重点中学提前自主招生考试模拟考试
学年浙江省一级重点中学自主招生考试数学仿真试卷（十）
2020学年浙江省一级重点中学自主招生考试数学仿真试卷（十）一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1．（5分）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．82．（5分）某个样本的频数分布直方图中一共有4组，从左到右的组中值依次为5，8，11，14，频数依次为5，4，6，5，则频率为0.2的一组为（）A．6.5﹣9.5B．9.5﹣12.5C．8﹣11D．5﹣83．（5分）已知a＜0，那么=（）A．a B．﹣a C．3a D．﹣3a4．（5分）观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则x+y的值为（）表一0123…1357…25811…371115……………表二1519x表三152317yA．45B．46C．48D．495．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处．如果AE过BC的中点，则平行四边形ABCD 的面积等于（）A．48B．10C．12D．246．（5分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤7．（5分）如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是（）A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2D．b=2a=2c8．（5分）如图（1），A，B，C，D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C ﹣E﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为x（秒），∠APB=y（度），图（2）表示y与x之间的函数关系图，则点M的横坐标应为（）A．2B．πC．π+1D．π+2二、填空题（共8题，每题3分，共24分）9．（3分）如果关于x的二次三项式x2+mx+m是一个完全平方式，则m=．10．（3分）一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图，左视图如图所示要摆成这样的图形，至少需用块小正方体．11．（3分）如图，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF=15°，则∠COF=°．12．（3分）若，则=．13．（3分）m是方程x2﹣2010x+1=0的一个解，则值是．14．（3分）将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是．15．（3分）如图，点O（0，0），B（0，1）是正方形OBB1C的两个顶点，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，依次下去，则点B7的坐标是．16．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=10，AD=2，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于．三、解答题（共4题，共56分）17．（14分）在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点p）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A'与点A关于I对称，A′B与l交于点P．观察计算：（1）在方案一中，d1=km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=km（用含a的式子表示）．探索归纳（1）①当a=4时，比较大小：d1（）d2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a=6时，比较大小：d1（）d2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？18．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．19．（14分）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220200200运往E县的费用（元/吨）250220210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？20．（14分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1．（5分）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【考点】多边形内角与外角．【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．【解答】解法1：设边数为n，这个外角为x度，则0＜x＜180°根据题意，得（n﹣2）•180°+x=570°解之，得n=．∵n为正整数，∴930﹣x必为180的倍数，又∵0＜x＜180，∴n=5．解法2：∵0＜x＜180．∴570﹣180＜570﹣x＜570，即390＜570﹣x＜570．又∵（n﹣2）•180°=570﹣x，∴390＜（n﹣2）•180°＜570，解之得4.2＜n＜5.2．∵边数n为正整数，∴n=5．故选A．【点评】此题较难，考查比较新颖，涉及到整式方程，不等式的应用．2．（5分）某个样本的频数分布直方图中一共有4组，从左到右的组中值依次为5，8，11，14，频数依次为5，4，6，5，则频率为0.2的一组为（）A．6.5﹣9.5B．9.5﹣12.5C．8﹣11D．5﹣8【考点】频数（率）分布直方图．【分析】首先根据各组的频数即可确定频率是0.2的是哪一组，然后根据组中值的大小即可确定组距，则频率为0.2的一组的范围即可确定．【解答】解：各组的频数是5，4，6，5则第一组的频率是：=0.25，则第四组的频率也是0.25，第二组的频率是：=0.2，则频率为0.2的一组为第二组；组距是8﹣5=3，第二组的组中值是8，则第二组的范围是：6.5﹣9.5．故选A．【点评】本题考查了频数分布图，正确理解组中值的含义是关键．3．（5分）已知a＜0，那么=（）A．a B．﹣a C．3a D．﹣3a【考点】二次根式的性质与化简；绝对值．【分析】根据绝对值，开平方的性质，=|a|进行计算．【解答】解：∵a＜0，∴﹣a＞0，原式===|3a|=﹣3a．故选D．【点评】本题考查了二次根式的化简，注意算术平方根的结果为非负数．4．（5分）观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则x+y的值为（）表一0123…1357…25811…371115……………表二1519x表三152317yA．45B．46C．48D．49【考点】规律型：数字的变化类．【分析】观察表一可得，第一列上面的一个数比下面的一个数小1，第二列上面的一个数比下面的一个数小2，第三列上面的一个数比下面的一个数小3，依此类推，则表二是第4列，表三是第二和第三列，由规律写出x即可．【解答】解：∵表二的上面的一个数比下面的一个数小4，∴表二是第4列，∴x=19+4=23，∵表三的上面的一个数比下面的一个数小2，∴表二是第2列，∴y=23+3=26，∴x+y=23+26=49，故选D．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．规律是：第一列上面的一个数比下面的一个数小1，第二列上面的一个数比下面的一个数小2，第三列上面的一个数比下面的一个数小3，依此类推．5．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC 折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处．如果AE过BC的中点，则平行四边形ABCD 的面积等于（）A．48B．10C．12D．24【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．【分析】利用折叠知识，得到全等三角形，即△ABO≌△CEO，再进一步证得∠ACD是直角，然后利用勾股定理得到平行四边形的底边及底边上的高，进而求得面积．【解答】解：设AE与BC交于O点，O点是BC的中点．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．AB∥CD，又由折叠的性质推知∠D=∠E，CE=CD∴∠B=∠E．CE=AB∴△ABO和△ECO中，，所以△ABO≌△CEO（AAS），所以AO=CO=4，OE=OB=4．∴AE=AD=8．∴△AED为等腰三角形，又C为底边中点，故三线合一可知∠ACE=90°，从而由勾股定理求得AC=．平行四边形ABCD的面积=AC×CD=12．故选C．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和面积的计算，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S=a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a 边与其对边的距离，即对应的高．6．（5分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A ．①②③B ．①④⑤C ．①③④D ．③④⑤【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】解此题的关键在于判断△DEF 是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF ，由SAS 定理可证△CFE 和△ADF 全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF ．所以△DEF 是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF 是等腰直角三角形DE=DF ，当DF 与BC 垂直，即DF 最小时，DE 取最小值4，故③错误，△CDE 最大的面积等于四边形CDEF 的面积减去△DEF 的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．【解答】解：连接CF ；∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB ；∵AD=CE ，∴△ADF ≌△CEF （SAS ）；∴EF=DF ，∠CFE=∠AFD ；∵∠AFD +∠CFD=90°，∴∠CFE +∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF 是等腰直角三角形（故①正确）．当D 、E 分别为AC 、BC 中点时，四边形CDFE 是正方形（故②错误）．∵△ADF ≌△CEF ，∴S △CEF =S △ADF ∴S 四边形CEFD =S △AFC ，（故④正确）．由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当DE 最小时，DF 也最小；即当DF ⊥AC 时，DE 最小，此时DF=BC=4．∴DE=DF=4（故③错误）．当△CDE 面积最大时，由④知，此时△DEF 的面积最小．此时S △CDE =S 四边形CEFD ﹣S △DEF =S △AFC ﹣S △DEF =16﹣8=8（故⑤正确）．故选：B ．【点评】此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些．7．（5分）如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足的关系式是（）A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2D．b=2a=2c【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】因为Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形，所以图中三角形都相似，且与a、b、c关系密切的是△DHE和△GQF，只要它们相似即可得出所求的结论．【解答】解：∵DH∥AB∥QF∴∠EDH=∠A，∠GFQ=∠B；又∵∠A+∠B=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∠GFQ+∠FGQ=90°；∴∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFQ；∴△DHE∽△GQF，∴=∴=∴ac=（b﹣c）（b﹣a）∴b2=ab+bc=b（a+c），∴b=a+c．故选A．【点评】此题考查了相似三角形的判定，同时还考查观察能力和分辨能力．8．（5分）如图（1），A，B，C，D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C ﹣E﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为x（秒），∠APB=y（度），图（2）表示y与x之间的函数关系图，则点M的横坐标应为（）A．2B．πC．π+1D．π+2【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据速度=路程÷时间求出点P在CD弧上运动的时间，再根据图（2），加上2即可得解．【解答】解：设点P在弧CD上运动的时间为t，∵A，B，C，D为圆O的四等分点，点P作匀速运动，∴÷t=OC÷2，解得t=π，∴点P在半径OC与弧CD运动的时间之和是π+2，∴点M的横坐标为π+2．故选D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据速度、路程、时间的关系求出点P在CD弧上运动的时间是解题的关键．二、填空题（共8题，每题3分，共24分）9．（3分）如果关于x的二次三项式x2+mx+m是一个完全平方式，则m=4．【考点】完全平方式．【分析】根据已知求出第一个数是x，第二个数是±，根据已知式子中的第三项得出（±）2=m，求出m=0或m=4，最后看看是否符合题意即可．【解答】解：∵关于x的二次三项式x2+mx+m是一个完全平方式，∴第一个数是x，∵±2•x•=mx，∴第二个数是±，即（±）2=m，m=0或m=4，∵x2+mx+m是二次三项式，∴m=0舍去，故答案为：4．【点评】本题考查了对完全平方公式的理解和运用，注意：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2都是完全平方公式．10．（3分）一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图，左视图如图所示要摆成这样的图形，至少需用5块小正方体．【考点】由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形；从正面看到的是3列，左边一列是2个正方形，中间一列是1个正方形，右边一列是2个正方形；要使小正方体最少，则把中间的一个正方体向后移动一行，把右边的一列2个正方体向后移动2行；由此即可解答．【解答】解：根据题干分析可得，摆出如图所示的图形，至少要2+1+2=5个小正方体．故答案为：5．【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．11．（3分）如图，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF=15°，则∠COF=75°．【考点】矩形的性质．【分析】根据DF平分∠ADC与∠BDF=15°可以计算出∠CDO=60°，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得OD=OC，从而得到△OCD是等边三角形，再证明△COF是等腰三角形，然后根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：∵DF平分∠ADC，∴∠CDF=45°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴CD=CF，∵∠BDF=15°，∴∠CDO=∠CDF+∠BDF=45°+15°=60°，在矩形ABCD中，OD=OC，∴△OCD是等边三角形，∴OC=CD，∠OCD=60°，∴OC=CF，∠OCF=90°﹣∠OCD=90°﹣60°=30°，在△COF中，∠COF=（180°﹣30°）=75°．故答案为：75．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟记各性质并判断出△OCD是等边三角形是解决本题的关键．12．（3分）若，则=﹣．【考点】二次根式的化简求值；完全平方公式．【分析】将已知等式左右两边平方，利用二次根式的化简公式化简，整理后求出x+的值，将所求式子平方并利用完全平方公式化简，把x+的值代入，开方即可求出值．【解答】解：将已知的等式左右两边平方得：x+2+=6，即x+=4，∴（﹣）2=x﹣2+=4﹣2=2，∵0＜x＜1，∴＜，即﹣＜0，则﹣=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了二次根式的化简求值，以及完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．（3分）m是方程x2﹣2010x+1=0的一个解，则值是2009．【考点】一元二次方程的解；代数式求值．【分析】把m代入方程有m2﹣2010m+1=0，得m2+1=2010m，m2=2010m﹣1，=2010代入代数式可以求出结果．【解答】解：∵m是方程的一个根，∴有：m2﹣2010m+1=0，得：m2=2010m﹣1，①=，②∴代数式m2﹣2009m+=2010m﹣1﹣2009m+=m+﹣1=﹣1=2010﹣1=2009．故答案为：2009．【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于m的式子，代入代数式化简求值．14．（3分）将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是黄，红，白．【考点】容斥原理．【分析】由（2）可以判断出，红盒不装白球，由（3）判断出，白盒不装白球，从而推得黄盒装白球；假设白盒装黄球，由（3）知白球比黄球少，而（1）中，白球比黄球多，矛盾，从而得出白盒装红球，红盒装黄球．【解答】解：由条件（2）知红盒不装白球，由条件（3）知白盒不装白球，故黄盒装白球．假设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（1）矛盾，故白盒装红球，红盒装黄球．故答案为：黄、红、白．【点评】本题考查了容斥原理，根据（2）（3）推出其中一个结论，又利用反证法进行证明．15．（3分）如图，点O（0，0），B（0，1）是正方形OBB1C的两个顶点，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，依次下去，则点B7的坐标是（﹣8，8）．【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，所以可求出从B到B7的后变化的坐标．【解答】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，∵从B到B7经过了7次变化，∵45°×7=315°，1×（）7=8．∴点B7所在的正方形的边长为8，点B7位置在第二象限．∴点B7的坐标是（﹣8，8）．故答案为：（﹣8，8）．【点评】本题考查正方形的性质，正方形的四边相等，四个角都是直角，对角线平分每一组对角，解答本题的关键是总结规律，难度一般．16．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=10，AD=2，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于3或2或10﹣4．【考点】等腰梯形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．【分析】过D作DH⊥BC于H，①当AE=BE时，根据等腰梯形的性质求出BE和CH，由勾股定理求出AB，进一步求出CE，根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理求出CF=EF，根据勾股定理求出即可；②当AB=AE=4时，由勾股定理求出BE，进一步求出CE，根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理求出EF=CE，由勾股定理求出CF即可；根据三角形的内角和定理求出∠AEB、∠FEC，进一步求出∠CFE=∠FEC，求出CF=CE即可．【解答】解：过D作DH⊥BC于H，有三种情况：如图所示：①当AE=BE时，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BE=CH=（BC﹣AD）=4，由勾股定理得：AB=4，∴CE=BC﹣BE=6，∵∠B=∠BAE=45°，∴∠AEB=90°，∴∠FEC=180°﹣90°﹣45°=45°=∠C，∴∠EFC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴由勾股定理得：CF=EF=3，②当AB=AE=4时，由勾股定理求得：BE=8，∴CE=BC﹣BE=2，同法可求出∠FEC=90°，∠EFC=45°=∠C，由勾股定理得：CF==2，③如图当AB=BE=4时，∠AEB=∠BAE=（180°﹣∠B ）=67.5°，∴∠FEC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°，∵∠C=45°，∴∠CFE=180°﹣∠C ﹣∠FEC=67.5°=∠FEC ，∴CF=CE=BC ﹣BE=10﹣4，故答案为：3或2或10﹣4．【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰梯形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出CE 的长是解此题的关键．三、解答题（共4题，共56分）17．（14分）在一平直河岸l 同侧有A ，B 两个村庄，A ，B 到l 的距离分别是3km 和2km ，AB=akm （a ＞1）．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d 1，且d 1=PB +BA （km ）（其中BP ⊥l 于点p ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2，且d 2=PA +PB （km ）（其中点A'与点A 关于I 对称，A ′B 与l 交于点P ．观察计算：（1）在方案一中，d 1=a +2km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d 2=km （用含a 的式子表示）．探索归纳（1）①当a=4时，比较大小：d 1（）d 2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a=6时，比较大小：d 1（）d 2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a （当a ＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？【考点】作图—应用与设计作图．【分析】运用勾股定理和轴对称求出d2，根据方法指导，先求d12﹣d22，再根据差进行分类讨论选取合理方案．【解答】解：（1）∵A和A'关于直线l对称，∴PA=PA'，d1=PB+BA=PB+PA'=a+2；故答案为：a+2；（2）因为BK2=a2﹣1，A'B2=BK2+A'K2=a2﹣1+52=a2+24所以d2=．探索归纳：（1）①当a=4时，d1=6，d2=，d1＜d2；②当a=6时，d1=8，d2=，d1＞d2；（2）=4a﹣20．①当4a﹣20＞0，即a＞5时，d12﹣d22＞0，∴d1﹣d2＞0，∴d1＞d2；②当4a﹣20=0，即a=5时，d12﹣d22=0，∴d1﹣d2=0，∴d1=d2③当4a﹣20＜0，即a＜5时，d12﹣d22＜0，∴d1﹣d2＜0，∴d1＜d2综上可知：当a＞5时，选方案二；当a=5时，选方案一或方案二；当1＜a＜5（缺a＞1不扣分）时，选方案一．【点评】本题为方案设计题，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力，以及观察探究和分类讨论的数学思想方法．18．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．【考点】切线的判定；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）要证明直线DE是⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．（2）作OH⊥AC于点H，由tan∠ACO=OH：HC，分别求得OH，HC的值可找出其关系即可得到tan∠ACO的值．【解答】（1）证明：连接OD、OE、BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠CDB=∠ADB=90°，∵E点是BC的中点，∴DE=CE=BE．∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE（SSS），∴∠ODE=∠OBE=90°，∵OD是圆的半径，∴直线DE是⊙O的切线．（2）解：作OH⊥AC于点H，∵OA=OB，∴OE∥AC，且OE=AC，∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF；∵CF=OF，∴△DCF≌△EOF（AAS），∴DC=OE=AD，∴四边形CEOD为平行四边形，∴CE=OD=OA=AB，∴BA=BC，∴∠A=45°；∵OH⊥AD，∴OH=AH=DH，∴CH=3OH，∴tan∠ACO=．【点评】此题考查了学生对全等三角形的判定方法及切线的判定等知识的掌握情况．19．（14分）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220200200运往E县的费用（元/吨）250220210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．【分析】（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨，得到一个二元一次方程组，求解即可．（2）根据题意得到一元二次不等式，再找符合条件的整数值即可．（3）求出总费用的函数表达式，利用函数性质可求出最多的总费用．【解答】解：（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨．（1分）由题意，得（2分）解得（3分）答：这批赈灾物资运往D县的数量为180吨，运往E县的数量为100吨．（4分）（2）由题意，得（5分）解得即40＜x≤45．∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45．（6分）则这批赈灾物资的运送方案有五种．具体的运送方案是：方案一：A地的赈灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；B地的赈灾物资运往D县79吨，运往E县21吨．方案二：A地的赈灾物资运往D县42吨，运往E县58吨；B地的赈灾物资运往D县78吨，运往E县22吨．方案三：A地的赈灾物资运往D县43吨，运往E县57吨；B地的赈灾物资运往D县77吨，运往E县23吨．方案四：A地的赈灾物资运往D县44吨，运往E县56吨；B地的赈灾物资运往D县76吨，运往E县24吨．方案五：A地的赈灾物资运往D县45吨，运往E县55吨；B地的赈灾物资运往D县75吨，运往E县25吨．（7分）（3）设运送这批赈灾物资的总费用为w元．由题意，得w=220x+250（100﹣x）+200（120﹣x）+220（x﹣20）+200×60+210×20=﹣10x+60800．（9分）因为w随x的增大而减小，且40＜x≤45，x为整数．所以，当x=41时，w有最大值．则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：w=60390（元）．（10分）【点评】解应用题的一般步骤是：审、设、列、解、验、答．正确找出题中的等量或不等关系是解题的关键．本题利用一次函数的增减性确定了总费用的最大值．20．（14分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）③以A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况．即过点A作直线L⊥AC，在直线L上截取AP=AC时，点P可能在y轴右侧，即现在解答情况②的点P2；点P也可能在y轴左侧，即还有第③种情况的点P3．因此，然后过P3作P3G⊥y轴于G，同理：△AGP3≌△CAO，∴GP3=OA=2，AG=OC=1，∴P3为（﹣2，3）；经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上，点P3（﹣2，3）分）不在抛物线上．（16【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．第21页（共21页）。
重点中学提前招生语文模拟试卷
重点中学提前招生语文模拟试卷一、基础知识及运用（20分）1．下列加点字的注音全部正确的一项是（3分）（）A．峥．嵘（zhēng）偌．大（ruî）戕．害（qiāng）自怨自艾．（ài）B．怪癖．（pǐ）滂．沱（pāng）泥淖．（nào）休戚．相关（qī）C．啮噬．（shì）熨帖．．（yù）坍圮．（pǐ）拾．级而上（shí）D．按捺．（nài）庇．护（bì）归咎．（jiù）远离人寰．（huán）2．下列词语书写全部正确的一项是（3分）（）A．厄运甄别慰藉怨天忧人B．惊蜇暮霭斑驳入不敷出C．饿殍田塍笑魇沸反盈天D．袅娜殄灭摭拾熠熠生辉3．下列句子中加点的词语使用恰当的一项是（3分）（）A．曾几何时．．．．，他意气风发，雄心勃勃，立志要创出一番事业；而今却鬓已微星，意志消沉，整日埋怨命运不公。
B．国庆节的夜晚，空中各色礼花绽放，争奇斗艳；广场上欢歌笑语，歌舞升平．．．．，真是一片欢乐的海洋。
C．现在很多中学生在学校里见到老师都能亲切问好，而见到烧锅炉的、打扫卫生的和食堂打饭的工人师傅，却不屑一顾．．．．。
D．我们虽然缺乏管理经验，但可以向先进企业学习，起初可能是邯郸学步．．．．，但终究会走出自己的路来。
4．下列句子中，没有语病的一项是（3分）（）A.省政府已明确指出，廉租房可以在经济适用住房中配建，也可以在普通商品住房小区中配建，以防止低收入家庭远离城区，被边缘化的现象。
B.美国2010年调整了签证政策，规定申请留学签证的申请时间要在所申请学校开学前的3个月到2个星期内进行。
C.如何体会企业文化的深刻内涵，认识用优秀文化提升企业竞争力的重要性，是摆在每一位中国企业家面前的重要课题。
D. 中国人口多，就业需求大，推迟退休年龄固然可以缓解养老金发放的压力，但势必将要导致年轻人就业难。
5、古诗文填空（每空1分，共8分）①，不尽长江滚滚来。
高中自主招生模拟试题及答案
高中自主招生模拟试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项不是中国四大名著之一？A.《红楼梦》B.《西游记》C.《水浒传》D.《聊斋志异》2. 根据题目所给的数学公式：\( y = 3x + 2 \)，当 \( x = 1 \) 时，\( y \) 的值是多少？A. 3B. 4C. 5D. 63. 英语中，“break a leg”是什么意思？A. 摔断腿B. 祝好运C. 休息一下D. 折断腿4. 以下哪个化学元素的原子序数是8？A. 氢B. 氧C. 碳D. 氮5. 地球的自转周期是多少小时？A. 24B. 12C. 48D. 366. 以下哪个历史事件标志着中国封建社会的开始？A. 秦始皇统一六国B. 汉武帝开疆拓土C. 周武王灭商D. 黄帝战胜蚩尤7. 以下哪个不是中国的传统艺术形式？A. 京剧B. 书法C. 油画D. 国画8. 物理中，牛顿第二定律的表达式是什么？A. \( F = ma \)B. \( F = mv \)C. \( F = m \frac{v^2}{r} \)D. \( F = \frac{Gm_1m_2}{r^2} \)9. 以下哪个不是联合国安全理事会的常任理事国？A. 中国B. 法国C. 德国D. 俄罗斯10. 以下哪个是植物的光合作用？A. \( 6CO_2 + 6H_2O \rightarrow C_6H_{12}O_6 + 6O_2 \)B. \( 2H_2O + 2e^- \rightarrow H_2 + 2OH^- \)C. \( 2H_2 + O_2 \rightarrow 2H_2O \)D. \( C_6H_{12}O_6 + 6O_2 \rightarrow 6CO_2 + 6H_2O \)二、填空题（每题2分，共20分）11. 我国古代著名的诗人杜甫被称为“______”，李白被称为“______”。
12. 圆的面积公式是 \( A = πr^2 \)，其中 \( r \) 表示______。
重点中学提前招生考试选拔试卷--和详细答案
重点中学提前招生考试选拔模拟试卷本卷可能用到的相对原子质量：C —12 H —1 O —16 Cl —35.5 Cu —64 Na —23 S —32 Mg —24 Fe —56 Al —27 Si —28 Ba —137 一、选择题：（每小题2分，共40分） 1. 已知氧化还原反应中存在如下关系：强氧化剂＋强还原剂→弱氧化剂＋弱还原剂，现有下列三个能反应的式子：（ ）2W - + X 2 →2X - + W 2 2Y - + W 2 → 2W - + Y 2 2X - + Z 2 → 2Z - + X 2 以上反应均在同温、同压、同浓度下进行，正确结论是A.氧化性是：Y 2＞X 2B.还原性是：Y -＞Z -C.2Z - + Y 2 → 2Y - + Z 2的反应能够进行D.在X -、Y -、W -、Z -中X -的还原性最强2. 18O 是科学实验中常用的一种示踪原子，用仪器可以观测到它在化学变化中的行踪。
在某一饱和硫酸铜溶液（不含18O ）中，加入ag 带标记18O 的无水硫酸铜粉末（CuSO 4中的氧元素全部为18O ），如果保持温度不变，其结果是（ ）A.无水硫酸铜不再溶解，ag 带标记18O 的无水硫酸铜粉末没有发生改变B.溶液中可以找到带标记18O 的SO 42-，且白色粉末变为蓝色晶体，其质量小于agC.溶液中可以找到带标记18O 的SO 42-，且白色粉末变为蓝色晶体，其质量大于agD.有部分带标记18O 的SO 42-进入溶液中，但固体质量保持不变 3. 如图所示，在竖直平面xoy 内，人眼位于P(0,4)位置处，平面镜MN 竖直放置，其两端M 、N 的坐标分别为(3，1)和(3，0)，某发光点S 在该竖直平面y 轴的右半部分某一区域内自由移动时，此人恰好都能通过平面镜看见S 的像，则该区域的最大面积为( ) (A)0.5米2 (B)3.5米2。
(C)4米2 (D)4.5米24. 图中a 、b 、c 为三个物块，M 、N 为两个轻质弹簧，R 为跨过光滑定滑轮的轻绳，它们连接如图并处于平衡状态，则正确的选项为（ ） （1）、有可能N 处于拉伸状态而M 处于压缩状态 （2）、有可能N 处于压缩状态而M 处于拉伸状态 （3）、有可能N 处于不伸不缩状态而M 处于拉伸状态 （4）、有可能N 处于拉伸状态而M 处于不伸不缩状态A 、①②B 、①③C 、③④D 、①④5. mol 是表示物质量的一种单位，1mol 的Na 、Mg 、Al 三种金属的质量分别为23克、24克、27克。
高中提前自主招生模拟卷
高中提前自主招生模拟试卷语文考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分。
满分120分，考试时间120分钟。
2．答题前，必须用黑笔在答题纸上填写姓名、座位号和准考证号，并用2B铅笔填涂。
3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
4．考试结束后，上交试题卷和答题卷。
一（29分）1．下列句子中注音和字形全都正确的一项是(3分)A. 一个有秩序的社会既是偏执的，又是高尚的；既是专横．（héng）的，又是理想的，它对群众的民意渲泄总是会保持应有的警惕，因为它具有极大的不可预测性。
B. 在镁光灯下，成功和顺遂伴随着他，他成绩斐．（fěi）然，声名显赫，但他从没把自己当成苦情励志的偶像，认为自己是顺其自然，随遇而安。
C. 沉香、檀香等高品质的香品用于熏焚是香道的首选，其产生出来的气味清纯而又沁．（qìn）人心脾，不仅可以美化环境，更能给人凭添许多生活的情趣。
D．在众人感叹这个社会物欲横流或被权欲遮避时，能以真实的笔触为困顿和迷惘的人群提供心灵抚慰或灵魂庇．（pì）护的作品，便是最好的创新。
2．下列各句中，加点的词语运用正确的一句是（3分）A.编辑老王说，他敢对文字部分负责任，但出版过程中的其他环节，他就望尘莫及．．．．了。
B.位于闹市区的这家商店服务之差是有口皆碑．．．．的，也是大家一致公认的事实。
C.他在一所高中的图书馆工作，近水楼台先得月．．．．．．．，总是可以比别人看到更多的新书刊。
D.桂林的山水真是神奇秀丽，青青的山，绿绿的水，栩栩如生．．．．，令人陶醉。
3．下列句子中没有语病的一项是（3分）A．地铁是真正能降低城市交通拥堵的“利器”，但我们要享受它带来的便利，先要忍受建设过程中它给城市交通带来的“阵痛”。
B．郁达夫小说奖在倡导“实名投票、评语公开”的透明评奖方式的同时，将海外华语小说突破性地纳入评奖范围。
C．市防汛指挥部指出，今年防汛形势依然严峻，有关部门要对人民群众生命财产和城市发展高度负责的态度，扎扎实实地把防汛部署落到实处。
2024年重点中学自主招生模拟试卷(2)参考答案
2024年重点中学自主招生模拟试卷（2）数学参考答案一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）（2024•宁海县校级自主招生）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（）A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点B．点P是△ABC三条内角平分线的交点C．点P是△ABC三条高的交点D．点P是△ABC三条中线的交点【分析】过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，则AP2+CP2+BP2＝3（x﹣）2+3（y﹣2）2+，当x＝，y＝2时，AP2+CP2+BP2的值最小，此时AD＝PE＝，AE＝PD＝2，由＝，得AM＝3，M是AB的中点，同理可得AN＝AC，N为AC中点，即P是△ABC三条中线的交点．【解答】解：过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，如图：∵∠A＝90°，PD⊥AC，PE⊥AB，∴四边形AEPD是矩形，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，Rt△AEP中，AP2＝x2+y2，Rt△CDP中，CP2＝（8﹣x）2+y2，Rt△BEP中，BP2＝x2+（6﹣y）2，∴AP2+CP2+BP2＝x2+y2+（8﹣x）2+y2+x2+（6﹣y）2＝3x2﹣16x+3y2﹣12y+100＝3（x﹣）2+3（y﹣2）2+，∴x＝，y＝2时，AP2+CP2+BP2的值最小，此时AD＝PE＝，AE＝PD＝2，∵∠A＝90°，PD⊥AC，∴PD∥AB，∴＝，即＝，∴AM＝3，∴AM＝AB，即M是AB的中点，同理可得AN＝AC，N为AC中点，∴P是△ABC三条中线的交点，故选：D．2．（4分）（2024•达州）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E 分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD＝CE，则下列结论：①＝；②∠DFE＝135°；③△ABF面积的最大值是4﹣4；④CF的最小值是2﹣2．其中正确的是（）A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】①先求出，，则，由此可证△CAE∽△ABD，然后根据相似三角形性质可对结论①进行判断确；②根据△CAE∽△ABD得∠CAE＝∠ABD，再根据三角形外角性质得∠BFE＝45°，由此可对结论②进行判断确；③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰Rt△OAB，作△OAB的外接圆⊙O，过点O作OK⊥AB于K，OK的延长线交⊙O于H，连接AH，BH，过点O作OM⊥CB交CB的延长线于M，连接OC交⊙O于P，证明点F在弧AB上运动，则当点F与点H重合时，△ABF的面积为最大，最大值为△ABH的面积，然后求出△ABH的面积即可对结论③进行判断确；④根据点F在弧AB上运动，得当点F与点P重合时，CF为最小，最小值为线段CP的长，然后求出线段CP的长即可对结论④进行判断确，综上所述即可得出答案．【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，AB＝BC＝4，由勾股定理得：AC＝＝，∴，∵AD＝CE，∴，∴，又∵∠ECA＝∠DAB＝45°，∴△CAE∽△ABD，∴，故结论①正确；②∵△CAE∽△ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∴∠BFE＝∠BAF+∠ABD＝∠BAF+∠CAE＝∠BAC＝45°，∴∠DFE＝180°﹣∠BFE＝180°﹣45°＝135°，故结论②正确；③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰Rt△OAB，作△OAB的外接圆⊙O，过点O作OK ⊥AB于K，OK的延长线交⊙O于H，连接AH，BH，过点O作OM⊥CB交CB的延长线于M，连接OC交⊙O于P，如图所示：∴∠AOB＝90°，∴∠AHB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣×90°＝135°，∵∠DFE＝135°，∴点F在上运动，∵AB＝4，∴当点F与点H重合时，△ABF的面积为最大，最大值为△ABH的面积，根据等腰直角三角形的性质得：AK＝BK＝AB＝2，∠AOH＝45°，∴AK＝OK＝2，在Rt△AOK中，由勾股定理得：OA＝＝，∴OA＝OH＝OB＝OP＝，∴KH＝OH﹣OK＝，∴SABH＝AB•KH＝＝，△故结论③正确；④∵点F在上运动，∴当点F与点P重合时，CF为最小，最小值为线段CP的长，∵OM⊥CB，OK⊥AB，∠ABM＝∠ABC＝90°，∴四边形OMBK为矩形，∴OM＝BK＝2，BM＝OK＝2，∴CM＝BC+BM＝4+2＝6，在Rt△COM中，由勾股定理得：CO＝＝，∴CP＝CO﹣OP＝，即CF的最小值是，故结论④正确，综上所述：正确的结论是①②③④．故选：D．3．（4分）（2023•鄞州区校级一模）如图是由四个全等的三角形和一个正方形组成的大正方形，连结EC与BG交于M，射线BH交EC于点N，交EF于点Q，交AD于点K，连接KE，则与△DKE面积相等的图形是（）A．△MEF B．△HNEC．四边形MNQF D．△CGM【分析】通过边长设元计算直接求出△DKE的面积，及选项中可求面积，得到面积相等的图形．计算中利用含有等角的直角三角形相似得到边长比例及边长，再利用基本的三角形面积等于底乘高的一半，得到目标三角形面积，最后四配选项中图形面积得到答案．【解答】解：作HP垂直CD于P，作HQ垂直CB于Q，作ET垂直AD于T，如图，设DH＝a，HG＝b，DC＝c，由四个直角三角形全等、正方形ABCD、正方形EFGH，可知：DH＝GC＝AE＝BF＝a，AB＝BC＝CD＝AD＝c，HG＝GF＝EF＝HE＝b，ET＝HP＝CQ，在Rt△DHC中，根据勾股定理得，c2＝a2+（a+b）2，∵△HCQ∽△CDH，∴，∴．∴，∴BQ＝CB﹣CQ＝c﹣，∵△KBA∽△BHQ，∴，∴AK＝AB×＝c×＝，∴DK＝AD﹣AE＝c﹣＝，∴SDKE＝，△∵ET＝HP＝CQ＝，∴SDKE＝＝＝，△∵△CGM∽△EFM，∴，∴GM＝，CG＝a，∴，∴SGMC＝S△DKE，故选项D正确；△同理FM＝，，故A错误；∵△HEC≌△GHB，∴∠HCE＝∠GBH，∴∠GBH+∠GHB＝∠HCE+∠GHB＝90°，∴△HEN∽△CEH，∴，∴，故B错误；同理，，∵△HEQ∽△BFQ．∴，∴，∴梯形HGFQ的面积＝，∴四边形HGMN的面积＝SHCN﹣S△GMC＝，△四边形MNQF的面积＝梯形HGFQ的面积﹣四边形HGMN的面积＝＝≠，故C错误；故选：D．4．（4分）（2023秋•洛江区期中）设，利用等式（n≥3），则与A最接近的正整数是（）A．18B．20C．24D．25【分析】利用等式（n≥3），代入原式得出数据的规律性，从而求出．【解答】解：利用等式（n≥3），代入原式得：＝48×（++…+﹣）＝12×（1﹣+﹣+﹣+…+）＝12×[（1++…+）﹣（+…+）]＝12×（1+）而12×（1+）≈25故选：D．5．（4分）（2023•泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（）A．3B．6﹣4C．2﹣2D．2【分析】由点M是BC中点，想到构造中位线，取OB中点，再利用三角形两边之差的最值模型．【解答】解：取OB中点N，连接MN，AN．在Rt△OCD中，OD＝4，∠D＝30°，∴OC＝4，∵M、N分别是BC、OB的中点，∴MN＝OC＝2，在△ABN中，AB＝4，BN＝3，∴AN＝5，在△AMN中，AM＞AN﹣MN；当M运动到AN上时，AM＝AN﹣MN，∴AM≥AN﹣MN＝5﹣2＝3，∴线段AM的最小值是3，故选：A．6．（4分）（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（）A．PA+PB的最小值为3B．PE+PF的最小值为2C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为3【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，即可得PA+PB最小值A'B＝＝2，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为2，判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TE＝AB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得SABCD＝四边形（m﹣1）2+3，即知四边形ABCD面积的最小值为3，判断选项D正确．【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图：∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，∴DE∥BM，CE∥AM，∴四边形DECM是平行四边形，∵P为CD中点，∴P为EM中点，∵E在线段AB上运动，∴P在直线l上运动，由AB＝4知等边三角形ABM的高为2，∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B 共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，此时PA+PB最小值A'B＝＝＝2，故选项A错误，符合题意；∵PM＝PE，∴PE+PF＝PM+PF，∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，∵F为AB的中点，∴MF⊥AB，∴MF为等边三角形ABM的高，∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴KE＝AE，TE＝BE，∴KT＝KE+TE＝AB＝2，∴CD≥2，∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，∴DE+CE+CD≥6，∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK＝AK＝m，CT＝BT＝2﹣m，∴SADK＝m•m＝m2，S△BCT＝（2﹣m）（2﹣m）＝m2﹣△2m+2，SDKTC＝（m+2﹣m）•2＝2，梯形∴SABCD＝m2+m2﹣2m+2+2＝m2﹣2m+4＝（m﹣四边形1）2+3，∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意；故选：A．7．（4分）（2023•宁波自主招生）如图所示，半径为r的圆O内切于正△PQR，M为边PQ 上一点，N为边PR上一点，且直线MN与圆O相切于点E，△PMN的内切圆C与MN相切于点F．若圆C的半径为，则的值为（）A．B．C．D．【分析】设PQ、PR、MN分别与⊙C相切于点D、G、F，PQ、PR分别与⊙O相切于T、K，连接PC、PO、CD、CG、CF、OE、OT，利用等边三角形的性质、切线长定理、解直角三角形等即可求得答案．【解答】解：如图1，设PQ、PR、MN分别与⊙C相切于点D、G、F，PQ、PR分别与⊙O相切于T、K，连接PC、PO、CD、CG、CF、OE、OT，则CD⊥PQ，CG⊥PR，PD＝PG，MD＝MF，NF＝NG，ME＝MT，NE＝NK，PT＝PK，∵CD＝CG，∴PC平分∠QPR，同理，PO平分∠QPR，∴P、C、O三点共线，∵△PQR是等边三角形，∴∠QPR＝60°，∴∠OPQ＝∠QPR＝30°，∴PD＝＝＝r，CP＝2CD＝r，∵PD＝PG＝，∴＝r①，在Rt△POT中，PT＝＝＝r，OP＝2OT＝2r，∵PT＝PK，PT+PK＝PM+MT+PN+NK＝PM+ME+PN+NE＝PM+PN+MN，∴PT＝，∴＝r②，∴②﹣①得：MN＝r，如图2，过点C作CL⊥OE，交OE的延长线于L，则∠L＝∠CFE＝∠FEL＝90°，∴EL＝CF＝r，CL＝EF，∴OL＝OE+EL＝r+r＝r，OC＝OP﹣CP＝2r﹣r＝r，在Rt△OCL中，CL＝＝＝r，∴EF＝r，∴＝＝．故选：D．8．（4分）（2023•自贡）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA ＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（）A．B．C．D．【分析】作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．证明KM＝TB＝2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大．【解答】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，∴△OAT是等边三角形，∵A（4，0），∴TO＝TA＝TB＝4，T（2，2），K（1，），∵OK＝KT，OM＝MB，∴KM＝TB＝2，∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，∵△OTA是等边三角形，OK＝KT，∴AK⊥OT，∴AK＝＝＝2，∵AM是切线，KM是半径，∴AM⊥KM，∴AM＝＝＝2，过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．∵∠PML＝∠AMK＝90°，∵∠P＝∠MLA＝90°，∴△MPK∽△MLA，∴＝＝＝＝，设PK＝x，PM＝y，则有ML＝y，AL＝x，∴y＝+x①，y＝3﹣x，解得，x＝，y＝，∴ML＝y＝，∴sin∠OAM＝＝＝．故选：A．9．（4分）（2022•常州自主招生）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB ＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边△DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2；其中正确结论的序号为（）A．①④B．①②③C．②③D．①②③④【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，得∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，即可得出结论①正确；②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；③通过等量代换即可得出结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，从而得出结论④正确；【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE为等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠BDE＝∠EFC，故结论①正确；②如图，连接OE，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE（SAS），∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE（SAS），∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故结论②正确；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2，∴点E运动的路程是2，故结论④正确；故选：D．10．（4分）（2022•九龙坡区自主招生）如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP．再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当AD＝CP时，则的值为（）A．B．2C．2D．【分析】根据折叠的性质和平角定义，证明∠DAB＝90°，四边形APCD是平行四边形，根据平行四边形的性质和含30度角的直角三角形即可解决问题．【解答】解：由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，∵∠QRA+∠QRP＝180°，∴∠D+∠C＝180°，∴AD∥BC，∴∠B+∠DAB＝180°，∵∠DQR+∠CQR＝180°，∴∠DQA+∠CQP＝90°，∴∠AQP＝90°，∴∠B＝∠AQP＝90°，∴∠DAB＝90°，∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，∵AD∥BC，AD＝CP，∴四边形APCD是平行四边形，∴AR＝PR，∵∠AQP＝90°，∴QR＝AP，∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，∴AP＝2PB，AB＝PB，∴PB＝QR，∴＝，故选：A．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）11．（5分）（2024•九龙坡区自主招生）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝，点E为AB边上一点，将△BCE沿CE翻折，点B的对应点为点F，过点F作FG∥CE交DC于点G，若DG：GC＝1：4，则FG的长为．【分析】设EF与CG的交点为M，可得△CEM和△GFM是等腰三角形，设GM＝x，则CM＝2﹣x，在Rt△CFM中，根据勾股定理可建立方程，求出x的值，表达GM和CM 的值，进而可得BE的长；再根据勾股定理可得CE的长，由平行可得△GFM和△CEM 相似，根据相似比可得最终结果．【解答】解：设EF与CG的交点为M，在矩形ABCD中，AB＝CD＝，AD＝BC＝，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC，由折叠可知，∠BEC＝∠FEC，BE＝EF，BC＝CF＝，∴∠FEC＝∠DEC，∴EM＝CM，∵FG∥CE，∴△GFM∽△CEM，∴GM：FM＝CM：EM＝1：1，FG：CE＝GM：EM，∴GM＝FM，EF＝CG＝2，∵DG：GC＝1：4，AB＝，∴DG＝，CG＝EF＝2，∴CE＝＝，设GM＝x，则CM＝2﹣x；∴FM＝GM＝x，CM＝EM＝2﹣x，在Rt△CFM中，∠CFM＝∠B＝90°，由勾股定理可得CF2+FM2＝CM2，即（）2+x2＝（2﹣x）2，解得x＝，∴GM＝FM＝，CM＝EM＝，∴GF：＝：，∴GF＝．故答案为：．12．（5分）（2024•重庆）我们规定：若一个正整数A能写成m2﹣n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2﹣n的过程，称为“方减分解”．例如：因为602＝252﹣23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602＝252﹣23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是82．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A＝m2﹣n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m+n＝k2（k为整数），则满足条件的正整数A为4564．【分析】设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），根据最小的“方减数”可得m＝10，n＝18，即可求解；根据B除以19余数为1，且2m+n＝k2（k为整数），得出为整数，30a+b+8是完全平方数，在1≤a≤9，0≤b≤8，逐个检验计算，即可求解．【解答】解：①设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），由题意得：m2﹣n＝（10a+b）2﹣（10a+8﹣b），∵1≤a≤9，∴要使“方减数”最小，需a＝1，∴m＝10+b，n＝18﹣b，∴m2﹣n＝（10+b）2﹣（18﹣b）＝100+20b+b2﹣18+b＝82+b2+21b，当b＝0时，m2﹣n最小为82；②设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），∴B＝1000a+100b+10a+8﹣b＝1010a+99b+8，∵B除以19余数为1，∴1010a+99b+7能被19整除，∴＝53a+5b+为整数，又2m+n＝k2（k为整数），∴2（10a+b）+10a+8﹣b＝30a+b+8是完全平方数，∵1≤a≤9，0≤b≤8，∴30a+b+8最小为49，最大为256，即7≤k≤16，设3a+4b+7＝19t，t为正整数，则1≤t≤3，（Ⅰ）当t＝1时，3a+4b＝12，则b＝3﹣a，30a+b+8＝30a+3﹣a+8是完全平方数，又1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解，（Ⅱ）当t＝2时，3a+4b＝31，则b＝，30a+b+8＝30a++8是完全平方数，又1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解，（Ⅲ）当t＝3时，3a+4b＝50，则，是完全平方数，若a＝6，b＝8，则3a+4b+7＝57＝19×3，30×6+8+8＝196＝142，∴t＝3，k＝14，此时m＝10a+8＝68，n＝10a+8﹣a＝60，∴A＝682﹣60＝4564，故答案为：82，4564．13．（5分）（2024•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝．【分析】连接CE，过E作EF⊥BC于F，设BD＝x，则BC＝x+2，由∠ACB＝90°，E为AD中点，可得CE＝AE＝DE＝AD，有∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，证明△ECD∽△BCE，可得＝，∠CED＝∠CBE，故CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4，再证△ABC∽△BEF，得＝，而AC＝2EF，即得2EF2＝（x+1）（x+2），从而＝（2x+4）﹣12，即可解得答案．【解答】解：连接CE，过E作EF⊥BC于F，如图：设BD＝x，则BC＝BD+CD＝x+2，∵∠ACB＝90°，E为AD中点，∴CE＝AE＝DE＝AD，∴∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，∴∠CED＝2∠CAD，∵BE＝BC，∴∠ECD＝∠BEC，∴∠BEC＝∠EDC，∵∠ECD＝∠BCE，∴△ECD∽△BCE，∴＝，∠CED＝∠CBE，∴CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4，∵AD平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠CAD，∴∠CAB＝∠CED，∴∠CAB＝∠CBE，∵∠ACB＝90°＝∠BFE，∴△ABC∽△BEF，∴＝，∵CE＝DE，EF⊥BC，∴CF＝DF＝CD＝1，∵E为AD中点，∴AC＝2EF，∴＝，∴2EF2＝（x+1）（x+2），∵EF2＝CE2﹣CF2，∴＝（2x+4）﹣12，解得x＝或x＝（小于0，舍去），∴BD＝．故答案为：．14．（5分）（2024•宁海县校级自主招生）如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值是．【分析】如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．想办法证明CE＝CA，当CD是直径时的值最小．【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．∵∠ACB＝∠ADB＝90°，OA＝OB，∴OC＝OD＝AB，∴A，C，B，D四点共圆，∵CA＝CB，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∴∠CDA＝∠CBA＝45°，∠CDB＝∠CAB＝45°，∴∠CDB＝∠CDA，∴DE平分∠ADB，∵BE平分∠ABD，∴点E是△ABD的角平分线的交点，∴AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝45°+∠BAE，∠CEA＝∠EDA+∠EAD＝45°+∠DAE，∴∠CAE＝∠CEA，∴CA＝CE＝定值，∴当CD的值最大时，的值最小，∴CD是直径时，的值最小，最小值＝＝，故答案为．15．（5分）（2024•渝中区校级自主招生）如图所示，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A在第一象限，点B、C在第二象限，SOAB＝，将△OAB沿OB翻折至△△OA′B，反比例函数恰好经过点B和点A′，连接A′C交x轴于点M，则点M的坐标为．【分析】过点A'作A'D⊥x轴于D，A'G⊥OB于G，过点B作BE⊥x轴于E，BF⊥DA'交DA'的延长线于F，过C作CH⊥OB于H，根据矩形及翻折的性质得∠BA'O＝90°，SOA'B＝S△OAB＝S△OBC＝，再根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OBE＝S△OA'D △＝，由此可得SOA'B＝S△OBE+S梯形A'BED﹣S△OA'D＝S梯形A'BED＝，△设A'，B，其中a＜b＜0，则，OD＝﹣a，BE＝﹣12√2/b，OE＝b，DE＝OD﹣OE＝b﹣a，则SA'BED＝（A'D+BE）•DE＝梯形，整理得2a2﹣2b2+3ab＝0，即（2a+b）（a﹣2b）＝0，据此可得a＝2b，则点A'，设直线OB的表达式为y＝mx，将B代入y＝mx，得，直线OB的表达式为，再证四边形A'CHG为矩形得A'C∥OB，可设直线A'C的表达式为，将点A'代入，得，则直线A'C的表达式为，进而得点，证△A'OD和△BA'F相似得BF：A'D＝A'F：OD，根据A'，B得BF＝﹣b，，，OD＝a＝﹣2b，则由此解出b即可得点M的坐标．【解答】解：过点A'作A'D⊥x轴于D，A'G⊥OB于G，过点B作BE⊥x轴于E，BF⊥DA'交DA'的延长线于F，过C作CH⊥OB于H，如图所示：∵四边形OABC为矩形，且SOAB＝，△∴SOBC＝S△OAB＝，△∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B，∴SOA'B＝S△OAB＝，∠BA'O＝90°，△∴SOA'B＝S△OAB＝S△OBC＝，△根据反比例函数比例系数的几何意义得：SOBE＝S△OA'D＝，△∵A'D⊥x轴，BE⊥x轴，∴四边形A'BED为梯形，∵SOA'B＝S△OBE+S梯形A'BED﹣S△OA'D＝S梯形A'BED＝，△设A'，B，其中a＜b＜0，则，OD＝﹣a，BE＝﹣12√2/b，OE＝b，DE＝OD﹣OE＝b﹣a，∴SA'BED＝（A'D+BE）•DE＝，梯形∴，整理得：2a2﹣2b2+3ab＝0，即（2a+b）（a﹣2b）＝0，∵a＜b＜0，∴2a+b＜0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b，∴点A'．设直线OB的表达式为：y＝mx，将B代入y＝mx，得：，∴直线OB的表达式为：，∴SOA'B＝OB•A'G＝，S△OAC＝OB•CH＝，△∴OB•A'G＝OB•CH，∴A'G＝CH，又∵A'G⊥OB，CH⊥OB，∴四边形A'CHG为矩形，∴A'C∥OB，设直线A'C的表达式为：y＝tx+n，则，∴直线A'C的表达式为：入，将点A'代入，得：，∴直线A'C的表达式为：，对于，当y＝0时，，∴点M的坐标为，∵A'D⊥x轴，BF⊥DA'，∴∠A'DO＝∠BFA'＝90°，∠FBA'+∠FA'B＝90°，∵∠BA'O＝90°，∴∠FA'B+∠DA'O＝90°，∴∠DA'O＝∠FBA'，∴△A'OD∽△BA'F，∴BF：A'D＝A'F：OD，∵A'，B，∴BF＝﹣b，，，OD＝a＝﹣2b，∴，整理得：b4＝36，∴，（不合题意，舍去），∴，∴点M的坐标为．故答案为：．16．（5分）（2022•成都自主招生）在平面直角坐标系xOy中有两点A，B，若在y轴上有一点P，连接PA，PB，当∠APB＝45°时，则称点P为线段AB关于y轴的“半直点”．例：如图，点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣2），则点P（0，1）就是线段AB关于y轴的一个“半直点”，线段AB关于y轴的另外的“半直点”的坐标为（0，﹣2）；若点C（3，3），点D（6，﹣1），则线段CD关于y轴的“半直点”的坐标为（0，2）或（0，﹣3）．【分析】观察直接可得线段AB关于y轴的另外的“半直点”P'的坐标，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，过E作GF∥y轴，过C作CG⊥GF于G，过D作DF⊥GF于F，设E（m，n），由△DEF≌△ECG（AAS），得EF＝CG，DF＝GE，可得，解得E（，﹣），以E为圆心，CE的长为半径作⊙E，交y轴于M、N，过E作EH⊥y轴于H，由∠CND＝∠CED＝×90°＝45°，知N是线段CD关于y 轴的“半直点”，同理M也是线段CD关于y轴的“半直点”，根据E（，﹣），C（3，3），得NH＝＝，N（0，2），同理MH＝，M（0，﹣3）．【解答】解：如图：∵A（﹣3，1），B（﹣3，﹣2），∴线段AB关于y轴的另外的“半直点”P'的坐标为（0，﹣2），以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，过E作GF∥y轴，过C作CG⊥GF 于G，过D作DF⊥GF于F，如图：设E（m，n），∵∠CED＝90°，∴∠DEF＝90°﹣∠CEG＝∠GCE，又∠F＝∠G＝90°，DE＝CE，∴△DEF≌△ECG（AAS），∴EF＝CG，DF＝GE，∵点C（3，3），点D（6，﹣1），∴，解得，∴E（，﹣），以E为圆心，CE的长为半径作⊙E，交y轴于M、N，过E作EH⊥y轴于H，如图：∵∠CND＝∠CED＝×90°＝45°，∴N是线段CD关于y轴的“半直点”，同理M也是线段CD关于y轴的“半直点”，∵E（，﹣），C（3，3），∴CE＝＝EN，HE＝，∴NH＝＝，∴N（0，2），同理MH＝，M（0，﹣3），∴线段CD关于y轴的“半直点”坐标是（0，2）或（0，﹣3），故答案为：（0，﹣2），（0，2）或（0，﹣3）．三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分）17．（10分）（2024•福建）已知实数a，b，c，m，n满足，．（1）求证：b2﹣12ac为非负数；（2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由．【分析】（1）根据题意，可得b＝a（3m+n），c＝amn，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式＝a2（3m﹣n）2，根据a，m，n是实数，可知a2（3m﹣n）2≥0，即可证b2﹣12ac为非负数．（2）m，n不可能都为整数．理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可．【解答】解：（1）证明：∵，∴b＝a（3m+n），c＝amn，则b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn＝a2（9m2﹣6mn+n2）＝a2（3m﹣n）2，∵a，m，n是实数，∴a2（3m﹣n）2≥0，∴b2﹣12ac为非负数．（2）m，n不可能都为整数．理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，①当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数，又∵，∴b＝a（3m+n），∵a为奇数，∴a（3m+n）必为偶数，这与b为奇数矛盾；②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数，又∵，∴c＝amn，∵a为奇数，∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾；综上所述，m，n不可能都为整数．18．（10分）（2024•广东）【知识技能】（1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′．当点E的对应点E′与点A重合时，求证：AB＝BC．【数学理解】（2）如图2，在△ABC中（AB＜BC），DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′，连接A′B，C′C，作△A′BD的中线DF．求证：2DF•CD＝BD•CC′．【拓展探索】（3）如图3，在△ABC中，tan B＝，点D在AB上，AD＝．过点D作DE⊥BC，垂足为E，BE＝3，CE＝．在四边形ADEC内是否存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用等腰三角形+平行线证明∠DAE＝∠BCA即可得证；（2）先证△ADA′∽△CDC得到，再证AA'＝2DF，代入变形即可得证；（3）利用特殊点，∠AGD＝90°，∠CGE＝90°，则G就是以AD为直径的圆和以CE 为直径的圆的交点，根据题意证G在内部即可．【解答】（1）证明：∵△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC'，且E'与A重合，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠DEA＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCA，∴AB＝BC．（2）证明：连接AA'，∵旋转，∴∠ADA′＝∠CDC′，AD＝A'D，CD＝C'D，∴，∴△ADA′∽△CDC′，∴，∵DE是△ABC的中位线，DF是△A'BD的中线，∴AD＝BD，BF＝A'F，∴DF是△AA'B的中位线，∴AA'＝2DF，∴，∴2DF•CD＝BD•CC'（3）解：存在，理由如下，解法一：取AD中点M，CE中点N，连接MN，∵AD是⊙M直径，CE是⊙N直径，∴∠AGD＝90°，∠CGE＝90°，∴∠AGD+∠CGE＝180°，∵tan B＝，BE＝3，∴BD＝5，∵CE＝，∴EN＝CE＝，∴BN＝BE+EN＝，∵DE⊥CE，∴DE是⊙N的切线，即DE在⊙N外，作NF⊥AB，∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BFN＝90°，∴△BDE∽△BNF，∴，∴NF＝＞，即NF＞r n，∴AB在⊙N外，∴G点在四边形ADEC内部．作MH⊥BC，∵BM＝，tan B＝，∴BH＝，MH＝，∴NH＝，∴MN＝≈7.4＜AM+CN∴⊙M和⊙N有交点．故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°．解法二：相似互补弓形，分别以AD，CE为弦作⊙O2和⊙O，使得△O2AD∽△OEC，两圆的交点即为所求．作图步骤：①在四边形ADEC内任取一点F，作△EFC得外接圆，圆心为O，连接OE，OC，②作AD的中垂线，③以D为圆心，OC为半径画圆交AD中垂线于点O2，④以O2为圆心，O2A为半径画圆，交⊙O于点G，点G即为所求．证明：∵＝＝，∴△O2AD∽△OEC，∴∠AO2D＝∠EOC，∵∠AGD＝（360°﹣∠AO2D）＝180°﹣∠AO2D，∠EGC＝∠EOC，∴∠AGD+∠EGC＝180°．故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°．19．（10分）（2023•鼓楼区校级自主招生）已知a+b+c＝2023，，求的值．【分析】依据题意，设，从而a＝k（x2﹣yz），b＝k（y2﹣xz），c＝k（z2﹣xy），再代入式子中进行计算可以得解．【解答】解：由题意，设，∴a＝k（x2﹣yz），b＝k（y2﹣xz），c＝k（z2﹣xy）．∴原式＝＝＝＝＝k（x2﹣yz）+k（y2﹣xz）+k（z2﹣xy）＝a+b+c＝2023．20．（10分）（2023•安徽自主招生）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m 的图象与x轴交于A（﹣1，0），与y轴交于点C．以直线x＝2为对称轴的抛物线C1：y ＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，C两点，并与x轴正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式；（2）设点D（0，），若F是抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF 的周长最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值？请说明理由；（3）将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2，h＞1，若当1＜x ≤m时，y2≥﹣x恒成立，求m的最大值．【分析】（1）只需将A点坐标代入一次函数关系式即可求出m值，利用待定系数法和二次函数的图象与性质列出关于a、b、c的方程组求出a、b、c的值就可求出二次函数关系式；（2）先运用轴对称的性质找到点F的坐标，再运用一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出M1M2、M1F、M2F，证出M1F•M2F＝M1M2，最后可求+＝1；（3）设y2与y＝﹣x的两交点的横坐标分别为x0，x1，因为抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2可以看成由y＝﹣x2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x0，x1的值不断增大，所以当1＜x≤m，y2≥﹣x恒成立时，m最大值在x0处取得，根据题意列出方程求出x0，即可求解．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0）∴0＝﹣+m，∴m＝．∴一次函数的解析式为y＝x+．∴点C的坐标为（0，）．∵y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点且对称轴是直线x＝2，代入得：，解得，∴y＝﹣x2+x+．∴a的值为，抛物线C1的函数表达式为y＝﹣x2+x+．（2）+为定值；理由如下：要使△ADF的周长取得最小，只需AF+DF最小连接BD交x＝2于点F，因为点B与点A关于x＝2对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AF+DF最小．令y＝﹣x2+x+中的y＝0，则x＝﹣1或5，∴B（5，0），∵D（0，），∴直线BD解析式为y＝﹣x+，∴F（2，）．令过F（2，）的直线M1M2解析式为y＝kx+b1，则＝2k+b1，∴b1＝﹣2k则直线M1M2的解析式为y＝kx+﹣2k．解法一：由，得x2﹣（4﹣4k）x﹣8k＝0，∴x1+x2＝4﹣4k，x1x2＝﹣8k，∵y1＝kx1+﹣2k，y2＝kx2+﹣2k，∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），∴M1M2＝＝＝＝＝＝4（1+k2），M1F＝＝＝，同理M2F＝，∴M1F•M2F＝（1+k2）＝（1+k2）＝（1+k2）＝4（1+k2）＝M1M2，∴+＝＝＝1；解法二：∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣2）2+，∴（x﹣2）2＝9﹣4y，设M 1（x 1，y 1），则有（x 1﹣2）2＝9﹣4y 1．∴M 1F ＝＝＝﹣y 1；设M 2（x 2，y 2），同理可求得：M 2F ＝﹣y 2．∴+＝＝＝①．直线M 1M 2的解析式为y ＝kx +﹣2k ，即：y ﹣＝k （x ﹣2）．联立y ﹣＝k （x ﹣2）与抛物线（x ﹣2）2＝9﹣4y ，得：y 2+（4k 2﹣）y +﹣9k 2＝0，∴y 1+y 2＝﹣4k 2，y 1y 2＝﹣9k 2，代入①式，得：+＝＝1．（3）设y 2与y ＝﹣x 的两交点的横坐标分别为x 0，x 1，∵抛物线C 2：y 2＝﹣（x ﹣h ）2可以看成由y ＝﹣x 2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x 0，x 0′的值不断增大，∴当1＜x ≤m ，y 2≥﹣x 恒成立时，m 最大值在x 1处取得∴当x 0＝1时，对应的x 1即为m 的最大值将x 0＝1代入y 2＝﹣（x ﹣h ）2＝﹣x 得（1﹣h ）2＝4，∴h ＝3或﹣1（舍），将h ＝3代入y 2＝﹣（x ﹣h ）2＝﹣x 有：﹣（x ﹣3）2＝﹣x ，∴x 0＝1，x 1＝9．∴m 的最大值为9．21．（10分）（2022•宣城自主招生）如图，△ABC中，AB＝AC，D，E在边BC上，延长AD，AE与△ABC的外接圆分别交于P，Q两点．（1）求证：D，E，Q，P四点共圆；（2）若AD＝BD＝3，AE＝4，DC＝5，求弦AQ的长度．【分析】（1）连接BQ，根据同弧所对圆周角相等可得∠C＝∠AQB，∠BAP＝∠BQP，由∠ADB+∠ABC+∠BAD＝180°结合等腰三角形性质可证∠PDE+∠EQP＝180°，最后得证∠P+∠DEQ＝180°即可；（2）先证明△ABC∽△DAB，根据相似三角形的性质求得，再证明△ABE∽△AQB，最后根据相似三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：如图，连接BQ，∴∠C＝∠AQB，∠BAP＝∠BQP，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠AQB，∵∠ADB+∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠PDE+∠AQB+∠BQP＝180°，∴∠PDE+∠EQP＝180°，∵∠PDE+∠DEQ+∠EQP+∠P＝360°，∴∠P+∠DEQ＝180°，∴D，E，Q，P四点共圆；（2）解：∵AD＝BD＝3，DC＝5∴∠ABD＝∠BAD，BC＝8，由（1）知∠ABC＝∠C，∴∠ABD＝∠BAD＝∠C，∴△ABC∽△DAB，∴，即，∴，由（1）可知∠ABE＝∠AQB，∵∠BAE＝∠QAB，∴△ABE∽△AQB，∴，即，解得AQ＝6．22．（10分）（2022•南京自主招生）已知a，b为方程x2﹣2x+t﹣3＝0的两根，求（2a+5﹣t）（b2+2）的最小值．【分析】利用根与系数的关系及方程根的定义，利用整体的思想方法，用含t的代数式表示要求代数式的积得结论．【解答】解：∵a，b为方程x2﹣2x+t﹣3＝0的两根，∴a+b＝2，ab＝t﹣3，b2﹣2b+t﹣3＝0．∴b2＝2b+3﹣t．∴（2a+5﹣t）（b2+2）＝（2a+5﹣t）（2b+3﹣t+2）＝（2a﹣t+5）（2b﹣t+5）＝4ab﹣2bt+10b﹣2at+t2﹣5t+10a﹣5t+25＝t2+4ab﹣2t（a+b）+10（a+b）﹣10t+25．把a+b＝2，ab＝t﹣3代入得t2+4（t﹣3）﹣2t×2+10×2﹣10t+25＝t2+4t﹣12﹣4t+20﹣10t+25＝t2﹣10t+25+8＝（t﹣5）2+8．∵a，b为方程x2﹣2x+t﹣3＝0的两根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（t﹣3）＝4﹣4t+12＝﹣4t+16≥0，∴t≤4．∵（t﹣5）2≥0，∴当t＝4时，（t﹣5）2+8＝（4﹣5）2+8＝1+8＝9．∴（2a+5﹣t）（b2+2）的最小值是9．23．（10分）（2022•成都自主招生）如图，抛物线y＝﹣x2+2mx+m+2与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，OB＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）设D是第四象限内抛物线上的点，连接AD、OD、CD，SCOD：S△AOD＝12：5．△①求点D的坐标；②连接BD，若点P，Q是抛物线上不重合的两个动点，在直线x＝a（a＞0）上是否存在点M，N（点A，P，M按顺时针方向排列，点A，Q，N按顺时针排列），使得△APM≌△AQN且△APM∽△ABD？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设A坐标（﹣x0，0）B（3x0，0），x0≠0且x0＞0，把A、B代入抛物线解析式得到关系式：8﹣8mx0＝0，由两根的积等于，所以可得m的值和解析式；（2）①设D（x0，y0），已知S△COD：S△AOD＝12：5，S△COD＝CO×x0，S△AOD＝AO•（﹣y），可得出x0，y0关系式y0＝﹣x0，D在抛物线上，把D代入抛物线，可得D的坐标；②由题意知△APM≌△AQN，所以AM＝AN，即M、N关于x轴对称，假设存在这样的P、Q，根据题意可得出△APQ∽△AMN，△AMN的中线在x轴上且与△APQ中线夹角为45°，可得出△APQ的中线在y＝x+1上，同时，P、Q关于y＝x+1对称，设P、Q解析式为y＝﹣x+b，PQ中点为（m，n）解方程组得到AR的长度，即x＝a与x轴交于H，由△APQ∽△AMN，可得到a的值．【解答】解：（1）由题设A坐标（﹣x0，0），则B为（3x0，0），x0≠0且x0＞0，则有，①﹣②得8﹣8mx0＝0，又∵﹣x0•3x0＝＝﹣m﹣2，则解得m＝1或﹣（舍去），即m＝1，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图所示：①设D（x0，y0），则SCOD＝×CO•x0＝x0，△SAOD＝×AO×（﹣y0）＝﹣y0，△又∵SCOD：S△AOD＝12：5，△∴＝①，又∵点D在抛物线上，∴y0＝﹣+2x0+3②，联立①②解得：x0＝4或x0＝﹣（舍去），则x0＝4，y0＝﹣5，即点D的坐标为（4，﹣5），②由（1）得B（3，0），如图2，∵△APM≌△AQN，∴AM＝AN，又∵P、Q不重合，则M、N不重合，且MN都在x＝a上，∴M、N关于x轴对称，假设存在这样的P、Q，∵△APM∽△ABD，∴△AQN∽△ABD，且相似比相同，∴△APQ∽△AMN，且∠NAQ＝∠DAB＝45°，∴△AMN的中线与△APQ中线夹角也为45°，而△AMN的中线在x轴上，∴△APQ的中线在y＝x+1上，∴P、Q关于y＝x+1对称，PQ垂直y＝x+1．设PQ解析式为：y＝﹣x+b，PQ中点为R（m，n），联立，∴x2﹣3x+b﹣3＝0，x1+x2＝3，∴m＝，将R（，n）代入y＝x+1得n＝，∴R（，），∴AR＝，设x＝a与x轴交于H，则由△APQ∽△AMN可得，＝＝＝，∴AH＝，∴a＝．24．（10分）（2022•洪山区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+6与x轴，y轴的交点分别为P，Q，且经过P，Q两点的抛物线y＝x2+mx+n与x轴的另外一个交点为点M．（1）求抛物线的解析式；（2）已知E是直线PQ下方的抛物线上的一动点（不包括P，Q两点）．①过点E作与x轴垂直的直线EF交直线PQ于点F，若点N为y轴上的一动点，当线段EF的长度最大时，求的最小值；②当tan∠EPM＝tan∠MQP时，求点E的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①过点N作NH⊥OH于点H，则NH＝ON•sin45°＝ON，E、N、H共线时，＝EN+HN＝EH最小，进而求解；②求出tan∠PQM＝＝，得到tan∠EPM＝1，进而求解．【解答】解：（1）对于y＝x+6，当x＝0时，y＝6，令y＝x+6＝0，则x＝﹣6，故点P、Q的坐标分别为（﹣6，0）、（0，6），将点P、Q的坐标代入抛物线解析式得：，解得：，故抛物线的解析式为：y＝x2+7x+6；（2）①设点F（x，x+6），则点E（x，x2+7x+6），则EF＝（x+6）﹣（x2+7x+6）＝﹣x2﹣6x，∵﹣1＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣3，即点E（﹣3，﹣6），过点O作OH，使OH和y轴负半轴的夹角为45°，过点N作NH⊥OH于点H，则NH＝ON•sin45°＝ON，则＝EN+HN，则E、N、H共线时，＝EN+HN＝EH最小，则直线OH和x轴的夹角为45°，故OH的解析式为：y＝﹣x，直线EH的解析式为：y＝（x+3）﹣6＝x﹣3，联立y＝﹣x和y＝x﹣3并解得：x＝，则点H（，﹣），由点E、H的坐标得，EH＝＝；②过点M作MH⊥PQ于点H，由PQ的表达式知，∠QPO＝∠PQO＝45°，由点P、Q的坐标得，PQ＝6，则HM＝HP＝PM＝，则HQ＝PQ﹣PH＝6＝，则tan∠PQM＝＝，∵tan∠EPM＝tan∠MQP，则tan∠EPM＝1，即直线PE和x轴正半轴的夹角为45°，故直线PE的解析式为：y＝﹣（x+6）＝﹣x﹣6，联立y＝﹣x﹣6和y＝x2+7x+6并解得：，即点E（﹣2，﹣4）．。
学年浙江省一级重点中学自主招生考试数学仿真试卷（九）
2020学年浙江省一级重点中学自主招生考试数学仿真试卷（九）一、选择题1．（4分）点P（a+1，a﹣1）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）已知M=62007+72009，N=62009+72007，那么M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定3．（4分）实数a，b，c中，a＞0，且4a+2b+c=0，a﹣b+c=0．则a+2b+4c的值是（）A．正数B．负数C．零D．不能确定4．（4分）若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．m≥C．＜m≤1D．≤m≤15．（4分）有三位同学对校队与市队足球赛进行估计，A说：校队至少进3个球，B说：校队进球数不到5个，C说：校队至少进1个球．比赛后，知道3个人中，只有1个人的估计是对的，你能知道，校队踢进球的个数是（）A．4个B．3个C．1个D．0个6．（4分）如图，一圆柱体的底面圆周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程是（）A．4B．4C．D．π+7．（4分）方程x3+6x2+5x=y3﹣y+2的整数解（x，y）的个数是（）A．0B．1C．3D．无穷多二、填空题8．（4分）若∠A是锐角三角形的一个内角，则在二次根式中∠A的取值范围是．9．（4分）如图，▱ABCD的A、B、D三点在弧BD上，过A的直线PA交CB的延长线于P，若∠PAB=∠DBC，BC=2AB，▱ABCD的面积为8，则△APB的面积为．10．（4分）已知直线y=﹣x+5与双曲线y=的交点坐标为（m，n），则的值为．11．（4分）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围为．12．（4分）甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是同学．13．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB=BD=DA=AC，则四边形ABCD中，最大内角的度数是度．14．（4分）一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵，钱，孙，李，周，吴，这幢楼住户共订有A，B，C，D，E，F六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵，钱，孙，李，周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A，B，C，D，E五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，则报纸F在这幢楼里有家订户．15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD中点，F是EC中点，BD是对角线，那么△BDF的面积为cm．16．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，BC=a，AC=b，∠A﹣∠B=90°，则⊙O的面积为．17．（4分）已知n个数x1，x2，x3，…，x n，它们每一个数只能取0，1，﹣2这三个数中的一个，且，则x13+x23+…+x n3=．三、解答题18．（10分）某单位的地板有三种边长相等的正多边形铺设，一个顶点处每种多边形只用一个，设这三种正多边形的边数分别是x，y，z．求的值．19．（10分）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ=2PN．20．（10分）某体育彩票经销商计划用45000元，从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩票，进价分别是A彩票每张1.5元，B彩票每张2元，C彩票每张2.5元．（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；（2）若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎，请你设计进票方案．21．（10分）如图1，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a，b，k的值；（2）如图2，过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△COE ∽△BOA的点E的坐标（提示：C点的对应点为B）．22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10厘米，OC=6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米/秒．（1）设点Q的运动速度为0.5厘米/秒，运动时间为t秒，①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．（2）设点Q的运动速度为a厘米/秒，问是否存在a的值，使得△OCP∽△PAQ∽CBQ？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）点P（a+1，a﹣1）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】点的坐标．【分析】根据四个象限的符号特点列出不等式组，根据不等式组解的情况进行判断即可．【解答】解：根据题意可列出方程组：（1），解得a＞1，故a+1＞0，a﹣1＞0，点在第一象限；（2），解得﹣1＜a＜1，故a+1＞0，a﹣1＜0，点在第四象限；（3），解得a＜﹣1，故a+1＜0，a﹣1＜0，点在第三象限；（4），无解，故点不可能在第二象限．故选B．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点及解不等式组，可根据各象限点的特点来判断所给的未知字母解的情况即可．2．（4分）已知M=62007+72009，N=62009+72007，那么M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定【考点】因式分解的应用；有理数大小比较．【分析】先用作差法，再根据同底数的幂分别提取公因式，整理计算后判断出正负情况即可得到M、N的大小关系．【解答】解：∵M﹣N=62007+72009﹣62009﹣72007，=62007（1﹣62）+72007（72﹣1），=48×72007﹣35×62007＞0，∴M＞N，故选A．【点评】本题考查了提公因式法、分组分解法分解因式，比较两个数的大小，求差法是常用的方法之一．3．（4分）实数a，b，c中，a＞0，且4a+2b+c=0，a﹣b+c=0．则a+2b+4c的值是（）A．正数B．负数C．零D．不能确定【考点】代数式求值．【分析】由题意可列出方程组，把a当做已知，然后把其它未知数表示出来，代入所求代数式，判断其正负．【解答】由题意得，解得，代入a+2b+4c得原式=﹣b+2b+8b=9b，∵a＞0，a=﹣b，∴b＜0，原式=﹣b+2b+8b=9b＜0，故选B．【点评】本题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．4．（4分）若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．m≥C．＜m≤1D．≤m≤1【考点】根与系数的关系；完全平方公式；三角形三边关系．【分析】方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x2﹣2x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2﹣2x+m=0的两个根设是x2和x3，一定是两个正数，且一定有|x2﹣x3|＜1＜x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．【解答】解：方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的有三根，∴x1=1，x2﹣2x+m=0有根，方程x2﹣2x+m=0的△=4﹣4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴有x2+x3＞x1=1，|x2﹣x3|＜x1=1，而x2+x3=2＞1已成立；当|x2﹣x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2﹣4x2x3＜1．即：4﹣4m＜1．解得，m＞．∴＜m≤1．故选C．【点评】本题利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．5．（4分）有三位同学对校队与市队足球赛进行估计，A说：校队至少进3个球，B说：校队进球数不到5个，C说：校队至少进1个球．比赛后，知道3个人中，只有1个人的估计是对的，你能知道，校队踢进球的个数是（）A．4个B．3个C．1个D．0个【考点】推理与论证．【分析】若A的估计是正确的，则C也是正确的，所以A的估计错误；若C的估计是正确的，则A、B中，必有一人的估计是正确的，所以C的估计是错误的．所以校队踢进球的个数只能够是0个．【解答】解：若A真，则C真，显然不符合题意的要求；若C真，则A、B必有一个是真命题，显然也不符合题意；因此只有一种情况，即：B真，A、C为假命题，那么此时球队踢进求的个数是0个．故选D．【点评】此题可以先假设其中的一个人的估计是正确的，然后根据3个人中，只有1个人的估计是对的，进行分析．6．（4分）如图，一圆柱体的底面圆周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程是（）A．4B．4C．D．π+【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．【解答】解：将将圆柱体展开，连接A、C，根据两点之间线段最短，AC==4．若从AB﹣BC，则可得路程为：4+＜4．故选C．【点评】本题是一道趣味题，将正方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．7．（4分）方程x3+6x2+5x=y3﹣y+2的整数解（x，y）的个数是（）A．0B．1C．3D．无穷多【考点】非一次不定方程（组）．【分析】先把方程左边化为3的倍数的形式，再根据方程右边不可能是3的倍数判断出方程无整数解即可．【解答】解：原方程可化为x（x+1）（x+2）+3（x2+x）=y（y﹣1）（y+1）+2，∵三个连续整数的乘积是3的倍数，∴上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．∴原方程无整数解．故选A．【点评】本题考查的是非一次不定方程的解，熟知三个连续整数的乘积是3的倍数是解答此题的关键．二、填空题8．（4分）若∠A是锐角三角形的一个内角，则在二次根式中∠A的取值范围是60°≤∠A＜90°．【考点】锐角三角函数的定义；二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，再根据∠A是锐角三角形的一个内角即可求解．【解答】解：根据题意得：2sinA﹣≥0，解得sinA≥．∵sin60°=，∠A是锐角三角形的一个内角，在0°到90°之间正弦值是单调递增的，∴∠A的取值范围是60°≤A＜90°．【点评】此题考查二次根式有意义的条件及函数值的增减性、特殊角的三角函数值，涉及面较广，但难度适中．9．（4分）如图，▱ABCD的A、B、D三点在弧BD上，过A的直线PA交CB的延长线于P，若∠PAB=∠DBC，BC=2AB，▱ABCD的面积为8，则△APB的面积为1．【考点】圆周角定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】利用平行四边形的性质及相似三角形的判定定理可证昨△APB∽△BDC，再利用相似三角形的对应边成比例推出PB与BC间的等量关系，在△APB与△BCD中，高相等，面积之比等于底边PB与BC之比，而△BCD是▱ABCD面积的一半，则△APB的面积可求．【解答】解：∵▱ABCD∴AB∥CD，AB=CD∴∠PBA=∠C∵∠PAB=∠DBC∴△APB∽△BDC∴AB：BC=PB：DC∵BC=2AB∴PB=DC=BC∵BD是▱ABCD的对角线=S▱ABCD=×8=4∴S△BCD在△APB与△BCD中，分别以PB、BC为底边时，高相等=S△BCD=1．∴S△APB【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定定理及性质，三角形的面积的求法．10．（4分）已知直线y=﹣x+5与双曲线y=的交点坐标为（m，n），则的值为3．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】由于（m，n）在直线y=﹣x+5与双曲线y=上，只好把交点坐标代入两个函数式中，看能得到什么已知条件．【解答】解：依题意可得，又可得到，故===3．故答案为：3．【点评】本题运用了方程组和整体代入的思想．同学们要掌握这种方法．11．（4分）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围为﹣≤a＜﹣．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【解答】解：不等式组得解集为8＜x＜，因为关于x的不等式组有四个整数解为9，10，11，12，则12＜≤13，解得a的取值范围为﹣≤a＜﹣．【点评】本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．12．（4分）甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有10种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是丙同学．【考点】可能性的大小．【分析】列举出所有情况，看谁得到D的机会多即可．【解答】解：甲乙丙丁戊取礼物的顺序有10种，为：①A、B、C、D、E；②A、C、D、E、B；③A、C、D、B、E；④A、C、B、D、E；⑤C、D、E、A、B；⑥C、D、A、B、E；⑦C、D、A、E、B；⑧C、A、B、D、E；⑨C、A、D、B、E；⑩C、A、D、E、B．取得礼物D的概率分别为：P（乙）=0.3，P（丙）=0.4，P（丁）=0.3，取得礼物D可能性最大的是丙同学．【点评】解决本题的关键得到取礼物的所有情况．13．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB=BD=DA=AC，则四边形ABCD中，最大内角的度数是150度．【考点】等边三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】因为AB=BD=DA=AC，所以∠BAD=60°，所以四边形中最大的角是∠BCD，再根据四边形的内角和定理，得2∠BCD=360°﹣60°=300°，则∠BCD=150°．【解答】解：∵AB=BD=DA=AC，∴∠BAD=60°，∠ABC=∠ACB，∠ACD=∠ADC∴四边形中最大的角是∠BCD，∵四边形的内角和是360°，∴2∠BCD=360°﹣60°=300°∴∠BCD=150°．故填150°．【点评】此题主要是根据等腰三角形的性质得到角之间的等量关系，再根据四边形的内角和定理列方程求解．14．（4分）一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵，钱，孙，李，周，吴，这幢楼住户共订有A，B，C，D，E，F六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵，钱，孙，李，周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A，B，C，D，E五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，则报纸F在这幢楼里有6家订户．【考点】推理与论证．【分析】在题目中，缺少吴家订的报纸种数和报纸F 的订户，可将它们设为未知数，然后根据报纸的总数相同来列等量关系；可得出关于两个未知数的等量关系式，然后根据每户至少订一种报纸，可求出报纸F 的订户数．【解答】解：缺少吴家订的报纸种数，设为x ；缺少报纸F 的订户，设为y ，那么报纸总种数应相同，得：1+4+2+2+2+y=2+2+4+3+5+x ，解得y=x +5，由题意得吴家至少订一种报纸，那么y 至少等于6．因此报纸F 共有6家订户．【点评】解决本题的关键是找到等量关系：报纸被订的总份数应该和六户人家订的总数相同．15．（4分）如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，E 是AD 中点，F 是EC 中点，BD 是对角线，那么△BDF 的面积为2cm ．【考点】正方形的性质；解直角三角形．【分析】△BDF 的面积为Rt △BCD 的面积减去△BCF 和△DCF 的面积之和．根据已知条件可求∠BCE 和∠ECD 的三角函数值，根据面积公式S=ab ×sinC ，可求△BCF 和△DCF 的面积．【解答】解：在Rt △CDE 中，CD=4，E 为AD 的中点，∴CE==2，CF=CE=，tan ∠CED==2，tan ∠DCE==；∵∠BCE=∠CED ，∴sin ∠BCE=，sin ∠DCE=．∴S △BCF =BC ×CF ×sin ∠BCE=×4××=4．∴S △DCF =CF ×CD ×sin ∠DCE=××4×=2．∵S △BCD =BC ×CD=×4×4=8，∴S △BDF =S △BCD ﹣S △BCF ﹣S △DCF =8﹣4﹣2=2．【点评】求三角形的面积既可根据三角形的面积公式求解，也可用几个图形面积相加或相减求得．16．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，BC=a，AC=b，∠A﹣∠B=90°，则⊙O的面积为π（a2+b2）．【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】先构造直角三角形，再根据直径所对的圆周角是90°和圆内接四边形的性质，找出弧AC=弧CE，最后利用勾股定理求出圆的直径，面积可求．【解答】解：过点B作圆的直径BE交圆于点E，则∠ECB=90°，∴∠E+∠EBC=90°，又圆内接四边形的对角互补，即∠E+∠A=180°，∵∠A﹣∠ABC=90°，∴∠CBA=∠CBE，弧AC=弧CE，CE=AC=b，由勾股定理得，BE=，∴⊙O的半径=，∴圆的面积=π（a2+b2）．【点评】本题利用了直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆面积公式求解．17．（4分）已知n个数x1，x2，x3，…，x n，它们每一个数只能取0，1，﹣2这三个数中的一个，且，则x13+x23+…+x n3=﹣29．【考点】代数式求值．【分析】由题可知，在x1，x2，x3，…，x n中，要想保证和为﹣5，平方和为19，在取值受限得情况下，可设各式中有a个1和b个﹣2，则可将两式变为：，求出方程组的解．【解答】解：设各式中有a个1和b个﹣2，则可将两式变为：，那么x13+x23+…+x n3=（﹣2）3×4+13×3=﹣29．故答案为：﹣29．【点评】解此题时，关键要找准在n个数中到底有几个1、﹣2、0，这就需要对原题中两个式子进行分析，比较难．三、解答题18．（10分）某单位的地板有三种边长相等的正多边形铺设，一个顶点处每种多边形只用一个，设这三种正多边形的边数分别是x，y，z．求的值．【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】这三种正多边形一个顶点处三个内角的度数之和正好等于360°．【解答】解：由题意可知：++=360°，∴1﹣+1﹣+1﹣=2，∴++=．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，解决本题的关键是理解多个多边形镶嵌的条件是：一个顶点处的内角和等于一个周角．19．（10分）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ=2PN．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．【分析】根据已知的平行线，可以通过延长已知线段构造平行四边形．根据平行四边形的性质得到比例线段，再根据等式的性质即可得出等量关系．【解答】证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，∵F是AC的中点，∴DF的延长线必过O点，且．∵AB∥CD，∴．∵AD∥CE，∴==．又∵=，∴OQ=3DN．∴CQ=OQ﹣OC=3DN﹣OC=3DN﹣AD，AN=AD﹣DN．∴AN+CQ=2DN．∴==2．即MN+PQ=2PN．【点评】综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理．20．（10分）某体育彩票经销商计划用45000元，从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩票，进价分别是A彩票每张1.5元，B彩票每张2元，C彩票每张2.5元．（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；（2）若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎，请你设计进票方案．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】（1）本题的等量关系是：两种彩票的数量和=20扎，买两种彩票的费用和=45000元，然后分AB，AC，BC这三种购票方式进行讨论，分别列出方程组，求解．然后便可得出买彩票的方案．（2）可设两种彩票的购进数量为未知数，然后根据三种彩票的总数量20扎，表示出另一种彩票的数量，然后根据三种彩票的数量和=45000元，得出两个未知数的关系式，然后根据自变量的取值范围得出合理的购票方案．【解答】解：（1）设购进A，B，C种彩票分别为x，y，z扎，则①得．（不合）②得．③得．答：共有两种方案可行，一种是A种彩票5扎，C种彩票15扎；或B种彩票、C种彩票各式各10扎．（2）设购进A，B，C种彩票分别为x，y，20﹣x﹣y扎，则有1.5×1000×x+2×1000×y+2.5×1000×（20﹣x﹣y）=45000化简得：y=﹣2x+10．∵y＞0，∴﹣2x+10＞0，∴1≤x＜5，因x为整数所以共有四种方案：即A种1扎，B种8扎，C种11扎；A种2扎，B种6扎，C种12扎；A种3扎，B种4扎，C种13扎A种4扎，B种2扎，C种14扎．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：两种彩票的数量和=20扎，买两种彩票的费用和=45000元，列出方程组，再求解．要注意题中自变量的取值必须符合实际意义．21．（10分）如图1，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a，b，k的值；（2）如图2，过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△COE ∽△BOA的点E的坐标（提示：C点的对应点为B）．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据点A的坐标，易求得k的值，进而可确定双曲线的解析式；可根据双曲线的解析式设出点B的坐标，根据A、B的坐标，可得到直线AB的解析式，进而可得到此直线与y轴交点（设为M）坐标，以OM为底，A、B纵坐标差的绝对值为高，即可表示出△BOA的面积，已知此面积为3，即可求得点B的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式，即可得到a、b、k的值．（2）易求得B（﹣2，﹣2），C（﹣4，﹣4），若设抛物线与x轴负半轴的交点为D，那么∠COD=∠BOD=45°，即∠COB=90°，由于两个三角形无法发生直接联系，可用旋转的方法来作辅助线；①将△BOA绕点O顺时针旋转90°，此时B1（B点的对应点）位于OC的中点位置上，可延长OA至E1，使得OE=2OA1，那么根据三角形中位线定理即可得到B1A1∥CE，那么E1就是符合条件的点E，A1的坐标易求得，即可得到点E1的坐标；②参照①的方法，可以OC为对称轴，作△B1OA1的对称图形△B1OA2，然后按照①的思路延长OA2至E2，即可求得点E2的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数经过A（1，4），∵k=1×4=4，即y=；设B（m，），已知A（1，4），可求得直线AB：y=﹣x+4+；=×（4+）×（1﹣m）=3，∵S△BOA∴2m2+3m﹣2=0，即m=﹣2（正值舍去）；∴B（﹣2，﹣2）．由于抛物线经过A、B两点，则有：，解得；∴y=x2+3x．故a=1，b=3，k=4．（2）设抛物线与x轴负半轴的交点为D；∵直线AC∥x轴，且A（1，4），∴C（﹣4，4）；已求得B（﹣2，﹣2），则有：∠COD=∠BOD=45°，即∠BOC=90°；①将△BOA绕点O顺时针旋转90°得到△B1OA1，作AM⊥x轴于M，作A1N⊥x轴于N．∵A的坐标是（1，4），即AM=4，OM=1，∵∠AOM+∠NOA1=90°，∠OAM+∠AOM=90°∴∠OAM=∠NOA1，又∵OA=OA1，∠AMO=∠A1NO∴△AOM≌△OA1N，∴A1N=OM=1，ON=AM=4∴A1的坐标是（4，﹣1），此时B1是OC的中点，延长OA1至E1，使得OE=2OA1，则△COE1∽△B1OA1∽△BOA；则E1（8，﹣2）；②以OC所在直线为对称轴，作△B1OA1的对称图形△B1OA2，延长OA2至E2，使得OE2=2OA2，则△COE2≌△COE1∽△BOA；易知A2（1，﹣4），则E2（2，﹣8）；故存在两个符合条件的E点，且坐标为E1（8，﹣2），E2（2，﹣8）．【点评】此题考查了反比例函数、二次函数解析式的确定，图形面积的求法，相似三角形的判定等知识．难点在于（2）题的辅助线作法，能够发现∠BOC=90°，并能通过旋转作出相似三角形是解决问题的关键．22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10厘米，OC=6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米/秒．（1）设点Q的运动速度为0.5厘米/秒，运动时间为t秒，①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．（2）设点Q的运动速度为a厘米/秒，问是否存在a的值，使得△OCP∽△PAQ∽CBQ？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题；矩形的性质；相似三角形的性质．【分析】（1）因为无法直接求△CPQ的面积，只好用梯形的面积减去两个三角形的面积，得到关于t的二次函数，求最小值就可以了，从而得到t的值，就可求出Q的坐标．利用三角形的相似，可以得到比例线段，求出t的值，就可以求出Q点的坐标．（2）利用三角形的相似，得到比例线段，解关于a、t的二元一次方程即可，那么Q点的坐标就可求．【解答】解：（1）①先设两点运动的时间是t时，△CPQ面积最小．S△CPQ=S梯形QCOA﹣S△COP﹣S△APQ=（AQ+OC）×OA﹣AP•AQ﹣OC•OP=（0.5t+6）×10﹣×0.5t×（10﹣t）﹣×6×t=（t﹣6）2+21∵a=＞0，∴当t=6时，S△CPQ 有最小值，那么AQ=0.5t=0.5×6=3，∴Q点的坐标是（10，3）．②△COP和△PAQ相似，有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP两种情况：（i）当△COP∽△PAQ时：∴=，∴=，即t2﹣7t=0，解得，t1=0（不合题意，舍去），t2=7．∴t=7，∴AQ=0.5t=0.5×7=3.5．∴Q点的坐标是（10，3.5）．（ii）当△COP∽△QAP时：=，∴=，即t2+12t﹣120=0解得：t1=﹣6+2，t2=﹣6﹣2（不合题意，舍去）∴AQ=0.5t=﹣3+．∴Q点的坐标是（10，﹣3+）；（2）∵△COP∽△PAQ∽△CBQ，∴，即，解得，t1=2，t2=18，又∵0＜t＜10，∴t=2．代入任何一个式子，可求a=．∴AQ=at=∴Q点的坐标是（10，）．【点评】本题利用了梯形、三角形的面积公式，相似三角形的性质，关键要会用含t的代数式表示线段的长，还用到了二次函数求最小值的知识（当a＞0时，二次函数有最小值），矩形的性质以及路程等于速度乘以时间等知识．。
全国重点高中提前招生考试全真试卷(八)
全国重点高中提前招生考试全真试卷（八）总分：100分考试时间：90分钟姓名：一、选择题（每小题 分，共 分）年黄冈市市重点中学自主招生试题）伽利略创造的把实验、假设和逻辑推理相结合的科学方法，有力地促进了人类科学认识的发展。
利用如图 所示的装置做如下实验：小球从左侧斜面上的 点由静止释放后沿斜面向下运动，并沿右侧斜面上升。
斜面上先后铺垫三种粗糙程度逐渐降低的材时，小右侧斜面上升到的最高位置依次为 、、 。
根据三次实验结果的对比，可以得到的最直接的结论是（ ）如果斜面光滑，小球将上升到与 点等高的位置如果小球不受力，它将一直保持匀速运动或静止状态如果小球受到力的作用 它的运动状态将发生改变小球受到的力一定时，质量越大，它的速度越小年黄冈市重点中学自主招生试题）如图是健身用的 跑步机 示意图。
质量为 的健身者踩在与水平面成 角的静止皮带上，用力向后蹬皮带，可使皮带以速度 匀速向后运动。
若皮带在运动过程中受到脚的摩擦力为 ，则在运动的过程中，下列说法中正确的是（ ）是皮带运动的阻力人对皮带不做功人对皮带要做功，其做功的功率为人的重力与皮带对人的支持力是一对平衡力年华中师大一附中高中招生试题）实验室常用的弹簧秤如图 所示，弹簧的一端与连接有挂钩的拉杆相连，另一端固定在外壳上的 点，外壳上固定一个圆环，，弹簧质量忽略不计。
外壳和圆环的重为 ，拉杆和挂钩的重为现将该弹簧秤在图甲所示的位置凋零后不动，再以如图乙和图丙的竖直向两种方式固定在地面上，并分别用图样的力上拉弹簧秤，则稳定后弹簧秤的读数分别为（ ）乙图读数为 ，丙数读数为乙图读数为 ，丙数读数为乙图读数为 ，丙数读数为乙图读数为 ，丙数读数为年蚌埠二中自自主招生试题）如图 所示，一个木块 放在长木板 上，弹簧秤一端接 ，另一端固定在墙壁上，长木板 放在水平地面上，在恒力 作用下，长木版 以速度 匀速运动，水平弹簧秤的示数为 ，下列关于摩擦力的说法正确的是（ ） 木块受到的摩擦力大小等于长木板受到的摩擦力大小等于若长木板以 的速度运动时，长木板受到的摩擦力大小等于若用 的力作用在长木板上，木块受到的摩擦力大小仍等于华中师大一附中高中招生试题）在学习物理过程中，某同学有以下观点：○ 作为载体的电磁波，频率越高，相同时间内可传输的信息越多；○ 光纤通信所说的激光，在光导纤维中通过折射传播；○ 太阳能、核能都属于可再生能源；○ 北导航系统进行定位和导航都是利用电磁波工作的；○ 物体的温度越高，所含热量越多，内能一定大；○ 内能同的两物体之间可能会发生热传递；○ 可见光与无线电波在真空中的传播度大小相等；○ 动圈式话筒的原理是电磁感现象，电线感应是把机械能转化为电能你认为其中说法正确的是（ ）○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○（ 年华中师大一附中高中招生）如图 甲所的电路中，电源电压不变，小灯泡的额定电压为 ，滑动变阻器的最大阻值为定值电阻的 倍。
重点高中提前招生语文模拟试卷
重点高中提前招生语文模拟试卷重点高中提前招生语文模拟试卷一、选择题1、下列词语中，字形完全正确的一项是（）。
A. 肆无忌怠络绎不绝 B. 声名狼藉小心翼翼 C. 拖泥带水循序渐进 D. 光芒万丈奄奄一息2、下列句子中，标点符号使用正确的一项是（）。
A. “激光打印”是一种以激光作为打印介质，通过激光束照射感光鼓，在感光鼓表面形成静电潜影，然后利用静电原理将墨粉转移到纸张上的打印技术。
B. 鲁迅先生曾说：“《红楼梦》是集中国的传统文化之大成，其中诗词、歌赋、曲艺、建筑、绘画、雕塑等都有所涉猎。
”C. 究竟是“世界波”还是“上帝之手”？这个问题引发了球迷们的热议。
D. 有一个网名叫“白夜”的网民，在网上发表了一篇名为《颠倒黑白——我对“三农”问题的看法》的文章。
二、填空题1、根据拼音写出汉字或根据汉字写出拼音。
①花团锦cù（）②挑剔（）③jué（）起④sù（）立2、请将下列句子补充完整。
①学而时习之，？（《论语》）②但愿人长久，。
（苏轼《水调歌头》）③山重水复疑无路，__________。
（陆游《游山西村》）三、阅读理解阅读下面的文言文，完成下列问题。
桃花源记陶渊明晋太元中，武陵人捕鱼为业。
缘溪行，忘路之远近。
忽逢桃花林，夹岸数百步，中无杂树，芳草鲜美，落英缤纷。
渔人甚异之，复前行，欲穷其林。
林尽水源，便得一山，山有小口，仿佛若有光。
便舍船，从口入。
初极狭，才通人。
复行数十步，豁然开朗。
土地平旷，屋舍俨然，有良田美池桑竹之属。
阡陌交通，鸡犬相闻。
其中往来种作，男女衣着，悉如外人。
黄发垂髫，并怡然自乐。
见渔人，乃大惊，问所从来。
具答之。
便要还家，设酒杀鸡作食。
村中闻有此人，咸来问讯。
自云先世避秦时乱，率妻子邑人来此绝境，不复出焉，遂与外人间隔。
问今是何世，乃不知有汉，无论魏晋。
此人一一为具言所闻，皆叹惋。
余人各复延至其家，皆出酒食。
停数日，辞去。
此中人语云：“不足为外人道也。
中学提前招生考试模拟卷3含答案
中学提前招生考试模拟卷3 （考试时间：60分钟） 一、语言文字运用（16分，每小题4分） 1 .下列词语中加点的字，注音全都正确的一组是（ ） A.牛虻(mαng) ■ B∙恫吓(dong) ■ C.脖颈(geng) ■ D.信笺(jian) ■ 呱呱坠地（gu ） ■ 力能扛鼎（gang ） ■ 杀一儆百（jing ） ■ 信手拈来（nian ） ■ 车载斗量（zGi ） ■ 洞见症结（zheng ） ■ 卓有成效（zhuδ） ■ 混水摸鱼（h （ιn ） ■ 2 .下列词语，没有错别字的一组是（ ） A.陷阱 一泻千里 性格粗旷 B.狭隘 旁征博引 相形见拙 C.涵养 动则得咎 突如其来 D.锤炼 针硬时弊 安宁祥和 3.下列各句中，没有语病的一项是（ ） A. “霸王条款”能横行霸道，部分原因是有些商家存心不良、推脱责任，但更重要的原 因在于消费者难以稳固地占领自己的权利“地盘”，对任何侵犯之举给予有力回击。
B.由于网络的互动性、网民的广泛参与性，使音乐的传播方式发生了革命性变化，任 何人都可以通过网络创作、发布自己的音乐作品。
C. 3月11日，日本大地震使得福岛核电站发生一定程度的放射性泄漏，增加了人们对核电安全性的担忧，当前世界核电快速发展的格局增添了变数。
D.针对日益增多的团购投诉事件，国内团购网站“糯米网”今天率先承诺——绝对不会人为篡改在网上出现的任何数字，因而杜绝消费者购买的情况出现。
4 .填入下面横线处的语句，与上下文衔接最恰当的句序是（语句间标点可不考虑）曾宪梓先生对中国内地的捐资额超过四亿人民币。
有人这样问他：“有钱快乐，还 是没钱快乐？”曾宪梓先生这样回答：“o 不要成为钱财的奴隶，要做钱财的主人」①我不算有钱②穷人有穷人的快乐，有钱人有有钱人的苦恼③有钱不一定快乐④看你怎么用 ⑤但是我把钱用在有益的事业上恰当的语序是 _____________________________ 濒临（bin ） ■ 栅栏（zha ） ■ 作坊（zu 。
2024年福建省永春重点中学自主招生模拟检测二语文试卷(含答案)
2023-2024学年永春重点中学九年级自主招生语文模拟试卷二总分150分；考试时间：120分钟一、积累与应用（共47分）1．（本题10分）华夏源远流长的经典诗文，是文化艺苑中经久不衰的瑰宝。
古诗文中有高尚志趣：刘禹锡在《陋室铭》中就借“①，草色入帘青”的清幽环境，道出安贫乐道的志趣；李白在《行路难（其一）》中用“长风破浪会有时，②”表达乐观豁达的心态；《＜孟子＞三章》中“③，贫贱不能移，威武不能屈”告诉我们什么是真正的大丈夫。
古诗中有对现实的描写：白居易的《卖炭翁》中“可怜身上衣正单，④”描写了卖炭老人的矛盾心理；杜甫的《春望》“⑤，⑥”作为千古传颂的名句，移情于物，表达忧伤国事，思念家人的深沉感情。
古诗文中有博大的胸怀：《茅屋为秋风所破歌》中“⑦，⑧”表达了诗人舍己为人的精神和旷达的胸襟；《左迁至蓝关示侄孙湘》中“⑨，肯将衰朽惜残年”展现了诗人为君除弊的坚定决心；《己亥杂诗（其五）》中“落红不是无情物，化作春泥更护花” 展开联想，表达了⑩（作者姓名）的广阔胸怀。
2．（本题8分）阅读下面的文字,完成问题。
万圣节、圣诞节、感恩节等本是舶来品，可近些年来，这些洋节反而越发受欢迎，中秋节、春节等传统节日却越来越不受dài( )见。
面对这一趋．势，不少学者要求学校和家庭加强传统节日的宣传教育，甚至有人要求抵制这些洋节。
传统节日是一个国家、民族传统文化的【甲】（沉淀积淀）与表征，传统节日是否受重视往往能间接反映本土文化的生命力，专家、学者并非在【乙】（杞人忧天忧心忡忡）。
然而另有一些人持jié( )然相反的观点，在他们看来，洋节受欢迎仅仅是因为它们的庆祝方式有趣、富有吸引力，特别是与商业运营模式更为契．合，洋节走俏，一方面能活跃我们的文化、愉悦身心；另一方面也能创造更多经济价值。
事实上，烈抵制与坐视不理的观点都不可取，需在其间表达一个中庸的立场。
⑴根据拼音写汉字或给加点的字选择正确的读音。
2024初升高自主招生数学试卷(一)及参考答案
—1—2024初升高自主招生数学模拟试卷（一）1.方程43||||x x x x -=实数根的个数为（）A .1B .2C .3D .42.如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，已知AB =AD =2，AC =4，且BD ：DC =2：3，则△ABC 是（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形3.已知G 是面积为24的△ABC 的重心，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，则△DEG 的面积为（）A .1B .2C .3D .44.如图，在Rt △ABC 中，AB =35，一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC ，则△ABC 的周长为（）A .35B .40C .81D .845.已知2()6f x x ax a =+-，()y f x =的图象与x 轴有两个不同的交点(x 1，0)，(x 2，0)，且1212383(1)()1)(16)(16)a a x x a x a x -=-++----，则a 的值是（）A .1B .2C .0或12D .126.如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =a ，CD =b .若∠ADC =∠BFE ，且四边形ABFE 的面积与四边形CDEF 的面积相等，则EF 的长等于（）A .2a b+B .abC .2ab a b +D .222a b +—2—7.在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE 平分∠ACB 交AB 于点E .若BE +CD =BC ，则∠A 的度数为（）A .30°B .45°C .60°D .90°8.设23a =，26b =，212c =.现给出实数a 、b 、c 三者之间所满足的四个关系式：①2a c b +=；②23a b c +=-；③23b c a +=+；④21b ac -=.其中，正确关系式的个数是（）A .1B .2C .3D .49.已知m 、n 是有理数，方程20x mx n ++=2，则m +n =.10.正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE =3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE +PC 的值最小，则PB =.11.已知x y ≠，22()()3x y z y z x +=+=.则2()z x y xyz +-=.12.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD =∠BCD =60°，∠CBD =55°，∠ADB =50°.则∠AOB 的度数为.13.两个质数p 、q 满足235517p q +=，则p q +=.14.如图，四边形ABCD 是矩形，且AB =2BC ，M 、N 分别为边BC 、CD 的中点，AM 与BN 交于点E .若阴影部分的面积为a ，那么矩形ABCD 的面积为.第12题图第14题图15.设k 为常数，关于x 的方程2223923222k k x x k x x k --+=---有四个不同的实数根，求k 的取值范围.—3—16.已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，并且满足1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，求x 的值.17.已知抛物线2y x =与动直线(21)y t x c =--有公共点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且2221223x x t t +=+-.(1)求t 的取值范围；(2)求c 的最小值，并求出c 取最小值时t 的取值.—4—18.如图，已知在⊙O 中，AB 、CD 是两条互相垂直的直径，点E 在半径OA 上，点F 在半径OB 延长线上，且OE=BF ，直线CE 、CF 与⊙O 分别交于点G 、H ，直线AG 、AH 分别与直线CD 交于点N 、M .求证：1DM DN MC NC-=.参考答案。
【考试必备】江苏南京市中华中学(高中)中考提前自主招生数学模拟试卷(6套)附解析
C.样本容量是50 D.本城市一定有100万人吸烟
6杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
550
经理决定本周进女装时多进一些红 色的，可用来解释这一现象的统计知识是（）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
A． B． C． D.
3.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,桌面上有一个一次性纸杯,它的俯视图应是（ ）
5.某学习小组为了解本城市500万成年人中大约有多少人吸烟,随机调查了50个成年人,结果其中有10个成年人吸烟.对于这个数据收集与处理的问题,下列说法正确的是（ ）
A.x＜0 B. 0＜x＜１
C.x＜１ D.x＞１
10.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价,某团体需购买140张,其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍,则购买这两种票最少共需要（ ）
A.12120元 B.12140元 C.12160元 D.12200元
11.若 ，且 ≥2 ，则（ ）
18.如图,已知△OP1A1△、A1P2A2、△A2P3A3……均为等腰直角三角形,直角顶点P1、P2、P3……在函数 （x＞0）图象上,点A1、A2、A3……在x轴的正半轴上,则点P2011的横坐标为.
三.解答题（本大题共10小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
24.(本题满分12分）有六个学生分成甲、乙两组（每组三个人）,分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60km的博物馆参观,10分钟后到达距离学校12km处有一辆汽车出现故障,接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生,同时第二批学生步行12km后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇,当第二批学生到达博物馆时,恰好已到原计划时间.设汽车载人和空载时的速度分别保持不变,学生步行速度不变,汽车离开学校的路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数关系如图,假设学生上下车时间忽略不计.
重点中学自主招生试题模拟
重点中学自主招生试题模拟物 理（理化同堂100分钟完卷，总分150分，物理90分，化学60分）一、单项选择题（每题只有—个正确选项．每题3分，共33分）1. 下列有关光现象的说法中，正确的是 ( )A. 小孔成象是由于光沿直线传播形成的B. 岸边景物在水中形成倒影，属于光的折射现象C. 斜插入水中的筷子好像在水面处折断，属于光的反射现象D . 能从不同方向看见不发光的物体，是因为光在其表面发生了镜面反射2. 容器内盛有部分盐水，在盐水中放入一块淡水凝固成的冰．冰熔化后 （ ）A. 盐水的密度不变，液面也不变B. 盐水的密度减小，液面不变C. 盐水的密度减小，液面下降D. 盐水的密度减小．液面上升3、有两个温度和质量都相同的金属球，先把甲球放入盛有热水的杯中．热平衡后水温降低了△t ；把甲球取出，再将乙球放入杯中，热平衡后水温又降低了△t ，则甲球比热容 c 甲和乙球比热容c 乙大小的关系是 ( )A. c 甲 > c 乙B. c 甲 = c 乙C. c 甲 < c 乙D. 以上三种情况都有可能4、如图所示，电源电压U 保持不变，在甲、乙两处都接入电压表，闭合开关S ，测得 U 甲:U 乙=1:3; 断开开关S ，拆去电压表并在甲、乙两处都接入电流表，此时I 甲:I 乙是( )A. 3:1B. 1:3C. 1:1D. 4:3 5. 把同种材料制成的甲、乙两个实心正方体，放在水平桌面上，甲、乙对桌面的压强分别为p 1和p 2。
把甲放在乙的上面，如图8所示，则乙对桌面的压强为( ) A. 21p p + B. 2221p p + C. 223231p p p + D. 213231p p p + 6、某同学连接的电路实物图如图所示。
闭合电键后，灯泡L1、L2都不亮，他用电压表进行电路故障检测，测试结果如左下表所示，若电路中仅一处有故障，则可以判定电路中的故障是( )A ． 灯泡L1短路B ．灯泡L2短路C ．cd 段断路D ．df 断路7．如图24-8所示，F 1、F 2是凸透镜的焦点，S 是放在凸透镜前的点光源，S′是S 经凸透镜所成的像。
深圳市松岗中学重点中学初一数学自主招生试卷模拟试题(5套带答案)
深圳市松岗中学重点中学初一数学自主招生试卷模拟试题（5套带答案)初一自主招生数学考试试卷数 学班级____________ 姓名____________ 得分：____________一、填空题（第1题每空1分，其余每空2分，共40分） 1. 0.875＝（ ）：4＝28218()32=+÷（ ）＝（ ）% 2. 有一个点，它的位置定为（4，4），这个点先向上移动5格，再向右移动7格，则移动后这个点的位置可以表示为（ ）.3. 盒子里有同样大小的红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个，要想摸出的球一定有3个是同色的，最少要摸出（ ）个球.4. 阳光小学组织安全意识知识竞赛，共20题，评分规则是答对一题得10分，答错一题扣5分，弃权不扣分也不得分，芳芳小组弃权两题，得了120分，他们答对了（ ）题.5. 如右图，线段AB 长为20厘米，一只蚂蚁从A 到B 沿着四个半圆爬行，蚂蚁和行程是（ ）厘米.6. 两位同学分别对同一个零件按照20：1和25：1的比例尺放大，结果图纸上两个零件的长度差6.5厘米，那么这个零件的实际长度是（ ）厘米. 7. 在右图中用阴影部分表示47公顷. 8. 一个圆柱的底面半径和高相等，那么这个圆柱的底面积和侧面积的比是（ ）.9. 旧书店按封底上的标价便宜35%收购旧书，然后按封底上的标价便宜25%卖出，旧书店可以获得的利润约是（ ）%10. 五个连续自然数，其中第三个数比第一、第五两数和的59少2，那么第三个数是（ ）.11. 三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如下图），那么，图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米.12. 在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，恰好围成一个圆锥模型（如上图），如果圆的半径为r ,扇形半径为R ，那么:r R ＝（ ） 13. 根据下面的信息把表格填写完整.小芳家去年五至八月份的月底电表读数记录表（1）七月份使用空调后，用电量增加了2 7 .（2）七月份用电量是八月份的3 4 .14. 甲、乙两人比赛120米的滑雪，乙让甲先滑10秒，他们两人的路程和时间的关系如下图：（1）在滑雪过程中，（）滑行的路程与时间成正比例关系.（2）甲滑完全程比乙多用了（）秒.（3）甲在前15秒，平均每秒滑行（）米；后50秒，平均每秒滑行（）米，滑完全程的平均速度是每秒滑行（）米，（除不尽的，结果用分数表示）二、判断题（正确的在括号里打“√”错误的打“×”，每题1分，共5分）15. 如果11a b〈（,a b是小于7的自然数），那么77ba〈--. （）16. 三个连续自然数的和必定是3的倍数. （）17. 王师傅完成一项工作，由于工作效率提高了25%，故所用时间节省了20%. （）18. 24×35×a的积一定是2，3，5的倍数（a是大于零的自然数）. （）19.135至少要加上它本身的25%，才能得到整数. （）三、选择题（将正确答案的序号填入括号内，每题2分，共10分）20. 下列哪一幅图的规律和其他图不一样？（）21. 把4.5，7.5，13,210四个数组成比例，其内项的积是（）A、1.35B、3.75C、33.75D、2.2522. 超市某种奶粉原价为每千克A元，先后两次降价，降价方案有三种：方案一，第一次降价5%，第二次降价1%；方案二，第一次降价4%，第二次降价2%，方案三，每次都降价3%，按（）降价，现价最便宜.A、方案一B、方案二C、方案三D、不能确定23. 大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是5厘米，下面的图形中阴影部分面积一样大的图形有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个24. 左下图是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度相同），右下图表示的是容器中水的高度随滴水时间变化的情况（图中刻度、单位都相同），下列选项中对应的关系正确的是（）A、（1）—（a）B、（2）—（b）C、（3）—（c）D、（4）—（d）四、计算题（共20分）25. 用合理的方法计算（每题4分，共8分）26. 求未知数（每题4分，共12分）五、解决问题（每题5分，共25分）27. 小军班有多少人，小丽班有多少人？小丽：我们班人数比你们班多20%.小军：我们班比你们班少8人.28. “低碳生活”从现在做起，从我做起，据测算，1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨，如果每台空调制冷温度在边家提倡的26摄氏度基础上调到27摄氏度，相应每年减排二氧化碳21千克，某市仅此项就大约减排相当于18000公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳，若每个家庭按2台空调计算，该市约有多少万户家庭？29. 甲、乙两车分别从,A B两站出发相向而行，经过半小时后，甲车行驶了全程的60%，乙车行驶了全程的47，这时两车相距2.4千米，求,A B两站的距离.30. 一堆9.8方的沙子装入到一个高1.8米的圆柱形容器里，露出的部分是一个高0.9米的圆锥形沙堆，这个圆锥形沙堆的体积是多少立方米？（1方等于1立方米）31. 甲、乙同时从A地出发，背向而行，分别前往,B C两地，已知甲、乙两人每小时共行驶96千米，甲、乙的速度比是9：7，两人恰好分别同时到达,B C两地，乙立即用原速度返回，当乙行了40分钟后，甲在B地得到通知，要求立即返回并且要与乙同时到达A地，甲返回时把原速度提高了20%，这样两人同时到达A地，问：,B C之间的距离是多少千米？一、填空题1. 3.5 2434 87.5 解析 7282130.875 3.5:487.5%832324====?2. 11.9 解析 纵坐标上移5格，4＋5＝9；横坐标右移7格，4＋7＝11。
2024年重点中学自主招生模拟试卷(1)
2024年重点中学自主招生模拟试卷（1）数学试题卷（考试时间：120分钟总分150分）一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．（2024春•礼县校级月考）已知a﹣2+b＝0（a＞0，b＞0），则等于（）A．B．C．D．2．（2024•九龙坡区自主招生）在数轴上，若点M、N分别表示数m、n，则|m|表示点M到原点的距离，|m﹣n|表示M、N两点间的距离．以下说法正确的有（）①若|m﹣2|+|n+3|＝0，则m﹣2n＝8；②若|m﹣2|＝|m+3|，则；③若，则；④函数y＝|x2+6|﹣|x2﹣6|与函数y＝x有三个交点．A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2023•南安市校级模拟）如图，矩形ABCD由3×4个小正方形组成，此图中不是正方形的矩形有（）A．34个B．36个C．38个D．40个4．（2023•惠城区校级开学）已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（）A．B．C．D．5．（2024•碑林区校级自主招生）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（）A．点数小的牌可能性大B．点数大的牌可能性大C．两者可能性一样大D．无法判断6．（2021•龙岗区校级自主招生）如图，点A是函数y＝的图象上的点，点B，C的坐标分别为B（﹣，﹣），C（，）．试利用性质：“函数y＝的图象上任意一点A都满足|AB﹣AC|＝2”求解下面问题：作∠BAC的角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，已知当点A在函数y＝的图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则这条曲线为（）A．直线B．抛物线C．圆D．反比例函数的曲线7．（2013•宁波自主招生）正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的点，连接PQ、PC、QC，下列说法：①若∠PCQ＝45°，则PB+QD＝PQ；②若AP＝AQ＝，∠PCQ ＝36°，则；③若△PQC是正三角形，若PB＝1，则AP＝．其中正确的说法有（）A．3个B．2个C．1个D．0个8．（2021•龙岗区校级自主招生）如图，直线AB：y＝﹣x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C（﹣1，0），D为y轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转120°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE长度最小时，线段CD的长为（）A．B．C．2D．59．（2022秋•高邑县期中）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝6，那么++的值（）A．是正数B．是零C．是负数D．正、负不能确定10．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF 与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．二．填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）11．（2023秋•长治月考）如图平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD ＝1：3，连接EF交DC于点G，则△DEG与五边形DABFG的面积比值是．12．（2022•温江区校级自主招生）若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是．13．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为，点F的坐标为．14．（2020•黄州区校级模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝15．（2022•成都自主招生）如图，面积为4的平行四边形ABCD中，AB＝4，过点B作CD边的垂线，垂足为点E，点E正好是CD的中点，点M、点N分别是AB、AC．上的动点，MN的延长线交线段DE于点P，若点P是唯一使得∠MPB＝45°的点，则线段BM长x的取值范围是．16．（2022秋•长沙月考）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且＝＝，则的值为．三．解答题（本大题共8小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：（1）；（2）|x2+4x﹣5|＝2﹣2x．18．（8分）（镜湖区校级自主招生）对a＞b＞c＞0，作二次方程x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca＝0．（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；（2）若方程有实根x0，求证：a＞x0＞b+c；（3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b，c．19．（10分）（2022•相城区校级自主招生）阅读材料：对于正数a、b，有（﹣）2≥0，所以a+b﹣2≥0，即a+b≥2（当且仅当a＝b时取“＝”）．特别地：a+≥2＝2（当且仅当a＝1时取“＝”）．因此，当a＞0时，a+有最小值2，此时a＝1．简单应用：（1）函数y＝2﹣x﹣（x＞0）的最大值为．（2）求函数y＝9x+（x＞1），当x＝时，最小值为．解决问题：（3）已知P（﹣2，3）是反比例函数y＝图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y＝只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线y＝x+6与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值．20．（10分）（2020•汉阳区校级自主招生）如图1，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，3），反比例函数y＝（k＜0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，BC于E，F（E，F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A，D重合．（1）①如图2，当点D恰好在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长；②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围．（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．21．（10分）（2020春•禹会区校级月考）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．22．（10分）（浙江校级自主招生）请你利用直角坐标平面上任意两点（x1，y1）、（x2，y2）间的距离公式解答下列问题：已知：反比例函数与正比例函数y＝x的图象交于A、B两点（A在第一象限），点F1（﹣2，﹣2）、F2（2，2）在直线y＝x上．设点P（x0，y0）是反比例函数图象上的任意一点，记点P与F1、F2两点的距离之差d＝|PF1﹣PF2|．试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）．23．（12分）（2023春•宜丰县校级月考）已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985．试求正整数n．24．（12分）（淳安县自主招生）如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM＝DM+CD．（1）求证：点F是CD边的中点；（2）求证：∠MBC＝2∠ABE．。
高中提前招生模拟卷答案(一)
2021年提前招生模拟题（一）参考答案说明：本卷总分为150分，考试时间100分钟。
共32题，8页。
相对原子质量：H-1C-12N-14O-16Na-23S-32Cl-35.5Ca-40Fe-56g=10N/kg一、选择题（每题3分，每小题只有一个选项是正确的，共60分）题号12345678910答案A B D C B C B B B D 题号11121314151617181920答案C D A A C A B A C B 二、简答题（21小题每空1分，其余每空2分，共25分）21、（1）维生素（2）C6H12O6+6O2==6CO2+6H2O+能量（3）血红蛋白（4）由静脉血变成动脉血（5）神经系统和激素22、CO2、Cu、H2O O2Cu2(OH)2CO323、(1)先通一段时间一氧化碳__。
(2)20%24、(1)动(2)=(3)有价值．在阻力无法避免的情况下，用粗糙程度不同的轨道多次实验，轨道越光滑，h2约接近h1，即可推理得出：当无阻力时，h2=h1，即可判断V B=V A．25、375KJ4000J/(Kg.C)三、实验探究题（每空2分，共30分）26．(1)铁屑(2)打开H2(3)关闭活塞E，使FeSO4溶液被压入B瓶中进行反应(4)4Fe(OH)2+O2+2H2O=4Fe(OH)327、(1)Fa==1/2X Fb==X，(2)10cm(3)________7.5cm__________1228、（1）（1）用不同金属丝组成闭合回路；两连接点之间有温度差(2)测温装置(合理即可)29、(1)⑵①Cl 2＞Br 2＞I 2＞S，②B四、分析计算题（本题有3小题，第30题11分，第31题9分，32题15分，共35分）30、解：（1）m=ρv=2.5×103×200×10-4×2=100(kg)G=mg=100×10=1000(N)（3分）（2）V 排=V 物=200×10-4米2×2米=0.04米3F 浮=ρ水gV 排=400N由T=2F ，T=G-F 浮得F=300N （3分）（3）F 浮’=G-T ’=1000N-2×350N=300N （1分）V 排’=)1)((03.010100.1300'33分水浮m gF =⨯⨯=ρ物体浸入水中的长度h 为：)1()(5.102.003.0'分排---===m SV h 物体上升的高度为：L=H-h=15-1.5=13.5(m)(1分)t=l/v =13.5/0.2=67.5s(1分)31、（1）由甲图，短路电流：0R U I =，3A 0R U=由乙图：024R U P =最大，即 4.5W 024R U =U =6V ，R 0=2Ω，4个电压为1.5V 的干电池组成。
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重点中学提前自主招生考试模拟考试物理试题及详解一．选择题（每题5分，共40分）1．如图所示，一个半径为10cm的均匀透明球．一束光由球面A点射入，光的传播方向改变了15°，从球面B点射出，已知入射光线与半径OA的夹角为45°，则光线在球内传播的路径长度为（）A．10cm B．10√2cm C．10√3 D．20cm解：连接OB，则△AOB为等腰三角形，∵一束光由球面A点射入，光的传播方向改变了15°，从球面B点射出，已知入射光线与半径OA的夹角为45°，∴∠CAO=45°﹣15°=30°过O点作AB的垂线，垂足为C，则OC=OA=×10cm=5cmAC====5cm∵△AOB为等腰三角形，∴AB=2AC=2×5cm=10cm．故选C．2．有一块厚铁板M，冲下圆柱体N（N能很紧密地塞回原孔）．现把铁板和铁柱同时放到炉内加热较长时间，在取出的瞬间（）解：解答本题需要你把N看成就是M的一部分．当加热后，N这部分膨胀变大了，可是仍然是紧密的是M的一部分，加热后，N变粗，孔也变大，故N仍能紧密的塞进原孔．故选D3．如图，当在接线柱A、B间接10Ω的电阻时，电流表示数为0.36A，那么在接线柱A、B 间接入20Ω的电阻时，电流表的示数可能是（）解：当AB两点间接入R=10Ω电阻时，因串联电路中总电阻等于各分电阻之和，所以，电路中电流表的示数：I===0.36A；当AB间改接R′=20Ω电阻时，电路中电流表的示数：I′==＞==0.18A．I′==＜=0.36A，则：0.18A＜I′＜0.36A，故选B．4．如图，绳OA、OB、OC结于O点，A、B端挂在天花板下，OA=OB，C端挂一质量为m的物体．现增大A、B两点间的距离，下列关于OA绳的拉力大小和OA与OB绳的合力大小的说法中，正确的是（）解：对结点受力分析，如图：根据平衡条件，两绳子的合力总是与重力等大反向，保持不变，即：2Fcosθ=mg得：F=当增大A、B两点间的距离，θ变大，cosθ变小，则F变大；故选：C．5．如图所示，电路中有两根导线的端点未连接，把它们浸入装有稀硫酸溶液的玻璃容器中．闭合开关s后，灯泡L正常发光；当用滴管向容器中逐滴加入适量石灰水时，可以观察到的现象是（）液中可以自由移动的离子减少，溶液的导电能力变弱，流过灯泡的电流变小，灯泡变暗．故选A．6．如图①所示，一个电压恒定的电源跟一个电阻R串联后，给电路供电，如图②中直线OAC 为该电源的总功率P总随电流I变化的图象，抛物线OBC为该电阻R的热功率P R随电流变化的图象，若A、B对应的横坐标为2A．则下列说法不正确的是（）解：A、由图读出I=3A时，电源的功率P=9W，由P=EI得，E=3V．电源内部发热功率P热=9W，由P热=I2r求出r=1Ω，故A正确，不符合题意；B、当电流I=2A时，电源的功率P=EI=6W，电源内部发热功率P热=I2r=4W，则线段AB表示功率的变化为2W，故B正确，不符合题意；C、当电流为3A时，由题R=0，故C错误，符合题意；D、当电流I=2A时，由P﹣P热=I2R，得R=0.5Ω．故D正确，不符合题意．故选C．7．装有金属球的小容器A漂浮在盛有水的圆柱形大容器B的水面上，所受的浮力为F1，如图所示．若把金属球从A中拿出投入水中沉到B的底部时，小容器A所受的浮力大小为F2，池底对金属球的支持力大小为N，那么下列说法错误的是（）水的圆柱形大容器B的水面上，此时其受到的浮力等于它们的总重力即：F1=G+G′．所以金属球受到的重力：G′=F1﹣G，因为把金属球从A中拿出投入水中沉到B的底部时，容器A处于漂浮状态，此时它受到的浮力F2=G；故B正确．因此金属球受到的重力可以表示为：G′=F1﹣G=F l﹣F2．故A正确．金属球沉在池底受到的力有：水对它竖直向上的浮力F3、池底对它竖直向上的支持力N、重力G′；金属球在这三个力的作用下处于静止状态，即平衡状态；因此三个力相互平衡，即：F3+N=G′，即，N=G′﹣F3，由此可知此时池底对金属球的支持力不等于其重力，即：N≠G′，小容器原来受到的浮力为：F1=G+G′，现在受到的浮力为：F2=G；所以其受到的浮力减小的是金属球的重力G′，不是支持力N，故C错误．由于原来与圆柱形容器底部接触的只有水，所有物体的重力都通过水压在容器底部．现在圆柱形容器的底部受到的压力仍等于等于里面所有物体的总重力，即水的重力、金属球的重力、小容器的重力三者之和，即：F压=G+G′+G水．此时的金属球对池底的压力与池底对它的支持力是一对作用力与反作用力，所以其大小也等于N；此时容器底部受到的压力可以表示为：F压=F水压′+N=G+G′+G水．即水对容器底部的压力：F水压′=F压﹣N=F水压﹣N，故D正确．综上分析故选：C．8．如图所示，高度为L、横截面积为s的物块浮在盛水的杯内，杯内水的高度恰好为L．已知杯子的横截面积为2s，水的密度为ρ0，物块的密度为ρ0，现用外力将物块按入水底，则外力所做的功至少是（）ρ0gsL2ρ0gsL2ρ0gsL2Dρ0gsL2解：物块重心降低L，物块重力做功W1=ρ0gSL L=ρ0gSL2；设用外力将物块按入水底后，杯内水的高度为L′，则2SL′=2SL+S L，解得L′=L，在末状态，水面高出物块上表面L，这相当于原来初状态图示中物块下面的那部分水全部升至末态的物块之上，这部分水（ρ0×0.5LS）升高了（1.125﹣0.25）L=0.875L，其重力势能增加△W=ρ0×0.5LSg×0.875L，减去物块减小的重力势能W1=ρ0×SL×，即为外力至少做的功W=△W﹣W1=ρ0×0.5LSg×0.875L﹣ρ0×SL×=ρ0gSL2故选A．二．填空题（每题6分，共30分）9．有一堆从河中捞出的湿砂子，测得其比热容为1.2×103焦/（千克•℃）．已知干砂子的比热容为0.9×103焦/（千克•℃），则按质量说，这堆砂子含水的百分比是%．解：m1﹣干砂子的质量，m2﹣水的质量，m﹣砂子和水的混合物的质量；c1﹣干砂子的比热容，c2﹣水的比热容，c﹣砂子和水的混合物的比热容；Q1﹣干砂子吸收的热量，Q2﹣水吸收的热量，Q﹣砂子和水的混合物吸收的热量；△t﹣温度差．砂子和水的混合物、砂子、水各自吸收的热量可以表示为：Q=c（m1+m2）△t （1）Q1=c1m1△t （2）Q2=c2m2△t （3）由这三个式子可以解出=；代入数值可得：==9.1%．10．如图所示，两个相同的光滑弧形槽，一个为凸形，一个为凹形，A、B两个相同的小球分别进入两弧形槽的速度都为v，运动到槽的末端速度也都为v，A小球通过凸形槽的时间为t1，B小球通过凹形槽的时间t2，则t1与t2的大小关系是．解：在凸形滑道运动的物体，在运动到最高点的过程中，要将动能转化为重力势能，运动速度小于初速度；在下落过程中不计滑道的摩擦，机械能守恒，重力势能再全部转化为动能，速度等于初速度；在凹形滑道运动的物体，在运动到最低点的过程中，要将重力势能转化为动能，运动速度大于初速度；在下落过程中不计滑道的摩擦，机械能守恒，动能再全部转化为重力势能，速度等于初速度；因此在凸形滑道运动物体的平均速度小于在凹形滑道运动物体的速度，由t=可知，通过A滑道用的时间为t1大于通过B滑道用的时间为t2．故答案为：t1＞t2．11．由五块相同砖块构成的桥，如图所示，若每块砖长度为L，则此桥的最大跨度为．解：最上方的砖受两端的两砖的支持力作用而处于平衡，则砖对左方第二块砖压力F1=；第二块砖在重力及压力的作用下而处于杠杆的平衡状态下，设露出部分长为x，则重心的位置离支点﹣x；则由杠杆的平衡条件可知：G（﹣x）=F1x；则求得：x=L；此图可知，此桥的跨度为：3L+2×L=L；故答案为：L．12．将满偏电流I g=300μA、内阻未知的电流表改装成电压表并进行核对．（1）利用如图所示的电路测量电流表的内阻（图中电源的电动势E=4V ）：先闭合S1，调节R，使电流表指针偏转到满刻度；再闭合S2，保持R不变，调节R′，使电流表指针偏转到满刻度的，读出此时R′的阻值为200Ω，则电流表内阻的测量值Rg= Ω．（2）将该表改装成量程为3V的电压表，需（填“串联”或“并联”）阻值为R0= Ω的电阻．（3）把改装好的电压表与标准电压表进行核对，试在答题卡上画出实验电路图和实物连接图．解：（1）S2闭合，R和R′并联电压相等，各支路电流之和等于总电流．由知 Rg==100Ω（2）利用电流的改装原理，电压表利用串联分压，要串联一个电阻Ro由U=Ig（Rg+Ro）知Ro=9900Ω（3）改装后的电压表电阻较大，对电表进行矫正，滑动变阻选择分压接法，电路原理图如图，根据原理图，连接实物图13．一个地质勘探小分队，在野外河边休息时发现了一种矿石，他们非常想尽快知道这种矿石的密度大约是多少，但是手中只有皮尺、直木棍和针线包中缝衣服用的针和细线，请你帮助他们利用现场可利用的物品，设计一个测定矿石密度的方案，并推导出计算矿石密度的表达式．解：实验方案：（1）用细线悬挂直木棍作支点；（2）用细线拴好矿石挂在支点左侧，在支点的右侧挂一块石头，移动矿石和石块悬挂的位置直到木棍水平平衡；（3）用皮尺分别量出悬挂矿石和石块的点到支点的距离为l1，l2．如图1所示．（4）将矿石浸没在水中，移动挂石块的位置直到木棍再次水平平衡；（5）用皮尺量出悬挂石块的点到支点的距离为l3．如图2所示．矿石密度的表达式：根据杠杠平衡条件：由图1得，G矿l1=G石l2﹣﹣①由图2得，（G矿﹣F浮）l1=G石l3﹣﹣②得，，矿石浸没在水中，所以，，解得：ρ矿=．三．计算题（每题10分，共30分）14．有一均匀的圆柱体A，高为20cm，底面积为200cm2，A的底部中心系一根细线，另一端系在柱形容器底部的中央，容器的底面积为400cm2，细线能承受的最大拉力为12N，当容器内水深为20cm时，圆柱体A有的体积露出水面，此时细线恰好被拉直，细线的拉力刚好为零，如图所示，求：（1）圆柱体A的密度；（2）再向容器内注入水，水面升高到多少时，细线刚好被拉断；（3）当细线被拉断后停止注水，A上浮至静止在水面时，水对容器底部的压强较细线刚好被拉断时变化了多少？解：（1）∵细线恰好被拉直时，细线的拉力刚好为零，∴圆柱体受到的浮力和重力相等，∵F浮=ρ水gV排=ρ水g（1﹣）Sh，G圆柱体=m圆柱体g=ρ圆柱体gV=ρ圆柱体gSh，∴ρ水g（1﹣）Sh=ρ圆柱体gSh，∴ρ圆柱体=ρ水=×1.0×103kg/m3=0.6×103kg/m3；（2）绳重刚拉断时，G圆柱体+F拉=F浮′，此时，圆柱体受到浮力的改变量：△F浮=12N，此时圆柱体排开水体积的增加量：△V排===1.2×10﹣3m3=1200cm3，水面上升的高度：△h===6cm，∴此时水面的高度：h′=h+△h=20cm+6cm=26cm；（3）当细线被拉断后，圆柱体又漂浮，排开水减少了的体积为：△V=1200cm3，此时水面下降的高度：△h′===3cm=0.03m，水对容器底部减少的压强：△p=ρ水g△h′=1.0×103kg/m3×10N/kg×0.03m=300Pa．15．如图所示，当滑动变阻器R2的滑片滑到a端时，开关S闭合，这时电流表示数为0.75A，标有“6V，3W”的小灯泡正常发光；开关S断开，变阻器划片P滑到b端时，电压表示数为4.5V（电源电压和灯丝电阻都保持不变），试求：（1）电阻R1的阻值．（2）滑动变阻器R2的最大阻值．（3）开关S断开，滑片P在a、b中点时，灯L的实际功率．（4）开关S断开，在滑动变阻器与灯泡功率相等的情况下，通电5min20s，灯泡产生的热量是多少？解：（1）灯泡电阻R L===12Ω；通过灯泡的电流I L==0.5A；由题意知电阻R1两端的电压等于灯泡的额定电压，U1=U L=6V；通过电阻R1的电流I1=I A﹣I L=0.75A﹣0.5A=0.25A；所以电阻R1的阻值R1==24Ω．答：电阻R1的阻值为24Ω．（2）灯泡两端的电压U L′=6V﹣4.5V=1.5V；电路电流I==0.125A；所以滑动变阻器的最大阻值R2==36Ω；答：滑动变阻器R2的最大阻值为36Ω．（3）灯泡的实际功率P L实=（）2R L=（）2×12Ω=0.48W；答：灯L的实际功率为0.48W．（4）开关S断开，灯泡与滑动变阻器串联；在滑动变阻器与灯泡功率相等时，根据公式P=UI 可知灯泡与和滑动变阻器两端电压相同；所以灯泡产生的热量为Q L=t==240J．答：灯泡产生的热量是240J．16．一定质量的气体在体积不变的条件下其压强与温度T（T=273+t）的比值始终为一定值，如图，是伽利略温度计，玻璃泡A内封有一定量的气体，与A相连的细管B插入水银槽中，管内水银面高度即可反映出泡内气体温度，即环境温度，并可由B管上的刻度直接读出，B 管体积与A泡相比可忽略不计，在标准气压下对B管刻度，当t1=27℃，管内水银高度为16cm，即刻度为27℃；求：○1当t=10℃时，刻度X应为多少cm？○2此温度计受大气压的影响，若大气压降为75cm汞柱时，据此温度计读出30℃，则实际温度应为多少？解：（1）气体为等容变化，设27℃时气体的压强为P1，温度为T1；10℃时气体的压强为P，温度为T；由题意知：T1=300K，T=273+10=283K，P1=（76﹣16）cmHg=60cmHg；由查理定律得：=得：P=56.6cmHgx0=（76﹣56.6）cm=19.4cm（2）当在1标准大气压下，30℃时，A内气压P’=(273+30)K*60cmHg/300K=60.6 cmHg；所以，30℃的刻度对应的水银柱长度x’=（76﹣60.6）cm=15.4cm此时在75cm汞柱下A泡内气体实际压强P′=75﹣15.4=59.6cmHg由查理定律：=得：T′=298K=25℃。