简单的线性规划第一课时习题(有答案)
高中数学简单线性规划复习题及答案(最全面)
简单线性规划复习题及答案（1）1、设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥-020202y x y x y x ，则22y x ++的最大值为 452、设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：13、若实数x 、y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则13++=x y z 的取值范围是]7,43[．4、设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为5、已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是 4[,13]56、已知实数,x y 满足约束条件1010310x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22(1)(1)x y -+-的最小值为 127、已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 58、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x9、若曲线y ＝ x 2上存在点（x ，y ）满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最小值为 －311、若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22(2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则函数3z x y =+取得最大值是 1214、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－615、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为 π51616、已知y x z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = 0 . 17、已知,x y 满足约束条件，03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是 118、在平面直角坐标系中，不等式组0,0,,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，则2x y +的最小值 14-19、已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)2}B x y kx y =-≤，其中,x y R ∈.若A B ⊆，则实数k 的取值范围是⎡⎣20、若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为 12-21、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是 222、已知点(,)P x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则实数k = 6- .23、设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23.24、已知实数y x , 22222)(y x y y x +++的取值范围为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+221,35．简单线性规划复习题及答案（2）1、设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x 则y x x y z +=的取值范围是 10[2,]3由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜 率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，， (42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2、若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于 1-3、设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是 [2,9]【解析】作出可行域如图，当平行直线系231x y z +-=在直线BC 与点A 间运动时，23122x y x y +-≥++，此时[]2315,9z x y =+-∈，平行直线线22x y Z ++=在点 O 与BC 之间运动时，23122x y x y +-≤++，此时，[]222,8z x y =++∈. ∴[]2,9z ∈图23 A yxOcB 634、佛山某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。
在实际应用中，线性规划可以用于解决各种决策问题，如生产计划、资源分配、投资组合等。
以下是一个线性规划问题的示例：问题描述：某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件需要2小时的加工时间，产品B每件需要3小时的加工时间。
每天的加工时间总共有16个小时。
产品A的利润为100元/件，产品B的利润为150元/件。
工厂的目标是最大化每天的总利润。
解决步骤：1. 定义变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 建立目标函数：目标函数是每天的总利润，即：Z = 100x + 150y。
3. 建立约束条件：a) 加工时间约束：2x + 3y ≤ 16，表示每天的加工时间不能超过16小时。
b) 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0，表示产品的生产数量不能为负数。
4. 求解最优解：将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用线性规划算法求解最优解。
最优解及分析：经过计算，得到最优解为x = 4，y = 4，此时总利润最大为100 * 4 + 150 * 4 = 1000元。
通过最优解的分析可知，工厂每天应生产4件产品A和4件产品B，才能达到每天最大利润1000元。
同时，由于加工时间约束，每天的加工时间不能超过16小时，这也是生产数量的限制条件。
此外，也可以通过灵敏度分析来了解生产数量的变化对最优解的影响。
例如，如果产品A的利润提高到120元/件，而产品B的利润保持不变，那么最优解会发生变化。
在这种情况下，最优解为x = 6，y = 2，总利润为120 * 6 + 150 * 2 = 960元。
这表明，产品A的利润提高会促使工厂增加产品A的生产数量，减少产品B 的生产数量，以获得更高的总利润。
总结：线性规划是一种重要的数学优化方法，可以用于解决各种实际问题。
通过建立目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过线性规划算法求解最优解。
专题：简单的线性规划(含答案)
高考复习专题：简单的线性规划专题要点简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。
理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。
能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。
线性规划等内容已成为高考的热点，在复习时要给于重视,另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋于淡化,在复习时也应是注意。
考查主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三是给出可行域的最优解，求目标函数（或者可行域）中参数的范围。
多以选择填空题形式出现，不排除以解答题形式出现。
考纲要求了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用。
典例精析线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题。
考点1：求给定可行域的最优解例1.（2012广东文）已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．1C ．5-D ．6- 解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点A 时,取到最小值.联立11x y x =-⎧⎨=-⎩,解得12x y =-⎧⎨=-⎩,所以2z x y =+的最小值为5-.例2.（2009天津）设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23解析：画出不等式3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩表示的可行域，如右图，让目标函数表示直线332zx y +-=在可行域上平移，知在点B 自目标函数取到最小值，解方程组⎩⎨⎧=-=+323y x y x 得)1,2(，所以734min =+=z ，故选择B.8642-2-4-5510152x-y=3x-y=1x+y=3AB发散思维：若将目标函数改为求x y z =的取值范围；或者改为求3+=x y z 的取值范围； 或者改为求22y x z +=的最大值；或者或者改为求()221y x z ++=的最大值。
高中数学第三章不等式3二元一次不等式组与简单的线性规划问题第1课时练习含解析人教版必修
第1课时一、选择题1．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0)[答案] D[解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知，只有(2,0)点不满足3x ＋2y ＜6.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜x x ＋y ≤1y ≥3，表示的区域为D ，点P 1(0，－2)，点P 2(0,0)，则( )A ．P 1∉D ，P 2∉DB ．P 1∉D ，P 2∈DC ．P 1∈D ，P 2∉D D ．P 1∈D ，P 2∈D[答案] A[解析] P 1点不满足y ≥3.P 2点不满足y ＜x .和y ≥3 ∴选A ．3．已知点P (x 0，y 0)和点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( ) A ．3x 0＋2y 0>0 B ．3x 0＋2y 0<0 C ．3x 0＋2y 0<8 D ．3x 0＋2y 0>8[答案] D[解析] ∵3×1＋2×1－8＝－3<0，P 与A 在直线l 异侧，∴3x 0＋2y 0－8>0. 4．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0[答案] A[解析] 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1≤0，故异侧点应为x ＋y －1≥0，排除B 、D ．O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C ．∴选A ．5．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( )[答案] B[解析] 将(±1,0)代入均满足知选B ．6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5x ＋y ≥00≤x ≤3表示的平面区域是一个( ) A ．三角形 B ．直角梯形 C ．梯形 D ．矩形[答案] C[解析] 画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0，取点(0,1)代入(x －y ＋5)(x ＋y )＝4>0，知点(0,1)在不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x ＝0和x ＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．二、填空题7．已知x ，y 为非负整数，则满足x ＋y ≤2的点(x ，y )共有________个． [答案] 6[解析] 符合条件的点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)共6个． 8．用三条直线x ＋2y ＝2,2x ＋y ＝2，x －y ＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＜22x ＋y ＞2x －y ＜3三、解答题9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域．[解析] 不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y ≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y ≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域为如图阴影部分．10．经过点P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A (1，－2)、B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解析]由题意知直线l 斜率存在，设为k . 则可设直线l 的方程为kx －y －1＝0，由题知：A 、B 两点在直线l 上或在直线l 的两侧，所以有： (k ＋1)(2k －2)≤0 ∴－1≤k ≤1.一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点A (－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1)[答案] B[解析] 在直线方程x －2y ＋4＝0中，令x ＝－2，则y ＝1，则点P (－2,1)在直线x －2y ＋4＝0上，又点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，如图知，t 的取值范围是t >1，故选B ．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1x ＋y ＋1≥0－1≤x ≤4表示的平面区域是( )A ．两个三角形B ．一个三角形C ．梯形D ．等腰梯形[答案] B [解析] 如图∵(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域．且两直线交于点A (－1,0)．故添加条件－1≤x ≤4后表示的区域如图(2)．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域的面积是( )A ．18B ．36C ．72D ．144[解析] 作出平面区域如图．交点A (－3,3)、B (3、9)、C (3，－3)， ∴S △ABC ＝12[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36.4．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 画出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0表示的平面区域如图，直线l ：y ＝ax ＋1过定点(0,1)，由于ax －y ＋1≥0与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0围成平面区域的面积为2，∴a >0，令x ＝1得y ＝a ＋1，∴12×(a ＋1)×1＝2，∴a ＝3.5．点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a ＝________.[答案] 3[解析] 由条件知，|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3.6．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x －y ＋1≥02x ＋y ＋2≥0表示的平面区域的面积是________．[答案] 6[解析] 作出平面区域如图△ABC ，A (－1,0)、B (1,2)、C (1，－4)，S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×6×2＝6. (d 表示A 到直线BC 的距离．)三、解答题7．求由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤52x ＋y ≤6x ≥0y ≥0确定的平面区域的面积S 和周长C ．[解析] 可行域如图所示，其四个顶点为O (0,0)，B (3,0)，A (0,5)，P (1,4)．过点P 作y 轴的垂线，垂足为C ，则AC ＝1，PC ＝1，OC ＝4，OB ＝3，AP ＝2，PB ＝4－02＋1－32＝25，得周长C ＝AO ＋BO ＋AP ＋PB ＝8＋2＋2 5.∵S △ACP ＝12AC ·PC ＝12，S 梯形COBP ＝12(CP ＋OB )·OC ＝8，∴面积S ＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝172.8．画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域．[解析] (x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示x ＋2y ＋1与x －y ＋4的符号相反，因此原不等式等价于两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＞0，x －y ＋4＜0，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＜0，x －y ＋4＞0，在同一直角坐标内作出两个不等式组表示的平面区域，就是原不等式表示的平面区域．在直角坐标系中画出直线x ＋2y ＋1＝0与x －y ＋4＝0，(画成虚线)取原点(0,0)可以判断． 不等式x ＋2y ＋1＞0表示直线x ＋2y ＋1＝0的右上方区域，x ＋2y ＋1＜0表示直线x ＋2y ＋1＝0的左下方区域；x －y ＋4＜0表示直线x －y ＋4＝0的左上方区域，x －y ＋4＞0表示直线x －y ＋4＝0的右下方区域．所以不等式组表示的平面区域，即原不等式表示的平面区域如图所示．。
简单的线性规划问题(第1课时)课件2
x＋2y 8
x 2 y 8
4 4y x
16 12
x y
4 3
x 0
x
0
y 0
y 0
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获 利3万元，采用那种生产安排利润最大？
0.06 0.06
174xx174
y y
6 6
x 0
x 0
y 0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y 4 x z
它表示斜率为 4
3 28
3
随z变化的一组平行直
线系
6/7 y
z 28 是直线在y轴上 5/7 M
为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题，统称为线性规划问题。y
满足线性约可束行的域解 4 3
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成
的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做这个问题的最优解。
三、例题
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
y
y 2 x z
4
3
3
3
它表示斜率为
2 3
的
M
直线系，z与这条直线
的截距有关。
o
4
8x
如图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距
最大，即z最大。
3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
(完整版)简单的线性规划习题含答案
线性规划教案1.若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A2.不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B3.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩ppp p作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围4.已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产 品 木料(单位m 3) 第 一 种第 二 种 圆 桌 0.18 0.08 衣 柜0.090.28解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z =6x +10y 取最大值解方程组⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一 6.有一批钢管，长度都是4000mm ，要截成500mm 和600mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于31配套，怎样截最合理？解：设截500mm 的钢管x 根，600mm 的y 根，总数为z 根。
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一 线性规划中的基本概念知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一 求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求(1)x 2＋y 2的最小值； (2)yx的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝⎛⎭⎫45，85， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫322＝132， 所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大， 由(1)知C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案 10解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 题型三 线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎫25，752， 但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c的值分别为( ) A ．－1,4 B ．－1，－3 C ．－2，－1 D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B 解析 如图，当y ＝2x 经过且只经过x ＋y －3＝0和x ＝m 的交点时，m 取到最大值，此时，即(m,2m )在直线x ＋y －3＝0上，则m ＝1. 2．答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方， 故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12.课时精练答案一、选择题 1．答案 A解析 画出可行域，如图所示，解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值； 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 2．答案 D解析 作出可行域，如图所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C 解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C. 5．答案 D解析 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案 13解析 |x |＋|y |≤2可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C (3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线x ＋2y －4＝0上方， ∴x ＋2y －4＞0，则目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，易得当直线z ＝x ＋2y －4在点B (7,9)处，目标函数取得最大值z max ＝21. 方法二 z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5， 令P (x ，y )为可行域内一动点，定直线x ＋2y －4＝0， 则z ＝5d ，其中d 为P (x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离． 由图可知，区域内的点B 与直线的距离最大， 故d 的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max ＝215·5＝21. 三、解答题12．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时，z min ＝2×1－4.4＝－2.4.13．解 先画出可行域，如图所示，y ＝a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a ＞1，∴1＜a ≤3.14．解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600， 解得，点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
《简单的线性规划》测试题(新人教必修5)
3. 3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第1题. 已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（ ）Ａ．5 Ｂ．38- Ｃ．10 Ｄ．38 答案：Ｄ第2题. 下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ） Ａ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≥Ｂ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≤Ｃ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≤Ｄ．1022x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≥0答案：Ａ第3题. 已知点1(00)P ，，231(11)03P P ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，则在3210x y +-≥表示的平面区域内的点是（ ） Ａ．1P ，2P Ｂ．1P ，3PＣ．2P ，3PＤ．2P答案：Ｃ第4题. 若222x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ）Ａ．[26]，Ｂ．[25]，Ｃ．[36]，Ｄ．[35]，答案：Ａ第5题. 设a 是正数，则同时满足下列条件：22ax a ≤≤；22a y a ≤≤；x y a +≥；x a y +≥；y a x +≥的不等式组表示的平面区域是一个凸 边形．答案：六第6题. 原点(00)O ，与点集{()|2102250}A x y x y y x x y =+-++-，≥，≤，≤所表示的平面区域的位置关系是 ，点(11)M ，与集合A 的位置关系是 ． 答案：O 在区域外，M 在区域内第7题. 点(3)P a ，到直线4310x y -+=的距离等于4，且在不等式23x y +<表示的平面区域内，则P 点坐标是 ． 答案：(33)-，第8题. 给出下面的线性规划问题：求35z x y =+的最大值和最小值，使x ，y 满足约束条件5315153x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≤．要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是 ．答案：30153x y y x x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≤．第9题. 某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？答案：解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据．A 型车B 型车限量车辆数 运物吨数费用由表可知x y 1024301800804x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≤≤≤≤，且320504z x y =+． 作出线性区域，如图所示，可知当直线320504z x y =+过(7.50)A ，时，z 最小，但(7.50)A ，不是整点，继续向上平移直线320504z x y =+可知，(52)，是最优解．这时min 320550422608z =⨯+⨯= （元），即用5辆A 型车，2辆B 型车，成本费最低．若只用A 型车，成本费为83202560⨯=（元），只用B 型车，成本费为180504302430⨯=（元）．第10题. 有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．轮船运输量／t飞机运输量／t粮食 石油现在要在一天内运输至少2000t 粮食和1500t 石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？答案：解：设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则3001502000250100150000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥ ，≥ ，≥，≥．即6340523000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥，≥，≥，≥． 目标函数为z x y =+．作出可行域，如图所示．作出在一组平行直线x y t +=（t 为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线63400x y +-=和0y =的交点2003A ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线方程为：203x y +=． 由于203不是整数，而最优解()x y ，中x y ，必须都是整数，所以，可行域内点2003⎛⎫⎪⎝⎭，不是最优解．经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是(70)，，即为最优解．则至少要安排7艘轮船和0架飞机．第11题. 用图表示不等式(3)(21)0x y x y +--+<表示的平面区域． 答案：解：第12题. 求22z x y=+的最大值和最小值，使式中的x ，y 满足约束条件27043120230x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≥． 答案：解：已知不等式方式效果 种类组为27043120230x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≥．在同一直角坐标系中，作直线270x y -+=，43120x y --=和230x y +-=， 再根据不等式组确定可行域△ABC （如图）． 由27043120x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得点(56)A ，．所以22222max ()||5661x y OA +==+=；因为原点O 到直线BC 的距离为|003|355+-=， 所以22min 9()5x y +=． 第13题. 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，并希望桌椅的总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍．问：桌、椅各买多少才合适？ 答案：解：设桌椅分别买x ，y 张，由题意得502020001.500x y y x x y x y +⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤，≤，≤，≥，≥．由50202000x y x y =⎧⎨+=⎩，，解得20072007x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．∴点A 的坐标为20020077⎛⎫⎪⎝⎭，． 由 1.550202000y x x y =⎧⎨+=⎩，，解得25752x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，．∴点B 的坐标为75252⎛⎫ ⎪⎝⎭，以上不等式所表示的区域如图所示， 即以20020077A ⎛⎫⎪⎝⎭，，75252B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(00)O ，为顶点的△AOB 及其内部．对△AOB 内的点()P x y ，，设x y a +=，即y x a =-+为斜率为1-，y 轴上截距为a 的平行直线系．只有点P 与B 重合，即取25x =，752y =时，a 取最大值． y ∈Z ∵，37y =∴．∴买桌子25张，椅子37张时，是最优选择．第14题. 画出不等式组200112x x y y x ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪-⎩≤≥≥表示的平面区域，并求出此不等式组的整数解．答案：解：不等式组表示的区域如图所示，其整数解为第15题. 如图所示，(21)(3)0x y x y -++-<表示的平面区域是（ ）答案：C第16题. 已知点(31)，和(46)-，在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是（ ） Ａ．7a <-或24a > Ｂ．7a =或24a =Ｃ．724a -<< Ｄ．247a -<< 答案：Ｃ第17题. 给出平面区域如图所示，若使目标函数z ax y =+(0)a >取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ）ＢＣＤＡ．14Ｂ．35Ｃ．4Ｄ．53答案：Ｂ第18题. 能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是（ ）Ａ．01220y x y ⎧⎨-+⎩≤≤≤Ｂ．1220y x y ⎧⎨-+⎩≤≥Ｃ．012200y x y x ⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≤≤≤Ｄ．10220y x x y ⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≤≤答案：Ｃ第19题. 已知目标函数2z x y =+中变量x y ，满足条件4335251x y x y x --⎧⎪+<⎨⎪⎩≤，，≥．则（ ）Ａ．max min 123z z ==， Ｂ．max 12z =，无最小值 Ｃ．min 3z =，无最大值Ｄ．z 无最大值，也无最小值答案：Ｃ第20题. 下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ）Ａ．10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-<⎪⎨--⎪⎪-+⎩≥≤Ｂ．10236010220x y x y x y x y +-<⎧⎪+-⎪⎨--⎪⎪-+<⎩≥≥Ｃ．10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-⎪⎨--⎪⎪-+>⎩≤≤Ｄ．10236010220x y x y x y x y +-⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪-+⎩≥≥答案：Ｃ第21题. 已知x ，y 满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≥，≤．则24z x y =+的最小值为（ ）Ａ．5 Ｂ．6-Ｃ．10Ｄ．10-答案：Ｂ第22题. 满足||||2x y +≤的整点（横、纵坐标为整数）的个数是（ ） Ａ．11Ｂ．12Ｃ．13Ｄ．14答案：Ｃ第23题. 不等式260x y -+>表示的平面区域在直线260x y -+=的（ ） Ａ．右上方 Ｂ．右下方Ｃ．左上方Ｄ．左下方答案：Ｂ第24题. 在ABC △中，三顶点(24)A ，，(12)B -，，(10)C ，，点()P x y ，在△ABC 内部及边界运动，则z x y =-最大值为（ ） Ａ．1 Ｂ．3-Ｃ．1-Ｄ．3答案：Ａ第25题. 不等式组(5)()003x y x y x -++⎧⎨⎩≥≤≤表示的平面区域是一个（ ）Ａ．三角形 Ｂ．直角梯形Ｃ．梯形Ｄ．矩形答案：Ｃ第26题. 不在326x y +<表示的平面区域内的点是（ ） Ａ．(00)，Ｂ．(11)，Ｃ．(02)，Ｄ．(20)，答案：Ｄ第27题. ABC △中，三个顶点的坐标分别为(24)A ，，(12)B -，，(10)C ，，点()P x y ，在ABC △内部及边界运动，则z x y =-的最大值及最小值分别是 和 ．答案：1，3-第28题. 已知集合{()|||||1}A x y x y =+，≤，{()|()()0}B x y y x y x =-+，≤，M A B =，则M 的面积是 ．答案：1。
习题课：简单的线性规划 学案(含答案)
习题课：简单的线性规划学案（含答案）习题课简单的线性规划学习目标1.加深对二元一次不等式组及其几何意义的了解.2.能熟练地用平面区域表示二元一次不等式组.3.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.4.会求一些简单的非线性函数的最值.预习导引1.二元一次不等式的几何意义对于任意的二元一次不等式AxByC0或0，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B0时，1AxByC0表示直线AxByC0上方的区域；2AxByC0表示直线AxByC0下方的区域.2.用图解法解线性规划问题的步骤1确定线性约束条件；2确定线性目标函数；3画出可行域；4利用线性目标函数直线求出最优解.3.线性规划在实际问题中的题型主要掌握两种类型一是给定一定数量的人力.物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力.物力资源最小.题型一二元一次不等式表示的平面区域在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分xm逐条分段统计.例1画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题1指出x，y 的取值范围；2平面区域内有多少个整点解1不等式xy50表示直线xy50上及右下方的点的集合，xy0表示直线xy0上及右上方的点的集合，x3表示直线x3上及左方的点的集合.所以，不等式组表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x，y3,8.2由图形及不等式组知当x3时，3y8，有12个整点；当x2时，2y7，有10个整点；当x1时，1y6，有8个整点；当x0时，0y5，有6个整点；当x1时，1y4，有4个整点；当x2时，2y3，有2个整点；平面区域内的整点共有2468101242个.跟踪演练1在平面直角坐标系中，有两个区域M，N，M是由三个不等式y0，yx和y2x确定的；N是随t变化的区域，它由不等式txt10t1所确定.设M，N的公共部分的面积为ft，则ft等于A.2t22tB.t22C.1t2D.t2t答案D解析作出由不等式组组成的平面区域M，即AOE 表示的平面区域，当t0时，f011，当t1时，f111，当0t1时，如图所示，所求面积为ftSAOESOBCSFDE21t22t12t2t，即ftt2t，此时f0，f1，综上可知选D.题型二生活实际中的线性规划问题1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域，再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值.2.线性目标函数zaxby取最大值时的最优解与b 的正负有关，当b0时，最优解是将直线axby0在可行域内向上平移到边界一般是两直线交点的位置得到的，当b0时，则是向下方平移.例2医院用甲.乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问应如何使用甲.乙原料，才能既满足营养，又使费用最省解将已知数据列成下表原料/10g蛋白质/单位铁质/单位甲510乙74费用32设甲.乙两种原料分别用10xg和10yg，总费用为z，那么目标函数为z3x2y，作出可行域如图所示把z3x2y变形为yx，得到斜率为，在y轴上的截距为，随z变化的一簇平行直线.由图可知，当直线yx经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小.由得A，3，zmin32314.4.甲种原料1028g，乙种原料31030g，费用最省.规律方法数学应用题解决的关键就在于正确地审清题意，正确地建模，切忌对题意盲加猜测，不按题意去解.另外解决这类题目时，要特别注意，目标函数所代表的直线斜率与边界直线斜率大小的比较，忽视了这一点，往往会出错.跟踪演练2某工厂有甲.乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个按工作日计算；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大.答案2024解析设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，依题意约束条件为目标函数为S7x12y.可行域如图所示，从图中可以看出，当直线S7x12y经过点A时，直线在y轴上截距最大，所以S也取最大值.解方程组得A20,24，故当x20，y24时，Smax7xx24428万元.题型三数形结合思想的应用1.求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是2.常见代数式的几何意义主要有以下几点1表示点x，y与点a，b的距离；表示点x，y与原点0,0的距离.2表示点x，y与点a，b连线的斜率；表示点x，y与原点0,0连线的斜率.这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.例3变量x.y满足1设z4x3y，求z的最大值；2设z，求z的最小值；3设zx2y2，求z的取值范围.解由约束条件作出x，y的可行域如图所示.由解得A.由解得C1,1.由，解得B5,2.1由z4x3y，得yx.当直线yx过点B时，最小，z最大.zmax453214.2z，z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知zminkOB.3zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|.2z29.跟踪演练3已知实数x.y满足求zx2y2的最大值，并求出z取最大值时x.y的值.解根据条件，作出可行域，如图，zx2y2可看成可行域内的点x，y到原点的距离的平方，因此，要使z最大，只需在可行域内找出到原点距离最大的点即可.显然，A3,5到原点的距离最大，因此最优解为3,5，即x3，y5时，zmax325234.课堂达标1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元.70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有A.5种B.6种C.7种D.8种答案C解析设购买软件x片，磁盘y盒.则画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示.落在阴影部分含边界区域的整点有3,2，3,3，3,4，4,2，4,3，5,2，6,2，共7个整点.2.已知点Px，y的坐标满足条件则x2y2的最大值为A.B.8C.16D.10答案D解析画出不等式组对应的可行域如图所示易得A1,1，|OA|，B2,2，|OB|2，C1,3，|OC|.x2y2max|OC|2210.3.若x，y满足则z的最大值是________.答案3解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示包括边界.z可看作可行域上的点x，y与定点B1,1连线的斜率.由图可知z的最大值为kAB3.4.已知实数x，y满足则zx2y2的最小值为____________.答案解析实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin2.课堂小结1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解比如人数.车辆数等而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.。
线性规划习题答案
习题一P.361.一个毛纺厂用羊毛和兔毛生产A,B,C 三种混纺毛料,生产1单位产品需要的原料如下表所示.三种产品的单位利润分别是4,1,5.每月可购进的原料限额为羊毛8000单位,兔毛3000单位,问此毛纺厂应如何安排生产能获得最大利润?A B C 羊毛314兔毛214解：设生产A,B,C 三种产品的量分别是，则模型为123,,x x x 123123123123max 4538000..243000,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩2.某饲料厂生产的一种饲料由6种配料混合配成.每种配料中所含营养成分A,B 以及单位配料购入价由下表所示.每单位饲料中至少含9单位的A,19单位的B.问饲料厂如何配方,使得饲料成本最低且满足要求?123456A12212B 013132配料原价353060502712解：设每单位饲料中每种配料所需的量为，则有()1,2,3,4,5,6i x i =1234561345623456123456min 3530605027122229..33219,,,,,0z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x =+++++++++≥⎧⎪++++≥⎨⎪≥⎩4.某产品的一个完整单位包括四个A 零件和三个B 零件.这两种零件(A 和B)由两种不同的原料制成,而这两种原料可利用的数量分别是100单位和200单位.三个车间进行生产,而每个车间制造零件的方法各不相同.下表中给出每个生产班组的原料耗用量和每一种零件的产量.目标是要确定每一个车间的生产班组数使得产品的配套数达到最大.车间每班进料每班产量/个数原料1原料2零件A 零件B 186752596933884解：设每个车间的生产组数分别为，则可生产123,,x x x 个单位产品，则线性规划如()()123123768594min ,43x x x x x x y ++++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭下：123123123123123max 853100698200..76845943,,0yx x x x x x s t x x x y x x x yx x x ++≤⎧⎪++≤⎪⎪++≥⎨⎪++≥⎪⎪≥⎩6．设三地各有某种纺织原料90,30,70吨,需要调运给123,,,A A A 五地,后者各需要80,10,30,50,20吨.从到12345,,,,B B B B B ()1,2,3i A i =的路程(千米)如下表所示.现要求设计一个调拨方案,(1,2,3,4,5)j B j =使得总运输吨公里数最少.B1B2B3B4B5A1130286240523153A26422074457309A3718518146443解: 设从运往的运量为，则线性规划()1,2,3i A i =()1,2,3,4,5j B j =ij x 模型为如下形式，其中表示从到的运价。
简单的线性规划练习题,DOC
C．25万元D．27万元
5．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下___元.
船型
每只船限载人数
租金(元/只)
大船
5
12
小船
3
8
简单的线性规划练习题
1．不等式组 所表示的平面区域的面积等于()
A. B.
C. D.
2．设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z＝2x＋y的最小值为()
A．2B．3
C．5D．7
3．已知A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及边界运动，则z＝x－y的最大值及最小值分别是()
A．－1，－3B．1，－3
C．3，－1D．3,1
4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是()
线性计划练习题含答案
其中，所有正确结论的序号是______．【答案】①、③
47．已知实数 知足 假设目标函数 取得最小值时的最优解有无数个，那么实数 的值为____
【答案】
32．若是实数x，y知足 ，那么 的最大值___ 【答案】29
【解析】如图画出实数x，y知足 ，的可行域如下：
由图像可知当过点（7,9）时 的有最大值29.
33．假设实数 、 知足 且 的最小值为 ，那么实数 的值为____.【答案】 .
【解析】由于 最小值为3,因此最优解应为直线y=-x+b与2x-y=0的交点.由 得 ,代入y=-x+b得b= .
28．设实数 知足约束条件 ，假设目标函数 的最大值为9，那么d= 的最
小值为_____。【答案】
【解析】作出可行域，由图象可知 过点（1,4）时有最大值 ，
因 ,那么 ，
因此 得最小值为
29．已知实数x,y知足 ，那么z=2|x|+y的取值范围是_________【答案】[-1,11]
【解析】作出可行域与目标函数，结合图象可得目标函数通过（0，-1）时，有最小值-1，通过点（6，-1）时有最大值11，因此取值范围是[-1,11]。
应选B
5．假设实数 ， 知足条件 则 的最大值为（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】作出如右图所示的可行域，当直线z=2x-y过点A时，Z取得最大值.因为A(3,-3)，因此Zmax= ,应选A.
6．设变量x，y知足约束条件 ，假设目标函数z=2x+6y的最小值为2，那么 =
A．1 B．2 C．3 D．4
2．概念 ，已知实数 知足 ，设 ，那么 的取值范围是 （ ）
简单的线性规划(含答案、详解)
简单的线性规划一、点与直线的位置关系1、若点)1,2(a 在直线01=--y x 的左上方，则实数a 的取值范围是2、已知点(-2,1)和点(1,1)在直线023=--a y x 的两侧,则a 的取值范围是3、在下列各点中，不在．．不等式532<+y x 表示的平面区域内的点为 ①． )1,0( ②． )0,1( ③． )2,0( ④． )0,2(4、下列给出的四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是①、(0,2) ②、(2,0)- ③、(0,2)- ④、(2,0)5、原点和点()1,1在直线0=-+a y x 的同侧，则a 的取值范围是6、点(1,1)在下面各不等式表示的哪个区域中①、2≤-y x ②．022>--y x ③．0≤y ④．2≥x7、已知点()3,1和点()4,6-在直线320x y m -+=的两侧，则m 的取值范围是__________．二、简单的线性规划之不等式表示的平面区域8、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是9、不等式组201022x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域的面积是10、1x y +≤表示的平面区域的面积是________________.11、已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为__________. 三、简单的线性规划之最值12、已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为13、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧->-<+>+144222y x y x y x 则目标函数y x z -=3的取值范围是________.⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x14、已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤,0,2,y y x x y 那么目标函数y x z 3+=的最大值是 .15、已知实数满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x b =的取值范围是16、若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为 .17、已知，则的最大值为18、若变量,x y 满足约束条件，则3log (2)w x y =+的最大值是19、已知实数,x y 满足约束条件20,350,1,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则212x y z +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值等于 20、某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大?简单线性规划（参考答案）1、试题分析：因为直线01=--y x 的左上方的点满足不等式10x y --<,所以1210a--<,即01a <<. 2、试题分析：因为点(-2,1)和点(1,1)在直线023=--a y x 的两侧,所以(3(2)21)(31a a ⨯--⨯-⨯-⨯-<，解得8 1.a -<<3、③解决该试题的关键是理解，不满足平面区域内的点不满足不等式。
课时作业3：3.5.2 简单的线性规划（一）
3.5.2简单的线性规划问题（一）一课一练一．选择题1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是（）.A．50x+40y =2000 B．50x+40y C．50x+40y D．40x+50y2．若x，y R，且,且z＝x＋2y的最小值等于()．A．2 B．3 C．5 D．93．设x，y满足则z＝x＋y ()．A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值4．如下图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为()．A. B.C．4 D.5. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18 吨.那么该企业可获得最大利润是（）A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元6. 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为( )A.4 650元B.4 700元C.4 900元D.5 000元二．填空题7．已知a>0，x，y 满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于_______. 8．已知，则z＝3x－y的最大值为________．9．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．三．解答题10．已知f(x)＝3x－y，且－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，求f(x)的取值范围．11．某企业生产A，B两种产品，生产每吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(t)电(kW)A产品39 4B产品104 5已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360 t，并且供电局只能供电200 kW，试问该企业生产A，B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？3.5.2简单的线性规划问题（一）一课一练参考答案一．选择题1. 【答案】B2．【答案】 B【解析】可行域如下图阴影部分所示，则当直线x＋2y－z＝0经过点M(1,1)时，z＝x＋2y取得最小值，为1＋2＝3. 3．【答案】 B【解析】作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如下图中阴影部分所示．由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，作直线l：y＝－x.当平移直线l至经过A(2,0)时，z 取得最小值，z min＝2，由图可知无最大值．故选B.4．【答案】B【解析】由y＝－ax＋z知当－a＝k AC时，最优解有无穷多个．∵k AC＝－，∴a＝.5. 【答案】D【解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：A原料B原料甲产品吨乙产品吨则有，目标函数.作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当x=3,y=4时可获得最大利润为27万元，故选D.6.【答案】C【解析】设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x,y,获得利润为z,则根据条件得x,y满足的约束条件为，目标函数.作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线知，当直线经过直线与的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z max=450×7+350×5=4900（元）.二．填空题7．【答案】【解析】作出不等式组表示的可行域，如下图(阴影部分)．易知直线z＝2x＋y过交点B时，z取最小值，由得∴z min＝2－2a＝1，解得a＝.8．【答案】9【解析】画出可行域如下图所示，当直线z＝3x－y过点(3,0)时，z max＝9.9．【答案】2 300【解析】设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则，目标函数为z＝200x＋300y.作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元．三．解答题10．【解析】作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如下图中阴影部分所示．在可行域内平移直线l：3x－y＝0，当直线l向下平移过B(0，－1)，即直线x－y－1＝0与x＋y＋1＝0的交点时，f(x)min＝3×0＋1＝1；当直线l向下平移过A(2，－1)即直线x－y－3＝0与x＋y－1＝0的交点时，f(x)max＝2×3＋1＝7，∴11．【解析】设生产A，B两种产品各为x，y吨，利润为z万元，则，z＝7x＋12y.作出可行域(如下图)，作出在一组平行直线7x＋12y＝t(t为参数)，此直线经过M(20,24)，故z的最优解为(20,24)，z的最大值为7×20＋12×24＝428(万元)．。
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第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划3.3.2简单的线性规划测试题知识点一：简单的线性规划1．(2013·XX 高考)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值是()A ．－6B ．－2C ．0D ．22．目标函数z ＝2x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是() A ．该直线在坐标轴上的距离 B ．该直线在y 轴上的截距C ．该直线在y 轴上的截距的相反数D ．该直线在x 轴上的截距3．(2013·高考)设D 为不等式组⎩⎨⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．4．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤xx ＋y ≥2y ≥3x －6，求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值．5．图3－5－3中阴影部分的点满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是()图3－5－3A ．(0,5)B ．(1,4)C ．(2,4)D ．(1,5)6．(2013·XX 高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是()A ．－52 B ．0 C.53 D.527．(2014·荆州高二检测)点P (2，t )在不等式组⎩⎨⎧x －y －4≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域内，则点P (2，t )到直线3x ＋4y ＋10＝0距离的最大值为()A ．2B ．4C ．6D ．88．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0，则z ＝x －y 的取值X 围为()A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]9．某厂拟用集装箱托运甲，乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制等数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各被托运的箱数为()货物 体积/箱(m 3)质量/箱(50 kg)利润/箱(百元)甲 5 2 20 乙4510托运限制 24 1310．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为________．11．已知x 、y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝________.12．(2013·XX 高考)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.13．设z ＝2y －2x ＋4，已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，求z 的最大值和最小值．14．已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a >0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．15．某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可生产产品90千克，若采用乙种原料，每吨成本1 500元，运费400元，可生产产品100千克，若每日预算总成本不得超过6 500元，运费不得超过2 200元，问此工厂如何安排每日可生产产品最多？最多生产多少千克？16.已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．17.实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W ＝y －1x ＋1的取值X 围是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1【参考答案】1【解析】 曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图阴影部分所示，当直线l ：y ＝2x 向左平移时，(2x －y )的值在逐渐变小，当l 通过点A (－2,2)时，(2x －y )min ＝－6.【答案】 A2【解析】 把目标函数变形为y ＝2x －z ，由此可见，z 是该直线在y 轴上的截距的相反数．【答案】C3.【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，表示的区域D 如图阴影部分所示．由图知点P (1,0)与平面区域D 上的点的最短距离为点P (1,0)到直线y ＝2x 的距离d ＝|2×1－0×1|12＋22＝255.【答案】2554【解】 可行域如图所示．由图易知，当直线y ＝－2x ＋z 经过A 点时截距最大， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3x －6，得A (3,3)，∴z max ＝2×3＋3＝9.5【解析】 目标函数可化为y ＝－34x ＋z 8，因为－34>－1，∴当过点(0,5)时，目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值． 【答案】 A 6【解析】不等式组表示的平面区域为图中阴影部分．平行移动y＝－12x＋12z，可知该直线经过y＝2x与x＋y＝1的交点A⎝⎛⎭⎪⎫13，23时，z有最大值为13＋43＝53.【答案】 C7【解析】画出不等式组表示的平面区域(如下图中阴影部分所示)．结合图形可知，点P在直线x＋y－3＝0上时，P点到直线3x＋4y＋10＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，x＋y－3＝0得P点坐标为(2,1)，故所求最大距离为d max＝|3×2＋4×1＋10|32＋42＝4.【答案】B8.【解析】画出可行域，如图中的阴影部分所示．如图知，－z是直线y＝x－z在y轴上的截距，当直线y＝x－z经过点A(2,0)时，－z取最小值，此时x＝2，y＝0，则z的最大值是x－y＝2－0＝2；当直线y＝x－z 经过点B(0,1)时，－z取最大值，此时x＝0，y＝1，则z的最小值是x－y＝0－1＝－1，所以z＝x－y的取值X围为－1≤z≤2.【答案】C9.【解析】设托运货物甲x箱，托运货物乙y箱，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧5x＋4y≤242x＋5y≤13x≥0，y≥0，x，y∈N*，利润z＝20x＋10y，由线性规划知识可得，当x ＝4，y＝1时，利润最大．【答案】A10【解析】画出x，y的可行域，如图阴影部分，直线x＋2y－5＝0与直线x－y －2＝0交于点A(3,1)，当z＝2x＋3y＋1过A点时，使得z＝2x＋3y＋1取得最大值，z max＝2×3＋3＋1＝10.【答案】1011 【解析】由条件作出可行域如图．根据图象知，目标函数过x＋y＋k＝0与x＝3的交点(3，－3－k)时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k)，∴k＝0.【答案】012【解析】作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k＜12时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥12时，直线y＝－kx＋z经过点(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当－k＜0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合题意．综上可知，k＝2.【答案】 213 【解】作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤1，0≤y≤2，2y－x≥1，的可行域，如图所示的阴影部分．作直线l：2y－2x＝0，平移直线l，当l经过点A(0,2)时，z max＝2×2－2×0＋4＝8；当l经过点B(1,1)时，z min＝2×1－2×1＋4＝4.14【解】作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x＋5y＝25，x－4y＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝5，y＝2，∴点A的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，3x＋5y＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝4.4，∴点C的坐标为C(1,4.4)．当直线z＝ax＋y(a>0)平行于直线AC，且直线经过线段AC上任意一点时，z均取得最大值，此时有无数多点使z取得最大值，而k AC＝－35，∴－a＝－35，即a＝35.15【解】设采用甲种原料x吨、乙种原料y吨，生产产品z千克．则有：⎩⎪⎨⎪⎧1 000x＋1 500y≤6 500500x＋400y≤2 200x≥0，y≥0，z＝90x＋100y，即y＝－910x＋z100.其可行域为：由图形知：点A是z取最大值时的最优解．解⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3y＝135x＋4y＝22，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2y＝3，即A(2,3)，∴z max＝90×2＋100×3＝480千克．答：工厂安排采用甲种原料2吨、乙种原料3吨时每日可生产产品最多，最多为480千克.16 【解】∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－a，α·β＝2b，∴⎩⎨⎧a＝－(α＋β)，b＝α·β2.∵0≤α≤1,1≤β≤2，∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a≤－1，0≤b≤1.人教A 版 数学习题 必修5第三章3.3.2 第一课时 第11页共11页建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率． ∵k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12.17【解析】 画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点A (－1,1)的连线的斜率，由图可见点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W <1.故选D.【答案】D。