集合与函数

集合与函数概念复习

当a = 0 时，方程有解；当a≠0 时，欲使方程无解，则要使 9 8a 0, a 9 时, A为空集.
8
例3:已知集合A x | ax2 3x 2 0, x R,a R.
(2)若A中只含有一个元素求 a的值,并求出这个元素 ;
当a
=
0
时,方程有一解
x
2 3
;
当a ≠0 时,
即△=9－8a = 0 时,
对于式子３ f (x),应使f (x) R 对于式子[f(x)]０,应使f (x) 0
对于实际问题，应实际问题有意义如S=vt,t须大于或等于零
求值域常用的方法 1.观察法如y=2x+1 2.配方法如y=x2+2x+3 3.换元法如y=x+ 2x 1 4.分离常数法如
y x2 x 1
5.图象法如： y x2 2x 1(x [0,1])
3.元素与集合的关系： a ∈ A a A
4.数集及有关符号: 正整数集记作 N 或 N 非负整数集（或自然数集）记作N
有理数集记作Q 实数集记作R 整数集记作Z 5. 集合的表示方法: (１)列举法 (2)描述法
集合的基本关系
1.子集的定义：对于两个集合A，B 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为
(3).传递性：若A B, B C，则A C .
(4).若集合A的元素个数为n ，则它的子集有 2n.
集合的运算
1.并集的定义: A B {x | x A,或x B}
2.交集的定义: A∩B={x|x∈A,且x∈B}
3.几个结论: (1).A∪A =A ,A∩A =A ; (2).A∪φ=A, A∩φ= φ; (3).若 A B,则A B B, A B A

第讲集合与函数

f ( x) 的定义域为
D f (, 0) (0, ) ,
g ( x) 的定义域为
Dg (0, ) ,
D f Dg
f ( x) 与 g ( x) 不相同。
例7 解
函数 f ( x) | x | 与 g ( x) x 2 是否相同？
f ( x) 与 g ( x) 的定义域均为实数域 R ,
。 2 。 1 。 3 2 1 。 x O 1 2 3 4 。 1 。 2 。 3
想想取整函数的图形是什么样子？
y [ x]
例5
已知 f ( x 1)
x 2， 0 x 1 ，求 f ( x) 的表达式。 2 x， 1 x 2，
解
令 t x 1，得 f (t )
确定的法则 f 有唯一确定的 y B 与之对应，则称 f
为从 A 到 B 的一个引映射，记为 f ：A B，或记为 f ：x y，x A，习惯上也记为 y f ( x)，x A。
其中， y 称为 x 在映射 f 下的像， x 称为 y 在映射 f 下
的一个原像 , A 称为映射 f 的定义域 , 记为 D( f ); A中
在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调增加, 记为 f ( x) I 。
设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义， x1，x2 I ,
若 x2 x2 f ( x2 ) f ( x1 )，则称函数 f ( x) 在区间 I 上是单调减少的。若 x2 x2 f ( x2 ) f ( x1 )，则称函数 f ( x) 在区间 I 上是严格单调减少的。
实质上，函数 y f ( x) 就是映射 f : A R

集合与函数概念

1．集合（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。

②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

②在具体情境中，了解全集与空集的含义。

（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

③能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算。

2．函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

③了解简单的分段函数，并能简单应用。

④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。

⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质。

（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景。

②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点。

（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点。

③了解指数函数xa y =与对数函数x y a log =互为反函数（a >0，a ≠1）。

（4）幂函数①了解幂函数的概念。

②结合函数21321x y xy x y x y x y =====，，，，的图象，了解它们的变化情况。

（5）函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。

集合与函数基本概念例题和知识点总结

集合与函数基本概念例题和知识点总结在数学的学习中，集合与函数是非常重要的基础知识。

理解并掌握它们的基本概念对于后续的数学学习至关重要。

下面，我们将通过一些例题来深入理解集合与函数的基本概念，并对相关知识点进行总结。

一、集合的基本概念集合是把一些确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。

集合中的对象称为元素。

如果元素 a 属于集合 A，记作 a∈A；如果元素 a 不属于集合 A，记作 a∉A。

集合通常有列举法、描述法和图示法三种表示方法。

列举法就是把集合中的元素一一列举出来，如{1, 2, 3}。

描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，如{x ｜ x＞0}表示所有大于 0 的实数构成的集合。

图示法常见的有韦恩图。

例题 1：用列举法表示集合 A ＝｛x ∈ Z ｜－2 ＜ x ＜ 4}解：集合 A 中的元素为整数，且满足－2 ＜ x ＜ 4，所以 A ＝｛－1, 0, 1, 2, 3}例题 2：已知集合 B ＝｛x ｜ x² 5x ＋ 6 ＝ 0}，求集合 B 的元素。

解：解方程 x² 5x ＋ 6 ＝ 0，即（x 2)（x 3) ＝ 0，解得 x ＝ 2 或 x ＝ 3，所以 B ＝｛2, 3}集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。

交集：A ∩ B ＝｛x ｜ x ∈ A 且 x ∈ B}并集：A ∪ B ＝｛x ｜ x ∈ A 或 x ∈ B}补集：若全集为 U，集合 A 的补集记作∁UA ＝｛x ｜ x ∈ U 且 x ∉ A}例题 3：已知集合 A ＝｛1, 2, 3}，B ＝｛2, 3, 4}，求A ∩ B 和 A ∪ B。

解：A ∩ B ＝｛2, 3}，A ∪ B ＝｛1, 2, 3, 4}二、函数的基本概念设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

1.集合与函数

第一章集合与函数（一）基本知识回顾1、集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性. （2）集合的表示法：列举法（Venn 图法）、描述法（数轴思想）：注意分清数集和点集. 如)}({x f y =，)}({x f y R x =∈，)}({x f y R y =∈，)}(),{(x f y y x =的区别.（3）若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n. （4）集合常见的运算性质：B A A B A ⊆⇔=⋂, A B A B A ⊆⇔=⋃.)()()(B A C B C A C U U U ⋃=⋂）， )()()(B A C B C A C U U U ⋂=⋃。

)()()()(B A Card B Card A Card B A Card ⋂-+=⋃.（5）集合中的含参问题：数形结合的思想，分类讨论的思想，一定要注意讨论空集的情形：常见含参的可能为空集有}01{2=++mx mx x ，}02{=+mx x ，}31{+<<-m x m x .2、函数及其表示（1）函数的概念：是一对一，多对一的对应关系. （2）函数的三要素：定义域，对应关系，值域.（A ）求定义域：求使得函数解析式有意义的x 的取值范围.如含分式，偶次根式，对数，0x 等，要保证其有意义.1）若已知)(x f 的定义域为),[b a ,则)]([x g f 的定义域由不等式b x g a <≤)(解出即可； 2）若已知)]([x g f 的定义域为),[b a ,则)(x f 的定义域相当于当),[b a x ∈时)(x g 的值域. （B ）求值域：1）常见函数的值域：b kx y +=，c bx ax y ++=2，xy 1=，x y =，x y =. 2）单调性法求值域：如xx y 1+=，]3,2[∈x . 3）换元法求值域：形如d cx b ax y +++=，)]([x g f y =（转化为基本初等函数）.4）分离常数法求值域：形如dcx bax y ++=（转化为反比列函数）. （C ）求解析式：1）待定系数法；告知函数)(x f 的类型（如是二次函数，设c bx ax x f ++=2)(）.2）换元法：如已知复合函数))((x g f 的解析式（令)(x g t =，求)(t f y =）. 3）拼凑法：如函数221)1(xx x x f +=+，求)(x f . 4）函数方程法：如已知1)(2)(+=-+x x f x f ，求)(x f . （3）区间的概念：区间],[b a 中，b a <.注意与}{b x a x <<的区别.（4）分段函数：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域（最值）是各段值域的并集．注意：分段函数的求值，分段函数的方程、不等式，分段函数的单调性、值域.3、函数的性质（1）函数的单调性(局部性质)：对任意的D x x ∈21,，且21x x <，则若)()(21x f x f <，则)(x f 是D 上的增函数；若)()(21x f x f >，则)(x f 是D 上的减函数.若0)()(2121>--x x x f x f ，则)(x f 是D 上的增函数；若0)()(2121<--x x x f x f ，则)(x f 是D 上的减函数.（2）单调性的判定方法：（A ）定义法：（1）任取D x x ∈21,，且21x x <；（2）比较)(1x f 与)(2x f 的大小；（3）下结论．（B ）图象法(从图象上看升降)（C ）复合函数)]([x g f y =的单调性（同增异减）：令)(x g t =（内函数），则)(t f y =（外函数）. （D ）运算性质法：增增增=+，减减减=+，增减增=-，减增减=-，减增=1，减增=-. 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间合在一起写成并集. （3）单调性的应用：1）求最值（结合图象）：要求最值必须研究函数的单调性. 2）解关于函数的不等式：若)(x f 是),[b a 上的增函数且)()(21x f x f <，则b x x a <<≤21. 若)(x f 是),[b a 上的减函数且)()(21x f x f <，则b x x a <<≤12.（4）函数的奇偶性（整体性质）偶函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么f(x)就叫做偶函数．奇函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么f(x)就叫做奇函数．函数的图象的特征：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（5）奇偶性的判断方法：（A ）定义法：（1）判断定义域是否关于原点对称；（2）判断)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-是否成立.（0)()(=--x f x f 或0)()(=+-x f x f ）特殊情况特殊分析，可先举特殊值验证，为证明提供方向. （B ）图象法：看图像是关于y 轴对称还是关于原点对称（如分段函数）. （6）奇偶性的性质：1）若奇函数)(x f 在0=x 处有意义，则0)0(=f . 2）偶函数)(x f 满足：)()(x f x f =.3）偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，值域相同，最大小值相同；奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，值域相反，最大小值互为相反数； 4）奇奇奇=±，偶偶偶=±，偶奇奇=⨯，偶偶偶=⨯，奇偶奇=⨯.奇奇偶=. （7）对称性：1）若)2()(x a f x f -=或)()(x a f a x f -=+，则)(x f 关于直线a x =对称；2）若)()(x b f a x f -=+，则)(x f 关于直线2ba x +=对称；4、函数的图像变换：1）)(x f 关于y 轴对称 )(x f -； 2）)(x f 关于x 轴对称 )(x f -；3）)(x f 关于直线x y =对称 )(1x f -； 4）)(x f 向左（右）平移a （0>a ）个单位 )(a x f ±； 5）)(x f 向上（下）平移a （0>a ）个单位 a x f ±)(；6）)(x f 保持y 轴右边的图像不变，y 轴左边的图像是将右边的图像翻折过来 )(x ； 7）)(x f 保持x 轴上边的图像不变，将x 轴下边的图像翻折到上方 )(x f ；5、恒成立问题：先分离常数，转化为a x f >)(或a x f <)(的形式.1）若a x f >)(恒成立，则a x f >min )(； 2）若a x f ≤)(恒成立，则a x f ≤max )(；（二）应用举例题型1：集合的概念例1、定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋xy，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．题型2：集合的运算例2、已知R 是实数集，}12{<=xxM ，}1{-==x y y N ，则)(M C N R ⋂__________. 例3、已知}0,2),({>+-==x x y y x M ，}1),{(2++==ax x y y x N ，若N M ⋂含有两个元素，求a 的取值范围.题型3：集合的含参问题（分类讨论的时候不要忽略空集的情况）例4、已知集合A ＝｛x ｜x 2-x-6＜0}，B ＝｛x ｜0＜x-m ＜9｝(1) 若A ∪B ＝B ，求实数m 的范围；(2) 若A ∩B ≠φ，求实数m 的范围.例5、集合}082|{2=--=x x x A ， }012|{22=-++=m mx x x B ，且A B A = ，求实数m 的取值范围.例6、已知集合}510{≤+<=ax x A ，集合}221{≤<-=x x B . (1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围； (3)A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由．题型4：求函数的定义域例7、（1）函数)12lg(231)(-+-=x x x f 的定义域是．（2）已知函数)(x f 的定义域为]3,1[，则函数)()2(2x f x f +的定义域为 .（3）若函数)(x f 的定义域是]2,0[[0,2]，则函数1)2()(-=x x f x g 的定义域是 .（4）已知函数)2(xf 的定义域为]2,1[，则函数)(log 2x f 的定义域为 . 题型5：求函数的解析式例8、（1）已知函数1()1xf x x-=+，则(2)f = ；()f x = .（2）已知函数221)1(xx x x f +=+，则)2(f = ；()f x = . （3）定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )=________．（4）定义在R 上的奇函数f (x )满足当0<x 时，f (x )＝－x lg(2－x )，则f (x )=________．（5）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，则()f x = ；()g x = .题型6：求函数的值域和单调性例9、求下列函数的值域和单调性（1）1+=x y （2）x x y 12-=， ]1,3[--∈x （3）132++=x x y （4）112+++=x x y（5）xx y 222-= （6）)32(log 21+=x y题型7：分段函数例10、设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是________．例11、已知=)(x f 1,221,12{≥-+-<+x a ax x x ax 是R上的减函数，则a 的取值范围是 .题型8：奇偶性例12、11()()212xf x x =+-的奇偶性是例13、若22()21x xa a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝ .（三个方法）题型9：数形结合（单调性，奇偶性综合运用）例14、已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足在),0(+∞上是增函数，0)3(=f ，则0)(≤x f 的解为，0)(<⋅x f x 的解为 .例15、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集为 .题型10：函数比较大小例16、用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．题型11：抽象函数（特殊值法）例17、函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D .有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．例18、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.例题补充1、设f (x ＋2)＝2x ＋3，则f (x )＝2、下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |3、已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x >0)，f (x ＋1)(x ≤0)，则f (2)＋f (－2)的值为4、设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)=5、已知)1(+x f 是定义在R 上的奇函数，且是增函数，则0)1(≤-x f 的解为 .6、函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝______.7、已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+>+≤≤-+=)1(32)1(11)11(1)(2x x x xx x x f ，(1)求f {f [f (－2)]}的值；(2)若f (a )＝32，求a .8、已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．。

集合函数知识点汇总

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R 20(0)ax bx c a++<>的解集12{|}x x x x<<∅∅〖1.2〗函数及其表示()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qpy x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a -=． ③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=．（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2bm f a=- ③若2b q a ->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2bM f a=- ③若2b q a ->，则()M f q =xxxxx x(q)0x xf xf x①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数与集合

4
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R ,且 a b.
{ x a x b}
称为开区间, 记作 ( a , b )
o
a
b
x
{ x a x b}
称为闭区间, 记作 [ a , b ]
a
o
b
x
5
符号表示“对每(任）一个”。
{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [ a , b ) 称为半开区间, 记作 ( a , b ] 有限区间
( , b ) { x x b }
[ a , ) { x a x }
无限区间
o a o
x x
b
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
. 则称函数 f ( x ) 在 D 上有inx, 有界 y=cosx在（-∞,+∞)上均为有界函数,
18
x D
y=x,
y=x2在(-∞,+∞)上无界.
例：证明函数 y
x 1 x
2
在 ( , )上是有界的 .
19

3l 2

l 2
l 2
3l 2
在(无穷)多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为最小正周期。
24
例：若 f ( x ) 对其定义域上的一切 x，恒有 f ( x ) f ( 2 a x ), 则称 f ( x ) 关于 x a 对称 . 证明：若 f ( x )关于 x a 及 x b 对称 ( a b ) , 则它是周期函数.

高中数学必修一集合与函数概念知识点梳理

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集， N *或N +表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集， R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法0)〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a xb <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ， (,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中， ()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ， B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)>f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减．函数．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x=，令()u g x=，若()y f u=为增，()u g x=为增，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为减，()u g x=为减，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为增，()u g x=为减，则[()]y f g x=为减；若()y f u=为减，()u g x=为增，则[()]y f g x=为减．（2）打“√”函数()(0)af x x ax=+>的图象与性质()f x分别在(,]a-∞-、[,)a+∞上为增函数，分别在[,0)a-、(0,]a上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I∈，都有()f x M≤；（2）存在x I∈，使得()f x M=．那么，我们称M是函数()f x的最大值，记作max()f x M=．②一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的x I∈，都有()f x m≥；（2）存在x I∈，使得()f x m=．那么，我们称m是函x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2oy=f(X)yxo x x2f(x )f(x )211yxo数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．。

集合与函数1.1.1 集合的含义与表示知识要点：1.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

集合的表示方法有两种：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；2.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

“高个子”能不能构成集合？（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

如{1，1，2}不能构成集合。

（3）无序性：构成两个集合的元素完全一样。

如{1，2}={2，1}3. 元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A4. 常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R1.1.2 集合间的基本关系1 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B (或B⊇A)，读作“A含于B”（或“B包含A”）. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊄B 已(或B⊄A)A={1,2,3} B={1,2,3,4,5}2 不含任何元素的集合叫做空集，记作φ，并规定: 空集是任何集合的子集.3 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B（即如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B）4 ①任何一个集合是它本身的子集. A⊆A②真子集：如果A⊆B ,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B③空集是任何非空集合的真子集.④如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C.⊂全集定义：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，集合就可以看作一个全集.通常用U 来表示.如：把实数R 看作全集U, 则有理数集Q 的补集C U Q 是全体无理数的集合.补集1、实例：S 是全班同学的集合，集合A 是班上所有参加校运会同学的集合，集合B 是班上所有没有参加校运动会同学的集合.集合B 是集合S 中除去集合A 之后余下来的集合.结论：设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集记作： C s A 即 C s A ={x | x ∈S 且 x ∉A}2．例：S={1，2，3，4，5，6} A={1，3，5} C s A ={2，4，6}并集与交集1、实例： A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}公共部分 A ∩B 合并在一起 A ∪B2、定义：（1）交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素所组成的集合，称为集合A 和集合B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ={x|x ∈A 且x ∈B}.（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 和集合B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}.映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．函数1、函数的有关概念（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．注意：① “y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x )”；②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ．（2）构成函数的三要素是定义域、对应关系和值域（3）对函数概念的理解需注意以下几点：①A 、B 都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在．②在现代定义中，B 不一定是函数的值域，如函数y ＝x 2＋1可称为实数集到实数集的函数．③对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了．④函数符号f (x )的含义：f (x )是表示一个整体，一个函数，而记号“f ”可以看作是对“x ”施加的某种法则(或运算)，如f (x )＝x 2－2x ＋3.当x ＝2时，可看作是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x 为某一个代数式(或某一个函数记号)时，则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或函数记号)代替，如f (2x －1)＝(2x－1)2－2(2x －1)＋3，f [g (x )]＝[g (x )]2－2g (x )＋3等，f (a .)与f (x )的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量．⑤ 对应关系：A 中的任一个元素，B 中都有唯一的元素与之对应；而B 中的元素在A 中的对应元素可以不唯一，也可以没有．2．两个函数相等只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能惟一地确定函数的对应法则．例如，函数y ＝x ＋1与y ＝x －1，其中定义域都是R ，值域都是R .但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数．3．区间的概念函数的定义域和值域通常用区间表示，下面介绍区间的概念：设a ，b 是两个实数，而且a <b ，我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b ]．②满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b )．③满足不等式a ≤x <b ，或a <x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b )，(a ，b ]．满足x ≥a ，x >a ，x ≤a ，x <a 的实数x 的集合用区间分别记作[a ，＋∞)，(a ，＋∞)，(－∞，a ]，(－∞，a )．对区间概念的理解，要注意以下三点：(1)区间符号里面两个字母(或数字)之间用“，”间隔开．(2)无穷大是一个符号，不是一个数．(3)在求函数的定义域或值域时，既可以用集合也可以用区间表示函数性质函数的奇偶性定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．单调性1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数．如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数．注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ． 2．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．最值（一）函数最大（小）值定义1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．最小值（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）．注意：○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2利用图象求函数的最大（小）值○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；。

高三一轮复习集合函数知识点

第一章：集合与函数概念§1.1.1、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n2个子集，21n-个真子集.§1.1.3、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A .2、一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A .3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈∉且 §1.2.1、函数的概念1、设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法：(1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.步骤：取值—作差—变形—定号—判断格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…(2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性1、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数①'C0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=； ⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 3、导数的运算法则（1）'()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 4、复合函数求导法则复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值(1)极值定义：极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值；极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极小值. (2)判别方法：①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值. 6、求函数的最值(1)求()y f x =在(,)a b 内的极值（极大或者极小值）(2)将()y f x =的各极值点与(),()f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

集合与函数基本概念例题和知识点总结

集合与函数基本概念例题和知识点总结一、集合的基本概念集合是数学中一个基础且重要的概念，它是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

集合通常用大写字母表示，如 A、B、C 等。

集合中的元素用小写字母表示，如 a、b、c 等。

如果一个元素 x 属于集合 A，我们记作 x ∈ A；如果 x 不属于集合 A，记作 x ∉ A。

集合有多种表示方法，常见的有列举法、描述法和图示法。

列举法就是将集合中的元素一一列举出来，例如集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。

描述法是用元素所满足的条件来描述集合，比如集合 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。

图示法包括韦恩图等，能够直观地展示集合之间的关系。

集合之间的关系有子集、真子集、相等。

如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B；如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B；如果A 和 B 的元素完全相同，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。

下面通过一个例题来加深对集合概念的理解。

例 1：已知集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛x ｜ x² 6x ＋ 8 ＝ 0}，判断 A 和 B 的关系。

首先求解集合 B 中的方程 x² 6x ＋ 8 ＝ 0，即（x 2)（x 4) ＝ 0，解得 x ＝ 2 或 x ＝ 4，所以集合 B ＝｛2, 4}。

因为集合 A 中的元素 1、3 不属于集合 B，集合 B 中的元素 2、4 不属于集合 A，所以 A 和 B 没有包含关系。

二、函数的基本概念函数是数学中另一个重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。

设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 与之对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ A。

数学必修一集合与函数概念知识点梳理

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【∅=∅ B A ⊆A ∅=B A ⊇2(A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法）含绝对值的不等式的解法不等式（2）一元二次不等式的解法〖1.2〗函数及其表示【（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，)()(U B A =()()()UU U A B A B =在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【（1）函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【（4）函数的奇偶性函数的性质定义图象判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换 ②伸缩变换 ③对称变换（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

(完整版)人教版必修一集合与函数概念知识点

第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。

非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：（1）．有限集含有有限个元素的集合（2）．无限集含有无限个元素的集合（3）．空集不含任何元素的集合例：}5|xx{2-=二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B 或B A2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A=}0x-x B={-1,1} “元素相同”|1{2=结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B任何一个集合是它本身的子集。

第一章集合与函数概念

第一章集合与函数概念知识网络第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：三：集合的基本运算①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=（）A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2[正解] C ；显然{}33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用V enn 图。

3．集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆ 4．集合的运算性质（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ； ④A B A ⊆ ，B B A ⊆ ⑤B A A B A ⊆⇔= ；（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ； ④A B A ⊇ ，B B A ⊇ ⑤A B A B A ⊆⇔= ；（3）交、并、补集的关系 ①φ=A C A U ；U A C A U =②)()()(B C A C B A C U U U =；)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（）A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A B *={}4,2,0，故应选择D题型2：集合间的基本关系[例2]．数集{}Z n n X ∈+=,)12(π与{}Z k k Y ∈±=,)14(π之的关系是（）A ．X Y ；B ．Y X ；C ．Y X =；D ．Y X ≠[解析] 从题意看，数集X 与Y 之间必然有关系，如果A 成立，则D 就成立，这不可能；同样，B 也不能成立；而如果D 成立，则A 、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C [新题导练]1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（）A ．B A ⊆ B.C B ⊆ C.C B A = D. A C B = [解析]D ；因为全集为A ，而C B =全集=A2．(2006•山东改编）定义集合运算:{}B y x xy y x B ∈∈+==⊗A,,z A 22,设集合{}1,0A =,{}3,2=B ,则集合B ⊗A 的所有元素之和为 [解析]18，根据B ⊗A 的定义，得到{}12,6,0A =⊗B ，故B ⊗A 的所有元素之和为18 3．(2007·湖北改编）设P 和Q 是两个集合，定义集合=-Q P {}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 3<=x x P ，{}1<=x x Q ,那么Q P -等于[解析] {}31<<x x ；因为{})3,0(1log3=<=x x P ，{})1,1(1-=<=x x Q ，所以)3,1(=-Q P4．研究集合{}42-==x y x A ，{}42-==x y y B ，{}4),(2-==x y y x C 之间的关系[解析] A 与C ，B 与C 都无包含关系，而BA ；因为{}42-==x y x A 表示42-=x y 的定义域，故R A =；{}42-==x y y B 表示函数42-=x y 的值域，),4[+∞-=B ；{}4),(2-==x y y x C 表示曲线42-=x y 上的点集，可见，BA ，而A与C ，B 与C 都无包含关系考点二：集合的基本运算[例3] 设集合{}0232=+-=x x x A ，{}0)5()1(222=-+++=a x a x x B（1）若{}2=B A ，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围若{}2=B A ，[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。

集合与函数

集合与函数概念复习

第讲集合与函数

集合与函数概念

集合与函数基本概念例题和知识点总结

1.集合与函数

集合函数知识点汇总

函数与集合

高中数学必修一集合与函数概念知识点梳理

集合与函数

高三一轮复习集合函数知识点

集合与函数基本概念例题和知识点总结

数学必修一集合与函数概念知识点梳理

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第一章 集合与函数概念

第一章集合与函数概念