广东省阳江市广雅中学2021-2022学年高二数学文联考试卷含解析

广东省阳江市广雅中学2021-2022学年高二数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若a，b分别是方程的解，函数
，则关于x的方程f(x)= x的解的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
C
2. 若实数x，y满足不等式组，则z=3x+2y+1的最小值为（）
A．2 B．3 C．6 D．7
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【分析】先画出可行域，将目标函数变形为y=﹣x﹣+，画出平行线y=﹣2x由图知直线过点A 时纵截距最小，代入目标函数求解即可．
【解答】解：画出可行域，
将z=3x+2y+1变形为y=﹣x﹣+，画出直线y=﹣x﹣+平移至A（0，1）时，纵截距最小，z最小
故z的最小值是z=3×0+2×1+1=3．
故选：B．3. 已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）
A. a<-7或a>24
B. a=7 或a=24
C. -7<a<24
D. -24<a<7参考答案：
C
4. 假设洗小水壶需一分钟，烧开水需15分钟，洗茶杯需3分钟，取放茶叶需2分钟，泡茶需1分钟则上述“喝茶问题”中至少需多少分钟才可以喝上茶？ ( )
A . 16 B. 17 C. 18 D. 19
参考答案：
B
略
5. 函数的部分图象是( )
参考答案：
D
6. 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
参考答案：
B
7. 曲线ρ=4sin（x+）与曲线的位置关系是（）
A．相交过圆心B．相交C．相切D．相离
参考答案：
B
【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】先应用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将曲线ρ=4sin（θ+）化为直角坐标方程，轨迹为
圆，再化简曲线为直线x+y﹣1=0，利用圆心到直线的距离公式，求出距离，判断与半径的关系，从而确定直线与圆的位置关系．
【解答】解：曲线ρ=4sin（θ+）=2（sinθ+cosθ），∴ρ=2（sinθ+cosθ），
化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2x﹣2y=0
即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，圆心为（1，1），半径为，
曲线化为普通方程为直线x+y﹣1=0，
则圆心到直线的距离为=，
故直线与圆相交且不过圆心．
故选：B．
【点评】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程，及直线与圆的位置关系，属于基础题．
8. 将函数的图形向左平移个单位后得到的图像关于y轴对称，则正数的最小正值是（）
A. B. C. D. 参考答案：
D
【分析】
由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论．
【详解】解：将函数的图形向左平移个单位后，
可得函数的图象，
再根据得到的图象关于轴对称，可得，即，
令，可得正数的最小值是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
9. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据函数的最值求得，根据函数的周期求得，根据函数图像上一点的坐标求得，由此求得函数的解析式.
【详解】由题图可知，且即，所以，
将点的坐标代入函数，
得，即，
因为，所以，
所以函数的表达式为．故选D.
【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.
10. 直线交椭圆于M,N两点,MN的中点为P,若(O为原点),则
等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过直线y=x上一点作圆的两条切线l1，l2当l1，l2关于直线y=x对称时，l1，l2
的夹角的大小为
▲
．
参考答案：
12. 对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y＝f（x）的导数y ＝f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点为函数y＝f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心．”请你根据这一发现，回答问题：
若函数g（x）＝x3－x2＋3x－，则g（）＋g（）＋g（）＋g（）
＋…＋g（）＝．
参考答案：
略
13. 设α、β、γ是三个不同的平面，l、m、n是三条不同的直线，则m⊥β的一个充分条件
为．
①α⊥β，α∩β=l，m⊥l；
②n⊥α，n⊥β，m⊥α；
③α∩γ=m，α⊥β，γ⊥β；
④m⊥α，α⊥γ，β⊥γ．
参考答案：
②③
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】在①中，m与β相交、平行或m?β；在②中，由线面垂直的性质得m∥n，再由线面垂直判定定理得m⊥β；在③中，由直线与平面垂直判定定理得m⊥β；在④中m与β平行或m?β．
【解答】解：由α、β、γ是三个不同的平面，l、m、n是三条不同的直线，知：
①∵α⊥β，α∩β=l，m⊥l，∴m与β相交、平行或m?β，故①错误；
②∵n⊥α，m⊥α，∴m∥n，∵n⊥β，∴m⊥β，故②正确；
③∵α∩γ=m，α⊥β，γ⊥β，∴由直线与平面垂直的判定定理得m⊥β，故③正确；
④∵m⊥α，α⊥γ，β⊥γ，∴m与β平行或m?β，故④错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
14. 在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去个三棱锥后，
剩下的几何体的体积是__________．
参考答案：
．
15. 若tan =3，则的值等
于 ；
参考答案：
6
试题分析：
考点：三角函数的倍角公式与同角三角函数的商数关系
16. 盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为__________.
参考答案：
【分析】
本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有
种结果，从而得到答案。

【详解】由题可知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有
种结果，
所以根据等可能事件的概率得到
【点睛】本题考查等可能事件的概率，属于简单题。

17. （理科）已知如图，正方体的棱长为１，
分别为棱
上的点（不含顶
点）．则下列说法正确的是
_________. ①平面；
②
在侧面
上的正投影是面积为定值的三角形；
③在平面内总存在与平面平行的直线；
④平面
与平面
所成的二面角（锐角）的大小与点
位置有关，与点
位置无关；
⑤当分别为中点时，平面与棱交于点，则三棱锥的体积为．
参考答案：
②③⑤
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图，圆柱高为h ，半径为r ，不计厚度，单位：米），按计划容积为72π立方米，且h≥2r，假设其建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计），已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米4千元，设该容器的建造费用为y 千元．
（Ⅰ）求y 关于r 的函数关系，并求其定义域； （Ⅱ）求建造费用最小时的r ．
参考答案：
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（Ⅰ）利用容积为72π立方米，列出，得到，然后
求解建造费用的函数解析式．
（Ⅱ）利用导函数，判断单调性求解最值即可． 【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由容积为72π立方米，得．…
，解得0＜r≤3，…
又圆柱的侧面积为，
半球的表面积为2πr2，
所以建造费用，定义域为（0，3]．…
（Ⅱ），…
又0＜r≤3，所以y'≤0，所以建造费用，
在定义域（0，3]上单调递减，所以当r=3时建造费用最小．…
19. （本题10分）．如图，已知过点的直线与抛物线交于两点，又抛物线在两点处的两切线交于点，两点的横坐标分别为．
（1）求的值；（2）求点的纵坐标的值．
参考答案：
解：（1）设直线的方程为，代入，则，所以
（2）因为，所以抛物线在处的切线方程为：，化简得到，同理抛物线在处的切线方程为：，联立方程组可知两切线的交点纵坐标为
20. （本小题满分14分）
一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积
参考答案：
略
21. 已知函数
（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值.
（2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
参考答案：
（1）；（2）
22. （满分14分）已知动圆经过点(1,0)，且与直线相切，（1）求动圆圆心的轨迹方程。

（2）在（1）中的曲线上求一点，使这点到直线的距离最短。

参考答案：
解：（1）
（2）设点，距离为，
当时，取得最小值，此时为所求的点。

略。