2020高考数学 考前抢分训练填空题综合练 训练17 综合(一) 精品
【精品】2020年全国高考数学考前模拟试卷含答案
A． 1 5
B． 2 3
C． 1 或 2 3
D． 1 或 1 5
6． [2020 ·海淀联考 ] 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 被平面 ACB1和平面 ACD1 分别截去三棱锥
B ACB1 和三棱锥 D ACD1 后，得到一个 n 面体，则这个 n 面体的左视图为（
）
A．
B．
C．
D．
x2 ln x
为 _____．
14．[2020 ·青岛一模 ] 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形， 谢尔宾斯基三角形是一种分形，
由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，
将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余
3 个小三角形重复上述过程得到如
）
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
3．[2020 ·钟祥二模 ] 某工厂利用随机数表对生产的 700 个零件进行抽样测试， 先将 700 个零件进行
编号， 001， 002， L ， 699， 700．从中抽取 70 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行，
若从表中第 5 行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（
则双曲线的方程为 y 2 x 2 1 ，故选 A． 4
5．【答案】 C
【解析】 Q a x,1 ， b 2,3x 1 ，且 a∥b ，
x 3x 1 1 2 0 ，解得 x 6．【答案】 D
2 或 x 1 ，本题正确选项 C． 3
【解析】 由题意，正方体 ABCD A1B1C1D1 被平面 ACB1 和平面 ACD1 分别截去三棱锥 B ACB1 和
）
【精品】2020年全国高考数学考前冲刺模拟试卷含答案(理)
【精品】2020年全国高考数学考前冲刺模拟试卷含答案（理 科 ）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2020·桂林一模]已知集合()0,2A =，{}e 1,x B y y x ==+∈R ，则A B I （ ） A ．()0,2B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()1,22．[2020·南宁适应]已知复数12i 1iz =-+-，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()1,3--B ．()1,3-C ．()1,3D ．()1,3-3．[2020·云师附中]根据如图给出的2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，以下结论不正确的是（ ）A ．自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势B ．自2005年以来，我国人口增长率维持在0.5%上下波动C ．从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大D ．可以肯定，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变大4．[2020·邯郸一模]位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A ．25m 12B ．25m 6C ．9m 5D ．18m 55．[2020·安阳一模]已知向量()2,1=a ，4+=a b ，1⋅=a b ，则=b （ ） A ．2B ．3C ．6D ．126．[2020·张家界期末]如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出 两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．π8B ．18C ．12D ．147．[2020·福州期中]某个团队计划租用A ，B 两种型号的小车安排40名队员（其中多数队员会开车且有驾驶证，租用的车辆全部由队员驾驶）外出开展活动，若A ，B 两种型号的小车均为5座车（含驾驶员），且日租金分别是200元/辆和120元/辆．要求租用A 型车至少1辆，租用B 型车辆数不少于A 型车辆数且不超过A 型车辆数的3倍，则这个团队租用这两种小车所需日租金之和的 最小值是（ ） A ．1280元B ．1120元C ．1040元D ．560元8．[2020·山西适应]正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4， 则{}n a 的公比是（ ）A ．1B ．2C 2D 29．[2020·玉溪一中]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．43B ．83C ．23D ．410．[2020·海口调研]已知函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，且()3f x +是偶函数，则()1.10.3a f =，()0.53b f =，()0c f =的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>11．[2020·泸州期末]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，A ，B 是圆()2224x c y c ++=与双曲线C 位于x 轴上方的两个交点，且190AF B ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．21+B ．21+C ．221+D ．221+12．[2020·福建三模]设函数()()32,,,0f x ax bx cx a b c a =++∈≠R ．若不等式()()3xf x af x '-≤对一切x ∈R 恒成立，则3b ca -的取值范围为（ ） A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2020·白银联考]已知函数()()24log 1,14,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩．若()1f a =，则()f a =_____．14．[2020·六盘山一模]函数()()13cos sin 022f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则函数在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的值域为______． 15．[2020·福建模拟]我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图，在空间直角坐标系中的xOy 平面内，若函数()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩的图象与x 轴围成一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移8个单位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为________．16．[2020·雅礼中学]等差数列{}n a 的公差0d ≠，3a 是2a ，5a 的等比中项，已知数列2a ，4a ，1k a ，2k a ，L ，n k a ，L 为等比数列，数列{}n k 的前n 项和记为n T ，则29n T +=_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2020·四川诊断]如图，在ABC △中，已知点D 在BC 边上，且AD AC ⊥，27sin BAC ∠=，1AD =，7AB =． （1）求BD 的长； （2）求ABC △的面积．18．（12分）[2020·齐齐哈尔二模]某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示．（1）试估计该校学生在校月消费的平均数；（2）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式10,20040030,40080050,8001200xy xx≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≤≤⎩，根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（ii）若校服务部计划每月预留月利润的14，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？19．（12分）[2020·衡水二中]如图所示，在四面体ABCD中，AD AB⊥，平面ABD⊥平面ABC，2AB BC AC==，且4AD BC+=．（1）证明：BC⊥平面ABD；（2）设E为棱AC的中点，当四面体ABCD的体积取得最大值时，求二面角C BD E--的余弦值．20．（12分）[2020·保山统测]已知点)2,0Q，点P是圆(22:212C x y+=上的任意一点，线段PQ的垂直平分线与直线CP交于点M．（1）求点M的轨迹方程；（2）过点()3,0A-作直线与点M的轨迹交于点E，过点()0,1B作直线与点M的轨迹交于点(),F E F不重合，且直线AE和直线BF的斜率互为相反数，直线EF的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF的斜率；若不是定值，请说明理由．21．（12分）[2020·聊城一模]已知函数()()2ln 2f x a x x a x =+++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设0a <，若不相等的两个正数1x ，2x 满足()()12f x f x =，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2020·衡阳二模]在直角坐标系xOy 中，设P 为22:9O x y +=e 上的动点，点D 为P 在x 轴上的投影，动点M 满足2DM MP =u u u u r u u u r，点M 的轨迹为曲线C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()1,0A ρ，2π2,B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭为直线l 上两点．（1）求C 的参数方程；（2）是否存在M ，使得M AB △的面积为8？若存在，有几个这样的点？若不存在，请说明理由．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2020·潍坊一模]已知函数()121f x x x =--+的最大值为t ． （1）求实数t 的值；（2）若()()21g x f x x =++，设0m >，0n >，且满足112t m n+=，求证：()()222g m g n ++≥．绝密 ★ 启用前数学答案一、选择题． 1．【答案】D【解析】因为e 11x y =+>，所以{}{}e 1,1x B y y x y y ==+∈=>R ， 又()0,2A =，所以()1,2A B =I ，故选D ． 2．【答案】A【解析】因为12i i i113z =-+-=-+，所以13i z =--，对应点的坐标为()1,3--，故选A ． 3．【答案】D【解析】解：由2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，知： 在A 中，自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势，故A 正确； 在B 中，自2005年以来，我国人口增长率维持在0.5%上下波动，故B 正确； 在C 中，从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大，故C 正确； 在D 中，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变小，故D 错误． 故选D ． 4．【答案】D【解析】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线()220x py p =->经过点()6,5-，则3610p =，解得185p =，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185p =．故选D ． 5．【答案】B【解析】∵4+=a b ，∴22216++⋅=a b a b ，∴2716+=b ，∴3=b ，故选B ． 6．【答案】D【解析】由题意知，大圆的面积为2π24πS =⋅=，阴影部分的面积为221π2ππ21S '⋅-⋅==， 则所求的概率为π14π4S P S '===．故选D ． 7．【答案】B【解析】设租用A 型车辆x 辆，租用B 型车辆y 辆，租金之和为z ，则135540x x y x x y ≥≤≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，200120z x y =+，作出可行域：求出区域顶点为()4,4，()2,6，将它们代入200120z x y =+，可得min 200212061120z =⨯+⨯=， 故选B ． 8．【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，可得()222337737216a a a a a a ++=+=，即374a a +=，5a 与9a 的等差中项为4，即598a a +=，设公比为q ，则()223748q a a q +==，则2q =（负的舍去），故选D ． 9．【答案】C【解析】画出三视图对应的原图如下图所示三棱锥1A BDE -．故体积为112122323⨯⨯⨯⨯=，故选C ．10．【答案】D【解析】由()3f x +是偶函数可得其图象的对称轴为0x =，所以函数()f x 的图象关于直线3x =对称．又函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，所以函数()f x 在(],3-∞上单调递增． 因为 1.10.500.333<<<，所以()()()1.10.500.33f f f <<，即b a c >>． 故选D ． 11．【答案】A【解析】解：圆()2224x c y c ++=的圆心为(),0c -，半径为2c ，且12AF c =，12BF c =，由双曲线的定义可得222AF a c =+，222BF c a =-，设12BF F α∠=，在三角形12BF F 中，()()()()22222222222cos 2222c c c a c c a c cc α+----==⋅⋅，在三角形12AF F 中，()()()22222244222cos 90sin 2222c c c a c c a c cc αα+-+-+︒+===-⋅⋅，由22sin cos 1αα+=，化简可得()22242c a c +=，即为2222c a c +，即有)2221a c =，可得21ce a==+A ．12．【答案】D【解析】因为()32f x ax bx cx =++，所以()232f x ax bx c '=++， 不等式()()3xf x af x '-≤，即()()()2323230a a x b ab x c ac x -+-+--≤．因为()()()2323230a a x b ab x c ac x -+-+--≤对一切x ∈R 恒成立，而三次函数的图象不可能恒在x 轴的下方， 所以230a a -=，解得3a =或0a =（舍去）． 所以2230bx cx ---≤对一切x ∈R 恒成立， 则00b c ==⎧⎨⎩或204120b Δc b >=-≤⎧⎨⎩，所以23c b ≥， 则223311999399244b c b c c c c a --⎛⎫=≥-=--≥- ⎪⎝⎭． 3b c a -的取值范围为9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选D ．二、填空题． 13．【答案】72【解析】因为()411log 22a f ===，所以()1174222f a f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，本题正确结果为72．14．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】函数()()13cos cos 02π3f x x x x ωωωω⎛⎫==+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2ππω=，∴2ω=，()cos 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，2π2,π33π3x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1cos 2,132πx ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故答案为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．15．【答案】2π4+【解析】021d x x --⎰表示的是四分之一的圆的面积，且圆的半径是1，所以区域A 的面积为1π21424π1++⨯⨯=，所以圆柱的体积π282π44V +=⨯=+．16．【答案】232n n ++【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且3a 是2a ，5a 的等比中项，所以()2325a a a =⋅，()()()211124a d a d a d +=+⋅+， 因为公差0d ≠，解得10a =， 公比4233a d q a d===，所以+1+1233n n n k a a d =⋅=⋅， 由{}n a 是等差数列可知()()111n k n n a a k d k d =+-=-， 所以()+131n n d k d ⋅=-，所以+131n n k =+， 所以231+1333331n n n n T n -=++⋅⋅⋅+++⨯ ()2+23131931322n n n n -=+=-⨯+-， 所以2219292393222n n n T n n ++⎛⎫+=⨯⨯++=+ ⎪⎝⎭-．三、解答题．17．【答案】（1）2BD =；（23【解析】（1）因为AD AC ⊥，所以π2BAD BAC ∠=∠-，所以π27cos cos sin 2BAD BAC BAC ⎛⎫∠=∠-=∠= ⎪⎝⎭．在BAD △中，由余弦定理得：()22222272cos 712714BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 所以2BD =．（2）在BAD △中，由（1）知，2221471cos 22122AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以2π3ADB ∠=，则π3ADC ∠=．在ADC Rt △中，易得3AC =． 1127sin 73322ABCS AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△． 所以ABC △的面积为3．18．【答案】（1）680；（2）（i ）见解析；（ii ）160． 【解析】（1）学生月消费的平均数11311300500700900110020068040001000100020004000x ⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭．（2）（i ）月消费值落入区间[)200,400、[)400,800、[]800,1200的频率分别为0.05、0.80、0.15， 因此()100.05P ξ==，()300.80P ξ==，()500.15P ξ==， 即ξ的分布列为ξ 10 30 50 P0.050.800.15ξ的数学期望值()100.05300.80500.1532E ξ=⨯+⨯+⨯=．（ii ）服务部的月利润为32200064000⨯=（元）， 受资助学生人数为20000.05100⨯=，每个受资助学生每月可获得1640001001604⨯÷=（元）．19．【答案】（1）见证明；（2）30． 【解析】（1）证明：因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD I 平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥． 因为2AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥， 因为AD AB A =I ，所以BC ⊥平面ABD ．（2）解：设()04AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积()()()2321114816326V f x x x x x x ==⨯-=-+()04x <<．()()()()2113161643466f x x x x x =-+=--'， 当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增； 当443x <<时，()0f x '<，()V f x =单调递减． 故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值． 以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，80,,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,0,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，840,,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，44,,033E ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面BCD 的法向量为(),,x y z =n ，则00BC BD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u r u u u rn n ，即80384033x y z ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩， 令2z =-，得()0,1,2=-n ，同理可得平面BDE 的一个法向量为()1,1,2=-m ，则3056==⨯． 由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --30． 20．【答案】（1）2213x y +=；（2）定值，3．【解析】（1）如下图所示，连接MQ ，则3MC MQ MC MP CP +=+== 又22CQ =M 的轨迹是以C ，Q 为焦点的椭圆，因为2a =2c =a =c =1b =，故点M 的轨迹方程是2213x y +=．（2）设直线AE的方程为(y k x =+，则直线BF 的方程为1y kx =-+，由(2233y k x x y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 整理得()222231930k x x k +++-=．设交点()11,E x y 、()22,F x y ，则1x =，1x(11y k x =+ 由22133y kx x y =-++=⎧⎨⎩，消去y 整理得()223160k x kx +-=， 则22613kx k=+，222213113k y kx k -=-+=+．所以1212EFy y k x x -===-． 故直线EF的斜率为定值，其斜率为． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x+++++'=+++==，0x >， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在()0,+∞单调递增；当0a <时，02a x <<-当时，()0f x '<，当2ax >-时，()0f x '>，()f x ∴在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）()()12f x f x =Q ，()()22111222ln 2ln 2a x x a x a x x a x =∴++++++， ()()()()()221221212121ln ln 22a x x x x a x x x x x x a ∴-=-++=-+++-，()122121ln ln 2a x x x x a x x -∴+++=-，()()22af x x a x'=+++Q ，()121221121221ln ln 2222a x x x x a a f x x a x x x x x x -+⎛⎫'∴=++++=+ ⎪++-⎝⎭()222111222122121211211121ln 22ln ln 1x x x x x x x x a a a x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪=-=-=-⎪ ⎪+--+- ⎪⎝⎭+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 不妨设210x x >>，则211x x >，所以只要证21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+， 令211x t x =>，()224ln 2ln 11t g t t t t t -∴=-=--++， ()()()()()()22222411410111t t t g t t t t t t t -+-'∴=-==-<+++， ()g t ∴在()1,+∞上单调递减，()()221ln1011g t g -∴<=-=+，21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴-<+，1202x x f +⎛⎫'∴> ⎪⎝⎭． 22．【答案】（1）3cos sin x y αα==⎧⎨⎩；（2）见解析．【解析】（1）设()3cos ,3sin P αα，(),M x y ，则()3cos ,0D α． 由2DM MP =u u u u r u u u r ，得3cos sin x y αα==⎧⎨⎩．（2）依题，直线:0l x -，设点()3cos ,sin M αα，设点M 到直线l 的距离为d，()d αβ==+-≥将0θ=，π2代入sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1ρ=，24ρ=，8AB ==．12MAB S AB d =≥△∵8>M ，且存在两个这样的点． 23．【答案】（1）2t =；（2）见解析．【解析】（1）由()121f x x x =--+，得()3,131,113,1x x f x x x x x --≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩， 所以()()max 12f x f =-=，即2t =．（2）因为()1g x x =-，由1122m n+=， 知()()221211212g m g n m n m n m n ++=++-≥++-=+ ()1111212222222222n m m n m n m n⎛⎫=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当22n mm n=，即224m n =时取等号． 所以()()222g m g n ++≥．【精品】2020年全国高考数学考前冲刺模拟试卷（理 科 ）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2020年高考数学选择、填空题专项训练(共40套)含答案
2020年高考数学选择、填空题专项训练(共40套)三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ）A.6556B.－6556C.－6516D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲成绩（秒） 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒）1212.412.81312.212.812.312.5根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15. 21三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.2EF DOC BA10．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。
2020年高考数学(理)金榜冲刺卷(一)解析版
f (x) cos x sin x (a sin x) ( sin x) a sin x 1 因 为 cos2 x 0 ， 所 以 a sin x 1 0 在 区 间
cos2 x
cos2 x ,
( π , π ) 恒成立,所以 a 1
因为
x
(
,
) ，所以
1
sin
x
32 3
1
2 所以 a 的取值范
3．4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和
本资料由集师广益·教学研究所整理
为奇数的概率为（ ）
1
A．
3
1
B．
2
【答案】C
2
C．
3
3
D．
4
【解析】取出的
2
张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，
C21C21 C42
=
2 3
9．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，直线 AC1 平面 .平面 截此正方体所得截面有如下四个
结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；
④截面面积最大值为 3 3 ．则正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①②④
D．①③④
【答案】D
【解析】对①,当 截此正方体所得截面为 B1CD1 时满足.故①正确.
【答案】B
【解析】根据题意有 f x cos2x 1 1 cos2x 2 3 cos2x 5 ，
2
2
2
所以函数 f x 的最小正周期为 T 2 ，且最大值为 f x 3 5 4 ，故选 B.
专题20 2020年全国普通高等学校统一招生考试数学冲刺试卷(全国I卷)(理)(解析版)
第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,1,2,3,4,5}A =-，{|(1)(5)0}B x x x =∈--<N ，则AB =（ ）．A ．{3}B ．{2,3}C ．{2,3,5}D ．{1,1,5}-【答案】D 【解析】{|(1)(5)0}{2,3,4}B x x x =∈--<=N ，所以{1,1,5}A B =-.故选：D.2．设i 为虚数单位，复数z 满足()25z i -=，则在复平面内，z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】因为()25z i -=，所以()()()5252222i z i i i i +===----+， 由共轭复数的定义知，2z i =-+，由复数的几何意义可知，z 在复平面对应的点为()2,1-，位于第二象限. 故选：B3．某公司以客户满意为出发点，随机抽选2000名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素．每名客户填写一个因素，下图为客户满意度分析的帕累托图．帕累托图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度（即频数）的大小从左到右排列，以下结论正确的个数是（ ）．①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度； ②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度； ③最影响客户满意度的因素是电话接起快速；④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】①认为态度良好影响他们满意度的客户比例为35.6%18.35%17.25%-=，故错误； ②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度，故正确； ③影响客户满意度的因素是电话接起快速，故正确；④认为工单派发准确影响他们满意度的客户比例为100%98.85% 1.15%-=，故正确. 故选：C . 4．函数()()1ln 1xxe xf x e -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】()()1ln 1xxe xf x e -=+,其定义域为:(,0)(0,)-∞+∞,又()()()1ln 1ln ()11x xx xe x e xf x f x e e ------===-++,所以()f x 为奇函数,故排除A,C 选项,又当12x =时,1(1)ln 12()021e f e ⨯=<+, 所以排除D 选项, 故选:B.5．惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距为R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能221121111c U k q R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中c k 为静电常量，1x ，2x 分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．21232c k q x x RB ．21232c k q x x R - C ．2123c k q x x R D ．2123c k q x x R- 【答案】B 【解析】根据题意，221121111c U k q R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭21212c k q R R R R R R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪=+--⎪- ⎪++-⎝⎭， 因为1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，所以212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪+--⎪- ⎪++-⎝⎭222212121122221111+c k q x x x x x x x x R R R R R R R ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎛⎫≈+-+--+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()222212121122222c x x k q x x x x x x RR R R R R R ⎡⎤--≈-++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦21232c k q x x R ≈-， 故选：B6．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ）A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 【答案】A 【解析】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A .7．据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有ABC 满足“勾3股4弦5”，其中3AC =，4BC =，点D 是CB 延长线上的一点，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B ．4C ．9D ．不能确定【答案】C 【解析】因为3,4,5AC CB AB ===，所以222AC CB AB +=， 所以AC CB ⊥，所以0AC CB ⋅=，所以0AC CD ⋅=， 所以2()AC AD AC AC CD AC AC CD ⋅=⋅+=+⋅909=+=. 故选：C8．一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．403πB ．56πC ．1843πD ．104π【答案】C 【解析】由题意可知该几何体是球体被挖去一个圆锥，圆锥底面半径为332=6， 设球的半径为R ，可得(()22236R R =+-，解得4R =，所以该几何体的体积为(2341184236333R π⨯π⨯-⨯⨯π=. 故选：C ．9．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m ，镜深0.25m ，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（ ）A ．0.5米B ．1米C ．1.5米D ．2米【答案】B 【解析】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处， 如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程22x py = 集光板端点()1,0.25A ，代入抛物线方程可得24p =， 所以抛物线方程24x y =， 故焦点坐标是()0,1F.所以容器灶圈应距离集光板顶点1m . 故选：B10．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A ．21 B ．63C ．13D ．84【答案】B 【解析】因为130S =，3421a a +=，所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =，则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=．故选：B ．11．已知函数()14sin cos f x x x =-，现有下述四个结论： ①()f x 的最小正周期为π；②曲线()y f x =关于直线4πx =-对称； ③()f x 在5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④方程()2f x =在[],ππ-上有4个不同的实根. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④ B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】D 【解析】()112sin 2,sin 2214sin cos 12sin 212sin 21,sin 22x x f x x x x x x ⎧-<⎪⎪=-=-=⎨⎪-≥⎪⎩， 作出()f x 在[],ππ-上的图象（先作出2sin 2y x =-的图象，再利用平移变换和翻折变换得到12sin 2y x =-的图象），如图所示，由图可知①②④正确，③错误.故所有正确结论的编号是①②④.故选:D.12．三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 互相垂直，1PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 6P ABC -的外接球的体积是（ ） A ．2π B ．4πC ．83πD ．43π 【答案】D 【解析】M是线段BC上一动点，连接PM，PA PB PC，，互相垂直，AMP∴∠就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PM BC⊥时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大.此时6 APPM=，6PM=，在直角PBC中，2612PB PC BC PM PC PC PC⋅=⋅⇒=+⨯⇒=. 三棱锥P ABC-扩充为长方体，则长方体的对角线长为1122++=.∴三棱锥P ABC-的外接球的半径为1R=，∴三棱锥P ABC-的外接球的体积为34433Rππ=.故选：D.第II卷非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若x，y满足约束条件24010220x yx yx y-+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y=+的最大值为______．【答案】5【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示：目标函数3z x y =+，可化为直线3y x z =-+， 当3y x z =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大． 此时目标函数取得最大值，又由10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得3x =，4y =-，即()3,4A -，所以目标函数的最大值为3345z =⨯-=． 故答案为：514．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，425S S =，则此数列的公比q =____________. 【答案】1-或2± 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a ≠，公比为q ，425S S =，∴1q ≠， ∴()()421115111a q a q qq--=--，化简可得()()22140qq--=，解得1q =-或2q =±. 故答案为：1-或2±.15．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.【答案】13【解析】根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科， 每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；则有23436636C A =⨯=种情况，若甲辅导数学，有2212323212C A C A +=种情况， 则数学学科恰好由甲辅导的概率为13， 故答案为：13． 16．过双曲线2221(0)x y a a -=>上一点M 作直线l ，与双曲线的两条渐近线分别交于,P Q ，且M 为线段PQ 的中点，若POQ △（O 为坐标原点）的面积为2，则双曲线的离心率为______.【解析】由题意知，双曲线2221(0)x y a a-=>的两条渐近线方程为1y x a =±，设112211,,,P x x Q x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()12121,22x x M x x a +⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据点M 在双曲线2221x y a -=上，得()()22121222144x x x x a a +--=，得212x x a =，由双曲线的两条渐近线方程得1tan2POQ a∠= 222sin cos 22sin =2sin cos 22sin cos 22POQ POQ POQ POQ POQ POQ POQ ∠∠∠∠∠=∠∠+ 22212tan2tan 211POQPOQ a a∠==∠++ ，所以21222211121POQ a aS POQ x x a a a∆+=∠=⨯⨯⨯=+，而2POQS=，所以2a =，又1b =，所以5c =，离心率5e =.故答案为：5 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．平面四边形ABCD ，点,,A B C 均在半径为2的圆上，且6BAC π∠=.（1）求BC 的长；（2）若3BD =，2DBC BCD ∠=∠，求BCD ∆的面积. 【答案】（1）2；（2）352【解析】（1）设外接圆半径为2R =， 在ABC 中，6BAC π∠=，由正弦定理得12sin 422BC R BAC =∠=⨯=， 即2BC =； （2）在BCD 中，2DBC BCD ∠=∠，sin sin 22sin cos DBC BCD BCD BCD ∴∠=∠=∠∠则由正弦定理可得2cos CD BD BCD =⋅∠，又由余弦定理知222cos 2BC CD BD BCD BC CD +-∠=⋅，222()BD BC CD BD CD BC CD+-∴=⋅，又2BC =，3BD =， 解得215CD =，由余弦定理2222232151cos 22326BD BC CD CBD BD BC +-+-∠===-⋅⨯⨯，则35sin 6CBD ∠=， BCD ∴△的面积135sin 22BCDSBC BD CBD =⋅⋅∠=. 18．如图1，在多边形ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，1AB AF BC ===，2AD DE ==，四边形ADEF 为直角梯形，//AF DE ，90DAF ∠=︒．以AD 为折痕把等腰梯形ABCD 折起，使得平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图2所示．（1）证明：AC ⊥平面CDE ．（2）求直线CF 与平面EAC 所成角的正切值． 【答案】（1）详见解析；（2）1919． 【解析】（1）证明：取AD 的中点M ，连接CM ，如下图所示：1AB AF BC ===，//BC AM ，由四边形ABCM 为菱形，可知12AM AD =， 在ACD 中，在90ACD ∠=︒， 所以AC DC ⊥．又平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD 平面ADEF AD =，//AF DE ，90DAF ∠=︒，所以DE AD ⊥，DE ⊂平面ADEF ，所以DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以DE AC ⊥，又因为DE DC D ⋂=， 所以AC ⊥平面CDE ．（2）由平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图取AD 的中点为O ，以O 为原点，以OA 为x 轴，其中y 轴，z 轴分别在平面ADEF 平面ABCD 中，且与AD 垂直，垂足为O 建立空间直角坐际系O xyz -．因为()1,1,0F ，13,0,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,2,0E -，()1,0,0A ，33,0,22CA ⎛=- ⎝⎭，()2,2,0AE =-，33,1,2CF ⎛= ⎝⎭． 设平面CAE 的法向量(),,n x y z =，则00CA n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即330220x z x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令1x =，得(1,1,3n =．设直线CF 与平面EAC 所成的角为θ，则331522sin 1045CF n CF nθ+-⋅===⨯⋅， 所以19tan θ=．19．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆22221x ya b+=（0ab>>）的离心率是e，定义直线bye=±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为23y=±，长轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：223x y+=的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论.【答案】（1）22143x y+=；（2）在，证明见解析.【解析】（1）由题意得：23b abe c==，24a=，又222a b c=+，联立以上可得：24a=，23b=，21c=.∴椭圆C的方程为22143x y+=；（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为23y=±，不妨取23y=，设(),23P x（x≠），则23OPk=，∴过原点且与OP垂直的直线方程为023y x=，当3=x时，过P点的圆的切线方程为3x=过原点且与OP垂直的直线方程为12y x=-，联立312xy x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得：33,2A⎫-⎪⎪⎭，代入椭圆方程成立；同理可得，当0x =时，点A 在椭圆上；当0x ≠时，联立223412y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得1A ⎛⎫，2A ⎛⎫⎝， 1PA所在直线方程为()()20060x x y --=.此时原点O 到该直线的距离d ==∴说明A 点在椭圆C 上；同理说明另一种情况的A 也在椭圆C 上. 综上可得，点A 在椭圆C 上.20．已知函数()()2ln 1f x x a x =+-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()0g x kx b k =+>，当0a =时，若对任意的()0,x ∈+∞，存在实数k ，b 使得关于x 的不等式()()221ef x g x x -≤≤恒成立，求k 的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】（1）()()212120ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a<时，若()0f x '>，解得0x <<若()0f x '<，解得x >所以函数()f x 在区间⎛ ⎝上单调递增，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. （2）因为()2g x x ≤，所以20x kx b --≥，0k >，故240k b ∆=+≤，即24k b ≤-，又因为()()21ef x g x -≤，所以2ln 10e x kx b ---≤. 设()2ln 10x e x kx b ϕ=---≤，()2ex k xϕ'=-， 当20,e x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 当2,e x k ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减. 故()max 2222ln 212ln 10e ex e e b e b k k k ϕϕ⎛⎫==---=--≤ ⎪⎝⎭，所以22ln 1e b k -≤，所以有222ln 14k e b k -≤≤-. 由题知，存在实数k ，b 使得关于x 的不等式()()221ef x g x x -≤≤恒成立的充要条件是不等式222ln 14k e k -≤-有解，将该不等式化为222ln 104k e k--+≥，令2kt =，则22ln 10t e t -++≥有解. 设()22ln 1h t t e t =-++，()22e h t t t'=-+，可知()h t 在区间(上单调递增，在区间)+∞单调递减，又()10h =，10h=>，()2210h e e e =-++<，所以()22ln 1h x t e t =-++在区间)e 内存在唯一零点0t，故不等式22ln 10t e t -++≥的解集为01t t ≤≤，即012kt ≤≤，故k 的最小值为2. 21．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响.（1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. ①求,,p p p 123；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式. 【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ===；②116177i i i p p p +-=+，11156n np ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A =，2()3P B =，甲的得分X 的取值为1,0,1-，(1)()P X P AB =-=121()()(1)233P A P B ==-⨯=， (0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+12121(1)(1)23232=⨯+-⨯-=， 121(1)()()()(1)236P X P AB P A P B ====⨯-=，∴X 的分布列为：（2）由（1）16p =， 2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=111117()2662636=⨯+⨯+=，同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2--：记(1)P X x =-=，(0)P X y ==，(1)P X z ==，则2(2)P Y x =-=，(1)P Y xy yx =-=+，2(0)P Y xz zx y ==++，(1)P Y yz zy ==+，2(2)P Y z ==由此得甲的得分Y 的分布列为：∴3()()3362636636636216p =⨯+⨯++⨯++=， ∵11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，00p =，∴1212321p ap bp p ap bp cp =+⎧⎨=++⎩，71136664371721636636a b a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，∴6(1)717b a b c -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠得：116177i i i p p p +-=+， ∴111()6i i i i p p p p +--=-， ∴数列1{}n n p p --是等比数列，公比为16q =，首项为1016p p -=， ∴11()6nn n p p --=．∴11210()()()n n n n n p p p p p p p ---=-+-++-111111()()(1)66656n n n -=+++=-． （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MON ∠的大小.【答案】（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为(cos )1ρθθ=+曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=；（Ⅱ）6MON π∠=.【解析】（Ⅰ）由1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得直线l的普通方程为1x += 又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，22cos ρρθ∴=，222x y x ∴+=，即曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=.（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ， 则12MON θθ∠=-，由(cos )12cos ,ρθθρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去ρ得2cos (cos )1θθθ+=+，化为cos 22θθ+=sin 26πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 不妨设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即72,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以263ππθ+=，或2263ππθ+=， 即12,12,4πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12412πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 所以126MON πθθ∠=-=.23．已知函数()|4||4|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式()3f x x >的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为z ，正实数m ，n 满足2mn m n z --=，求证：2103m n ++. 【答案】（Ⅰ）8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）()3f x x >，即|4||4|3x x x ++->.当4x <-时，不等式可化为443x x x --+->，解得4x <-； 当44x -时，不等式可化为443x x x ++->，解得843x -<； 当4x >时，不等式可化为443x x x ++->，无解. 综上，原不等式的解集为8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.（Ⅱ）由绝对值不等式性质得，|4||4||44|8x x x x ++-+-+=，8z ∴=，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，所以(1)(2)32103m n m n +=-+-++，当且仅当1m =，2n =时取“=”， 原不等式得证.。
2020高考数学艺考生冲刺选择填空综合训练十套精品
B. 3
C. 1
2
A 【解析】 k 1, S 3;
k 2, S 1 ; 2
k 3, S 1 ; 3
k 4, S 2, 以4为周期,所以k 2016, S 2,故选A.
() D. 1
3
10.某几何体的三视图如下图,其正视图中的曲线部分为半圆,则
该几何体的表面积为
()
z
A.-1-i
B.1+i
C.1-i
D.-1+i
B 【解析】 由复数计算得 2 z2 1 i 2i 1 i,故选B. z
4.△ABC中,a= 7,b=3,c=2,则∠A= ( )
A.30°
B.45°
C.60°
C 【解析】 由余弦定理直接得
b2 c2 a2 9 4 7 1
A. 10
B. 10 2
C. 2
D. 2 2
C 【解析】 依题意得, (x 1) 21 0,得x 3, 又a b (2, 2) (1, 1) (1,1),
所以 | a b | 2,故选C.
6.等比数列{an}的各项为正数,且a5a6+a4a7=18,则
同理根据QB
PB,可得m a
ny xa
, 两式相乘可得m2
a2
n2 y2 x2 a2
,
Q 点P(m, n)为双曲线M 上除A、B外的一个动点,
m2 n2 1, 整理得n2 b2 (m2 a2 ), x2 b2 y2 1,故选C.
a2 b2
a2
a2 a4
cos A
,
2bc
2020高考数学填空题、选择题精编
2020高考数学填空题、选择题精编
目录 一、向量 二、三角函数 三、解三角形 四、立体几何 五、数列 六、圆锥曲线 七、函数与导数 八、冲刺选择、填空---中、压轴题（二） 参考答案
1-11．(2019 山西阶段性测评)设函数 f (x) , g(x) 在 R 上可导,且 f (x) g(x) ,则当 x [1,2] 时,有（ ）
A． f (x) g(1) g(x) f (1)
B． f (x) f (2) g(x) g(2)
C． f (x)．18
C．16
D．14
7-10．定义在 R 上的函数
f
(x)
x, 1 x 0
x2
,
0
x
1
，且
f
(x 2)
f
(x), g(x)
1 x2
，则方程
f
(x)
g(x)
在区间[5, 9] 上的所有实数根之和最接近下列哪个数（ ）
A．14
B．12
C．11
D．10
8-12 ． f x 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 对 x R ， 均 有 f x 2 f x ， 已 知 当 x 0,1 时 ，
x
f
'm
f
'n
0
，且
m
0,
1 e
，则
f
m
f
n 的最小值为（
）
8
A． 4 e
2
B．
e
2020年高考数学(理)金榜冲刺卷(一)含答案
2020年高考金榜冲刺卷（一）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+B ．1i -C ．1i +D ．i 1--2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}23．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．344．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11443,24a b a b ==-==，则22a b =（ ） A ．-1B ．1C ．-4D ．45．如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A ．计算012(12)(22)(32)++++++L (12)nn +++的值 B ．计算123(12)(22)(32)++++++L (2)nn ++的值C ．计算(123+++L )n +012(222++++L 12)n -+的值D ．计算[123+++L (1)]n +-012(222++++L 2)n+的值6．已知ABC V 是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -7．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则( ) A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为48．已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[0,)+∞上是增函数.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为A ．①②B ．①③C ．①②④D ．①③④10．已知数列{}n a 的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若>n m ，则n m S S -的最大值是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2011．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点A 在椭圆上，且160AOF ∠=︒，'A 与A 关于原点O 对称，且22·'0F A F A =u u u u v u u u u v，则椭圆离心率为（ ）A 1B C D ．4-12．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(,1]e -∞- B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为，则实数k 的值为__________.14．若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是．15．据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 的A 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，则从现在起经过小时该码头将受到热带风暴影响.16．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -的体积的最大值为4____________. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知ABC ∆内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2A B ++=， （1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC =2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．（1）证明PC ⊥平面BED ；（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小.19．（12分）已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．20．（12分）有人收集了10年中某城市的居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据：且已知101380.0ii x==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市该城市居民收入与该种商品的销售额之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+， ①求第10年的销售额10y ；②如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）附：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay b x xnx ==-==--∑∑. （2）1022110254.0ii xx =-=∑，91125875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑.21．（12分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（1）求()f x 的单调区间； （2）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…；（3）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈， 证明:20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点. （1）写出1C 参数方程和2C 普通方程； （2）求AB 最大值和最小值. 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈. （1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． C 2． D.3． C.4． B.5． C ．6． B.7． B.8． C ．9． D.10． B.11． A.12． D ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 8. 14． [2,)+∞ 15． 15 16． 6π提示：如图，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠,点A 在截面圆1O 上运动，点D 在截面圆2O 上运动，由图知，当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时ABC ∆与BDC ∆是等边三角形,设BC a =，则AM DM ==，2BCD S ∆=.sin()3h AM AMD a π=-∠=,313124A BCD DBC V S h -∆=⋅==解得a =32DM =,21DO =，212O M =，设2AMD θ∠=则21cos 22cos 13θθ=-=-,解得tan θ=∴22tan 2OO O M θ==,球O 的半径2R ==,所求外接球的表面积为246S R ππ==.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（1）()()112tanA tanB ++=Q ,1tanA tanB tanA tanB ∴+=-⋅，()11tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +∴=-+=-=--，()3C 0,4C ππ∈∴=Q .（2）ABC ∆的外接圆为单位圆，∴其半径1R =，由正弦定理可得2c RsinC ==2222c a b abcosC =+-，代入数据可得222a b =+(22ab ab ≥=，当且仅当a=b时，“=”成立,ab ∴≤，ABC V ∴的面积11222S absinC =≤=， ABC ∆面积的最大值为12. 18．（1）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设),0Db ，则()0C ，，()002P ，，，233E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，)0B b -，，∴()2PC =-u u u r ，，2 ,33BE b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，2 33DE b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，∴44 033PC BE ⋅=-=u u u r u u u r ，0PC DE ⋅=u u u r u u u r ，∴PC BE ⊥，PC DE ⊥，BE DE E ⋂=，∴PC ⊥平面BED .（2）() 002AP =u u u r，，，),0AB b =-u u u r ，设平面PAB 的法向量为() ,,x y z m =u r ，则20m AP z m AB by ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u vv ，取()b m =u r ，设平面PBC 的法向量为() ,,p n q r =r，则202023n PC r n BE p bq r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取 1,b n ⎛=- ⎝r ，∵平面PAB ⊥平面PBC ，∴ 20m n b b =-=⋅u r r，故b =∴( 1,n =-r，()DP =u u u r ，∴1cos ,2n DP DP n n DP ⋅==⋅r u u u ru u u r r r u u u r ，设PD 与平面PBC 所成角为θ，02⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πθ，则1sin 2θ=，∴30θ=︒， ∴PD 与平面PBC 所成角的大小为30°.19．（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y x =①，2222y x =②．①－②，得 ()()()1212122y y y y x x -+=- ．又因为()1,1P 是线段AB 的中点，所以122y y +=,所以，21121212=1y y k x x y y -==-+．又直线AB 过()1,1P ，所以直线AB 的方程为y x =.（2）依题设(),M M M x y ，直线AB 的方程为()111y k x -=-，即111y k x k =+-， 亦即12y k x k =+，代入抛物线方程并化简得 ()2221122220k x k k x k +-+=．所以，12121222112222k k k k x x k k --+=-=,于是，12211M k k x k -=，12121221111M M k k y k x k k k k k -=⋅+=⋅+=． 同理，12221N k k x k -=，21N y k =．易知120k k ≠，所以直线MN 的斜率21211M N M N y y k k k x x k k -==--． 故直线MN 的方程为211221211111k k k k y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪-⎝⎭，即212111k k y x k k =+-．此时直线过定点()0,1． 故直线MN 恒过定点()0,1． 20． （1）依题意101380.0ii x==∑，则10323133363738394345380x +++++++++=，解得1046x =.（2）①由居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程$y =363254x a +知363254b =，即101102211036325410i ii i i x y x yb x x==-==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解之得：1051y =.②易得38x =，39.1y =，代入$363254y x a =+得：36339.138254a =⨯+， 解得15.21a ≈-，所以$36315.21254y x =-，当40x =时，3634015.2141.96254y =⨯-≈故若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是41.96万元.21．(1)由已知，有()()'e cos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增.所以，()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， ()f x 的单调递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. (2)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-=⎝+⎪⎭.依题意及(1)有：()()cos sin x g x e x x =-， 从而'()2sin xg x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…. 所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭….(3)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n n y x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 且()e cos n yn n f y y ==()()22ecos 2e n x n n n x n n N πππ---∈=.由()()20e 1n n f y f y π-==„及(Ⅰ)得0n y y ….由(2)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭„.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…，故： ()()()2e 2n n n n n f y y g y g y ππ---=-„()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--„. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（1）由题意可得1C的参数方程为：2cos ,,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），又∵210cos 240ρρθ-+=，且222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴2C 的普通方程为2210240x y x +-+=，即()2251x y -+=.（2）由（1）得，设()2cos A αα，圆2C 的圆心()5,0M ， 则||AM ===[]cos 1,1α∈-，∴当1cos 2α=-时，max ||AM =当cos 1α=时，min ||3AM =.当1cos 2α=-时，max max ||||11AB AM =+=； 当cos 1α=时，min min ||||12AB AM =-=. 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）（1）不等式()()f x g x a <+即24x x -<+，两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-，所以原不等式的解集为()1,-+∞.（2）不等式()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++， 又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<， 所以a 的取值范围为()2,3-.。
2020年高考数学(理科)全国1卷高考模拟试卷(17)
2020年高考数学（理科）全国1卷高考模拟试卷（17）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝N ，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2} B ．{0，1，2} C ．{﹣2，﹣1，0，1} D ．{0，1}2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足z⋅i 3+2i=1−i ，则z =（ ） A ．1+5iB ．﹣1﹣5iC ．1﹣5iD ．﹣1+5i3．（5分）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊈α，n ⫋α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知数列{a n }满足a n +1•（1﹣a n ）＝1，且a 1=−12，则a 2020＝（ ） A ．3B ．−12C ．23D ．134525．（5分）根据如下样本数据：x 1 2 3 4 5 6 y54.53.532.52得到的线性回归方程为y =b x +a ，则（ ） A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞06．（5分）若直线y ＝ax +2a 与不等式组{x −y +6≥0x ≤3x +y −3≥0表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A ．[0，95]B ．[0，9]C ．[0，+∞]D ．[﹣∞，9]7．（5分）已知数列{a n }中，a 1=12，a n +1＝1−1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（ ）A ．n ≤2 015B ．n ≤2 018C ．n ≤2 020D ．n ≤2 0218．（5分）设向量CA →=2OB →，|OA →|＝2√5，OA →•OB →=1，则OA →•OC →=（ ） A ．14B ．16C ．18D ．209．（5分）函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx2−π4)−sin 2ωx +cosωx(ω＞0)的区间[0，π]上的最大值与最小值之和是0，则ω的最小值是（ ） A ．94B ．54C ．1D ．3411．（5分）若双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +3）2+y 2＝9所截得的弦长为3，则E 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．2√3312．（5分）已知定义在R 上的连续函数f （x ）满足f （x ）＝f （4﹣x ），且f （﹣2）＝0，f '（x ）为函数f （x ）的导函数，当x ＜2时，有f （x ）+f '（x ）＞0，则不等式x •f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（0，6）B ．（﹣2，0）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，6）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|MN |＝2|NF |，则∠NMF ＝ ． 14．（5分）若二项式(x −x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．15．（5分）若无穷数列{cos （ωn ）}（ω∈R ）是等差数列，则其前10项的和为 ． 16．（5分）边长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，AC =√5，PC =√2，P A =√5，PB =√6，E 是线段BC 的中点．（1）求点C 到平面APE 的距离d ； （2）求二面角P ﹣EA ﹣B 的余弦值．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +b =√3c ，2sin 2C ＝3sin A sin B ． （1）求C ；（2）设P （﹣1，cos A ），Q （﹣cos A ，1），且A ≤C ，OP →与OQ →的夹角为θ，求cos θ的值． 19．（12分）已知一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品．（1）求一、二、三等品各取到一个的概率；（2）记X 表示取到一等品的件数，求X 的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C ：x 23+y 2b 2=1（b ＞0）的右焦点为F ，过F 作两条直线分别与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）相切于A ，B ，且△ABF 为直角三角形．又知椭圆C 上的点与圆O 上的点的最大距离为√3+1． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若不经过点F 的直线l ：y ＝kx +m （其中k ＜0，m ＞0）与圆O 相切，且直线l 与椭圆C 交于P ，Q ，求△FPQ 的周长．21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣x +2sin x ，f '（x ）为f （x ）的导函数． （Ⅰ）求证：f '（x ）在（0，π）上存在唯一零点； （Ⅱ）求证：f （x ）有且仅有两个不同的零点 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）记f （x ）的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1a+2b+12a+b=m ，求a +b 的最小值．2020年高考数学（理科）全国1卷高考模拟试卷（17）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝N，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{0，1}【解答】解：∵A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝[﹣2，3]，B＝N，则A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足z⋅i3+2i=1−i，则z=（）A．1+5i B．﹣1﹣5i C．1﹣5i D．﹣1+5i【解答】解：因为z⋅i3+2i=1−i，所以z•i＝（1﹣i）•（3+2i）＝5﹣i，所以z=−1−5i，z−1+5i，故选：D．3．（5分）已知平面α，直线m，n满足m⊈α，n⫋α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m⊈α，n⫋α，“m∥n”⇒“m∥α”．∴m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）已知数列{a n}满足a n+1•（1﹣a n）＝1，且a1=−12，则a2020＝（）A．3B．−12C．23D．13452【解答】解：数列{a n}满足a n+1•（1﹣a n）＝1，且a1=−1 2，a2=23，a3＝3，a4=−12，…，所以数列的周期为：3，则a2020＝a673×3+1＝a1=−1 2．故选：B．5．（5分）根据如下样本数据：x123456y 54.53.5 3 2.5 2得到的线性回归方程为y =b x +a ，则（ ） A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞0【解答】解：【方法一】根据表中数据，计算x =16×（1+2+3+4+5+6）＝3.5， y =16×（5+4.5+3.5+3+2.5+2）=4112≈3.4； 计算b =∑ 6i=1xi y i−6xy∑ 6i=1x i2−6x 2=(5+9+10.5+12+12.5+12)−6×3.5×3.4(1+4+9+16+25+36)−6×3.52≈−0.66＜0；a =y −b x =3.4﹣（﹣0.66）×3.5＝5.71＞0．【方法二】根据表中样本数据知，变量y 随x 的增大而减小， 所以线性回归方程y =b x +a 中，b ＜0； 又x ＞0，对应y ＞0，所以a ＞0． 故选：A ．6．（5分）若直线y ＝ax +2a 与不等式组{x −y +6≥0x ≤3x +y −3≥0表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A ．[0，95]B ．[0，9]C ．[0，+∞]D ．[﹣∞，9]【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示 {x −y +6=0x +y −3=0⇒{x =−32y =92；∴C （−32，92），直线y ＝a （x +2）过定点A （﹣2，0），直线y ＝a （x +2）经过不等式组表示的平面区域有公共点 则a ＞0，k AC =92−0(−32)−(−2)=9，∴a ∈[0，9]． 故选：B ．7．（5分）已知数列{a n }中，a 1=12，a n +1＝1−1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（ ）A ．n ≤2 015B ．n ≤2 018C ．n ≤2 020D ．n ≤2 021【解答】解：因为a 1=12，a n +1＝1−1a n， 所以a 2=1−1a 1=1−2=−1，a 3=1−1a 2=1+1=2，a 4=1−1a 3=1−12=12， 所以数列{a n }是以3为周期的周期数列，循环的三项分别是12，−1，2，即输出的数字2是循环数列中的第三项，20153=671⋯⋯2，20183=672⋯⋯2，20203=673⋯⋯1，20213=673⋯⋯2，只有选项C 对应的余数是1，不是2， 故选：C ．8．（5分）设向量CA →=2OB →，|OA →|＝2√5，OA →•OB →=1，则OA →•OC →=（ ） A ．14B ．16C ．18D ．20【解答】解：∵CA →=OA →−OC →=2OB →， ∴OA →=2OB →+OC →，∴OA →2=OA →⋅(2OB →+OC →)=2OA →⋅OB →+OA →⋅OC →， ∴(2√5)2=2×1+OA →⋅OC →， ∴OA →⋅OC →=18． 故选：C ．9．（5分）函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2，其定义域为{x |x ≠0}， 且f （﹣x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2＝﹣（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2）＝﹣f （x ），即函数f （x ）为奇函数，排除A 、C ，又由x →0时，（3x ﹣3﹣x ）→0，则f （x ）→0，排除D ；故选：B ．10．（5分）已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx +cosωx(ω＞0)的区间[0，π]上的最大值与最小值之和是0，则ω的最小值是（ ） A ．94B ．54C ．1D ．34【解答】解：f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx +cosωx(ω＞0) ＝2sin ωx ⋅1+cos(ωx−π2)2−1−cos2ωx 2+cosωx ＝sin ωx +sin ωx •sin ωx −12+12cos2ωx +cos ωx ＝sin ωx +sin 2ωx −12(1−cos2ωx)+cos ωx＝sin ωx +cos ωx =√2sin(ωx +π4)．由ωx +π4=π2+kπ，得x =π4ω+kπω，k ∈Z ； 由ωx +π4=3π2+kπ，得x =5π4ω+kπω，k ∈Z ． ∵f （x ）在区间[0，π]上的最大值与最小值之和是0，∴{π4ω≥05π4ω≤π，即ω≥54．∴ω的最小值是54．故选：B ．11．（5分）若双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +3）2+y 2＝9所截得的弦长为3，则E 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．2√33【解答】解：由圆C ：（x +3）2+y 2＝9可得圆心（﹣3，0），半径为3， 双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为：bx ﹣ay ＝0， 渐近线被圆（x +3）2+y 2＝9所截得的弦长为：3，圆心到直线的距离为：√a 2+b 2，由弦长公式可得32=√9−9b 2a 2+b 2，可得a 2a 2+b 2=14，即c 2a 2=4．可得e ＝2， 故选：C ．12．（5分）已知定义在R 上的连续函数f （x ）满足f （x ）＝f （4﹣x ），且f （﹣2）＝0，f '（x ）为函数f （x ）的导函数，当x ＜2时，有f （x ）+f '（x ）＞0，则不等式x •f （x ）＞0的解集为（ ） A ．（0，6） B ．（﹣2，0）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，6）【解答】解：由f （x ）＝f （4﹣x ），且f （﹣2）＝0，可得f （6）＝0，且函数图象关于x ＝2对称，令g （x ）＝e x f （x ），则g ′（x ）＝e x [f （x ）+f ′（x ）]当，因为x ＜2时，有f （x ）+f '（x ）＞0，即g ′（x ）＞0，所以g （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，根据函数的对称性可得f （x ）在（2，+∞）上单调递减，g （x ）的大致图象如图所示， 则不等式x •f （x ）＞0可化为x⋅g(x)e x＞0即x •g （x ）＞0，所以{x ＞0g(x)＞0，或{x ＜0g(x)＜0，可得，0＜x ＜6或x ＜﹣2．故不等式的解集（0，6）∪（﹣∞，﹣2） 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|MN |＝2|NF |，则∠NMF ＝π3．【解答】解：过点N 作NP ⊥准线，交准线于P ， 由抛物线定义知|NP |＝|NF |， ∴在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°， |MN |＝2|PN |， ∴∠PMN ＝30°， ∴∠NMF =π3． 故答案为：π3．14．（5分）若二项式(x −1√x )n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 15 ．【解答】解：由二项式(x −1√x )n展开式中只有第4项的二项式系数最大， 即展开式有7项，∴n ＝6； ∴展开式中的通项公式为T r +1=C 6r•（﹣1）r •x 6−32r ； 令6−32r ＝0，求得r ＝4，故展开式中的常数项为（﹣1）4•C 64=15．故答案为：15．15．（5分）若无穷数列{cos （ωn ）}（ω∈R ）是等差数列，则其前10项的和为 10 ． 【解答】解：∵无穷数列{cos （ωn ）}（ω∈R ）是等差数列， ∴ω＝0，∴cos （ωn ）＝1，∴无穷数列{cos （ωn ）}（ω∈R ）的前10项的和为：S 10＝10×1＝10． 故答案为：10．16．（5分）边长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为π4．【解答】解：如图，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ，则∠MNO 即为直线MN 与底面ABCD 所成线面角， 所以tan ∠MNO =MO NO =2，则NO =12，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心0为圆心，以12为半径的圆，则N 的轨迹围成的封闭图象的面积为S =π4． 故答案为：π4．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，AC =√5，PC =√2，P A =√5，PB =√6，E 是线段BC 的中点．（1）求点C 到平面APE 的距离d ； （2）求二面角P ﹣EA ﹣B 的余弦值．【解答】解：∵AB 2+BC 2＝AC 2，PC 2+BC 2＝PB 2，P A 2+AB 2＝PB 2， ∴∠ABC =∠PCB =∠PAB =π2，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，易得OP ＝1，且BC ⊥OC ，BA ⊥OA ， ∴四边形ABCO 为矩形，（1）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C （1，0，0），E （1，1，0），A （0，2，0），P （0，0，1）， AP →=(0，−2，1)，AE →=(1，−1，0)，CE →=(0，1，0)， 设平面APE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AP →=−2y +z =0n →⋅AE →=x −y =0，令x ＝1，则n →=(1，1，2)， ∴d =|CE →⋅n →||n →|=√66；（2）由（1）知平面APE 的法向量为n →=(1，1，2)，取平面ABE 的一个法向量m →=(0，0，1)，且二面角P ﹣EA ﹣B 为钝角，设其为θ，故cosθ=−|n →⋅m →||n →||m →|=−√63．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +b =√3c ，2sin 2C ＝3sin A sin B ． （1）求C ；（2）设P （﹣1，cos A ），Q （﹣cos A ，1），且A ≤C ，OP →与OQ →的夹角为θ，求cos θ的值． 【解答】解：（1）∵2sin 2C ＝3sin A sin B ， ∴sin 2C =32sinAsinB ， ∴由正弦定理得c 2=32ab ， ∵a +b =√3c ， ∴a 2+b 2+2ab ＝3c 2，根据余弦定理得：cosC =a 2+b 2−c 22ab =2c 2−2ab 2ab =ab 2ab =12，∴C =π3．（2）由（1）知C =π3，代入已知，并结合正弦定理得：{sinA +sinB =32sinAsinB =12，解得sinA =12或sin A ＝1（舍去）， 所以A ＝30°，B ＝90°， ∴OP →⋅OQ →=2cosA =√3，而|OP →|⋅|OQ →|=√1+cos 2A ⋅√cos 2A +1=1+cos 2A =74， ∴cosθ=2cosA 1+cos 2A =√374=4√37． 19．（12分）已知一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品．（1）求一、二、三等品各取到一个的概率；（2）记X 表示取到一等品的件数，求X 的分布列和数学期望．【解答】解：（1）一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品．基本事件总数n =C 93=84，一、二、三等品各取到一个包含的基本事件个数m ＝2×3×4＝24， ∴一、二、三等品各取到一个的概率p =m n =2484=27．（2）记X 表示取到一等品的件数，则X 的可能取值为0，1，2， P （X ＝0）=C 73C 93=512， P （X ＝1）=C 21C 72C 93=12， P （X ＝2）=C 22C 71C 93=112， ∴X 的分布列为：X 012 P51212112数学期望E （X ）=0×512+1×12+2×112=23． 20．（12分）已知椭圆C ：x 23+y 2b =1（b ＞0）的右焦点为F ，过F 作两条直线分别与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）相切于A ，B ，且△ABF 为直角三角形．又知椭圆C 上的点与圆O 上的点的最大距离为√3+1． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若不经过点F 的直线l ：y ＝kx +m （其中k ＜0，m ＞0）与圆O 相切，且直线l 与椭圆C 交于P ，Q ，求△FPQ 的周长．【解答】解：（1）椭圆C 上的点与圆O 上的点的最大距离为√3+1， 可得√3+1⇒a +r =√3+1⇒r =1； △ABF 为直角三角形⇒c =√2r ⇒c =√2； 又b 2+c 2＝3⇒b ＝1．圆O 的方程为：x 2+y 2＝1；椭圆C 的方程为：x 2+y 2=1．（2）y＝kx+m与圆相切：则m2＝k2+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由{x23+y2=1y=kx+m得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，由△＞0，得3k2+1＞m2…（※），且x1+x2=−6km1+3k2，x1x2=3m2−31+3k2，|PQ|=2√3√k2+1⋅√3k2−m2+13k2+1=−2√6k√k2+13k2+1，|PF|+|QF|=2a−e(x1+x2)=2√3+2√6k √k2+13k2+1，△FPQ的周长为|PQ|+|PF|+|QF|=2√3．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x+2sin x，f'（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求证：f'（x）在（0，π）上存在唯一零点；（Ⅱ）求证：f（x）有且仅有两个不同的零点【解答】解：（Ⅰ）设g(x)=f′(x)=1x−1+2cosx，当x∈（0，π）时，g′(x)=−2sinx−1x2＜0，∴g（x）在（0，π）上单调递减．又∵g(π3)=3π−1+1＞0，g(π2)=2π−1＜0，∴g（x）在(π3，π2)上有唯一的零点．（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，当x∈（0，α）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，α）上单调递增；当x∈（α，π）时，f'（x）＜0，f（x）在（α，π）上单调递减；∴f（x）在（0，π）上存在唯一的极大值点α(π3＜α＜π2)，∴f(α)＞f(π2)=lnπ2−π2+2＞2−π2＞0．∵f(12)=−2−12+2sin12＜−2−12+2＜0，∴f（x）在（0，α）上恰有一个零点．∵f（π）＝lnπ﹣π＜2﹣π＜0，∴f（x）在（α，π）上也恰有一个零点；②当x∈[π，2π）时，sin x≤0，f（x）≤lnx﹣x．设h（x）＝lnx﹣x，ℎ′(x)=1x−1＜0，∴h（x）在[π，2π）上单调递减，∴h（x）≤h（π）＜0，∴当x ∈[π，2π）时，f （x ）≤h （x ）≤h （π）＜0恒成立， ∴f （x ）在[π，2π）上没有零点．③当x ∈[2π，+∞）时，f （x ）≤lnx ﹣x +2， 设φ（x ）＝lnx ﹣x +2，φ′(x)=1x −1＜0，∴φ（x ）在[2π，+∞）上单调递减，∴φ（x ）≤φ（2π）＜0， ∴当x ∈[2π，+∞）时，f （x ）≤φ（x ）≤φ（2π）＜0恒成立， ∴f （x ）在[2π，+∞）上没有零点． 综上，f （x ）有且仅有两个零点．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①． 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|2=|2sin(θ+π3)−6|2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =82=4√2． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）记f （x ）的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1a+2b+12a+b=m ，求a +b 的最小值．【解答】解：（1）当x ≥2时，f （x ）＝x +1﹣（x ﹣2）＝3≥1恒成立，∴x ≥2， 当﹣1≤x ＜2时，f （x ）＝x +1+x ﹣2＝2x ﹣1≥1，解得1≤x ＜2， 当x ＜﹣1时，f （x ）＝﹣（x +1）+x ﹣2＝﹣3≥1不成立，无解， 综上，原不等式的解集为[1，+∞）； （2）由（1）知m ＝3，即1a+2b+12a+b=3，∴a +b =19[(a +2b)+(2a +b)(1a+2b +12a+b )=19(2+a+2b2a+b +2a+ba+2b )≥19(2+2√a+2b 2a+b ⋅2a+ba+2b )=49， 当且仅当a+2b 2a+b=2a+b a+2b ，即a =b =29时等号成立，∴a +b 的最小值是49．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷(一)理
普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． i 为虚数单位，则复数） ABCD【答案】AA ．2．已知集合(){}|lg 21A x x =-<，集合{}2|230B x x x =--<，则A B =U （ ）A ．()2,12B ．()1,3-C ．()1,12-D ．()2,3【答案】C【解析】(){}|lg 21A x x =-<{}()|02102,12x x =<-<=，{}2|230B x x x =--<()1,3=-，所以A B =U ()1,12-，选C ．3．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（）A．32ln24-B．12ln24+C．52ln24-D．12ln24-+【答案】A【解析】根据条件可知，122E⎛⎫⎪⎝⎭，，阴影部分的面积为()22112211122ln|22ln2ln32ln222dx x xx⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰，所以，豆子落在阴影部分的概率为32ln24-．故选A．4．在ABC△中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若角A，B，C依次成等差数列，且1a=，3b=．则ABCS=△（）A．2B．3C．32D．2【答案】C【解析】∵A，B，C依次成等差数列，∴60B=︒，∴由余弦定理得：2222cosb ac ac B=+-，得：2c=，∴由正弦定理得：13sin22ABCS ac B==△，故选C．5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．7 B．6 C．5 D．4【解析】几何体如图，则体积为332=64⨯，选Ｂ．6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()(2133a f f -≥-，则a 的最大值是（ ）A ．1B ．12C ．14D ．34【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则(3f =3f ，又由()f x 在区间(),0-∞上单调递增，则()f x 在()0,+∞上递减， 则()()2133a f f -≥-()()2133a f f -⇔≥2133a ⇔﹣≤121233a ⇔≤﹣，则有1212a≤﹣，解可得34a ≤，即a 的最大值是34，故选D ． 7．在平面直角坐标系中，若不等式组2212 10x y x ax y +≥⎧≤≤-+≥⎪⎨⎪⎩（a 为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线2y ax =的准线方程为（ ） A ．124y =-B ．124x =-C ．32x =-D ．32y =-【答案】D 【解析】由题意得111121122a a ⎛⎫⨯⨯+-++= ⎪⎝⎭，16a ∴=，26x y ∴=，即准线方程为32y =-，选D ．8．在nx x ⎛ ⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则2x 的系数为（ ）A ．50B ．70C ．90D ．120【解析】在3nx x ⎛+ ⎪⎝⎭中，令1x =得()134nn +=，即展开式中各项系数和为4n ；又展开式中的二项式系数和为2n．由题意得42322n nn ==，解得5n =．故二项式为53x x ⎛+ ⎪⎝⎭，其展开式的通项为()355215533rr r r r r r T C x C x x --+== ⎪⎝⎭，()0,1,2,3,4,5r =．令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ．9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设好田为x ，坏田为y12.5 87.5x y =⎧∴⎨=⎩， A 中12.5x ≠；B 中正确；C 中87.5x =，12.5y =；D 中12.5x ≠，所以选B ．10．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=->，4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．35,22⎛⎤⎥⎝⎦C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．725,26⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】π2sin 13x ω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭Q ，π1sin 32x ω⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，解()7π2π6k k +∈Z ，3π2π2k x ωω=+()k ∈Z ， 设直线1y =-与()y f x =在()0,+∞上从左到右的第四个交点为A ，第五个交点为B，则由于方程()1f x =-在()0,π上有且只有四个实数根，则<πB A x x ≤，即3π2ππ4ππ26ωωωω+<≤+D ． 11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC △是边长为2的等边三角形，若球OPC 与平面PAB 所成角的正切值为（ ） ABCD【答案】A【解析】R=，设ABC△的外心为M，由正弦定理AM=，由2222PAAM⎛⎫+=⎪⎝⎭得PA=，设AB的中点为N，则CN⊥平面PAB，连接PN，则CPN∠为直线与平面所成的角，PN==，CN=tanCNCPNPN∠==，故选A．12．设P为双曲线()2222:1,0x yC a ba b-=>上一点，1F，2F分别为双曲线C的左、右焦点，212PF F F⊥，若12PF F△的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，则双曲线C的离心率为（）A．2B．4C．2或3 D．4或53【答案】D【解析】∵1F，2F分别为双曲线C的左、右焦点，∴()1,0F c-，()2,0F c，∵212PF F F⊥，∴点P在双曲线的右支，12PF F△的内切圆半径为12212222F F PF PF c ac a+--==-．设1PF x=，则22PF x a=-．∵2221212PF PF F F=+，即()()22222x x a c=-+，∴22a cxa+=，即12PF F△的外接圆半径为222a ca+．∵12PF F△的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，∴()221726a cc aa+=-，即22201730a ac c-+=．∴2317200e e-+=∴53e=或4，故选D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知()2,1=-a ，()1,0=b ，()1,2=-c，若a 与m -b c 平行，则m =__________． 【答案】-3【解析】已知()2,1=-a ，()1,2m m -=-b c ，若a 与m -b c 平行则143m m -=⇒=-，故答案为：-3．14．已知点()2,0A -，()0,2B 若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为__________． 【答案】2【解析】将圆22:220M x y x y +-+=化简成标准方程()()22112x y -++=， 圆心()1,1-，半径2r =，因为()2,0A -，()0,2B ，所以22AB =，要求ABM △面积最小值，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线AB 的距离为22，所以ABM S △的最小值为min 11222222AB d ⋅⋅=⨯⨯=，故答案为2．15． cos85sin 25cos30cos 25︒+︒︒=︒_____________．【答案】2【解析】()cos 6025sin 25cos30cos85sin 25cos30cos 25cos 25︒+︒+︒︒︒+︒︒=︒︒， 133cos 25sin 25sin 251222cos 252︒-︒+︒==︒，故答案为12．16．记{}ave ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的平均数，{}max ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的最大值，设11ave 2,,122A x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，11max 2,,122M x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，若31M A =-，则x 的取值范围是__________．【答案】{}| 4 2x x x =-≥或．【解析】作出112122M max x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，的图象如图所示由题意1113A =⨯+，故031 0x x A x x x -<⎧-==⎨≥⎩，，，31M A =-Q ，∴当0x <时，122x x -=-+，得4x =-，当01x ≤<时，122x x =-+，得43x =，舍去，当12x ≤<时，112x x =+，得2x =，舍去，当2x ≥时，x x =，恒成立，综上所述，x 的取值范围是{}|42x x x =-≥或．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()413n n S a =-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2log n n b a =，记数列()()111n n b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT <． 【答案】（1）()*4nn a n =∈N ；（2）见解析． 【解析】（I ）当1n =时，有()111413a S a ==-，解得14a =．……1分 当n ≥2时，有()11413n n S a --=-，则 ()()11441133n n n n n a S S a a --=-=---，……3分整理得：14n n aa -=，……4分∴数列{}n a 是以4q =为公比，以14a =为首项的等比数列．……5分 ∴()1*444n n n a n -=⨯=∈N ，即数列{}n a 的通项公式为：()*4n n a n =∈N ．……6分 （2）由（1）有22log log 42nn n b a n ===，……7分 则()()()()11111=11212122121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭，……8分∴()()11111335572121n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+- 11111111121335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……10分 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故得证．……12分 18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； （2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）． 【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，……1分所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P==．……3分（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，……4分ξ的可能值为0，1，2，3．从而……5分()363102011206CPCξ====，……6分()124631060111202C CPCξ====，……7分()2146310363212010C CPCξ====，……8分()3431041312030CPCξ====．……9分所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望()1131120123 1.262103010Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯==．……10分（3）这100户中甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差．……12分19．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，底面ABC△是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，侧棱13AA=，点E在1BB上，点F在1CC上，且1BE=，2CF=．（1）证明：平面CAE ⊥平面ADF ；（2）求二面角F AD E --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）1010． 【解析】（1）∵ABC △是等边三角形，D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，得AD CE ⊥．①……2分在侧面11BCC B 中，1tan 2CD CFD CF ∠==，1tan 2BE BCE BC ∠==， ∴tan tan CFD BCE ∠=∠，CFD BCE ∠=∠，∴90BCE FDC CFD FDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴CE DF ⊥．②……4分结合①②，又∵AD DF D =I ，∴CE ⊥平面ADF ，……5分又∵CE ⊂平面CAE ，∴平面CAE ⊥平面ADF ，……6分（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -．则)300A ，，()012F -，，，()011E ，，． 得()300DA =u u u r ，，，()012DF =-u u u r ，，，()011DE =u u u r ，，，……7分 设平面ADF 的法向量()x y z =，，m ，则0 0DA DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m ， 即30 20x y z ⎧=-+=⎪⎨⎪⎩得0 2x y z ==⎧⎨⎩取()021=，，m ．……9分 同理可得，平面ADE 的法向量()011=-，，n ，……10分……11分 则二面角F AD E --．……12分 20．已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程； （2）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．【答案】（1）()22139x y x +=≠±；（2）见解析． 【解析】（1）设动点(),M x y ，则3MA y k x =+，3MB y k x =-()3x ≠±， 19MA MB k k ⋅=-Q ，即1339y y x x ⋅=-+-．……3分 化简得：2219x y +=，……4分 由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2219x y +=()3x ≠±．……5分 （2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组221 99x my x y =++=⎧⎨⎩， 消去x 得()229280m y my ++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y……7分 直线SP 与SQ 斜率分别为11111SP y y k x s my s ==-+-，22221SQ y y k x s my s==-+-，()()121111SP SP y y k k my s my s =+-+- ()()()1222121211y y m y y m s y y s =+-++-()()2228991s m s -=-+-．……10分当3s =时，()282991SP SP k k s -⋅==--； 当3s =-时，()2811891SP SP k k s -⋅==--． 所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．……12分21．设0a >，已知函数()()ln f x x a =-+，()0x >． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）试判断函数()f x 在()0,+∞上是否有两个零点，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）函数()f x 没有两个零点．【解析】（1）()1'f x x a=-+，……1分 ()()22'0220f x x a x a x a >⇔+>⇔+-+>，()()22'0220f x x a x a <⇔+-+<，设()()2222g x x a x a =+-+，则()161a ∆=-， ①当1a ≥时，0∆≤，()0g x ≥，即()'0f x ≥，∴()f x 在()0,+∞上单调递增；……3分②当01a <<时，0∆>，由()0g x =得12x a ==--，22x a =-+，可知120x x <<，由()g x 的图象得：()f x在(0,2a --和()2a -++∞上单调递增；()f x在(2a --2a -+上单调递减．……5分（2）假设函数()f x 有两个零点，由（1）知，01a <<，因为()0ln 0f a =->，则()20f x <()2ln x a <+，由()2'0f x =知2x a +=ln <（，t =，则()ln 2t t <（＊），……8分由()221,4x a =-+，得()1,2t ∈，设()()ln 2h t t t =-，得()1'10h t t=->，所以()h t 在()1,2递增，得()()11ln20h t h >=->，即()ln 2t t >，……11分 这与（＊）式矛盾，所以上假设不成立，即函数()f x 没有两个零点．…12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分） 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a，其参数方程为 1x a y =+=+⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．【答案】（1）10x y a --+=，24y x =；（2）136a =或94． 【解析】（1）1C的参数方程 1x a y =+=+⎧⎪⎨⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，……2分 2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=两边同乘ρ得222cos 4cos 0ρθρθρ+-=即24y x =；……5分（2）将曲线1C的参数方程2 12x a y ⎧⎪⎪⎨=+=+⎪⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）代入曲线224C y x =：，得211402t a +-=，……6分由(()2141402a ∆=-⨯->，得0a >，……7分 设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，…8分当122t t =时，()1212122 214t t t t t t a =+==-⎧⎪⎨⎪⎩，解得136a =，……9分 当122t t =-时，()1212122 214t t t t t t a =⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得94a =， 综上：136a =或94．……10分 23．选修4-5：不等式选讲已知x ∃∈R ，使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值．【答案】（1）{|1}t T t t ∈=≤；（2）18．【解析】（1……2分则()11f x -≤≤，……4分由于x ∃∈R 使不等式12x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤．……5分 （2）由（1）知，33log log 1m n ⋅≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号， (7)分再根据基本不等式6m n +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号．的最小值为6．……10分所以m n。
2020高考数学选择填空题强化训练含答案
2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，少年！一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．要使函数ｙ＝ｘ２－２ａｘ＋１在［１，２］上存在反函数，则a 的取值范围是CA ．ａ≤１B ．ａ≥２C ．ａ≤１或ａ≥２D ．１≤ａ≤２2．已知α－β＝3π且ｃｏｓα－ｃｏｓβ＝31，则ｃｏｓ（α＋β）等于CA ．31 B ．32 C ．97 D ．98 3．先作与函数ｙ＝ｌｇx-21的图象关于原点对称的图象，再将所得图象向右平移２个单位得图象Ｃ１，又ｙ＝ｆ（ｘ）的图象C ２与C １关于y=x 对称，则ｙ＝ｆ（ｘ）的解析式是 AA.ｙ＝１０ｘB.ｙ＝１０ｘ－２C.ｙ＝ｌｇｘD.ｙ＝ｌｇ（ｘ－２）4.两个复数ｚ１＝ａ１＋ｂ１ｉ，ｚ２＝ａ２＋ｂ２ｉ（ａ１、ａ２、ｂ１、ｂ２都是实数且ｚ１≠０，ｚ２≠０），对应的向量21OZ OZ 和在同一直线上的充要条件是D A.12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2121b ba a = D.1221b a b a =5.已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且111=+yx ,则ｘ＋４ｙ的取值范围是B A.［８，＋∞］ B.［９，＋∞］ C.（０，１）∪［９，＋∞］ D.［１，９)6.函数ｙ＝ｓｉｎ（ｋπｘ）＋２ｃｏｓ（ｋπｘ）的最小正周期T ＝１，则实数k 的值可以等于DA.πB.2πC.１D.２7.已知数列｛ａｎ｝为等差数列，前n 项和为S ｎ，数列｛ｂｎ｝为等差数列，前n 项和为T ｎ，且==∞→∞→nn n n n n T Sb a lim ,32lim则，B A.－32 B.32 C.－94 D. 948.直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=ty tx 4322（ｔ为参数）的倾角是DA.ａｒｃｔｇ（－21） B.ａｒｃｔｇ（－２）C.π－ａｒｃｔｇ21D.π－ａｒｃｔｇ29.椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为A A.1010 B.1717 C.13132 D.3737 10．长方体ABCD —A １B 1C １D １中，E 、F 分别为C １Ｂ１，Ｄ１Ｂ１的中点，且ＡＢ＝ＢＣ，ＡＡ１＝２ＡＢ，则CE 与BF 所成角的余弦值是D A.1010 B. 10103 C. 3434 D. 3434511.双曲线的渐近线方程为ｙ＝±２（ｘ－１），一焦点坐标为（１＋２5，０），则该双曲线的方程是B A．116)1(422=--y x B.1164)1(22=--y x C.1416)1(22=--y x D.116)1(422=--y x 12.若一个圆锥有三条母线两两成60°角，则此圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为BA.πB.π332 C.π362 D.π3 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.(1－３ａ＋２ｂ)５展开式中不含b 的项系数之和是 -32 .14.已知f (x )=｜ｌｏｇ３ｘ｜当０＜ａ＜２时，有ｆ（ａ）＞ｆ（２），则a 的取值范围是 0<a<1/2 .15.直线l 过点A (0,-1)，且点B (-2,1)到l 距离是点C (1，2)到l 的距离的两倍，则直线l 的方程是 y = x - 1 或x=0 .一、 选择题：每小题5分，共60分。
2020届河北省衡中同卷新高考冲刺模拟考试(十七)理科数学
2020届河北省衡中同卷新高考冲刺模拟考试（十七)数学（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--<,{}1,0,1,2,3B =-,则A B =I （ ）A. {}1,0,1-B. {}1,0-C. {}0,1D. {}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】化简集合{}2|230A x x x =--<,根据交集定义即可求得答案. 【详解】Q {})(2|2301,3A x x x =--<=-又Q {}1,0,1,2,3B =-∴ {}0,1,2A B =I故选:D.【点睛】本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题.2.已知随机变量()()22,0X N σσ>:，若()40.7P X <=，则()0P X <=（ ）A. 0.2B. 0.3C. 0.5D. 0.7【答案】B 【解析】 【分析】由随机变量()()22,0X N σσ>:,当()40.7P X <=,结合()20.5P X <=,即可求得()240.2P X <<=,根据正态分布的对称性,即可求得答案.【详解】Q 随机变量()()22,0X N σσ>:当()40.7P X <=又Q ()20.5P X <=,可得()240.2P X <<= 根据正态分布的对称性可得: ()020.2P X <<=∴ ()00.50.20.3P X <=-=故选:B.【点睛】本题主要考查正态分布的对称性,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题. 3.已知0.2log a π=,0.2b π=,0.2c π=,则（ ） A. a b c << B. c b a << C. a c b << D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】因为0.2log 0a π=<,0.21b π=>,由0.2c π=得:01c <<,即可求得答案. 【详解】Q 根据0.2log y x =图像可知:0.2log 0a π=< 又Q 0.21b π=>,根据0.2xy =图像,由0.2c π=∴ 01c <<综上所述,a c b <<. 故选:C.【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系. 4.2016年1月6日，中国物流与采购联合会正式发布了中国仓储指数，中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系，如图所示的折线图是2019年甲企业和乙企业的仓储指数走势情况.根据该折线图，下列结论中不正确的是（ ）A. 2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大B. 甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数C. 两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份D. 2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅高于甲企业 【答案】D 【解析】 【分析】先对图表数据分析处理,再结合简单的合情推理,对每个选项逐一判断即可得到答案.【详解】对于A,从图可以看出, 2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大,故A 结论正确;对于B,从图可以看出,甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数,故B 结论正确;对于C,从图可以看出,两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份,故C 结论正确;对于D,从图可以看出,2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅低于甲企业,故D 结论错误. 故选:D.【点睛】本题考查了折线图,掌握折线图相关知识是解题关键,考查了分析能力,属于基础题. 5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为45，且5342a a a =+，则2a =（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,由等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q-=-和等比数列通项公式11n n a a q -=,结合已知即可求得答案. 【详解】Q 5342a a a =+根据等比数列通项公式11n n a a q -=∴ 4231112a q a q a q =+∴ 22q q =+ 即(2)(1)0q q -+=解得:2q =或1q =-(舍去)Q 等比数列{}n a 的前4项和为45根据等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q-=-可得()4141451a q S q-==-,解得13a =故: 126a a q == 故选:A.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前n 项和公式的应用.解题关键是掌握等比数列前n项和公式,考查了计算能力,属于中档题 6.若1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A. 29- B.19 C.79D. 89【答案】C 【解析】 【分析】 由1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭,可得1sin 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,根据2cos 212sin 24ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求得答案. 【详解】Q 1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭,可得1sin 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭Q 227cos 212sin 12499ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 7sin 2cos 229παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭故选: C.【点睛】本题考查了诱导公式及二倍角的余弦公式,解题的关键是根据已知条件选用余弦的二倍角公式来解决问题. 7.()()4221x x x -+-的展开式中x 项的系数为（ ）A. 9-B. 5-C. 7D. 8【答案】A 【解析】 【分析】 将()()4221x x x -+-化简为:2444(1)(1)2(1)x x x x x --+--,写出4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅-,即可求得答案.【详解】Q ()()42244421(1)(1)2(1)x x x x x x x x -+---+-=-4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅- Q 24(1)x x -中不含x 项,无需求解.Q 4(1)x x --中含x 项,即当4r =时(44444)(1)x C x x --⋅⋅=-- Q 42(1)x -中含x 项,即当3r =时(43)34328(1)C x x -⋅=--∴ ()()4221x x x -+-的展开式中x 项9x -故选:A.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.8.数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入,故又称为“兔子数列”.该数列前两项均为1,从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和,某同学设计如图所示的程序框图,当输入正整数()3n n ≥时,输出结果恰好为“兔子数列”的第n 项,则图中空白处应填入（ ）A. b a b =+B. b a c =+C. a b c =+D. c a c =+【答案】B 【解析】 【分析】由数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯可得数列-12n n n a a a -=+,()3n n ≥.结合程序框图即可得出答案. 【详解】Q 由数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯∴ 可得数列-12n n n a a a -=+,()3n n ≥结合程序框图可得空白处为:b a c =+ 故选:B.【点睛】本题考查斐波那契数列的理解和运用,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题. 9.随机变量X 的分布列如下表所示,在()0E X >的前提条件下,不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立的概率为（ ）A. 112B.14 C. 13D. 12【答案】B 【解析】 【分析】根据112233()E X x p x p x p =++,则()a X E b =-+,可得0a b -+> .根据1231p p p ++=得21a b +=.要保证不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立,需满足140a -<,即可求得答案. 【详解】Q 112233()E X x p x p x p =++∴ ()a X E b =-+,结合()0E X >可得0a b -+>根据1231p p p ++=得21a b +=故00021a b a b a b ≥⎧⎪≥⎪⎨-+>⎪⎪+=⎩ 解得:103a ≤<Q 要保证不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立,需满足140a -<解得:14a >则不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立的概率为:11134143-=故选:B.【点睛】本题考查利用古典概型求解概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题,熟练掌握求几何型概率的方法是解题关键,属于基础题.10.已知双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ,若存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =,则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A. (B. ()1,2C. )2D. ()2,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出其几何图像,设AOF θ∠=,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =则1802AFO θ︒∠=-,BOM θ∠=,若存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,需保证BOM AFO ∠<∠,根据双曲线的渐近线为by x a =±,则tan b aθ=,即可求得离心率范围. 【详解】根据题意画出其几何图像:设AOF θ∠=,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =∴ 1802AFO θ︒∠=-,BOM θ∠=若存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,需保证BOM AFO ∠<∠∴BOM AFO ∠<∠,则1802θθ︒<- ∴ 60θ︒<根据双曲线的渐近线为by x a =±,则tan b aθ= ∴3ba<Q 根据双曲线C 的离心率21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴ ()221132b e a ⎛⎫<+=+= ⎪⎝⎭Q 根据双曲线C 的离心率1e >∴ 12e <<故选:B.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围问题,解题关键是根据已知条件画出其几何图像,数形结合.考查分析能力和计算能力,属于中档题.11.已知定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩,若函数()()k g x f x x =-有无穷多个零点,则实数k 的取值范围是（ ） A. ()1,2 B. (]2,4 C. (]2,8 D. []4,8【答案】C 【解析】 【分析】因为定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩,画出其函数图像,求函数()()k g x f x x =-零点个数,即求()kf x x=交点个数,即可求得实数k 的取值范围. 【详解】Q 求函数()()kg x f x x =-零点个数, 即求()y f x =与k y x=交点个数因为定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩令24x <≤,则211()2222xx f x f ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭令48x <≤,则411()2224xx f x f ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭L L画出8y x =和2y x =,()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩图像:∴ 由图像可知实数k 的取值范围在(]2,8时,()kf x x=交点个数是无穷多个. 故选:C.【点睛】本题考查了分段函数和方程零点问题.解题关键是画出其函数图像,结合函数图像,将函数的求零点问题转化图像交点问题,考查了分析能力和理解能力,属于中档题.12.已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的左焦点为(),0F c -,上顶点为A ,离心率为32,直线FA 与抛物线E :24y cx =交于M ,N 两点,则MA NA +=（ ）A. 23aB. 5aC. 43aD. 10a【答案】D 【解析】 【分析】设点(),M M M x y ,(),N N N x y ,由题意可知3FA k =,故)3M N MA x N x A +=+,设MN 的中点坐标为()00,x y ,由中点坐标公式和点差法即可求得答案.【详解】设点(),M M M x y ,(),N N N x yQ 由题意可知3FA k =∴ )3M N MA x N x A +=+，设MN 的中点坐标为()00,x y ，由中点坐标公式: 0022M N M N x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩Q 24M M y cx =┄①,24N N y cx =┄②由①-②,点差法可得:02y c =，即0y =， 又Q FA:)y x c =+,故05x c =， ∴ 0210M N x x x c +==，∴10MA NA a +==. 故选:D.【点睛】本题考查求椭圆方程与抛物线方程,解题关键是掌握椭圆和抛物线的相关知识,和熟练使用点差法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线()21xy x e =-在点()0,1-处的切线方程为__________.【答案】1y x =- 【解析】 【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数,求出切线斜率,再利用直线方程的点斜式,即可求出切线方程. 【详解】Q ()21xy x e =-∴ ()221x x y e x e '=+-∴函数()21x y x e =-在0x =处切线斜率为1，又Q 切点坐标为()0,1-，∴切线方程为1y x =-．故答案为:1y x =-．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.14.设实数x ,y 满足约束条件26024020x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则yz x =的取值范围是__________.【答案】17,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域,yz x=可看作是可行域上的点与原点()0,0O 两点的斜率,结合图像即可求得yz x=的取值范围. 【详解】根据实数x ,y 满足约束条件26024020x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,作出不等式组所表示的可行域,如图:由260240x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 解得:85145x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即814,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭则74OA k =由26020x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得: 8323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即82,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭则14OB k =Q yz x=可看作是可行域上的点与原点()0,0O 两点的斜率∴ y z x =的取值范围是:17,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为: 17,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函数在何处取得最优解.15.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数,要求偶数互不相邻0和5必须相邻,则满足条件的六位数的个数为__________.（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】由题意可知用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数,要求偶数互不相邻0和5必须相邻,将数字0和5捆绑在一起,按05和50两种次序和数字1,3进行排列,数字2,4插空处理. 【详解】数字0和5捆绑在一起,按50次序和数字1,3进行排列,数字2,4插空处理满足此条件的六位数的个数为:223336A A ⋅=数字0和5捆绑在一起,按05次序和数字1,3进行排列,数字2,4插空处理满足此条件的六位数的个数为:223336A A ⋅=当05排在首位不符合题意,此时排列个数为:222312A A ⋅=故:满足条件的六位数的个数为:36+361260-=故答案为:60.【点睛】本题考查排列的简单应用.在排列的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,相邻元素捆绑排这样一个原则.16.已知梯形ABCD 中,2BC AD =,AB AD CD ==,若平面内一点P 满足：0PB PC ⋅=u u u r u u u r,PB xPA yPC =+u u u r u u u r u u u r ,其0x >,0y >,则x y +的最小值为__________.【答案】3 【解析】 【分析】画出其几何图像,由0PB PC ⋅=u u u r u u u r知,点P 的轨迹是以BC 为直径的圆,设PB 与AC 交于点Q ,PB PQ λ=u u u r u u u r ,故x y PQ PA PC λλ=+u u u r u u u r u u u r ,A ,Q ,C 三点共线知1x yλλ+=,可得:x y λ=+,结合图像即可求得x y +的最小值.【详解】画出其几何图像:Q 由0PB PC ⋅=u u u r u u u r知,点P 的轨迹是以BC 为直径的圆,又0x >,0y >,∴ 点P 只能在劣弧AC 上运动（不含A ,C 两点）设PB 与AC 交于点Q ,PB PQ λ=u u u r u u u r∴x y PQ PA PC λλ=+u u u r u u u r u u u r,∴A ,Q ,C 三点共线知1xyλλ+=,可得:x y λ=+又Q 而PBPQλ=,结合图形知:当点P 运动至距AC 最远时λ最小, 又Q DA DC =,∴ 点P 与点D 重合时λ最小,此时12PQ AD QB BC ==,可得3PB PQ λ== ∴3λ=.故答案为:3.【点睛】本题考查了向量的共线和向量的运算,熟悉向量相关知识点和数形结合是解题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a =,()*124nn na a n N a +=∈-. （1）证明:数列21n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列;（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）证明见解析（2）1122n n --+【解析】 【分析】 （1）由()*124n n n a a n N a +=∈-,可得12421221n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭,根据等比数列概念即可得出答案; （2）由（1）知1212n n a --=,可得121211222n n n a --+==+,采用分组求和方法,即可求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】（1）Q ()*124nn na a n N a +=∈- ∴ 1412122n n n n a a a a +-==-， 则12421221n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又12110a -=≠，∴21na⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知1212nna--=，∴121211222nnna--+==+，故其前n项和为:()11121221222nnnn nS---=+=+-.∴数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为:1122nn--+.【点睛】本题主要考查判断数列是否为等比数列和分组求和,解题关键是掌握等比数列的前n项和公式和等差数列前n项和公式,考查了计算能力,属于基础题.18.已知函数()()2cos sin sinf x x xϕϕ=+-,0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()0fϕ=.（1）求ϕ;（2）如图,在ABCV中,Aϕ=,1AC=,D是边AB的中点,2BC CD=,求AB.【答案】（1）3πϕ=（2）3AB=【解析】【分析】（1）由()0fϕ=,可得2cos sin2sin0ϕϕϕ-=,结合0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即可求得ϕ值;（2）设AD DB x==,22CB CD y==,在ACDV和ABCV分别使用余弦定理,即可求得AB.【详解】（1）Q由()0fϕ=得:2cos sin2sin0ϕϕϕ-=∴()2sin4cos10ϕϕ-=由0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin ,cos 0ϕϕ> ∴1cos 2ϕ=,3πϕ=.（2）设AD DB x ==,22CB CD y ==Q 在ACD V 中,由余弦定理22212cos 601y x x x x =+-︒=+-┄① Q 在ABC V 中,由余弦定理22241422cos 60421y x x x x =+-⋅︒=-+┄②∴ 联立①②消去y 解得32x = ∴23AB x ==.【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,解题关键是灵活使用余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19.《中国诗词大会》是由CCTV -10自主研发的一档大型文化益智节目,以“赏中华诗词,寻文化基因品生活之美”为宗旨,带动全民重温经典、从古人的智慧和情怀中汲取营养、涵养心灵,节目广受好评还因为其颇具新意的比赛规则:每场比赛,106位挑战者全部参赛,分为单人追逐赛和擂主争霸赛两部分单人追逐赛的最终优胜者作为攻擂者与守擂擂主进行比拼,竞争该场比赛的擂主,擂主争霸赛以抢答的形式展开,共九道题,抢到并回答正确者得一分,答错则对方得一分,先得五分者获胜,成为本场擂主,比赛结束已知某场擂主争霸赛中,攻擂者与守擂擂主都参与每一次抢题且两人抢到每道题的概率都是12,攻擂者与守擂擂主正确回答每道题的概率分别为35,45,且两人各道题是否回答正确均相互独立. （1）比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率;（2）比赛进行中,攻擂者暂时以3:2领先,设两人共继续抢答了X 道题比赛结束,求随机变量X 分布列和数学期望. 【答案】（1）25（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知:每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件M ,M 发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错,即可求得攻擂者率先得一分的概率;（2）由（1）知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为25,35.根据比赛规则,X 的所有可能取值分别为234，，,求出()2P X =,()3P X =和()4P X =,即可求得随机变量X 的分布列和数学期望.【详解】（1）每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件M .M 发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错,∴ ()1311225255P M =⨯+⨯= ∴ 比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率为:25. （2）由（1）知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为25,35根据比赛规则,X 的所有可能取值分别为234，，,则()2245225P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭=()3212332515552531C P X ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ()451541251251425P X ==--= X 的分布列为:∴ ()4515440923425125125125E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.20.已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,上顶点为M ,且1MF F V （1）求椭圆C 的方程;（2）过点(P 的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,且点A ,B 位于x 轴的同侧,设直线l 与x 轴交于点Q ,12PQ QA BQ λλ==u u u r u u u r u u u r,若12λλ+=-求直线l 的方程. 【答案】（1）2214x y +=（2）4y x =±【解析】 【分析】 （1）离心率为,可得c a =,12MF F△的面积为,可得12122MF F S c b =⋅⋅=V ,根据椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>,可得222a b c =+,即可求得椭圆C 的方程; （2）设直线l:(x t y =,联立椭圆C 方程和直线l 方程,通过韦达定理即可求得直线l 的方程. 【详解】（1）Q可得c a =又Q 12MF F △,可得12122MF F S c b =⋅⋅=V ┄② 根据椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>,可得222a b c =+┄③联立①②③解得:24a =,21b =，∴ 椭圆方程为2214x y += （2）设直线l:(x t y =，()11,A x y ，()22,B x y ，由(2214x t y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ,消掉x 得:()22224240t y y t +-+-=，根据韦达定理:21224y y t +=+,21222404t y y t -=>+,22t >，()()422844240t t t ∆=-+->，24t <， Q 12PQ QA BQ λλ==u u u r u u u r u u u r，∴1122y y λλ==-，故)12121212y yy y y yλλ-+=-+==-∴()222121212y y y y-=，即()222121212412y y y y y y+-=，∴()()()22422222224881612444tt ttt t---=⋅+++，即4231180t t-+=，解得21t=（舍）或283t=，∴直线l:y=+【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.21.已知函数()()()()322112ln22ln2ln62x ax a x x a x a a bx a xf=+-++++--，0a>,b R∈. （1）若1a b==,求函数()f x的最小值;（2）当0a>时,()0f x≥恒成立,求b的取值范围.【答案】（1）()min0f x=（2）(b∈-∞【解析】【分析】（1）将1a b==代入()f x可得, ()()()3211221ln162x x xf x x x=--+++,求其导数()()212ln12'x x xf x=-++,且()2101''f x xx=-+>+,即可求得函数()f x的最小值;（2）因为()()212l'n2ln22x ax a x a bxf x=+-++-,求()'f x和()''f x,通过讨论b≤b>两种情况下:()f x最小值,即可求得b的取值范围.【详解】（1）Q()()()()322112ln22ln2ln62x ax a x x a x a a bx a xf=+-++++--当1a b ==时可得:()()()3211221ln 162x x x f x x x =--+++，()1,x ∈-+∞，∴ ()()212ln 12'x x x f x =-++，∴()1''21x f x x =-++，Q ()212201''x x f x =++-≥>+，∴()'f x 在()1,-+∞上单调递增，又()'00f =，∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故:()()min 00f x f ==（2）Q ()()()()322112ln 22ln 2ln 62x ax a x x a x a a b x a x f =+-++++--∴()()212l 'n 2ln 22x ax a x a bx f x =+-++-，∴()22''x a b a f x x =++-+，①当b ≤,()2220''x a b b x a f x =++-≥≥+，∴()f x 在(),a -+∞上单调递增，又()'00f =，∴()f x 在(),0a -上单调递减,在()0,∞+上单调递增，∴()()00f x f ≥=满足条件;②若b >则方程22x a b x a ++=+存在两个不相等正根()0101,a a a a <，取0a a =，此时()002''2x a f x b x a =++-+，令()''0f x <,解得001a x a a <+<即100x a a <<-，∴()'f x 在()100,a a -上单调递减,又()'00f =，∴()f x 在()100,a a -上单调递减即当()100,x a a ∈-,()()00f x f <=,不符合条件;综上所述,(b ∈-∞.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数在函数中的应用,通常需要对函数求导,通过研究函数的单调性和最值等求解,考查了分析能力和计算能力,难度较大 请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆1C 的极坐标方程为1ρ=,圆2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=.（1）求1C 与2C 在第一象限的交点的极坐标;（2）若点A ,B 分别为圆1C ,2C 上位于第一条限的点,且3AOB π∠=,求AB 的取值范围.【答案】（1）1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）AB ∈ 【解析】【分析】 （1）根据极坐标与直角坐标互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,由圆2C :2220x y x +-=,可得极坐标方程为2cos ρθ=,即可求得1C 与2C 在第一象限的交点的极坐标;（2）设点B 的极坐标为()2cos ,θθ,在AOB V 中,由余弦定理求得AB ,结合A 、B 都要在第一象限,即可求得AB 的取值范围.【详解】（1）圆2C :2220x y x +-=,其极坐标方程为2cos ρθ=, 联立1C :1ρ=得1cos 2θ=,3πθ=±, ∴ 所求点的极坐标为1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）设点B 的极坐标为()2cos ,θθ在AOB V 中,由余弦定理得:222214cos 212cos cos4cos 2cos 13AB πθθθθ=+-⋅⋅⋅=-+,又Q A 、B 都要在第一象限, ∴0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos θ⎫∈⎪⎪⎝⎭, ∴AB ∈. 【点睛】本题主要考查直角坐标方程和极坐标方程的互化,解题关键是掌握极坐标与直角坐标互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,意在考查学生的转化能力,计算能力,难度中等. 23.已知函数()31f x x x =-+-.（1）若()f x x m ≥+对任意x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的最小值为s ,若,,0a b c >,且a b c s ++=,证明:48ab bc ac abc ++≥.【答案】（1）(],1m ∈-∞-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设()()31g x f x x x x x =-=-+--,画出其函数图像,当()g x m ≥恒成立时,结合函数图像,即可求得实数m 的取值范围;（2）()()()31312f x x x x x =-+-≥---=,当且仅当13x ≤≤时等号成立,得2s =,故2a b c ++=,原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式即可求得答案. 【详解】（1）设()()31g x f x x x x x =-=-+--Q ()g x m ≥恒成立∴ ()4,32,13,43,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩其图像如图所示:故()()min 31g x g ==-，∴ (],1m ∈-∞-（2）()()()31312f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时等号成立，∴2s =，即2a b c ++=， 原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式得: ()211416a b c a b c a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭=， ∴1148a b c++≥， 当且仅当12a =,12b =,1c =时等号成立， ∴ 48ab bc ac abc ++≥成立. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,以及含绝对值不等式的恒成立问题,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题,。
【步步高】高考数学 考前三个月抢分训练17 填空题综合(一).doc
填空题综合练训练17 综合(一)1．若集合M ＝{y |y ＝3－x }，P ＝{y |y ＝(3x －3)12}，则M ∩P ＝________. 2．不等式t 2－2at ≥0对所有a ∈[－1,1]都成立，则t 的取值范围是________．3．若sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值是________． 4．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________. 5．△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则a cos C ＋c cos A ＝________.6．在等比数列{a n }中，a 5＋a 6＝a (a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26＝________.7．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则ON ＝________. 8．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝________. 9．阅读下边的流程图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是________．10.有下列四个命题：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题p ：∀x ∈R ，x 2>x ＋1的否定是綈p ：∃x ∈R ，x 2>x ＋1；③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”的否命题．其中真命题的序号是________．11．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，5x －y －10≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________． 12．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为1本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有4生，则在该学院的C 专业应抽取________名学生． 13．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种．(结果用数值表示) 14．设随机变量ξ的概率分布列是P (ξ＝k )＝c 2k ，k ＝1,2,3,4,5,6，其中c 是常数，则P (ξ≤2)的值是________．答案1．{y |y >0} 2．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞) 3．－124．3 5．b 6.b 2a7．4 8．1＋I 9．2 550,2 500 10．①③ 11．11 12．40 13．7 14.1621。
2020年高三数学冲刺试卷(理科17)
2020年高三数学综合测试试卷（理科17）（满分150分）一、选择题（每小题 5 分，12 小题共计60分）1．已知集合M ＝{}|03x x <<，N ＝{}|||2x x >，则M ∩N ＝（ ） A ．｛x |1＜x ＜3｝ B ．｛x |0＜x ＜3｝ C ．｛x |2＜x ＜3｝ D ．∅2．复数ii+-12的虚部为（ ） A ．23- B ．23 C ． 21 D ． 23.“1a >”是“11a<”成立的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 4.函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ） A ．1()11)fx x -=+> B ．1()11)f x x -=≥C ．1()11)f x x -=≥D ．1()11)fx x -=>5．如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为（ ）A ．1B ．0C ．2-D ． 3-6．二项式6⎛⎝展开式的常数项为（ ）高三数学试卷 共6页 第1页____ 班级 座号________ 姓名____________________…………………………………………………………………….密…………………….封………………线…………………………………………A ．-540B ．-162C ．162D ．5407．已知函数23()log log 2f x a x b x =++,若1()4,2009f =则(2009)f 的值是（ ）A ．-4B ．2C ．0D ．-28．若函数2sin(8)1y x ϕ=++的图象关于直线6x π=对称,则ϕ的值是（ ）（ ）A ．0B ．2πC ．()k k Z π∈D ．()6k k Z ππ+∈9．已知球O 的半径为2cm ，A 、B 、C 为球面上三点，A 与B ，B 与C 的球面距离都是cm π，A 与C 的球面距离为cm ，那么三棱锥O —ABC 的体积为（ ） A ． B ． C ．D ．10.已知函数)(x f 的导数a x x f a x x a x f =-+='在若)(),)(1()(处取到极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(0,)+∞11．我们把由半椭圆22222222()1(0)()1(0)x y x y x x a b c b +=≥+=<与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中222.0a b c a b c =+>>>）。
2020年高考数学 临考突击专项训练系列 填空 7
2020届高考数学临考突击专项训练系列：填空题（7）1.设集合{|32}M m m =∈-<≤Z ，{|13}N n n =∈-≤≤Z ．则M N =I ．2．若复数i ia z ++=1为实数，则实数=a ． 3．若sin cos 0θθ⋅>，且cos tan 0θθ⋅<则角θ的终边落在第 象限 ． 4．设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 ． 5．命题：“2,10x R x ax ∃∈++≤”是真命题，则实数a 的取值范围是 ．6．函数20.7log (32)y x x =-+的单调递增区间是 ．7．函数()lg 3f x x x =+-的零点在区间(,1)m m +()m Z ∈内，则m = ．8．设220240330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数22z x y =+取得最大值时，x y += ． 9．在平面直角坐标系中，菱形OABC 的两个顶点为(0,0),(1,1)O A ，且1OA OC ⋅=u u u r u u u r ，则AB AC ⋅=u u u r u u u r ．10．已知函数))((R x x f y ∈=满足)1()1(-=+x f x f ，且当[]1,1-∈x 时，2)(x x f =，则)(x f y =与x y 5log =的图象的交点个数为 ．11．（2020年重庆西南大学附中下学期期中）在数列{}n a 中113a =-，且1332n n a a +=-,则当数列{}n a 前n 项和n S 取最小值时n 的值是 ．12．若不等式[(1)]lg 0a n a a --<对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．13．给出下列命题：①()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且在[1,0]-上是增函数，若(,)42ππθ∈，则(sin )(cos )f f θθ>；②函数2cos(2)3y x π=-的单调递减区间是2[,]()63k k k Z ππππ++∈； ③若2()2cos 1,()()2x f x f x f x x R π=-+=-∈则对恒成立；④要得到函数sin(),sin 2424xx y y ππ=-=的图象只需将的图象向右平移个单位． 其中是真命题的有 （填写所有真命题的序号）．14．对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数”．在实数轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x ．这个函数[x ]叫做“取整函数”．那么22222[log 1][log 2][log 3][log 4][log 1024]+++++L = ．参考答案1、{}1012-，，，； 2、2； 3、三； 4、1，3； 5、(,2][2,)-∞-+∞U ；6、(,1)-∞7、2；8、1159、1； 10、4； 11、20； 12、1(0,)(1,)2+∞U 13、②③ 14、8204。
2020年高考数学(理)金榜冲刺卷(一)解析版
12020年高考金榜冲刺卷（一）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+ B ．1i -C ．1i +D ．i 1--【答案】C【解析】因为21i i1=-+,所以其共轭复数是1i +，故选C. 2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3 B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】D【解析】试题分析：{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-{}2P Q ∴⋂=.故选D.3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C【解析】取出的2张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，112224C C C =23，故选C. 4．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11443,24a b a b ==-==，则22a b =（ ）2A ．-1B ．1C ．-4D ．4【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为11443,24a b a b ==-==，所以413413278d a a b q b =-=⎧⎪⎨==-⎪⎩，解得92d q =⎧⎨=-⎩，因此212166a a d b b q =+=⎧⎨==⎩，所以221a b =.故选B.5．如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A ．计算012(12)(22)(32)++++++L (12)nn +++的值B ．计算123(12)(22)(32)++++++L (2)nn ++的值C ．计算(123+++L )n +012(222++++L 12)n -+的值D ．计算[123+++L (1)]n +-012(222++++L 2)n+的值【答案】C3【解析】试题分析：初始值1,0k S ==，第1次进入循环体：012S =+，2k =；当第2次进入循环体时：011222S =+++，3k =，，给定正整数n ，当k n =时，最后一次进入循环体，则有：011222S =++++L 12n n -++，1k n =+，退出循环体，输出S =(123+++L )n +012(222++++L 12)n -+，故选C ．6．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系设(,)P x y，()()(),,0,,0,AB aC a -则()()(),,,,PA x y PB a x y PC a x y =--=---=--u u u v u u u v u u u v,所以()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u ur()()(),,x y a x y a x y =--⋅---+--⎡⎤⎣⎦()()2,2x y x y =--⋅--2222x y =+-22232222x y a ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭,所以最小值为232a -，所以选B.7．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则( )A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为34B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B【解析】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 8．（2019·江西南昌十中高三期中（文））已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[0,)+∞上是增函数.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<， 0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为 ）A ．①②B ．①③C ．①②④D ．①③④【答案】D5【解析】对①,当α截此正方体所得截面为11B CD 时满足.故①正确.对②,由对称性得,截面形状不可能为正方形.故②错误. 对③,由对称性得截面形状不可能是正五边形,故③正确.对④,当截面为正六边形时面积最大,为64⨯=故④正确.故选D. 10．已知数列{}n a 的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若>n m ，则n m S S -的最大值是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】B【解析】数列{}n a 的通项公式21021(3)(7)n a n n n n =-+-=---,当37n ≤≤时0n a ≥，当2n ≤或8n ≥是0n a <,n S 最大值为6S 或7Sm S 最小值为2S 或3S ,n m S S -的最大值为6345634310S S a a a -=++=++= ,故选B.11．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点A 在椭圆上，且160AOF ∠=︒，'A 与A 关于原点O 对称，且22·'0F A F A =u u u u v u u u u v，则椭圆离心率为（ ） A1B．2C．12D．4-6【答案】A【解析】连结1'A F ，1AF ，由'A 与A 关于原点O 对称，且1F 与2F 关于原点O 对称，可知四边形12'AF A F 为平行四边形，又22·'0F A F A =u u u u v u u u u v，即22'F A F A ⊥可知四边形12'AF A F 为矩形，1,AO OF ∴=又160AOF ∠=︒，11,AF OF c ∴==同理有2AF =，由椭圆的定义可得2c a +=，1c e a ∴===.故选A. 12．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(,1]e -∞-B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-【答案】D【解析】题意即为3ln 1x a x x e x -≤--对()1,x ∀∈+∞恒成立，即31ln x x e x a x---≤对()1,x ∀∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x ---=，()1,x ∈+∞的最小值，而33ln 3ln 3ln 1x x x x x x e e e e x x ---==≥-+,故313ln 113ln xx e x x x x x ---≥-+--=-,即313ln 3ln ln x x e x x x x----≥=-,当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在()1,+∞内有根，故3min13ln x x e x x -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，所以3a ≤-，故选D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为，则实数k 的值为____________.【答案】87【解析】由双曲线221y x k-=得其中一个焦点为)，其中一条渐近线方程为y =，所以焦点到直=，所以8k =.故答案为8.14．若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[2,)+∞【解析】试题分析：因为函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增所以()0f x '≥在区间ππ(,)63恒成立，22cos sin (sin )(sin )sin 1()cos cos x x a x x a x f x x x -⋅--⋅--'==,因为2cos 0x >，所以sin 10a x -≥在区间ππ(,)63恒成立,所以1sin a x ≥,因为(,)63x ππ∈，所以11sin 2223sin x x <<⇒<<,所以a 的取值范围是[2,)+∞.15．据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 的A 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，则从现在起经过 小时该码头将受到热带风暴影响. 【答案】15【解析】记t 小时后热带风暴中心到达点B 位置，在OAB V 中，600km OA =,20km AB t =,45OAB ︒∠=,根据余弦定理得2226004002600202OB t t =+-⨯⨯⨯， 令22450OB „，即2415750t -+„，解得151522t剟,815(h)-=.16．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -的体积的最大值为4____________. 【答案】6π【解析】如图，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠,点A 在截面圆1O 上运动，点D 在截面圆2O 上运动，由图知，当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时ABC ∆与BDC ∆是等边三角形,设BC a =，则AM DM ==，2BCD S ∆=. sin()3h AM AMD a π=-∠=,313124A BCD DBC V S h a -∆=⋅==解得a =32DM =,21DO =，212O M =，设2AMD θ∠= 则21cos 22cos13θθ=-=-,解得tan θ=∴22tan 2OO O M θ==,球O的半径R ==,所求外接球的表面积为246S R ππ==.9三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知ABC ∆内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2A B ++=，（1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值． 【解析】（1）()()112tanA tanB ++=Q,1tanA tanB tanA tanB ∴+=-⋅，()11tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +∴=-+=-=--，()3C 0,4C ππ∈∴=Q .（2）ABC ∆的外接圆为单位圆，∴其半径1R =，由正弦定理可得2c RsinC==2222c a b abcosC =+-，代入数据可得222a b =++(22ab ab ≥=+，当且仅当a=b 时，“=”成立,ab ∴≤ABC V ∴的面积11222S absinC =≤=， ABC ∆面积的最大值为12-. 18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD，AC =2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．10（1）证明PC ⊥平面BED ；（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小. 【解析】（1）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设),0Db ，则()0C ，，()002P ，，，23E ⎫⎪⎪⎝⎭，)0B b -，，∴()2PC =-u u u r ，，2 ,3BE b ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r，2 3DE b ⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r ，，∴44 033PC BE ⋅=-=u u u r u u u r ，0PC DE ⋅=u u u r u u u r ，∴PC BE ⊥，PC DE ⊥，BE DE E ⋂=，∴PC ⊥平面BED .（2）() 002AP =u u u r，，，),0AB b =-u u u r ，设平面PAB 的法向量为() ,,x y z m =u r ，则20m AP z m AB by ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u vv ，取()b m =u r ，设平面PBC 的法向量为() ,,p n q r =r，则20203n PC r n BE p bq r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取 1,n ⎛= ⎝r ，∵平面PAB ⊥平面PBC ，∴ 20m n b b =-=⋅u r r，故b =∴( 1,n =-r，()2DP =u u u r ，∴1cos ,2n DP DP n n DP ⋅==⋅r u u u ru u u r r r u u u r ，设PD 与平面PBC 所成角为θ，02⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πθ，则1sin 2θ=，∴30θ=︒，11∴PD 与平面PBC 所成角的大小为30°.19．（12分）已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标． 【解析】（1）设()11,Ax y ，()22,B x y ，则2112yx =①，2222y x =②．①－②，得()()()1212122y y y y x x -+=- ．又因为()1,1P 是线段AB 的中点，所以122y y +=,所以，21121212=1y y k x x y y -==-+．又直线AB 过()1,1P ，所以直线AB 的方程为y x =.（2）依题设(),M M Mx y ，直线AB 的方程为()111y k x -=-，即111y k x k =+-，亦即12y k x k =+，代入抛物线方程并化简得 ()2221122220k x k k x k +-+=．所以，12121222112222k k k k x x k k --+=-= ,于是，12211M k k x k -=，12121221111M M k k y k x k k k k k -=⋅+=⋅+=．12同理，12221N k k x k -=，21N y k =．易知120k k ≠，所以直线MN 的斜率21211M N M N y y k k k x x k k -==--． 故直线MN 的方程为211221211111k k k k y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪-⎝⎭，即212111k k y x k k =+-．此时直线过定点()0,1． 故直线MN 恒过定点()0,1．20．（12分）有人收集了10年中某城市的居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据：且已知101380.0ii x==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市该城市居民收入与该种商品的销售额之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+， ①求第10年的销售额10y ；②如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）附：（1）在线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay b x xnx ==-==--∑∑. （2）1022110254.0ii xx =-=∑，91125875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑.13【解析】（1）依题意101380.0ii x==∑，则10323133363738394345380x +++++++++=，解得1046x =.（2）①由居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程$y =363254x a +知 363254b =，即101102211036325410i ii i i x y x yb x x==-==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解之得：1051y =.②易得38x =，39.1y =，代入$363254y x a =+得：36339.138254a =⨯+， 解得15.21a ≈-，所以$36315.21254y x =-，当40x =时，3634015.2141.96254y =⨯-≈ 故若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是41.96万元.21．（12分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（1）求()f x 的单调区间；（2）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…； （3）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.14【解析】(1)由已知，有()()'e cos sin x f x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增. 所以，()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. (2)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-=⎝+⎪⎭.依题意及(1)有：()()cos sin x g x e x x =-， 从而'()2sin xg x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()hx 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…. 所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…. (3)依题意，()()10n n ux f x =-=，即e cos 1nxn x =.记2n n y x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.且()e cos n y n n f y y ==()()22e cos 2e n x n n n x n n N πππ---∈=.由()()20e 1n n f y f y π-==„及(Ⅰ)得150n y y ….由(2)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<=⎪⎝⎭„.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…，故： ()()()2e 2n n n n n f y y g y g y ππ---=-„()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--„. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点.（1）写出1C 参数方程和2C 普通方程；（2）求AB 最大值和最小值.【解析】（1）由题意可得1C的参数方程为：2cos ,,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），又∵210cos 240ρρθ-+=，且222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴2C 的普通方程为2210240x y x +-+=，即()2251x y -+=.（2）由（1）得，设()2cos Aαα，圆2C 的圆心()5,0M ，16则||AM ===[]cos 1,1α∈-，∴当1cos 2α=-时，max ||AM = 当cos 1α=时，min ||3AM =.当1cos 2α=-时，max max ||||11AB AM =+=；当cos 1α=时，min min ||||12AB AM =-=.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈.（1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）不等式()()f x g x a <+即24x x -<+，两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-，所以原不等式的解集为()1,-+∞.（2）不等式()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++，又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<，所以a 的取值范围为()2,3-.。
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填空题综合练训练17 综合(一)
1．若集合M ＝{y |y ＝3－x }，P ＝{y |y ＝(3x －3)12}，则M
∩P ＝________. 2．不等式t 2
－2at ≥0对所有a ∈[－1,1]都成立，则t 的取值范围是________．
3．若sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值是________． 4．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1
在x ＝1处取极值，则a ＝________. 5．△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则a cos C ＋c cos A ＝________.
6．在等比数列{a n }中，a 5＋a 6＝a (a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26＝________.
7．椭圆x 225＋y 29
＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则ON ＝________. 8．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z
＋z 2＝________. 9．阅读下边的流程图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是________．
10.有下列四个命题：
①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；
②命题p ：∀x ∈R ，x 2>x ＋1的否定是綈p ：∃x ∈R ，x 2
>x ＋1；
③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”的否命题．
其中真命题的序号是________． 11．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，5x －y －10≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．
12．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取________名学生．
13．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种．(结果用数值表示)
14．设随机变量ξ的概率分布列是P (ξ＝k )＝c
2k ，k ＝1,2,3,4,5,6，其中c 是常数，则P (ξ≤2)的值是________．
答案
1．{y |y >0} 2．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞) 3．－12 4．3 5．b 6.b 2a
7．4 8．1＋I 9．2 550,2 500 10．①③ 11．11 12．40 13．7 14.1621。