初三数学等腰三角形
中考数学——等腰三角形问题解题思路与攻略
中考数学——等腰三角形问题解题思路与攻略等腰三角形是中考数学中常见的一个题型，掌握解题思路和攻略对于中考数学的顺利通过非常重要。
本文将介绍等腰三角形问题的解题思路和攻略，希望能帮助同学们更好地应对这类问题。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指两条边相等的三角形，其性质有以下几点：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（底边所对的角）相等。
2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（顶边所对的角）平分底边。
二、解题思路解等腰三角形问题的关键在于利用等腰三角形的性质，找到已知条件和需要求解的未知量之间的关系。
下面将介绍几种常见的解题思路。
1. 使用底角性质解题：如果已知等腰三角形的两个底角相等，可以利用这一性质来解题。
通过已知条件和底角性质，可以建立方程或找到相应的关系式，从而求解未知量。
2. 利用顶角平分底边性质解题：如果已知等腰三角形的顶角平分底边，可以利用这一性质来解题。
可以通过已知条件和顶角平分底边性质，建立方程或找到相应的关系式，进而求解未知量。
3. 利用勾股定理解题：有时候，等腰三角形问题中可能会涉及到与直角三角形相关的内容。
此时，可以尝试利用勾股定理和等腰三角形的性质进行解题。
三、解题攻略除了解题思路外，下面还列举了一些常见的解题攻略，帮助同学们更好地解决等腰三角形问题。
1. 注意题目中给出的条件：在解题时，要仔细阅读题目，将已知条件和需要求解的未知量提取出来，明确问题的要求。
2. 利用图形性质：画图是解决等腰三角形问题的有效方法之一。
合理利用等腰三角形的性质和图形的特点，可以更好地理解和解决问题。
3. 运用代数方法：当图形给出的信息较少或者不便于直接利用几何性质时，可以尝试使用代数方法，建立方程或者列举可能的条件，以求解未知量。
4. 反证法解题：有时候，可以运用反证法来解决等腰三角形问题。
假设某个结论不成立，通过推理推导出矛盾，从而得出正确结论。
四、总结通过上述的解题思路和攻略，相信同学们对于中考数学中的等腰三角形问题能够有更清晰的认识和更高的解题能力。
中考数学考点20等腰三角形总复习(原卷版)
等腰三角形【命题趋势】在中考中.等腰三角形常以选择题和填空题的形式考查；也经常在解答题中结合二次函数考查；等边三角形常以选择题、填空题和解答题考查.经常与圆综合题作为考查。
【中考考查重点】一、等腰三角形二、等边三角形考点一：等腰三角形的性质与判定1．（2021秋•绥棱县期末）有两边相等的三角形的两边长为4cm.5cm.则它的周长为（）A．8cm B．14cm C．13cm D．14cm或13cm 2．（2021秋•延边州期末）如图.在△ABC中.AD是角平分线.且AD＝AC.若∠BAC＝60°.则∠B的度数是（）A．45°B．50°C．52°D．58°3．（2021秋•和平区校级期中）如图.∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F.过F作DE ∥BC.交AB于点D.交AC于点E.BD＝3cm.EC＝2cm.则DE＝5cm．4．（2021秋•龙凤区校级期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°.那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．50°或130°B．130°C．80°D．50°或80°性质1.等腰三角形的两个底角度数相等2.等腰三角形的顶角平分线.底边上的中线.底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）3.等腰三角形是轴对称图形.有2条对称轴判定1.有两条边相等的三角形的等腰三角形2.有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式.其中a是底边常.hs是底边上的高5．（2021•淄博）如图.在△ABC中.∠ABC的平分线交AC于点D.过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°.∠C＝40°.求∠BDE的度数．6．（2021秋•临江市期末）如图.在△ABC中.AB＝AC.点D、E、F分别在AB、BC、AC 边上.且BE＝CF.BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时.求∠DEF的度数．7．（2020秋•呼和浩特期末）如图.点O是等边△ABC内一点.D是△ABC外的一点.∠AOB＝110°.∠BOC＝α.△BOC≌△ADC.∠OCD＝60°.连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时.试判断△AOD的形状.并说明理由；（3）探究：当α为多少度时.△AOD是等腰三角形．考点二： 等边三角形的性质与判定8．（2021秋•浦城县期中）△ABC 是等边三角形.点P 在△ABC 内.P A ＝4.将△P AB 绕点A 逆时针旋转得到△P 1AC .则P 1P 的长等于（ ）A ．4B ．C ．2D ．9．（2020秋•紫阳县期末）如图.在等腰△ABC 中.AB ＝AC .点E 为AC 的中点.延长BC 到点D .使得CD ＝CE ．延长DE 交AB 于点F .若∠A ＝60°.EF ＝4cm .则DF 的长为（ ）性质1. 三条边相等2. 三个内角相等.且每个内角都等于60°3. 等边三角形是轴对称图形.有3条对称轴判定1. 三条边都相等的三角形是等边三角形2. 三个角相等的三角形是等边三角形3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式 是等边三角形的边长.h 是任意边上的高A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 10．（2021春•张店区期末）如图.P是等边三角形ABC内的一点.且P A＝3.PB＝4.PC＝5.以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BP A.连接PQ.则以下结论错误的是（）A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°11．（2020秋•河东区期中）如图.点M.N分别在正三角形ABC的BC.CA边上.且BM＝CN.AM.BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．1．（2021秋•九龙坡区期中）如图.在△ABC中.AB＝AC.点D为边AC上一点.且AD＝BD.∠A＝40°.则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．如图.为了让电线杆垂直于地面.工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC.当固定点B.C到杆脚E的距离相等.且B.E.C在同一直线上时.电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．等角对等边C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”3．（2021秋•九台区期末）如图.已知△ABC的面积为24.AB＝AC＝8.点D为BC边上一点.过点D分别作DE⊥AB于E.DF⊥AC于F.若DF＝2DE.则DF长为（）A．4B．5C．6D．85．（2021秋•天河区期末）如图所示的正方形网格中.网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点.如果C也是图中的格点.且使得△ABC为等腰三角形.则点C的个数是（）A．6个B．7个C．8个D．9个5．（2021秋•南安市期末）如图：D为△ABC内一点.CD平分∠ACB.BD⊥CD.∠A ＝∠ABD.若BD＝1.BC＝3.则AC的长为（）A．5B．4C．3D．26．（2021•滨州）如图.在△ABC中.点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC.∠BAD＝44°.则∠C的大小为．7．（2019•重庆）如图.在△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°.求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上.EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．8．（2021秋•长春期末）如图.在等边△ABC中.点D在边BC上.过点D作DE∥AB交AC于点E.过点E作EF⊥DE.交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．9．（2020秋•淮南期末）已知.在等边三角形ABC中.点E在AB上.点D在CB的延长线上.且ED＝EC．（1）【特殊情况.探索结论】如图1.当点E为AB的中点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发.解答题目】如图2.当点E为AB边上任意一点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论.AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下.过点E作EF∥BC.交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论.设计新题】在等边三角形ABC中.点E在直线AB上.点D在线段CB的延长线上.且ED＝EC.若△ABC的边长为1.AE＝2.求CD的长（请你画出相应图形.并直接写出结果）．1．（2021•赤峰）如图.AB∥CD.点E在线段BC上.CD＝CE．若∠ABC＝30°.则∠D的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．30°2．（2021•青海）已知a.b是等腰三角形的两边长.且a.b满足+（2a+3b﹣13）2＝0.则此等腰三角形的周长为（）A．8B．6或8C．7D．7或8 3．（2021•广西）如图.⊙O的半径OB为4.OC⊥AB于点D.∠BAC＝30°.则OD的长是（）A．B．C．2D．3 4．（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为2.则它的边长为（）A．2B．3C．4D．4 5．（2021•康巴什一模）如图所示.已知m∥n.等边△ABC的顶点B在直线n上.∠1＝25°.则∠2的度数是（）A．25°B．35°C．45°D．55°6．（2021•荆门一模）如图.△ABC是等边三角形.△BCD是等腰三角形.且BD＝CD.过点D作AB的平行线交AC于点E.若AB＝8.DE＝6.则BD的长为（）A．6B．C．D．7．（2021•丹东模拟）如图.△ABC是等边三角形.AD是BC边上的中线.点E在AD上.且DE＝BC.则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°8．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的△DEF的周长是．9．（2019•哈尔滨）如图.在四边形ABCD中.AB＝AD.BC＝DC.∠A＝60°.点E为AD边上一点.连接BD、CE.CE与BD交于点F.且CE∥AB.若AB＝8.CE＝6.则BC的长为．10．（2021•朝阳）如图.在平面直角坐标系中.点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.过点M作MN∥x轴.点P在射线MN上.若△MAP为等腰三角形.则点P的坐标为．1.（2021•贵港模拟）如图.在△ABC中.AB＝BC.∠A＝36°.AB的垂直平分线DE交AB于点D.交AC于点E.若AB＝10.则CE的长为（）A．5B．8C．10D．10 2．（2021•西湖区二模）如图.在△ABC中.点D在边BC上.且满足AB＝AD＝DC.过点D 作DE⊥AD.交AC于点E．设∠BAD＝α.∠CAD＝β.∠CDE＝γ.则（）A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°3．（2021•陕西模拟）如图.△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D.DE⊥AB于点E.BF⊥AC 于点F.DE＝2.则BF的长为（）A．3B．4C．5D．6 4．（2021•西陵区模拟）如图.已知Rt△OAB.∠OAB＝50°.∠AOB＝90°.O点与坐标系原点重合.若点P在x轴上.且△APB是等腰三角形.则点P的坐标可能有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2021•成都模拟）如图.把一张长方形纸片沿对角线折叠.若△EDF是等腰三角形.则∠BDC＝（）A．45°B．60°C．67.5°D．75°6．（2021•中山区一模）如图.直线m∥n.点A在直线m上.点B、C在直线n上.AB＝CB.∠1＝70°.则∠BAC等于（）A．40°B．55°C．70°D．110°7．（2021•饶平县校级模拟）如图.在△ABC中.AB＝6.AC＝4.∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N.则△AMN的周长为（）A．12B．10C．8D．不确定8．（2021•商河县校级模拟）如图.△ABC的面积为8cm2.AP垂直∠B的平分线BP于P.则△PBC的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2 9．（2021•甘谷县一模）如图.已知：∠MON＝30°.点A1.A2.A3……在射线ON上.点B1.B2.B3……在射线OM上.△A1B1A2.△A2B2A3.△A3B3A4……均为等边三角形.若OA1＝1.则△A7B7A8的边长为（）A．64B．32C．16D．128 10．（2021•蔡甸区二模）如图.△ABC中.点D在BC边上.且∠ADB＝90°∠CAD．（1）求证：AD＝AC；（2）点E在AB边上.连接CE交AD于点F.且∠CFD＝∠CAB.AE＝BD.①求∠ABC的度数；②若AB＝8.DF＝2AF.直接写出EF的长．。
九年级数学备考 等腰三角形
第20课等腰三角形〖知识点〗等腰三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形、等边三角形的性质和判定、轴对称、轴对称图形〖大纲要求〗1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等性质，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形等判定定理，并能运用它们进行简单的证明和计算；2．理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的各角都是60°等性质，掌握三个角都相等的三角形或一个角是60°的等腰三角形都是等边三角形等判定，能运用它们进行简单的证明和计算；3．了解轴对称及轴对称图形的概念，会判断轴对称图形。
〖考查重点与常见题型〗等腰三角形和等边三角形的性质和判定的应用，证明线段、角相等，求线段的长度、角的度数，中考题中多以选择题、填空题为主，有时也考中档解答题，如：（1）如果，等腰三角形的一个外角是125°，则底角为度；（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形〖预习练习〗1．一个正三角形的边长为a，它的高是（）（A） 3 （B）32（C）12（D）342．如果等腰三角形一腰长为8，底边长为10，那么连结这个三角形各边的中点所成的三角形各边的中点形成的三角形的周长为（）（A）26 （B）14 （C）13 （D）93．等腰直角三角形的一条直角边为1cm，则斜边上的高为4．若等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则腰上的高为5．已知等腰三角形的一边等于4cm，一边等于9cm，那么它的周长等于cm6．等腰三角形的底边长为3，周长为11，则一腰长为7．等腰三角形的周长为2＋ 3 ，腰长为1，底角等于度8．已知如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC的中点，求证：△DEM是等腰三角形考点训练1．等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是（）（A）15 （B）15或7 （C）7 （D）11 2．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝75°，则∠A的度数为（）（A）30°（B）40°（C）45 °（D）60°3．等腰△ABC的顶角∠A＝15°，P是△ABC内部的一点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC的度数为（）（A）100°（B）130°（C）115 °（D）140°4．等腰三角形的对称轴有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）1条或3条5．在△ABC中，AB＝AC，用∠A表示∠B，则∠B＝6．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，则图中的等腰三角形有个，它们是7．如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则∠C＝，∠BDE＝，AE＝；若△BDC周长为24，CD＝4，则BC＝，△ABD的周长为，△ABC的周长为8．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，则此三角形的底边长为9．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。
初中数学 等腰三角形有哪些全等性质
初中数学等腰三角形有哪些全等性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两条边被称为腰，而第三条边被称为底边。
等腰三角形的顶角和底角也是相等的。
等腰三角形的全等性质是指两个等腰三角形在边长和角度上完全相等，即它们的对应边长和对应角度都相等。
下面我们将详细解释等腰三角形的全等性质：1. 全等边性质：如果两个等腰三角形的两条腰的边长相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B' 且AC = A'C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。
2. 全等角性质：如果两个等腰三角形的顶角和底角相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，∠B = ∠B' 且∠C = ∠C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。
3. 全等边角边性质：如果两个等腰三角形的一对腰的边长和对应的顶角相等，且底边长度也相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B'，∠B = ∠B'，AC = A'C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。
4. 全等边边边性质：如果两个等腰三角形的三条边的边长都相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B'，BC = B'C'，AC = A'C'，那么三角形ABC 和三角形A'B'C'是全等的。
通过这些全等性质，我们可以判断两个等腰三角形是否全等，以及在已知一些边长和角度的情况下，计算出其他未知的边长和角度。
这些全等性质也为解决与等腰三角形相关的几何问题提供了依据。
在应用中，我们可以利用等腰三角形的全等性质来证明几何定理、解决几何问题，或者进行构造等腰三角形的操作。
中考数学复习考点知识与题型专题讲解23 等腰三角形
中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题22等腰三角形【知识要点】等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。
等腰三角形性质：1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
（三线合一）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。
它是特殊的等腰三角形。
等边三角形性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（补充：（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线【考查题型】考查题型一等腰三角形的定义【解题思路】考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．典例1．（2021·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（）A．9B．17或22C．17D．22变式1-1．（2021·广西玉林市·中考真题）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形变式1-2．（2021·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A．55°，55°B．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°变式1-3．（2021·湖南张家界市·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A ．2B ．4C ．8D ．2或4考查题型二 根据等边对等角求角度典例2．（2021·广西中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 与⊙O 相切于点A ，连接OA ，OB ，若∠O ＝130°，则∠BAC 的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°变式2-1．（2021·甘肃兰州市·中考真题）如图，//AB CD ，AD CD =，165∠=︒，则2∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒变式2-2．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒变式2-3．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°考查题型三根据三线合一求解典例3．（2021·广东深圳市·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（）A．2B．3C．4D．5变式3-1．（2021·铜仁市·中考真题）已知等边三角形一边上的高为）A．2B．3C．4D．变式3-2．（2021·四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P 为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（）A．2B．﹣2C．+2D．考查题型四格点中画等腰三角形典例4在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（）A．4B．6C．8D．10变式4-1．（2021·山东枣庄市一模）如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）A．2个B．3个C．4个D．5个变式4-2．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考查题型五根据等角对等边证明等腰三角形典例5．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（）A．∠A=50°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=100°C．∠A+∠B=90°D．∠A+12∠B=90°变式5-1．（2021·无锡市模拟）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50°B．∠A=2∠B=70°C．∠A=40°，∠B=70°D．AB=3，BC=6，周长为14变式5-2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，DE 经过点O，且DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于D、E，则图中等腰三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5考查题型六 根据等角对等边求边长典例6．（2021·山东青岛市·中考真题）如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（）A C ．．变式6-1．（2021·山东济宁市·中考真题）一条船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B 处．灯塔C 在海岛在海岛A 的北偏西42°方向上，在海岛B 的北偏西84°方向上．则海岛B 到灯塔C 的距离是（）A ．15海里B ．20海里C ．30海里D ．60海里变式6-2．（2021·河北九年级其他模拟）如图，在▱ABCD 中，AB ＝8，BC ＝5，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD 、AB 于点P 、Q ，再分别以P 、Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在∠DAB 内交于点M ，连接AM 并延长交CD 于点E ，则CE 的长为（ ）A ．3B ．5C ．2D ．6.5考查题型七 等腰三角形性质与判定的综合典例7．（2021·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在△ABD 中，BA ＝BD ．在BD 的延长线上取点E ，C ，作△AEC ，使EA ＝EC ，若∠BAE ＝90°，∠B ＝45°，求∠DAC 的度数．答案：∠DAC ＝45°思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B ＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B ＝45°”去掉，再将“∠BAE ＝90°”改为“∠BAE ＝n °”，其余条件不变，求∠DAC 的度数．变式7-1．（2021·江苏淮安市·中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得30CAB ∠=︒，45ABC ∠=︒，8AC =千米，求A 、B 两点间的距离．（参考数据： 1.4≈，1.7≈，结果精确到1千米）．变式7-2．（2021·辽宁鞍山市·中考真题）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN 为立柱的一部分，灯臂AC ，支架BC 与立柱MN 分别交于A ，B 两点，灯臂AC 与支架BC 交于点C ，已知60MAC ∠=︒，15ACB ∠=︒，40cm AC =，求支架BC 的长．（结果精确到1cm ，参考1.414≈ 1.732≈2.449≈）考查题型八 等边三角形的性质典例8．（2021·福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF ∆的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．14变式8-1．（2021·山西中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到12AC BD cm ==，C ，D 两点之间的距离为4cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（）A ．280cm πB ．240cm πC ．224cm πD ．22cm π变式8-2．（2021·甘肃天水市·中考真题）如图，等边OAB 的边长为2，则点B 的坐标为()1,1B．C．D．A．()考查题型九等边三角形的性质与判定的综合典例9．（2021·内蒙古中考真题）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东45︒方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了到达B地，发现电视塔P在他北偏东75︒方向，然后他由B地向北偏东15︒方向骑行了6km到达C地．（1）求A地与电视塔P的距离；（2）求C地与电视塔P的距离．变式9-1．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B'，点C的对应点为点C'．连接BB'；∠AB B＝°．②在①中所画图形中，'（2）（问题解决）如图2，在Rt ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE ，连接DE ，求∠ADE 的度数．（3）（拓展延伸）如图3，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，∠BAE ＝∠ADC ，BE ＝CE ＝1，CD ＝3，AD ＝kAB （k 为常数），求BD 的长（用含k 的式子表示）．考查题型十 含30°角的直角三角形典例10．（2021·海南中考真题）如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cmCD ．变式10-1．（2021·湖北中考真题）如图，点,,,A B C D 在O 上，OA BC ⊥，垂足为E ．若30ADC ∠=︒，1AE =，则BC =（ ）A ．2B ．4C ．11 / 11 变式10-2．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（）A．(1,2-+ B．() C．(2+D．(-。
初三数学等腰三角形知识精讲
初三数学等腰三角形知识精讲一. . 本周教学内容：本周教学内容：等腰三角形等腰三角形例例1. 1. 已知：如图，∠已知：如图，∠已知：如图，∠ABC ABC ABC，∠，∠，∠ACB ACB 的平分线交于F ，过F 作DE DE∥∥BC BC，交，交AB 于D ，交AC 于E 。
求证：求证：求证：BD BD BD＋＋EC EC＝＝DE DE。
分析：因为DE DE＝＝DF DF＋＋FE FE，即结论为，即结论为BD BD＋＋EC EC＝＝DF DF＋＋FE FE，分别证明，分别证明BD BD＝＝DF DF，，CE CE＝＝FE 即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。
证明：∵DE DE∥∥BC BC，， ∴∠∴∠∴∠33＝∠＝∠22（两直线平行，内错角相等） 又∵又∵又∵BF BF 平分∠平分∠ABC ABC ∴∠∴∠∴∠11＝∠＝∠2 2 ∴∠∴∠∴∠11＝∠＝∠3 3 ∴∴DB DB＝＝DF DF（等角对等边）（等角对等边） 同理：同理：同理：EF EF EF＝＝CE CE，， ∴∴BD BD＋＋EC EC＝＝DF DF＋＋EF 即即BD BD＋＋EC EC＝＝DE DE。
例例2. 2. 如图，如图，如图，C C 是线段AB 上的一点，△上的一点，△ACD ACD 和△和△BCE BCE 是等边三角形，是等边三角形，AE AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O 。
求证：求证：（1）∠）∠AOB AOB AOB＝＝120120°；°；（（2）CM CM＝＝CN CN；； （（3）MN MN∥∥AB AB。
分析：要证明∠要证明∠AOB AOB AOB＝＝120120°，充分利用等边三角形的每个内角是°，充分利用等边三角形的每个内角是6060°的性质，由于∠°的性质，由于∠°的性质，由于∠AOB AOB 是△是△AOD AOD 的一个外角，则∠的一个外角，则∠AOB AOB AOB＝∠＝∠＝∠11＋∠＋∠ADM ADM ADM＋∠＋∠＋∠22，只须证∠，只须证∠11＋∠＋∠22＝6060°即可，考虑到∠°即可，考虑到∠°即可，考虑到∠11＋∠3＝6060°，故着手证明∠°，故着手证明∠°，故着手证明∠22＝∠＝∠33。
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。
一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。
2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。
（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。
初中数学等腰三角形定理公式
初中数学等腰三角形定理公式等腰三角形定理是初中数学中一个非常重要的概念，它是指具有两边长度相等的三角形。
等腰三角形有很多有趣的性质和公式，下面我们就来具体探讨一下。
1.等腰三角形的定义：等腰三角形是指具有两个边长度相等的三角形。
在等腰三角形ABC中，如果AB=AC，则称三角形ABC是等腰三角形，且BC称为等腰边，∠B=∠C称为底角，而∠A称为顶角。
2.等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的底角相等：在等腰三角形ABC中，∠B=∠C，即等腰三角形的两个底角相等。
(2)等腰三角形的顶角是底角的一半：在等腰三角形ABC中，顶角∠A是底角∠B的一半，即∠A=1/2∠B。
(3)等腰三角形的高线和底边是垂直的：在等腰三角形ABC中，高线AD和底边BC垂直，即AD⊥BC。
(4)等腰三角形的高线也是中线和角平分线：在等腰三角形ABC中，高线AD既是底边BC的中线，也是底角∠B和∠C的角平分线。
3.等腰三角形的周长和面积：(1)等腰三角形的周长等于两边和底边的和：在等腰三角形ABC中，周长P=AB+AC+BC。
(2)等腰三角形的面积可以用高线和底边的乘积的一半表示：在等腰三角形ABC中，面积S=1/2×AD×BC。
4.等腰三角形的角平分线和中线：(1)等腰三角形的底角的角平分线也是高线：在等腰三角形ABC中，底角∠B的角平分线也是高线。
(2)等腰三角形的角平分线和中线重合：在等腰三角形ABC中，底边BC的中线也是底角∠B的角平分线。
(3)等腰三角形的底角和顶角的角平分线重合：在等腰三角形ABC中，底角∠B和顶角∠A的角平分线重合。
5.等腰三角形的一些特殊性质：(1)等腰三角形的高线也是垂直平分线：在等腰三角形ABC中，高线AD也是底边BC的垂直平分线。
(2)两条高线互相垂直：在等腰三角形ABC中，高线AD和高线BE互相垂直，并且交于顶点O。
(3)等腰三角形的高线和底边上每个点的连线等于底边的一半：在等腰三角形ABC中，连接高线上的任意一点D与底边C和B，有BD=CD=1/2BC。
初中数学 等腰三角形和垂直平分线
等腰三角形和垂直平分线模块一等腰三角形1．等腰三角形等腰三角形解释定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边．性质（1）两腰相等、两底角相等．（2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形．（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形．2．等边三角形和等腰直角三角形等边三角形等腰直角三角形1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形．2．性质：三边都相等，三角都是60︒．3．判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是90︒的三角形叫做等腰直角三角形．2．性质：两个底角为45︒．3．判定：有一个角是90︒的等腰三角形是等腰直角三角形．模块二垂直平分线垂直平分线解释示例定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线．如图，若AC BC=，AB CD⊥，则直线DE就是线段AB的垂直平分线．性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．如图，已知直线DE是线段AB的垂直平分线，则DA DB=．A BDCEADCEB判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．如图，若DA DB=，则点D在线段AB的垂直平分线上．（1）（2015—2016年七育周练）等腰三角形的一边长为10，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长是__________．（2）等腰三角形的一边长为6cm，且周长为16cm，则这个三角形的底边为_________．（3）等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则该三角形底角的度数为__________．（4）等腰三角形一个角为30︒，则这个三角形腰上的高与底边所夹角的度数为_____．（5）等腰三角形一腰上的中线将三角形的的周长分为两部分，分别是12与15，则腰长为__________．【解析】（1）24；（2）4cm或6cm；（3）30︒或80︒；（4）30︒或15︒；（5）①12315a ba+=⎧⎨=⎩；=57ab⎧⎨=⎩，腰长为10；②31215aa b=⎧⎨+=⎩；=411ab⎧⎨=⎩，腰长为8．【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的定义，腰或底角不确定．（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，则这个等腰三角形的顶角为______．（2）已知BD是等腰ABC△一腰上的高，且50ABD∠=︒，则ABC△的底角为_______．【解析】（1）45︒或135︒（提示：等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形）；（2）20︒或40︒或70︒；EDC BA2abaaaab2a模块一等腰三角形例题1例题2若ABC △为钝角三角形时，A ∠为顶角时，三内角大小为140︒，20︒，20︒； 若ABC △为钝角三角形时，A ∠为底角时，三内角大小为100︒，40︒，40︒； 若ABC △为锐角三角形时，A ∠为顶角，三内角大小为40︒，70︒，70︒．【教师备课提示】这道题主要考查分类讨论，锐角等腰和钝角等腰．（1）如图3-1，在第1个1ABA △中，20B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得在第2个12A CA △中，121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得在第3个23A DA △中，232A A A D =；……，按此做法进行下去，第n 个三角形中以n A 为顶点的内角的度数为_____________．（2）如图3-2的钢架中，焊上13根钢条来加固钢架．若1223131414AP PP P P P P P A =====，则C 的度数是___________．图3-1 图3-2【解析】（1）1602n︒；（2）12︒． 【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的性质结合外角倒角找规律．（1）如图4-1，ABC △中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且BD CF =，BE CD =，G 是EF 的中点，求证：DG EF ⊥.（2）（14—15年嘉祥期末）如图4-2，在ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，BM AN =，点D 是BC 的中点，连接AD ． ①求证：AD BD =；②求证：DM DN =，且DM DN ⊥．图4-1 图4-2A n A 4A 3A 2A 1EDCB AP 14P 13P 12P 11P 10P 9P 8P 7P 6P 5P 4P 3P 2P 1A例题3例题4A MBCNA B E GFD C【解析】（1）连接ED、DF，AB AC=，B C∴∠=∠，在EDB△和DFC△中BD CFB CBE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)EDB DFC∴△△≌，DE DF∴=，G是EF的中点，∴DG EF⊥．（2）①AB AC=，90BAC∠=︒，45B C∴∠=∠=︒点D是BC的中点，1452BAD BAC∴∠=∠=︒，AD BD∴=，②由①知45DAN∠=︒在ADN△和BDM△中AN BMDAN DBMAD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ADN BDM∴△△≌，DM DN∴=，MDB NDA∠=∠，90ADB∠=︒，DM DN∴⊥．【教师备课提示】这两道小题主要考查等腰三角形三线合一的性质结合全等．（1）如图，ABC△中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：ABC△是等腰三角形．（2）如图，ABC△中，AD是BAC∠的角平分线，AD是BC边上的高，求证：ABC△是等腰三角形．（3）如图，ABC△中，AD是BAC∠的角平分线，AD是BC边上的中线，求证：ABC△是等腰三角形．【解析】（1）AD为BC中垂线，所以AB AC=，所以ABC△是等腰三角形（2）ABD△和ACD△中，D CBAFEDCBA 例题5ABEG FD C∴ABD ACD △≌△，∴AB AC =， ∴ABC △是等腰三角形（3）过点D 作DF AC ⊥于点F ，作DE AB ⊥于点E ，∵AD 是BAC ∠的角平分线，DF AC ⊥，DE AB ⊥，∴DE DF =， ∵AD 为中线，∴ADB ADC S S =△△，∵，，∴，∴ABC △是等腰三角形．【教师备课提示】这道题主要考查三线合一的性质倒过来推等腰三角形．（1）如图6-1，P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF ⊥BC 于点F ，AD BC ⊥于点D ，求证：PE PF AD +=．（2）如图6-2，如果P 为等腰三角形ABC 的底边BA 延长线上的任意一点，其余条件保持不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；不成立，请求出PE ，PF 和AD 三边满足的关系．（3）如果P 为等腰三角形ABC 的底边AB 延长线上的任意一点，请直接写出PE ，PF 和AD 三边满足的关系．（4）如图6-3，如果ABC △是等边三角形，点P 为三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系，并说明理由．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）连接CP ．∵APC BPC ABC S S S ∆∆∆+=， 即111222AC EP BC PF BC AD ⋅+⋅=⋅， 而AC BC =，∴PE PF AD +=；（2）连接CP ，由CPB CPA CAB S S S ∆∆∆-=，=90BAD CAD AD ADADB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠︒⎩12ADB S AB DE =⋅⋅△12ADC S AC DF =⋅⋅△AB AC =AB CE D PF ABCEDP F AB CDEG PF 例题6得：111222BC PF AC PE BC AD⋅-⋅=⋅又∵AC BC=，∴PF PE AD-=；（3）PE PF AD-=；（4）连接CP、AP、BP，∴APC PBC APB ABCS S S S∆∆∆∆++=，∴11112222AC EP BC PF AB PG BC AD⋅+⋅+⋅=⋅，而AC BC AB==，∴EP FP GP AD++=．【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的一个常见题型，面积法．（1）如图7-1，AB AC=，54A∠=︒，DE垂直平分AB交AC于E，垂足为D，ABC△周长为28cm，8cmBC=，则BCE△的周长为__________，EBC∠=__________．（2）如图7-2，ABC△的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若150BAC DAE∠+∠=︒，则BAC∠的度数为___________．图7-1 图7-2【解析】（1）18cm，9︒；（2）110︒．【教师备课提示】这道题主要考查垂直平分线的性质．A BCEDPFA BCEDPFA BCDEGPFCBEDAHFEDCBA模块二垂直平分线例题7（1）如图8-1，已知：在ABC △中，22.5B ∠=︒，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF AC ⊥于F ，交BC 边上的高于G ．求证：EG EC =．（2）如图8-2，ABC △中，AB AC =，54BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将C ∠沿EFCE 在BC 上，F 在AC 上折叠，点C 与点O 恰好重合，则OEC∠为____________．【解析】（1）连接AD ，∵D 为AB 的垂直平分线上一点，∴DA DB =，22.5B ∠=︒，∴22.5BAD B ∠=∠=︒， ∴45ADE ∠=︒，AE BC ⊥，∴45DAE ADE ∠=∠=︒， ∴AE DE =，DF AC ⊥，90FDC C ∴∠+∠=︒， 又∵90EAC C ∠+∠=︒，∴EAC EDG ∠=∠， 在EDG △和EAC △中 EAC EDG ED EAAEC DEG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)EDG EAC ∴△≌△，∴EG EC =．（2）如图，连接OB 、OC ， ∵54BAC ∠=︒，AO 为BAC ∠的平分线，∴11542722BAO BAC ∠=∠=⨯︒=︒，又∵AB AC =，∴11(180)(18054)6322ABC BAC ∠=︒-∠=︒-︒=︒,∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA OB =，∴27ABO BAO ∠=∠=︒， ∴632736OBC ABC ABO ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线，∴点O 是ABC △的外心，∴OB OC =，∴36OCB OBC ∠=∠=︒，∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE CE =，∴36COE OCB ∠=∠=︒，在OCE △中，1801803636108OEC COE OCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．GF EDCBA例题8 ABCDEF G BA OF CEB A O FC E证明：三角形三边的垂直平分线交于一点．【解析】如图，在ABC△中，设AB、AC的垂直平分线相交于点O，连接OA、OB、OC，由垂直平分线的性质可知：OA OB=，OA OC=，∴OB OC=，∴点O在BC的垂直平分线上，∴三角形三边的垂直平分线交于一点．（1）已知一个等腰三角形的两条边分别为3cm和4cm，则这个三角形的周长为______．（2）等腰三角形的一个外角为100︒，则顶角为__________．（3）等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为6和12两部分，则腰长为________．（4）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，则这个等腰三角形的底角为______．【解析】（1）10cm或11cm；（2）20︒或80︒；（3）8；（4）65︒或25︒．（1）（武侯区期末）如图，在下列三角形中，若AB AC=，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个AB C①AB C②③④364590108AB CAB C例题9复习巩固模块一等腰三角形演练1演练2OCBA（2）如图，AOB ∠是一个钢架，且10AOB ∠=︒，为了使钢架更加牢固，需要在内部添加一些钢管EF 、FG 、GH 、HI ，且有OE EF FG GH HI ====，则IHB ∠=__________．（3）如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE AD =，则EDC ∠=（ ）度． A ．30 B ．20 C ．25 D ．15【解析】（1）C ；（2）50︒；（3）D ． 【解析】【解析】如图，在ABC △中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE CF =，BD CE =． （1）求证：DEF △是等腰三角形； （2）当40A ∠=︒时，求DEF ∠的度数．【解析】（1）AB AC =，B C ∴∠=∠，在EDB △和FEC △中： BE CF B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ (SAS)EDB FEC ∴△△≌，DE EF ∴=，DEF ∴△是等腰三角形． （2）40A ∠=︒，70B C ∴∠=∠=︒，110EFC FEC ∴∠+∠=︒，由（1）知EFC DEB ∠=∠，110DEB FEC ∴∠+∠=︒，70DEF ∴∠=︒．（1）如图4-1：已知等边ABC △中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE CD =，DM BC ⊥，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．（2）如图4-2，等边三角形ABC 中，E ，D 分别在AC ，BC 上，且AE DC =，求AD 与BE 所夹锐角的度数．图4-1 图4-2【解析】（1）连接BD ，演练3演练4PDA B C EO EF H B AGIA BCD EA BCEFDB A M E D∵ABC△为等边三角形，D为AC中点，∴1302DBC ABC∠=∠=︒，∵CD CE=，∴CDE E∠=∠，又∵等边ABC△中60ACB∠=︒，∴160302E∠=⨯︒=︒,∴CBD E∠=∠，∴BD ED=，又∵DM BE⊥，∴M为BE中点．（2）60︒．（1）（15年育才期末）如图5-1，在ABC△中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若ADC△的周长为7cm，2cmAC=，则BC的长为（）．A．4cm B．5cm C．3cm D．以上答案都不对（2）（15年嘉祥半期）如图5-2，50ABC∠=︒，AD垂直平分线段BC于点D，ABC∠的平分线BE交AD于点E，连接EC，则AEC∠的度数是______________．图5-1 图5-2【解析】（1）B；（2）115︒．如图，在ABC△中，D为BC中点，DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E，EF AB⊥于F，EG AC⊥的延长线于G．求证：BF CG=．模块二垂直平分线演练5演练6BAM C EDAEB D CAB CDEABFD CGEABFD CGE笔 记 区【解析】连接BE 、CE ．DE 垂直平分BC ，BE CE ∴=， AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，EG AC ⊥， EF EG ∴=，又90BFE CGE ∠=∠=︒， Rt Rt (HL)BEF CEG ∴△≌△， BF CG ∴=．。
初中数学13.3.1等腰三角形
角的形两叫条做边等叫腰做三腰角，形。
另一条边叫做底边.
腰
腰
底
角：等腰三角形中,两腰
的夹角叫做顶角，腰和底 边的夹角叫做底角.
顶角
腰
腰
底角 底
理解定义
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长
是
10 cm
；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,
A
① ∠BAD =∠CAD，② AD ⊥ BC，③ BD = CD 中已知任意一个都可以得其它两个条件.
B
D
C
性质应用
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个 角为__7_5_°_ , 30°__；
⒉等腰三角形一个角为70°,°__,5_5_°_；
则它的周长是 10 cm 或 11 cm
；
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,
则它的周长是 19 cm
。
重合的线段 AB＝AC BD＝CD AD＝AD
重合的角
∠B ＝ ∠C.
A
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
大胆猜想
B
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 为__3_5_°__,35°__。
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
⌒
x
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD
（等边对等角)
D
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
初中数学 如何计算等腰三角形的中线
初中数学如何计算等腰三角形的中线计算等腰三角形的中线一、等腰三角形的定义等腰三角形是指两边长度相等的三角形，其中两条相等的边称为腰，不相等的边称为底边。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角（底边所对的角）两边相等。
2. 等腰三角形的顶角（顶点所对的角）两边相等。
3. 等腰三角形的两个底角相等。
4. 等腰三角形的两个顶角相等。
三、等腰三角形的中线的计算方法在等腰三角形中，中线是从底边上某一点向对腰上点的一条线段，它可以将底边分成两个相等的部分，并且与对腰的长度相等。
计算等腰三角形的中线有以下两种常用的方法：1. 通过勾股定理计算根据勾股定理，我们可以利用等腰三角形的底边和两腰的长度来计算中线。
假设等腰三角形的底边为b，腰的长度为a，中线的长度为m。
根据勾股定理可得：a² = m² + (b/2)²。
解方程可得：m = √(a² - (b/2)²)。
2. 通过使用相似三角形计算根据相似三角形的性质，我们可以利用等腰三角形的一条腰、底边和中线的长度来计算另一条腰的长度。
假设等腰三角形的底边为b，腰的长度为a，中线的长度为m，另一条腰的长度为x。
根据相似三角形的性质可得：a / x = (b/2) / m。
解方程可得：x = 2am / b。
四、例题解析例1：已知等腰三角形的底边长度为10cm，腰的长度为8cm，求中线的长度。
解：根据第一种方法，利用勾股定理计算中线。
m = √(a² - (b/2)²) = √(8² - (10/2)²) = √(64 - 25) = √39 ≈ 6.24cm。
所以，等腰三角形的中线的长度约为6.24cm。
例2：已知等腰三角形的底边长度为12cm，中线的长度为5cm，求另一条腰的长度。
解：根据第二种方法，利用相似三角形计算另一条腰的长度。
x = 2am / b = 2 * 5 * 8 / 12 = 6.67cm。
初三数学上册第一章知识点归纳
初三数学上册第一章知识点归纳第一章证明一、等腰三角形、概念：有两边相等的三角形是等腰三角形。
二、性质：1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（“三线合一”）3等腰三角形的两底角的平分线相等。
（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）4等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高7等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
特殊的等腰三角形等边三角形、概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形。
（注意：假设三角形三条边都相等那么说那个三角形为等边三角形，而一样不称那个三角形为等腰三角形）。
二、性质：⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。
⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每一个角的角平分线相互重合。
⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
3、判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形。
⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
二、直角三角形全等、直角三角形全等的判定有种：（1）、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（ASA）（2）、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；（SAS）（3）、三边对应相等的两个三角形全等；（SSS）（4）、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（AAS）（）、斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等；（HL）二、在直角三角形中，如有一个内角等于30&rd;，那么它所对的直角边等于斜边的一半3、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半4垂直平分线：垂直于一条线段而且平分这条线段的直线。
中考数学复习《等腰三角形与等边三角形》
（B）
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
6. 如图1-4-4-11，△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，DF 经过点E，分别与AB，AC相交于点D，F，且DF∥BC. （1）求证：△DEB是等腰三角形； （2）求证：DF-BD=CF.
证明：（1）∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE. ∵DF∥BC，∴∠DEB=∠CBE. ∴∠ABE=∠DEB. ∴BD=DE. ∴△DEB是等腰三角形. （2）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE. ∵DF∥BC，∴∠FEC=∠BCE. ∴∠ACE=∠FEC. ∴EF=CF. ∵BD=DE，∴DF-BD=CF.
第一部分 教材梳理
第四章 图形的认识（一） 第4节 等腰三角形与等边三角形
知识梳理
概念定理
1. 等腰三角形 （1）定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形. （2）性质 ①性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等 角）. ②推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上 的高线互相重合（简称：三线合一）.
解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°. ∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°. ∴∠F=90°-∠EDC=30°. （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形. ∴ED=DC=2. ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4.
（3）其他性质 ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°. ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但 顶角可为钝角（或直角）.
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
________.
④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，
中考数学复习《等腰、等边及直角三角形》经典题型(含答案)
中考数学复习《等腰、等边及直角三角形》经典题型（含答案）知识点一：等腰和等边三角形1.等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；注意：1.实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1）、“角平分线+平行线”构造等腰三角形。
2）、“角平分线+垂线”构造等腰三角形。
3）、用“垂直平分线”构造等腰三角形；4）、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。
2.当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.变式练习1：如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.3.三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.变式练习2：如右图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.变式练习3：一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为( ) A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17【解析】A ①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3＋3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3＋7＋7＝17，故这个等腰三角形的周长是17.变式练习4：如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 __7__．变式练习5：一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( C )A．12 B．16 C．20 D．16或202.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.变式练习1：△ABC中，∠B=60°，AB=A C，BC=3，则△ABC的周长为9.变式练习2：在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D 作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE＝DC＝2，在Rt△DEF，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∴DF＝2DE＝4，∴EF＝DF2－DE2＝42－22＝2 3.变式练习3：如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝__2__.知识点二：角平分线和垂直平分线1.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．21P C OBAPCO B A注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.变式练习：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.知识点三：直角三角形的判定与性质1.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .2.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.3.直角三角形相似判定定理1).斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
初中数学知识归纳等腰三角形的性质与判定
初中数学知识归纳等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在初中数学中，等腰三角形是一个重要的概念。
本文将归纳等腰三角形的性质与判定方法。
通过学习本文，你将更好地理解等腰三角形的特点和运用方法。
一、等腰三角形的性质等腰三角形具有以下几个性质：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）相等。
记等腰三角形底角为α，则底角α=底角α'。
2. 两腰相等：等腰三角形的两条腰（即与底边相对的两边）相等。
记等腰三角形的腰长为a，则两腰a=腰a'。
3. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角（即顶点处的角）平分底角。
记等腰三角形的顶角为β，则顶角β是底角α和α'的平分线。
二、等腰三角形的判定在判定一个三角形是否为等腰三角形时，可以利用以下几种方法：1. 对边判定法：当一个三角形的两边相等时，可以判断它为等腰三角形。
即若AB=AC，则△ABC为等腰三角形。
2. 对角判定法：当一个三角形的两个角相等时，可以判断它为等腰三角形。
即若∠B=∠C，则△ABC为等腰三角形。
3. 垂直平分线判定法：当一个三角形的顶角的角平分线同时也是底边中点的垂直平分线时，可以判断它为等腰三角形。
即若BD为垂直平分线，且BD是AC的中线，则△ABC为等腰三角形。
三、等腰三角形的例题示例下面通过两个例题来进一步加深对等腰三角形的理解。
例题1：在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，求∠C和∠A的度数。
解：根据等腰三角形的性质，可知∠B=∠C，而∠A+∠B+∠C=180°。
由于∠B=70°，所以∠C=70°。
又因为∠A+70°+70°=180°，所以∠A=40°。
例题2：已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，垂直平分线BD同时也是AC的中线，求∠B、∠C和∠A的度数。
解：根据等腰三角形的性质，可知∠B=∠C。
由于BD是垂直平分线，且BD同时也是AC的中线，所以∠BDC=∠CDB=90°，BD=DC。
初中数学等腰三角形定理公式
初中数学等腰三角形定理公式等腰三角形是指两边长度相等的三角形，其中的两条边被称为腰，而剩下的一条边则被称为底边。
在初中数学中，有关等腰三角形的定理和公式非常重要，以下将详细介绍其中的几个定理和公式。
一、等腰三角形的性质：1.等腰三角形的底角（底边两旁的两个角）相等。
这是等腰三角形的基本性质。
2.等腰三角形的高（从顶点到底边的垂直线段）同时也是它的两条腰的高线段。
这意味着等腰三角形的两条腰是等高的。
3.等腰三角形的顶角是三角形内角的最大角。
因为等腰三角形的底边较长，垂直线段划分成底边和顶点之间的短线段，所以顶角是最大的。
二、等腰三角形的面积公式：等腰三角形的面积可以通过以下公式来计算：面积=底边长度×高÷2例如，如果一个等腰三角形的底边长为8cm，而高为6cm，那么它的面积为8cm × 6cm ÷ 2 = 24 平方厘米。
三、等腰三角形的中线定理：等腰三角形的中线（从顶点到底边的中点的线段）和底边相等。
中线定理可以通过以下公式来表示：中线长=底边长÷2这个定理表明，等腰三角形的中线和底边长度相等。
所以，如果一个等腰三角形的底边长为10cm，那么它的中线也是10cm。
四、等腰三角形的角平分线定理：等腰三角形的角平分线（从顶点到底边上的其中一点）同时也是它的中线和高线。
角平分线定理可以通过以下公式来表示：中线长=高线长=底边长这个定理表明，等腰三角形的角平分线和中线、高线长度相等。
五、等腰三角形的判定：1.若一个三角形的两个底角相等，则这个三角形是等腰三角形。
2.若一个三角形的底边上的高与这个高所对应的底角相等，则这个三角形是等腰三角形。
3.若一个三角形的两个腰相等，则这个三角形是等腰三角形。
以上是初中数学中关于等腰三角形的定理和公式的一些介绍。
通过学习和理解这些内容，我们可以更好地处理与等腰三角形有关的问题，并能够应用它们解决实际生活中的计算问题。