初中奥数系列：.圆C级.第01讲.学生版

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九年级数学上学期期中考点大串讲(人教版)：圆

弦，但弦不一定是直径.
B
知识大全
B
3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，
(
简称弧．以A、B为端点的弧记作 AB ，
读作“圆弧AB”或“弧AB”．
➢半圆
·O
C
A
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成
两条弧，每一条弧都叫做半圆．
B
·O
➢劣弧与优弧
(
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;
(
大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.
人教版九年级上册
第24章圆
【十二大考点串讲+素养提升】
思维导图
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考点一、与圆有关的概念
1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
A
C
·
O
注意
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的
2
2
∴ OE=OF
又∵ AB=CD，
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考点五、圆周角及其定理、推论
1.概念：在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的
顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
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2.圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
AB=CD
(3)如果∠AOB=∠COD，那么_______，_______.
(4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，
OE与OF相等吗？为什么？
解：OE=OF.理由如下： ∴ AE=CF

六年级(上)奥数思想第01讲比赛中的推理

第一讲比赛中的推理这一讲我们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题．这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理．在逻辑推理中，特别有用的方法是画示意图或表格，这种方法相信大家并不陌生，用它来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了．例题1编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号一样，那么编号为6的同学赛了几盘？「分析」为了让问题更加直观，我们可以画出一个示意图，用6个点来表示这6个同学．如果两个同学之间比赛过，则把对应的两个点用实线连起来，如果没比赛过，则用虚线连起来．练习1A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛．不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队赛过的场数依次为4、3、2、1．问：这时候A校的足球队已赛过的场数？例题2A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C．那么第五天与A队比赛的是那个队？A B C D E F1 D B2 E C3 F D4 C B5「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示．如图，第二列从上到下依次表示A在5天中分别遇到的对手，第三列表示B在5天中遇到的对手，依此类推．观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习2五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空．已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E比赛；第四天A与C比赛；B与C的比赛在B与D的比赛之前进行．那么C与E在哪一天比赛？例题3甲、乙、丙、丁四个同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：（1）一共有多少场比赛？（2）四个人最后得分的总和是多少？（3）如果最后结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得了多少分？「分析」（1）每两人之间都比赛一场，总比赛场数就是从四个人中挑出两人的方法数；（2）比赛的胜负情况有很多种可能？那么总分也有很多种可能吗？大家考虑一下每场比赛，比赛双方的得分之和就知道了；（3）乙、丙最后的分数一样，由于总分是固定的，这个相同的分数既不能太大，也不能太小，那么会是多少呢？练习3有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，每两队都比赛一场．比赛规定：胜一场得2分，平局各得1分，负一场得0分．全部比赛结束后，A、B两队的总分并列第一名，C队第二名，D队第三名，C队最多得多少分？例题44支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少？「分析」4支球队之间一共比赛了多少场？所有比赛的总分最多是多少，最少是多少？你能由此推断出各队的得分吗？练习4甲、乙、丙、丁4个队举行足球单循环赛．规定：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．已知：（1）比赛结束后4个队的得分都是奇数；（2）甲队总分超过其他各队，名列第一；（3）乙队恰有两场平局，并且其中一场是与丙队平局．那么丁队得了多少分？例题5A、B、C、D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如下：场数胜平负进球失球A 3 2 1 0 2 0B 2 1 1 0 4 3C 2 0 0 2 3 6D问：D赛了几场？D所参与的各场比赛的比分分别是什么？「分析」对于整个表格来说总进球数等于总失球数．总胜场应当等于总负场，平局数为偶数场．另外表格中的A很特别，两胜一平却只进两个球，这说明什么呢？例题6A、B、C、D、E五位同学分别从不同的途径打听到五年级那位获得数学竞赛第一名的同学的情况：A打听到的：姓李，是女同学，13岁，东城区；B打听到的：姓张，是男同学，11岁，海淀区；C打听到的：姓陈，是女同学，13岁，东城区；D打听到的：姓黄，是男同学，11岁，西城区；E打听到的：姓张，是男同学，12岁，东城区．实际上该同学的情况在上面都出现过，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，那么第一名的同学应该是哪个区的，今年多少岁呢？「分析」每个同学打听到的消息都只有一项正确，可谓相当的少！5420⨯=个判断，一共才5个正确的，其中关于姓氏、性别、年龄、地区的判断各有几项是正确的呢？课堂内外足球世界杯世界杯（World Cup，FIFA World Cup），世界足球锦标赛是世界上最高荣誉、最高规格、最高水平的足球比赛，与奥运会并称为全球体育两大顶级赛事，是影响力、转播覆盖率很高的全球体育盛事．世界杯是全球各个国家最梦寐以求的神圣荣耀，哪一支国家足球队能得到它，就是名正言顺的世界第一．整个世界都会为之疯狂沸腾，世界杯上发挥出色的球员都会被该国家奉为民族英雄永载史册，所以它亦代表了各个足球运动员的终极梦想．世界杯每四年举办一次，任何国际足联会员国（地区）都可以派出代表队报名参加这项赛事．世界杯的奖杯为大力神杯，它采用意大利人加扎尼亚的设计方案——两个大力士双手举起地球的设计方案．这个造形象征着世界第一运动的规模．该杯高36.8厘米，重6.175公斤，其中4.97公斤的主体由纯金铸造．底座由两层孔雀石构成，珍贵无比．1974年第十届世界杯赛，德国队作为冠军第一次领取了该杯．国际足联规定新杯为流动奖品，不论哪个队获得多少冠军，也不能永久占有此杯．在大力神杯的底座下面有能容纳镌刻17个冠军队名字的铭牌——可以持续使用到2038年．世界杯32支队伍，在小组赛阶段进行的是单循环比赛，16强阶段进行的是淘汰赛，积分规则是3分制．大力神杯作业：1.A、B、C、D四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知A、B、C三队的成绩分别是：A队二胜一负，B队二胜一平，C队一胜二负．那么D队的成绩是什么？2.3.6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：（1）一共有多少场比赛？（2）6个人最后得分的总和是多少？（3）得分最高的三名同学的分数之和最多是多少？4.5.六个人参加乒乓球比赛，每两人之间都要比赛一场，胜者得2分，负者得0分，没有平局．比赛结束时发现，有两人并列第二名，两人并列第五名．那么第一名和第四名各得了多少分？6.7.足球甲A联赛共有12个足球俱乐部参加，实行主客场双循环赛制，即任何两队分别在主场和客场各比赛一场，胜一场得3分，平一场各得1分，负一场得0分，在联赛结束后按积分的高低排出名次．那么，在积分榜上第一名与第二名的积分差距最多可达多少分？8.9.A、B、C、D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如下：10.11.问：D赛了几场？D所参与的各场比赛的比分分别是什么？第一讲比赛中的推理【答案详解版】例1．答案：3详解：5号已经赛过5盘，说明他和其他5个人都已经赛过了．而1号只赛了一盘，所以1号这一盘是同5号赛的，他同其他四个人都没有赛过，如图1所示．再看4号，他赛过4盘，且同1号没有赛过，所以4号赛过的同学是除1号以外的4个人．而2号只赛过两盘，所以2号只同5号、4号赛过，如图2所示．3号赛过3盘，而且他同1号、2号没有赛过，那么同3号赛过的就是4号、5号和6号，如图3所示．于是我们知道同6号赛过的有3号、4号和5号．他赛了3盘．例2．答案：B 详解：如图4，列出表格后发现，每行、每列各有6个字母，而且同一行或列的6个字母互不相同，只需用这一原则把表格补充完整即可．首先可以确定（2，D ）处应填A ．这是因为第2行已经有E 和C ，第4列已经有D 、B 和F ，所以这一个格不能填这些字母，只能填A ．由于第二天A 与D 比赛，那么对应地（2，A ）处也应填D ．第二天余下的一场就是B 对F ，因而（2，B ）处应填F ，（2，F ）处应填B ．我们用类似的方法推理各行、列，最终把整个表格填出来，得到图5．于是，第五天与A 比赛的球队是B ．例3．答案：6；12；3 详解：（1）6；（2）12；（3）3．（1）详解：从四个人中选出两人，有246C 种方法．每两人之间比赛一场，那么一共就有6场比号5号图135号图2号5号图3赛；（2）详解：不论胜负还是平局，每场比赛两人得分之和都是2分．一共6场比赛，所以四个人最后得分的总和就是2612⨯=分；（3）详解：四个人得分之和是12分，甲得分最高，丁得分最低，而乙、丙得分相同．如果乙、丙得分是4分，则甲得分超过4分，这三人的得分之和已经超过12分，与题意矛盾．因此乙、丙得分最多是3分．如果乙、丙得分是2分，则丁最多得了1分，而甲至少得了122217---=分．但是连胜3场也只能得6分，不可能达到7分，因此乙、丙得分至少是3分．所以乙、丙得分就是3分．例4．答案：4详解：如果比赛分出胜负，那么双方得分之和就是3分；如果平局，双方得分之和就是2分．4支球队之间要进行246C =场比赛，所以总分就要在12分和18分之间．由题意，四支球队的得分是4个连续的自然数．而四个连续自然数的和可能是：01236+++=，123410+++=，234514+++=，345618+++=，…… 在12分和18分之间的只有14和18．如果是3分、4分、5分、6分，总分是18分，那么每场比赛都分出了胜负，但这是不可能的（大家自己想想这是为什么）．所以四个连续的分数为2分、3分、4分、5分．于是第一名得5分，只能是1胜2平；第二名得4分，只能是1胜1平1负；第三名得3分，可能是1胜2负，也可能是3平；第四名得2分，只能是2平1负．其中只有第三名的比赛结果有两种情况．综合考虑第一名、第二名、第四名的胜负情况：他们一共有2胜5平2负．由于总胜场数与总负场数相同，所以第三名只能是3平．容易画出四支队之间的比赛胜负关系，如图6所示．因此输给了第一名的只有第二名，他得了4分．例5．答案：3，A :D =1:0，B :D =4:3，C :D=3:5详解：首先A 两场胜场均为1比0胜出，平局为0比0，而且一定是A 以1比0胜C ，同样以1比0胜D ，0比0平B ，而B 胜的那场胜场以4:3胜出，C 的负场以3比5败北，所以不能是B 胜C ，那么一定是B 胜D ，D 胜C ，所以，D 参加了3场比赛．分别是A :D =1:0，B :D =4:3，C :D=3:5．例6．答案：海淀区，12岁详解：5420⨯=个判断，一共才5个正确的，可以推断出第一名同学的姓名、性别、年龄、城区，分别有1项、2项、1项、1项是正确的．先来看性别，有2项正确，那么第一名是女同学；再来看年龄，2个人说是13岁，2个人说是11岁，只有1个人说是12岁，由于只有1项消息正确，则第一名是12岁；再看城区，3人说东城区，1人说海淀区，1人说西城区，那么第一名在海淀区或第一名1胜2平第二名 1胜1平1负第三名3平第四名 2平1负图6者西城区；类似地，可以分析出第一名同学姓李，或姓陈，或姓黄．综合考虑第一名同学的姓名与城区，就很容易判断出唯一的答案：姓黄，是女同学，12岁，海淀区．练习答案：练习1答案：赛2场简答：连线，从胜得最多的和胜得最少的队伍入手分析．练习2答案：第五天简答：列表分析，用*表示轮空，可得下图．练习3答案：3简答：四人总得分是12分，其中C 的分数肯定小于1234÷=分，所以得分不多于3分．四人分别得4分、4分、3分、1分是容易构造出来的，所以C 队得分最多就是3分．练习4答案：3简答：先推断出各队得分分别为7分、5分、3分、1分，然后分析胜负情况即可．图1作业：12. 答案：一平二负．简答：B 队有一平，只可能平D ，所以对A 、C 是二胜．于是A 的两胜是赢了C 和D ．故C 的一胜是胜D ，于是D 的成绩是一平二负．13.14. 答案：（1）15；（2）30；（3）24．简答：（1）；（2）；（3）． 15.16. 答案：10；4．简答：并列第五名的两人至少要各赢1场，所以第四名至少要赢2场，并列第二名至少要各赢3场，第一名至少要赢4场．，而一共要进行15场比赛，所以只能是第一名赢5场得10分，第四名赢2场得4分．17.18. 答案：46．简答：第一名要积分多，最好是要22场全胜，得66分．剩下的11支球队还要比赛（场），每场比赛两队合起来至少得2分，于是剩下11队总共至少得220分．因此得分最多的队伍至少有分，当这11队全平时，第二名只能得20分，因此分差最大为46分．19.20. 答案：2；A 与D 是1:0、B 与D 是1:0．21. 简答：由A 全胜，且进球数为3，可知A 与其他三队的比分都是1:0．B 赛了三场，且两胜一负，所以B 胜C ，而C 只比了两场，进球数为0，所以B 与C 的比分是3:0；而B 与D 只能是1:0．2201120÷= 2112110C ⨯= 12232414⨯++⨯+= 303224-⨯= 15230⨯=2615C =。

初中奥数系列：.勾股定理C级.第01讲.学生版

1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

CAB cba2．勾股定理的证明：知识点睛中考要求勾股定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

4．勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17板块一、勾股定理【例1】如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ， CD ， EF ， GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GH D ．AB ，CD ，EF例题精讲奥数精品 FHGEDBC A【例2】如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（） A ．x y = B ．x y > C ．x y < D ．不确定CA【例3】如图,点P 是AOB ∠的角平分线上一点，过点P 作//PC OA 交OB 于点C .若60,4AOB OC ∠== ,则点P 到OA 的距离PD 等于__________.PODC BA【例4】已知Rt ABC ∆斜边AB 的长为5cm 2，两直角边的差为1cm 2，求三角形的周长及斜边上的高.【例5】如图，已知Rt ABC △的周长为22AB =，求这个三角形的面积.ACB。

六年级上册秋季奥数培优讲义——6-01-圆的周长和面积1-讲义-学生

第1讲圆的周长和面积【学习目标】1、进一步学习圆的周长计算；2、进一步学习圆的面积计算。

【知识梳理】1、周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

公式：C=πd 或 C=2πd2、面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。

公式：Ｓ＝πｒ²3、半圆的周长公式：Ｃ＝πd ÷2＋d 或Ｃ＝πr ＋2r圆周长的一半=πr4、半圆的面积：公式为：Ｓ＝πｒ²÷2（半圆面积＝圆的面积÷2）5、圆环的面积：S=πR ²－πｒ² 或 S=π（R ²－ｒ²）（其中R ＝r ＋环的宽度）。

6、扇形弧长：扇形中的曲线部分线条的长度，用L 表示弧长，L=r 180n π。

扇形面积：扇形的面积S=3602r n π（n 是扇形圆心角的度数）。

【典例精析】【例1】如图，有三根直径都是2分米的圆柱形木材，想用一根绳子把它们捆成一捆，捆三圈最短需要分米长的绳子。

（打结处强长不计，工取3.14)【趁热打铁-1】如图，春节时，商店出售直径为10厘米的图柱形礼花。

每7个用彩带捆成一捆，每捆需要彩带________厘米。

（接头不计，π取3.14)【例2】将两个半径分别为3cm 、5cm 的半圆如图放置,求涂色部分的周长.【趁热打铁-2】右图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_____厘米(π=3.14)。

【例3】如图是有4个41扇形和1个正方形构成，如果正方形的边长为2，求这个图的周长。

【趁热打铁-3】有一只狗被拴在一建筑物的墙角A 处，这个建筑物是底面边长为8m 的正方形，栓狗的绳子长20米，现在狗从P 点出发（如图），将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑多少米？【例4】如右图把圆分成若干，等份拼剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的宽为5厘米，长是厘米。

【趁热打铁-4】如图，把半径为3dm的圆分成若干等分后，拼成一个近似的长方形，则这个长方形的长是 dm，宽是 dm，该长方形的周长是 dm，面积是 dm²，该圆的周长是 dm，面积是 dm²。

九年级奥数培训和圆有关的比例线段-奥数精讲与测试

知识点、重点、难点在圆中,有相交弦定理、切割线定理及其推论,这些定理统称圆幂定理。

1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。

推论：若弦与直径垂直相交,则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。

2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。

3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理； (2)找相似三角形,当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时,通常是由“三点定形法”证三角形相似,其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。

圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系,它们之间有着密切的联系,我们应当熟悉以下基本图形。

例题精讲例1：如图,已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点,过点A 作⊙1O 的切线,交⊙2O 于点C ,过点B 作两圆的割线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ,DE 与AC 相交于点P .当AD 与⊙2O 相切,且PA = 6,PC =2,PD =12时,求AD 的长。

解连结AB .因为CA 切⊙1O ；于点A ,所以∠1 =∠D ．又∠1=∠E ,所以∠D =∠E .又∠2=∠3,所以△APD ∽△CPE ,所以PA PDPC PE=, 即PA ·PE = PC ·PD ．因为PA =6,PC =2,PD =12,得6×PE =2×12,得PE =4.由相交弦定理得PE ·PB =PA ·PC ,所以4PB =6×2,得PB =3.所以BD = PD －PB =9,DE =DP ＋PE =12＋4=16.因为DA 切⊙2O 于点A ,所以DA 2= DB ·DE ,即AD 2=9×16,得AD ＝12.例2：如图,已知圆内接四边形ABCD ,延长AB 、DC 交于E ,延长AD 、BC 交于F ,EM 、FN 为圆的切线,分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧,两弧交于K ,求证：EK ⊥FK ．证明连结EF ,过B 、C 、E 三点作圆交EF 于H ,连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆,所以∠1=∠2.因为A 、B 、C 、D 共圆,所以∠1=∠3,于是∠2 =∠3,故D 、C 、H 、F 共圆．由切割线定理得EM 2=EC ·ED=EH ·EF ,FN2= FC ·FB=FH ·FE ,所以EM2＋FN 2=(EH ＋FH )·EF =EF 2．又因为EM=EK ,FN=FK ,所以EK 2＋FK 2=EF 2．故△EKF 为直角三角形,且∠EKF =90°,即EK ⊥FK .例3：如图,⊙1O 与⊙2O 相交于P 、Q 两点,在公共弦QP 延长线上取一点M ,过M 作两圆割线分别交两圆于A 、B 、C 、D . 求证：.AD BD DMAC CB CM=证明由切割线定理得MA ·MB = MP ·MQ =MC ·MD ,所以A 、B 、D 、C 四点共圆,可得∠ADB =∠ACB .又11sin ,sin 22ADB ACB S AD BD ADB S AC BC ACB ∆∆=∠=∠,所以.ADB ACB S AD BDS AC BC∆∆=过C 作CG ⊥MB ,垂足为G ,过D 作DH ⊥MB ,垂足为H .所以CG ∥DH ,得△MGC ∽△MHD ,得.ADB ACB S DH DMS CG CM∆∆==所以AD BD AC BC =.DMCM例4：如图,两个同心圆的圆心为O ,大圆的弦AD 交小圆于B 、C ,大圆的弦AF 切小圆于E ,经过B 、E 的直线交大圆于M 、N ,求证：(1) AE 2= BN ·EN ；(2)若AD 经过圆心O ,且AE = EC ,求 ∠AFC 的度数。

初中奥数讲义_辅助圆附答案

【例题求解】【例1】如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为．(全国初中数学联赛题)思路点拨连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键．注：圆具有丰富的性质：(1)圆的对称性；(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；(3)与圆相关的角；(4)圆中比例线段．适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．【例2】如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则AD·DC等于( ) A．6 B．7 C．12 D．16(“TI”杯全国初中数学竞赛题)思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．思路点拨先作出△ABC 的外心O ，连PO 、OQ ，将问题转化为证明角相等．【例4】如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ．求证：CDPCPD PB．思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD 与△PCD 相似证明．PA 2=PD ·PO=PB ·PC ，B 、C 、O 、D 共圆，这样连OB ，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．【例5】如图，在△ABC 中，高BE 、CF 相交于H ，且∠BHC=135°，G 为△ABC 内的一点，且GB=GC ，∠BGC ＝3∠A ，连结HG ，求证：HG 平分∠BHF ．思路点拨经计算可得∠A=45°，△ABE ，△BFH 皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=22.5°．由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC ，得B 、G 、H 、C 四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．学力训练1．如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为．(北京市竞赛题)2．如图，在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点P l 、P 2，…P 100，记C P BP AP m i i i i ⋅+=2（i=1，2，…100），则10021m m m +++ = ．3．设△ABC 三边上的高分别为AD 、BE 、CF ，且其垂心H 不与任一顶点重合，则由点A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四点可以确定的圆共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个(2000年太原市竞赛题)4．如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( ) A ．k 21倍 B ．是k 倍 C ．k 2 D ．k15．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2 1D ．不小于3的整数(全国初中数学联赛题)6．如图，AD 、BE 是锐角三角形的两条高，S △ABC = 18，S △DEC =2，则COSC 等于( ) A ．3 B ．31 C ． 32D ．437．如图；已知H 是△ABC 三条高的交点，连结DF ，DE ，EF ，求证：H 是△DEF 的内心． 8．如图，已知△ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD ⊥AB ，TE ⊥AC ．求证：(1)∠AHD=∠AHE ；(2)CECHBD BH =(陕西省竞赛题)9．如图，已知在凸四边形ABCDE 中，∠BAE=3α，BC=CD=DE ，且∠BCD=∠CDE=α2180- ．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK ，(全国初中数学联赛题)10．如图，P 是⊙O 外一点，PA 和PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，P O 与AB 交于点M ，过M 任作⊙O 的弦CD ．求证：∠CPO=∠DPO ．11．如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O A 、B 两点，与ST 交于点C ．求证：)11(211PBPA PC += (国家理科实验班招生试题)参考答案。

九年级数学上册-24.1.1圆-第一课

根据圆的形成定义
2 你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚的看出树木生长的年龄,如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径每年增加多少?.
解: 23÷2÷20=0.575cm
答: 这棵红衫树的半径每年增加0.575cm
与圆有关的概念
弦
连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆”。这是古希腊的数学家毕达哥拉斯一句话。圆也是一种和谐、美丽的图形，无论从哪个角度看，它都具有同一形状。
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
学习目标
• 1、理解并识记圆、圆心、半径、直径、弦，圆弧、半圆、等圆、等弧的概念。 • 2、认真弄懂例1的解题格式和步骤。
线段OA叫做半径
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
讨论下面几个问题并动手画一画。 • 以2厘米为半径能画几个圆？ • 在同一个平面内，以点O为圆心能画几个圆？ • 在同一个平面内，以点O为圆心2厘米为半径，能画几个圆？ • 确定一个圆由哪几个要素决定？
确定一个圆由2个要素决定：圆心和半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
认真看课本24章章前图----80页。5分钟时间。
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
A
固定的端点O叫做圆心
O
r
·
我国古人很早对圆就有这样的认识了，战国时的《墨经》就有 “圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径．

第01讲比赛中的推理(学生版)-五升六暑期数学奥数培优讲义

一、比赛中的推理（六上）第1讲比赛中的推理五升六暑期知识点备注一、连线对阵图1、编号为1，2，3，4，5，6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1，2，3，4，5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为6的同学赛了几盘？二、用类似数独的方法求解问题2、A ，B ，C ，D ，E ，F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B 对D ，第二天C 对E ，第三天D 对F ，第四天B 对C ．请问：第五天与A 队比赛的是哪支队伍？3、墨莫在纸上写下了10组数据：14073，63136，29402，35862，84271，79588，42936，98174，50811，07145，卡莉娅看到说她的游戏编号也是一个五位数码，恰好每一组数据与她的游戏编号都只有一个数位上的数字相同，这个编号是多少？课堂例题4、小王和小李酷爱打牌，而且推理能力都很强：一天，他们和华教授围着桌子打牌，华教授给他们出了道推理题．华教授从桌子上抽取了如下l8张扑克牌：红桃A，Q，4；黑桃J，8，4，2，7，3，5；草花K，Q，9，4，6，10；方块A，9．华教授从这18张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉小王，把这张牌的花色告诉小李．然后，华教授问小王和小李：“你们能从已知的点数或花色中推断出这张牌是什么牌吗？”小王：“我不知道这张牌．”小李：“我知道你不知道这张牌．”小王：“现在我知道这张牌了．”小李：“我也知道了．”那么这张牌是什么？三、与场次数、积分排名相关问题5、甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：（1）一共有多少场比赛？（2）四个人最后得分的总和是多少？（3）如果最后结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁是最后一名，那么乙得了多少分？6、四支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少？7、有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜者得3分，负者得0分，如果踢平，两队各得1分．现在甲、乙和丙分别得7分、1分和6分．已知甲和乙踢平，那么丁得多少分？四、与得失球数相关内容8、（龙校四年级春季）2015年亚洲杯足球赛小组赛中国队被分在B组，同组四支球队举行单循环比赛，下表给出小组赛结束之后比赛结果：球队比赛场次胜平负进球数失球数乌兹别克斯坦 3 0 1 5 3中国 3 0 2沙特 3 0 5 5朝鲜 3 3 2 7（1）请将表格内空缺处补充完整；（2）根据此表格有人猜测中国队对朝鲜队的比分可能是2:0，你认为有可能吗？为什么？9、A，B，C，D四个足球队进行循环比赛．赛了若干场后，A，B，C三队的比赛情况如图：场数胜平负进球失球A 3 2 1 0 2 0B 2 1 1 0 4 3C 2 0 0 2 3 6D问：D赛了几场？D赛的几场的比分各是多少？五、其它问题10、A，B，C，D，E五位同学分别从不同的途径打听到五年级数学竞赛获得第一名的那位同学的情况：A打听到的：姓李，是女同学，13岁，东城区；B打听到的：姓张，是男同学，11岁，海淀区；C打听到的：姓陈，是女同学，13岁，东城区；D打听到的：姓黄，是男同学，11岁，西城区；E打听到的：姓张，是男同学，12岁，东城区．实际上第一名同学的情况在上面都出现过，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，那么第一名的同学应该是哪个区的，今年多少岁呢？11、老师在A、B、C每个人头顶上带一个帽子，每个帽子上都有一个大于0的自然数，A、B、C每个人可以看见别人帽子上的数，但是看不见自己帽子上的数．老师对他们说：“3个数可以组成一个加法算式．”老师问A：“你知道你的数吗？”A说：“不知道．”老师问B：“现在你知道你的数吗？”B说：“我还是不知道．”老师又问C：“现在你知道你的数吗？”C说：“刚才我不知道，现在知道了，是2000．”则A、B各是多少？1、五个国家足球队A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空．已知第一天比赛的是A 与D ，C 轮空；第二天A 与B 比赛，E 轮空；第三天A 与E 比赛；第四天A 与C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行．那么C 与E 在哪一天比赛？2、有A 、B 、C 、D 四支足球队进行单循环比赛，每两队都比赛一场．比赛规定：胜一场得2分，平局各得1分，负一场得0分．全部比赛结束后，A 、B 两队的总分并列第一名，C 队第二名，D 队第三名，C 队最多得多少分？3、（金帆四年级春季）甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？4、A 、B 、C 、D 四个队举行足球循环赛(即每两个队都要赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知: (1)比赛结束后四个队的得分都是奇数； (2)A 队总分第一；(3)B 队恰有两场平局，并且其中一场是与C 队平局．那么，D 队得多少分？随堂练习5、（龙校四年级春季）2014年巴西世界杯足球赛小组赛结束后，东道主巴西所在的A 组比赛结果如下所示：（1）请将表格内空缺处补充完整（2）根据此表有人猜测克罗地亚对喀麦隆的比分可能是1:0，你认为有可能吗？为什么？6、甲、乙、丙三名选手参加马拉松比赛．起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲的位置共发生了7次变化．比赛结束时甲是第__________名。

九年级数学奥数知识点专题精讲---四点共圆

知识点、重点、难点四点共圆是圆的基本内容，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多，解法灵活，综合性强，题型广泛，因而历来是数学竞赛的热点内容。

在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。

因此，掌握四点共圆的方法很重要。

判定四点共圆最基本的方法是圆的定义：如果A、B、C、D四个点到定点O的距离相等，即OA＝OB＝OC＝OD，那么A、B、C、D四点共圆．由此，我们立即可以得出1.如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。

将上述判定推广到一般情况，得：2.如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

3.如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

4.如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，那么这两个三角形的四个顶点共圆。

运用这些判定四点共圆的方法，立即可以推出：正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。

其实，在与圆有关的定理中，一些定理的逆定理也是成立的，它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法．这就是：1.相交弦定理的逆定理：若两线段AB和CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。

2．割线定理的逆定理：若相交于点P的两线段PB、PD上各有一点A、C，且PA·PB =PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。

3.托勒密定理的逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA= AC·BD，则ABCD是圆内接四边形。

另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际是同一个圆。

例题精讲例1：如图，P为△ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上。

人教版初三(上)数学第66讲：圆(学生版)(著名机构讲义)

圆__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.掌握与圆有关的概念、圆周角定理；2.掌握圆的有关概念、定理的应用.1．圆的定义：(1)线段OA 绕着它的一个端点O 旋转________，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆．记作⊙O ，读作圆O.点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

确定一个圆需要两个条件：第一是圆心，第二是半径。

(2)圆是到_______的距离等于_________的点的集合．2.弦和直径：(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。

直径等于半径的两倍。

3.弧：(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B 为端点的的弧记作AB ⌒,读作弧AB.(2)半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如ACB ⌒.小于半圆的弧叫做劣弧，如AB ⌒。

（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。

（图一）（图二）4. 同心圆与等圆（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。

（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。

如图二中的⊙O 1与⊙O 2的半径都是r,它们是等圆。

同圆或者等圆的半径相同。

（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。

5．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在__________的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的_____________．(2)圆周角：顶点在__________，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；_________________，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为_______．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是____________．⑤圆内接四边形的对角_______；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．1.圆的基本概念【例1】下列说法中，不正确的是（）A.过圆心的弦是圆的直径B. 等弧的长度一定相等C.周长相等的两个圆是等圆D. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧【解析】A.过圆心的弦是圆的直径，说法正确；B. 等弧的长度一定相等，说法正确；C. 周长相等的两个圆是等圆，说法正确；D. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，应是在同圆或等圆中，同一条弦所对的两条弧一定是等弧；【答案】D练习1.车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（）A．同弧所对的圆周角相等B．直径是圆中最大的弦C．圆上各点到圆心的距离相等D．圆是中心对称图形练习2.下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③过圆内一点有无数多条弦，这些弦都相等；④直径是圆中最长的弦．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.圆周角定理【例2】（2014泉州中考）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠O=40°，则∠C=（）A. 20°B. 40°C.50°D.80°【解析】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠C=∠O=20°。

4` 数论.余数问题(ABC级).学生版

一、带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵ 余数小于除数．二、三大余数定理：1. 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22. 余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

知识框架余数问题－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

初中圆的定义教案

初中圆的定义教案教学目标：1. 让学生理解圆的概念，掌握圆的基本性质。

2. 培养学生观察、思考、交流的能力。

3. 培养学生运用圆的知识解决实际问题的能力。

教学重点：1. 圆的定义及基本性质。

2. 圆的画法。

教学难点：1. 圆的半径与直径的关系。

2. 圆的周长和面积的计算。

教学准备：1. 圆的模型或实物。

2. 圆规、直尺、铅笔等绘图工具。

3. 课件或黑板。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生展示一些生活中的圆形物体，如硬币、篮球、地球等，引导学生观察并思考这些物体的共同特征。

2. 学生分享观察结果，教师总结：这些物体的共同特征是它们都有一个圆形的外观。

二、新课导入（10分钟）1. 教师提问：什么是圆？2. 学生根据生活经验尝试回答，教师总结：圆是平面上所有点到一个固定点（圆心）的距离相等的点的集合。

3. 教师讲解圆的半径和直径的概念，并展示实物或课件进行解释。

4. 学生跟随教师一起画一个圆，并标注半径和直径。

三、课堂练习（10分钟）1. 学生独立完成教材上的练习题，巩固圆的定义和性质。

2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。

四、圆的画法（10分钟）1. 教师讲解圆的画法，演示如何使用圆规和直尺画一个圆。

2. 学生跟随教师一起练习画圆，并尝试画出不同大小的圆。

五、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结圆的定义、性质和画法。

2. 学生分享自己的学习收获和感受。

六、作业布置（5分钟）1. 学生回家后，用圆的知识设计一个简单的几何图案，并写在日记中，记录自己的学习心得。

教学反思：本节课通过生活实例导入，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

在教学过程中，注重学生的主体地位，鼓励学生积极参与，培养学生的观察、思考和交流能力。

通过课堂练习和画圆的实践活动，巩固所学知识，提高学生的动手操作能力。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标，学生在轻松愉快的氛围中学习了圆的定义和基本性质。

九年级奥数培训圆和圆的位置关系-奥数精讲与测试

知识点、重点、难点两圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切（内切或外切）、两圆相离、两圆内含。

设两个圆为⊙1O 、⊙2O ,半径分别为1R 、2R ,且1R ≥2R ,1O 与2O 的距离为d ,那么,12d R R >+⇔两圆相离⇔4条公切线(2条外公切线,2条内公切线)； 12d R R =+⇔两圆外切⇔3条公切线(2条外公切线,1条内公切线)； 1212R R d R R -<<+⇔两圆相交⇔2条公切线(2条外公切线,无内公切线)；12d R R =-⇔两圆内切⇔条公切线(1条外公切线,无内公切线)； 1d R R <-⇔两圆内含⇔无公切线。

两圆的内（外）公切线的长为2212()l d R R =-+内；2212().l d R R =--外由圆的对称性知：若两圆相交,则两圆的连心线垂直平分公共弦。

若两圆有两条外（内）公切线,那么这两条外（内）公切线长相等。

若两条外（内）公切线相交,那么交点在连心线上,并且连心线平分两公切线所夹的角。

例题精讲例1：如图,过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PN ,N 为切点。

令PN 的中点为M ,过PM 的圆与⊙O 交于A 、B ,BA 的延长线与PM 交于点Q ,求证： PM =3MQ ．解因PN 为切线,由切割线定理知 NQ 2= QA ·QB = QM ·QP .设QM =x ,QN =y ,于是MP = MN =x ＋y (x ＞0,y ＞0),故QP ＝x ＋(x ＋y )= 2x ＋y ,所以2y =x (2x + y ),即222x xy y +-=0.由此得(x ＋y )(2x－y )=0,故2x = y 或x =－y (舍去）,MP=x ＋y = 3x = 3MQ .例2：如图,△ABC 的内切圆切BC 边于D ,求证△ABD 和△ACD 的内切圆相外切。

解设E 、F 为△ABC 内切圆与AC 、AB 的切点,1T 、2T 分别为⊙1O 、 ⊙2O 与AD 的切点,于是BF = BD ,CE =CD .122AB BD AB AB BD AF BFDT +-+--==.2AD AF -=同理2.2AD AEDT -=又AE = AF ,所以12DT DT =,即1T 与2T 重合．所以⊙1O 与⊙2O 切于1T 点。

(word完整版)初三数学圆的经典讲义

(w o r d完整版)初三数学圆的经典讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试1一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。

如下图：23考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。

考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。

例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

初中奥数讲义_圆的基本性质附答案

【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为．作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系．注：由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( ) A ．2 B ．25C ．45D ．16175思路点拨所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．【例3】如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．思路点拨用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．【例4】如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ． (1)求∠COA 和∠FDM 的度数； (2)求证：△FDM ∽△COM ；(3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论．思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG=21OA=21OC ；(2)证明∠COM=∠FDM ，∠CMO= ∠FMD ；(3)利用图甲的启示思考．注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形⌒ ⌒⌒⌒相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)．【例5】已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3． (1)求证：AF ＝DF ； (2)求∠AED 的余弦值；(3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积．思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝AEEN，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值．注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．学历训练1．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD ＝3cm ，则过点D 的所有弦中，最小弦AB= ． 2．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖．例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；(3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．(2003年南京市中考题)3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．a．是轴对称图形但不是中心对称图形．b．既是轴对称图形又是中心对称图形．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为( ) A．12cm B．10cm C． 8cm D．6cm5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )A ．2B ．25 C ．3 D ．3166．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与E 的大小关系是（）A ．AB+CD ＝EFB ．AB+CD=FC ． AB+CD<EFD ．不能确定7．电脑CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU 芯片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm ，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)．8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数． 9．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ． (1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒⌒ ⌒10．以AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆上一点，且OC 2＝AC ×BC ，则∠CAB= ．11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为．12．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．13．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为．14．如图1，在平面上，给定了半径为r 的圆O ，对于任意点P ，在射线OP 上取一点P ′，使得OP ×OP ′=r 2，这种把点P 变为点P ′的变换叫作反演变换，点P 与点P ′叫做互为反演点．(1)如图2，⊙O 内外各有一点A 和B ，它们的反演点分别为A ′和B ′，求证：∠A ′=∠B ；(2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形． ①选择：如果不经过点O 的直线与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是( )A ．一个圆B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是，该图形与圆O 的位置关系⌒⌒是．15．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB=BD ，且PC=0．6，求四边形ABCD 的周长．16．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB ×AC ．17．将三块边长均为l0cm 的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他因素，精确到0．1cm)18．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根． (1)求线段OA 、OB 的长；(2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标；(3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．⌒ ⌒参考答案。

奥数天天练——旋转与轨迹（学生版）

奥数天天练——旋转与轨迹（学⽣版）【例 1】正三⾓形ABC 的边长是6厘⽶，在⼀条直线上将它翻滚⼏次，使A 点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘⽶？如果三⾓形⾯积是15平⽅厘⽶，那么三⾓形在滚动过程中扫过的⾯积是多少平⽅厘⽶？(结果保留π)【巩固】直⾓三⾓形ABC 放在⼀条直线上，斜边AC 长20厘⽶，直⾓边BC 长10厘⽶．如下图所⽰，三⾓形由位置Ⅰ绕A 点转动，到达位置Ⅱ，此时B ，C 点分别到达1B ，1C 点；再绕1B 点转动，到达位置Ⅲ，此时A ，1C 点分别到达2A ，2C 点．求C 点经1C 到2C ⾛过的路径的长．60?30?B 1C 1C 2A 2CB AⅢⅡⅠ【巩固】如图，⼀条直线上放着⼀个长和宽分别为4cm 和3cm 的长⽅形Ⅰ．它的对⾓线长恰好是5cm ．让这个长⽅形绕顶点B 顺时针旋转90°后到达长⽅形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A 到达点E 的位置．求点A ⾛过的路程的长．ⅣⅢⅡⅠEDCBA【例 2】草场上有⼀个长20⽶、宽10⽶的关闭着的⽺圈，在⽺圈的⼀⾓⽤长30⽶的绳⼦拴着⼀只⽺(见如图)．问：这只⽺能够活动的范围有多⼤？(圆周率取3.14)【巩固】⼀只狗被拴在底座为边长3m的等边三⾓形建筑物的墙⾓上(如图)，绳长是4m，求狗所能到的地⽅的总⾯积．(圆周率按3.14计算)3【例3】如图是⼀个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针⽅向旋转60?，此时B点移动到'B 点，求阴影部分的⾯积．(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)．BA【例4】如图所⽰，直⾓三⾓形ABC的斜边AB长为10厘⽶，60∠=?，此时BC长5厘⽶．以点B为ABC中⼼，将ABC顺时针旋转120?，点A、C分别到达点E、D的位置．求AC边扫过的图形即图中阴影部分的⾯积．(π取3)E【巩固】如右图，以OA 为斜边的直⾓三⾓形的⾯积是24平⽅厘⽶，斜边长10厘⽶，将它以O 点为中⼼旋转90?，问：三⾓形扫过的⾯积是多少？(π取3)【巩固】(2008年“学⽽思杯”数学试题)如图，直⾓三⾓形ABC 中，B ∠为直⾓，且2BC =厘⽶，4AC = 厘⽶，则在将ABC ?绕C 点顺时针旋转120?的过程中，AB 边扫过图形的⾯积为．(π 3.14=)CB AB'A'C B A【例 5】如图，ABC ?是⼀个等腰直⾓三⾓形，直⾓边的长度是1⽶．现在以C 点为圆⼼，把三⾓形ABC 顺时针转90度，那么，AB 边在旋转时所扫过的⾯积是平⽅⽶．(π 3.14=)ABC(B')A B【例 6】 (祖冲之杯竞赛试题)如图，ABCD 是⼀个长为4，宽为3，对⾓线长为5的正⽅形，它绕C 点按顺时针⽅向旋转90 ，分别求出四边扫过图形的⾯积．CBD A【例 7】 (2004年第九届华杯赛初赛)半径为25厘⽶的⼩铁环沿着半径为50厘⽶的⼤铁环的内侧作⽆滑动的滚动，当⼩铁环沿⼤铁环滚动⼀周回到原位时，问⼩铁环⾃⾝转了⼏圈？【巩固】如果半径为25厘⽶的⼩铁环沿着半径为50厘⽶的⼤铁环的外侧作⽆滑动的滚动，当⼩铁环沿⼤铁环滚动⼀周回到原位时，问⼩铁环⾃⾝转了⼏圈？【巩固】如图所⽰，⼤圆周长是⼩圆周长的n(1n )倍，当⼩圆在⼤圆内侧(外侧)作⽆滑动的滚动⼀圈后⼜回到原来的位置，⼩圆绕⾃⼰的圆⼼转动了⼏周？【例8】如图，15枚相同的硬币排成⼀个长⽅形，⼀个同样⼤⼩的硬币沿着外圈滚动⼀周，回到起始位置．问：这枚硬币⾃⾝转动了多少圈？【巩固】12个相同的硬币可以排成下⾯的4种正多边形(圆⼼的连线)．⽤⼀个同样⼤⼩的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈⽆滑动地滚动⼀周．问：在哪个图中这枚硬币⾃⾝转动的圈数最多，最多转动了多少圈？【例 9】⼀枚半径为1cm 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌⾯上，让⼀枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置，那么与原A 点重合的点是______．硬币⾃⼰转动______，硬币圆⼼的运动轨迹周长为_______．【例 10】先做⼀个边长为2cm 的等边三⾓形，再以三个顶点为圆⼼，2cm 为半径作弧，形成曲边三⾓形(如左图)．再准备两个这样的图形，把⼀个固定住(右图中的阴影)，另⼀个围绕着它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过的⾯积是多少平⽅厘⽶？(π 3.14 )CBA 222【练1】取⼋个⼤⼩相同的硬币，摆成右图形状。

【推荐】奥数：定义新运算.学生版

定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，知识点拨教学目标定义新运算“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型【例 1】若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。

【巩固】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。

6△（3△4）【巩固】设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____.【巩固】 P 、Q 表示数，*P Q 表示2P Q +，求3*(6*8)【巩固】已知a ,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2a b ab ⊗=-,那么[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗= .【巩固】 M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=【巩固】规定运算“☆”为：若a >b ，则a ☆b =a ＋b ；若a =b ，则a ☆b =a －b ＋1；若a <b ，则a ☆b =a ×b 。

初中数学竞赛奥数培优资料第三辑专题23 圆与圆的位置关系

专题23圆与圆的位置关系【阅读与思考】两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质.解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有：1.相交两圆作公共弦或连心线；2.相切两圆作过切点的公切线或连心线；3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形.熟悉以下基本图形和以上基本结论.【例题与求解】【例1】如图，大圆⊙O 的直径a AB cm ，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形3241O O O O 的面积为________cm 2.（全国初中数学竞赛试题）解题思路：易证四边形3241O O O O 为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长.【例2】如图，圆心为A ，B ，C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切.若⊙A ，⊙B ，⊙C 的半径分别为a ，b ，c （b a c <<<0），则a ，b ，c 一定满足的关系式为（）A .c a b +=2B .c a b +=2C .ba c 111+=D .ba c111+=（天津市竞赛试题）解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线.【例3】如图，已知两圆内切于点P ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，PC 的延长线交大圆于点D .求证：（1）∠APD =∠BPD ；（2）CB AC PC PB P A ∙+=∙2.（天津市中考试题）解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从AC ·BC =PC ·CD 入手.【例4】如图⊙O 1和⊙O 2相交于点A 及B 处，⊙O 1的圆心落在⊙O 2的圆周上，⊙O 1的弦AC 与⊙O 2交于点D .求证：O 1D ⊥BC .（全俄中学生九年级竞赛试题）解题思路：连接AB ，O 1B ，O 1C ，显然△O 1BC 为等腰三角形，若证O 1D ⊥BC ，只需证明O 1D 平分∠B O 1C .充分运用与圆相关的角.【例5】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1,AB =2，DC =22，点P 在边BC 上运动（与B ，C 不重合）.设PC =x ，四边形ABPD 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若以D 为圆心，21为半径作⊙D ，以P 为圆心，以PC 的长为半径作⊙P ，当x 为何值时，⊙D 与⊙P 相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD 的面积.（河南省中考题）解题思路：对于（2），⊙P 与⊙D 既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆的性质建立关于x 的方程.【例6】如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，求NCBN的值.（全国初中数学联赛试题）解题思路：AB 为两圆的公切线，BC 为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象，可生成解题策略与方法.【能力与训练】A 级1.如图，⊙A ，⊙B 的圆心A ，B 在直线l 上，两圆的半径都为1cm .开始时圆心距AB ＝4cm ，现⊙A ，⊙B 同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A 运动的时间为_______秒.（宁波市中考试题）2.如图，O 2是⊙O 1上任意一点，⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，E 为优弧AB 上的一点，EO 2及延长线交⊙O 2于C ，D ，交AB 于F ，且CF ＝1，EC ＝2，那么⊙O 2的半径为_______.（四川省中考试题）（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，半圆O 的直径AB ＝4,与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M .设⊙O 1的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是_________________.（要求写出自变量x 的取值范围）（昆明市中考试题）4.已知直径分别为151+和315-的两个圆，它们的圆心距为115-，这两圆的公切线的条数是__________.5.如图，⊙O 1和⊙O 2相交于点A ，B ，且⊙O 2的圆心O 2在圆⊙O 1的圆上，P 是⊙O 2上一点.已知∠A O 1B ＝60°，那么∠APB 的度数是（）A .60°B .65°C .70°D .75°（甘肃省中考试题）6.如图，两圆相交于A 、B 两点，过点B 的直线与两圆分别交于C ，D 两点.若⊙O 1半径为5，⊙O 2的半径为2，则AC ：AD 为（）A .52:3B .3:52C .1:52D .2:5（第5题图）（第6题图）（第7题图）7.如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点T ，它们的半径之比为3:2，AB 是它们的外公切线，A ，B 是切点，AB ＝64，那么⊙O 1和⊙O 2的圆心距是（）A .65B .10C .610D .1339208.已知两圆的半径分别为R 和r （r R >），圆心距为d .若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（）A .外切B .内切C .外离D .外切或内切（连云港市中考试题）9.如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，点O 1在⊙O 2上，点C 为⊙O 1中优弧AB ⌒上任意一点，直线CB 交⊙O 2于D ，连接O 1D .（1）证明：DO 1⊥AC ；（2）若点C 在劣弧AB ⌒上，（1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论.（大连市中考试题）图1图210.如图，已知⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AB 过点P 且分别交⊙O 1和⊙O 2于点A ，B ，BH 切⊙O 2于点B ，交⊙O 1于点C ，H .（1）求证：△BCP ∽△HAP ；（2）若AP :PB ＝3：2，且C 为HB 的中点，求HA :BC .（福州市中考试题）11.如图，已知⊙B ，⊙C 的半径不等，且外切于点A ，不过点A 的一条公切线切⊙B 于点D ，切⊙C 于点E ，直线AF ⊥DE ，且与BC 的垂直平分线交于点F .求证：BC ＝2AF .（英国数学奥林匹克试题）12.如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点.正方形DEFG 的一边DG 在直径AB 上，另一边DE 过△ABC 得内切圆圆心O ，且点E 在半圆弧上.（1）若正方形的顶点F 也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；（2）若正方形DEFG 的面积为100，且△ABC 的内切圆半径4 r ，求半圆的直径AB .（杭州市中考试题）B 级1.相交两圆的半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长为6cm ，这两圆的圆心距为_______.2.如图，⊙O 过M 点，⊙M 交⊙O 于A ，延长⊙O 的直径AB 交⊙M 于C .若AB ＝8，BC ＝1，则AM ＝_______.（黑龙江省中考试题）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3.已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm .4.如图，已知PQ ＝10，以PQ 为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P .正方形ABCD 的顶点A ，B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q .若AB ＝n m +，其中m ，n 为整数，则=+n m ___________.（美国中学生数学邀请赛试题）5.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点M ，且分正方形为4个三角形，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3，⊙O 4，分别为△AMB ，△BMC ，△CMD ，△DMA 的内切圆.已知AB ＝1.则⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3，⊙O 4所夹的中心（阴影）部分的面积为（）A .(4)(316π--B .(34π-C .(4)(34π--D .416π-（太原市竞赛试题）（第5题图）（第6题图）（第7题图）6.如图，⊙O 1与⊙O 2内切于点E ，⊙O 1的弦AB 过⊙O 2的圆心O 2，交⊙O 2于点C ，D .若AC ：CD :BD ＝2:4:3，则⊙O 2与⊙O 1的半径之比为（）A .2:3B .2:5C .1:3D .1:47.如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，两圆的一条外公切线与⊙O 1相切于点B ，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O 1与⊙O 2的半径之比为（）A .2:5B .1:2C .1:3D .2:3（全国初中数学联赛试题）8.如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线，交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .（1）求证：PA PE PC PD∙=∙（2）当AD 与⊙O 2相切且PA ＝6，PC ＝2，PD ＝12时，求AD 的长.（黄冈市中考试题）9.如图，已知⊙O 1和⊙O 2外切于A ，BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线，切点为B ，C .连接BA 并延长交⊙O 1于D ，过D 点作CB 的平行线交⊙O 2于E ，F .（1）求证：CD 是⊙O 1的直径；（2）试判断线段BC ，BE ，BF 的大小关系，并证明你的结论.（四川省中考试题）10.如图，两个同心圆的圆心是O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD 是大圆的直径，大圆的弦AB ，BE 分别与小圆相切于点C ，F ，AD ，BE 相交于点G ，连接BD .（1）求BD 的长；（2）求2ABE D ∠+∠的度数；（3）求BGAG的值.（淄博市中考试题）11.如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙O 1与△BCH 的外接圆⊙O 2相交于点D ，延长AD 交CH 于点P .求证：P 为CH 的中点.（“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）12.如图，已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点，以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A与半圆O相交于点C，以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M.求证：MP分别与⊙A，⊙B相切.（“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）专题23圆与圆的位置关系例121a 6提示：连接14QP CP ==必过点O ，则34O O ⊥AB ，设⊙3O ，⊙4O 的半径为xcm ，在Rt △31O O O 中，有222a a a x =x 424⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得x=a 6.例2D提示：连接AB ，1AA ，1BB ，作2AB ⊥1BB ，则22222AB AB BB =+，即()()2222a b =b a AB ++-，得22211=A B 4ab AB =，同理，211A 4ac C =，2114bc C B =，由111111=A B A C C B +++例3提示：⑴过P 点作两圆的公切线.⑵即证PA PB PC PD ∙=∙.例412BO C BAC ∠=∠，1112BO D BAC BO C ∠=∠=∠，则1O D 为1BO C ∠的平分线，又11O B O C =，故1O D BC ⊥.例5⑴过D 作DQ ⊥BC 于Q ，则BQ=AD=1，AB=DQ=2，CQ=，故()1y=13x 2=4x 2+-⨯-（0<x<3）.⑵分两种情况讨论：①当⊙P 与⊙D 外切时，如图1，QC=2，PC=x ，QP=2x -，PD=x+12，DQ=2，在Rt △DQP 中，由()22212x 2=x+2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得，31x=20，3149y=4=2020-.②当⊙P 与⊙D 内切时，如图2，PC=x ，QC=2，PQ=x-2，PD=x-12，DQ=2，在Rt △DPQ 中，由()2221x 22=x-2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得，31x=12，3117y=4=1212-.例6就图1给出解答：连接CP 并延长交AB 于点Q ，连接BP ，得∠BPC90°，又22QA QP CQ QB =∙=，得AQ=QB=12AB ，在Rt △CQP 中，2214BQ QP CQ QP BC CP CQ CP ∙===∙.过Q 作QM ∥BC 交AN 于M ，则MQ=12BN .由△MQP ∽△NCP ，得14MQ QP CN CP ==，故BN NC ＝2142MQ MQ =.A 级1．12或32 2.23．y ＝214x -＋x (0＜x ＜4) 4.3条5．D 6．D 7．B 8．D9．提示：(1)连结AB ，A 1O ，并延长交⊙1O 于E ，连结CE ．(2)结论仍然成立．10．(1)略(2)提示：设AP ＝3t ，由BC ·BH ＝BP ·BA ，BH ＝2BC ，BC ＝5t .易证△HAP ∽△BAH ，得HA ＝15t ，故155HA t BC t =＝3.11．连结BD ，CE ，作BM ⊥CE 于M ，作HN ⊥CE 于N ，则BM ∥HN ．∵H 是BC 的中点，故N 是CM 的中点，∴CN ＝12CM ＝12（CE －EM ）＝12(CE －BD )，而AH ＝BH －AB ＝12BC －AB ＝12(AB ＋AC )–AB ＝12(AC －AB )，因此CN ＝AH ．由CE ⊥DE ，AF ⊥DE ，得CE //AF ，故∠NCH ＝∠HAF ，又∠CNH ＝∠AHF ＝90°，得△CNH ≌△AHF ，从而BC ＝2CH ＝2AF .12.(l )5:2提示：由题意，设正方形边长为l ，则22212R l l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得R :l ＝5:2．由2ED ＝AD ×DB ，DE＝10，得AD ×DB ＝l 00．设AC 与内切圆交点S ，CB 与内切圆交点H ，设AD ＝r ，DB ＝100x ．AB ＝x ＋100x，AS ＝AD ＝x ，BH ＝BD ＝100x ．又△ABC 为直角三角形。

第一讲有理数奥数

第一讲有理数有理数的巧算1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．例6计算103×97×10 009的值．例7计算：例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．例9计算：通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．例14 计算：练习1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．绝对值例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．例4若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．例5例6 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例7已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y 化简，然后在各个取值范围内求出y 的最大值，再加以比较，从中选出最大者．例8 设a ＜b ＜c ＜d ，求｜x-a ｜+｜x-b ｜+｜x-c ｜+｜x-d ｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a ｜，｜x-b ｜，｜x-c ｜，｜x-d ｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．例11 若2x+｜4-5x ｜+｜1-3x ｜+4的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x 的项相加为零，即x 的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x ｜=4-5x 且｜1-3x ｜=3x-1．例12已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++- 求()f x 的最小值。

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【例1】如图，在O 中，弦AE BC ⊥于D ，6745BC AD BAC ==∠=︒，
，（1）求O 的半径，（2）求DE 的长．
【难度】3星
【解析】第一问利用的是圆周角的度数为圆心角的一半，第二问利用的是垂径定理
【答案】（1）连接BO CO 、
，作OF BC ⊥、OG AE ⊥，∵OB OC =，290BOC BAC ∠=∠=︒，又∵6
BC =，∴
OB =
，∴OB =（2）∵1
32
OF BC ==，又∵90OGF OFB GDF ∠=∠=∠=︒，
∴四边形OGDF 是矩形，∴3GD OF ==，∴734AG AD DG =-=-=， ∴14312
DE GE GD
AE GD =-=-=-=
例题精讲
圆的综合（一）
【巩固】（2010•珠海）如图，ABC △内接于O ，AB =6，AC =4，D 是AB 边上一点，P 是优弧 BAC
的中点，连接PA PB PC PD 、
、、．（1）当BD 的长度为多少时，PAD △是以AD 为底边的等腰三角形？并证明；
（2）去BC 的中点E ，连接PE
，若CE PC =PA 的长．
【难度】3星
【解析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；
（2）根据相似三角形的知识和垂径定理进行求解．
【答案】（1）当4BD AC ==时，PAD △是以AD 为底边的等腰三角形．
∵P 是优弧 BAC
的中点， ∴ PB
= PC ． ∴PB PC =．
∴当4BD AC PBD PCA PBD PCA ==∠=∠，
，≌△△． ∴PA PD =，即PAD △是以AD 为底边的等腰三角形．
（2）由（1）可知，当4BD =时，PD PA =，642AD AB BD =-=-=，过点P 作PE AD ⊥于E ，则112
AE AD ==． ∵PCB PAD ∠=∠，90PFA PEC ∠=∠=︒ ∴PAF PCE △∽△，
CE AF
PC
PA
=
，又∵
CE PC =∴PA
【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以
及垂径定理．。