[精品]2015-2016年广东省深圳高级中学高一(上)数学期末试卷带答案PDF

2015-2016学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷一．选择题：共5小题,每小题5分,共25分．在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．1．（5.00分）已知A={（x,y）|y=2x+1},B={（x,y）|y=x+3},则A∩B=（）A．B B．{（2,5）}C．∅D．{2,5}2．（5.00分）若a=ln2,,,则有（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b3．（5.00分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间为（）A．（0,1）B．（1,2）C．（2,3）D．（3,4）4．（5.00分）函数f（x）=,则f[f（）]=（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣5 D．5．（5.00分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞,0]上是减函数,且=2,则不等式f（log4x）＞2的解集为（）A．B．（2,+∞）C．D．二．填空题：共2小题,每小题5分,共10分,把答案填在答卷卡的相应位置上．6．（5.00分）计算（lg﹣lg25）÷=．7．（5.00分）已知函数g（x）=,则函数f（x）=g（lnx）﹣ln2x的零点个数为．三．解答题：共2小题,共22分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．8．（10.00分）已知函数,其中a为常数．（1）若a=1,判断函数f（x）的奇偶性；（2）若函数在其定义域上是奇函数,求实数a的值．9．（12.00分）已知函数f（x）=lg（ax2+ax+2）（a∈R）．（1）若a=﹣1,求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）的定义域为R,求实数a的取值范围．四．选择题：共7小题,每小题5分,共35分．在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．10．（5.00分）已知直线Ax+By+C=0不经过第三象限,则A,B,C应满足（）A．AB＞0,BC＞0 B．AB＞0,BC＜0 C．AB＜0,BC＞0D．AB＜0,BC＜0 11．（5.00分）在正四面体S﹣ABC中,若P为棱SC的中点,那么异面直线PB与SA 所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．12．（5.00分）已知m,n是空间两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是（）A．m⊥α,α⊥β,m∥n⇒n∥β B．m⊥α,m⊥n,α∥β⇒n∥βC．m∥α,m⊥n,α∥β⇒n⊥βD．m⊥α,m∥n,α∥β⇒n⊥β13．（5.00分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1,3）,B（3,1）,C（﹣1,0）,则△ABC的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．614．（5.00分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为（）A．B． C． D．π15．（5.00分）已知圆C的标准方程为x2+y2=1,直线l的方程为y=k（x﹣2）,若直线l和圆C有公共点,则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣1,1] 16．（5.00分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V,P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点,且PA=QC1,则四棱锥B﹣APQC的体积为（）A．B．C．D．五.填空题：共2小题,每小题5分,共10分,把答案填在答卷卡的相应位置上．17．（5.00分）已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形,如图所示,则该几何体的体积等于18．（5.00分）半径为,且与圆x2+y2+10x+10y=0外切于原点的圆的标准方程为．六．解答题：共4小题,共48分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（12.00分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BCD=60°,AB=2AD,PD⊥平面ABCD,点M为PC的中点．（1）求证：PA∥平面BMD；（2）求证：AD⊥PB；（3）若AB=PD=2,求点A到平面BMD的距离．20．（12.00分）已知圆C过点A（1,2）和B（1,10）,且与直线x﹣2y﹣1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上的任意一点,定点Q（﹣3,﹣6）,当点P在圆C上运动时,求线段PQ中点M的轨迹方程．21．（12.00分）如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且AA1=AB=2（1）求证：AB⊥BC；（2）若AC=2,求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．22．（12.00分）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1,直线l的方程为x﹣2y=0,点P 在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B．（1）若∠APB=60°,试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2,1）,过P作直线与圆M交于C,D两点,当时,求直线CD的方程；（3）求证：经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标．2015-2016学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：共5小题,每小题5分,共25分．在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．1．（5.00分）已知A={（x,y）|y=2x+1},B={（x,y）|y=x+3},则A∩B=（）A．B B．{（2,5）}C．∅D．{2,5}【解答】解：A∩B={（x,y）|}={（2,5）}．故选：B．2．（5.00分）若a=ln2,,,则有（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b【解答】解：∵0＜a=ln2＜1,＞1,＜0,∴b＞a＞c．故选：B．3．（5.00分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间为（）A．（0,1）B．（1,2）C．（2,3）D．（3,4）【解答】解：函数f（x）=lnx﹣在（0,+∞）上连续,且f（1）=﹣2＜0,f（2）=ln2﹣1＜0,f（3）=ln3﹣＞0．故选：C．4．（5.00分）函数f（x）=,则f[f（）]=（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣5 D．【解答】解：∵函数f（x）=,∴f（）==,∴f[f（）]=f（）=﹣2=．故选：A．5．（5.00分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞,0]上是减函数,且=2,则不等式f（log4x）＞2的解集为（）A．B．（2,+∞）C．D．【解答】解：由题意知不等式f（log4x）＞2,即f（log4x）＞,又偶函数f （x）在（﹣∞,0]上是减函数,∴f（x）在[0,+∞）上是增函数,∴log4x＞=log42,或log4x＜﹣=,∴0＜x＜,或x＞2,故选：A．二．填空题：共2小题,每小题5分,共10分,把答案填在答卷卡的相应位置上．6．（5.00分）计算（lg﹣lg25）÷=﹣20．【解答】解：（lg﹣lg25）÷100﹣=（lg）÷10﹣1=﹣2×10=﹣20．故答案为﹣20．7．（5.00分）已知函数g（x）=,则函数f（x）=g（lnx）﹣ln2x的零点个数为2．【解答】解：①如果lnx＞0,即x＞1时,那么函数f（x）=g（lnx）﹣ln2x转化为函数f（x）=1﹣ln2x,令1﹣ln2x=0,得x=e,即当x＞1时．函数f（x）=g（lnx）﹣ln2x的零点是e；②如果lnx=0,即x=1时,那么函数f（x）=g（lnx）﹣ln2x转化为函数f（x）=0﹣ln2x,令0﹣ln2x=0,得x=1,即当x=1时．函数f（x）=g（lnx）﹣ln2x的零点是1；③如果lnx＜0,即0＜x＜1时,那么函数f（x）=g（lnx）﹣ln2x转化为函数f（x）=﹣1﹣ln2x,令﹣1﹣ln2x=0,无解,即当0＜x＜1时．函数f（x）=g（lnx）﹣ln2x没有零点；综上函数f（x）=g（lnx）﹣ln2x的零点个数为2．故答案为：2三．解答题：共2小题,共22分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．8．（10.00分）已知函数,其中a为常数．（1）若a=1,判断函数f（x）的奇偶性；（2）若函数在其定义域上是奇函数,求实数a的值．【解答】解：（1）当a=1时,,其定义域为R．此时对任意的x∈R,都有所以函数f（x）在其定义域上为奇函数．（2）若函数在其定义域上是奇函数,则对定义域内的任意x,有：整理得：a2e2x﹣1=e2x﹣a2,即：e2x（a2﹣1）=1﹣a2对定义域内的任意x都成立．所以a2=1当a=1时,,定义域为R；当a=﹣1时,,定义域为（﹣∞,0）∪（0,+∞）．所以实数a的值为a=1或a=﹣1．9．（12.00分）已知函数f（x）=lg（ax2+ax+2）（a∈R）．（1）若a=﹣1,求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）的定义域为R,求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时,f（x）=lg（﹣x2﹣x+2）,由﹣x2﹣x+2＞0,即x2+x﹣2＜0,解得：﹣2＜x＜1,所以函数f（x）的定义域为（﹣2,1）；设t（x）=﹣x2﹣x+2,x∈（﹣2,1）,则y=lgt在t∈（0,+∞）为增函数．由复合函数的单调性,f（x）的单调区间与t（x）=﹣x2﹣x+2,x∈（﹣2,1）的单调区间一致．二次函数t（x）=﹣x2﹣x+2,x∈（﹣2,1）的对称轴为所以t（x）在单调递增,在单调递减．所以f（x）的单调增区间为,单调减区间为．（2）当a=0时,f（x）=lg2为常数函数,定义域为R,满足条件．当a≠0时,f（x）的定义域为R等价于ax2+ax+2＞0恒成立．于是有,解得：0＜a＜8综上所述,实数a的取值范围是0≤a＜8．四．选择题：共7小题,每小题5分,共35分．在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．10．（5.00分）已知直线Ax+By+C=0不经过第三象限,则A,B,C应满足（）A．AB＞0,BC＞0 B．AB＞0,BC＜0 C．AB＜0,BC＞0D．AB＜0,BC＜0【解答】解：直线ax+by+c=0化为：y=﹣x﹣,∵直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限,∴﹣＜0,﹣＜0,∴ab＞0,bc＜0．故选：B．11．（5.00分）在正四面体S﹣ABC中,若P为棱SC的中点,那么异面直线PB与SA 所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：取AC中点O,连结PO,BO,设正四面体S﹣ABC的棱长为2,则PO∥SA,且PO=SA=1,BO=BP==,∴∠BPO是异面直线PB与SA所成的角,cos∠BPO===．∴异面直线PB与SA所成的角的余弦值为．故选：A．12．（5.00分）已知m,n是空间两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是（）A．m⊥α,α⊥β,m∥n⇒n∥β B．m⊥α,m⊥n,α∥β⇒n∥βC．m∥α,m⊥n,α∥β⇒n⊥βD．m⊥α,m∥n,α∥β⇒n⊥β【解答】解：对于A,m⊥α,α⊥β⇒m∥β或m⊂β,m∥n不可以得出n∥β,故A错误；对于B,m⊥α,m⊥n⇒n∥α或n⊂α,α∥β不可以得出n∥β,因此B不正确；对于C,m∥α,m⊥n,不可以得出m⊥α,故α∥β不可以得出n⊥β,因此C不正确；对于D,m⊥α,m∥n,可以得出n⊥α,故α∥β⇒n⊥β,因此D正确．故选：D．13．（5.00分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1,3）,B（3,1）,C（﹣1,0）,则△ABC的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵直线AB的方程：y﹣3=（x﹣1）,化为x+y﹣4=0,∴C（﹣1,0）到直线AB的距离d==,又|AB|==2．∴该△ABC的面积S=×=5．故选：C．14．（5.00分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为（）A．B． C． D．π【解答】解：设圆锥的底面半径为r,母线长l,圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为θ,则πr（r+l）=3πr2,即l=2r,则2πr=θl=2θr,故θ=π,故选：D．15．（5.00分）已知圆C的标准方程为x2+y2=1,直线l的方程为y=k（x﹣2）,若直线l和圆C有公共点,则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣1,1]【解答】解：由题意可知圆的圆心坐标为（0,0）,半径为1,因为直线l和圆C有公共点,所以≤1,解得﹣≤k≤．故选：B．16．（5.00分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V,P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点,且PA=QC1,则四棱锥B﹣APQC的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V,又∵P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点,且PA=QC1,∴四棱锥B﹣APQC的底面积S==又V B﹣ACC1A1===∴V B﹣APQC故选：C．五.填空题：共2小题,每小题5分,共10分,把答案填在答卷卡的相应位置上．17．（5.00分）已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形,如图所示,则该几何体的体积等于20【解答】解：由三视图可知几何体为正三棱柱切去一个三棱锥得到的,三棱柱的高为6,底面正三角形的边长为4．切去三棱锥的底面与三棱柱的底面相同,一条侧棱与底面垂直,长为3．所以几何体的体积V=﹣=20．故答案为20．18．（5.00分）半径为,且与圆x2+y2+10x+10y=0外切于原点的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【解答】解：圆x2+y2+10x+10y=0的圆心坐标为（﹣5,﹣5）,由所求圆与圆x2+y2+10x+10y=0外切于原点,故所求圆的圆心在射线y=x（x＞0）上,设圆心坐标为（a,a）,a＞0,则=,解得：a=1,故所求圆的圆心坐标为（1,1）,故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．六．解答题：共4小题,共48分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（12.00分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BCD=60°,AB=2AD,PD⊥平面ABCD,点M为PC的中点．（1）求证：PA∥平面BMD；（2）求证：AD⊥PB；（3）若AB=PD=2,求点A到平面BMD的距离．【解答】（1）证明：设AC和BD交于点O,则由底面ABCD是平行四边形可得O 为AC的中点．由于点M为PC的中点,故MO为三角形PAC的中位线,故MO∥PA．再由PA不在平面BMD内,而MO在平面BMD内,故有PA∥平面BMD．（2）由PD⊥平面ABCD,可得PD⊥AD,平行四边形ABCD中,∵∠BCD=60°,AB=2AD,∴cos∠BAD==cos60°=,∴AD⊥BD．这样,AD垂直于平面PBD内的两条相交直线,故AD⊥平面PBD,∴AD⊥PB．（3）若AB=PD=2,则AD=1,BD=AB•sin∠BAD=2×=,由于平面BMD经过AC的中点,故点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD 的距离．取CD得中点N,则MN⊥平面ABCD,且MN=PD=1．设点C到平面MBD的距离为h,则h为所求．由AD⊥PB 可得BC⊥PB,故三角形PBC为直角三角形．由于点M为PC的中点,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可得MD=MB,故三角形MBD为等腰三角形,故MO⊥BD．由于PA===,∴MO=．由V M﹣BCD=V C﹣MBD可得,•（）•MN=•（×BD×MO ）×h,故有×（）×1=•（）•h,解得h=．20．（12.00分）已知圆C过点A（1,2）和B（1,10）,且与直线x﹣2y﹣1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上的任意一点,定点Q（﹣3,﹣6）,当点P在圆C上运动时,求线段PQ中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）圆心显然在线段AB的垂直平分线y=6上,设圆心为（a,6）,半径为r,则：圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣6）2=r2,由点B在圆上得：（1﹣a）2+（10﹣6）2=r2,又圆C与直线x﹣2y﹣1=0,有r=．于是解得：,或所以圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣6）2=20,或（x+7）2+（y﹣6）2=80；（2）设M点坐标为（x,y）,P点坐标为（x0,y0）,由M为PQ的中点,则,即：又点P（x0,y0）在圆C上,若圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣6）2=20,有：,则（2x+3﹣3）2+（2y+6﹣6）2=20,整理得：x2+y2=5此时点M的轨迹方程为：x2+y2=5．若圆的方程为（x+7）2+（y﹣6）2=80,有：,则（2x+3+7）2+（2y+6﹣6）2=80,整理得：（x+5）2+y2=20此时点M的轨迹方程为：（x+5）2+y2=20综上所述：点M的轨迹方程为x2+y2=5,或（x+5）2+y2=20．21．（12.00分）如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且AA1=AB=2（1）求证：AB⊥BC；（2）若AC=2,求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．【解答】证明：（1）如右图,取A1B的中点D,连接AD因AA1=AB,则AD⊥A1B,…1分由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B,得AD⊥平面A1BC,…3分又BC⊂平面A1BC,所以AD⊥BC．…4分因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱,则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC．…5分又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,又AB⊂侧面A1ABB1,故AB⊥BC．…7分解：（2）过点A作AE⊥A1C于点E,连DE．由（1）知AD⊥平面A1BC,则AD⊥A1C,且AE∩AD=A,∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角,…9分且直角△A1AC中：…10分又,,∴,…11分由二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角,∴,即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…12分．22．（12.00分）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1,直线l的方程为x﹣2y=0,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B．（1）若∠APB=60°,试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2,1）,过P作直线与圆M交于C,D两点,当时,求直线CD的方程；（3）求证：经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标．【解答】解：（1）设P（2m,m）,由题可知MP=2,所以（2m）2+（m﹣2）2=4,解之得：,故所求点P的坐标为P（0,0）或．（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2）,易知k存在,由题知圆心M到直线CD的距离为,所以,解得,k=﹣1或,故所求直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．（3）设P（2m,m）,MP的中点,因为PA是圆M的切线,所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,以MQ为半径的圆,故其方程为：化简得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0,此式是关于m的恒等式,故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0,解得或所以经过A,P,M三点的圆必过定点（0,2）或（,）．。