【恒心】高考数学突破-圆锥曲线的综合问题(002)
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆锥曲线压轴小题突破练》课件ppt
|PF1|＋|PF2|＝2a1， |PF1|－|PF2|＝2a2，
得||PPFF12||＝ ＝aa11＋ －aa22， ，
设|F1F2|＝2c， 因为∠F1PF2＝π3，
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
即 4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos π3， 整理得 a21＋3a22＝4c2， 故e121＋e322＝4. 又 4＝e121＋e322≥2 e121×e322＝2e1e32， 即 2≥e1e32，所以 e1e2≥ 23，
即 p2 ＝ 42
32·94p⇒p＝2，∴|AB|＝92.
3
题型三 圆锥曲线与其他知识的综合
例4 (多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这 一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开 后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄 底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的 阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则
唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作 的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C： ax22－by22 ＝1(a>0，b>0) 的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一
周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为
3
2
√C.0，12
B.
23，1
D.12，1
连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时， 设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α， ∵存在M，N使得∠MPN＝120°， ∴∠APB≥120°，即α≥60°， 又α<90°， ∴sin α≥sin 60°， 连接 OA，则 sin α＝||OOPA||＝|ObP|≥ 23， ∴|OP|≤ 2b3.
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——圆锥曲线的综合问题 第二课时 定值问题
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(2)若直线 l 交椭圆 E 于 M，N 两点，直线 OM 的斜率为 k1，直线 ON 的斜率 为 k2，且 k1k2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值.
证明 当直线l的斜率不存在时，
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答题模板
第一步 求圆锥曲线的方程 第二步 特殊情况分类讨论 第三步 联立直线和圆锥曲线的方程 第四步 应用根与系数的关系用参数表示点的坐标 第五步 根据相关条件计算推证 第六步 明确结论
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训练 2 (2021·大同调研)如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，
已知|AB|＝4，且点e，345在椭圆上，其中 e 是椭圆的
离心率.
(1)求椭圆 C 的方程；
解 ∵|AB|＝4，∴2a＝4，即a＝2. 又点e，345在椭圆上，∴ae22＋1465b2＝1，即1c62 ＋1465b2＝1， 又b2＋c2＝a2＝4，联立方程解得b2＝3， ∴椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
(1)求动点 M 的轨迹 E 的方程；
[规范解答]
解 设M(x，y)，P(x0，y0)， 由(1－ 3)O→Q＝O→P－ 3O→M， 得O→Q－O→P＝ 3O→Q－ 3O→M， 即P→Q＝ 3M→Q，2 分
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∴xy00＝＝x，3y，又点 P(x0，y0)在圆 O：x2＋y2＝6 上， ∴x20＋y20＝6，∴x2＋3y2＝6， ∴轨迹 E 的方程为x62＋y22＝1.4 分
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感悟提升
解此类题的要点有两个：一是计算面积，二是恒等变形.如本题，要求△OMN 的面积，则需要计算弦长|MN|和原点 O 到直线 l 的距离 d，然后由面积公式 表达出 S△OMN(如果是其他凸多边形，一般需要分割成三角形分别求解)，再 将由已知得到的变量之间的等量关系代入面积关系式中，进行恒等变形， 即得 S△OMN 为定值23.
第09讲 高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题(定点问题) (精讲)(含答案解析)
第09讲高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题）(精讲）-2第09讲高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题）（精讲）题型三：抛物线中的定点问题角度1：抛物线中的直线过定点问题典型例题例题1．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）1．已知点()1,M p p -在抛物线()2:20C y px p =>上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点M 作斜率分别为12,k k 的两条直线12,l l ，若12,l l 与抛物线C 的另一个交点分别为,A B ，且有122k k +=，探究：直线AB 是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，说明理由.例题2．（2022·陕西西安·三模（理））2．已知抛物线()2:20C y px p =>上的点()()4,0G t t >到其准线的距离为5．不过原点的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，点M 在准线l 上的射影为N ．(1)求抛物线C 的方程；(2)当1NA NB ⋅=时，求证：直线AB 过定点．例题3．（2022·全国·高三专题练习）3．已知线段AB 是抛物线24y x =的弦，且过抛物线焦点F .(1)过点B 作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点E ，求证：A O E 、、三点共线(O 为坐标原点)；(2)设M 是抛物线准线上一点，过M 作抛物线的切线，切点为11A B 、.求证：（i ）两切线互相垂直；（ii ）直线11A B 过定点，请求出该定点坐标.同类题型归类练（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）4．已知抛物线C ：22y px =（0p >），直线1x =+交抛物线C 于A ，B 两点，且三角形OAB 的面积为O 为坐标原点）.(1)求实数p 的值；(2)过点D （2，0）作直线L 交抛物线C 于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为P '.证明：直线P 'Q 经过定点，并求出定点坐标.（2022·湖北武汉·高二期末）5．已知动圆M 过定点()2,0A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心M 的轨迹为曲线L ．(1)求L 的方程；(2)已知点()3,2B --，()2,1C ，P 是L 上的一个动点，设直线PB ，PC 与L 的另一交点分别为E ，F ，求证：当P 点在L 上运动时，直线EF 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．（2022·江西景德镇·高二期末（文））6．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 且垂直于x 轴的直线交C 于H ，I 两点，O 为坐标原点，OHI 的周长为8．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，试判断直线PQ 是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））7．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点FA 、B 两点（点A 在第一象限），交抛物线准线于G ，且满足83BG =．(1)求抛物线的标准方程；(2)已知C ，D 为抛物线上的动点，且OC OD ⊥，求证直线CD 过定点P ，并求出P 点坐标；(3)在（2）的条件下，求PC PD ⋅的最大值．角度2：抛物线存在定点满足某条件问题典型例题例题1．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））8．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点()2,0A 的直线l 交C 于M ，N 两点，当l 与x 轴垂直时，4MN =．(1)求C 的方程：(2)在x 轴上是否存在点P ，使得OPM OPN ∠=∠恒成立（O 为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由．例题2．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））9．已知直线:10l x ky --=与抛物线2:2(0)N y px p =>交于A ，B 两点，当直线l x ⊥轴时，||4AB =.(1)求抛物线N 的标准方程；(2)在x 轴上求一定点C ，使得点(2,0)M p 到直线AC 和BC 的距离相等.例题3．（2022·贵州铜仁·高二期末（理））10．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于,A B 两点．当直线与x 轴垂直时，||4AB =．(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．同类题型归类练（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）11．已知曲线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，曲线C 上有一点()0,Q x p 满足2QF =.(1)求抛物线C 的方程；(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点,A B ，直线AB 与x 轴相交于N ，试探究x 轴上存在一点是否存在异于N 的定点M 满足AM AN BMBN=恒成立.若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由.（2022·全国·高三专题练习（理））12．已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线E 于1122(,),(,)A x y B x y 两点，11AF y =+．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)在x 轴的正半轴上是否存在点P ，连接PA ，PB 分别交抛物线E 于另外两点C ，D ，使得4AB CD =？并说明理由．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）13．已知抛物线2:8C y x =，点()(),00M a a >，直线l 过点M 且与抛物线C 相交于,A B 两点．(1)当a 为变量时，P 为抛物线C 上的一个动点，当线段MP 的长度取最小值时，P 点恰好在抛物线C 的顶点处，请指出此时M 点运动的轨迹；(2)当a 为定值时，在x 轴上是否存在异于点M 的点N ，对任意的直线l ，都满足直线,AN BN 关于x 轴对称?若存在，指出点N 的位置并证明，若不存在请说明理由.（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）14．已知抛物线2:4E x y =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线E 于A 、B 两点.(1)当直线AB 的斜率为1时，求弦AB 的长度AB ；(2)在x 轴的正半轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB 分别交抛物线E 于另外两点C 、D ，使得//AB CD 且4AB CD =？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.（2022·全国·高考真题（文））15．已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．参考答案：1．(1)24y x=(2)直线AB 恒过定点()1,0-【分析】（1）将M 点坐标代入抛物线方程即可构造方程求得结果；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用斜率公式表示出122k k +=，得到124y y =；设:AB x my t =+，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，由此可得1t =-，可得:1AB x my =-，由此可得定点坐标.（1）()1,M p p - 在抛物线上，()221p p p ∴=-，解得：2p =，∴抛物线C 的方程为：24y x =.（2）由（1）得：()1,2M ；设()11,A x y ，()22,B x y ，则11121112241214y y k y x y --===-+-；同理可得：2242k y =+；122k k += ，1244222y y ∴+=++，整理可得：124y y =；当直线AB 斜率为0时，其与抛物线C 只有一个公共点，不合题意；当直线AB 斜率不为0时，设:AB x my t =+，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得：2440y my t --=，则124y y t =-，44t ∴-=，解得：1t =-；:1AB x my ∴=-，则直线AB 过定点()1,0-；综上所述：直线AB 恒过定点()1,0-.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.2．(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由抛物线的定义可求解；（2）设直线AB ，并与抛物线联立，运用韦达定理、向量的数量积可求解.【详解】（1）由抛物线C 的方程可得其准线方程2p x =-，依抛物线的性质得452p+=，解得2p =．∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）当直线AB 的斜率为0时，显然不符合题意；当直线AB 的斜率不为0时，设直线:(0)AB x my n n =+≠，211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭、222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()00,M x y ，由24y x x my n ⎧=⎨=+⎩化简得2440y my n --=，()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，12022y y y m +==，所以()1,2N m -，所以2111,24y NA y m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，2221,24y NB y m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，所以()()222121112244y y NA NB y m y m ⎛⎫⎛⎫⋅=+++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222121221212122124164y y y y y y y y m y y m +-=+++-++()22222216814842114m n n n m m n n n +=++--+=-+=-若1NA NB ⋅= ，即()211n -=，解得2n =或0n =（舍去），所以直线AB 过定点()2,0.3．(1)证明见解析(2)证明见解析.【分析】（1）由题知抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线为=1x -，故设直线AB 的方程为：1x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，进而得()21,E y -，再结合韦达定理证明OA OE k k =即可；（2）(i)设()01,M y -，过()01,M y -作抛物线的切线，斜率为()0k k ≠，则方程为()01y y k x -=+,切线11,MA MB 的切线斜率分别为12,k k ，进而结合韦达定理即可得121k k =-，进而证明；（ii ）结合（i ）得221121211212,,A k k B k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、，进而得1102A B k y =，直线11A B 的方程为2202221y x k y k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理即可得()021y x y =-，进而得定点坐标.（1）解：由题知抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线为=1x -，所以，设直线AB 的方程为：1x my =+，所以，联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4y y m y y +==-，因为过点B 作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点E ，所以()21,E y -因为2114y x =，故2114y x =所以112211214444OA y y y y y x y k =====--，221OE k y y ==--，所以，OA OE k k =，即A O E 、、三点共线.（2）解：（i ）设()01,M y -，所以，设过()01,M y -作抛物线的切线，斜率为()0k k ≠，则方程为()01y y k x -=+，所以，()0214y y k x y x⎧-=+⎨=⎩得204440ky y y k -++=，所以，()0164440k y k ∆=-+=，即2010k ky +-=，设切线11,MA MB 的切线斜率分别为12,k k ，则12,k k 为方程2010k ky +-=的实数根，所以121k k =-，120k k y +=-，所以，两切线互相垂直.(ii)由（i ）知204440ky y y k -++=，2010k ky +-=，所以，22204440k y ky ky k -++=，即()2224420k y ky ky -+=-=，所以221121211212,,A k k B k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、，所以，1121121222210221122A B k k k k k k y k k k =+==--，所以，直线11A B 的方程为2202221y x k y k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得()2022222020200200202222222221y k k y x x x y k y k y y k y y k y --=+-=+=+=-，即()021y x y =-所以，直线11A B 过定点()1,0.4．(1)2p =；(2)证明见解析，定点()2,0-.【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，求出12y y -即得解；（2）设()()3344,,,P x y Q x y ，不妨令43y y >，设直线L 的方程为2x ty =+，联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，求出直线P Q '的方程即得解.（1）解：由题得直线1x =+过点()1,0，.设()()1122,,,A x y B x y ，联立21,2,x y px ⎧=+⎪⎨=⎪⎩得220y p --=，所以1212,2y y y y p +==-，所以122y y -=所以三角形OAB的面积12112S y y =⨯⨯-==又0p >，解得2p =（30p =-<舍去）.所以2p =.（2）证明：由（1）抛物线C 的方程为24y x =，设()()3344,,,P x y Q x y ，不妨令43y y >，则()33,P x y '-，设直线L 的方程为2x ty =+，联立22,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2480y ty --=，则34344,8y y t y y +==-，则直线P Q '的方程为()()433343y y y y x x x x +--=--，即()()43434343x x y x y y y x y x -+=+-，则()()()()4343434322ty ty y ty y y y x y ty -++=+-+，即()()()4343433422t y y y y y x ty y y y -=+--+，即()()43433422y y y x ty y y y =+--+，所以()42824y tx t t =-⨯--⨯，即()2y t x =+，令20,0,x y +=⎧⎨=⎩解得2,0,x y =-⎧⎨=⎩所以直线P Q '恒过定点()2,0-5．(1)24y x=(2)证明见解析，定点110,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；【分析】（1）设圆心(),C x y ，圆的半径为R ，依题意得到方程，整理即可；（2）设200,4y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，121,4y E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y F y ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得到直线EF 的方程，同理可得直线DE与直线DF 的方程，再根据直线DE 过点()3,2B --，直线DF 过点()2,1C ，即可消去0y ，从而求出EF 过定点坐标；（1）解：设圆心(),C x y ，圆的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-，整理得24y x =．所以动圆圆心的轨迹方程为24y x =．（2）证明：抛物线的方程为24y x =，设200,4y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，121,4y E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y F y ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线EF 的方程为()1211221244y y y y x x y y --=--，得2111211121212124444x y y y x x x y y y y y y y y y y +-=-+=+++++，又2114y x =，所以直线EF 的方程为1212124y y xy y y y y =+++．同理可得直线DE 的方程为1010104y y xy y y y y =+++，直线DF 的方程为0022024y y xy y y y y =+++因为直线DE 过点()3,2B --，所以()1101222y y y -=+；因为直线DF 过点()2,1C ，所以()22081y y y -=-．消去0y ，得()121210433y y y y =++．代入EF 的方程，得12411033y x y y ⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭，所以直线EF 恒过一个定点110,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．6．(1)28y x=(2)直线PQ 过定点()6,0【分析】（1）将2px =代入抛物线22y px =中，得出HI 的长度，再由勾股定理得出OH ，结合条件建立关于p 的方程，得出答案.（2）由题意设直线AB 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线AB 的方程与抛物线的方程，由韦达定理得出P 点坐标，同理得出Q 点坐标，从而得出直线PQ 方程，得出答案.（1）由题意,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，在22y px =中代入2p x=，得222p y p =⋅，解得y p =±，所以2HI p =．由勾股定理得|OH OI p ===，则OHI 的周长为2822p p p ++=，解得4p =，故抛物线C 的方程为28y x =．（2）由题意可知()2,0F ，直线AB 的斜率存在，且不为0．设直线AB 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ．联立22,8,x my y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得28160y my --=，264640m ∆=+>，则128y y m +=，从而()21212484x x m y y m +=++=+．因为P 是弦AB 的中点，所以()242,4P m m +，同理可得2442,Q mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．当21m ≠，即1m ≠±时，直线PQ 的斜率2224441422PQm m m k m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，则直线PQ 的方程为()224421my m x m m -=---，即()()216m y m x -=-．故直线PQ 过定点()6,0；当21m =，即1m ≠±时，直线PQ 的方程为6x =，也过点()6,0．综上所述，直线PQ 过定点()6,0．7．(1)24y x=(2)证明见解析；P 点坐标为（4，0）(3)16-【分析】（1）过点B 作准线的垂线，垂足为H ，设准线与x 轴相交于点M ，由直线的斜率得出倾斜角，利用三角函数及抛物线的定义求出||MF 即可得解；（2）设直线CD 的方程为：x my t =+，211,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y D y ⎛⎫⎪⎝⎭，联立方程组，由根与系数的关系求出12y y ，再由OC OD ⊥建立斜率的方程即可得解；（3）由向量的数量积坐标运算化简，利用二次函数求最值.（1）过点B 作准线的垂线，垂足为H ，设准线与x 轴相交于点M，如图，由题知，直线l 的倾斜角为π3．∴在R t BGH 中，π3GBH ∠=，又∵83BG =，∴43BH =，∴43BF =．∴4GF BG BF =+=，∴在R t GFM 中，又3MFG π∠=，∴2MF =，∴2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =．（2）由（1）可知，抛物线方程为24y x =，设直线CD 的方程为：x my t =+，211,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y D y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线与抛物线联立：24x my ty x=+⎧⎨=⎩，得：2440y my t --=，则124y y m +=，124y y t =-，∵14OC k y =，24OD k y =且OC OD ⊥，∴12161614OC OD k k y y t ⋅===--则4t =，∴直线CD 过定点（4，0），即P 点坐标为（4，0），（3）由（2）可知P 点坐标为（4，0），∴()2222212121216161616y y PC PD y y y y m ⋅=-+++=-- ，∴PC PD ⋅的最大值为16-．8．(1)22y x =(2)存在，()2,0-【分析】（1）易知||4MN ==，求出p 即可；（2）设()0,0P x ，()11,M x y ，()22,N x y ，由题可知直线l 斜率不为零，设: 2l x m y =+，代入抛物线方程22y x =消去x ，得2240y my --=，由OPM OPN ∠=∠可得0MP NP k k +=，利用斜率公式，根与系数的关系求解即可【详解】（1）当l 与x轴垂直时，由题意易得||MN =，从而4=，解得p ＝1，所以C 的方程为22y x =；（2）设()0,0P x ，()11,M x y ，()22,N x y ，由题可知直线l 斜率不为零，设: 2l x m y =+，代入抛物线方程22y x =消去x ，得2240y my --=，从而122y y m +=，124y y =-，①由OPM OPN ∠=∠可得0MP NP k k +=12121020102022MP NP y y y y k k x x x x my x my x +=+=+--+-+-()()()()1201210202222my y x y y my x my x +-+=+-+-将①代入上式，得()()102042022m mx my x my x --=+-+-恒成立，所以02x =-，因此存在点P ，且满足题意，P 点坐标为()2,0-．9．(1)24y x =(2)(1,0),(1,0),(4,0)-【分析】（1）直线l x ⊥轴时，将1x =代入抛物线方程求得,A B 纵坐标，得出AB ，从而可得p 值，得抛物线方程；（2）设()()(),,,,,0A A B B C A x y B x y C x ，直线方程与抛物线方程联立，消元后应用韦达定理得A B y y +，A B y y ，题意即为0AC BC k k +=，代入韦达定理的结论可求得C x ，同时注意,,A B C 共线或C 与M 重合的情形，从而得出结论．（1）当直线l x ⊥轴时，方程为1x =，代入抛物线方程得22y p =，y =，∴||4AB ==，解得2p =.∴抛物线N 的标准方程为24y x =；（2）设()()(),,,,,0A A B B C A x y B x y C x .联立210,4,x ky y x --=⎧⎨=⎩得2440y ky --=.∴4,4A B A B y y k y y +=⋅=-.①由题意可知()()()()0A B C B A C A BAC BC A C B C A C B C y x x y x x y y k k x x x x x x x x -+-+=+==----，∴()()0A B C B A C y x x y x x -+-=，即()B A A B C A B x y x y x y y +=+.∴()()()11B A A B C A B ky y ky y x y y +++=+，即()()2A B A B C A B ky y y y x y y ++=+.∴844C k k kx -+=.∵0k ≠，可知1C x =-.∴点C 的坐标由抛物线的图象可知，还有点(1,0),(4,0)满足题意，故这样的点有3个，坐标分别为(1,0),(1,0),(4,0)-.10．(1)24y x =(2)(1,2)P ±【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，根据题意，令2px =，求出纵坐标的值，再根据AB 4=进行求解即可；（2）设直线AB 的方程,与抛物线方程联立，求出直线PA ，PM ，PB 的斜率表达式，结合等差数列和一元二次方程根与系数关系，得到一个等式，根据等式成立进行求解即可.（1）因为(,0)2pF ，在抛物线方程22y px =中，令2p x =，可得y p =±，所以当直线与x 轴垂直时24AB p ==，解得2p =，抛物线的方程为24y x =.（2）（2）因为抛物线24y x =的准线方程为=1x -，由题意可知直线AB 的方程为1x y =+，所以(1,2)M --.联立241y x x y ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2440y y --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y +=，124y y =-，若存在定点00(,)P x y 满足条件，则2PM PA PB k k k =+，即0010200102221y y y y y x x x x x +--⋅=++--，因为点,,P A B 均在抛物线上，所以222012012,444y y y x x x ===.代入化简可得00122200120122(2)24()y y y yy y y y y y y +++=++++，将124y y +=，124y y =-代入整理可得002200022444y y y y y ++=++-，即202(4)0y -=，所以2040y -=，解得02y =±，将02y =±代入抛物线方程，可得01x =，于是点(1,2)P ±即为满足题意的定点.11．(1)24y x =(2)存在，()4,0M -【分析】（1）由焦半径公式代入求解p ，从而得抛物线方程；（2）设直线方程，联立方程组，将韦达定理代入所给条件求解.（1）Q 在曲线C 上，则202p px =，则02px =，而022pQF x p ==+=，故抛物线C 的方程为24y x =.（2）易知直线AB 的斜率不为0，故设()()()1122:,,,,,,0AB l x ty n A x y B x y M m =+联立：224404x ty ny ty n y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，故12124,4y y t y y n +==-.222121244y y x x n =⋅=，因为OA OB ⊥，则2121240OA OB x x y y n n ⋅=+=-=则4n =或0n =（舍），故()4,0N .因为,M N 都在x 轴上，要使得AM AN BMBN=，则x 轴为AMB ∠的角平分线，若1m x =，则AM 垂直于x 轴，x 轴平分AMB ∠，则BM 垂直于x 轴，则直线AB 的方程为4x =，此时4m n ==，而,M N 相异，故1m x ≠，同理2m x ≠故AM 与BM 的斜率互为相反数，即12122112120y y x y x y m x m x m y y ++=⇒=--+()()1221121212442324444ty y ty y ty y t m y y y y t+++-⇒==+=+=-++为定值.故当()4,0M -时，有AM AN BMBN=恒成立.【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．12．(1)24x y =(2)见解析【分析】（1）根据点A 到点F 的距离等于点A 到直线1y =-，结合抛物线的定义得出抛物线E 的标准方程；（2）设()()330,,,0C x y P x ，由4PA PC = 结合抛物线方程得出12,x x 是方程2200230x x x x --=的两根，设直线AB 的方程为1y kx =+，并与抛物线方程24x y =联立结合韦达定理得出点P 坐标.（1）因为点F 是抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点，且11AF y =+所以点A 到点F 的距离等于点A 到直线1y =-所以由抛物线的定义可知1,22pp ==所以抛物线E 的标准方程为24x y =（2）设()()330,,,0C x y P x 由4AB CD = 得：//AB CD ，且4AB CD =，得4PA PC= 即()()101303,4,x x y x x y -=-，所以101333,44x x yx y +==代入抛物线方程24x y =，得221011344x x x y +⎛⎫==⎪⎝⎭整理得221010230x x x x --=，同理可得222020230x x x x --=故12,x x 是方程2200230x x x x --=的两根，20160x ∆=>由韦达定理可得21201202,3x x x x x x +==-①由题意，直线AB 的斜率一定存在，故设直线AB 的方程为1y kx =+与抛物线方程24x y =联立可得2440x kx --=由韦达定理可得12124,4x x k x x +==-②由①②可得033x k ==故在x 轴的正半轴上存在一点,03P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭满足条件.13．(1)M 点的运动轨迹是x 轴的(]0,4部分的线段；(2)存在点(),0N a -，证明见解析.【分析】（1）设2,8y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可表示出2MP ，根据线段MP 的长度取最小值时，P 点恰好在抛物线C 的顶点处可确定对称轴位置，由此可得轨迹；（2）当l 斜率不存在时知x 轴上任意异于点M 的点N 均满足题意；当l 斜率存在时，假设l 方程，与抛物线方程联立后可得韦达定理的形式，代入0AN BN k k +=中整理可得定点；综合两种情况可得结论.（1）设2,8y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则224222218644y y a MP a y y a ⎛⎫⎛⎫=-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当线段MP 的长度取最小值时，P 点恰好在抛物线C 的顶点处，即当0y =时，线段MP 的长度取最小值a ；140132a-∴-≤，解得：4a ≤，04a ∴<≤；M ∴点的运动轨迹是x 轴的(]0,4部分的线段.（2）①当直线l 斜率不存在时，对于x 轴上任意异于点M 的点N ，都满足直线,AN BN 关于x 轴对称；②当直线l 斜率存在时，设:l x ty a =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由28x ty a y x=+⎧⎨=⎩得：2880y ty a --=，则，设(),0N n ，直线,AN BN 关于x 轴对称，0AN BN k k ∴+=，()()()()2212121221121212221212121212880y y y y n y y x y n y y x y y y x n x n x x n x x n x x n x x n -++-++∴+===---+--+-，即()()()12121288808y y y y n y y at nt n a t +-+=--=-+=，∴当n a =-时，0AN BN k k +=恒成立，即(),0N a -；综上所述：存在点(),0N a -，对任意的直线l ，都满足直线,AN BN 关于x 轴对称.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程或得到恒成立的式子；④求解定点得到结果.14．(1)8(2)存在，,03P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意得到直线AB 的方程10x y -+=，与抛物线2:4E x y =联立，再利用抛物线的定义求解；（2）由//AB CD 且4AB CD =，得到4PA PC =，表示点C 的坐标，代入抛物线方程，整理得到221010230x x x x --=，同理得到222020230x x x x --=，12,x x 是方程2200230x x x x --=的两根,设直线AB 的方程为1y kx =+，与抛物线2:4E x y =联立,由韦达定理求解.（1）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()0,0P x ，由题意知，点F 的坐标为()0,1，直线AB 的方程为10x y -+=.与抛物线2:4E x y =联立可得2610y y -+=.由韦达定理有126y y +=，故1228AB y y =++=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()0,0P x .由//AB CD 且4AB CD =，得4PA PC = ，即()()101303,4,x x y x x y -=-.所以10334x x x +=，134y y =.代入抛物线2:4E x y =，得221011344x x x y +⎛⎫== ⎪⎝⎭，整理可得221010230x x x x --=，同理可得222020230x x x x --=，故12,x x 是方程2200230x x x x --=的两根，20120x ∆=>，由韦达定理有1202x x x +=，21203x x x =-，①由题意，直线AB 的斜率一定存在，故设直线AB 的方程为1y kx =+，与抛物线2:4E x y =联立可得2440x kx --=，由韦达定理有124x x k +=，124x x =-，②由①②可得0x =，3k =，故x轴的正半轴上存在一点3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭满足条件.15．(1)22143y x +=(2)(0,2)-【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【详解】（1）解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y +=，可得(1,M ，N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,T -，由MT TH = 得到(5,H -.求得HN 方程：(2)23y x =+-，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，()()12221228234444234k y y k k k y y k ⎧-++=⎪+⎪⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34k x y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.。
高考数学第一轮复习圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题●知识梳理分析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它自己重视于形象思想、 推理运算和数形联合，综合了代数、三角、几何、向量等知识. 反应在解题上，就是依据曲线的几何特色准确地变换为代数形式，依据方程画出图形，研究几何性质. 学习时应娴熟掌握函数与方程的思想、数形联合的思想、参数的思想、分类与转变的思想等，以达到优化解题的目的.详细来说，有以下三方面：（ 1）确立曲线方程，本质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法 . 有时题设设计的特别隐蔽，这就要求仔细审题，发掘题目的隐含条 件作为解题打破口 .（ 2）分析几何也能够与数学其余知知趣联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思想的灵巧性和多面性，能够顺利进行转变，即从一知识转变为另一知识.（ 3）分析几何与其余学科或本质问题的综合，主要表此刻用分析几何知识去解相关知 识，详细地说就是经过成立坐标系， 成立所研究曲线的方程， 并经过方程求解往返答本质问题. 在这一类问题中“本质量”与“数学量”的转变是易犯错的地方，这是由于在座标系中 的量是“数目” ，不单有大小还有符号 .●点击双基1. （ 2005 年春天北京， 5）设 abc ≠0，“ ac >0”是“曲线 ax 2+by 2=c 为椭圆”的 A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足又不用要条件 2 2分析： ac >0 曲线 ax +by =c 为椭圆 .答案： B2. 到两定点 A （0， 0）， B （ 3， 4）距离之和为 5 的点的轨迹是A. 椭圆所在直线 C. 线段 ABD. 无轨迹分析：数形联合易知动点的轨迹是线段： = 4，此中 0≤ x ≤ 3.AB3答案： C3. 若点（ x ， y ）在椭圆 4x 2+y 2=4 上，则x y 的最小值为2B. － 1C.－23D. 以上都不对3分析：y的几何意义是椭圆上的点与定点（ 2， 0）连线的斜率 . 明显直线与椭圆相x2切时获得最值，设直线 = （ － 2）代入椭圆方程（ 4+k 2）x 2－4 2 +4 2－4=0.y k xk x k令 =0， k =± 23 .3∴ k min =－ 23 .3答案： C4. （ 2005 年春天上海， 7）双曲线 9 2－ 16 y 2=1 的焦距是 ____________.x分析：将双曲线方程化为标准方程得x2y221 21 ，－ 1 =1. ∴ a =9 ， b =16 19 16c 2=a 2+b 2= 1 + 1 =25 .9 16 144∴ c = 5， 2c = 5.126答案：565. （ 2004 年春天北京）若直线+ －3=0 与圆 x 2+ y 2=3 没有公共点，则mx ny系式为 ____________；以（ m ， n ）为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆公共点有 ____________个 .分析：将直线 mx +ny － 3=0 变形代入圆方程x 2+y 2=3，消去 x ，得（2+2） y 2－ 6 ny +9－3 2=0.m nm22令 <0 得 m +n <3.又 m 、n 不一样时为零，2 2∴ 0<m +n <3.223 ， | m |< 3 ，由 0<m +n <3，可知 | n |<m 、n 知足的关2 2 x y再由椭圆方程 a = 7 ， b = 3 可知公共点有 2 个.2 2答案： 0<m +n <3 2 ●典例分析【例 1】 （2005 年春天北京， 18）如图， O 为坐标原点，直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b （ a >0， b ≠ 0），且交抛物线 y 2=2px （p >0）于 M （ x 1， y 1），N （ x 2， y 2）两点 .lyMOa xb N（ 1）写出直线 l 的截距式方程；（ 2）证明： 1+1=1；y 1y 2 b （ 3）当 =2 时，求∠的大小 .a pMON分析：易知直线l 的方程为 x + y =1 ，欲证 1+1=1，即求 y1y 2 的值，为此只要aby 1 y 2by 1 y 22=2px 交点的纵坐标 . 由根与系数的关系易得 121 2的值，从而证得 求直线 l 与抛物线 y y +y 、y y 1+ 1 = 1. 由 OM · ON =0 易得∠ MON =90° . 亦可由 k OM ·k ON =－ 1 求得∠MON =90° . y 1 y 2 b（ 1）解：直线 l 的截距式方程为x + y=1.a b①（ 2）证明：由①及 y 2=2 消去x可得by 2+2－2 =0.pxpaypab②点、 的纵坐标 y 1、 y 2 为②的两个根，故 y 1+ 2=2 pa ， 1 y 2=－2. M Npab2 pa所以 1 + 1y 1 y 2 = b1== .y 1 y 2y 1 y 2 2 pa b （ 3）解：设直线 OM 、 ON 的斜率分别为k 1、 k 2，则 k 1=y 1，k 2=y 2.x 1 x 2当 a =2p 时，由（ 2）知， y 1y 2=－ 2pa =－ 4p 2，2222由 y 1 =2px 1， y 2 =2px 2，相乘得（ y 1y 2）=4p x 1 x 2，x 1x 2= ( y 1 y 2 ) 2 =( 4 p 2 ) 2=4p 2，4 p 2 4 p 2所以 ky 1 y 2 4 p 21k 2===－ 1.x 1 x 24 p 2所以 OM ⊥ ON ，即∠ MON =90° .评论：此题主要考察直线、 抛物线等基本知识， 考察运用分析几何的方法分析问题和解决问题的能力 .【例 2】 （2005 年黄冈高三调研考题）已知椭圆C 的方程为x 2+ y 2=1（ a >b >0），双a 2b 2x 2 y 2121曲线a 2－b 2 =1 的两条渐近线为 l 、l ，过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l，使 l ⊥ l ，又 l 与l 2 交于 P 点，设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下挨次为A 、B . （以下列图）ylPl 2AOFx Bl 1（ 1）当 l 1 与 l 2 夹角为 60°，双曲线的焦距为4 时，求椭圆 C 的方程；（ 2）当 FA =λ AP 时，求 λ的最大值 .分析：（ 1）求椭圆方程即求、 b 的值，由l 1与l2的夹角为 60°易得b=3，由双曲aa3线的距离为 4 易得 a 2+b 2=4，从而可求得 a 、b .（ 2）由 FA =λ AP ，欲求 λ 的最大值，需求A 、P 的坐标，而 P 是 l 与 l 1 的交点，故需求 l 的方程 . 将 l 与 l 2 的方程联立可求得 P 的坐标，从而可求得点A 的坐标 . 将 A 的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值 .解：（ 1）∵双曲线的渐近线为 y =± bx ，两渐近线夹角为60°，a又 b<1，a∴∠ POx =30°，即 b=tan30 ° = 3.a3∴ a = 3 b .又 a 2+b 2=4，∴ a 2=3，b 2=1.故椭圆 C 的方程为x 22+y =1.3（ 2）由已知 l ： y = a（ x －c ），与 y = bx 解得 P （ a 2，ab），ba ccca 2abFA=cc） .由得 （，λ APA11将 A 点坐标代入椭圆方程得（ c 2+λa 2）2+λ2a 4=（ 1+λ） 2a 2c 2. ∴（ e 2+λ） 2+λ2=e 2（ 1+λ） 2.∴ λ2= e4e 2 =－［（ 2－ e 2）+ 2 ］+3≤3－2 2 . e 222 e 2∴ λ的最大值为2 － 1.评论：此题考察了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用. 解决此题的难点是经过恒等变形， 利用重要不等式解决问题的思想 . 此题是培育学生分析问题和解决问题能力的一道好题 .【例 3】 设椭圆中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率= 3，已知点（0， 3）2 2到这个椭圆上的点的最远距离是 7 ，求这个椭圆方程， 并求椭圆上到点P 的距离等于 7 的点的坐标 .分析：设椭圆方程为x2+ y2=1，由 e =3知椭圆方程可化为x 2+4y 2=4b 2，而后将距离a 2b 22转变为 y 的二次函数，二次函数中含有一个参数b ，在判断距离有最大值的过程中，要议论y =－ 1能否在 y 的取值范围内，最后求出椭圆方程和P 点坐标 .2解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是x2 y 2=1，此中 a ＞b ＞ 0 待定 .a+2b 2由 e 2c2=a 2b 2=1－（b2可知b1 e2 = 13 1 ，即 a =2b .=a 2 a 2a ） =4 =a222322y 229设椭圆上的点 （ x ，y ）到点 P 的距离为 d ，则 d =x +（y － 2 ） =a （ 1－ b 2）+y － 3y + 4 =4b 2－3y 2－ 3y + 9 =－ 3（y + 1）2 +4b 2+3，此中－ b ≤ y ≤b .42假如b ＜1，则当y =－ b 时2（从而 ）有最大值，由题设得（7）2=（ + 3）2，由2ddb 2此得 b = 7 － 3＞ 1，与 b ＜ 1矛盾 .222所以必有 b ≥1成立，于是当 y =－127 222 2 时 d （从而 d ）有最大值， 由题设得 （） =4b +3，由此可得 b =1， a =2.故所求椭圆的直角坐标方程是x 2 +y 2=1.4由 y =－ 1及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－3 ，－ 1），点（3，－ 1）到222点 P 的距离都是7 .解法二：依据题设条件，设椭圆的参数方程是x =a cos θ，y =b sin θ， 此中 a ＞ b ＞ 0 待定，0≤ θ＜ 2π，∵ e = 3，2 ∴ a =2b .设椭圆上的点（ x ， y ）到点 P 的距离为 d ，则d 2=x 2+（ y －3）2=a 2cos 2θ +（ b sin θ－3）2=－ 3b 2·（sin θ+1） 2+4b 2+3.222b假如1＞1，即 b ＜1272，则当 sin θ=－ 1 时， d （从而 d ）有最大值，由题设得（） =2b2（ +3） 2，由此得b =7－3＞1，与 ＜1矛盾 .b22 2b 2所以必有1≤1 成立，于是当 sin θ=－1时， d 2（从而 d ）有最大值，由题设得（7 ）2b2b2=4b 2+3.由此得 b =1， a =2. 所以椭圆参数方程x =2cos θ， y =sin θ.消去参数得 x2+y 2=1，由 sin θ=1 ，cos θ=±3知椭圆上的点 （－ 3，－1），（ 3 ，4222－ 1）到 P 点的距离都是7 .2评论：此题表现认识析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意议论.深入拓展依据图形的几何性质，以P 为圆心，以 7 为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P 的距离为7 ，此时的椭圆和切点即为所求. 读者不如一试 .x 2+（ y － 3） 2=7，提示：由2x 2+4 2=4 2，y b得 3y 2+3y － 9=4b 2－ 7，4由 =0 得 b 2=1，即椭圆方程为 x 2+4y 2=4.所求点为（－3，－ 1）、（ 3，－ 1） .22●闯关训练夯实基础1. （ 2005 年北京东城区目标检测）以正方形的相对极点 、 为焦点的椭圆，恰ABCD A C好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为102 B. 5 1A.3351D. 102C.22分析：成立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e =102.2答案： D2. 已知 F 1（－ 3， 0）、F 2（3， 0）是椭圆x 2 + y 2＝ 1 的两个焦点， P 是椭圆上的点，当m n∠ F 1PF 2＝2π时，△ F 1PF 2 的面积最大，则有3=12， n =3=24 ， n =6 =6， n =3=12 ， n =62分析：由条件求出椭圆方程即得 m =12， n =3.答案： A3. （ 2005 年启东市第二次调研）设P （ 2 ，2 ）、P （－2 ，－ 2 ）， M 是双曲线12y = 1上位于第一象限的点，对于命题①| 2| － |1|=2；②以线段1为直径的圆与圆xMPMP2MPx 2+y 2=2 相切；③存在常数 b ，使得 M 到直线 y =－ x +b 的距离等于2| MP 1|. 此中全部正确命2题的序号是 ____________.分析：由双曲线定义可知①正确，②绘图由题意可知正确，③由距离公式及| MP 1| 可知正确 .答案：①②③4. （ 2004 年全国Ⅱ， 15）设中心在原点的椭圆与双曲线2 2－ 2 2=1 有公共的焦点，且xy它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.分析：双曲线中， a =1=b ，∴ F （± 1， 0）， e = c= 2 . ∴椭圆的焦点为（± 1， 0），2a离心率为2. ∴长半轴长为2 ，短半轴长为1.2∴方程为x 2+y 2=1.2答案： x 2+y 2=125. （ 1）试议论方程（ 1－k ） x 2+（ 3－k 2） y 2=4（ k ∈ R ）所表示的曲线；（ 2）试给出方程x 2 y2k+=1 表示双曲线的充要条件 .k 26 6k 2k 1解：（ 1） 3－ k 2>1－k >0 k ∈（－ 1， 1），方程所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆；1－ k >3－ k 2>0 k ∈（－3 ，－ 1），方程所表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆； 1－k =3－k 2>0 k =－ 1，表示的是一个圆； （ 1－ k ）（ 3－ k 2） <0 k ∈（－∞，－ 3 ）∪（ 1， 3 ），表示的是双曲线； k =1， k =－3 ，表示的是两条平行直线； k = 3 ，表示的图形不存在 .（ 2）由（ k 2+k － 6）（ 6k 2－ k －1）<0（k +3）（ k －2）（ 3k +1）（ 2k － 1）<0 k ∈（－ 3，－ 1）∪（ 1，2）.326. （ 2003 年湖北八市模拟试题）已知抛物线y 2 =2px 上有一内接正△ AOB ，O 为坐标原点 .yAOxB（ 1）求证：点 A 、 B 对于 x 轴对称； （ 2）求△ AOB 外接圆的方程 .（ 1）证明：设 A （ x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2），∵| |=|| ，∴x 2+ 22211=2+2.OAOByxy又∵ y 12=2px 1， y 22=2px 2， 22∴ x 2 － x 1 +2p （x 2－ x 1） =0， 即（ x 2－x 1）（ x 1+x 2+2p ）=0.又∵ x 1、x 2 与 p 同号，∴ x 1+x 2+2p ≠ 0. ∴ x 2－ x 1=0，即 x 1=x 2. 由抛物线对称性，知点A 、B 对于 x 轴对称 .（ 2）解：由（ 1）知∠ AOx =30°，则y 2=2px ， x =6p ，y =3 x ∴y =2 3 p .3∴ A （ 6p ， 2 3 p ） .方法一：待定系数法， △ AOB 外接圆过原点 O ，且圆心在 x 轴上，可设其方程为 x 2+y 2+dx =0.将点 A （ 6p ， 2 3 p ）代入，得 d =－ 8p . 故△ AOB 外接圆方程为 x 2+y 2－ 8px =0.方法二：直接求圆心、半径，设半径为 r ，则圆心（ r ，0） .培育能力7. （理）（ 2004 年北京， 17）以下列图，过抛物线2=2px （ p ＞ 0）上必定点 P （x ， y ）y（＞ 0），作两条直线分别交抛物线于（1，1）、 （ 2， 2） .yA xyB x y（ 1）求该抛物线上纵坐标为p的点到其焦点 F 的距离；2yPO AxB（ 2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求是非零常数 .解：（ 1）当 y =p时， = p.2 x 8又抛物线 y 2=2px 的准线方程为x =－ p，2由抛物线定义得所求距离为p－（－ p） =5p.8 2 8（ 2）设直线 PA 的斜率为 k PA ，直线 PB 的斜率为22=2px ，由 y=2px ， y0 11相减得（ y 1－ y 0）（ y 1+y 0） =2p （ x 1－ x 0），故 ky 1y 0 =2 p（x ≠ x ） .PA1x 1 x 0 y 1 y 0y1y2的值，并证明直线AB的斜率y0 k PB.同理可得 k PB =2 p（ x 2 ≠ x 0）.y 2y 0由 PA 、 PB 倾斜角互补知 k PA =－ k PB ，即2 p 2 p，所以 y +y =－ 2y ，=－y 1y 0y 2 y 0 1 2 0故y1y 2=－ 2.y 0设直线 AB 的斜率为 k.AB22由 y 2 =2px 2， y 1 =2px 1， 相减得（ y 2－ y 1）（ y 2+y 1） =2p （ x 2－ x 1）， 所以 k AB = y2y1= 2 p（ x 1≠ x 2） .x 2 x 1 y 1y 2将 y 1+y 2=－2y 0（ y 0＞ 0）代入得k AB =2 p =－ p，所以 k AB 是非零常数 . y 1 y 2 y 0（文）以下列图，抛物线对于x 轴对称，它的极点在座标原点，点（ 1，2）、 （ 1， 1）、PA xyB （ x 2， y 2）均在抛物线上 .y PO AxB（ 1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（ 2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1+y 2 的值及直线 AB 的斜率 .解：（ 1）由已知条件，可设抛物线的方程为 y 2=2px . ∵点 P （ 1， 2）在抛物线上，∴ 22=2p ·1，得 p =2.故所求抛物线的方程是 y 2=4x ，准线方程是 x =－ 1. （ 2）设直线 的斜率为 k PA ，直线 的斜率为 k PB .PAPB则 k PA =y 12（ x 1≠ 1），k PB =y 22（ x 2≠ 1） .x 1 1x 2 1∵ PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴ k PA =－ k PB .由 A （x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2）在抛物线上，得2y 1 =4x 1，①2y 2 =4x 2，②∴ y 12=－ y 2 2 .1 y 12 1 1 y 2 2 1 4 4∴ y 1+2=－（ y 2+2） . ∴ y 1+y 2=－ 4. 由①－②得直线 AB 的斜率y 2 y 14=－ 4） .=－ 1（ x ≠ xAB12x 2x 1 y 1 y 2 48.（ 2003 年北京东城区模拟试题）从椭圆 x2+ y 2 =1（ a ＞ b ＞ 0）上一点 M 向 x 轴作垂线，a 2b 2恰巧经过椭圆的左焦点 F 1，且它的长轴右端点A 与短轴上端点B 的连线 AB ∥ OM .（ 1）求椭圆的离心率；（ 2）若 Q 是椭圆上随意一点， F 2 是右焦点，求∠ F 1QF 2 的取值范围；（ 3）过 F 1 作 AB 的平行线交椭圆于 C 、 D 两点，若 | CD |=3 ，求椭圆的方程 .解：（ 1）由已知可设 （－ ， ），Mcy则有( c) 2y2a 2+=1.b2∵ M 在第二象限，∴ M （－ c ，b 2） .a又由 AB ∥ OM ，可知 k AB =k OM .∴－ b 2 =－ b. ∴b =c . ∴ a = 2 b .acac2a2（ 2）设 | F 1Q |= m ，| F 2Q |= n ，22则 m +n =2a ， mn ＞ 0.| F 1F 2|=2 c ，a =2c ，∴ cos ∠ 1 2= m 2 n 2 4c 2F QF2mn( m n) 22mn 4c 2 4a 2 4c2=2mn=2mn － 1= a 2 － 1≥ a 2 － 1= a 2 － 1=0.mn m n 2 a 2()2 当且仅当 m =n =a 时，等号成立 .故∠ F QF ∈［ 0， π ］.122（3）∵ ∥ ， CD =－ b=－ 2 .CD AB ka2设直线 CD 的方程为 y =－2（x +c ），2即 y =－2（ x +b ）.222x+ y =1，a 22b则 消去 y ，整理得y =－2（x +b ）.2（ a 2+2b 2）x 2+2a 2bx － a 2b 2=0.设 C （x 1， y 1）、 D （ x 2， y 2），∵ a 2=2b 2，∴ x 1+x 2=－2a 2b =－ 4b 3=－ b ，a 22b 24b 2x 1· x 2=－a 2b 2 =－ 2b 4 =－ b 2.a 2 2b 24b 22∴ | CD |= 1 k 2| x 1－x 2|=1 k 2· (x 1x 2 )24x 1x 2=1 (2 ) 2 · ( b)22b 2=9b 2 =3.22∴ b 2=2，则 a 2=4.∴椭圆的方程为 x 2+ y 2 =1.4 2 研究创新9. （ 2005 年春天上海， 22）（ 1）求右焦点坐标是（ 2， 0），且经过点（－ 2，－ 2 ）的椭圆的标准方程 .（ 2）已知椭圆 C 的方程是 x 2 + y 2=1（ a >b >0）. 设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、Ba 2b 2两点，的中点为 . 证明：当直线 l 平行挪动时，动点在一条过原点的定直线上 .AB MM （ 3）利用（ 2）所揭露的椭圆几何性质，用作图方法找出下边给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.（ 1）解：设椭圆的标准方程为x2+y2 =1， a >b >0，a 2b 2 ∴ a 2=b 2+4，即椭圆的方程为x 2 +y2 =1.b 2 4 b 2∵点（－ 2，－2 ）在椭圆上，∴4+2 =1.b24 b 2解得 b2=4或 b2=－2（舍）.由此得 a2=8，即椭圆的标准方程为x2+ y2=1.8 4 （2）证明：设直线l的方程为y=kx +m，与椭圆 C的交点 A（ x， y）、B（ x ， y ），1122y=kx+m，则有x2+ y2=1.a 2b2222222222解得（ b+a k） x +2a kmx+a m－ a b =0.2222∵ >0，∴m<b+a k，即－ b 2 a 2 k 2<m< b 2 a 2 k 2.2a 2 km， y+y=kx +m+kx +m=b 22b 2m，则 x +x =－b2a 2k 2 a 2k 2121212∴ AB中点 M的坐标为（－a 2 km b2 mb2 a 2k 2，b 2a 2 k 2）.∴线段 AB的中点 M在过原点的直线b2x+a2ky=0上.（ 3）解：以下列图，作两条平行直线分别交椭圆于A、 B和 C、 D，并分别取 AB、 CD的中点 M、 N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A、B 和11 C1、D1，并分别取 A1B1、C1D1的中点 M1、N1，连接直线 M1N1，那么直线 MN和 M1N1的交点 O即为椭圆中心 .C AMA1ON C1BM1DB1N 1●思悟小结在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋向，而分析几何与函数、三角、数列、向量等知识的亲密联系，正是高考命题的热门，为此在学习时应抓住以下几点：1.客观题求解时应注意绘图，抓住波及到的一些元素的几何意义，用数形联合法去分析解决 .2.四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特色与方程的代数特色的一致3. 注意用好以下数学思想、方法：.①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转变思想；⑥分类思想.除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形联合思想、主元分析思想、正难则反省想、结构思想等也是分析几何解题中不行缺乏的思想方法. 在复习中一定赐予足够的重视，真实发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提升简化计算能力.●教师下载中心教课点睛本节是圆锥曲线的综合应用，主假如曲线方程的运用、变量范围的计算、最值确实定等，解决这种问题的重点是依照分析几何自己的特色，找寻一个打破口，那么怎样找到解决问题的打破口呢？（1）联合定义利用图形中几何量之间的大小关系 . （ 2）成立目标函数，转变为求函数的最值问题 . （ 3）利用代数基本不等式 . 代数基本不等式的应用，常常需要创建条件，并进行奇妙的构想 . （ 4）联合参数方程，利用三角函数的有界性. 直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特色是均含有三角式 . 所以，它们的应用价值在于：①经过参数示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、题.（5）结构一个二次方程，利用鉴别式≥ 0.拓展题例【例 1】（ 2005 年启东市第二次调研题）抛物线y2=4px（p>0）的准线与x 轴交于 M 点，过点 M作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点.（ 1）若线段AB的垂直均分线交x 轴于 N（ x ，0），求证： x>3p；00（ 2）若直线l的斜率挨次为p，p2，p3，，线段AB的垂直均分线与x 轴的交点挨次为 N， N， N，，当0<p<1时，求111的值 .++ +123| N1N2 | | N2N3 || N10 N11 |（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px.得 k2x2+（2k2p－4p）x+k2p2=0.=4（k2p－ 2p）2－ 4k2·k2p2>0，得 0<k2<1.令 A（x， y）、 B（ x ， y），则 x +x=－2k 2 p 4 p， y +y=k（x+x +2p） =4 p，112212k 21212kAB中点坐标为（ 2 p k 2 p ， 2 p ）.k 2k垂直均分线为y － 2 p=－1（x－ 2 p k 2 p） .AB k k k2令y =0，得x0= k 2 p 2 p= +2 p.k 2p2k由上可知 0<k2<1，∴x0>p+2p=3p.∴x0>3p.（2）解：∵l的斜率挨次为p，p2，p3，时，AB中垂线与x轴交点挨次为N1，N2，N3，（0<p<1） .∴点N的坐标为（2， 0）. +np 2n1| N n N n+1|=| （p+2）－（ p+2） |= 2(1p 2 )，p2n1p2n 1p 2n1θ简洁地表范围等问1p 2n 1| N n N n 1 |=，2(1 p 2 )13421p 3 (1 p 19 )所求的值为 2(1p 2 ) ［ p +p + +p ］ = 2(1 p) 2 (1p) .【例 2】 （ 2003 年南京市模拟试题）已知双曲线： x 2－ y2=1（ ＞0， ＞ 0）， B 是右C2 b 2a极点， F 是右焦点，点 A 在 x 轴正半轴上，且知足 | OA |、| OB | 、| OF | 成等比数列，过 F作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为 P .yDPEAB FxO l（ 1）求证： PA · OP =PA · FP ；（ 2）若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别订交于点D 、E ，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 .（ 1）证法一：yDPEOABFlxl ： y =－ a（ x －c ） . b y =－ a（ x － c ），bby = x .解得（ a2，ab）. ∵ | OA | 、| OB | 、 | OF | 成等比数列，∴（ a2， 0）.ccc∴ PA =（ 0，－ab）， OP =（ a 2，ab），c cc b2，ab） .FP =（－cc∴ PA · OP =－a 2b 2， PA · FP =－a 2b 2.c 2c 2∴ PA · OP =PA · FP .证法二：同上得 P （ a 2，ab） .cc∴ PA ⊥x 轴，PA · OP － PA · FP =PA · OF =0.∴ PA · OP =PA · FP .y =－ a（x － c ），（ 2）解：bb 2x 2－ a 2y 2=a 2b 2.422a222∴ b x －（ x － c ） =a b ，即（ b 2－ a4） x 2+2 a4cx －（ a 4c 2+a 2b 2） =0.b 2b 2b 2a 4c 2 22)(2 a b∵ x 1· x 2=ba 4＜ 0，b 2b2∴ b 4＞ a 4，即 b 2＞ a 2，c 2－ a 2＞ a 2.∴ e 2＞ 2，即 e ＞ 2 .。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第9讲 圆锥曲线的综合问题 第2课时 定点、定值、探索性问题
第2课时 定点、定值、探索性问题圆锥曲线中的定点问题(师生共研)(2020·某某模拟)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C于A ，B 两点，且|AB |＝8.(1)求直线l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标． 【解】 (1)由y 2＝4x 知焦点F 的坐标为(1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 代入抛物线方程y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1.由抛物线的弦长公式知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，则2k 2＋4k2＝6，即k 2＝1，解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)由(1)及抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1， 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1.因为y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，所以(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)．所以直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0， 对任意y 1，y 2∈R ，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，即直线BD 恒过定点(－1，0)．求解圆锥曲线中定点问题的两种方法(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．(2)直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k 当成变量，将变量x ，y 当成常数，将原方程转化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式；②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （x ，y ）＝0g （x ，y ）＝0；③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．(2020·某某模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上动点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为4，当点P 运动到椭圆C 的一个顶点时，直线PF 1恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，若直线PA ，PB 分别交直线x ＝6于不同的两点M ，N ，则以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由椭圆的定义可知2a ＝4，解得a ＝2.若点P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF 1与圆一定相交，则点P 只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P 运动到椭圆的上顶点(0，b )，F 1为左焦点(－c ，0)，则直线PF 1：bx －cy ＋bc ＝0.由题意得原点O 到直线PF 1的距离等于椭圆C 的离心率e ， 所以bc b 2＋c 2＝ca， 又a 2＝b 2＋c 2，故b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知，直线PA ，PB 的斜率存在且都不为0， 设直线PA 的斜率为k ，点P (x 0，y 0)，x 0≠±2， 又A (－2，0)，B (2，0)，所以k PA ·k PB ＝k ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14，则k PB ＝－14k.所以直线PA 的方程为y ＝k (x ＋2)， 令x ＝6，得y ＝8k ，则M (6，8k )； 直线PB 的方程为y ＝－14k (x －2)，令x ＝6，得y ＝－1k，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－1k .因为8k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝－8＜0，所以以线段MN 为直径的圆与x 轴交于两点，设点G ，H ，并设MN 与x 轴的交点为K ， 在以线段MN 为直径的圆中应用相交弦定理，得|GK |·|HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1k ＝8，因为|GK |＝|HK |，所以|GK |＝|HK |＝22，所以以线段MN 为直径的圆恒过点(6－22，0)，点(6＋22，0)．圆锥曲线中的定值问题(多维探究) 角度一 定线段的长已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1，0)，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，354.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 相切，过点F 作FQ ⊥l ，垂足为Q ，求证：|OQ |为定值(其中O 为坐标原点)．【解】 (1)由题意可知椭圆C 的左焦点为F ′(－1，0)，则半焦距c ＝1. 由椭圆定义可知 2a ＝|PF |＋|PF ′|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3542＝4， 所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明：①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝±2，点Q 的坐标为(－2，0)或(2，0)，此时|OQ |＝2；②当直线l 的斜率为0时，l 的方程为y ＝±3，点Q 的坐标为(1，－3)或(1，3)， 此时|OQ |＝2；③当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)． 因为FQ ⊥l ，所以直线FQ 的方程为y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1消去y ，可得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(8km )2－4×(3＋4k 2)×(4m 2－12)＝0， 整理得m 2＝4k 2＋3.(*)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝－1k （x －1）得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－km k 2＋1，k ＋m k 2＋1， 所以|OQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－km k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋m k 2＋12＝1＋k 2m 2＋k 2＋m2（k 2＋1）2， 将(*)式代入上式，得|OQ |＝4（k 4＋2k 2＋1）（k 2＋1）2＝2. 综上所述，|OQ |为定值，且定值为2.直接探求，变量代换探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.角度二 定几何图形的面积(2020·某某模拟)如图，设点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M ，N 是轨迹C 上不同于A 、B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．【解】 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得，k AP ·k BP ＝y x ＋3·y x －3＝－23(x ≠±3)，化简得，点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1(x ≠±3)． (2)证明：由题意可知，M ，N 是轨迹C 上不同于A 、B 的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ， 则直线OM ，ON 的斜率必存在且不为0，k OM ·k ON ＝k AP ·k BP ＝－23.①当直线MN 的斜率为0时，设M (x 0，y 0)，N (－x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 20x 20＝23，x 203＋y202＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0|＝62，|y 0|＝1， 所以S △MON ＝12|y 0||2x 0|＝62.②当直线MN 的斜率不为0时，设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入x 23＋y 22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0，(*)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程(*)的两根， 所以y 1＋y 2＝－4mt 3＋2m 2，y 1y 2＝2t 2－63＋2m2.又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt （y 1＋y 2）＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2，所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，即2t 2＝2m 2＋3，满足Δ＞0.又S △MON ＝12|t ||y 1－y 2|＝|t |－24t 2＋48m 2＋722（3＋2m 2）， 所以S △MON ＝26t 24t 2＝62. 综上，△MON 的面积为定值，且定值为62.探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，离心率为12，点P 为其上一动点，且三角形PF 1F 2面积的最大值为3，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点M ，N 为C 上的两个动点，求常数m ，使OM →·ON →＝m 时，点O 到直线MN 的距离为定值，求这个定值．解：(1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，bc ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝m ，当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋n ，则点O 到直线MN 的距离d ＝|n |k 2＋1＝n 2k 2＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋n ，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0，由Δ>0得4k 2－n2＋3>0，则x 1＋x 2＝－8kn 4k 2＋3，x 1x 2＝4n 2－124k 2＋3，所以x 1x 2＋(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝(k 2＋1)x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝m ，整理得7n2k 2＋1＝12＋m （4k 2＋3）k 2＋1.因为d ＝n 2k 2＋1为常数，则m ＝0，d ＝127＝2217，此时7n 2k 2＋1＝12满足Δ>0. 当MN ⊥x 轴时，由m ＝0得k OM ＝±1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝±x ，消去y ，得x 2＝127，点O 到直线MN 的距离d ＝|x |＝2217亦成立．综上，当m ＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值，这个定值是2217.圆锥曲线中的探索性问题(师生共研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3，设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由内切圆的性质，得12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b 3，得c a ＝12.将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以2b2a＝3.又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 垂直于x 轴时，显然x 轴上任意一点T 都满足TS 与TR 所在直线关于x 轴对称．当直线l 不垂直于x 轴时，假设存在T (t ，0)满足条件，设l 的方程为y ＝k (x －1)，R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），3x 2＋4y 2－12＝0，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2①，其中Δ>0恒成立， 由TS 与TR 所在直线关于x 轴对称，得k TS ＋k TR ＝0(显然TS ，TR 的斜率存在)， 即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0 ②.因为R ，S 两点在直线y ＝k (x －1)上， 所以y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入②得k （x 1－1）（x 2－t ）＋k （x 2－1）（x 1－t ）（x 1－t ）（x 2－t ）＝k [2x 1x 2－（t ＋1）（x 1＋x 2）＋2t ]（x 1－t ）（x 2－t ）＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0 ③，将①代入③得8k 2－24－（t ＋1）8k 2＋2t （3＋4k 2）3＋4k 2＝6t －243＋4k 2＝0 ④，则t ＝4，综上所述，存在T (4，0)，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称．存在性问题的求解策略解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点F (1，0)，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得∠MQO ＝∠NQO ，若存在，请求出定点Q ，若不存在，请说明理由．解：(1)设PF 的中点为S ，切点为T ，连接OS ，ST ，则|OS |＋|SF |＝|OT |＝2，取F 关于y 轴的对称点F ′，连接F ′P ，所以|PF ′|＝2|OS |，故|F ′P |＋|FP |＝2(|OS |＋|SF |)＝4，所以点P 的轨迹是以F ′，F 分别为左、右焦点，且长轴长为4的椭圆， 则曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在满足题意的定点Q ，设Q (0，m )，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋12，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋4kx －11＝0，则Δ>0，x 1＋x 2＝－4k3＋4k 2，x 1x 2＝－113＋4k2， 由∠MQO ＝∠NQO ，得直线MQ 与NQ 的斜率之和为零，易知x 1或x 2等于0时，不满足题意，故y 1－m x 1＋y 2－mx 2＝kx 1＋12－m x 1＋kx 2＋12－m x 2＝2kx 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m （x 1＋x 2）x 1x 2＝0，即2kx 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m (x 1＋x 2)＝2k ·－113＋4k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m ·－4k 3＋4k 2＝4k （m －6）3＋4k 2＝0，当k ≠0时，m ＝6，所以存在定点(0，6)，使得∠MQO ＝∠NQO ；当k ＝0时，定点(0，6)也符合题意．易知当直线MN 的斜率不存在时，定点(0，6)也符合题意． 综上，存在定点(0，6)，使得∠MQO ＝∠NQO .解析几何减少运算量的常见技巧技巧一 巧用平面几何性质已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B ．12 C.23D ．34【解析】 设OE 的中点为N ，如图，因为MF ∥OE ，所以有ON MF ＝a a ＋c ，MF OE ＝a －ca.又因为OE ＝2ON ，所以有12＝aa ＋c ·a －c a ，解得e ＝c a ＝13，故选A.【答案】 A此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算． 技巧二 设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“点差法”求解．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为M (1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D ．x 218＋y 29＝1 【解析】 通解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y22b 2＝1，②①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b2＝0， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18， 所以椭圆E 的标准方程为x 218＋y 29＝1.优解：由k AB ·k OM ＝－b 2a 2得，－1－01－3×－11＝－b 2a2得，a 2＝2b 2，又a 2－b 2＝9，所以a 2＝18，b 2＝9，所以椭圆E 的标准方程为x 218＋y 29＝1.【答案】 D本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．技巧三 巧用“根与系数的关系”，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆M ，N两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．【解】 (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，45.(2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 2＝1， 化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k21＋4k 2，又x A ＝－2，则x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y Mx M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2， 同理可计算得k PN ＝5k4－4k2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．技巧四 巧妙“换元”减少运算量变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．如图，已知椭圆C 的离心率为32，点A ，B ，F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S △ABF ＝1－32.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值．【解】 (1)由已知椭圆的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则A (a ，0)，B (0，b )，F (c ，0)(c ＝a 2－b 2)．由已知可得e 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，即a ＝2b ，可得c ＝3b ①.S △AFB ＝12×|AF |×|OB |＝12(a －c )b ＝1－32②.将①代入②，得12(2b －3b )b ＝1－32，解得b ＝1，故a ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)圆O 的圆心为坐标原点，半径r ＝1，由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，得|m |1＋k2＝1，故有m 2＝1＋k 2③. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0.由题可知k ≠0，即(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 所以Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＝48k 2＞0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4×4m 2－44k 2＋1＝16（4k 2－m 2＋1）（4k 2＋1）2④. 将③代入④中，得|x 1－x 2|2＝48k2（4k 2＋1）2，故|x 1－x 2|＝43|k |4k 2＋1.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×43|k |4k 2＋1＝43k 2（k 2＋1）4k 2＋1. 故△OMN 的面积S ＝12|MN |×1＝12×43k 2（k 2＋1）4k 2＋1×1＝23k 2（k 2＋1）4k 2＋1. 令t ＝4k 2＋1，则t ≥1，k 2＝t －14，代入上式，得S ＝23×t －14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14＋1t2＝32（t －1）（t ＋3）t2＝32t 2＋2t －3t 2＝32－3t 2＋2t＋1＝32－1t 2＋23t ＋13＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －132＋49， 所以当t ＝3，即4k 2＋1＝3，解得k ＝±22时，S 取得最大值，且最大值为32×49＝1.破解此类题的关键：一是利用已知条件，建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值，二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且ac ≠0)的函数常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值X 围，以保证等价转化，这样目标函数的值域才不会发生变化．[基础题组练]1．已知直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相切于点P ，l 与双曲线的两条渐近线交于M ，N 两点，则OM →·ON →的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．与P 的位置有关解析：选A.依题意，设点P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 20－4y 20＝4，则直线l 的方程是x 0x 4－y 0y ＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y ＝±12x .①当y 0＝0时，直线l 的方程是x ＝2或x ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 24－y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝±1，此时OM →·ON →＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l 的方程是x ＝－2时，OM →·ON →＝3.②当y 0≠0时，直线l 的方程是y ＝14y 0(x 0x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14y 0（x 0x －4）x24－y 2＝0，得(4y 2－x 20)x2＋8x 0x －16＝0(*)，又x 20－4y 20＝4，因此(*)即是－4x 2＋8x 0x －16＝0，x 2－2x 0x ＋4＝0，x 1x 2＝4，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2－14x 1x 2＝34x 1x 2＝3.综上所述，OM →·ON →＝3，故选A.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由FA →＋FB →＝－FC →，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p＋y 2＋y 32p＝0. 答案：03．(2020·某某模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点M在椭圆C 上滑动，若△MF 1F 2的面积取得最大值4时，有且仅有2个不同的点M 使得△MF 1F 2为直角三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (0，1)的直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，与x 轴交于点Q .设QA →＝λPA →，QB →＝μPB →，求证：λ＋μ为定值，并求该定值．解：(1)由对称性知，点M 在短轴端点时，△MF 1F 2为直角三角形且∠F 1MF 2＝90°，且S △MF 1F 2＝4，所以b ＝c 且S ＝12·2c ·b ＝bc＝4，解得b ＝c ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝8， 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：显然直线l 的斜率不为0，设直线l ：x ＝t (y －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，x ＝t （y －1），消去x ，得(t 2＋2)y 2－2t 2y ＋t 2－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t 2t 2＋2，y 1y 2＝t 2－8t 2＋2.令y ＝0，则x ＝－t ，所以Q (－t ，0)， 因为QA →＝λPA →，所以y 1＝λ(y 1－1)， 所以λ＝y 1y 1－1.因为QB →＝μPB →，所以y 2＝μ(y 2－1)，所以μ＝y 2y 2－1.所以λ＋μ＝y 1y 1－1＋y 2y 2－1＝2y 1y 2－（y 1＋y 2）y 1y 2－（y 1＋y 2）＋1＝83. 4．(2020·某某某某联考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，O 为坐标原点，点O 到直线AF 2的距离为22，△AF 1F 2为等腰直角三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 与椭圆C 分别相交于M ，N 两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意可知，直线AF 2的方程为x c ＋y－b＝1， 即－bx ＋cy ＋bc ＝0，则bc b 2＋c 2＝bc a＝22.因为△AF 1F 2为等腰直角三角形，所以b ＝c ， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝2，b ＝1，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知A (0，－1)．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠±1)， 代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，所以Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＞0，即t 2－2k 2＜1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k2.因为直线AM 与直线AN 的斜率之和为2， 所以k AM ＋k AN ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋t ＋1x 1＋kx 2＋t ＋1x 2＝2k ＋（t ＋1）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －（t ＋1）·4kt2t 2－2＝2， 整理得t ＝1－k .所以直线l 的方程为y ＝kx ＋t ＝kx ＋1－k ＝k (x －1)＋1，显然直线y ＝k (x －1)＋1经过定点(1，1)．当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝m .因为直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，设M (m ，n )，则N (m ，－n )， 所以k AM ＋k AN ＝n ＋1m ＋－n ＋1m ＝2m＝2，解得m ＝1， 此时直线l 的方程为x ＝1，显然直线x ＝1也经过该定点(1，1)． 综上，直线l 恒过点(1，1)．[综合题组练]1．(2020·某某五市十校联考)已知动圆C 过定点F (1，0)，且与定直线x ＝－1相切． (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)过点M (－2，0)的任一条直线l 与轨迹E 分别相交于不同的两点P ，Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M )，使得∠QNM ＋∠PNM ＝π？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)法一：由题意知，动圆圆心C 到定点F (1，0)的距离与其到定直线x ＝－1的距离相等，又由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，其中p ＝2.所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .法二：设动圆圆心C (x ，y )，由题意知（x －1）2＋y 2＝|x ＋1|， 化简得y 2＝4x ，即动圆圆心C 的轨迹E 的方程为y 2＝4x . (2)假设存在点N (x 0，0)，满足题设条件．由∠QNM ＋∠PNM ＝π可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即k PN ＋k QN ＝0.① 由题意知直线PQ 的斜率必存在且不为0，设直线PQ 的方程为x ＝my －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my －2，得y 2－4my ＋8＝0.由Δ＝(－4m )2－4×8＞0，得m ＞2或m ＜－ 2. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 由①式得k PN ＋k QN ＝y 1x 1－x 0＋y 2x 2－x 0＝y 1（x 2－x 0）＋y 2（x 1－x 0）（x 1－x 0）（x 2－x 0）＝0，所以y 1(x 2－x 0)＋y 2(x 1－x 0)＝0， 即y 1x 2＋y 2x 1－x 0(y 1＋y 2)＝0.消去x 1，x 2，得14y 1y 22＋14y 2y 21－x 0(y 1＋y 2)＝0，14y 1y 2(y 1＋y 2)－x 0(y 1＋y 2)＝0， 因为y 1＋y 2≠0，所以x 0＝14y 1y 2＝2，所以存在点N (2，0)．使得∠QNM ＋∠PNM ＝π.2．(2020·某某某某教学质量监测)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，过点F 的直线分别交抛物线于A ，B 两点．(1)若以AB 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝16，求抛物线C 的标准方程； (2)过点A ，B 分别作抛物线的切线l 1，l 2，证明：l 1，l 2的交点在定直线上． 解：(1)设AB 中点为M ，A 到准线的距离为d 1，B 到准线的距离为d 2，M 到准线的距离为d ，则d ＝y M ＋p2.由抛物线的定义可知，d 1＝|AF |，d 2＝|BF |，所以d 1＋d 2＝|AB |＝8， 由梯形中位线可得d ＝d 1＋d 22＝4，所以y M ＋p2＝4.又y M ＝3，所以3＋p2＝4，可得p ＝2，所以抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由x 2＝2py ，得y ＝x 22p ，则y ′＝xp，所以直线l 1的方程为y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线l 2的方程为y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立得x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1x 22p， 即直线l 1，l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .因为AB 过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，由题可知直线AB 的斜率存在，故可设直线AB 方程为y －p2＝kx ，代入抛物线x 2＝2py 中，得x 2－2pkx －p 2＝0，所以x 1x 2＝－p 2，y ＝x 1x 22p ＝－p 22p ＝－p2，p 2上．所以l1，l2的交点在定直线y＝－。
高考数学一轮复习专题02 圆锥曲线弦长问题(解析版)
解析几何专题二：圆锥曲线弦长问题一、知识储备弦长公式||AB =12||AB x ==-= （最常用公式，使用频率最高）= 二、例题讲解1．（2022·辽宁高三开学考试）已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，若右焦点为F（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是C 上的两点，直线MN 与曲线222x y b +=相切且M ，N ，F 三点共线，求线段MN 的长． 【答案】（1）2213x y +=；（2【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为221(0)x y x +=>，讨论直线MN 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，则a =2221b a c =-=， ∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意：当直线MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y 又M ，N ，F 三点共线，可设直线:(MN y k x =，即0kx y -=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则12x x +=1234x x ⋅=，∴||MN ==2．（2022·全国高三专题练习）过双曲线142x y -=的右焦点F 作斜率为2的直线l ，交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线的离心率和渐近线； （2）求AB 的长. 【答案】（1）e =，渐近线方程为y =；（2）207.【分析】（1）由双曲线方程得出,a b ，再求出c ，可得离心率，渐近线方程；（2）写出直线方程，代入双曲线方程，设()11,A xy ，()22,B x y，由韦达定理得1212,x x x x +，然后由弦长公式计算弦长． 【详解】解：（1）因为双曲线方程为22142x y -=， 所以2a =，b =则c =所以62cea，渐近线方程为2y x =±. （2）双曲线右焦点为0)，则直线l 的方程为2(y x = 代入双曲线22142x y -=中，化简可得27520x -+=设()11,A x y ，()22,B x y 所以12x x +=12527x x ⋅=，所以2120|||7AB x x -==. 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用韦达定理求出1212,x x x x +，然后由弦长公式12d x =-求出弦长．3．（2022·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0F ，()2,3M -，动点P 满足12OF MP PF ⋅=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0D 作直线AB 交C 于A ，B 两点，若AFD 的面积是BFD △的面积的2倍，求AB ． 【答案】（1）28y x =；（2【分析】（1）设(),P x y ，求得,,MP OF PF 的坐标，结合12OF MP PF ⋅=，化简、整理，即可求得抛物线的方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设120,0y y ><，由2AFD BFD S S =△△，求得122y y =-，设直线AB 的方程为1x my =+，联立方程组，结合根与系数的关系，求得128y y m +=，128y y =-，进而求得12,,y y m ，利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设(),P x y ，因为()2,0F ，()2,3M -，则()2,3MP x y =+-，()2,0OF =，()2,PF x y =--． 由12OF MP PF ⋅=，可得2x +=28y x =，即动点P 的轨迹C 的方程为28y x =． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由题意知112AFD S FD y =⋅△，212BFD S FD y =⋅△， 易知120y y <，不妨设120,0y y ><，因为2AFD BFD S S =△△，所以122y y =，所以122y y =-． ① 设直线AB 的方程为1x my =+，联立281y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2880y my --=，则264320m ∆=+>，可得128y y m +=，128y y =- ② 由①②联立，解得1214,2,4y y m ==-=，所以124(2)AB y =-=--=． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、实战练习1．（2022·江门市培英高级中学高三模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点P ⎭，离心率为12． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若1A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 与1A 不重合），l 不与x 轴垂直，若11A M A N MN k k k +=-，求MN ．【答案】（1）22143x y +=；（2）247 【分析】（1）由题意可得关于,,a b c 的方程组，求解,a b 的值，即可求得椭圆C 的标准方程；（2）根据题意设()()1122,,,M x y N x y ，直线l ：()1,0x my m =+≠，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合11A M A N MN k k k +=-，求出m 的值，再根据弦长公式即可求得MN . 【详解】（1）由题意可得：22222123314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：224,3a b ==，∴ 椭圆C 的标准方程为：22143x y +=； （2）()()211,0,2,0F A -，由题意可设：直线l ：()1,0x my m =+≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立：221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：()2234690m y my ++-=， 则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 1112121,,22A M A N MN y y k k k x x m===++， 11121222A M A N y yx k x k ∴+=+++ ()()()()1221122222y x y x x x +++=++()()()()1221213333y my y my my my +++=++()()2122112122339y y y m y y y my m y ++=+++222229623343496393434mm m m m m m m m --⨯+⨯++=--⨯+⨯+++ m =-，又11A M A N MN k k k +=-， 1m m∴-=-， 解得：21,1m m ==±， 故1212226699,347347m y y y y m m --+==±==-++，247MN =.2．（2022·广东执信中学高三月考）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k=+，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得=1k =±，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N，F 三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN === 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =或y x =-+所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN = 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.3．（2022·全国高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线24y x =有公共的焦点F ，1A ，2A 分别为椭圆C 长轴的左、右端点，P 为C 上一动点，且12PAA ∆的最大面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 经过点F ，且与C 交于A ，B 两点，若10||3AB =，求直线l 的方程． 【答案】（1）22143x y +=；（20=． 【分析】（1）利用已知条件可以直接得出焦点F 的坐标，当三角形面积最大时P 为短轴端点，从而解出a ，b 的值即可； （2）利用（1）中求出的点F 的坐标，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求出直线的方程． 【详解】（1）抛物线24y x =的焦点F 坐标为()1,0∴椭圆C 中的半焦距为1．由椭圆的几何性质可知，当12PA A ∆面积最大时，P 为椭圆短轴端点，不妨令()0,P b ，则221a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）直线l 经过椭圆C 的右焦点，且10||3AB =∴直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-， 与椭圆C 的方程联立可得()22223484120k xk x k +-+-=，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+12||AB x ∴-=()2212110343k k +==+解得k =∴直线l 0=0．【点睛】本题考查椭圆的标准方程、抛物线的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，要求较高的运算求解能力，属于中档题.本题的关键点有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁是解决解析几何问题的重要方法； （2）计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力.4．（2022·陕西（文））已知点B 是圆22:(1)16C x y -+=上的任意一点，点(1,0)F -，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P .（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）直线:2l y x m =+与E 交于点M ，N ，且MN =m 的值. 【答案】（1）22143x y +=，（2）1m =±.（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=，然后由椭圆的定义可求出答案；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，然后联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理得出1212,x x x x +，然后利用MN =出m 的值即可. 【详解】（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=所以动点P 的轨迹E 是以,F C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>所以24,22a c ==，所以2,1,a c b ===所以方程为22143x y += （2）设()()1122,,,M x y N x y联立221432x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得221916+4120x mx m +-= 所以由()22256764120m m ∆=-->得(m ∈2121216412,1919m m x x x x -+=-=因为MN =所以可解得1m =±5．（2022·全国高三专题练习）已知点(A 和B ，动点C到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2，记点C 的（1）求轨迹E 的方程；（2）设E 与直线2y x =-交于两点M ，N ，求线段MN 的长度. 【答案】（1）2212y x -=；（2）【分析】（1）设(,)C x y ，由于||||2CA CB -=，||AB =，利用双曲线的定义求解即可； （2）直线和双曲线方程联立消y ，利用韦达定理以及弦长公式求解即可. 【详解】 （1）设(,)C x y ， 则||||2CA CB -=，所以点C 的轨迹E 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，且22a =，2||c AB == 则1a =，2222b c a =-=， 所以轨迹E 的方程为2212y x -=；（2）由22122y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩， 得2460x x +-=， 因为0∆>，所以直线与双曲线有两个交点， 设()11,M x y ，()22,N x y ， 则124x x +=-，126x x =-，故MN =所以线段MN 的长度为6．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ． 【答案】（1）22136x y -=；（2【分析】（1)求出,a b ，即可得出双曲线方程；（2）可先求出直线方程为3)y x =-，联立椭圆方程，再利用弦长公式即可求出. 【详解】（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b ，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-.联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-⎪⎩得256270x x +-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以AB ==【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线相交弦长的求法，属于基础题.7．（2022·重庆高三模拟预测）已知直线l ：4y kx =+与抛物线C ：2y ax =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点A 的另一条直线1l 与抛物线C 交于另一点M ，与y 轴交于点N ，且满足||||AN AM =，求BM 的最小值．【答案】（1）214y x =；（2）【分析】（1）先联立直线与抛物线，得到判别式和韦达定理，再根据垂直关系，利用0OA OB ⋅=，求得参数即可；（2）设直线BM 的方程，并与抛物线联立，得到判别式和韦达定理，根据已知关系，判断中点位置，利用坐标关系求得参数m ，最后利用弦长公式计算BM ，利用二次函数判断最小值即可. 【详解】解：（1）依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y ax y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y ，得240ax kx --=，2121604k a x x a ⎧∆=+>⎪∴⎨=-⎪⎩， OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，即2212120x x ax ax +⋅=，即22212120x x a x x +=，所以22440a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14a =，∴抛物线C 的标准方程为214y x =； （2）由题意知，直线BM 的斜率存在，故可设直线BM 的方程为y tx m =+，()33,M x y ，由214y xy tx m ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得2440x tx m --=，223231616044t m x x m x x t ⎧∆=+>⎪∴=-⎨⎪+=⎩，由（1）知，1216x x =-，故1123321644x x x x x x m m-===-， 由题意知,,A M N 三点共线，且|AN |＝|AM |，即A 为线段MN 的中点，设()0,N n ， 则3102x x +=，即13142x x m ==，即8m =，22323161680324t x x x x t⎧∆=+⨯>⎪∴=-⎨⎪+=⎩，23BM x ∴=-=)20t ==≥， 故20t =时，BM最小为=【点睛】 思路点睛：直线与抛物线中的弦长问题，我们常让直线与抛物线方程联立，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B xy ，所以12AB x =-或12AB y =-，解决相关问题.8．（2022·全国高三模拟预测）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(),2P t -在C 上，且2PF OF =(O 为坐标原点).（1）求C 的方程；（2）若A ，B 是C 上的两个动点，且A ，B 两点的横坐标之和为8，求当AB 取最大值时，直线AB 的方程. 【答案】（1）24yx =；（2）220x ±-=. 【分析】（1）根据题意，列出方程组22242pp t pt⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，求得p 的值，即可求得C 的标准方程； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x =时，得到AB 的方程4x =；当12x x ≠时，得到2AB k n =，得到()42nx y n =-+，联立方程组，结合根与系数的关系，得到1212,y y y y +，根据弦长公式和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，点(),2P t -在()2:20C y px p =>上，且2PF OF =，可得22242pp t pt ⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得21p t =⎧⎨=⎩，所以C 的标准方程为24y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，且128x x +=，设AB 中点为(),D m n ，则122x x m +=，122y y n +=， 当12x x =时，:4AB l x =，8AB =； 当12x x ≠时，()212122212121442AB y y y y k x x y y y y n--====--+， 则()2:4AB l y n x n-=-，即()42n x y n =-+，与C 联立方程消去x ，整理得2222160y ny n -+-=， 由22(2)4(216)0n n ∆=--->，解得216n <，且122y y n +=，212216y y n =-，所以2212416102n n AB y ++-=-==， 当26n =时取“=”，所以AB 的最大值为10，此时AB 的方程为220x -=. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．9．（2022·浙江高三模拟预测）已知直线:4l y kx =+与抛物线2:C y ax =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点A 的另一条直线1l 与抛物线C 交于另一点M ，与y 轴交于点N ，且满足AN AM =，求BM 的最小值. 【答案】（1）24x y=；（2）最小值为【分析】（1）联立直线l 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，由已知条件可得出0OA OB ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出a 的值，即可得出抛物线C 的标准方程；（2）设直线BM 的方程为y tx m =+，点()33,M x y ，将直线BM 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得1312x x =，代入韦达定理求出m 的值，再利用弦长公式可求得BM 的最小值.【详解】（1）依题意设()11,A x y 、()22,B x y ，由24y ax y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得240ax kx --=，所以，212160,4.k a x x a ⎧+>⎪⎨=-⎪⎩OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，即22212120x x a x x +=，4160a∴-+=，解得14a =，所以，抛物线C 的标准方程为24x y =；（2）由题意知，若直线BM 的斜率不存在，则该直线与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意.所以，直线BM 的斜率存在，故可设直线BM 的方程为y tx m =+，点()33,M x y ， 由24x y y tx m ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x tx m --=，223231616044t m x x t x x m⎧+>⎪∴+=⎨⎪=-⎩， 由（1）知1216x x =-，1123231644x x x x x x m m-∴===-①. 由题意知A 、M 、N 三点共线，且A 为线段MN 的中点，设()0,N n ，则3102x x +=，即1312x x =②，由①②得8m =，22323161680432t x x t x x ⎧+⨯>⎪∴+=⎨⎪=-⎩，23BM x ∴=-=)20t ==≥，当且仅当0t =时，等号成立，故BM 的最小值为【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．10．（2022·全国高三专题练习）如图所示，A ，B 是焦点为F 的抛物线24y x =上的两动点，线段AB 的中点M 在定直线34x =上.（1）求FA FB +的值； （2）求AB 的最大值. 【答案】（1）72；（2）【分析】（1）由抛物线定义有12FA FB x x p +=++，结合已知条件即可求FA FB +；（2）由直线与抛物线位置关系，联立方程得到一元二次方程，结合根与系数关系、弦长公式即可求AB 的最大值. 【详解】（1）由题意知：2p =，抛物线对称轴方程1x =-.设()11,A x y ，()22,B x y ，12324x x +=，则1272FA FB x x p +=++=； （2）点A 和B 在抛物线24y x =上，有2114y x =，2224y x =，两式相减得：()()()1212124y y y y x x -+=-，令3(,)4M m ，∴12122y y x x m -=-，即2AB k m=， ∴设直线AB 的方程为234y m x m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即23224m m x y =-+，代入抛物线方程得222230y my m -+-=，∴22248121240m m m ∆=-+=->，得203m ≤<，122y y m +=，21223y y m =-∴12AB y =-=∴当20m=时，max AB = 【点睛】思路点睛：求抛物线焦半径相关线段长度时注意抛物线定义的应用，即抛物线焦点到抛物线上点的距离等于该点到抛物线准线的距离；直线与抛物线相交，求弦长时一般要联立方程应用根与系数关系以及弦长公式.11．（2022·全国高三专题练习）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值； （3）求AB 的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）4.【分析】（1）由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；（2）可设M 的坐标，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=，利用判别式等于零可得结论；（3）设A ，B 的坐标，由（2）可得参数t ，k 的关系，代入过M 的切线方程与抛物线的方程中，可得A ，B 用参数1k ，2k 表示的坐标，代入弦长公式中求||AB的表达式，由参数的范围求出||AB 的最小值．【详解】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0) ∴抛物线的焦点为(1,0)F ，2p ∴=，所以抛物线的标准方程：24y x =． （2）抛物线C 的准线方程为1x =-． 设(1,)M t -，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=． 其判别式△1616()k k t =-+，令△0=，得：210k kt +-=． 由韦达定理知12k k t +=-，121k k =-， 故121k k =-（定值）．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由210k kt +-=，得21k t k-=，故2222214244444440k ky y k t ky y k ky y k y k k k -⎛⎫-++=-++⨯=-+=-= ⎪⎝⎭，所以2y k=，代入抛物线方程得21x k =，所以211(A k ，12)k ，221(B k ，22)k ，||AB=因为121k k =-，12k k t +=-，所以12|||AB k k -244t =+，当且仅当0t =时取等号． 当且仅时取等号． 故||AB 的最小值为4．【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x -；（2）利用12l y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.12．（2022·广西河池·高三期末（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．（Ⅰ）若直线l 与抛物线C 的准线相交于点P ，且PF =l 的方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点，且90AFB ∠=︒，求ABF 的周长．【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）15+【分析】（Ⅰ）设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立直线与抛物线，由判别式大于0可得12m <，由PF =0m =或4m =（舍去），从而可得结果；（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，并代入抛物线2:4C y x =，根据韦达定理和0FA FB ⋅=可解得12b =-，根据弦长公式可得||AB =||||AF BF +，进一步可得ABF 的周长. 【详解】（Ⅰ）由抛物线2:4C y x =可知(1,0)F ，准线为1x =-， 设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立方程242y x y x m⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x m x m +-+=，又由()22441616320m m m ∆=--=->，可得12m <，由点F 的坐标为()1,0，有PF ==， 解得0m =或4m =（舍去）， 故直线l 的方程为2y x =．（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ， 点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程242y x y x b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x b x b +-+=，可得121x x b +=-，21214x x b =，()()()()222121212122242212y y x b x b x x b x x b b b b b b =++=+++=+-+=又由()22441616320b b b ∆=--=->，可得12b <． 又由()111,FA x y =-，()221,FB x y =-，可得()()()1212121212111FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++ ()22111123044b b b b b =--++=+=，得0b =（舍去）或12b =-．由12b =-，可得1213x x +=，1236x x =，所以AB ===()()121211215AF BF x x x x +=+++=++=，故ABF 的周长为15+ 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，韦达定理和弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.。
高考数学文(二轮复习)课件讲《圆锥曲线中的综合问题》
2．有关弦长问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关 系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义 的运用，以简化运算． ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k |x2－x1|或|P1P2|＝
2
1 1＋k2 |y2－
4．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的 量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比 例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所 影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问 题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系 等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
3．轨迹方程问题 (1)求轨迹方程的基本步骤： ①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标 ——解析法(坐标法)； ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系； ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化； ④化简整理方程——简化； ⑤证明所得方程为所求的轨方程的常用方法： ①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程； ②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定 系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联 系； ④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动 直线交点的轨迹．
高考真题要回访，做好真题底气足 1．(2014· 四川高考)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在 → → 该抛物线上且位于x轴的两侧， OA · OB ＝2(其中O为坐标原点)， 则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( A．2 B．3 17 2 C. 8 ) D. 10
答案：B
解析：设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)， B(x2，y2)， → → ∵OA· OB＝2，
2025年高考数学一轮复习-圆锥曲线的综合问题(定值 最值 范围)-专项训练【含解析】
2025年高考数学一轮复习-圆锥曲线的综合问题（定值最值范围）-专项训练（原卷版）【练基础】一、单选题1．（2024·广东广州·统考一模）已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 任x 铀上，过点()2,0的且线交C 于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，线段PQ 的中点为M ，则直线MF 的斜率的取大值为（）A 6B ．12C ．22D ．12．（2024·河南郑州·统考一模）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于()11,A x y 、()22,B x y 两点，若124x x +=，则AB 的值为（）A ．4B ．6C ．8D ．103．（2024·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别为椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一动点，2F 关于直线1PF 的对称点为M ，1F 关于直线2PF 的对称点为N ，当MN 最大时，则12F PF △的面积为（）AB C D 4．（2024·江西上饶·统考一模）双曲线C ：224x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，则1F AB 的内切圆半径等于（）A ．12B C D ．25．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>1F ，2F 分别是C 的左、右焦点，经过点2F 且垂直于C 的一条渐近线的直线l 与C 交于A ，B 两点，若1ABF 的面积为64，则C 的实轴长为（）A ．6B ．8C ．12D ．166．（2024·陕西安康·统考二模）设抛物线C ：()220x py p =>的焦点是F ，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且3π4AFB ∠=，过弦AB 的中点P 作2py =-的垂线，垂足为Q ，则2AB PQ ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．2B ．3C ．24D ．27．（2024·辽宁阜新·校考模拟预测）若椭圆22132x y +=的左右焦点为1F 、2F ，过1F 和点(0,1)的直线交椭圆于M 、N两点，若P （0，m ）满足63355PM PN m ⋅≤+，则m 的取值范围为（）A ．[]2,3-B ．[]0,4C ．()0,3D ．[]2,4-8．（2024·内蒙古·校联考模拟预测）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，且直线12,l l 分别与抛物线C 交于,A B 和,D E ，则4AB DE +的最小值是（）A ．64B ．72C ．144D ．128二、多选题9．（2024·安徽·统考一模）已知O 为坐标原点，点()()()22,0,2,20A a B a aa ≠，线段AB 的中点M 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，连接OB 并延长，与C 交于点N ，则（）A ．C 的准线方程为12y =-B ．点B 为线段ON 的中点C ．直线AN 与C 相切D ．C 在点M 处的切线与直线ON 平行10．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C ：22214x y b+=，()0,2b ∈，点P 为椭圆C 外一点，过点P 作椭圆C 的两条不同的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .已知当点P 在圆227x y +=上运动时，恒有PA PB ⊥.则（）A ．1b =B ．若矩形DEFG 的四条边均与椭圆C 相切，则矩形DEFG 的面积的最小值为14C ．若点P 的运动轨迹为221169x y +=，则原点O 到直线AB 的距离恒为1D ．若直线PA ，PB 的斜率存在且其斜率之积为2，则点P 在椭圆22186x y +=上运动11．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的离心率为12，椭圆上一点P 与焦点12,F F 所形）A ．椭圆方程为22:143x y C +=B ．直线:3470l x y +-=与椭圆C 无公共点C ．若A ，B 为椭圆C 上的动点，且OA OB ⊥，过O 作OH AB ⊥，H 为垂足，则点H 所在轨迹为圆，且圆的半径r满足2127r =D ．若过点(3,2)Q作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB k =12．（2024·安徽淮北·统考一模）已知曲线2:16y x Γ=，直线l 过点()4,0F 交Γ于A ，B 两点，下列命题正确的有（）A ．若A 点横坐标为8，则24AB =B ．若()2,3P ，则AP AF +的最小值为6C ．原点O 在AB 上的投影的轨迹与直线60x -=有且只有一个公共点D ．若2AF FB =，则以线段AB 为直径的圆的面积是81π三、填空题13．（2024·福建福州·统考二模）已知椭圆C ：221126x y +=，直线l 与C 在第二象限交于A ，B 两点（A 在B 的左下方），与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，且|MA |：|AB |：|BN |=1：2：3，则l 的方程为__________．14．（2024·贵州贵阳·统考一模）抛物线2:4E y x =，圆22:4240M x y x y +--+=，直线l 过圆心M 且与抛物线E 交于A ，B 与圆M 交于C ，D .若||||AC BD =，则||||AB CD =___________.15．（2024·内蒙古赤峰·统考模拟预测）抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过C 上一点P 作C 的准线l 的垂线，垂足为A ，若直线AF 的斜率为3-，则PAF △的面积为______．16．（2024·陕西·西安市西光中学校联考一模）点A ，B 是抛物线C ：()220y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB ∠=︒，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则ABd的最小值为________.四、解答题17．（2024·广东广州·统考一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，以C 的短轴为直径的圆与直线6y ax =+相切.(1)求C 的方程；(2)直线l ：(1)(0)y k x k =-≥与C 相交于A ，B 两点，过C 上的点P 作x 轴的平行线交线段AB 于点Q ，直线OP 的斜率为k '（O 为坐标原点），△APQ 的面积为1S .BPQ V 的面积为2S ，若21||||AP S BP S ⋅=⋅，判断k k '⋅是否为定值？并说明理由.18．（2024·山东泰安·统考一模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率为e ，,A B 是椭圆C 上不同的两点，且点A 在x 轴上方，()120F A F B λλ=>，直线2F A ，1F B 交于点P .已知当1F A x ⊥轴时，1F A e =.(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：点P 在以1F ，2F 为焦点的定椭圆上.【提能力】一、单选题19．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线21:4E y x =的焦点为F ，过F 且斜率大于零的直线l 与1E 相交于A ，B 两点，若直线l 与抛物线22:4E y x =-相切，则AB =（）A ．4B ．6C ．8D ．1020．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上两点，记直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，直线AB 与x 轴的交点为P ，直线OA 、OB 与抛物线C 的准线分别交于点M ，N ，则△PMN 的面积的最小值为（）A B ．4C ．4D ．221．（2024·广西梧州·统考一模）已知双曲线()222:104x y C a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 右支上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若圆()2221x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则下列结论正确的有（）个．①4a =；②PA PB ⋅为定值；③双曲线C 的离心率e =④当点P 异于顶点时，△12PF F 的内切圆的圆心总在直线x =A ．1B ．2C ．3D ．422．（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知双曲线C ：2214y x -=的左、右顶点为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若PD QD μ=且2DQP DPQ ∠=∠，则μ=（）AB ．3C ．2D ．323．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，焦点在x 轴上的曲线C ：22213x y m+=的离心率e 满足26510e e -+≤，A ，B 是x 轴与曲线C 的交点，P 是曲线C 上异于A ，B 的一点，延长PO 交曲线C 于另一点Q ，则tan tan OBP OBQ ∠⋅∠的取值范围是（）A ．3849⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B ．3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦,C ．1549⎡⎤⎢⎥⎣⎦,D ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦24．（2022·广东广州·统考一模）双曲线22:4C x y -=的左，右焦点分别为12,F F ，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于,A B 两点，12121,,AF F BF F F AB 的内切圆圆心分别为123,,O O O ，则123O O O 的面积是（）A ．8B ．4C ．8-D ．6-25．（2024春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）椭圆22:143x y C +=的左､右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上，且直线2PA 斜率取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，那么直线1PA 斜率取值范围是（）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,2D ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦26．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C在第一、四象限分别交于点A ，B ，与圆()222131216x y p ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭相切，则AF AB 的值等于（）A ．23B ．25C ．13D ．34二、多选题27．（2024·山东临沂·统考一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:2C y x =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点(),2P m 射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经过C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A ．1214x x =B ．延长AO 交直线12x =-于点D ，则D ，B ，Q 三点共线C ．134AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则94m =28．（2024·浙江·模拟预测）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点（点A 在第一象限），过A ，B 点作准线的垂线，垂足分别为11,A B ．设直线l 的倾斜角为θ，当π6θ=时，|16|AB =．则下列说法正确的是（）A ．AMB ∠有可能为直角B ．1111||||||||MF A B FA FB =C ．Q 为抛物线C 上一个动点，(3,1)E为定点，||||||QE QF -D ．过F 点作倾斜角的角平分线FP 交抛物线C 于P 点（点P 在第一象限），则存在θ，使111||||AF PF +=29．（2024·全国·开滦第二中学校考模拟预测）设1F ，2F 分别为椭圆221259x y+=的左、右焦点，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1PF k ，2PF k 表示直线1PF ，2PF 的斜率，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得17PF =成立B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=︒成立C ．存在点P ，使得217PF PF k k =成立D ．存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立30．（2024·山东济宁·统考一模）已知1F ，2F 是椭圆1C ：2222121x y a a +=(110>>a b )与双曲线2C ：2222221x y a a -=(220,0a b >>)的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 与2C 的离心率，且P 是1C 与2C 的一个公共点，满足120PF PF ⋅=，则下列结论中正确的是（）A ．22221122a b a b +=-B ．2212112e e +=C．121e的最大值为D121e +的最大值为三、填空题31．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知拋物线2:2(0)C y px p =>，过焦点的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，()1,1P --在抛物线C 的准线上，且满足PA PB ⊥，则直线l 的方程为___________.32．（2024秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知双曲线22:122x y C -=的右焦点为F ，直线:2(0)l x my m =+>与双曲线C 相交于,A B 两点，点()6,0P ，以PF 为直径的圆与l 相交于,F M 两点，若M 为线段AB 的中点，则MF =__________.33．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）设F 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，A ，B 分别为双曲线E 的左右顶点，点P 为双曲线E 上异于A ，B 的动点，直线l ：x ＝t 使得过F 作直线AP 的垂线交直线l 于点Q 时总有B ，P ，Q 三点共线，则ta的最大值为____________.34．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆22:143x y C +=，斜率为的直线l 分别交x 轴负半轴、y 轴负半轴于A 、B 两点，交C 于T 、P 两点，点T 在x 轴上方，过点B 作x 轴的平行线交C 于Z 、J 两点，则ZTJ △面积的最大值为________．四、解答题35．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A B ，两点，交直线x =M ，若12MA AF MB BF λλ==，，求证:12λλ+为定值.36．（2024春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知双曲线E ：2214x y -=与直线l ：3y kx =-相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点．(1)当k 变化时，求点M 的轨迹方程；(2)若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C 、D 两点，问：是否存在实数k ，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．37．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知()1,0F ，直线l ：=1x -，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与轨迹C 交于A ，B 两点，与直线l 交于点M ，设1MA AF λ=，2MB BF λ=，证明12λλ+定值，并求12λλ的取值范围．38．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点1,2A ⎛ ⎝⎭，且椭圆的长轴长为4．(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点()1,0B -的直线l 与椭圆C 相交于D 、E 两点，点E 关于x 轴的对称点为F ，直线DF 与x 轴相交于点G ，求DEG △的面积S 的取值范围．2025年高考数学一轮复习-圆锥曲线的综合问题（定值最值范围）-专项训练（原卷版）【练基础】一、单选题1．（2024·广东广州·统考一模）已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 任x 铀上，过点()2,0的且线交C 于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，线段PQ 的中点为M ，则直线MF 的斜率的取大值为（）AB ．12CD ．111、()22,B x y 两点，若124x x +=，则AB 的值为（）A ．4B ．6C ．8D ．10故选：B3．（2024·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别为椭圆22142x y+=的左、右焦点，P 为椭圆上一动点，2F 关于直线1PF 的对称点为M ，1F 关于直线2PF 的对称点为N ，当MN 最大时，则12F PF △的面积为（）AB C ．3D ．3则122PM PN PF PF a +=+=此时1122MPF F PF NPF ∠=∠=∠所以1260F PF ∠=︒，在12F PF △中，由余弦定理可得()21，2，过2作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，则1F AB 的内切圆半径等于（）A ．12B ．22C D ．25．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C ：()2210,0a b a b-=>>1F ，2F 分别是C 的左、右焦点，经过点2F 且垂直于C 的一条渐近线的直线l 与C 交于A ，B 两点，若1ABF 的面积为64，则C 的实轴长为（）A ．6B ．8C ．12D ．166．（2024·陕西安康·统考二模）设抛物线C ：的焦点是F ，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且3π4AFB ∠=，过弦AB 的中点P 作2py =-的垂线，垂足为Q ，则2AB PQ ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．2B ．3C ．224D ．27．（2024·辽宁阜新·校考模拟预测）若椭圆22132x y +=的左右焦点为1F 、2F ，过1F 和点(0,1)的直线交椭圆于M 、N 两点，若P （0，m ）满足63355PM PN m ⋅≤+，则m 的取值范围为（）A ．[]2,3-B ．[]0,4C ．()0,3D ．[]2,4-垂直的直线12,l l ，且直线12,l l 分别与抛物线C 交于,A B 和,D E ，则4AB DE +的最小值是（）A ．64B ．72C ．144D ．1289．（2024·安徽·统考一模）已知O 为坐标原点，点()()()22,0,2,20A a B a aa ≠，线段AB 的中点M 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，连接OB 并延长，与C 交于点N ，则（）A ．C 的准线方程为12y =-B ．点B 为线段ON 的中点C ．直线AN 与C 相切D ．C 在点M 处的切线与直线ON 平行【答案】BCD 【分析】将()22,M a a代入抛物线得2p =，则得到其准线方程，则可判断A ，联立直线OB的方程与抛物线方程即可得到()24,4N a a ，即可判断B ，利用导数求出抛物线C 在点N 处的切线方程，令0y =，则可判断C ，再次利用导数求出抛物线在()22,M a a 处的切线斜率，则可判断D.【详解】对A ，根据中点公式得()22,M a a，将其代入2:2C xpy =得2242a a p =，则2p =，所以抛物线2:4C x y =的准线方程为1y =-，故A 错误，对B ，()22,2(0)B a a a ≠，则直线OB 的斜率为a ，则直线OB 的方程为y ax =，将其代入2:4C x y =得24x ax =，解得4x a =或0（舍去），此时24y a =，则()24,4N a a，所以B 为ON 中点，故B 正确；10．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C：214b+=，()0,2b∈，点P为椭圆C外一点，过点P作椭圆C的两条不同的切线PA，PB，切点分别为A，B.已知当点P在圆227x y+=上运动时，恒有PA PB⊥.则（）A．1b=B．若矩形DEFG的四条边均与椭圆C相切，则矩形DEFG的面积的最小值为14C．若点P的运动轨迹为221169x y+=，则原点O到直线AB的距离恒为1D．若直线PA，PB的斜率存在且其斜率之积为2，则点P在椭圆22186x y+=上运动11．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆22:1C a b+=（0a b >>）的离心率为12，椭圆上一点P 与焦点12,F F ）A ．椭圆方程为22:143x y C +=B ．直线:3470l x y +-=与椭圆C 无公共点C ．若A ，B 为椭圆C 上的动点，且OAOB ⊥，过O 作OH AB ⊥，H 为垂足，则点H 所在轨迹为圆，且圆的半径r 满足2127r =D ．若过点(3,2)Q 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB k =12．（2024·安徽淮北·统考一模）已知曲线，直线l 过点交Γ于A ，B 两点，下列命题正确的有（）A ．若A 点横坐标为8，则24AB =B ．若()2,3P ，则AP AF +的最小值为6C ．原点O 在AB 上的投影的轨迹与直线60x -=有且只有一个公共点D ．若2AF FB =，则以线段AB 为直径的圆的面积是81π对于C,设原点O 在直线l 上的投影为因为OH AB ⊥，所以OHF ∠=根据几何性质及圆的定义可知点()()22360240x y x y y ⎧+-=⎪⎨-+=≠⎪⎩得2y 对于D,设直线l 的方程为121216,64y y t y y +==-，因为()114,,AF x y FB =--所以12222y y y y +=-+=所以21251264y y t =-=-1642,y y t y +==±故选：BCD.三、填空题13．（2024·福建福州·统考二模）已知椭圆C ：221126x y +=，直线l 与C 在第二象限交于A ，B 两点（A 在B 的左下方），与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，且|MA |：|AB |：|BN |=1：2：3，则l 的方程为__________．由条件得B 点为线段MN 中点，设由:1:2MA AB =得A 坐标为得2200221,126251,x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪解得⎧⎨⎩过圆心M 且与抛物线E 交于A ，B 与圆M 交于C ，D .若||||AC BD =，则||||AB CD =___________.【答案】2【分析】设直线l 的方程为2x my m =+-，由题意可知圆M 的圆心为弦AB 的中点，据此联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系即可求出m ，再由弦长公式即可得解.【详解】由22:4240M x y x y +--+=可得22(2)(1)1x y -+-=，故圆心(2,1)M ，半径1R =，的准线l 的垂线，垂足为A ，若直线AF 的斜率为3-，则PAF △的面积为______．【答案】152##7.516．（2024·陕西·西安市西光中学校联考一模）点A ，B 是抛物线C ：()220y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB ∠=︒，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则ABd的最小值为________.17．（2024·广东广州·统考一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，以C 的短轴为直径的圆与直线6y ax =+相切.(1)求C 的方程；(2)直线l ：(1)(0)y k x k =-≥与C 相交于A ，B 两点，过C 上的点P 作x 轴的平行线交线段AB 于点Q ，直线OP 的斜率为k '（O 为坐标原点），△APQ 的面积为1S .BPQ V 的面积为2S ，若21||||AP S BP S ⋅=⋅，判断k k '⋅是否为定值？并说明理由.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．18．（2024·山东泰安·统考一模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率为e ，,A B 是椭圆C 上不同的两点，且点A 在x 轴上方，()120F A F B λλ=>，直线2F A ，1F B 交于点P .已知当1F A x ⊥轴时，1F A e =.(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：点P 在以1F ，2F 为焦点的定椭圆上.【提能力】一、单选题19．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线21:4E y x =的焦点为F ，过F 且斜率大于零的直线l 与1E 相交于A ，B 两点，若直线l 与抛物线22:4E y x =-相切，则AB =（）A ．4B ．6C ．8D ．10点，记直线OA，OB的斜率分别为1k，2k，且1212k k=-，直线AB与x轴的交点为P，直线OA、OB与抛物线C的准线分别交于点M，N，则△PMN的面积的最小值为（）A B．4C．4D．221．（2024·广西梧州·统考一模）已知双曲线()2:104C a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 右支上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若圆()2221x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则下列结论正确的有（）个．①4a =；②PA PB ⋅为定值；③双曲线C 的离心率233e =；④当点P 异于顶点时，△12PF F 的内切圆的圆心总在直线x =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C由圆的切线性质知12F D F D -所以D x a =，因此内心I 在直线故选：C22．（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知双曲线C ：214x -=的左、右顶点为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若PD QD μ=且2DQP DPQ ∠=∠，则μ=（）AB C ．2D 【答案】D故选：D23．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，焦点在x 轴上的曲线C ：213x y m+=的离心率e 满足26510e e -+≤，A ，B 是x 轴与曲线C 的交点，P 是曲线C 上异于A ，B 的一点，延长PO 交曲线C 于另一点Q ，则tan tan OBP OBQ ∠⋅∠的取值范围是（）A ．3849⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B ．3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦,C ．1549⎡⎤⎢⎥⎣⎦,D ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由离心率的范围可知曲线为椭圆，根据离心率与用斜率公式表示出tan tan OBP OBQ ∠⋅∠，进而求出其范围．1112，过2直于x 轴的直线交双曲线于,A B 两点，12121,,AF F BF F F AB 的内切圆圆心分别为123,,O O O ，则123O O O 的面积是（）A ．8B ．4C ．8-D ．6-由双曲线22:4C x y -=，知224a b ==，所以2228c a b =+=，所以2(22,0)F ，12242F F c ==所以过2F 作垂直于x 轴的直线为22x =，代入C 中，解出()()22,2,22,2A B -，由题知1212,AF F BF F 的内切圆的半径相等，且11AF BF =，1212,AF F BF F 的内切圆圆心25．（2024春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）椭圆:143x y C +=的左､右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上，且直线2PA 斜率取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，那么直线1PA 斜率取值范围是（）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,2D ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于点A ，B ，与圆()222131216x y p ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭相切，则AFAB的值等于（）A ．23B ．25C ．13D ．34二、多选题27．（2024·山东临沂·统考一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:2C y x =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点(),2P m 射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经过C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A ．1214x x =B ．延长AO 交直线12x =-于点D ，则D ，B ，Q 三点共线C ．134AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则94m =则直线AB 的方程为403y -=联立224233y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2817x -又218x =时，212y =-，则B 为M ，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点（点A 在第一象限），过A ，B 点作准线的垂线，垂足分别为11,A B ．设直线l 的倾斜角为θ，当π6θ=时，|16|AB =．则下列说法正确的是（）A ．AMB ∠有可能为直角B ．1111||||||||MF A B FA FB =C ．Q 为抛物线C 上一个动点，(3,1)E 为定点，||||||QE QF -D ．过F 点作倾斜角的角平分线FP 交抛物线C 于P 点（点P 在第一象限），则存在θ，使111||||AF PF +=因此111240FA FB y y ⋅=+=，即确；对于C ，显然点E 在抛物线29．（2024·全国·开滦第二中学校考模拟预测）设1F ，2F 分别为椭圆1259+=的左、右焦点，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1PF k ，2PF k 表示直线1PF ，2PF 的斜率，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得17PF =成立B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=︒成立C ．存在点P ，使得217PF PF k k =成立D ．存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立成立，故选项D 正确，故选：ABD.30．（2024·山东济宁·统考一模）已知1F ，2F 是椭圆1C ：2222121x y a a +=(110>>a b )与双曲线2C ：2222221x y a a -=(220,0a b >>)的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 与2C 的离心率，且P 是1C 与2C 的一个公共点，满足120PF PF ⋅=，则下列结论中正确的是（）A ．22221122a b a b +=-B ．2212112e e +=C．121e的最大值为D121e +的最大值为【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的离心率相关问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角换元求最值可以简化运算，是解题的关键.三、填空题31．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知拋物线2:2(0)C y px p =>，过焦点的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，()1,1P --在抛物线C 的准线上，且满足PA PB ⊥，则直线l 的方程为___________.32．（2024秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知双曲线:122C -=的右焦点为F ，直线:2(0)l x my m =+>与双曲线C 相交于,A B 两点，点()6,0P ，以PF 为直径的圆与l 相交于,F M两点，若M 为线段AB 的中点，则MF =__________.联立方程组222122x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得(2m -则12241m y y m +=--，12221y y m =-.因为M 为线段AB 的中点，所以M 的坐标为又以PF 为直径的圆与l 相交于,F M 33．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）设F 为双曲线22:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，A ，B 分别为双曲线E 的左右顶点，点P 为双曲线E 上异于A ，B 的动点，直线l ：x ＝t 使得过F 作直线AP 的垂线交直线l 于点Q 时总有B ，P ，Q 三点共线，则ta的最大值为____________.【答案】54##1.25【详解】()k x a =+，()(22,,,0P x y A a -)2232422220x a k x a k a b ---=3222222a k x b a k +=-，得到22ab x b =34．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆:143C +=，斜率为的直线l 分别交x 轴负半轴、y 轴负半轴于A 、B 两点，交C 于T 、P 两点，点T 在x 轴上方，过点B 作x 轴的平行线交C于Z 、J 两点，则ZTJ △面积的最大值为________．直线l 交y 轴负半轴于点()0,B m ，设点联立22323412y x m x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩可得2323x mx -()()222121226126m m m ∆=--=-因为11302y x m =-+>，可得1x <【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．四、解答题35．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A B ，两点，交直线x =M ，若12MA AF MB BF λλ==，，求证:12λλ+为定值.36．（2024春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知双曲线E ：214y -=与直线l ：3y kx =-相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点．(1)当k 变化时，求点M 的轨迹方程；(2)若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C 、D 两点，问：是否存在实数k ，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．37．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知，直线l：，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且QP QF FP FQ⋅=⋅．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与轨迹C 交于A ，B 两点，与直线l 交于点M ，设1MA AF λ=，2MB BF λ=，证明12λλ+定值，并求12λλ的取值范围．【答案】(1)24y x =(2)证明见解析，()1,+∞【分析】（1）设出点的坐标，运用数量积运算可得结果.（2）设直线AB 的方程，求出点M 的坐标，联立直线AB 与轨迹C 的方程后由韦达定理得12y y +、12y y ，由已知向量关系式可得1121my λ=--，2221my λ=--，进而求得12λλ+的值与12||λλ的范围.【详解】（1）设点(),P x y ，则()1,Q y -，且()1,0F ．由QP QF FP FQ ⋅=⋅得()()()()1,02,1,2,x y x y y +⋅-=-⋅-，即()()22121x x y +=--+，化简得24y x =．故动点P 的轨迹C 的方程为：24y x =．（2）设直线AB 的方程为：()10x my m =+≠，则21,M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．联立直线AB 与轨迹C 的方程得241y xx my ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y my --=，则()24160m ∆=-+>．设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理知，121244y y my y +=⎧⎨=-⎩．由1MA AF λ=，2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-，整理得1121my λ=--，2221my λ=--．38．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点1,2A ⎛ ⎝⎭，且椭圆的长轴长为4．(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点()1,0B -的直线l 与椭圆C 相交于D 、E 两点，点E 关于x 轴的对称点为F ，直线DF 与x 轴相交于点G ，求DEG △的面积S 的取值范围．。
高考数学一轮复习规划综合突破五 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题(二)
所以T→A·T→B＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋kx1＋13·kx2＋13
＝(k2＋1)x1x2＋13(k2－3)(x1＋x2)＋19(k2＋9)＝9（k21＋2）[(k2＋1)(k2－18)－2k2(k2－3)＋(k2＋9)·(k2＋2)]＝0， 所以T→A⊥T→B，所以以 AB 为直径的圆恒过点 T(1，0).
x＝0
或
x＝－1＋6k3k2.
因此点 P 的坐标为－1＋6k3k2，－1＋6k32k2＋1，即 P－1＋6k3k2，11－ ＋33kk22，
将上式中的 k 换成－1k，得点 Q3＋6kk2，k32＋－k32，
所以直线 l 的斜率为k332＋ ＋6－kkk322＋－111－ ＋ ＋6k333kkk222＝k24－k 1，即直线 l 的方程为 y＝k24－k 1x－3＋6kk2
核心考点
第八章 平面解析几何
解：(1)设直线 l：x＝my＋1 与 y2＝2px 联立消去 x 得，y2－2pmy－2p＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 y1＋y2＝2pm，y1y2＝－2p.
因为O→A·O→B＝－3，所以O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝(my1＋1)(my2＋1)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋m(y1＋y2) ＋1＝(1＋m2)(－2p)＋2pm2＋1＝－2p＋1＝－3，解得 p＝2.
(2)斜率为 k 的动直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 S－13，0在直线 l 上，求证：
无论直线 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T(1，0).
核心考点
第八章 平面解析几何
解：(1)设椭圆的离心率为
e，由题可知e＝ac＝ 2a＝2
2020版高考数学 圆锥曲线的综合问题(第2课时)定点、定值、探索性问题教案(文)(含解析)北师大版
第2课时 定点、定值、探索性问题考点一 定点问题【例1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且F 2关于直线x －y ＋a＝0的对称点M 在直线3x ＋2y ＝0上． (1)求椭圆的离心率；(2)若C 的长轴长为4且斜率为12的直线l 交椭圆于A ，B 两点，问是否存在定点P ，使得PA ，PB 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．解 (1)依题知F 2(c ，0)，设M (x 0，y 0)，则y 0x 0－c＝－1且x 0＋c 2－y 02＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－a ，y 0＝a ＋c ，即M (－a ，a ＋c )．∵M 在直线3x ＋2y ＝0上，∴－3a ＋2(a ＋c )＝0，即a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.(2)存在．由(1)及题设得c a ＝12且2a ＝4，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1，设直线l 方程为y ＝12x ＋t ，代入椭圆方程消去y 整理得x 2＋tx ＋t 2－3＝0.依题知Δ＞0，即t 2－4(t 2－3)＞0，t 2＜4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－3，如果存在P (m ，n )使得k PA ＋k PB 为定值，那么k PA ＋k PB 的取值将与t 无关，k PA ＋k PB ＝y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3，令⎝ ⎛⎭⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3＝M ，由Mt 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mM ＋32m －n t ＋m 2M －3M －2mn ＋3＝0，由题意可知该式对任意t 恒成立，其中t 2＜4，∴⎩⎪⎨⎪⎧M ＝0，n ＝32m ，2mn ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－32， 综上可知，满足条件的定点P 是存在的，坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.规律方法 求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：把直线或圆锥曲线方程中的变量x ，y 看成常数，把方程的一端化为零，将方程转化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点．【训练1】 已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1，2)为抛物线C 上一点. (1)求抛物线C 的方程；(2)若点B (1，－2)在抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的两条弦BP 与BQ ，如k BP ·k BQ ＝－2，求证：直线PQ 过定点.(1)解 若抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，代入点A (1，2)，可得a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x .若抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，代入点A (1，2)，可得m ＝12，所以抛物线方程为x 2＝12y .综上所述，抛物线C 的方程是y 2＝4x 或x 2＝12y .(2)证明 因为点B (1，－2)在抛物线C 上，所以由(1)可得抛物线C 的方程是y 2＝4x . 易知直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为y ＋2＝k (x －1)， 将直线BP 的方程代入y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4k ＋4)x ＋(k ＋2)2＝0.设P (x 1，y 1)，则x 1＝（k ＋2）2k2，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫（k ＋2）2k2，2k ＋4k . 用－2k替换点P 坐标中的k ，可得Q ((k －1)2，2－2k )，从而直线PQ 的斜率为2k ＋4k－2＋2k（k ＋2）2k2－（k －1）2＝2k 3＋4k －k 4＋2k 3＋4k ＋4＝2k －k 2＋2k ＋2， 故直线PQ 的方程是y －2＋2k ＝2k －k 2＋2k ＋2·[x －(k －1)2].在上述方程中，令x ＝3，解得y ＝2， 所以直线PQ 恒过定点(3，2). 考点二 定值问题【例2】 (2019·河北省“五个一”名校联盟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，y 1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，y 2，m ·n ＝0. (1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由. (1)证明 ∵k 1，k 2均存在，∴x 1x 2≠0. 又m ·n ＝0，∴x 1x 24＋y 1y 2＝0，即x 1x 24＝－y 1y 2，∴k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－14. (2)解 ①当直线PQ 的斜率不存在，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时，由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214－y 21＝0. 又∵点P (x 1，y 1)在椭圆上，∴x 214＋y 21＝1，∴|x 1|＝2，|y 1|＝22.∴S △POQ ＝12|x 1||y 1－y 2|＝1. ②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b .联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1， 消去y 并整理得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，其中Δ＝(8kb )2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(1＋4k 2－b 2)>0，即b 2<1＋4k 2. ∴x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1.∵x 1x 24＋y 1y 2＝0，∴x 1x 24＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2－4k 2＝1(满足Δ>0).∴S △POQ ＝12|b |1＋k 2|PQ |＝12|b |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2|b |4k 2＋1－b 24k 2＋1＝1. 综合①②，△POQ 的面积S 为定值1.规律方法 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值. (2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引起变量法：其解题流程为变量→选择适当的动点坐标或动线中系数为变量 ↓函数→把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 ↓定值→把得到的函数化简，消去变量得到定值【训练2】 (2019·长春质量监测)已知直线l 过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物线两交点间的距离为2. (1)求抛物线C 的方程；(2)若点P (2，2)，过点(－2，4)的直线m 与抛物线C 相交于A ，B 两点，设直线PA 与PB 的斜率分别为k 1和k 2.求证：k 1k 2为定值，并求出此定值.(1)解 由题意可知，2p ＝2，解得p ＝1，则抛物线的方程为x 2＝2y .(2)证明 由题易知直线m 的斜率存在，设直线m 的方程为y －4＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－2x 1－2＝k （x 1＋2）＋2x 1－2，k 2＝y 2－2x 2－2＝k （x 2＋2）＋2x 2－2， k 1k 2＝[k （x 1＋2）＋2][k （x 2＋2）＋2]（x 1－2）（x 2－2）＝k 2[x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4]＋2k （x 1＋x 2＋4）＋4x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4，联立抛物线x 2＝2y 与直线y －4＝k (x ＋2)的方程消去y 得x 2－2kx －4k －8＝0，其中Δ＝4(k 2＋4k ＋8)>0恒成立，可得x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－4k －8，则k 1k 2＝－1. 因此k 1k 2为定值，且该定值为－1. 考点三 探索性问题【例3】 (2019·福州四校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)由内切圆的性质，得12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b 3，得c a ＝12.将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以2b2a＝3.又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 垂直于x 轴时，显然x 轴上任意一点T 都满足TS 与TR 所在直线关于x 轴对称. 当直线l 不垂直于x 轴时，假设存在T (t ，0)满足条件，设l 的方程为y ＝k (x －1)，R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，① 其中Δ>0恒成立，由TS 与TR 所在直线关于x 轴对称，得k TS ＋k TR ＝0(显然TS ，TR 的斜率存在)， 即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0.②因为R ，S 两点在直线y ＝k (x －1)上， 所以y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入②得k （x 1－1）（x 2－t ）＋k （x 2－1）（x 1－t ）（x 1－t ）（x 2－t ）＝k [2x 1x 2－（t ＋1）（x 1＋x 2）＋2t ]（x 1－t ）（x 2－t ）＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，③ 将①代入③得8k 2－24－（t ＋1）8k 2＋2t （3＋4k 2）3＋4k 2＝6t －243＋4k 2＝0，④则t ＝4，综上所述，存在T (4，0)，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称. 规律方法 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.【训练3】 (2019·上饶检测)已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与AB 相交于一点(交点位于线段AB 上，且与A ，B 不重合).(1)求曲线E 的方程；(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.解 (1)设点P (x ，y )，由题意，可得（x －1）2＋y 2|x －2|＝22，得x 22＋y 2＝1.∴曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由条件可得|AB |＝ 2. 当m ＝0时，显然不合题意.当m ≠0时，∵直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切， ∴|n |m 2＋1＝1，得n 2＝m 2＋1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1，消去y 得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0，则Δ＝4m 2n 2－4⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2>0，x 1＋x 2＝－4mn 2m 2＋1，x 1x 2＝2（n 2－1）2m 2＋1， S 四边形ACBD ＝12|AB |·|x 1－x 2|＝2|m |2m 2＋1＝22|m |＋1|m |≤22， 当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±22时等号成立，因为直线l与线段AB有交点，所以当m＝22时，n＝－62；当m＝－22时，n＝62.经检验可知，直线y＝22x－62和直线y＝－22x＋62都符合题意.[思维升华]1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.[易错防范]1.求范围问题要注意变量自身的范围.2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系、特殊位置的应用.3.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.4.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·石家庄模拟)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM→＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95B.125C.4D.5解析 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125.答案 B2.(2018·陕西重点中学联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，则k 1·k 2的值为( )A.2B.3C. 3D. 6解析 由题意知，e ＝ca＝1＋b 2a2＝2⇒b 2＝3a 2，则双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n )，M (x 0，y 0)(x 0≠±m )，则B (－m ，－n )，k 1·k 2＝y 0－n x 0－m ·y 0＋n x 0＋m ＝y 20－n2x 20－m 2＝3x 20－3a 2－3m 2＋3a 2x 20－m 2＝3. 答案 B3.直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且满足k 1k 2＝23，则直线l 过定点( )A.(－3，0)B.(0，－3)C.(3，0)D.(0，3)解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝23.又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，所以y 1y 2＝6.设直线l ：x ＝my ＋b ，代入抛物线C ：y 2＝2x 得y 2－2my －2b ＝0，所以y 1y 2＝－2b ＝6，得b ＝－3，即直线l 的方程为x ＝my －3，所以直线l 过定点为(－3，0). 答案 A4.(2019·成都诊断)设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作抛物线C ：y 2＝4x 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为k 1，k 2，F 是抛物线的焦点，直线QF 的斜率为k 0，则下列结论正确的是( ) A.k 1－k 2＝k 0 B.k 1k 2＝2k 0 C.k 1－k 2＝2k 0D.k 1＋k 2＝2k 0解析 设点Q (－1，t )，由过点Q 的直线y －t ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 相切，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y －t ＝k （x ＋1），整理得k 2x 2＋2(k 2＋kt －2)x ＋(k ＋t )2＝0，则Δ＝4(k 2＋kt －2)2－4k 2(k ＋t )2＝0，化简得k 2＋tk －1＝0.显然k 1，k 2是关于k 的方程k 2＋tk －1＝0的两个根，所以k 1＋k 2＝－t .又k 0＝－t2，故k 1＋k 2＝2k 0.答案 D5.已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( ) A.1B.2C.4D.12解析 如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，可知|PF 1|＝|PQ |，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，从而|QF 2|＝2，在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，故|OH |＝1.答案 A 二、填空题6.已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________. 解析 ∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3.答案 37.(2019·东北三省四校模拟)若双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________. 解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝1＋b 2≤4，∵e＞1，∴1＜e ≤2. 答案 (1，2]8.(2019·湘中名校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝________.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由FA →＋FB →＋FC →＝0，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p＋y 2＋y 32p＝0. 答案 0 三、解答题9.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |＝8611. (1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＋y －1＝0，消去y ，得x 2－2(1＋p )x ＋1＝0， 判别式Δ＝4(1＋p )2－4＝4p 2>0恒成立， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2(1＋p )，x 1x 2＝1. 因为|AB |＝8611，所以2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝8611， 所以121p 2＋242p －48＝0，所以p ＝211或p ＝－2411(舍去).故抛物线的方程为y 2＝411x .(2)设弦AB 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎪⎫1311，－211.假设x 轴上存在满足条件的点C (x 0，0). 因为△ABC 为正三角形， 所以CD ⊥AB ，所以x 0＝1511，所以C ⎝⎛⎭⎪⎫1511，0，所以|CD |＝2211.又|CD |＝32|AB |＝12211， 与上式|CD |＝2211矛盾，所以x 轴上不存在点C ，使△ABC 为正三角形.10.(2019·江西九校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值. (1)解 由题意知，a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.因为c ＝a 2－b 2＝3， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32. (2)证明 设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 20＝4. 因为A (2，0)，B (0，1)， 所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2） ＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2， 所以四边形ABNM 的面积为定值2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上不同的三点，FA →＋FB →＋FC →＝0，O 为坐标原点，且△OFA ，△OFB ，△OFC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 21＋S 22＋S 23等于( ) A.2B.3C.6D.9解析 由题意可知F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FC →＝(x 3－1，y 3)，由FA →＋FB →＋FC →＝0，得(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3.又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)在抛物线上，所以y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，y 23＝4x 3，又S 1＝12·|OF |·|y 1|＝12|y 1|，S 2＝12|OF |·|y 2|＝12|y 2|，S 3＝12|OF |·|y 3|＝12|y 3|，所以S 21＋S 22＋S 23＝14(y 21＋y 22＋y 23)＝14×(4x 1＋4x 2＋4x 3)＝3. 答案 B12.(2019·郑州调研)已知直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相切于点P ，l 与双曲线的两条渐近线交于M ，N 两点，则OM →·ON →的值为( ) A.3 B.4C.5D.与P 的位置有关解析 依题意，设点P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 20－4y 20＝4，则直线l 的方程是x 0x4－y 0y ＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y ＝±12x . ①当y 0＝0时，直线l 的方程是x ＝2或x ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x 24－y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝±1，此时OM →·ON →＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l 的方程是x ＝－2时，OM →·ON →＝3.②当y 0≠0时，直线l 的方程是y ＝14y 0(x 0x －4).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14y 0（x 0x －4），x 24－y 2＝0，得(4y 2－x 20)x 2＋8x 0x －16＝0(*)，又x 20－4y 20＝4，因此(*)即是x 2－2x 0x ＋4＝0，x 1x 2＝4，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2－14x 1x 2＝34x 1x 2＝3.综上所述，OM →·ON →＝3. 答案 A13.(2019·合肥模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为________. 解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1，0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )， ∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12，故最小值为6. 答案 614.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线x ＋y －2＝0相切. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EA →·EB →为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a ＝|0＋0－2|2，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1， 则椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0恒成立，∴x A ＋x B ＝4k 21＋2k 2，x A x B ＝2k 2－21＋2k2.假设在x 轴上存在定点E (x 0，0)，使得EA →·EB →为定值. 则EA →·EB →＝(x A －x 0，y A )·(x B －x 0，y B ) ＝x A x B －x 0(x A ＋x B )＋x 20＋y A y B＝x A x B －x 0(x A ＋x B )＋x 20＋k 2(x A －1)(x B －1) ＝(1＋k )2x A x B －(x 0＋k 2)(x A ＋x B )＋x 20＋k 2＝（2x 20－4x 0＋1）k 2＋（x 20－2）1＋2k2. ∵EA →·EB →为定值，∴EA →·EB →的值与k 无关， ∴2x 20－4x 0＋1＝2(x 20－2)，解得x 0＝54，此时EA →·EB →＝－716为定值，定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0， 当直线的斜率不存在时，也满足EA →·EB →＝－716为定值，且定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0.综上，存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，使得EA →·EB →为定值，且定值为－716.。
圆锥曲线大题综合(学生版)--2024届新高考数学题型满分突破
圆锥曲线大题综合冲刺秘籍1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 、x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解2.若直线l :y =kx +b 与圆雉曲线相交于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)两点，由直线与圆锥曲线联立，消元得到Ax 2+Bx +C =0(Δ>0)则：x 1+x 2=-B A ,x 1x 2=CA则：弦长AB =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=x 1-x 2 2+kx 1-kx 2 2=1+k 2x 1-x 2 =1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-B A 2-4C A=1+k 2B 2-4ACA 2=1+k 2⋅ΔA或|AB |=1+1k2⋅y 1-y 22=1+1k2⋅y 1-y 23.处理定点问题的思路：(1)确定题目中的核心变量(此处设为k )，(2)利用条件找到k 与过定点的曲线F x ,y =0的联系，得到有关k 与x ,y 的等式，(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点x 0,y 0 ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与x ,y 的等式进行变形，直至找到x 0,y 0 ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“k ⋅ ”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.4.处理定值问题的思路：联立方程，用韦达定理得到x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式，代入方程和原式化简即可.冲刺训练一、解答题1(2023·浙江·校联考模拟预测)已知点A(2,0)，B-65,-45在椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上.(1)求椭圆M的方程；(2)直线l与椭圆M交于C,D两个不同的点(异于A,B)，过C作x轴的垂线分别交直线AB,AD于点P,Q，当P是CQ中点时，证明．直线l过定点.2(2023·广东深圳·统考二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22，且点4,1在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)若经过定点0,-1的直线l与椭圆C交于P,Q两点，记椭圆的上顶点为M，当直线l的斜率变化时，求△MPQ面积的最大值.3(2023·江苏常州·校考一模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的短轴长为22，离心率为22．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 4,1 的动直线l 与椭圆C 相交于不同的A ,B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足AP ⋅QB =AQ ⋅PB ，证明：点Q 总在某定直线上．4(2023·江苏徐州·校考模拟预测)已知抛物线E ：y 2=4x ，过点P (1,1)作斜率互为相反数的直线m ,n ，分别交抛物线E 于A ,B 及C ,D 两点．(1)若PA =3BP ，求直线AB 的方程；(2)求证：∠CAP =∠BDP ．5(2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测)已知双曲线M:x2-y23=1，在双曲线M的右支上存在不同于点A(2,3)的两点P，Q，记直线AP,AQ,PQ的斜率分别为k1,k2,k，且k1，k，k2成等差数列．(1)求k的取值范围；(2)若△OPQ的面积为6(O为坐标原点)，求直线PQ的方程．6(2023·广东佛山·校考模拟预测)已知O为坐标原点，定点F1-1,0，F21,0，圆O:x2+y2=2，M 是圆内或圆上一动点，圆O与以线段F2M为直径的圆O1内切.(1)求动点M的轨迹方程；(2)设M的轨迹为曲线E，若直线l与曲线E相切，过点F2作直线l的垂线，垂足为N，证明：ON为定值.7(2023·浙江·校联考三模)已知双曲线x23-y2=1,F1,F2为其左右焦点，点P x0,y0为其右支上一点，在P处作双曲线的切线l.(1)若P的坐标为3,2，求证：l为∠F1PF2的角平分线；(2)过F1,F2分别作l的平行线l1,l2，其中l1交双曲线于A､B两点，l2交双曲线于C､D两点，求△PAB 和△PCD的面积之积S△PAB⋅S△PCD的最小值.8(2023·福建厦门·厦门一中校考一模)已知圆E：x+12+y2=16，点F1,0，G是圆E上任意一点，线段GF的垂直平分线和半径GE相交于H(1)求动点H的轨迹Γ的方程；(2)经过点F和T7,0的圆与直线l：x=4交于P，Q，已知点A2,0，且AP、AQ分别与Γ交于M、N.试探究直线MN是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.9(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模)已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．10(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)△ABC中，D,E是边BC上的点，∠BAD=∠CAE，且BD⋅BECD⋅CE =13．(1)若BC=3，求△ABC面积的最大值；(2)若AB=1,BC=2,△ABC内是否存在点P，使得∠ABP=∠BCP=∠CAP？若存在，求sin∠ABP；若不存在，说明理由．11(2023·江苏扬州·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．12(2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测)椭圆E 的方程为x 24+y 28=1，左、右顶点分别为A -2,0 ，B 2,0 ，点P 为椭圆E 上的点，且在第一象限，直线l 过点P (1)若直线l 分别交x ，y 轴于C ，D 两点，若PD =2，求PC 的长；(2)若直线l 过点-1,0 ，且交椭圆E 于另一点Q (异于点A ，B )，记直线AP 与直线BQ 交于点M ，试问点M 是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．13(2023·福建漳州·统考模拟预测)已知R 是圆M ：x +3 2+y 2=8上的动点，点N 3,0 ，直线NR 与圆M 的另一个交点为S ，点L 在直线MR 上，MS ∥NL ，动点L 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若过点P -2,0 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且A ，B 都在x 轴上方，问：在x 轴上是否存在定点Q ，使得△QAB 的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.14(2023·云南·云南师大附中校考模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的离心率是3，实轴长是2，O 为坐标原点.设点P x 0,y 0 为双曲线C 上任意一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，△OMN 的面积为S .(1)当l 的方程为x 0xa 2-y 0yb 2=1时，求S 的值；(2)设MP =λPN ，求证：1+λ2λ ⋅S为定值.15(2023·云南·校联考模拟预测)已知椭圆C :x 2a2+y 23=1a >b >0 的左、右顶点分别为M 1、M 2，T 为椭圆上异于M 1、M 2的动点，设直线TM 1、TM 2的斜率分别为k 1、k 2，且k 1⋅k 2=-34.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设动直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若OA ⋅OB=0，△OAB 的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.16(2023·黑龙江大庆·统考二模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率e =12，短轴长为23．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知经过定点P 1,1 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且与直线y =-34x 相交于点Q ，如果AQ=λAP ，QB =μPB ，那么λ+μ是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．17(2023·广东佛山·统考模拟预测)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，M-1,0，N1,0，Q为线段MN上异于M,N的一动点，点P满足PMQM=PNQN=2.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)点A,C是曲线E上两点，且在x轴上方，满足AM⎳NC，求四边形AMNC面积的最大值.18(2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为2.(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)若双曲线C的右焦点为F，若直线EF与C的左，右两支分别交于E,D两点，过E作l:x=a2的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.19(2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模)已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b>0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.20(2023·广东梅州·统考三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.21(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模)已知P为圆C：x2+y2-2x-15=0上一动点，点N-1,0，线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q．(1)求点Q的轨迹方程；(2)点M在圆x2+y2=3上，且M在第一象限，过点M作圆x2+y2=3的切线交Q点轨迹于A，B两点，问△ABC的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.22(2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，椭圆C的中心O关于直线2x-y-5=0的对称点落在直线x=a2上，且椭圆C过点M1,62.(1)求椭圆C的方程；(2)P,Q为椭圆C上两个动点，且直线AP与AQ的斜率之积为-16,MD⊥PQ,D为垂足，求AD的最大值.23(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，F为x轴正半轴上的一个动点．以F为焦点、O为顶点作抛物线C:y2=2px(p>0)．设P为第一象限内抛物线C上的一点，Q为x轴负半轴上一点，设Q-a,0=2．圆C1、，使得PQ为拋物线C的切线，且PQC2均与直线OP切于点P，且均与x轴相切．(1)试求出a,p之间的关系；(2)是否存在点F，使圆C1与C2的面积之和取到最小值．若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．24(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知O为坐标原点，椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，椭圆的上顶点到右顶点的距离为5．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左、右顶点分别为E、F，过点D(-2,2)作直线与椭圆交于A、B两点，且A、B位于第一象限，A在线段BD上，直线OD与直线FA相交于点C，连接EB、EC，直线EB、EC的斜率分别记为k1、k2，求k1⋅k2的值．25(2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，且经过点A1,32．(1)求椭圆C的方程；(2)过点B4,0的直线与C交于M，N两点，直线AM,AN分别与直线x=4交于点P，Q，求PB QB的值．26(2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线l:y=kx相交于A,B两点，椭圆上一动点M，满足k MA⋅k MB=-14(其中k表示两点连线的斜率)，且F1,F2为椭圆C的左、右焦点，△MF1F2面积的最大值为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F2的直线l 交椭圆C于P,Q两点，求△F1PQ的内切圆面积的最大值．27(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，A，B分别是C的右、上顶点，且AB=7，D是C上一点，△BF2D周长的最大值为8.(1)求C的方程；(2)C的弦DE过F1，直线AE，AD分别交直线x=-4于M，N两点，P是线段MN的中点，证明：以PD为直径的圆过定点.28(2023·重庆·统考模拟预测)如图，已知抛物线C：y2=2px p>0，F为其焦点，点A2,y0在C上，△OAF的面积为4．(1)求抛物线C的方程；(2)过点P m,0m>0作斜率为-1的直线l1交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线l2，且l2⎳l1，求△MNQ的面积．29(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模)已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y=x垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y=-x垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)点E22,0，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k1，k2，k3.若1k1+1k2⋅k3=-6，求△PQE周长的取值范围.30(2023·重庆巴南·统考一模)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(-6,0)、F2(6,0)，△MF1F2的内切圆与直线F1F2相切于点D(4,0)，记点M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线x=2上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接BP，AQ.若直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0，试比较cos∠BAQ与cos∠BPQ的大小.。
2024年新高考新结构数学7个大题逐一击破圆锥曲线含答案
圆锥曲线目录【题型一】轨迹【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹【题型三】直线所过定点不在坐标轴上【题型四】面积比值范围型【题型五】非常规型四边形面积最值型【题型六】“三定”型：圆过定点【题型七】“三定”型：斜率和定【题型八】“三定”型：斜率积定【题型九】圆锥曲线切线型【题型十】“韦达定理”不能直接用【题型十一】“非韦达”型：点带入型【题型一】轨迹求轨迹方程的常见方法有:(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；(3)相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标x 0、y 0，然后代入点P 的坐标x 0,y 0 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；(4)参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.2024年新高考新结构数学7个大题逐一击破圆锥曲线（学生版）1(2024·重庆·模拟预测)已知点F-1,0和直线m:x=2，点P到m的距离d=4-2PF.(1)求点P的轨迹方程；(2)不经过圆点O的直线l与点P的轨迹交于A，B两点. 设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，记k1k2 =t，是否存在t值使得△OAB的面积为定值，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.2(2024·辽宁·一模)已知平面上一动点P到定点F12,0的距离比到定直线x=-2023的距离小40452，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)点A2,1,M,N为C上的两个动点，若M,N,B恰好为平行四边形MANB的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形MANB的面积为S，求证：S≤86 9.3(2024·山东淄博·一模)在平面直角坐标系xOy 中，点.F 5,0 ，点P x ,y 是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆D :x 2+y 2=1相切，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)设点A (1,0),M (0,t ),N (0,4-t )(t ≠2)，直线AM ，AN 分别与曲线C 交于点S ，T (S ，T 异于A )，过点A 作AH ⊥ST ，垂足为H ，求|OH |的最大值.【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹1(2024·新疆乌鲁木齐·二模)在平面直角坐标系xOy 中，重新定义两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 之间的“距离”为AB =x 2-x 1 +y 2-y 1 ，我们把到两定点F 1-c ,0 ,F 2c ,0 c >0 的“距离”之和为常数2a a >c 的点的轨迹叫“椭圆”．(1)求“椭圆”的方程；(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；(3)设c =1,a =2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C ,C 的左顶点为A ，过F 2作直线交C 于M ,N 两点，△AMN 的外心为Q ，求证：直线OQ 与MN 的斜率之积为定值．2(2024·湖南·二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=ty+1表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆C1:x2+y2=1是直线族mx+ny=1(m,n∈R)的包络曲线，求m,n满足的关系式；(2)若点P x0,y0不在直线族：Ω:(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(a∈R)的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族Ω的包络曲线E；(3)在(2)的条件下，过曲线E上A,B两点作曲线E的切线l1,l2，其交点为P.已知点C0,1，若A,B,C三点不共线，探究∠PCA=∠PCB是否成立？请说明理由.3(2024·全国·模拟预测)已知复平面上的点Z对应的复数z满足z2-z2-9=7，设点Z的运动轨迹为W．点 O 对应的数是0．(1)证明W是一个双曲线并求其离心率e；(2)设W的右焦点为 F1 ，其长半轴长为L，点Z到直线x=Le的距离为d(点Z在W的右支上)，证明：ZF1=ed；(3)设W的两条渐近线分别为 l1，l2 ，过Z分别作 l1，l2 的平行线l3，l4分别交l2，l1于点 P，Q ，则平行四边形OPZQ的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．【题型三】直线所过定点不在坐标轴上存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．1已知点M 是抛物线C :x 2=2py p >0 的对称轴与准线的交点，过M 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足PM =22．(1)求抛物线C 的方程；(2)过A -1,1 作斜率为2的直线与抛物线C 相交于点B ，点T 0,t t >0 ，直线AT 与BT 分别交抛物线C 于点E ，F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t =λk ？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由．2已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的离心率为233，点P 2,3 到其左右焦点F 1，F 2的距离的差为2．(1)求双曲线C 的方程；(2)在直线x +2y +t =0上存在一点Q ，过Q 作两条相互垂直的直线均与双曲线C 相切，求t 的取值范围．3已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上任意一点Q (异于顶点)与双曲线两顶点连线的斜率之积为19，E 在双曲线C 上，F 为双曲线C 的右焦点，|EF |的最小值为10-3.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过椭圆x 2m 2+y 2n2=1(m >n >0)上任意一点P (P 不在C 的渐近线上)分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M ，N 两点，且|PM |2+|PN |2=5，是否存在m ，n 使得椭圆的离心率为223？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.【题型四】面积比值范围型圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.1(2022·全国·高三专题练习)F c,0是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，其中c∈N*.点A、B分别为椭圆E的左、右顶点，圆F过点B与坐标原点O，P是椭圆上异于A、B的动点，且△PBF的周长小于8.(1)求C的标准方程；(2)连接BP与圆F交于点Q，若OQ与AP交于点M，求S△OPQS△MBQ的取值范围.2(2023下·福建福州·高三校考)如图，已知圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A(-2,0)，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当直线l⊥x轴时，|MN|=3.(1)求椭圆C的方程；(2)记△AMF,△ANF的面积分别为S1,S2，求S1S2的取值范围.3(2022·湖北黄冈·蕲春县第一高级中学校考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2，左、右焦点分别为F 1,F 2，圆A 2:(x -2)2+y 2=r 2(r >0)，椭圆C 与圆A 2交于点D ，且k DA2⋅k DA 1=-34.(1)求椭圆方程.(2)若过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点，与圆A 2交于M ,N 两点，且S △A 1PQS △A 2MN=3，求r 的取值范围.【题型五】非常规型四边形面积最值型求非常规型四边形的面积最大值，首先要选择合适的面积公式，对于非常规四边形，如果使用的面积公式为S DMEN=12x N-x My1-y2，为此计算y1-y2，x N-x M代入转化为k的函数求最大值.1(2023·全国·高三专题练习)已知圆O:x2+y2=4,O为坐标原点，点K在圆O上运动，L为过点K的圆的切线，以L为准线的拋物线恒过点F1-3,0,F23,0，抛物线的焦点为S，记焦点S的轨迹为S．(1)求S的方程；(2)过动点P的两条直线l1,l2均与曲线S相切，切点分别为A,B，且l1,l2的斜率之积为-1，求四边形PAOB面积的取值范围．2(2023·全国·高三专题练习)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，以F1F2为直径的圆和椭圆C在第一象限的交点为G，若三角形GF1F2的面积为1，其内切圆的半径为2-3．(1)求椭圆C的方程；(2)已知A是椭圆C的上顶点，过点P-2,1的直线与椭圆C交于不同的两点D,E，点D在第二象限，直线AD、AE分别与x轴交于M,N，求四边形DMEN面积的最大值．3(2023·全国·高三专题练习)如图．已知圆M :(x -2)2+y 2=81，圆N :(x +2)2+y 2=1．动圆S 与这两个圆均内切．(1)求圆心S 的轨迹C 的方程；(2)若P 2,3 、Q 2,-3 是曲线C 上的两点，A 、B 是曲线C 上位于直线PQ 两侧的动点．若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值．【题型六】“三定”型：圆过定点圆过定点思维：1.可以根据特殊性，计算出定点，然后证明2.利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算2.利用对称性，可以猜想出定点，并证明。
高考数学第二轮考点总复习课件 第24课时 圆锥曲线的综合问题
变式1：如图所示，已知圆C： x 12 y2 8，定点A1,0， C 1,0，M为圆C上一动点，点P在AM 上，点N在CM 上，
且满足 AM 2AP，NP AM 0，点N的轨迹为曲线E.
1 求曲线E的方程； 2若过定点F 0,2的直线交曲
线E于不同的两点G、H (点G在
由 0，即64k 2 24 1 2k 2 0，解得k 2 3 . 2 设G(x1，y1)，H (x2，y2 )．
由FG FH x1 x2 (0 1)．
结合韦达定理所得等式可知 1 2 16 (0 1)，
3
1 2k
2
1
所以4 1 2 16 (0 1)，解得 1 1.
4．利用基本不等式．基本不等式的应用，往往需要创造条 件，并进行巧妙的构思．
5．结合参数方程，利用三角函数的有界性．直线、圆或椭 圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式．因此，它 们的应用价值在于：(1)通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； (2)利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范 围等问题．
变式2：已知平面上一定点C 4,0和一定直线l：x 1，
P为该平面上一动点，作PQ l，垂足为Q，且(PC
2PQ) (PC 2PQ) 0.
1问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程； 2设直线l：y kx 1与1中的曲线交于不同的两点A，
B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点 D(0， 2)？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
即y1 2y2.
②
由①②得y1
8m 2m2
3，y2
4m 2m2
， 3
则S AOB
1 2
y1 y2
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• (2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则直 • 线l不圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时， 若为双曲线，则直线l不双曲线的渐近 • 线的位置关系是_____________；若为抛物线， 平行或重合 则直线l不抛物线的对称轴的位置关系 • 是______________． 平行或重合
2．圆锥曲线的弦长、焦点弦 直线与圆锥曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线斜率为 k，一般弦长公式． |AB|＝ (1＋k2) [(x1＋x2)2－4x1x2]
(2)如图，由题意知直线 l 的斜率存在且不 为零，设 l 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)③ x2 2 将③代入 ＋y ＝1 整理得 2 (2k2＋1)x2－8k2x＋(8k2－2)＝0， 1 2 由 Δ＞0 得 0＜k ＜ . 2
设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，
8k2 x1＋x2＝ 2 2k ＋1 则 8k2－2 x x1·2＝2k2＋1
Ax＋By＋C＝0 由 ，消元 f(x，y)＝0
如消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0. ①若 a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线 l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛 物线时，直线 l 与抛物线的对称轴平行(或 重合)．
• ②若a≠0，设Δ＝b2－4ac. • (ⅰ)当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两 点； • (ⅱ)当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点； • (ⅲ)当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．
【答案】 B
x2 2 2．已知 F1、F2 为椭圆 ＋y ＝1 的两个焦点， 2 π 过 F1 作倾斜角为 的弦 AB，则△F2AB 的面积 4 为( ) 2 3 4 A. B. 3 3 4 3 4 2 C. D. －1 3 3
x2 【解析】 直线 AB 为 y＝x－1 与椭圆方程 ＋ 2 y2＝1 联立，消去 x 得 3y2＋2y－1＝0，解得 y1 1 ＝－1，y2＝ . 3 1 4 1 S△F2AB＝ |F1F2|1＋3＝ . 2 3 【答案】 B
• 直线与圆锥曲线的位置关系 • (1)从几何角度来看有三种：相离、相交和相 切．相离和相切时，直线与圆锥曲线分别无公 共点和有一个公共点；相交时，直线与椭圆有 两个公共点，与双曲线、抛物线的公共点的个 数可能为一个或两个．
(2)通过直线与圆锥曲线的方程研究 它们的位置关系． 设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆 锥曲线的方程为f(x，y)＝0.
x2 y2 1＋ 1 ＝1 a2 b2 则 2 2 x2 y2 a2＋b2＝1
2
2
y1－y2 y1＋y2 b2 两式相减可得： · ＝－ 2 a x1－x2 x1＋x2 y0 b2 kAB· ＝－ 2 即____________这是一个有用的关系式． x0 a 类似的可得圆锥曲线为双曲线 y0 b2 x 2 y2 kAB· ＝ 2 － ＝1 时，有__________. x0 a a2 b2
【答案】 C
x2 2 4．设 P 为双曲线 －y ＝1 上一动点， 4 O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点， 则点 M 的轨迹方程是________．
【解析】 设点 P 坐标为(x0，y0)． x2 2 1 2 0 ∵ －y0＝1，得 y0＝± x0－4， 4 2 x0 1 2 ∴点 M 的坐标为 xM＝ ，yM＝± x0－4. 2 4
Ax＋By＋C＝0， 2 即 消去 y 后得 ax ＋bx＋c＝ F(x，y)＝0，
0. (1)当 a≠0 时，则有 Δ＞0，直线 l 与圆锥曲 相交于不同两点 线_______________；Δ＝0，直线 l 与圆锥曲 相交于一点 线_____________；Δ＜0，直线 l 与圆锥曲线 没有公共点 ______________．
1 当 k＝0 时，方程①只有一个解 x＝ ，∴y 4 ＝1. 1 ∴直线 l 与 C 只有一个公共点4，1，此 时直线 l 平行于对称轴．
当 k≠0 时， 方程①是一个一元二次方程， Δ＝(2k－4)2 －4k2 ＝－16k＋16＝－16(k －1)． (1)当 Δ>0，即 k<1 且 k≠0 时，l 与 C 有 两个公共点，此时直线 l 与 C 相交；
④
→ S△OBE |BE| 令 λ＝ ，则 λ＝ . S△OBF → |BF|
→ → 由此可得BE＝λBF， x1－2 ∴λ＝ 且 0＜λ＜1. x2－2 －4 由④知(x1－2)＋(x2－2)＝ 2 ， 2k ＋1 (x1－2)(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4 2 ＝ 2 . 2k ＋1
1＋k2|x1－x2| ＝______________
＝
1 1＋ 2[(y1＋y2)2－4y1y2]＝ k
1 1＋ 2 |y1 － k _________________. y2| 若弦过焦点，可用焦半径公式来表示弦长，简
化运算．
x y 如 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a b
【自主解答】
y＝k(x－1) 联立方程组 2 2 消去 x －y ＝4
y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)
(1)当 1－k2＝0，即 k＝± 时，方程(*)化为 2x 1 ＝5. 方程组有一解， 故直线与双曲线有一个公共点， 此时直线与双曲线的渐近线平行． (2)当 1－k2≠0，即 k≠± 时， 1 ①由 Δ＝4(4－3k2)＞0 得， 2 3 2 3 － ＜k＜ ，且 k≠± 时， 1 3 3 方程(*)有两解，方程组有两解，故直线与双曲 线有两个交点．
12· 2－50) (a 1 又因为 x1＋x2＝2× ＝1，即 2 10a2－450 ＝1， x2 y2 所以 a2＝75，故椭圆方程为 ＋ ＝1. 25 75 x2 y2 【答案】 ＋ ＝1 25 75
直线与圆锥曲线的位置关系
• 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，讨 论双曲线不直线的公共点个数． • 【思路点拨】 联立方程组判断方程组解的 个数得两曲线的公共点个数
2k2＋1 4λ 1 λ 2 ∴ ，即 k ＝ 2＝ 2－ . 8 (1＋λ) (1＋λ) 2 1 4λ 1 1 2 ∵0＜k ＜ ，∴0＜ 2－ ＜ . 2 (1＋λ) 2 2
• (4)参数法 _________：恰当引入参数，将动点纵、横 坐标用参数表示，再联立消去参数得曲线方 程．
1．若双曲线 x2－y2＝1 的右支上一点 P(a，b) 到直线 y＝x 的距离为 2， a＋b 的值为( 则 ) 1 A．－5 B. 2 1 C．± D．± 2 2
|a－b| 【解析】 ＝ 2⇒a－b＝± 2 2 a－b＝2 a－b＝－2 ∴ 1 或 1 (舍去) a＋b＝ a＋b＝－ 2 2 1 ∴a＋b＝ . 2
3．已知定点 A、B 且|AB|＝4，动点 P 满足 |PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( ) 1 3 A. B. 2 2 7 C. D．5 2
【解析】 由题作出示意图． 分析得出 P 在 P′点处|PA|min. 3 ∴|AO|＝2，|OP′|＝ . 2 3 7 ∴|PA|min＝2＋ ＝ . 2 2
2a－e(x1＋x2) |AB|＝______________ (过右焦点) 2a＋e(x1＋x2) |AB|＝______________ (过左焦点)
2
2
如抛物线 y2＝2px(p＞0)
x1＋x2＋p |AB|＝______________
x y 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆 2＋ 2＝1(a＞b a b ＞0)上不同的两点，且 x1≠x2，x1＋x2≠0， M(x0，y0)为 AB 的中点，
• 3．轨迹问题 • 求轨迹方程时常采用的方法有________、 直接法 ________、_________、________等． 定义法 代入法 参数法 • (1) ________：分析题设几何条件，根据圆 定义法 • 锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型曲线，直 接求出该曲线方程．
直接法 • (2) ________：根据题设动点轨迹的几何条件， 列出含动点坐标(x，y)的解析式． • (3) ________：相关点轨迹问题，主动点Q在 代入法 已知曲线f(x，y)＝0上运动，求不之相关动点P 的轨迹，找出Q、P两点坐标间关系，再代入 主动点Q所满足的曲线f(x，y)＝0.
• 【思路点拨】 把面积比表示为坐标之间的关 系，然后根据根与系数的关系，找出面积比与 k2的关系，最后根据k2的范围求面积比的范 围．
【自主解答】 (1)设椭圆的方程为 x 2 y2 2＋ 2＝1(a＞b＞0)， a b 2 c 则 e＝a＝ ① 2 ∵抛物线 x2＝4y 的焦点为(0,1)， 02 12 ∴ 2＋ 2＝1② a b 2 2 由①②解得 a ＝2，b ＝1. x2 2 ∴椭圆的标准方程为 ＋y ＝1. 2
• (2)当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点， 此时直线l与C相切； • (3)当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时 直线l与C相离．
最值与范围问题 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆， 2 离心率 e＝ ，且经过抛物线 x2＝4y 的 2 焦点．
• (1)求椭圆的标准方程； • (2)若过点B(2,0)的直线l(斜率丌等于零)不椭圆 交于丌同的两点E、F(E在B、F之间)，试求 △OBE不△OBF面积之比的取值范围．
2 3 ②由 Δ＝4(4－3k )＝0，得 k＝± 时，方程 3 组有一解， 故直线与双曲线只有一个公共点， 此时直线与双曲线相切． 2 3 2 3 2 ③由 Δ＝4(4－3k )＜0 得 k＜－ 或 k＞ 3 3 时，方程组无解，故直线与双曲线无交点．
2
2 3 综上所述，当 k＝± 或 k＝± 时，直线与双 1 3 2 3 曲线有一个公共点， 当－ ＜k＜－1 或－1＜ 3 2 3 k＜1 或 1＜k＜ 时，直线与双曲线有两个公 3 共点， 2 3 2 3 当 k＜－ 或 k＞ 时，直线与双曲线无公 3 3 共点．