非线性电路与混沌讲解
非线性电路与混沌实验报告
非线性电路与混沌实验报告非线性电路与混沌实验报告引言非线性电路与混沌是现代电子学与控制理论中的重要研究领域。
混沌现象的出现使得我们对于系统的行为有了更深入的理解，并且在通信、密码学、图像处理等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍我们进行的非线性电路与混沌实验，并对实验结果进行分析和讨论。
实验背景非线性电路是指电流和电压之间的关系不遵循线性规律的电路。
而混沌是指一种看似无序的、无法预测的动态行为。
非线性电路中的混沌现象是由于系统的非线性特性导致的，通过合适的电路设计和参数调节，可以实现混沌现象的产生和控制。
实验目的本实验的目的是通过设计和搭建非线性电路，观察和分析混沌现象的产生和特性。
我们希望通过实验验证混沌现象的存在，并进一步了解混沌现象对于系统的影响和应用。
实验装置我们使用了一块实验板和一些基本的电子元器件，如电阻、电容和二极管等。
通过搭建电路并连接到示波器，我们可以观察到电路的输出波形，并进一步分析和研究电路的行为。
实验过程我们首先设计了一个基于二极管的非线性电路。
通过合理选择电阻和电容的数值，我们成功地实现了混沌现象的产生。
接下来，我们调节了电路的参数，观察到了混沌现象的不同特性。
我们记录了电路输出的波形，并进行了数据分析和处理。
实验结果实验结果表明，我们所设计的非线性电路确实产生了混沌现象。
通过观察示波器上的波形，我们可以看到波形呈现出复杂的、无规律的变化。
通过进一步的分析，我们发现电路的输出呈现出分形特性，即具有自相似的结构。
这一结果与混沌现象的特性相吻合。
讨论与分析通过实验，我们进一步了解了非线性电路与混沌现象之间的关系。
非线性电路的设计和参数调节对于混沌现象的产生和控制起着重要的作用。
混沌现象的存在使得系统的行为变得复杂且难以预测，这对于某些应用来说可能是不利的，但在其他领域中却可以发挥重要作用。
例如，在密码学中，混沌信号可以用于加密和解密，提高信息的安全性。
结论通过本次实验，我们成功地设计和搭建了一个非线性电路，并观察到了混沌现象的产生和特性。
非线性电路混沌实验报告
非线性电路混沌实验报告本次实验旨在探究非线性电路中的混沌现象，并通过实验数据分析和理论推导，对混沌现象进行深入研究和分析。
本文将从实验目的、实验原理、实验装置、实验步骤、实验结果和分析、实验结论等方面进行详细介绍。
实验目的。
1. 了解非线性电路中混沌现象的产生原理；2. 掌握混沌电路的基本工作原理；3. 通过实验数据分析，验证混沌电路的混沌特性。
实验原理。
混沌电路是一种非线性系统，其混沌现象来源于系统的非线性特性和反馈作用。
在非线性电路中，由于电压和电流的非线性关系，使得系统的输出信号呈现出复杂的、不可预测的混沌运动。
混沌电路的混沌特性通常表现为系统的输出信号呈现出周期性、随机性和规律性交织的运动状态。
实验装置。
本次实验所需的主要仪器设备有，信号发生器、示波器、混沌电路实验板、电压表等。
实验步骤。
1. 将混沌电路实验板连接至信号发生器和示波器，并进行电路连接和参数设置；2. 调节信号发生器的频率和幅值，观察示波器上的波形变化；3. 记录实验数据，包括电路参数设置、示波器波形图、混沌电路输出信号的特性等。
实验结果和分析。
通过实验数据的记录和分析，我们观察到混沌电路在不同频率和幅值下的输出信号呈现出复杂的、随机的波形变化。
在一定范围内，混沌电路的输出信号表现出周期性、随机性和规律性交织的混沌特性，这与混沌电路的非线性特性和反馈作用密切相关。
实验结论。
通过本次实验，我们深入了解了非线性电路中的混沌现象及其产生原理。
混沌电路的混沌特性表现为系统的输出信号呈现出周期性、随机性和规律性交织的运动状态，这为非线性系统的混沌现象提供了重要的实验验证和理论分析依据。
结语。
通过本次实验，我们对非线性电路中的混沌现象有了更深入的理解，同时也掌握了混沌电路的基本工作原理和实验方法。
混沌现象的研究不仅有助于深化对非线性系统的理解，还对信息处理、通信系统和混沌密码学等领域具有重要的理论和应用价值。
希望本次实验能为相关领域的研究和应用提供一定的参考和借鉴。
非线性动力学及其在混沌理论中的应用
非线性动力学及其在混沌理论中的应用非线性动力学是研究非线性系统中的动力学行为的学科，它对于揭示自然界复杂系统的行为规律具有重要意义。
混沌理论作为非线性动力学的一个分支，研究的是那些受微小扰动即可产生极其不可预测的结果的系统。
本文将介绍非线性动力学的基本概念和原理，并探讨其在混沌理论中的应用。
一、非线性动力学的基本概念非线性动力学研究的是系统中非线性元素的行为。
与线性动力学不同，非线性动力学中系统的响应不仅仅取决于外部激励，还会受到系统内部相互作用的影响。
非线性动力学系统的演化可以表现出多样的行为，如周期运动、混沌运动等。
二、非线性动力学的基本原理非线性动力学的基本原理包括相空间、吸引子、分岔等概念。
1. 相空间相空间是描述系统状态的一个概念，其中每个可能的状态由相应的坐标表示。
系统的演化可以在相空间中表示为点的轨迹，这些点随着时间的推移不断移动。
2. 吸引子吸引子是描述系统演化趋势的一个概念，它可以是一个固定点、一个周期轨道或者一个奇异吸引子。
吸引子描述的是系统的稳定性和有序性程度。
3. 分岔分岔是非线性动力学中常见的现象，它描述的是系统参数变化时系统行为的突变。
分岔可以导致周期轨道的出现或消失，是系统从有序到混乱的过渡。
三、混沌理论与非线性动力学的关系混沌理论是非线性动力学的一个重要分支，它研究的是那些对初条件极其敏感的系统。
混沌系统在理论上表现为无序的、不可预测的行为，但却具有确定性的动力学规律。
在混沌系统中，微小的扰动可以引发系统演化的巨大变化，这是由于系统的敏感依赖于初始条件的特性导致的。
混沌系统通常具有吸引子的特点，但吸引子的性质与传统的周期吸引子不同，它通常是奇异的、分形的结构。
非线性动力学在混沌理论中的应用是为了理解和描述混沌系统的行为规律。
通过建立适当的非线性动力学模型，可以研究混沌系统的演化过程，并揭示其中的规律性。
非线性动力学的方法和技术为分析和预测混沌系统的行为提供了有效的工具。
非线性电路中的混沌现象实验理解与思考_研究性实验报告
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北航基础物理实验研究性报告
观察双吸引子的时候，注意它是丌断变化不跳跃的。这正是丌稳定不稳定的共存体，是混沌 现象存在的体现不意丿。 2．测量有源非线性电阷的伏安特性幵画出伏安特性图
北航基础物理实验研究性报告
非线性电路中的混沌现象实验理解与思考
摘要
本实验共分为 4 部分 第一部分为实验原理的阐述，基于对于实验原理的理解和讨论，介绍了混沌 现象的发现与完善，及本小组对于混沌现象的深入体会和理解。 第二部分为实验操作过程介绍，介绍了实验过程中详细的操作流程，和本 小组在做实验过程中的经验与总结。 第三部分为实验原始数据的处理，是在原有数据处理上的加深与全面分析。 第四部分即对于本实验的理论层面深入讨论与分析，是小组成员深入思考与 讨论的结果。
3.50E-03
3.00E-03
2.50E-03
2.00E-03
1.50E-03
1.00E-03
5.00E-04
0.00E+00
-2
0
将曲线关于原点对称可得到非线性负阷在 U>0 区间的 I-U 曲线：
I-V图（线性回归）
5.00E-03
I/A
4.00E-03
3.00E-03
2.00E-03
1.00E-03
（1）一倍周期：
一倍周期 （2）两倍周期：
Vc1-t
两倍周期 （3）四倍周期：
Vc1-t
四倍周期 （4）单吸引子：
Vc1-t
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北航基础物理实验研究性报告
非线性电路的应用——混沌电路
非线性电路的应用——混沌电路摘要本文给出了一种含有由两个运算放大器组成的非线性负电阻的蔡氏混沌电路，如图一所示。
利用非线性电阻电路，设计了如图二所示的非线性伏安特性曲线。
图二即为在示波器中得到的伏安特性曲线。
在实现图二的伏安特性曲线的基础上，设计了图三所示的混沌电路。
使用示波器，连续改变混沌电路的敏感参数（如图中的可变电阻由2K欧姆逐渐减小到零），得到了各种情况下的涡旋现象，得到双涡旋到大极限环变化时的参数，从理论分析与仿真实验两个角度分别研究蔡氏电路的混沌行为，研究结果表明在相同的混沌行为预期下，仿真实验与理论分析结论十分吻合，仿真实验能准确地观测到混沌吸引子的行为特征．通过利用Mutisim7.0进行仿真，观察到由直流平衡态经周期倍增分岔到Hopf分岔形成类似于Rossler吸引子，然后再过渡到双涡卷状的蔡氏吸引子大极限环的全过程。
关键词蔡氏电路；非线性伏安特性曲线；Mutisim7.0仿真；双涡卷混沌吸引子；倍周期分岔引言蔡式电路是美国贝克莱大学的蔡少棠教授设计的能产生混沌行为的最简的一种自治电路。
该典型电路并不唯一。
蔡式电路在非线性系统及混沌研究中，占有极为严重的地位。
许多非线性动力系统的特性曲线不是跟踪简单、有规则和可预测的轨线，而是围绕像随机且似乎不规则但是明确的形式滑动。
只要有关的过程是非线性的，甚至简单的严格确定性的模型可能发展这样复杂的行为。
这行为被理解或接受为混沌，而且它已经导致非线性科学和动力系统工程的惊人发展。
混沌理论是近年来国际上兴起的新理论，它广泛应用于电路系统，并具有很强的抽象性，不容易被接受．本文通过对一种含由两个运算放大器组成的非线性电阻的RLC电路混沌现象实验分析，让人们从感性上更加清晰地了解混沌现象产生的机理，熟悉混沌现象产生的条件，掌握电路中混沌状态的基本规律，使人们对电路中的混沌现象具有更具体、更形象的认识。
正文电路中存在混沌现象已经是在理论和实验中证明了的不争的事实。
非线性电阻电路-混沌电路
非线性电阻电路-混沌电路姓名：陈文河学号. 0858210103班级：08582101指导老师：孙建红非线性电阻电路•混沌电路摘要：混沌的研究是20世纪物理学的重人事件。
混沌的研究表明，即使是非常简单的确定系统，由于自身的非线性作用，同样具有内在的随机性。
本文首先简略地介绍了混沌的基本概念,及其相关定义，概述了混沌运动的基本特征和混沌运动的判别方法。
利用非线性电阻的特性来设计混沌电路，然后通il Multisim 10.0软件来进行仿真计算，观察混沌现象。
分析结果衣明所谓混沌是指确定的非线性动力学系统中出现的貌似无规的类随机现象，此时系统运动轨道的时间行为对初始条件具有敏感性形成敏感参数，从而其长期行为变得混乱而无法预测，而整个系统长期行为的全局特征又与初始条件无关这种局部局域的不稳定性和整体上的稳定性必使它具有许多奇特性质。
混沌运动产生了层次和结构，混沌并不是真正意义上的无序和混乱，它是一种非周期的有序运动。
关键词：混沌，敏感参数，非线性电阻lo引言混沌(chaos)的英文意思是混乱的，无序的。
自1963年洛伦兹(E.N.Lorenz) 从三维自洽动力学系统中发现混沌以来，混沌动力学已迅速成为内容极为丰富，应用非常广泛的研究领域，它的概念和和方法逐步应用到自然科学，工程技术和社会科学的许多领域，并对于开阔和深化人们对自然界的认识起着越来越重要的作用。
混沌学揭示：世界是确定的，必然的，有序的，但同时又是随机的，偶然的，无序的。
有序运动会产生无序，无序的运动又包含着更高层次的有序，现实世界就是确定性和随机性，必然性和偶然性，有序性和无序性的辩证统一。
2. 实验目的2.1) 了解混沌现象的一些基本概念:混沌的定义，特征等。
2.2) 对设计电路进行调试，在示波器上观察相图中的倍周期分岔及混沌，奇怪吸引子等。
2.3) 测量有源非线性电阻的伏安特性。
3. 实验原理3.1非线性电路与非线性动力学实验电路如图1所示。
非线性电路中的混沌现象11011079
非线性电路中的混沌现象实验指导及操作说明书北航实验物理中心2013-03-09教师提示：混沌实验简单，模块化操作，但内容较多，需要课前认真预习。
5.2 非线性电路中的混沌现象二十多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了对客观世界的认识。
许多人认为混沌的发现是继上世纪相对论与量子力学以来的第三次物理学革命。
目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通讯、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。
混沌（chaos）作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。
理论和实验都证实，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特性。
混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，本实验设计一种简单的非线性电路，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵发混沌和奇导吸引子等现象。
实验要求对非线性电路的电阻进行伏安特性的测量，以此研究混沌现象产生的原因，并通过对出现倍周期分岔时实验电路中参数的测定，实现对费根鲍姆常数的测量，认识倍周期分岔及该现象的普适常数 费根鲍姆（Feigenbaum）常数、奇异吸引子、阵发混沌等非线性系统的共同形态和特征。
此外，通过电感的测量和混沌现象的观察，还可以巩固对串联谐振电路的认识和示波器的使用。
5.2.1 实验要求1．实验重点①了解和认识混沌现象及其产生的机理；初步了解倍周期分岔、阵发混沌和奇异吸引子等现象。
②掌握用串联谐振电路测量电感的方法。
③了解非线性电阻的特性，并掌握一种测量非线性电阻伏安特性的方法。
熟悉基本热学仪器的使用，认识热波、加强对波动理论的理解。
④通过粗测费根鲍姆常数，加深对非线性系统步入混沌的通有特性的认识。
了解用计算机实现实验系统控制和数据记录处理的特点。
2．预习要点（1）用振幅法和相位法测电感①按已知的数据信息（L～20mh，r～10Ω，C0见现场测试盒提供的数据）估算电路的共振频率f。
非线性电路研究混沌现象
一、实验目的1．了解混沌的一些基本概念；2．测量有源非线性电阻的伏安特性；3．通过研究一个简单的非线性电路，了解混沌现象和产生混沌的原因。
二、实验原理实验所用电路原理图如图3.7-1所示。
电路中电感L 和电容C 1、C 2并联构成一个振荡电路。
R 是一有源非线性负阻元件，电感L 和电容器C 2组成一损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R 和电容器C 1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
电路的非线性动力学方程如式（3.7-1）所示2121212d d )(d d )(d d 112C L C C C C L C C C U ti L gU U U G tU C i U U G tU C -=--=+-= （3.7－1）RL图3.7-1 电路原理图 图3.7-2 非线性元件R 的U - I 特性 这里，U C1、U C2是电容C 1、C 2上的电压，i L 是电感L 上的电流，G = 1/R 0是电导，g 为R 的伏安特性函数。
如果R 是线性的，g 是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数。
电阻R 0的作用是调节C 1 和C 2的位相差，把C 1 和C 2两端的电压分别输入到示波器的x ，y 轴，则显示的图形是椭圆。
如果R 是非线性的，它的伏安特性如图3.7-2所示，由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而此元件称为非线性负阻元件。
本实验所用的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
若用计算机编程进行数值计算，当取适当电路参数时，可在显示屏上观察到模拟实验的混沌现象。
除了计算机数学模拟方法之外，更直接的方法是用示波器来观察混沌现象，实验电路如图3.7-3所示。
图中，非线性电阻是电路的关键，它是通过一个双运算放大器和六个电阻组合来实现的。
电路中，LC 并联构成振荡电路，R 0的作用是分相，使A ，B 两处输入示波器的信号产生位相差，可得到x ，y 两个信号的合成图形。
双运放TL082的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值R 3 /R 0，R 6/R 0有关，负反馈的强弱与比值R 2/R 1，R 5 /R 4有关．当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能维持振荡。
非线性电路混沌现象研究
混沌的产生
混沌的产生
奇异吸引子
英国的海岸线地图
自然界中的分形
山
星 云
星
云
天空中的云朵 植物的叶子
毛细血管分布
视乳头旁毛细血管瘤 视网膜中央动脉颞上支阻塞
河流分布图
自然界中的分形
• 股票价格曲线 • 岩石裂缝 • 金属损伤裂缝 • 道路分布 • 神经末梢的分布 …………
3、当代科学对混沌的研究（主要研究通向 混沌的途径）。
后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次 输入中间数据时将原来的0.506127省略为 0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是 非线性的，非线性方程不同于线性方程， 线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性 方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条 件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。 由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预 报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象 的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会 在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这 就是蝴蝶效应。
• 逻辑斯蒂映射的形式为
xn1 axn (1 xn )
• 以参数a为横坐标、以x的稳定定态 (stable steady states)为纵坐标作图， 得到1、图2等。从图中可以看出开始是 周期加倍分岔(也称周期倍化分岔或周期 倍分岔)，然后是混沌，混沌区中又有周 期窗口。窗口放大后又可见到同样结构 的一套东西。此 所谓无穷自相似结构。
⑴倍周期分岔进入混沌 一个系统，在一定条件下，经过周期加倍，会逐步 丧失周期行为而进入混沌。例如，一个非线性电子电路 （混沌仪），当我们观察它的输出交变电压随输入电压 大小的改变而变化的规律时，可以发现：开始输入电压 较低时，输出电压的频率与输入电压的频率一样，而随 着输入电压的增加，输出电压的频率经过二分频（具有 输入频率及其1/2频率，共两个频率）、四分频、八分 频……，最后进入混沌（具有各种各样频率的输出电 压）。这就是倍周期分岔进入的混沌，是一种典型的非 平衡过程产生的混沌。
北航基础物理实验之【非线性电路中的混沌现象】
非线性电路中的混沌现象一：数据处理：1．计算电感L本实验采用相位测量。
根据RLC 谐振规律，当输入激励的频率LCf π21=时，RLC 串联电路将达到谐振，L 和C 的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。
测量得：f=32.8kHz ；实验仪器标示：C=1.095nF 由此可得：mH C f L 50.21)108.32(10095.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估算不确定度： 估计u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 则：32222106.7)()(4)(-⨯=+=C C u f f u L L u 即mH L u 16.0)(=最终结果：mH L u L )2.05.21()(±=+2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理： （1）原始数据：（2）数据处理：根据RU I RR=可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11由此可得对应的1R I 值。
对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I ，U ）实验点均标注在坐标平面上，可得：图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。
故我们在V U 8.912≤≤-、8V .1U 9.8-≤<-、0V U 1.8≤<-这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 曲线。
使用Excel 的Linest 函数可以求出这三段的线性回归方程：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12- 20.02453093-0.002032U I经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V 线性符合得较好。
实验48 非线性电路中混沌现象的研究
第4章基础实验25 实验4.8 非线性电路中混沌现象的研究现代科学技术研究发现，非线性是真实世界的普遍特性，非线性问题大量出现在自然科学、社会科学和工程科学中，并起着重要的作用。
混沌的研究是20世纪物理学的重大事件，在现代非线性理论中，混沌是泛指在确定体系中出现的貌似无规律的、随机的运动。
混沌运动的基本特征是确定性中包含的非周期性和不可预测性，以及对初值的敏感性等。
混沌的研究表明，一个完全确定的系统，即使非常简单，由于自身的非线性作用，同样具有内在的随机性。
绝大多数非线性动力学系统，既有周期运动，又有混沌运动，而混沌既不是具有周期性和对称性的有序，又不是绝对的无序，而是可用奇怪吸引子来描述的复杂的有序，混沌是非周期的有序性。
以下我们用级联倍周期分岔的方式接近混沌，从一个简单的实验中去观察非线性的现象，并尝试着得到一些重要结论。
【实验目的及要求】1．学习有源非线性电阻的伏安特性。
2．通过研究一个简单的非线性电路，了解混沌现象和产生混沌的原因。
3．学会自己设计和制作一个实用电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。
【提供的主要器材】NCE-Ⅱ型非线性电路混沌实验仪、双踪示波器、铁氧介质电感、自备器件。
【实验预备知识】1．了解混沌起源混沌理论是一门对复杂系统现象进行整体性研究的科学。
我国科学家钱学森称混沌是宏观无序、微观有序的现象。
混沌理论的创立，将非线性系统表现的随机性和系统内部的决定性机制巧妙地结合起来。
20世纪60年代，麻省理工学院的气象学家洛伦兹在计算机上进行天气模拟演算。
他当时用的计算机，储存数据的容量是小数点后六位数字，但是在打印输出数据时，为了节省纸张，只输出小数点后三位数字。
而洛伦兹在给第二次计算输入初始条件的时候，只输入了小数点后的三位，与精确的数据有不到0.1%的误差。
就是这个原本应该忽略不计的误差，使最终的结果大相径庭，如图4-20所示。
1963年，洛伦兹在美国《气象学报》上发表了题为“确定性的非周期流”的论文，提出了在确定性系统中的非周期现象。
非线性电路的混沌现象
非线性电路的混沌现象1、引言混沌理论（ChaosTheory）是架起确定论和概率论两大理论体系之间的桥梁，与相对论、量子力学一起被称为20世纪物理学的三大科学革命。
混沌研究最先起源于1963年洛伦兹（E.Lorenz）研究天气预报时用到的三个动力学方程，后来又从数学和实验上得到证实。
混沌来自非线性，是非线性系统中存在的一种普遍现象。
无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨、但实际是非周期有序运动，即混沌现象。
近年来，混沌现象及其应用已成为通讯工程、电子工程、生物工程、经济学等领域中的一个研究热点。
由于电学量（如电压、电流）易于观察和显示，因此非线性电路逐渐成为混沌及混沌同步应用的重要途径，其中最典型的电路是美国加州大学伯克利分校的蔡少棠教授1985年提出的著名的蔡氏电路（Chua’sCircuit）。
蔡氏电路是能产生混沌行为的最简单的自治电路，是至今所知唯一的混沌实际物理系统，已被希尔尼柯夫定理严格证明存在混沌现象。
就实验而言，可用示波器观察到电路混沌产生的全过程，并能得到双涡卷混沌吸引子，有兴趣的读者不妨亲自搭试电路，实际观测一番。
2、蔡氏电路图1就是讨论非线性电路系统的一种简单而又经典的电路———蔡氏电路，它是由两个线性电容C1和C2、一个线性电感L、一个可变线性电阻R0和一个非线性电阻R构成。
电感L和电容C2并联构成振荡电路，线性电阻R0的作用是分相。
非线性电阻R的伏安特性iR=g（uR），是一个分段线性的负电阻，如图2所示，整体呈现对称但非线性。
负阻是出现混沌的原因，其特性至少可用三种方法来实现：两个晶体管和两个二极管;一个运算放大器和两个二极管;一个双运算放大器和六个线性电阻组合。
图1电路中有3个状态变量uC1，uC2和uL，电路的非线性动力学状态方程为：式中：uC1，uC2和iL分别表示C1、C2两端的电压，L中的电流。
非线性电路混沌现象研究-讲义2010-09
非线性电路混沌现象研究【实验目的】1.了解有源非线性负阻元件的伏安特性；2.通过研究一个简单的非线性电路，了解混沌现象和产生混沌的原因。
【实验设备】双踪示波器COS5020，NCE-2型非线性混沌实验仪，万用表，电阻箱。
【实验原理】1、非线性电路与非线性动力学实验电路如图3所示，图3中电感器L1电容器C1构成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R1和电容器C2串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
R2是一个有源非线性负阻器件，该电阻的伏安特性曲线如图4所示。
可以看出加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
2、有源非线性负阻元件的实现有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路，采用两个运算放大器和六个电阻来实现，其电路如图5所示，实验所要研究的是该非线性元件对整个电路的影响，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。
实际非线性混沌实验电路如图5所示：J 1(CH 1)J 2(CH 2) 图3 图4图1双踪示波器 图2非线性混沌实验仪【实验内容一】1、用双踪示波器观测 LC 振荡器产生的波形Y 及经 RC 移相后的波形X 。
2、用双踪示波器观测上述两个波形组成的相图(李萨如图), 记录波形图。
3、改变RC 移相器中W1、W2的阻值，观测相图周期的变化，观测倍周期分岔，阵发混沌，吸引子和双吸引子现象，分析混沌产生的原因。
【实验步骤】1. 按图5所示电路接线，将电容C 1，C 2上的电压输入到示波器的X ，Y 轴，以观测二个正弦波构成的李萨如图。
2. 调节Ｗ１和W2的大小，观察并描绘相图周期的分岔混沌现象。
【注意事项】1. 双运算放大器的正负极不能接反，地线与电源接地点必须接触良好；2. 关掉电源以后，才能拆实验板上的接线；3. 预热１０分钟以后再开始测数据。
【实验内容二】用计算机迭代求解方程211n n x kx +=-，k 的取值范围为（0－2），迭代求解的方法是，对一个k 值，任意设定x 0 ，由上述方程可得到x 1 ，由x 1可得到x 2，如此求解下去．你会发现对某些k 值，可得到一个稳定的解，即一倍周期，某些k 值，解在两个数值间跳跃，即二倍周期，还会有四倍周期、八倍周期……直至无穷周期到混沌．尝试画出k —x 图，并分析．(x 可取迭代500次以后的值)。
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验讲解
图3非线性电路原理图图4非线性负阻器件R的伏安曲线图3电路的非线性动力学方程为:
11211( dVc C G Vc Vc gVc dt
=--
2212( L dVc C G Vc Vc i dt
=-+ 2Vc dt
di L L -=式中,导纳12V V G R R =+, 1C V和2C V分别表示加在1C和2C上的电压, L i表示流过电感器L的电流, g表示非线性电阻R的导纳。
1(x kx x -→
其中k是0和4之间的常数。迭代这映射,我们得离散动力学系统
1(1n n n x kx x -=+ , 0=n , 1, 2„
我们发现:①当k小于3时,无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k大于3时,随着k的增大出现分岔,迭代结果在两个不同数值之间交替出现,称之为周期2循环; k继续增大会出现4, 8, 16, 32„周期倍化级联; ③很快k在58. 3左右就结束了周期倍增,迭代结果出现混沌,从而无周期可言。④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感,细微的初值差异会导致结果巨大区别,常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。⑤迭代结果不会超出0~1的范围称为奇怪吸引子。
图5图6
图7实际非线性混沌电路图
非线性电路混沌
非线性电路混沌一、实验内容：1．了解混沌的一些基本概念；2．测量有源非线性电阻的伏安特性；3．通过研究一个简单的非线性电路，了解混沌现象和产生混沌的原因。
二、实验仪器：电源，非线性混沌电路板，数字万用表，非线性电阻，电容、电感和电阻箱，双踪示波器等。
三、实验原理：实验电路原理图如图1所示。
电路中的R是非线性元件，是一个分段线性的电阻，整体呈现出非线性。
它的伏安特性如图2所示。
RL图1 电路原理图 图2 非线性元件R 的U - I 特性 电路的非线性动力学方程为：其中U C1、U C2是电容C 1、C 2上的电压，i L 是电感L 上的电流，G =1/R 0是电导，g 为R 的伏安特性函数。
如果R 是线性的，g 是常数。
实验电路如图3所示。
L 图3 实验电路四、实验步骤：1．倍周期现象的观察、记录按图3连好线路。
将电容C 1，C 2上的电压输入到示波器的X （CH1），Y （CH2）轴，先把R 0调到最小，示波器屏上可观察到一条直线，调节R 0，直线变成椭圆。
增大示波器UI(mA)的倍率，反向微调R 0，可见曲线作倍周期变化，曲线由一周期（P ）增为二周期(2P)，由二周期倍增至四周(4P)。
记录2P 、4P 倍周期时的相图及相应的CH1、CH2输出波形图。
2. 单吸引子和双吸引子的观察、记录在步骤1的基础上，继续调节R 0直至出现一系列难以计数的无首尾的环状曲线，这是一个单涡旋吸引子集。
再细微调节R 0，单吸引子突然变成了双吸引子，只见环状曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃，这就是混沌研究文献中所描述的“蝴蝶”图像，也是一种奇怪吸引子，它的特点是整体上的稳定性和局域上的不稳定性同时存在。
记录单吸引子和双吸引子的相图相应的CH1、CH2输出波形图。
3. 周期性窗口的观察、记录仔细调节R 0，有时原先的混沌吸引子不是倍周期变化，却突然出现了一个三周期图像，再微调R 0，又出现混沌吸引子，这一现象称为出现了周期性窗口。
非线性电路与混沌讲解共34页文档
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
非线性电路与混沌讲解
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
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混沌运动的主要特征
初值敏感性
长期行为的不可预见性
（例：洛仑兹的天气模型）
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看两条轨道是如何分道扬镳的 （初值分别为0.506，0.506127）
倍周期分岔
解释倍周期分岔现象，我们从混沌描述中最重要的的一维 非线性迭代方程式入手。这类方程中最有典型意义的是虫口方程。
xn1 xn (1 xn )
生命的整体性，包括： （1）时间上整体，即生命活动的高度有序性；
（2）空间上整体，即生命结构和物质相互作用、相互影响形成网 络状整体。如形态上，人体结构和功能混沌调节机制（如免疫网 络调控、心脏、肺、肠的分形结构学原理，心电的混沌产生与心 脏普肯野氏纤维分形分布联系等等。在物质信号相互作用的动力 学研究上，其相互作用不仅仅是激活、失活或抑制、促进这一简 单的关系，而应包括复杂的数学过程，这种复杂的数学过程应是 非线性的，很可能符合混沌原理。这一现象至今尚未有人意识到 这一点，但将来肯定会的！当然，想彻底了解生命意义，这条路 还很长很长。Biblioteka 实验原理GL
C2
C1
R
R 有源非线性负阻元件, G 电导，C1和C2 电容。
各区域的作用：黄色区： 产生振荡，蓝色区： 移相， 粉色 区：有源非线性元件。 下一页
～
有源非线性元件的电压、电流特性：
I
0
V
上图是一个非线性负阻的电压电流特性曲线，它的 实现方法有许多种，本实验使用的是Kennedy于1993年提 出的方法。它采用了两个运算放大器和六个配置电阻来 实现的。由于我们主要研究的是元件的外部效应，即电 路两端的电压和流过其电流的关系，因此我们可以把上 述元件看成是一个黑匣子即—有源非线性负阻。 下一页
在数学上把天气(气候)预报问题提成初值问题，即用 动力学的方法进行预报，从认识论上讲就是把大气看成是确 定论的系统，这在较短的时间尺度内是行得通的，而在时间 较长的时候却是有问题的，主要是大气运动是非线性、强迫 和耗散的。由这三大特点，可以得到一幅这样的图像：误差 是随着时间呈指数增加的，初始场的作用随着时间是衰减的， 必须考虑能量的补充和耗散。Lorenz发现了“蝴蝶效应”， 指的就是初始场微小的不确定性的指数放大。这就提出了确 定论预报的可预报性问题，中期数值天气预报逐日预报的可 预报时限大约是两三周左右的时间。 也就是说进行长期预报是不可能的。
非线性电路与混沌
—— 目 录 ——
一、引言 二、混沌的发现 三、混沌运动的主要特征
四、倍周期分叉、阵发混沌和奇怪吸引子
五、实验原理、仪器介绍、内容和现象 六、混沌和现代科学
引言
非线性特性才是自然界的基本特 性和本质存在 混沌学揭示的随机性存在于确定 性之中的这一科学事实，最有力的 说明客观实体可以兼有确定性和随 机性。
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倍周期分岔图
阵发混沌
系统的运动在某些时间段落，十分接近周期过程， 而在规则的运动段落之间，夹杂着看起来很随机 的跳跃---系统时而处于周期过程，时而处于非周
期过程，呈现出“阵发”行为。
奇怪吸引子
耗散系统其相体积要收缩，相空间的轨道经过足够长的时间 后都要收缩到有限区域---吸引子，如前面所讲的不动点，周 期解。它们是普通意义上的吸引子，是稳定的。
混沌在其他学科的应用
①天体运行的长期行为不可预测； ②电路中的混沌现象；非线性系统的控制； ③利用分形研究物质结构及性能；
在生物学中的应用
混沌在生物学研究中的应用主要集中在生态学中的种群变 化；医学诊断疾病等方面。
这也许是最后的生命图景。从还原---综合还原高度整合。 生命不仅是空间结构的范畴，更是时间的范畴，千千万万种物质 的时空组合和演变，构成复杂而完美的动态生命体，将生命与非 生命区分开来。如何解决生命的本质，很多科学家认为应从多角 度入手，不仅仅是生物学的问题，而是一项系统工程，即未来的 生命科学，必需包含有数学成分。研究人体这一复杂系统，混沌 学、甚至弦论都不可少，只有将这些能研究复杂体系的数理方法 融入医学生物学才能带来真正意义上的生命科学的突破。因为生 命的最基本本质是具有时空性、混沌性。 下一页
混沌现象的发现
公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家， 物理学家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别 是在研究三体问题时发现混沌的。他发现三体引 力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力 学方程的某些解有不可预见性。他在《科学的价 值》一书中写道：“初始条件的微小差别在最后 的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促 成了后者的巨大误差，于是预言变的不可能了”。 这些描述实际上已经蕴涵了“确定性系统具有内 在的随机性”这一混沌现象的重要特征。
LC组成的 振荡电路
有源非线 性电阻
实验内容
1. 通过调节电位器W1（粗调）和W2（细调），在示 波器上观察倍周期分岔、周期三、单双吸引子的相图， 并在坐标纸上描图。 2.换上可调电感，通过调节电感来观察各种相图。 3.有源非线性电阻伏安特性的测量。
4.对分段线性进行拟合，计算斜率。
实验现象的观察一
在经济学中的应用
像自然界的所有领域一样，在经济领域同样存在着混沌 现象。南美洲热带雨林中的彩蝶轻展双翅，北美大草原竟掀起 了一场风暴，这是极言世界复杂性的蝴蝶效应。对此，美国赛 纳尔公司（Cerner，纽约证交所代码CERN)首席执行官尼尔· 帕 特森对此有刻骨铭心的认识。就因为他向公司400名中层经理发 出的一份电子邮件竟让公司市值在短短三天时间内猛烈下跌了 两成，逾3亿美元蒸发殆尽。类似的事情在经济学领域中数不胜 数。由此而应运而生了经济混沌和经济波动的非线性动力学理 论。 下一页
在气象学中的应用
早在1904年，挪威气象学家Bjerknes就提出天气预报 问题应提成大气运动方程组的初值问题。在近年的气象研 究中，利用混沌进行中期预报的研究。由于气候系统是非 线性系统，其初值问题的数值解是不确定的，研究气候状 态的特征就要研究混沌态的特征，研究气候系统的演变机 制就要研究混沌态的变化。在这些研究中使用的数学工具 主要是分形理论，如分数维、李亚普诺夫指数、标度指数 和功率谱指数等。利用这些数学方法分别考察、分析气候 状态特征量随控制变量的变化。 下一页
虽然混沌现象的理论和实验研究在物理学、化学、生 物学、天体物理、气象学以及神经生理学等广泛领域获得重 要进展，但在经济学中遇到严重困难。济活动是人的行为， 动力学系统的时间尺度和观察者相近。所以经济主体和经济 结构随时间的演变难以忽略。时间序列的非稳态性质使目前 常用的稳态时间序列分析方法难以应用。这是为什么经济混 沌的研究比自然科学更为困难。 目前的研究主要为宏观经济运动，因为发达国家的市 场经济周期的观察积累了大量数据(Zarnowitz, 1992)。在各种 代表性的美国宏观经济指数中发现经济混沌的普遍证据 (Chen 1996a,b)。由于目前中国的经济统计数据的收集和整理 还不够充分，例证主要取之于美国的数据。但其可能的应用 对中国问题同样有潜在的可能。
周期一
周期二
实验现象的观察二
周期四
周期五
实验现象的观察三
周期三
单吸引子
实验现象的观察四
阵 发 混 沌
混沌和现代科学
今日科学认为混沌无处不在。过去的科学研究忽视了大自 然的不规则的、不连续的、稀奇古怪的一面，把它们认为是偶 然的现象，而弃置一旁。当人们在实验中看到了古怪变化的数 字，或者是不要这些数字，或是说这是干扰、噪声，甚至认为 是实验的失败。长久以来，人们已无数次地见到了混沌，但是 视而不见。 现代混沌学家们在广泛的科学领域内寻找混沌，抓住那些 无法解释的“噪声”，捉住那些出人意外的“涨落”，专门注 意那 些“规则与不规则的混合”，从这类紊乱复杂的现象中去发现 规 律。
混沌在现代科技领域的应用举例
在通信领域的使用 在气象学中的应用 在生物学中的应用 在经济学中的应用 混沌在其他学科的应用
在通信领域的使用
通信在我们的生活中的作用越来越重要,尤其是电子商务 的兴起，对保密通信提出了更高的要求。利用混沌进行保密 通信是现在十分热门的研究课题。混沌信号最本质的特征是 对初始条件极为敏感，并导致了混沌信号的类随机特性。用 它作为载波调制出来的信号当然也具有类随机特性。因而， 调制混沌信号即使被敌方截获，也很难被破译，这就为混沌 应用于保密通信提供了有利条件。因此利用混沌进行保密通 信是目前十分热门的研究课题。混沌信号最本质的特征是对 初始条件极为敏感，并由此信号又具有整体稳定性,当我们用 同一个混沌信号去驱动两个相同的系统时，两个系统的某些 部分将产生同步化的行为，这就为混沌应用于保密通信提供 了可行性。
奇怪吸引子：系统的状态进入相应吸引域内，运动轨道都会
向吸引子会聚，但是，一切到达吸引子后的轨道由于其对初 始条件的敏感依赖性又会急剧的分离、发散，但仍要一直处 在吸引域的界限之内---轨道相互缠绕，来回穿行，永不相交。
例：洛仑兹吸引子
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dx px py dt dy xz rx y dt dz xy b z dt
3
现在，让参数再增大，当=3.449时，周期二解 也变的不稳定了，取而代之的是稳定的周期四解。当 参数继续增大，使得=3.544时，周期四解又变的不稳 定了，取而代之的是稳定的周期八解。一直迭代下去， 还会出现周期十六、周期三十二等等。这就是著名的 倍周期分岔现象。 值得注意的是，周期倍增过程没有限制，可以一 直这样分下去，但对应的值却有一个极限,，到达 ,时，迭代的稳定解是2 周期解---周期无穷大，也就 是没有周期。所以这时得到的是非周期解，迭代的数 据到处乱跑，无法把握，系统进入混沌状态。 倍周期分岔产生的混沌，在心脏生理学方面有潜 在的应用价值。心律不齐，心肌梗塞这些医学难题， 有可能找到正确的答案。
例如： 当= 时，0.7是周期一点。现用0.669去 迭代，就会出现周期二。迭代情况如下：
1 3 3
0.669---0.738---0.644---0.764---0.601---0.799--0.545---0.829---0.472---0.830---0.469---0.830--0.470---0.830---0.470…… 下一页