2021年云南省红河州开远市中考数学模拟试卷(一)(附答案详解)

2021年云南省红河州开远市中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）
1. 下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是( ) A. B. C. D.
2. 如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，其俯视图是( ) A. B. C. D.
3. 观察下列一组数：1，34，59，716，9
25，…，它们是按照一定的规律排列的，用代数式
表示第n 个数是( ) A. 2n−13n−2 B. 2n+13n−2 C. 2n−1
n 2 D. 2n+1
n 2
4. 已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为4cm ，则圆锥的侧面积是( )
A. 10 cm 2
B. 10π cm 2
C. 8 cm 2
D. 8π cm 2
5. 下列计算正确的是( )
A. 3−1+30=−2
B. (2x)3=6x 3
C. (π−3.14)0=1
D. √7−√5=√2
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，
将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB 边上，连接BB′，则BB′的长度是()
A. 1cm
B. 2cm
C. √3cm
D. 2√3cm
7.如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液
面宽度AB=8cm，半径OC⊥AB于D，液面深度CD=
2cm，则该管道的半径长为()
A. 6cm
B. 5.5cm
C. 5cm
D. 4cm
8.已知△ABC三边长分别为3、a、7(a为整数)，且关于x的不等式组{1
4
(2x+8)≥7 x−a<2
无
解，则满足所有条件的a的和为()
A. 17
B. 26
C. 27
D. 30
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9.计算：|−4
7
|=______．
10.因式分解：4a−4a3=______．
11.如图，a⊥c，b⊥c，∠1=70°，则∠2=______．
12.要使√1−2x有意义，则x的取值范围是______。

13.天堑变通途，致富路更宽，农村公路像“毛细血管”一样遍布红河大地，“十三五”
以来，红河州共实施农村公路硬化10500千米，人们的幸福感和获得感明显提升．把数据10500用科学记数法表示为______．
14.△ABC中，sin∠ABC=5
13
，AD为BC边上的高，∠CAD=45°，BD=12，则BC的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共70.0分）
15.先化简，再求值：(2x
2x+1−1
4x2+2x
)÷(1−4x2+1
4x
)，其中x=3．
16.已知：如图AC和BD相交于点O，AB//CD，OA=OC，求证：△
AOB≌△COD．
17.某校为了解本校初中学生在学校号召的“积极公益”活动中周末参加公益的时间(
单位：ℎ)，随机调查了该校的部分初中学生.根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)本次接受调查的初中学生人数为______ ，图①中m的值为______ ；
(Ⅱ)求统计的这部分学生参加公益的时间数据的平均数、众数和中位数；
(Ⅲ)根据统计的这部分学生周末参加公益时间的样本数据，若该校共有650名初中学生，估计该校在这个周末参加公益时间大于1ℎ的学生人数．
18.城镇老旧小区改造是重大民生工程和发展工程，某县积极响应党的号召，全面推进
城区老旧小区改造工作．现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？
19.为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，
其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾.小明、小亮各自投放了一袋垃圾．
(1)小明投放的垃圾恰好是C类的概率是______ ；
(2)求小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率．
(k≠0)的图象相交于点A(1,3) 20.如图，已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=k
x
和B(m,1)．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)当反比例函数的值小于一次函数的值时，请直接写出实数x的取值范围；
(3)求△OAB的面积．
21.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作
DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF=CE，连接AF，
OF．
(1)求证：四边形AFED是矩形．
(2)若AD=7，BE=2，∠ABF=45°，试求OF的长．
22.已知抛物线L：y=−x2+bx+c过点(−3,3)和(1,−5)，与x轴的交点为A，B(点A在
点B的左侧)．
(1)求抛物线L的表达式；
(2)若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使
△PEF∽△DAB(P的对应点是D)，且PE：DA=1：4，求满足条件的点P的坐标．
23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB=BC，连接BD，过点D的直线与
CA的延长线相交于点E，且∠EDA=∠ACD．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)求证：BD平分∠ADC；
(3)若AD=6，CD=8，求BD的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A 、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B 、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C 、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D 、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B ．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：俯视图有3列，从左往右分别有2，1，2个小正方形，
故选：C ．
俯视图是从图形的上面看所得到的图形，据此判断即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.【答案】C
【解析】解：∵一组数：1，34，59，716，925，…，
∴这组数的第n 个数为
2n−1n 2，
故选：C ．
根据题目中的数据可知，分子是一些连续的奇数，从1开始，分母是n 2，然后即可写出这列数的第n 个数．
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出第n 个数．
4.【答案】D
×4π×4=
【解析】解：底面圆的半径为2cm，则底面周长=4πcm，侧面面积=1
2
8π(cm2).
故选：D．
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
5.【答案】C
，计算不正确，故A不符合题意；
【解析】解：A、3−1+30=11
3
B、(2x)3=8x3，计算不正确，故B不符合题意；
C、(π−3.14)0=1，计算正确，故C符合题意；
D、√7和√5不是同类二次根式，无法合并，故D不符合题意．
故选：C．
利用有理数的运算，积的乘方的法则，零指数幂，二次根式的运算法则对各项进行运算即可得出结果．
本题主要考查合并同类项，积的乘方的法则，零指数幂，二次根式的运算法则等，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了旋转的性质和含30度角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段BB′与已知线段AC的长度联系起来求解的．由直角三角形的性质得到AB=2AC=2，然后根据旋转的性质和等腰三角形的判定得到AB′=BB′．【解答】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，
∴AC=1
AB，则AB=2AC=2cm．
2
AB，B′C′⊥AB，
又由旋转的性质知，AC′=AC=1
2
∴B′C′是△ABB′的中垂线，
∴AB′=BB′．
根据旋转的性质知AB =AB′=BB′=2cm ．
故选B ．
7.【答案】C
【解析】解：连接AO ，
∵OC ⊥AB ，∴D 为AB 的中点，
∴AD =4cm ，
设圆的半径为r cm ，
在Rt △AOD 中，OD =OC −CD =(r −2)cm ，
根据勾股定理得：OA 2=AD 2+OD 2，即r 2=16+(r −2)2，
解得：r =5，
故选：C ．
连接AO ，由OC 垂直于AB ，利用垂径定理得到D 为AB 的中点，求出AD 的长，设圆的半径为r cm ，由OC −CD 表示出OD ，在直角三角形AOD 中，利用勾股定理求出r 的值即可． 此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABC 三边长分别为3、a 、7(a 为整数)，
∴7−3<a <3+7，
即4<a <10，
∵关于x 的不等式组{14(2x +8)≥7x −a <2
无解， ∴整理得{x ≥10x <2+a
无解， 则2+a ≤10，
解得：a ≤8，
故a =5，6，7，8，
则满足所有条件的a的和为：5+6+7+8=26．
故选：B．
直接利用三角形三边关系得出a的取值范围，再解不等式组得出a的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了三角形三边关系以及一元一次不等式组的解法，正确解不等式组是解题关键．
9.【答案】4
7
【解析】解：根据绝对值的定义，得|−4
7|=4
7
．
故答案为：4
7
．
根据绝对值的定义解决此题．
本题主要考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．
10.【答案】4a(1+a)(1−a)
【解析】解：4a−4a3=4a(1−a2)
=4a(1+a)(1−a)．
故答案为：4a(1+a)(1−a)．
直接提取公因式4a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．11.【答案】70°
【解析】解：∵a⊥c，b⊥c，
∴a//b，
∵∠3=∠1=70°，
∴∠2=∠3=70°．
故答案为：70°．
由a⊥c，b⊥c，可证得a//b，然后由平行线的性质与对顶角相等，求得答案．
此题考查了平行线的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
12.【答案】x≤1
2
【解析】解：由题意得：1−2x≥0，
解得：x≤1
，
2。

故答案为：x≤1
2
根据二次根式有意义的条件可得1−2x≥0，再解即可。

此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数。

13.【答案】1.05×104
【解析】解：10500=1.05×104，
故答案为：1.05×104．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．据此解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
14.【答案】7或17
【解析】解：如右图所示，
∵sin∠ABC=5
，AD为BC边上的高，BD=
13
12，
∴设AD=5a，则AB=13a，
∴(5a)2+122+(13a)2，
解得a=1，
∴AD=5，AB=13，
∵∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴AD=CD=5，
当点C在C1的位置时，BC1=BD−DC1=12−5=7，
当点C在C2的位置时，BC2=BD+DC2=12+5=17，
故答案为：7或17．
根据题意，可以画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以得到AD、AB的长，然后利用分类讨论的方法，可以求得BC的长．
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】解：原式=4x2−1
2x(2x+1)÷4x−4x2−1
4x
=(2x+1)(2x−1)
2x(2x+1)
⋅
4x
−(2x−1)2
=−2
2x−1
，
当x=3时，原式=−2
5
．
【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
16.【答案】证明：∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
又∵OA=OC，
∴△AOB≌△COD．
【解析】由AB//CD可得内错角相等，这样可利用AAS证三角形全等，本题比较简单．本题考查了全等三角形的判定方法；要充分利用已知条件中的平行线提供的角相等，这点在三角形全等的证明中经常用到，要牢固掌握，熟练应用．
17.【答案】4025
【解析】解：(Ⅰ)4+8+15+10+3=40(人)，10÷40×100%=25%，即m=25，故答案为：40，25；
(Ⅱ)平均数是0.9×4+1.2×8+1.5×15+1.8×10+2.1×3
40
=1.5，
这组数据中出现次数最多的是“1.5ℎ”，共出现15次，因此众数是1.5，
将这组数据从小到大排列后处在中间位置的两个数都是1.5ℎ，因此中位数是1.5，
所以平均数为1.5，1.5，1.5；
(Ⅲ)650×36
40
=585(人)，
答：该校每天在校体育活动时间大于1ℎ的学生有585人．
(1)计算各组频数的和即可求出调查人数，计算“1.8ℎ”的人数所占的百分比即可确定m 的值；
(2)根据平均数、中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可；
(3)求出样本中“参加公益活动时间大于1ℎ”的人数所占的百分比即可计算总体650人中“参加公益活动时间大于1ℎ”的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，掌握两个统计图中数量之间的关系，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提．
18.【答案】解：设该项工程的规定时间是x天，则乙队单独施工完成工程所需天数为1.5x 天，
由题意得，(1
x +1
1.5x
)×15+5
x
=1，
解得：x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，
答：该项工程的规定时间是30天．
【解析】设该项工程的规定时间是x天，由题意：如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．列出分式方程，解方程即可．
本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解决问题的关键．
19.【答案】1
4
【解析】解：(1)∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是C类的概率为：1
4
，
故答案为：1
4
；
(2)画树状图如图所示：
由图可知，共有16种可能结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有4种，
∴小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为416=14．
(1)直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是C 类的概率；
(2)首先利用树状图法得出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
此题主要考查了列表法与树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键． 20.【答案】解：(1)∵反比例函数y =k
x (k ≠0)图象经过A(1,3)，
∴k =1×3=3，
∴反比例函数的表达式是y =3x ，
∵反比例函数y =3x 的图象过点B(m,1)，
∴m =3．
∴B(3,1)．
∵一次函数y =ax +b 图象相交于A(1,3)，B(3,1)．
∴{a +b =33a +b =1，解得{a =−1b =4． ∴一次函数的表达式是y =−x +4；
(2)当反比例函数的值小于一次函数的值时，实数x 的取
值范围是x <0或1<x <3；
(3)把y =0代入y =−x +4得，x =4，
∴直线y =−x +4与x 轴的交点C 为(4,0)，
∵A 、B 的坐标分别是(1,3)、(3,1)．
∴S △OAB =S △OAC −S △OBC =12×4×3−1
2×4×1=4．
【解析】(1)由反比例函数图象过点A ，可求出反比例函数的表达式，再求出点B 的坐标，然后将A 点坐标代入y =−x +b ，可求一次函数的表达式；
(2)根据图象即可得到结论；
(3)求得直线与x轴的交点C的坐标，然后根据S△OAB=S△OAC−S△OBC求得即可．
本题考查了反比例函数综合题，一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形的面积，数形结合是解决本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵BF=CE，
∴FE=BC，
∴四边形AFED是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴∠DEF=90°，
∴四边形AFED是矩形．
(2)解：由(1)得：∠AFE=90°，FE=AD，
∵AD=7，BE=2，
∴FE=7，
∴FB=FE−BE=5，
∴CE=BF=5，
∴FC=FE+CE=7+5=12，
∵∠ABF=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=FB=5，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC=√AF2+FC2=√52+122=13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∴OF=1
2AC=13
2
．
【解析】(1)证四边形AFED是平行四边形，∠DEF=90°，即可得出结论．
(2)求出CE=BF=5，则FC=FE+CE=12，证出△ABF是等腰直角三角形，得出AF= FB=5，在Rt△AFC中，由勾股定理求出AC=13，由平行四边形的性质得出OA=OC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理以及直角三角形斜
边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵抛物线y =−x 2+bx +c 过点(−3,3)和(1,−5)，
∴{−5=−1+b +c 3=−9−3b +c
， 解得：{b =−4c =0
， ∴抛物线解析式为y =−x 2−4x ；
(2)令y =0，则0=−x 2−4x ，
∴x 1=−4，x 2=0，
∴点A(−4,0)，点B(0,0)，
∴对称轴为x =−2，
∴点D(−2,4)，
如图，设对称轴与x 轴的交点为H ，过点P 作PQ ⊥DH 于Q ，设点P(m,−m 2−4m)，
∵△PEF∽△DAB ，
∴PE AD =PQ DH =14
， ∴PQ =14×4=1，
∴|m +2|=1，
∴m =−1或−3，
∴点P(−1,3)或(−3,3)．
【解析】(1)利用待定系数法可求解析式；
(2)先求出点A ，点B ，点D 坐标，由相似三角形的性质可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用
相似三角形的性质是本题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接OD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠EDA=∠ACD，
∴∠ADO+∠ODC=∠EDA+∠ADO=90°，
∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
(2)证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠ADB=∠BCA=45°，∠CDB=∠BAC=45°，∴∠ADB=∠CDB，
∴BD平分∠ADC；
(3)过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H，
∴∠DBH=90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ABD=90°−∠DBC，∠CBH=90°−∠DBC，
∴∠ABD=∠CBH，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠BCH=180°，
∴∠BAD=∠BCH，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBH(ASA)，
∴AD=CH，BD=BH，
∵AD=6，CD=8，
∴CH=6，
∴DH=CD+CH=14，
在Rt△BDH中，BD2=DH2−BH2，BD=BH，
∴2BD2=196，
∴BD=7√2．
【解析】(1)连接OD，根据圆周角定理及等腰三角形的性质得出∠EDO=∠EDA+
∠ADO=90°，则OD⊥DE，根据切线的定义即可得解；
(2)根据题意得到△ABC是等腰直角三角形，再根据圆周角定理及等腰三角形的性质得出∠ADB=∠CDB，根据角平分线的定义即可得解；
(3)过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H.证明△BDH是等腰直角三角形，求出DH，再根
据勾股定理求解即可．
本题是圆的综合题，考查切线的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。