18.0 薛定谔方程及其应用

一维运动粒子的含时薛定谔方程
Ψ ( x , t ) = ψ ( x )φ (t ) = ψ 0 ( x ) e
2 2
− i 2 π Et / h
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 运动粒子的定态
d ψ 8π m + ( E − E p )ψ ( x ) = 0 2 2 dx h
一. 物质波的波函数
微观粒子 具有波动性
1925年薛定谔 年薛定谔
用物质波波函数描述 微观粒子的概率波
轴正方向运动，由于其能量、动量为常量， 例如 自由粒子沿 x 轴正方向运动，由于其能量、动量为常量， 不随时间变化，其物质波是单色平面波， 所以 v 、 λ 不随时间变化，其物质波是单色平面波，波 函数为
r 2 r * r dW =|Ψ(r,t)| dV =Ψ(r,t)Ψ (r,t)dV
2. 归一化条件 (粒子在整个空间出现的概率为 粒子在整个空间出现的概率为1) 粒子在整个空间出现的概率为
r 2 ∫∫∫|Ψ(r,t)| dxdydz =1
3. 波函数必须单值、有限、连续 波函数必须单值、有限、 概率密度在任一处都是唯一、有限的 概率密度在任一处都是唯一、有限的, 并在整个空间内连续
2
归一化条件 归一化条件
2 a A sin 2 0
∫−∞ ψ
∞
2
dx = ∫ ψψ dx = 1
* 0
a
∫
nπ xd x = 1 a
2 A= a
ψ ( x) =
2 nπ sin x , (0 ≤ x ≤ a ) a a
d ψ 8π mE + ψ = 0 ∞ Ep ∞ 波动方程 2 2 dx h
2 2
∫− ∞ < x , y , z < ∞ ψ
ψ
2
d x d y d z = 1 可归一化 ;
∂ψ ∂ψ ∂ψ , , 和 连续 ; ∂x ∂y ∂z
为有限的、 ψ ( x, y, z ) 为有限的、单值函数 .
三 一维势阱问题 粒子势能 满足的边界 边界条件 粒子势能 Ep 满足的边界条件
∞ Ep ∞
8π mE k= h2
2
h E=n 2 8ma
2
2
h , (n = 1) 基态能量 基态能量 E1 = 2 8ma h2 2 , (n = 2,3,L) 激发态能量 激发态能量 En = n 2 8ma
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 . 能量
2
o
a
x
∂ψ + k 2ψ = 0 ψ ( x ) = A sin kx ∞ Ep ∞ 2 ∂x nπ k= , n = 1,2,3,L 量子数 a nπ ψ ( x ) = A sin x a x o a
Ψ(x,t) =Ψ0e
x −i 2π(ν t − )
λ
=Ψ0e
i − (Et −px) h
波函数的物理意义： 波函数的物理意义：
r 2 |Ψ(r,t)| ——
1. 时刻 t ,
t
时刻， 时刻，粒子在空间
r
处的
单位体积中出现的概率， 单位体积中出现的概率，又称为概率密度 粒子在空间 r 处 dV 体积内出现的概率
波函数
ψ (x) =
概率密度 能量 量子数
0,
( x ≤ 0, x ≥ a )
2 nπ sin x, (0 < x < a) a a
2
o
a
x
2 2 nπ ψ ( x) = sin x a a h2 2 En = n 8ma2
n = 1, 2 ,3 , L
nπ ψ ( x ) = A sin x a ψn
ψ (x )
ψ1
ψ2 ψ3
o
a
x
来源于微观粒子的波粒二相性 .
应用 1981年宾尼希和罗雷尔 年宾尼希和罗雷尔 利用电子的隧道效应制成了扫描遂 穿显微镜 ( STM ), 可观测固体表面 原子排列的状况 . 1986年宾尼希又 年宾尼希又 研制了原子力显微镜. 研制了原子力显微镜
量子围栏照片
ψ ( x) = A sin kx
波函数的标准条件：单值、 波函数的标准条件：单值、有限和连续 . 标准条件
Q x = 0, ψ = 0, ∴ B = 0
Q x = a,ψ = A sin ka = 0 ∴ sin ka = 0 Q sin ka = 0, ∴ ka = nπ ∞ Ep ∞ nπ k= , n = 1,2,3,L 量子数 a
QEp →∞, x ≤ 0, x ≥ a ∴ψ = 0, (x ≤ 0, x ≥ a)
Ep = 0, 0 < x < a
2 2
d ψ 8π mE + ψ =0 2 2 dx h 2 d 2ψ 2 8π mE +k ψ =0 2 k=
h2
∞ Ep sin kx + B cos kx
−2
h2 2 2 −15 E=n = n × 3.77 ×10 eV 2 8ma h2 近似于连续） ∆E ≈ 2n = n × 7.54×10−15 eV （近似于连续） 2 8ma
能量分立） 当 a = 0.10nm 时, ∆E ≈ n × 75.4eV（能量分立）
五
一维方势垒 隧道效应
Ep (x)
自由粒子
(v << c )
E = Ek
2
∂Ψ i2π =− EΨ ∂t h
2
2
p = 2mE k
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程 的含时薛定谔方程
h ∂ Ψ h ∂Ψ − =i 2 2 8 π m ∂x 2 π ∂t
若粒子在势能为 Ep 的势场中运动
2 2
E = Ek + Ep
h ∂ Ψ h ∂Ψ − + E p ( x , t )Ψ = i 2 2 8 π m ∂x 2 π ∂t 质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 Ψ = Ψ( x , t ) 粒子在恒定势场 恒定势场中的运动 粒子在恒定势场中的运动 Ep = Ep (x) (x
在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 势场中运动粒子的定态
∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ 8π m + 2 + 2 + 2 ( E − Ep )ψ = 0 2 ∂x ∂y ∂z h
2 2 2 2
拉普拉斯算子 定态薛定谔方程 定态薛定谔方程
∂ ∂ ∂ ∇ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z
0, 0 < x < a Ep = Ep → ∞, x ≤ 0, x ≥ a
意义 1）是固体物理金属中自由电子的简化模型； ）是固体物理金属中自由电子的简化模型；
o
a
x
2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理 ）数学运算简单，量子力学的基本概念、 在其中以简洁的形式表示出来 . 薛定谔方程
d 2ψ 8π 2 mE + ψ ( x) = 0 2 2 dx h
h En = n , (n = 1,2,3,L) 2 8ma
2
势阱中相邻能级之 势阱中相邻能级之差 能级
h2 ∆E = En+1 − En = (2n + 1) 8ma2
∆ E ∝ 1 m ,1 a
2
能级相对间隔 能级相对间隔 相对 当 n → ∞ 时， ∆En (
∆En h2 ≈ 2n En 8ma 2
18.0 薛定谔方程及其应用
薛定谔（Erwin Schrodinger， 薛定谔（ 1887~1961）奥地利物理学家 ）奥地利物理学家. 1926年建立了以薛定谔方程为 年建立了以薛定谔方程为 基础的波动力学,并建立了量子力 基础的波动力学,并建立了量子力 学的近似方法 . 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等 年间， 矩阵力学和波动力学 力学和波动 价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高 相对论量子力学（ 狄拉克）：描述高 ）： 速运动的粒子的波动方程 .
n =4
2 2 nπ ψ ( x) = sin x a a 2 ψn
2
16E1
n =3 n =2
n =1 x =0
a2
9 E1 4 E1
a
x =0
a2
a
E1
Ep = 0
四
对应原理 在某些极限的条件下，量子规律可以转化 极限的条件下 转化为经 在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经 典规律 . 2 能量
二
薛定谔方程（ 薛定谔方程（1925 年） 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数 自由粒子平面波函数
Ψ ( x ,t ) = ψ 0 e
∂Ψ 4π p =− Ψ 2 2 ∂x h
2 2 2
−i
2π ( Et − px ) h
上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
2 h2 2 = n 2 8ma n
能量视为连续变化. 连续变化 En ) → 0 ，能量视为连续变化
物理意义 很大时， 当 n, m , a 很大时，∆E → 0 ，量子效应不 明显，能量可视为连续变化，此即为经典对应 连续变化 明显，能量可视为连续变化，此即为经典对应 . 例：电子在 a = 1.0 × 10 m 的势阱中 .
2 2 2 2
8π 2 m 2 ∇ ψ + 2 ( E − Ep )ψ = 0 h
定态波函数 定态波函数
ψ ( x, y , z )
定态波函数性质 1）能量 E 不随时间变化； ） 不随时间变化； 2）概率密度 ψ ）
2
不随时间变化 .