面积的最大值. 25．已知是抛物线2:2C y px=(0)p >的焦点，(1,)M t 是抛物线上一点，且||2MF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点O （坐标原点）分别作,OA OB 交抛物线C 于,A B 两点(,A B 不与O 重合)，且.2OA OB k k =.求证：直线AB 过定点.26．如图，已知抛物线()2:20C y px p =>，焦点为F ，过点()2,0G p 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y .（1）若124x x ⋅=，求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点M ，直线BF 交抛物线C 于另一点N .求证：直线l 与直线MN 斜率之比为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设出,A B 两点的坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用斜率公式和中点坐标可求得结果. 【详解】设(,0)F c -，因为直线30x y -+=过(,0)F c -，所以030c --+=，得3c =所以2223a b c -==， 设1122(,),(,)A x y B x y ，由22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222121222x x y y a b --=-，得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+， 因为P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，所以1212(,)22x x y y P ++，1212121212202OP y y y y k x x x x +-+===-++-，所以221222122(2)ABy y b b k x x a a-==-⋅-=-，又,A B在直线0x y -+=上，所以1AB k =，所以2221b a =，即222a b =，将其代入223a b -=，得23b =，26a =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=.故选：D 【点睛】方法点睛：本题使用点差法求解，一般涉及到弦的中点和斜率问题的题目可以使用点差法，步骤如下：①设出弦的两个端点的坐标；②将弦的两个端点的坐标代入曲线方程； ③作差变形并利用斜率公式和中点坐标公式求解.2．B解析：B 【分析】首先利用点,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，则211222x x y y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，得1112y k x =⋅，再利用点差法化简得2212214y b x a=，两式化简得到选项.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，()1,0C x ∴-，10,2y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则112,2y B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，得211222x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，1121121131232y y y y k x x x x -===⋅-，利用点差法22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=， 整理得到2212214y b x a =，即222222244b a c k k a a-=⇒=， 即221k e +=故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键利用三等分点得到211222x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，再将斜率和离心率表示成坐标的关系，联立判断选项.3．C解析：C 【分析】设E是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把MF 转化为ME 后易得MA ME +的最小值，从而得a 的最小值，由此得离心率的最大值． 【详解】设E 是双曲线的左焦点，M 在左支上，则2MF ME a -=，2MF ME a =+，22MA MF MA ME a EA a +=++≥+，当且仅当E A M ,,三点共线时等号成立．则222(5)(11)210EA a a +=-++≥，2a ≥，所以552c e a a ==≤． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查双曲线的定义的应用．在涉及双曲线上的点与一个焦点和另外一个定点距离和或差的最值时，常常利用双曲线的定义把到已知焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用三点共线取得最值求解．4．D解析：D 【分析】 先把抛物线214y x =-化为标准方程，求出焦点F (0,-1),运用抛物线的定义，找到2222(1)(4)(5)m n m n +++-++的几何意义，数形结合求最值.【详解】 由214y x =-，得24x y =-． 则214y x =-的焦点为()0,1F -．准线为:1l y =． 2222(1)(4)(5)m n m n +++-++几何意义是点()P m n ,到()0,1F-与点()4,5A -的距离之和，如图示：根据抛物线的定义点()P m n ,到()0,1F -的距离等于点()P m n ,到l 的距离，2222(1)(4)(5)m n m n ++-++|PF |+|PA |=|PP 1|+|PA |,所以当P 运动到Q 时，能够取得最小值. 最小值为：|AQ 1|=()156--=． 故选：D. 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．5．C解析：C【分析】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，可直接求得AB CD +=12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，则可得直线1l 的方程，与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，可求得AB 的表达式，同理可求得CD 的表达式，令21k t +=，则可得2112t tAB CD +=+-，令2112y t t =+-，根据二次函数的性质，结合t 的范围，即可求得AB CD +的范围，综合即可得答案. 【详解】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则直线2l 斜率为0，此时AB =，22b CD a ===所以AB CD +=当直线12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-， 不妨设直线12l l 、都过椭圆的右焦点(1,0)F ， 所以直线1:(1)l y k x =-，直线21:(1)l y x k=--， 联立1l 与椭圆T 22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222)202142(-=+-+x k x k k ， 22222(4)4(12)(22)880k k k k ∆=--+-=+>，22121222422,1212k k x x x x k k-+=⋅=++，所以12AB x =-=22)12k k +==+，同理22221))2112k k CD k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以2222))122k k B k C k A D +++=+++，令21k t +=，因为0k ≠，所以1t >，所以22222))122211(21)(1)k k AB t D k k t t t C +++=+=++--++=+=22211212t t t t =+-+-，令2211119224y t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭， 因为1t >，所以1(0,1)t∈，所以92,4y ⎛⎤∈ ⎥⎦⎝，所以141,92y ⎡⎫∈⎪⎢⎭⎣，所以1AB CD y +=∈⎢⎣， 综上AB CD +的取值范围是3⎡⎢⎣. 故选：C 【点睛】解题的关键是设出直线的方程，结合韦达定理及弦长公式，求得AB CD +的表达式，再根据二次函数性质求解，易错点为需求直线12l l 、中有一个不存在时，AB CD +的值，考查计算求值的能力，属中档题.6．A解析：A 【分析】由点到直线的距离公式可得2||MF b =，由勾股定理可得||OM a =，则1MF =，1cos aFOM c∠=-，由此利用余弦定理可得到a ，c 的关系，由离心率公式计算即可得答案． 【详解】由题得2(,0)F c ，不妨设:0l bx ay -=，则2||MF b ==，OM a ==，1MF =，12cos cos aFOM F OM c ∠=-∠=-， 由余弦定理可知222222111||||622OM OF MF a c a a OM OF ac c+-+-==-⋅，化为223c a =，即有==ce a故选：A ． 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．7．A解析：A 【分析】设直线AB 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y 、()11,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合已知条件可得出214x x =-，结合韦达定理求出2k 的值，进而可得出AOB 的面积为1212OAB S OF x x =⋅-△，即可得解. 【详解】易知抛物线28x y =的焦点为()0,2F .若直线AB 与x 轴垂直，此时直线AB 与抛物线28x y =有且只有一个公共点，不合乎题意.设直线AB 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y 、()11,B x y ， 联立228y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得28160x kx --=， 由韦达定理可得128x x k +=，1216x x =-，由于AOF 与BOF 的面积之比为1:4，则4BF FA =，则()()2211,24,2x y x y --=-，所以，214x x =-，则12138x x x k +=-=，可得183k x =-， 2221218256441639k k x x x ⎛⎫=-=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭，可得2916k =，所以，OAB 的面积为1211222OAB S OF x x =⋅-=⨯△29646464641016k =+=⨯+=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.8．B解析：B 【分析】设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，设2F 关于直线1PF 的对称点为点M ，推导出12MF F △为等边三角形，可得出tan 30ba >，再由公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得该双曲线离心率的取值范围. 【详解】 如下图所示：设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，由于2F 关于直线1PF 的对称点在y 轴上，不妨设该点为M ，则点M 在y 轴正半轴上， 由对称性可得21122MF MF F F c ===，22113MO MF OF c =-=，所以，1260MF F ∠=，则1230PF F ∠=，所以，双曲线的渐近线by xa=的倾斜角α满足30α>，则123tan3bPF Fa>∠=，因此，该双曲线的离心率为2222222313c c a b bea a a a+⎛⎫====+>⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.9．D解析：D【分析】由题意作出MD垂直于准线l，然后得2PM MD=，得30∠=︒DPM，写出直线方程，联立方程组，得关于y的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算.【详解】如图，过点M做MD垂直于准线l，由抛物线定义得MF MD=，因为PF FM=，所以2PM MD=，所以30∠=︒DPM，则直线MN方程为3(1)x y=-，联立23(1)4x yx y⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去x得，231030y y-+=，设()()1122,,,M x y N x y，所以121210,13y y y y+==，得121016||2233MN y y=++=+=.故选：D.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||=++AB x x p 或12||=++AB y y p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．10．D解析：D 【分析】首先利用,,A F B 三点共线，求点B 的坐标，再利用焦点弦长公式求AB . 【详解】4y =时，1644x x =⇒=，即()4,4A ，()1,0F ，设2,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用,,A F B 三点共线可知24314y y =-，化简得2340y y --=，解得：1y =-或4y =（舍）当1y =-时，14x =，即()4,4A ，1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以121254244AB x x p =++=++=. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，焦点弦问题，重点是求点B 的坐标.11．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围． 【详解】 设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e -=-=>． 又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ． 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．12．C解析：C 【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出1212,y y y y +及12x x ，把16OM ON ⋅=-用坐标表示代入上述值结合已知条件可得答案.【详解】设直线MN 的直线方程为x ty a =+，1122(,),(,)M x y N x y ， 由题意得22x ty a y px=+⎧⎨=⎩，整理得2220y pty pa --=， 所以12122,2y y pt y y pa +==-，()()()2212121212x x ty a ty a t y y at y y a =++=+++ ()()2222t ap at pt a =-++，因为16OM ON ⋅=-，所以121216x x y y +=-， 所以()()2222216tpa at pt a pa -++-=-，22160a pa -+=，因为方程有且仅有一个实数a ，所以()22640p ∆=-=，解得4p =，或4p =-（舍去）， 故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理求出1212,y y y y +及12x x ，然后16OM ON ⋅=-坐标表示列出等式，考查了学生分析问题、解决问题的能力.二、填空题13．【分析】由题意可得Q 点坐标代入双曲线方程计算即可得出离心率【详解】设则中点由题意可得由在双曲线上可得两边同除可得解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程两边同除可得关于离心率的方程即可求出【分析】由题意可得Q 点坐标，代入双曲线方程，计算即可得出离心率. 【详解】设(,)Q m n ，则FQ 中点(,)22+m c n，=-FQ n k m c由题意可得325224215c nm c m n c n m c +⎧⎧=-=⨯⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⨯=-=⎪⎪-⎩⎩，由(,)Q m n 在双曲线上，可得222242242222234()()91655119502502525()--=⇒-=⇒-+=-c c c c c a c a a b a c a 两边同除4a ，可得42950250e e -+=，解得==e e （舍）【点睛】关键点点睛：齐次式方程，两边同除可得关于离心率的方程，即可求出离心率.本题考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.14．1【分析】设出三点坐标表示出直线利用方程思想得到直线的方程算出可计算得到解【详解】设双曲线上任意一点为过作圆的切线切点为不是双曲线的顶点故切线存在斜率且则故直线化简得：即同理有又均过点有故直线故答案解析：1 【分析】设出,,P A B 三点坐标，表示出直线,PA PB ，利用方程思想，得到直线MN 的方程，算出,m n ，可计算2211m n-得到解.【详解】设双曲线上任意一点为()11,P x y ，()22,A x y ，()33,B x y 过()11,P x y 作圆221x y +=的切线，切点为,A B()11,P x y 不是双曲线的顶点，故切线存在斜率且OA PA ⊥，则221PA OA x k k y =-=-故直线()2222:xPA y y x xy-=--化简得：222222y y y x x x-=-+即2222221x x y y x y+=+=同理有33:1PB x x y y+=又,PA PB均过点()11,P x y，有313131311,1x x y y x x y y+=+=故直线11:1MN x x y y+=1111,m nx y==221222111x xm n-=-=故答案为：115．【分析】推导出求出可得出直线的方程联立直线与抛物线的方程求出点的坐标利用抛物线的定义求出的值即可得出抛物线的标准方程【详解】因为即所以则直线的方程为联立直线与抛物线方程解得所以解得因此抛物线标准方程解析：28y x=【分析】推导出OBE EBF△△，求出tan BOE∠，可得出直线AO的方程，联立直线AO与抛物线C的方程，求出点A的坐标，利用抛物线的定义求出p的值，即可得出抛物线C的标准方程.【详解】因为BOE BEF∠=∠，90OBE EBF∠=∠=，OBE EBF∴△△，OB BEBE BF∴=，即2222p pBE OB BF p=⋅=⨯=，2BE p∴=，所以tan 2BEBOE OB∠==，则直线AO 的方程为2y x =， 联立直线OA 与抛物线方程222y xy px⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解得(),2A p p ， 所以3622p pAF p =+==，解得4p =， 因此，抛物线标准方程为28y x =. 故答案为：28y x =. 【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法与待定系数法：（1）若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p ），那么只需求出p 即可； （2）若题目未给出抛物线的方程：①对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20y ax a =≠的正负由题设来定；②对于焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20x ay a =≠，这样就减少了不必要的讨论.16．【分析】取AB 中点H 后证明H 为PF 中点从而在直角三角形OFH 中利用勾股定理找到求出离心率【详解】如图示取AB 中点H 连结OH 则OH ⊥AB 设椭圆右焦点E 连结PE ∵AB 三等分线段PF ∴H 为PF 中点∵O 为E 解析：175【分析】取AB 中点H 后，证明H 为PF 中点，从而在直角三角形OFH 中，利用勾股定理，找到221725a c =，求出离心率.【详解】如图示，取AB 中点H ，连结OH ，则OH ⊥AB ，设椭圆右焦点E ，连结PE ∵AB 三等分线段PF ，∴ H 为PF 中点. ∵O 为EF 中点，∴OH ∥PE设OH=d,则PE=2d ，∴PF=2a-2d ，BH=3a d- 在直角三角形OBH 中，222OB OH BH =+,即22293a a d d -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：5a d =. 在直角三角形OFH 中，222OF OH FH =+,即()222c d a d =+-，解得：221725a c =，∴离心率5c e a ==.【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．17．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所解析：5 【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率. 【详解】设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --， 又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.18．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化 解析：82-【分析】做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有tan ,tan bb BAO CFO ac ∠=∠=，根据离心率可求出22b a =，22b c=，代入正切公式即可求出结果. 【详解】 由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan 1b b BAO CFO a c BDC BAO CFO b bBAO CFO a c+∠+∠∠=∠+∠==-∠∠-⋅ 因为离心率13c e a ==，可设3a m =，c m =，那么22b m =，极有22b a =，22b c =，代入上式得22228235221223+=--⨯． 故答案为：825-【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO ∠=∠+∠； （2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c 的比值问题．（3）根据离心率求出,,a b c 的比值，代入可求.19．①②④【分析】焦点到准线的距离为即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理可判断③；求出两点坐标计算斜率即可判断④；时与抛物线只有一个交点设过点的直线为与抛解析：①②④ 【分析】焦点到准线的距离为p 即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线PQ 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断③；求出,A Q 两点坐标，计算AQ 斜率即可判断④；1y =时与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，与抛物线方程联立，利用0∆=求出k 的值，即可得出有一个公共点的直线条数，可判断⑤，进而可得正确答案. 【详解】抛物线2:4C y x =可得2p =，()1,0F对于①：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线l 为1x =-，所以焦点到准线的距离为2，故①正确；对于②：根据抛物线的对义可得：121286222p px x x P p Q x +++=++=+==， 对于③：设直线PQ 方程为：1x ky =+与2:4C y x =联立可得2440yky --=，可得124y y =-，因为2p =，所以2124y y p ≠-，故③不正确；对于④：11(,)P x y ，所以OP ：11y y x x = ，由111y y x x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可得11y y x =-， 所以111,y A x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为22(,)Q x y ，124y y =- 解得：214y y -=，所以214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为11(,)P x y 在抛物线2:4C y x =上，所以2114y x =，所以21114x y =，1114y x y -=-所以141,A y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0AQ k =，所以//AQ x 轴，即直线AQ 平行于抛物线的对称轴，故④正确；对于⑤：1y =时，显然与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--， 由224x ky k y x=--⎧⎨=⎩可得：24480y ky k -++=，令()2164480k k ∆=-+= 可得2k =或1k =-，故过点(2,1)-且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条.，故⑤不正确， 故答案为：①②④ 【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线22y px =()0p >的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，则：（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）若点A 在第一象限，点B 在第四象限，则1cos p AF α=-，1cos pBF α=+，弦长1222sin pAB x x p α=++=，（α为直线AB 的倾斜角）； （3）112||||FA FB p+=； （4）以AB 为直径的圆与准线相切； （5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.20．【分析】由题意设即有由双曲线定义及已知可得且结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程即可求得离心率【详解】令则且①由题意知：E 的左准线为结合双曲线第二定义知：又∴解得②∵知：∴联立①②得：整理得∴故 解析：3【分析】由题意设00(,)P x y ，即有00(,)Q x y --，由双曲线定义及已知可得22003()a a x x c c +=-且22200x y b +=，结合点在曲线上联立方程得到关于,a c 的齐次方程，即可求得离心率.【详解】令00(,)P x y ，00,0x y >则00(,)Q x y --且2200221x y a b-=①，由题意知：E 的左准线为2a x c =-，结合双曲线第二定义知：20||()a PF e x c=+，20||()a FQ e x c =-，又||3||PF FQ =，∴22003()a a x x c c +=-，解得202a x c=②， ∵||OP b =知：22200x y b +=，∴联立①，②得：42222244(1)a a b b c c+-=，整理得223a c =，∴e =【点睛】关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比为常数e ，可得点P 的横坐标为22ac；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于,a c 的齐次方程求离心率即可.三、解答题21．（1）2212x y +=；（2.【分析】（1）根据椭圆离心率为2，以及椭圆经过点2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，结合椭圆的性质列方程求解即可；（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可得结论. 【详解】（1）由题意知222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=， 过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=， 椭圆C 的右焦点()1,0F ，所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=，联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫-⎪--⎝⎭，所以PQ =====为定值. 【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22．（1）22143xy +=；（2. 【分析】（1）利用椭圆的定义可求出a 的值，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，求出2b 的值，进而可得出椭圆C 的方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，写出直线MN 的方程，联立直线MN 与椭圆C 的方程，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得OMN 的面积. 【详解】（1）由椭圆的定义可得1224AF AF a +==，可得2a =，椭圆C 的方程为22214x y b+=， 将点A 的坐标代入椭圆C 的方程可得291414b +=，解得23b =，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）易知椭圆C 的右焦点为()21,0F ，由于直线MN 的斜率为1，所以，直线MN 的方程为1y x =-，即1x y =+， 设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立221143x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得27690y y +-=，364793680∆=+⨯⨯=⨯>，由韦达定理可得1267y y +=-，1297y y =-，212112277OMNSOF y y =⋅-===⨯=.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.23．（1）24x y =；（2）1y x =+或1y x =-+. 【分析】（1）由1PM y =+，结合两点间的距离公式得出轨迹方程；（2）由题直线l 斜率存在，设出直线l 的方程，联立轨迹C 的方程，由韦达定理以及抛物线的定义求出直线l 的方程. 【详解】（1）动点(),P x y （0y >）到x 轴的距离为y ，到点M 的距离为PM =由动点(),P x y 到定点()0,1M 的距离比到x 轴的距离大1，1y =+，两边平方得：24x y =，所以轨迹C 的方程：24x y =； （2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：1y kx =+，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消去x 整理得()222410y k y -++=， ∴21224y y k +=+，∴2122428AB y y p k =++=++=， 解得21k =，即1k =±，∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-+. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法，（2）定义法，（3）相关点法.24．（1）22194x y +=；（2）最大值为.（1）将1,3P ⎛ ⎝⎭的坐标代入椭圆方程中，再结合3c a =和222a b c =+可求出,a b 的值，进而可求得椭圆的方程；（2）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，然后利用点到直线的距离公式求出O 到直线y kx m =+的距离d ，利用弦长公式求出MN 的值，从而有12OMN QMN OMQN S S S MN d =+=⨯四边形△△，化简可求得其范围，当MN 斜率不存在时，直接可得OMQN S =四边形 【详解】（1）因为椭圆C过点1,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以2213219a b +=，c a = 又222a b c =+，所以得22194x y +=；（2）（i ）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，设O 到直线y kx m =+的距离记为d，则d =，联立22,1,94y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()2229418940k x knx n +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，1221894kn x x k +=-+，()21229494n x x k -=+，所以12294MN x k =-=+， 因为y kx n =+与圆O1=，因为y kx m =+与椭圆相切，所以2294k m +=，1122OMN QMNOMQN S S S MN d =+=⨯=四边形△△=== 可得OMQN S 四边形随k的增大而增大，即OMQN S <四边形（ii ）当MN斜率不存在时，不妨取1,3M ⎛ ⎝⎭，1,3N ⎛- ⎝⎭，此时()3,0Q ，OMQN S =四边形综上所得四边形OMQN的面积的最大值为【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，解题的关键是当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，从而可得2112294OMN QMNOMQN S S S MN d k =+=⨯=⨯+四边形△△，化简可得结果，属于中档题25．（1）24y x =；（2）直线AB 过定点(2,0)-，证明见解析. 【分析】（1）由抛物线的定义求得p ，得抛物线方程；（2）设直线AB 方程为x my b =+， 11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线方程代入抛物线方程，由判别式大于0得参数满足的条件，应用韦达定理得1212,y y y y +，计算由2OA OB k k =可得128y y =，从而求得参数b ，并可得出m 的范围．此时由直线方程可得定点坐标． 【详解】（1）由抛物线定义可知：122p+=，则2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =（2）设直线AB 方程为x my b =+， 11(,)A x y ，22(,)B x y联立24y x x my b⎧=⎨=+⎩得2440y my b --=，则216160m b ∆=+>即20()m b +>*。
圆锥曲线典型例题(精华版)
圆锥曲线典型例题强化训练一、选择题1、若点P 到直线y = -l 的距离比它到点（0,3）的距离小2,则点P 的轨迹方程为（ ）A2、若mx- + y--2x-4y = 0的圆心到直线x-y + n = 0的距离为手，则a 的值为1,3B. —或一2 23、设F1. Fz 为曲线G ： U 的焦点，P 是曲线 5 —-y-=l *jCi 的一个交点,6 2 34、经过抛物线y^=2x 的焦点且平行于直线3戈•-2y + 5 = 0的直线/的方程是（ A.6x-4y — 3 = 0 B. 3兀一 2y -3 = 05、若抛物线r =2/zv 的焦点与椭圆—+ = 1的右焦点重合，则"的值为（6 26、如图，过抛物线y- =2px （p>Q ｝的焦点F 的宜线I 交抛物线于点A 、B,交苴准线于点 若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为（8、已知双曲线务-詈=13>0）的中心在原点，右焦点与抛物线y- = 16x 的焦点重合,A. X" = 12yy" = \2x C. = 4yA-・2或2C ・2或0D ・・2或0则△PF1F2的面积为（ ）C （A ） i(B)l (C)迈 (D)2 迈C. 2x + 3y — 2 = 0D, 2x + 3y-l = QA- -2 B. 2 C ・-4 D ・4C, BA. C ・ .3V' =-%2 .9 y" = —X 丿2B ・ y" =3x D. y" =9x?77、唸-宁"的顶点为焦点，长半轴长为山椭圆方程为A. 乂+ 二= 64 52B.匕+2216 1216 4 D.M 4 16 0则该双曲线的离心率等于( D二、解答题21.已知椭圆F+厶＞ =1(0＜方＜1)的左焦点为F,左右顶点分别为A,C 上顶点为B,过FbC h-三点作0P ，英中圆心P 的坐标为行⑴若椭圆的离心率一斗，求。
高中数学圆锥曲线与最值及取值范围问题(附经典例题与解析)
圆锥曲线与最值问题【知识点分析】方法一、圆锥曲线的的定义转化法借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3）抛物线：到定点与定直线距离相等。
【相似题练习】1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值为 ．【知识点分析】 方法二、函数法二次函数2y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫-- ⎪，1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，1•2的最大值、最小值分别为（ ） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8【知识点分析】方法三、利用最短路径【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．【问题2】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长．【问题3】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】 作法图形原理作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交l 于A ．点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．l B A lPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P l 1l 2N MP'Q'Q P l 1l 2P Q l 1A P'Pl 1l 2P小．【问题5】 作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【相似题练习】1．已知双曲线x 2﹣y 2＝1的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则|PA |+|PF |的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．【知识点分析】方法四、利用圆的性质【相似题练习】1．已知椭圆，圆A ：x 2+y 2﹣3x ﹣y +2＝0，P ，Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，F （﹣2，0），则|PQ |+|PF |的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．l 2l 1ABNMl 2l 1M N A'B'AB【知识点分析】 方法五、切线法【相似题练习】1．如图，设椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，点B ，F 2关于F 1对称，且AB⊥AF 2（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，若△AF 1F 2的面积为，求点P 到直线l ：x ﹣y ﹣3＝0距离的最大值．【知识点分析】 方法六、参数法1．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .2. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .3． 抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==.【相似题练习】已知点A （2，1），点B 为椭圆+y 2＝1上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【知识点分析】方法七、基本不等式1、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，2、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．【相似题练习】1．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB ＝，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M ′，则的最大值为 ．方法七、利用三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题
高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题1.已知圆$x^2+y^2-6x-7=0$与抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线相切，则抛物线方程为$y^2=8x$。
2.与双曲线$2x^2-2y^2=1$有公共焦点，离心率互为倒数的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1$。
3.方程$k-\dfrac{35}{k}+\dfrac{x^2}{y^2}=1$表示双曲线，则$m$的取值范围是$(-\infty,-7)\cup(0,7)$。
4.经过点$M(3,-2),N(-2,3)$的椭圆的标准方程是$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$。
5.与双曲线$x^2-y^2=53$有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。
6.过点$P(-2,4)$的抛物线的标准方程为$y=\dfrac{1}{8}(x+2)^2$。
7.以$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=-1$的上焦点为顶点，下顶点为焦点的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{48}=1$。
重点二：1.椭圆$16x+25y=400$的焦点为$F_1,F_2$，直线$AB$过$F_1$，则$\triangle ABF_2$的周长为$10$。
2.动圆的圆心在抛物线$y^2=8x$上，且动圆恒与直线$x+2=0$相切，则动圆必过定点$(-1,2)$。
3.椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$上的一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$ON=\dfrac{4}{3}$。
4.设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点$F_1,F_2$，点$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2=\dfrac{3}{5}$。
高中数学圆锥曲线试题含答案
理数圆锥曲线1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=()A. B. C. D.[答案] 1.A[解析] 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,∴cos∠AF2F1===.故选A.2. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1[答案] 2.A[解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A.3. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.3[答案] 3.B[解析] 3.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0,于是∴m·n=··⇒m=3n.∴a=n,b=n⇒c=n,∴e=,选B.4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的()A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等[答案] 4.A[解析] 4.∵0<k<9,∴9-k>0,25-k>0.∴-=1与-=1均表示双曲线,又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,∴它们的焦距相等,故选A.5. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6[答案] 5.D[解析] 5.设Q(cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|====≤5,故|PQ|max=5+=6.6.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0[答案] 6.A[解析] 6.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即=,∴=.故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.7.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案] 7.A[解析] 7.由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1.8.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于（）A． B． C．D．[答案] 8. B[解析] 8.由题意可得抛物线的轴为轴，，所以所在的直线方程为，在抛物线方程中，令可得，即从而可得，，因为经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，所以直线的方程为，故选B．9.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（）A. B.C. D.[答案] 9. D[解析] 9. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.10. (2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.[答案] 10.[解析] 10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①,+=1②.①、②两式相减并整理得=-·.把已知条件代入上式得,-=-×,∴=,故椭圆的离心率e==.11. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=________.[答案] 11.1+[解析] 11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C,F,又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,从而有即∴b2=a2+2ab,∴-2·-1=0,又>1,∴=1+.12.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为____________.[答案] 12.x2+y2=1[解析] 12.不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b<1,c>0).又∵|AF1|=3|F1B|,∴由=3得B,代入x2+=1得+=1,又c2=1-b2,∴b2=.故椭圆E的方程为x2+y2=1.13.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.[答案] 13.[解析] 13.由得A,由得B,则线段AB的中点为M.由题意得PM⊥AB,∴k PM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=,∴e=.14. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+12y=0的准线方程是___________.[答案] 14. y=3[解析] 14. 抛物线的标准方程为：，由此可以判断焦点在y轴上，且开口向下，且p=6，所以其准线方程为y=3.15. (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.[答案] 15.查看解析[解析] 15.(Ⅰ)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(Ⅱ)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2++=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)16. (2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.[答案] 16.查看解析[解析] 16.(Ⅰ)由已知可得解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是+=1.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF的斜率k TF==-m.当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率k OM=-,又直线OT的斜率k OT=-,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|====.所以==≥=.当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).17. (2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.[答案] 17.查看解析[解析] 17.(1)由题意知c=,e==,∴a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).检验P(±3,±2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.18. (2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N. 证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.[答案] 18.查看解析[解析] 18.(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.又直线OA的方程为y=x,则A,k AB==.又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N,则===·.因为P(x0,y0)是C上一点,则-=1,代入上式得=·=·=,所求定值为==.19. (2014陕西,2017,13分)如图,曲线C由上半椭圆C 1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.[答案] 19.查看解析[解析] 19.(Ⅰ)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点. 设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.∴a=2,b=1.(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(x P,y P),∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.由求根公式,得x P=,从而y P=,∴点P的坐标为.同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).∴=(k,-4),=-k(1,k+2).∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照解法一给分.20.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.(1)若点C的坐标为,且BF 2=,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.[答案] 20.查看解析[解析] 20.设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2==a.又BF2=,故a=.因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.21.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.(Ⅰ)求C1的方程;(Ⅱ)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.[答案] 21.查看解析[解析] 21.(Ⅰ)设切点坐标为(x 0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).由题意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.由P(,)在C2上,得+=1,解得=3,因此C2的方程为+=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).由题意知·=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤将①,②,③,④代入⑤式整理得2m2-2m+4-11=0,解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.22.(2012太原高三月考，20,12分)已知曲线C:x2+=1.(Ⅰ)由曲线C上任一点E向x轴作垂线,垂足为F,动点P满足:=3,求P点的轨迹方程,并讨论其轨迹的类型;(Ⅱ)如果直线l的斜率为,且过点M(0,-2),直线l与曲线C交于A、B两点,又·=-,求曲线C的方程.[答案] 22.(Ⅰ)设E(x0,y0),P(x,y),则F(x0,0),∵=3,∴(x-x0,y)=3(x-x0,y-y0),∴代入曲线C中得x2+=1为所求的P点的轨迹方程.(2分)①当λ=时,P点轨迹表示:以(0,0)为圆心,半径r=1的圆;(3分)②当0<λ<时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆;(4分)③当λ>时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆;(5分)④当λ<0时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线.(6分)(Ⅱ)由题设知直线l的方程为y=x-2,代入曲线C中得(λ+2)x 2-4x+4-λ=0,(7分)令A(x1,y1),B(x2,y2),∵以上方程有两解,∴Δ=32-4(λ+2)(4-λ)>0,且λ+2≠0,(8分)∴λ>2或λ<0且λ≠-2,x1+x2=,x1·x2=.又·=x1·x2+(y1+2)(y2+2)=3x1·x2==-.(10分)解得λ=-14,(11分)∴曲线C的方程是x2-=1.(12分)22.23.(2012山西大学附中高三十月月考，21，12分）设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离为坐标原点.（I）求椭圆的方程；（II）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明：点到直线的距离为定值，并求弦长度的最小值.[答案] 23.（I）由题意得，∴，∴.由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为，∴，∴∴椭圆C的方程为（II）设，直线AB的方程为则，，直线AB的方程与椭圆C的方程联立得消去得整理得则是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，∴，整理得，∴，∴O到直线AB的距离即O到直线AB的距离定值. ……8分∴，当且仅当OA=OB时取“=”号.∴，又，∴,即弦AB的长度的最小值是23.24.(2012广东省“六校教研协作体”高三11月联考,20，14分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.（１）求椭圆的方程；（２）已知动直线与椭圆相交于、两点，①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②已知点，求证：为定值.[答案] 24.（1）由题意得……2分解得，所以椭圆C的方程为.…4分（2）①设，直线方程与椭圆C的方程联立得消去，整理得，……6分则是关于的方程两个不相等的实数根，恒成立，，……7分又中点的横坐标为，所以，解得.…………9分②则，由①知，，所以，…………11分…………12分.…14分24.。
高中数学圆锥曲线经典例题
题目：已知椭圆C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/2，过点(0,2) 的直线l 与椭圆C交于A，B 两点，且|AB| 最大值为4√2。
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 在椭圆C上是否存在点P，使得ΔABP为等腰三角形？如果存在，求出所有点P的坐标；如果不存在，说明理由。
这道题考查了椭圆的性质和应用、直线与椭圆的交点、点到直线的距离公式、三角形的性质等知识点。
答案：(1) 由题意知，椭圆的离心率为ac=23，当过点(0,2) 的直线与椭圆相切时，弦长∣AB∣最大，此时∣AB∣=42。
根据切线长公式和点到直线的距离公式，可以求得 a 和 b 的值，进而得到椭圆C的方程为8x2+4y2=1。
(2)假设存在点P，使得ΔABP为等腰三角形。
设点P的坐标为(x0 ,y0)，则∣PA∣=∣PB∣。
根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，可以列出关于x0和y0的方程，解得x0=±22或x0=0。
代入椭圆方程可得点P的坐标为(±22,±2)或(0,±2)。
高考数学圆锥曲线典型例题(必考)
高考数学圆锥曲线典型例题(必考)9.1 椭 圆典例精析题型一 求椭圆的标准方程【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 26＝1.题型二 椭圆的几何性质的运用【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)21F PF S ＝12mn sin 60°＝33b 2，【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝14和圆(x －4)2＋y 2＝14上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值为9.题型三 有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程.(1) 22.(2)为x 218＋y 29＝1.【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值是( )A.32B.33C.22D.63【解析】选B 题型思 有关椭圆与直线综合问题【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C ：2222+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． .【变式训练4】【2012高考广东理20】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e=23，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． 总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a 、 b 的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.练习1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF u u u u r=( )A. 2B. 2C.3D. 3 选A.2（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r，则椭圆的离心率是（ ） A 32 C ．13 D ．12【答案】D3.（2009江西卷理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为 A ．22 B ．33 C ．12D ．13 【答案】B 4.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C5【2012高考四川理15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。
高中数学圆锥曲线难题汇总(75道题)
高中数学圆锥曲线难题汇总1. 如图所示，，分别为椭圆：（）的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积．}2. 已知椭圆：的离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．）3. 已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．；4. 已知的顶点，在椭圆上，点在直线：上，且．\（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．—5. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点的两点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．￥}6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）若过作，垂足为，求点的坐标．：7. 已知圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为，曲线与直线相交于，两点．（1）求曲线的方程；—（2）当的面积等于时，求的值．【8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．（1）若，且，求实数的值；（2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．【·9. 如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点．求的横坐标的取值范围．}10. 已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积．【11. 已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个动点，且使的角平分线总垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值若是，求出该值；若不是，说明理由．&：12. 已知椭圆：的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为当时，求直线的方程．，13. 设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，求，．:14. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．）15. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线左支有两个不同的交点，，求的取值范围．￥16. 己知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．,17. 已知右焦点为的椭圆：关于直线对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称原点为，证明：直线与轴的交点为．#]18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）设点，在抛物线上，直线，分别与轴交于点，，的斜率．19. 已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．{；20. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．:21. 已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示．（1）求点的轨迹的方程；·（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点．·22. 已知椭圆，其短轴为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．23. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作直线交抛物线于，两点，且．（1）求直线的斜率；（2）若的面积为，求抛物线的方程．|—24. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3）求证：是一个定值．/25. 如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．~（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．~26. 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，离心率为．设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．（1）证明：；（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．【27. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点．，的延长线与直线分别交于，两点．（1）求动点的轨迹方程；（2）连接，求与的面积比．}\28. 已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．；29. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．…（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．！30. 如图：中，，，，曲线过点，动点在上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线的标准方程；（2）过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求的长度．~31. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．'32. 已知点 为椭圆 ： 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆 有且仅有一个交点．（1）求椭圆 的方程； （2）设直线与 轴交于 ，过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，，若的取值范围．^33. 已知点100(,)P x y 为双曲线22221(8x y b b b -=为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于点2P ． （1）求线段12P P 的中点P 的轨迹E 的方程；（2）设轨迹E 与x 轴交于B ，D 两点，在E 上任取一点Q 111()(0)x y y ≠，，直线QB ，QD 分别交于y 轴于M ，N 两点．求证：以MN【@34. 如图，已知圆G ：222(2)x y r -+=是椭圆2216x y +=1的内接ABC △的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点． （1）求圆G 的半径r ；（2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．—35. 设点00(,)P x y 在直线(01)x m y m m =≠±<<，上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，定点10M m ⎛⎫⎪⎝⎭，． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的垂心G 所在的曲线方x程；（2）求证：A M B 、、三点共线．"36. 作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于,A B 两点（如图所示），且(32,2)P 在直线l 的左上方. （1）证明：PAB ∆的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60oAPB ∠=，求PAB ∆的面积.《37. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>3x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的焦点为M ，过yAB#PNx=m O AxyOPB坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B ，直线MA,MB 分别与1C 相交与,D E . ①证明：MD ME ⊥； ￥②记MAB ∆,MDE ∆的面积分别是1S ，2S .问：是否存在直线l ,使得121732S S =请说明理由.】38. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （1）证明：点F 在直线BD 上； （2）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .！39. (,)()o o o P x y x a ≠±是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>上一点，,M N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线,PM PN 的斜率之积为15. （1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,A B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值.…40.已知以原点O为中心，F 为右焦点的双曲线C的离心率2e =. （1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求△OGH 的面积．41.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． ~（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若1262AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．;42.如图，椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． (43.设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的⊥若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.k>，都有PQ PH…44../45. 已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆6其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.%46.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由《47. 平面内与两定点12(,0),(,0)(0)->A a A a a 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加 上A 1、A 2两点所在所面的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. (Ⅰ)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C 1：对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，对应的曲线为C2， ；设F 1、F 2是C 2的两个焦点，试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面 积2S m a =，若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由.:48.已知一条曲线C 在y 轴右边，每一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (Ⅰ)求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有0FA FB •<若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题(含问题详解)
专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 标为 。
高中数学选择性必修第一册 专题研究四 圆锥曲线中的定点、定值问题
思考题 1 已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点 A(1，2)是
抛物线 C 上一点． (1)求 C 的方程； (2)若点 B(1，－2)在 C 上，过点 B 作 C 的两弦 BP 与 BQ，若 kBP·kBQ＝－2，
求证：直线 PQ 过定点．
【解析】 (1)由题得 C 的方程为 y2＝4x 或 x2＝12y. (2)证明：∵点 B(1，－2)在 C 上，∴曲线 C 的方程为 y2＝4x. 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线 PQ：x＝my＋b(b≥0)，与方程 y2＝4x 联立， 消去 x 得 y2－4my－4b＝0，易知 Δ>0，∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4b. ∵kBP·kBQ＝－2，∴yx11＋ －21·yx22＋ －21＝－2，∴y1－4 2·y2－4 2＝－2，即 y1y2－2(y1 ＋y2)＋12＝0.∴－4b－8m＋12＝0，即 b＝3－2m. 直线 PQ：x＝my＋b＝my＋3－2m，即 x－3＝m(y－2)． ∴直线 PQ 过定点(3，2)．
直线 PB 的方程为 y＝3t (x－3)， 所以 y2＝3t (x2－3)． 可得 3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)． 由于x922＋y22＝1，故 y22＝－（x2＋3）9（x2－3），可得 27y1y2＝－(x1＋3)(x2 ＋3)，即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.① 将 x＝my＋n 代入x92＋y2＝1 得 (m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0，所以 y1＋y2＝－m22m＋n9，y1y2＝mn22－＋99.
【解析】 (1)由题意得 a＝2，b＝1， 所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1. 又 c＝ a2－b2＝ 3，
所以椭圆 C 的离心率 e＝ac＝ 23. (2)证明：设 P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则 x02＋4y02＝4. 又 A(2，0)，B(0，1)， 所以直线 PA 的方程为 y＝x0y－0 2(x－2)． 令 x＝0，得 yM＝－x02－y02，
(word完整版)高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题
高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分: 椭圆1. 椭圆的概念在平面内与两定点F1.F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}, |F1F2|＝2c, 其中a>0, c>0, 且a, c为常数:(1)若a>c, 则集合P为椭圆；(2)若a＝c, 则集合P为线段；(3)若a<c, 则集合P为空集．2. 椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴: 坐标轴对称中心: 原点顶点A1(－a,0), A2(a,0)B1(0, －b), B2(0, b)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0, －a), A2(0, a)B1(－b,0), B2(b,0)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a, b, c的关系c2＝a2－b2典型例题例1.F1, F2是定点, 且|F1F2|=6, 动点M 满足|MF1|+|MF2|=6, 则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 例2.已知 的周长是16, , B .则动点的轨迹方程是.. )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例3.若F(c, 0)是椭圆 的右焦点, F 与椭圆上点的距离的最大值为M, 最小值为m, 则椭圆上与F 点的距离等于 的点的坐标是.. )(A)(c, ) (C)(0, ±b) (D)不存在例4.设F1(-c ，0)、F2(c ，0)是椭圆 + =1(a>b>0)的两个焦点，P 是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为..)例5 P 点在椭圆 上, F1.F2是两个焦点, 若 , 则P 点的坐标是 .例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴与短轴的和为18, 焦距为6; . (2)焦点坐标为 , ,并且经过点(2, 1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31; ____. (4)离心率为 , 经过点(2, 0); .例7 是椭圆 的左、右焦点, 点 在椭圆上运动, 则 的最大值是 ．第二部分: 双曲线1. 双曲线的概念平面内动点P 与两个定点F1.F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c), 则点P 的轨迹叫双曲线. 这两个定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫焦距.集合P ＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}, |F1F2|＝2c, 其中a 、c 为常数且a>0, c>0: (1)当a<c 时, P 点的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时, P 点的轨迹是两条射线； (3)当a>c 时, P 点不存在．2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程－ ＝1 (a>0, b>0)－ ＝1(a>0, b>0)图形性 质范围x ≥a 或x ≤－a, y ∈Rx ∈R, y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴: 坐标轴 对称中心: 原点顶点A1(－a,0), A2(a,0)A1(0, －a), A2(0, a)渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ , e ∈(1, ＋∞), 其中c ＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴, 它的长|A1A2|＝2a ；线段B1B2叫做双曲线的虚轴, 它的长|B1B2|＝2b ；a 叫做双曲线的半实轴长, b 叫做双曲线的半虚轴长a 、b 、c 的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0, c>b>0)典型例题例8.命题甲: 动点P 到两定点A.B 的距离之差的绝对值等于2a(a>0)；命题乙: 点P 的轨迹是双曲线。
圆锥曲线典型例题(精华版)
圆锥曲线典型例题强化训练一、选择题1、若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ ）A A. 212x y = B.212y x = C.24x y = D.26x y = 2、若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a 的值为（ ）C A ．-2或2B ．2321或C ．2或0D ．-2或03、设F 1、F 2为曲线C 1： x 26 + y 22 =1的焦点，P 是曲线2C ：1322=-y x 与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为（ ）C (A) 14(B) 1 (C) 2 (D) 2 24、经过抛物线x y 22=的焦点且平行于直线0523=+-y x 的直线l 的方程是（ ）A A.0346=--y x B. 0323=--y x }C.0232=-+y xD. 0132=-+y x5、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） D A ．2- B ．2 C ．4- D ．46、如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ）B A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=7、以141222=-x y 的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（ ）DA ．1526422=+y x B. 1121622=+y x C. 141622=+y x D.116422=+y x 8、已知双曲线19222=-y ax ()0>a 的中心在原点, 右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) D A.54 B. 55558 C. 45D. 774￥二、解答题1、已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C三点作P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1) 若椭圆的离心率e =P 的方程； （2）若P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．!2、椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为)2,0(A ，右焦点F 与点B 的距离为2。