2019年浙江省杭州市西湖区中考数学一模试卷

2019年浙江省杭州市西湖区中考数学一模试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）比﹣2小1的数是（）
A．2B．0C．﹣1D．﹣3
2．（3分）一个质地均匀的骰子，6个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．若随机投掷一次，则朝上一面的数字恰好是3的倍数的概率是（）
A．B．C．D．
3．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2
4．（3分）若一正方形的面积为20，边长为x，则x的值介于下列哪两个整数之间（）A．2，3B．3，4C．4，5D．5，6
5．（3分）过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线与以下直线的交点在第三象限的是（）A．x＝4B．x＝﹣4C．y＝4D．y＝﹣4
6．（3分）同一根细铁丝可以折成边长为10cm的等边三角形，也可以折成面积为50cm2的长方形．设所折成的长方形的一边长为x，则可列方程为（）
A．x（10﹣x）＝50B．x（30﹣x）＝50
C．x（15﹣x）＝50D．x（30﹣2x）＝50
7．（3分）已知△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则（）
A．sin A＜sin B B．sin B＜sin C C．sin A＜sin C D．sin C＜sin A 8．（3分）在平面直角坐标系中，某二次函数图象的顶点为（2，﹣1），此函数图象与x轴交于P、Q两点，且PQ＝6．若此函致图象经过（1，a），（3，b），（﹣1，c），（﹣3，d）四点，则实数a，b，c，d中为正数的是（）
A．a B．b C．c D．d
9．（3分）在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD＝2，CD＝，则EF＝（）
A．1B．4﹣C．﹣2D．3﹣
10．（3分）已知关于x，y的方程组，以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y 的值始终不变；④当y﹣x＞﹣1时，k＞1．其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）数据12500用科学记数法表示为．
12．（4分）因式分解：x（x+4）+4＝．
13．（4分）已知点A（2，m+1）在反比例函数y＝的图象上，则m＝．14．（4分）如图，AB是半圆的直径，BC⊥AB，过点C作半圆的切线，切点为D，射线CD 交BA的延长线于点E，若CD＝ED，AB＝4，则EA＝．
15．（4分）把直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是．
16．（4分）如图，正六边形ABCDEF中，P，Q两点分别为△ACF，△CEF的内心，若AF ＝1，则PQ的长度为．
三.解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）在平面直坐标系中，有A（2，3），B（2，﹣1）两点，若点A关于y轴的对称点为点C，点B向左平移6个单位到点D．
（1）分别写出点C，点D的坐标；
（2）一次函数图象经过A，D两点，求一次函数表达式．
18．（8分）某校七年级举行一分钟投篮比赛，要求每班选出10名学生参赛，在规定时间内每人进球数不低于8个为优秀，冠、亚军在甲、乙两班中产生，图1、图2分别是甲、乙两个班的10名学生比赛的数据统计图（单位：个）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）将下面的《1分钟投篮测试成绩统计表》补充完整：
平均数中位数方差优秀率
统计量
班级
甲班 6.5 3.4530%
乙班6 4.65
（2）你认为冠军奖应发给哪个班？简要说明理由．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上的一点，DE⊥AB于点E，AC ＝4，BC＝3．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）当DE＝DC时，求AD的长．
20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a≠0）的图象经过点A（4，﹣6），与y轴交于点B，顶点为C（m，n）．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：4a+b＝0；
（3）当a＞0时，判断n+6＜0是否成立？并说明理由．
21．（10分）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C为切点，连结CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连结BE，AO．
（1）求证：AO∥BE；
（2）若tan∠BEO＝，DE＝2，求CO的长．
22．（12分）已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（nm≠0）的图象在同一平面直角坐标系中．（1）若两函数图象都经过点（﹣2，6），求y1，y2的函数表达式；
（2）若两函数图象都经过x轴上同一点；
①求的值；
②当x＞1，比较y1，y2的大小．
23．（12分）如图，已知正方形ABCD，AC交BD于点O，在线段BC上任取一点P（不含端点），连结AP，延长AP交DC延长线于点N，交BD于点M．
（1）当AC＝CN时；
①求∠BAP的度数；
②△AMB和△BMP的面积分别为S1和S2，求的值；
（2）探索线段AM，MP，MN，用等式表示三者的数量关系并证明．
2019年浙江省杭州市西湖区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）比﹣2小1的数是（）
A．2B．0C．﹣1D．﹣3
【分析】比﹣2小1的数，即用﹣2减去1可求得．
【解答】解：﹣2﹣1＝﹣（2+1）＝﹣3．
即比﹣2小1的数为﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查有理数的大小比较及有理数的减法，要清楚法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．
2．（3分）一个质地均匀的骰子，6个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．若随机投掷一次，则朝上一面的数字恰好是3的倍数的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】先找出是3的倍数的个数，再根据概率个数即可得出答案．
【解答】解：∵一个质地均匀的骰子共6个面，分别标有数字1，2，3，4，5，6，其中数字恰好是3的倍数的有2个，
∴朝上一面的数字恰好是3的倍数的概率是＝；
故选：B．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
3．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
4．（3分）若一正方形的面积为20，边长为x，则x的值介于下列哪两个整数之间（）A．2，3B．3，4C．4，5D．5，6
【分析】由一正方形的面积为20，周边长为x，可求得x＝，即可求得答案．【解答】解：∵正方形的面积为20，边长为x，
∴x＝，
∵4＜＜5，
∴x的值介于4和5之间，
故选：C．
【点评】此题考查了无理数大小的估计，注意利用数的平方大小比较是解此题的方法．5．（3分）过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线与以下直线的交点在第三象限的是（）A．x＝4B．x＝﹣4C．y＝4D．y＝﹣4
【分析】根据已知两点判断符合条件的x、y的范围，﹣3＜x＜0，﹣5＜y＜0，结合答案即可；
【解答】解：过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线，与它交点在第三象限，
∴﹣3＜x＜0，﹣5＜y＜0，
只有y＝﹣4符合条件，
故选：D．
【点评】本题考查平面内点的坐标的特点；能够由两点判断出所要求的x、y的范围是解题的关键．
6．（3分）同一根细铁丝可以折成边长为10cm的等边三角形，也可以折成面积为50cm2的长方形．设所折成的长方形的一边长为x，则可列方程为（）
A．x（10﹣x）＝50B．x（30﹣x）＝50
C．x（15﹣x）＝50D．x（30﹣2x）＝50
【分析】设折成的长方形的一边长为xcm，则另一边长为（15﹣x）cm，根据长方形的面积公式结合折成的长方形面积为50cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设折成的长方形的一边长为xcm，则另一边长为（15﹣x）cm，
根据题意得：x（15﹣x）＝50．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及等边三角形的性质，找准等量
关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（3分）已知△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则（）
A．sin A＜sin B B．sin B＜sin C C．sin A＜sin C D．sin C＜sin A
【分析】大边对大角，可得∠C＞∠B，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；依此即可求解．
【解答】解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，
则∠C＞∠B，
则sin B＜sin C．
故选：B．
【点评】考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
8．（3分）在平面直角坐标系中，某二次函数图象的顶点为（2，﹣1），此函数图象与x轴交于P、Q两点，且PQ＝6．若此函致图象经过（1，a），（3，b），（﹣1，c），（﹣3，d）四点，则实数a，b，c，d中为正数的是（）
A．a B．b C．c D．d
【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x轴的交点坐标，从而可以判断a、b、c、d的正负，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），此函数图象与x轴相交于P、Q 两点，且PQ＝6，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），已知图形通过（2，﹣1）、（﹣1，0）、（5，0）三点，
如图，
由图象可知：a＝b＜0，c＝0，d＞0．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．（3分）在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD＝2，CD＝，则EF＝（）
A．1B．4﹣C．﹣2D．3﹣
【分析】连接CE，可得出CE＝CD，由矩形的性质得到BC＝AD，在直角三角形BCE 中，利用勾股定理求出BE的长，由AB﹣AF求出BF的长，由BE﹣BF求出EF的长即可．
【解答】解：连接CE，则CE＝CD＝，BC＝AD＝2，
∵△BCE为直角三角形，
∴BE＝，
又∵BF＝AB﹣AF＝﹣2，
∴EF＝BE﹣BF＝1﹣（）＝3﹣．
故选：D．
【点评】此题考查了矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．10．（3分）已知关于x，y的方程组，以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y 的值始终不变；④当y﹣x＞﹣1时，k＞1．其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．【解答】解：①当k＝0时，原方程组可整理得：
，
解得：，
把代入x﹣2y得：
x﹣2y＝﹣2﹣2＝﹣4，
即①正确，
②解方程组得：
，
若x+y＝0，
则（3k﹣2）+（1﹣k）＝0，
解得：k＝，
即存在实数k，使得x+y＝0，
即②正确，
③解方程组得：
，
∴x+3y＝3k﹣2+3（1﹣k）＝1，
∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，故③正确；
④解方程组得：
，
当y﹣x＞﹣1时，1﹣k﹣3k+2＞﹣1，
∴k＜1，故④错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）数据12500用科学记数法表示为 1.25×104．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将12 500用科学记数法表示为1.25×104．
故答案为：1.25×104．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（4分）因式分解：x（x+4）+4＝（x+2）2．
【分析】直接去括号进而利用公式法分解因式即可．
【解答】解：原式＝x2+4x+4＝（x+2）2．
故答案为：（x+2）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
13．（4分）已知点A（2，m+1）在反比例函数y＝的图象上，则m＝﹣7．【分析】直接把点A（2，m+1）代入反比例函数y＝即可．
【解答】解：∵点A（2，m+1）在反比例函数y＝的图象上，
∴m+1＝﹣，
解得m＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的
坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14．（4分）如图，AB是半圆的直径，BC⊥AB，过点C作半圆的切线，切点为D，射线CD 交BA的延长线于点E，若CD＝ED，AB＝4，则EA＝2．
【分析】根据切线长定理得CD＝CB，再证明CE＝2BC，得∠E＝30°，连接OD，在Rt△ODE得OE，进而得EA．
【解答】解：连接OD，
∵AB是半⊙O的直径，CB⊥AB，
∴CB是⊙O的切线，
∵CD切半⊙O于点D，
∴CD＝CB，
∵CD＝ED，
∴CE＝2BC，
∴∠E＝30°，
∵CD切半⊙O于点D，
∴∠ODE＝90°，
∴OE＝2OD，
∵AB＝4，
∴OA＝OD＝2，
∴OE＝4，
∴AE＝OE﹣OA＝2，
故答案为：2．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，切线的性质与判定，切线长定
理，含30°角的直角三角形的性质，关键是证明∠E＝30°．
15．（4分）把直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是m＞1．
【分析】直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x+3+m，求出直线y＝﹣x+3+m 与直线y＝2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．
【解答】解：方法一：
直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x+3+m，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第一象限，
∴，
解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
方法二：如图所示：
把直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，
则m的取值范围是m＞1．
故答案为：m＞1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横、纵坐标均大于0．
16．（4分）如图，正六边形ABCDEF中，P，Q两点分别为△ACF，△CEF的内心，若AF ＝1，则PQ的长度为﹣1．
【分析】连接PF，QF，作QH⊥EF于H，利用正六边形的性质得到∠BAF＝∠AFE＝∠FED＝120°，AB＝BC＝DC＝DE，则可判断△ACF和△ECF为全等的直角三角形，可计算出CE＝EF＝，CF＝2EF＝2，根据直角三角形内切圆的半径的计算方法得到QH＝，利用内心性质得到∠PFC＝30°，∠QFC＝30°，接着证明△FPQ为等边三角形，然后计算出FQ即可得到PQ的长．
【解答】解：连接PF，QF，作QH⊥EF于H，
∵六边形ABCDEF正六边形，
∴∠BAF＝∠AFE＝∠FED＝120°，AB＝BC＝DC＝DE，
∴∠BAC＝∠DEC＝30°，∠AFC＝∠EFC＝60°，
∴∠CAF＝∠CEF＝90°，
∴△ACF和△ECF为全等的直角三角形，CE＝EF＝，CF＝2EF＝2，
∵P，Q两点分别为△ACF，△CEF的内心，
∴GH为Rt△CEF的内切圆的半径，QH＝＝＝，
FQ平分∠EFC，PF平分∠AFC，
∴∠PFC＝30°，∠QFC＝30°，
∴∠PFQ＝60°，
∵△FCA≌△FCE，
∴FP＝FQ，
∴△FPQ为等边三角形，
在Rt△FQH中，FQ＝2QH＝﹣1，
∴PQ＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了正多边形和圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．熟练掌握正六边形的性质．
三.解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）在平面直坐标系中，有A（2，3），B（2，﹣1）两点，若点A关于y轴的对称点为点C，点B向左平移6个单位到点D．
（1）分别写出点C，点D的坐标；
（2）一次函数图象经过A，D两点，求一次函数表达式．
【分析】（1）．由对称及平移的相关知识，即可得出C和D的坐标；
（2）．用待定系数法即可求得一次函数的表达式．
【解答】解：（1）∵A、B的坐标分别为：A（2，3），B（2，﹣1），
点C与点A关于y轴对称，故C为（﹣2，3），
将点B向左平移6个单位到点D，则D为（﹣4，﹣1）．
（2）设一次函数表达式为y＝kx+b，将A（2，3）和D（﹣4，﹣1）代入得：
解得
故一次函数表达式为y＝．
【点评】本题考查点的对称和平移及用待定系数法求一次函数解析式，在解题中要明确点关于坐标轴对称及平面内点平移的规律，待定系数法求函数解析式为函数问题基本解题方法，因此要理解透彻．
18．（8分）某校七年级举行一分钟投篮比赛，要求每班选出10名学生参赛，在规定时间内每人进球数不低于8个为优秀，冠、亚军在甲、乙两班中产生，图1、图2分别是甲、乙两个班的10名学生比赛的数据统计图（单位：个）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）将下面的《1分钟投篮测试成绩统计表》补充完整：
平均数中位数方差优秀率
统计量
班级
甲班 6.5 6.5 3.4530%
乙班 6.56 4.6530%（2）你认为冠军奖应发给哪个班？简要说明理由．
【分析】（1）根据表格中的数据，可以分别求得甲班的中位数和乙班的平均数、优秀率；
（2）先说明把冠军奖发给哪个班，再根据表格中的数据说明理由即可，本题是一道开放性题目，说的只要合理即可．
【解答】解：（1）由图可得，
甲班的中位数是（6+7）÷2＝6.5，
乙班的平均数是：（3+4+5+6+6+6+7+9+9+10）÷10＝6.5，优秀率是：×100%＝30%，故答案为：6.5，6.5，30%；
（2）冠军应发给甲班，理由：由表格可知，甲乙两班的平均数一样，优秀率一样，但是甲班的中位数大于乙班，说明甲班有一半的学生成绩好于乙班，从方差看，甲班方差小，波动小，学生发挥稳定，故选甲班为冠军．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、算术平均数、中位数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上的一点，DE⊥AB于点E，AC
＝4，BC＝3．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）当DE＝DC时，求AD的长．
【分析】（1）由∠C＝∠DEA＝90°，而∠A是公共角，即可得出△ADE∽△ABC；
（2）可设AD＝x，由△ADE∽△ABC可得＝，根据条件可表示成含x的方程即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB
∴∠DEA＝∠ACB＝90°
而∠A＝∠A
∴△ADE∽△ABC
即得证．
（2）设AD＝x，则由题意知DC＝DE＝4﹣x，
∵AC＝4，BC＝3
∴AB＝5
由△ADE∽△ABC
可得＝
于是有＝
可解得x＝
故当DE＝DC时，AD的长为．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例，从而利用已知线段求未知线段是基本思路．
20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a≠0）的图象经过点A（4，﹣6），与y轴交于点B，顶点为C（m，n）．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：4a+b＝0；
（3）当a＞0时，判断n+6＜0是否成立？并说明理由．
【分析】（1）求当x＝0时y的值即求出二次函数图象与y轴交点B的坐标；
（2）把点A坐标代入二次函数解析式，化简即得求证的结果；
（3）根据顶点坐标公式，用含a、b的式子表示顶点C的纵坐标n，求得n+6的值后由a、b的符号取值判定式子的正负性．
【解答】解：（1）∵x＝0时，y＝﹣6
∴点B坐标为（0，﹣6）
（2）证明：∵二次函数的图象经过点A（4，﹣6）
∴16a+4b﹣6＝﹣6
∴4a+b＝0
（3）当a＞0时，n+6＜0成立，理由如下：
∵n＝
∴n+6＝
∵a＞0，4a+b＝0即b≠0
∴b2＞0
∴＜0
∴n+6＜0成立
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数上点的坐标与解析式之间的关系解题是关键，是二次函数性质运用的常考题型．
21．（10分）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C为切点，连结CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连结BE，AO．
（1）求证：AO∥BE；
（2）若tan∠BEO＝，DE＝2，求CO的长．
【分析】（1）欲证明：AO∥EB，只要证明OA⊥BC，BE⊥BC即可；
（2）在Rt△AOC中，设OC＝r，则AC＝r，OA＝r，在Rt△CEB中，EB＝r，由BE∥OA，推出△DBE∽△DAO，推出，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）证明：连结BC，
∵AB，AC是⊙O的两条切线，B，C为切点，
∴AB＝AC，
又∵OC＝OB，AO＝AO
∴△ACO≌△ABO
∴∠CAO＝∠BAO，
∴OA⊥BC，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CBE＝90°，
∴BE⊥BC，
∴OA∥BE；
（2）∵OA∥BE，
∴∠BEO＝∠AOC，
∵tan∠BEO＝，
∴tan∠AOC＝，
在Rt△AOC中，设OC＝r，则AC＝r，OA＝r，
∴在Rt△CEB中，EB＝r，
∵BE∥OA，
∴△DBE∽△DAO，
∴，
∴，
∴DO＝3，
∴OC＝OE＝DO﹣DE＝3﹣2＝1．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确寻找相似三角形解决问题．
22．（12分）已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（nm≠0）的图象在同一平面直角坐标系中．（1）若两函数图象都经过点（﹣2，6），求y1，y2的函数表达式；
（2）若两函数图象都经过x轴上同一点；
①求的值；
②当x＞1，比较y1，y2的大小．
【分析】（1）由两函数图象都经过点（﹣2，6），得到关于m，n的二元一次方程组，代入函数中即可求解；
（2）①由已知得y2＝nx+m（nm≠0）的图象与x轴的交点为（﹣，0），进而得到y1＝mx2+n的图象也过（﹣，0），从而列出等式得出m和n的关系；
②根据＝﹣1及作差法分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵两函数图象都经过点（﹣2，6），
∴，
∴m＝2，n＝﹣2，
∴y1＝2x2﹣2，y2＝﹣2x+2；
（2）令y2＝0，得y2＝nx+m（nm≠0）的图象与x轴的交点为（﹣，0），
①∵两函数图象都经过x轴上同一点，
∴y1＝mx2+n的图象也过（﹣，0），
∴，nm≠0，
∴＝﹣1；
②由①知m＝﹣n，
∴y1＝mx2﹣m，y2＝﹣mx+m，
∴y1﹣y2＝mx2+mx﹣2m，
∵x＞1，
∴（x﹣1）（x+2）＞0，
∴当m＞0时y1﹣y2＞0，即y1＞y2，
当m＜0时y1﹣y2＜0，即y1＜y2．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，解决本题的关键在于利用作差法比较大小，本题属于中档题．
23．（12分）如图，已知正方形ABCD，AC交BD于点O，在线段BC上任取一点P（不含端点），连结AP，延长AP交DC延长线于点N，交BD于点M．
（1）当AC＝CN时；
①求∠BAP的度数；
②△AMB和△BMP的面积分别为S1和S2，求的值；
（2）探索线段AM，MP，MN，用等式表示三者的数量关系并证明．
【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠ACB＝45°，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可；
②设AD＝a，根据相似三角形的性质得到CP＝（2﹣）a，得到BP＝（﹣1）a，证明△AMD∽△PMB，求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（2）设AD＝x，CN＝y，根据相似三角形的性质求出和，计算即可．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，
∴∠BCN＝90°，
∴∠ACN＝135°，
∵CA＝CN，
∴∠CAN＝∠N＝22.5°，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠N＝22.5°；
②设AD＝a，则AC＝a，
∴CN＝CA＝a，
∴ND＝（+1）a，
∵AD∥BC，
∴△NCP∽△NDA，
∴＝，即＝，
解得，CP＝（2﹣）a，
∴BP＝a﹣（2﹣）a＝（﹣1）a，
∵AD∥BC，
∴△AMD∽△PMB，
∴＝＝＝+1，
∴＝＝+1；
（2）AM2＝MP•MN，
理由如下：设AD＝x，CN＝y，
∵△NCP∽△NDA，
∴＝，即＝，
解得，CP＝，
则BP＝x﹣＝，
∵AB∥CD，
∴△AMB∽△NMD，
∴＝＝，
∵AD∥CB，
∴△AMD∽△PMB，
∴＝＝＝，
∴•＝1，
∴AM2＝MP•MN．
【点评】本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。