第2章 杆件的内力分析.
第2章 杆件的内力分析
第2章构件的内力分析思考题2-1 判断题(1) 梁在集中力偶的作用处，剪力F S图连续，弯矩M图有突变。
(对)(2) 思2-1(1)图示的两种情况下，左半部的内力相同。
思2-1(1)图(3) 按静力学等效原则，将梁上的集中力平移不会改变梁的内力分布。
(4) 梁端铰支座处无集中力偶作用，该端的铰支座处的弯矩必为零。
(5) 若连续梁的联接铰处无载荷作用，则该铰的剪力和弯矩为零。
(6) 分布载荷q(x)向上为负，向下为正。
(7) 最大弯矩或最小弯矩必定发生在集中力偶处。
(8) 简支梁的支座上作用集中力偶M，当跨长l改变时，梁内最大剪力发生改变，而最大弯矩不改变。
(9) 剪力图上斜直线部分可以肯定有分布载荷作用。
(10) 若集中力作用处，剪力有突变，则说明该处的弯矩值也有突变。
2-2 填空题(1) 用一个假想截面把杆件切为左右两部分，则左右两部分截面上内力的关系是，左右两面内力大小相等，( )。
A. 方向相反，符号相反B. 方向相反，符号相同C. 方向相同，符号相反D. 方向相同，符号相同(2) 如思2-1(2)图所示矩形截面悬臂梁和简支梁，上下表面都作用切向均布载荷q，则( )的任意截面上剪力都为零。
A. 梁(a)B. 梁(b)C. 梁(a)和(b)D. 没有梁第2章 构件的内力分析思2-1(2)图(3) 如思2-1(3)图所示，组合梁的(a)，(b)两种受载情形的唯一区别是梁(a)上的集中力F 作用在铰链左侧梁上，梁(b)上的集中力作用在铰链右侧梁上，铰链尺寸不计，则两梁的( )。
A. 剪力F S 图相同B. 剪力F S 图不相同C. 弯矩M 图相同D. 弯矩M 图不相同思2-1(3)图(4) 如思2-1(4)图所示，组合梁的(a)，(b)两种受载情形的唯一区别是集中力偶M 分别作用在铰链左右侧，且铰链尺寸可忽略不计，则两梁的( )。
A. 剪力F S 图相同B. 剪力F S 图不相同C. 弯矩M 图相同D. 弯矩M 图不相同思2-1(4)图(5) 如思2-1(5)图所示，梁ABCD 在C 点作用铅垂力F ，若如思2-1(5)图(b)所示，在B 点焊接一刚架后再在C 点正上方作用铅垂力F ，则两种情形( )。
杆件的内力分析
故：
W W'
(c)
将(a)、(b)两式代入上式，于是求得：
Me
9549
P n
（N·m）
如果功率P以马力为单位，代入〈c〉式则可得：
Me
7024
N n
（N·m）
例1、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
x
T3
3
D
Mx 0 MD T3 0 T3 MD＝ 637N m
横截面3-3处的扭矩T3也可以利用3—3截面左边的受力平 衡来解决。
1
MB
MC
2 MA
3
1
B
2
C
3
A
M x 0 M B M C M A T3 0
T3
M
B
MC
M
＝
A
637
N
m
4、扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化
A B
已知：电动机通过皮带轮输给AB轴的功率为P千瓦。AB轴 的转速n转/分。
则： 电动机每秒钟所作的功为：
W P1000N m
（a）
设电动机通过皮带轮作用于AB轴上的外力偶矩为Me
则：Me在每秒内完成的功为：
W
2
n 60
M
e
（N
m）
(b)
由于Me所作的功也就是电动机通过皮带轮给AB轴输入的功
N
单位：KN
F
N
正
20kN
10kN
30kN
10kN
30kN
20kN
第二章 杆件的内力·截面法讲解
F
FN （＋）FN
F
F
FN （－）FN
F
轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F
F
FN
轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系； ② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆 的轴力图。
应变
一、正应变（线应变）定义
av
Du Ds
棱边 ka 的平均正应变
lim
Du k点沿棱边 ka 方向的正应变
Ds0 Ds
正应变特点
1、 正应变是无量纲量 2、 过同一点不同方位的正应变一般不同
二、切应变定义 微体相邻棱边所夹直角的
改变量 g ，称为切应变
切应变量纲与单位
切应变为无量纲量 切应变单位为 弧度（rad）
BC
D
FN 2 FB FC FD 0
FB
FC
FD
FN2= –3F，
求BC段内力：
FN3
C
D
Fx 0 FN3 FC FD 0 FN3= 5F，
FC
FD
FN4
D
求CD段内力：
Fx 0 FN 4 FD 0
FN4= F
FD
FN1 2F, FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
M
M
取左段为研究对象：
M 0, T M 0 M x
Tx
T M
取右段为研究对象：
第2章 杆件的内力
16
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1）工程中的受弯杆—— 在工程实际中，受荷载作用而产生弯曲变形的 杆是常见的，通常把它们叫做受弯杆或称之为梁。
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图2.20简支梁图
2.21悬臂梁图
2.22外伸梁
18
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2 图2.23（a）所示的梁是立体杆，设沿杆长为x 轴，在横截面上设y轴铅垂向下，z轴水平向右。当 外力（荷载与支座反力）都作用在纵向对称平面之 内时，梁弯曲之后，其轴线将变成挠曲线，它仍在
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图2.28 剪力图与弯矩图的坐标轴之假设
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2 既然剪力和弯矩都将随着x（横截面位置）的 变化而变化，那么两者均可以表示为坐标x的函数 ，即
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第2章
第一节 内力的概念
杆件的内力
内力”是指构件的内部之力,它与作用在构件的 外力（如荷载、约束反力）是相对应的。在研究外 力之后，需要由表及里地探索构件的内力。如果你 想了解内力究竟是怎么回事，那就请看下面的内容 吧。
1
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一、内力的概念 从结构的外部看，结构在荷载（属于外在的主 动力）作用下处于平衡，并产生约束反力,这都属 于力的外效应。在荷载作用下结构还会发生变形， 这是力的内效应。从结构的内部看，结构变形时, 各质点之间的相对位置都会发生改变，其内因是存 在各质点之间的相互作用力，这就是内力。其外因 当然是荷载（即外力）作用而引起的，故又把它称 之为“附加内力”。
杆件的内力分析
第2章构件的内力分析思考题2-1 判断题(1) 梁在集中力偶的作用处，剪力F S图连续，弯矩M图有突变。
(对)(2) 思2-1(1)图示的两种情况下，左半部的内力相同。
思2-1(1)图(3) 按静力学等效原则，将梁上的集中力平移不会改变梁的内力分布。
(4) 梁端铰支座处无集中力偶作用，该端的铰支座处的弯矩必为零。
(5) 若连续梁的联接铰处无载荷作用，则该铰的剪力和弯矩为零。
(6) 分布载荷q(x)向上为负，向下为正。
(7) 最大弯矩或最小弯矩必定发生在集中力偶处。
(8) 简支梁的支座上作用集中力偶M，当跨长l改变时，梁内最大剪力发生改变，而最大弯矩不改变。
(9) 剪力图上斜直线部分可以肯定有分布载荷作用。
(10) 若集中力作用处，剪力有突变，则说明该处的弯矩值也有突变。
2-2 填空题(1) 用一个假想截面把杆件切为左右两部分，则左右两部分截面上内力的关系是，左右两面内力大小相等，( )。
A. 方向相反，符号相反B. 方向相反，符号相同C. 方向相同，符号相反D. 方向相同，符号相同(2) 如思2-1(2)图所示矩形截面悬臂梁和简支梁，上下表面都作用切向均布载荷q，则( )的任意截面上剪力都为零。
A. 梁(a)B. 梁(b)C. 梁(a)和(b)D. 没有梁第2章 构件的内力分析思2-1(2)图(3) 如思2-1(3)图所示，组合梁的(a)，(b)两种受载情形的唯一区别是梁(a)上的集中力F 作用在铰链左侧梁上，梁(b)上的集中力作用在铰链右侧梁上，铰链尺寸不计，则两梁的( )。
A. 剪力F S 图相同B. 剪力F S 图不相同C. 弯矩M 图相同D. 弯矩M 图不相同思2-1(3)图(4) 如思2-1(4)图所示，组合梁的(a)，(b)两种受载情形的唯一区别是集中力偶M 分别作用在铰链左右侧，且铰链尺寸可忽略不计，则两梁的( )。
A. 剪力F S 图相同B. 剪力F S 图不相同C. 弯矩M 图相同D. 弯矩M 图不相同思2-1(4)图(5) 如思2-1(5)图所示，梁ABCD 在C 点作用铅垂力F ，若如思2-1(5)图(b)所示，在B 点焊接一刚架后再在C 点正上方作用铅垂力F ，则两种情形( )。
第2章 杆件的内力分析
与观察者位置无关
FQ FQ
与观察者位置有关
内
刚架内力图的画法
力 (1) 无需建立坐标系；
图 (2) 控制面、平衡微分方程；
(3) 弯矩的数值标在受拉边;
刚 (4) 轴力、剪力画在里侧和外侧均可，
架 内
但需标出正负号；
力 图
(5) 注意节点处的平衡关系。
节点处的平衡关系
内
FN
FQ
力
图
FQ
FN
刚
材料力学(I)
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第2章
杆件的内力分析
第
2
章
引言
杆
件
平衡微分方程
的 内
内力图
力
结论与讨论
分
析
引 言
引 言(Introduction)
内力(Internal Forces) 内力主矢与内力主矩(Resultant
Force and Resultant Moment) 内力分量(Components of the
概 念
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡
，则其任何局部也必然是平衡的。
内力与外力的相依关系
平
衡
微
分
方
程
某一截面上的内力与作用在该截
内 力
面一侧局部杆件上的外力相平衡；
与
外
在荷载无突变的一段杆的各截面
力 关
上内力按相同的规律变化；系Biblioteka 平 衡结论
微
分 方
杆件各截面上内力
程 变化规律随着外力的变
FQ
架
内 力
M
M FN
图
FQ
材料力学 复习题cllx
第二章杆件的内力分析1、梁弯曲时，凡剪力对梁内任一点的力矩是____ __转向的为正。
2、梁弯曲时，凡弯矩使所取梁段产生______ ____变形的为正。
3、梁在某截面处剪力为零，则该截面处弯矩有_________值。
4、同一根梁采用不同的坐标系（如右手坐标系与左手坐标系）时，则对指定截面求得的剪力和弯矩将；两种坐标系所得的剪力方程和弯矩方程是的；由剪力、弯矩方程绘制的剪力、弯矩图是的。
5、若简支梁上的均布荷载用静力等效的集中力来代替，则梁的支反力值将与原梁的支反力值，而梁的最大弯矩值将原梁的最大弯矩值。
6、根据q与剪力、弯矩间的微分关系，若梁段上有均布荷载q作用，则该梁段的剪力图为一条，弯矩图为一条；若剪力图数值由正到负或由负到正经过零处，则弯矩图在该处具有第三章杆件横截面上的应力应变分析1、截面上任一点处的全应力一般可分解为方向和方向的分量。
前者称为该点的，用符号表示；后者称为该点的，用符号表示。
2、横截面面积为A的等直杆两端受轴向拉力F时，杆件内最大正应力为，发生在面上，该截面上的切应力为；最大切应力为，发生在面上，该截面上的正应力为；任意两个相互垂直的斜截面上的正应力之和都等于。
3、各向同性材料有个弹性常数，它们分别是，它们之间的关系是。
因此，各向同性材料独立的弹性常数是个。
4、内、外直径分别为d和D的空心圆轴，则横截面的极惯性矩表达式为____________。
5、变速箱中的高速轴一般较细，低速轴较粗，这是因为6、纯弯曲是指________________ ________。
7、应用叠加原理分析组合变形杆内的应力，应满足的条件为：(1)_________________________ ; (2)_________________ 。
8、当梁只受集中力和集中力偶作用时，最大剪力必发生在。
9、称为切应力互等定理。
10、梁在横向力作用下发生平面弯曲时，横截面上的最大正应力发生在，最大切应力发生在。
材料力学第2章-杆件的内力与内力图
C
l
FRB
FQ
ql ＋ － ql ql2/2
x
2、选择控制面，并求出其上的剪力与弯矩 C右截面：FQ=0,M=0 A左截面：FQ =ql,M=ql2/2 A右截面：FQ =0,M=ql2/2 B左截面：FQ =-ql,M=0 3 、根据 M 、 FQ 、 q 之间的关系画出剪力图和 弯矩图
x
M
＋
材料力学
FN(B')
M(B') FQ(B') B B'
F
x
0 , ql ql FQ B 0
FQ B 0
Fy 0 , FN B
FN B ql 2
材料力学
内力与内力分量
材料力学
弹性体在外力作用下产生的附加内力
F1
F2
F3
假想截面
Fn
F1
F
2
F
3
Fn
材料力学
弹性体内力的特征:
F1
F
2
F
3
Fn
(1)连续分布力系 (2) 与外力组成平衡力系 ( 特殊情形下内力本身形成自 相平衡力系)
材料力学
内力主矢与内力主矩
F1
分布内力
F
3
F1 FR
内力主矢与主矩
B
C
qa
a
FRB
A右截面：FQ=9qa/4,M=0 B左截面：FQ =-7qa/4,M=qa2 B右截面：FQ =-qa,M=qa2 C左截面：FQ =-qa,M=0
3、建立剪力坐标系并标出控制面上的剪力
4、根据FQ、q之间的关系画出剪力图 5、建立弯矩坐标系并标出控制面上的弯矩
FQ 9qa/4
2章-杆件的内力与内力图-拉压、扭转
§ 2.1 基本概念
2.1.1 内力的概念
《物理学》：指微粒之间的相互作用力，由于这 个作用力的不同，使物体呈现出不同的形态。
《静力学》中：物体之间的相互约束力，称为内约 束力。
此处讲解的内力：在物理学内力的基础上， 变形体在外因的作用下（荷载、温度变化……）， 发生变形，体内各点发生相对位移，从而产生抵 抗变形的相互作用的附加内力，简称内力
4. 建立FN－x坐标系，画轴力图
FN－x坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方 向，FN坐标轴垂直于x轴。
将所求得的各控制面上的轴力标在FN－x坐标 系中，得到a、和c四点。因为在A、之间以及 、C之间，没有其他外力作用，故这两段中的 轴力分别与A（或）截面以及C（或）截面相同 。这表明a点与点心”之间以及c点之间的轴力 图为平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴力 图。
Mx
z Mz
FR M FNx FQy FQz Mx My Mz
FNx——轴力 FQy、 FQz——剪力 Mx——扭矩
My、MZ——弯矩
2.1.2 内力与外力的关系——截面法 1 弹性变形体的平衡原理 2 求内力的方法——截面法
应用平衡的概念，不仅可以确定 构件的支座反力，而且还可以确定构件 上任意横截面上的受力-内力及其沿构 件轴线方向的变化规律，以找出最危险 的截面。
面上的轴力均为正方向（拉力）， 并考察截开后下面部分的平衡。
3. 应用截面法求控制面上的轴力
用 假 想 截面 分 别 从 控 制 面 A、 B'
、B"、 C处将杆截开，假设横截面
FA
FNA 上的轴力均为正方向（拉力），并考
察截开后下面部分的平衡，求得各截
A
A 面上的轴力：
杆件的内力分析--材料力学
取3-3截面右侧分析 列方程
M
x
0
M x 3 TD 0
M x 3 TD 2859 N m
由上述计算得到扭矩 值
M x1 4300 N m M x 2 6690 N m M x 3 2859 N m
画扭矩图
课堂练习（时间 3分钟） 试画出下面轴的扭矩图
力矩矢方向
力矩旋转方向
根据平衡，截面上有内力矩Mx—扭矩 由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向
扭矩的正负号规定 按照右手螺旋法则， 扭矩矢量的指向与截 面外法线方向一致为 正，反之为负。
力矩矢方向
扭矩矢量 Mx n
力矩旋转方向
截面
截面外法线
1、计算各外力矩的大小（已知功率和转速）； 2、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢； 3、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正 方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小； 4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出 扭矩图。
将外力矩转换为力矩 矢量
取1-1截面左侧分析 将截面上的扭矩设为 正 列方程
M
x
0
TB M x1 0
M x1 TB 4300 N m
取2-2截面左侧分析 列方程
M
x
0
TB TC M x 2 0
M x 2 TB TC 6690 N m
• 2-2直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力 图
工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆，例如：
一些机器和结构中所 用的各种紧固螺栓，在紧 固时，要对螺栓施加预紧 力，螺栓承受轴向拉力， 将发生伸长变形。
这些杆件所受的外力特征可以描述为： 作用在杆上的外力的合力作用线与杆的轴线重合
第二章 杆件的内力与内力图
第二章 杆件的内力与内力图§2-1 杆件内力的概念与杆件变形的基本形式一、杆件的内力与内力分量内力是工程力学中一个非常重要的概念。
内力从广义上讲，是指杆件内部各粒子之间的相互作用力。
显然，无荷载作用时，这种相互作用力也是存在的。
在荷载作用下，杆件内部粒子的排列发生了改变，这时粒子间相互的作用力也发生了改变。
这种由于荷载作用而产生的粒子间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
需要指出的是：受力杆件某横截面上的内力实际上是分布在截面上的各点的分布力系，而工程力学分析杆件某截面上的内力时，一般将分布内力先表示成分布内力向截面的形心简化所得的主矢分量和主矩分量进行求解，而内力的具体分布规律放在下一步（属于本书第二篇中的内容）考虑。
受力杆件横截面上可能存在的内力分量最多有四类六个：轴力N F 、剪力y Q F )(和z Q F )(、扭矩x M 、弯矩y M 和z M 。
轴力N F 是沿杆件轴线方向（与横截面垂直）的内力分量。
剪力y Q F )(和z Q F )(是垂直于杆件轴线方向（与横截面相切）的内力分量。
扭矩xM 是力矩矢量沿杆件轴线方向的内力矩分量。
弯矩y M 和z M 是力矩矢量与杆件轴线方向垂直的内力矩分量。
二、杆件变形的基本形式实际的构件受力后将发生形状、尺寸的改变，构件这种形状、尺寸的改变称为变形。
杆件受力变形的基本形式有四种：轴向拉伸和压缩、扭转、剪切、弯曲。
1、轴向拉伸和压缩变形轴向拉伸和压缩简称为轴向拉压。
其受力特点是：外力沿杆件的轴线方向。
其变形特点是：拉伸——沿轴线方向伸长而横向尺寸缩小，压缩——沿轴线方向缩短而横向尺寸增大，如图4-1所示。
轴向受拉的杆件称为拉杆，轴向受压的杆件压杆。
图2-1 图2-2 土木工程结构中的桁架，由大量的拉压杆组成，如图2-2所示。
内燃机中的连杆、压缩机中的活塞杆等均属此类。
它们都可以简化成图2-1所示的计算简图。
2、剪切变形工程中的拉压杆件有时是由几部分联接而成的。
第二章 杆件的内力分析
（3）集中力P作用处：剪力图在P作用处有突变，突变值等于 P。弯矩图为一折线，P作用处有转折。
（4）集中力偶作用处：剪力图在力偶作用处无变化。弯矩图 在力偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。
1.轴力图 §2-3 内力图 表示轴力沿杆轴线方向变化的图形,称为轴力图。 用x轴表示 杆轴线，其值代表截面位置， y轴表示对应截面的轴力。正值绘
FP1
y FR
My
M
FQ y
FQ z FQ x
x
Mz
(b)
FP2
z
为了显示并计算某一截面上的内力,可在该截面处用
一假想截面将构件一分为二并弃去其中一部分，将
弃去部分对保留部分的作用以内力的形式表示,然后
以保留部分为研究对象建立力学模型，再根据平衡
原理求出该截面上的内力 ，称为截面法。是确定构
件任意截面上内力值的基本方法 。
应用截面法不难证明，集中力作用点两侧两个无限接近的控 制面剪力将发生突变，集中力偶作用点两侧无限接近的截面弯矩 将发生突变。杆件两个相邻的非无限接近的控制面间的内力将分
别按不同的函数规律变化。进一步，根据荷载集度、剪力和弯 矩之间的微分关系及其几何意义，可得出画内力图的一些规律
如下： （1）q(x)=0 ： 剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。
§2-1内力与内力分量
1. 内力主矢与主矩
弹性体受力后产生变形，其内部各点均会发生相对位移，因 而产生附加的相互作用力，称为内力。无论杆件横截面上的内 力分布如何复杂，总可以将其向该截面某一简化中心简化，得
到一主矢和一主矩，二者分别称为内力主矢和内力主矩。
第二章 杆件的内力
活塞杆其计算简图为压杆压杆号规定为：拉伸时，轴力F N 为正；压缩时，轴力F N 为负。
外力不能沿作用线移动。
因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性不成立。
对变形体而言，力是定位矢量。
2、轴力图用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图。
将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。
例2-1 求如图所示杆件的内力，并作轴力图。
解:1)AB 段：以截面1-1将杆分为两段，取左段（图（b ）），由平衡方程,0=∑x F 061N =-F 得kN 61N =F2)BC 段：以截面2-2将杆分为两段，取左段（图(c)），由平衡方程,0=∑x F 01862N =+-F 得kN 122N -=F2N F 的方向与图中所示方向相反。
2)CD 段：以截面3-3将杆分为两段，取右段（图(d)），由平衡方程,0=∑x F 043N =--F 得 kN 43N -=F3N F 的方向与图中所示方向相反。
画在x 轴下方。
例功率分别为P B ＝P C解：1=M A =M B =M D 2BC 段：以截面分（图(b)）得负号说明1T 同理，在CA 段内，02=++B C M M Tm N 7002⋅-=--=B C M M T在AD 段内，03=-D M T m N 4463⋅==D M T3）以横坐标x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取适当比例，绘出扭矩图。
正的扭矩画在x 轴上侧，负的扭矩画在x 轴下侧。
或具有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称为非对称弯曲。
⎪⎭⎪⎬⎫=⋅-⋅==-+=∑∑03,0)(0,0l F l FF M F FF F B ABAy，得F F F F B A 31,32==2.求截面1－1上的内力F F F A D 32S == Fa a F M A D 32=⋅=同理,对于C 左截面：Fl l F M F F F C A C 92332,32S =⋅==＝左左对于C右截面：3S FF F F A C -=-=右Fl l F M A C 923=⋅=右负号表示假设方向与实际方向相反。
材料力学 第2章
第二章杆件的内力分析第一节杆件拉伸或压缩的内力一、轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩：由一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的外力作用下引起的，沿杆件长度发生的伸长或缩短。
二、工程实例三、轴力轴力图1、轴力与杆轴线重合的内力合力。
轴力符号：拉伸为正，压缩为负。
∑=0X0122=-+F F N kNF F N 242212-=-=-= ∑=0X34=-N FkNF N143==任一截面上的轴力等于该截面一侧轴向载荷的代数和，轴向载荷矢量离开该截面者取正，指向该截面者取负。
2、轴力图正对杆的下方，以杆的左端为坐标原点，取平行于杆轴线的直线为x 轴，并称为基线，垂直于x 轴的N 轴为纵坐标。
正值绘在基线的上方，负值绘在基线的下方，最后在图上标上各截面轴力的大小。
注意：轴力图与基线形成一闭合曲线。
轴力图必须与杆件对齐。
在轴向集中力作用的截面上，轴力图将发生突变，其突变的绝对值等于轴向集中力的大小，而突变方向：集中力箭头向左时向上突变，集中力箭头向右时向下突变（图是从左向右画）。
例2-10第二节剪切的内力一、剪切的概念剪切：由一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力引起的横截面沿外力作用方向发生的相对错动。
剪切面或受剪面 m-m二、工程实例三、剪力第三节杆件扭转的内力一、扭转的概念扭转：由一对大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的力偶引起的杆的任意两个横截面绕杆轴线的相对转动。
ϕ：扭转角；γ：剪切角二、工程实例三、扭矩某一截面上的扭矩等于其一侧各外力偶矩的代数和。
外力偶矩矢量指向该截面的取负，离开该截面的取正。
四、 扭矩图在外力偶作用的截面上，扭矩图将发生突变，其突变的的绝对值等于该外力偶矩的大小，而突变方向：外力偶矩矢量方向向左的向上突变，向右则向下突变。
外力偶矩的计算公式：)(9550m N nP Mk ⋅=注意：kP 单位为kw ；n 单位为min r ；M 单位为m N ⋅第四节 梁弯曲时的内力一、 弯曲 变形的基本概念弯曲变形：由一对大小相等、方向相反，位于杆的纵向平面内的力偶引起的，杆件的轴线由直线变为曲线。
2杆件内力分析
做图示杆件的内力图
FA=10kN
FA=10kN
2m FN
FA=10kN
20kN
5kN/m
x
2m
2m
20kN FN
FN 10kN (0 x 2m) FN 10kN (2m x 4m)
FA=10kN
20kN
5kN/m FN
FN 20 10 5(x 4) 0
FN 30 5x(kN) (4m x 6m)
FN
max
FN
2
P
内力图
PR
--
R
P
M图
M PRsin （ ）
M
max
M
2
PR
弯矩符号规定：使曲率增加为正；反之为负。
P
FS Pcos
R
-
P
P
FS图
FS max FS 0 FS P
qa 极值条件:FS=0 M图
3qa 4
qa2 4
9qa2 32
3qa2 4
qa2
用叠加法作内力图
做梁的弯矩图
q
A
a
P qa
B
a
a
A
B
C
qa2
8
1 qa2
2
q
qa 2
MP
a 2
qa2
A
B
C
1 qa2
2
Mq
P qa
C
多跨静定梁、刚架及曲杆的内力图
多跨静定梁 —— 带“中间铰”的连续静定梁。
第二章 杆件的内力分析
第二章杆件的内力分析要想对杆件进行强度、刚度和稳定性方面的分析计算，首先必须知道杆件横截面上的内力，因此，本章主要对此作分析讨论。
首先引入了内力的基本概念和求内力的基本方法——截面法，然后讨论了各种变形情况下截面上的内力及求解和内力图的绘制，这是材料力学最基本的知识。
第一节内力与截面法杆件因受到外力的作用而变形，其内部各部分之间的相互作用力也发生改变。
这种由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
内力的大小随外力的改变而变化，它的大小及其在杆件内部的分布方式与杆件的强度、刚度和稳定性密切相关。
为了研究杆件在外力作用下任一截面m-m上的内力，可用一平面假想地把杆件分成两部分，如图2-1a。
取其中任一部分为研究对象，弃去另一部分。
由于杆件原来处于平衡状态，截开后各部分仍应保持平衡，弃去部分必然有力作用于研究对象的m-m截面上。
由连续性假设，在m-m截面上各处都有内力，所以内力实际上是分布于截面上的一个分布力系（图2-1b）。
把该分布内力系向截面上某一点简化后得到内力的主矢和主矩，以后就称之为该截面上的内力。
但在工程实际中更有意义的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量，如图2-1c，这六个内力分量分别对应着四种基本变形形式，依其所对应的基本变形，把这六个内力分量分别称为轴力、剪力、扭矩和弯矩。
（1）轴力。
沿杆件轴线方向（x轴方向）的内力分量FN，它垂直于杆件的横截面，使杆件产生轴向变形（伸长或缩短）。
（2）剪力。
与截面相切（沿y轴和z轴方向）的内力分量FQy、FQz ，使杆件产生剪切变形。
（3）扭矩。
绕x轴的主矩分量Mx，它是一个力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形。
（4）弯矩。
绕y轴和z轴的主矩分量My、Mz，它们也是力偶，使杆件产生弯曲变形。
为了求出这些内力分量，只需对所研究部分列出平衡方程就可。
这种计算截面上内力的方法通常称为截面法。
其步骤可归纳为：(1) 沿需要计算内力的截面假想地把构件分成两部分，取其中的任一部分作为研究对象, 弃去另一部分。
2章 杆件的内力和内力图-弯曲
弯矩：
使杆段下侧受拉为正 （对水平杆段左顺、右逆为正）， 反之为负
例题
一端固定另一端自由的梁，称为悬臂梁 。梁 承受集中力FP及集中力偶MO作用。
试确定 : 截面 C 及截面 D 上的剪力和弯矩。 C、D 截面与加力点无限接近。
MO=2FPl
D A C
F
P
B
l
l
解：1) 应用静力学平衡方程确定固定端的约束力。
MO=2FPl
D C l l
FP
B
F ＝0，
y
FQD－FP＝0
M
FP
M D M O FP 2l Δ＝0
D
＝0
MA＝0 A
MO=2FPl
D
因为D截面无限接近B截面 ，所以式中
FQD
Δ0
FQD＝FP
FP
l
l
MD
M D＝0
4) 讨论
本例中所选择的研究对象都是C、 D截面以左部分梁， 因而需要首先确定左端的约束力。如果以C、 D截面以右 部分梁作为平衡对象，则无需确定约束力。计算过程会更 简单些。
a
m
F
A
m
B
x (a)
FAy
FBy
y
FA R yA
m
FQ
C
x
(b)
A
x
m
a
由平衡方程得
yi
F
m
F
0
F
Ay
- FQ 0
A
m
x
B
可得
FQ = FAy
FAy
(a) y
m
FBy
R A FA y
FQ 称为 剪力
A
02第2章杆件的内力与内力图
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
第2章 杆件的内力和内力图 扭转的概念
受力特征
◎ 扭矩与扭矩图
在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用着大小相等、 方向相反的一对力偶。 变形特征
杆件的各横截面环 绕轴线发生相对的转动。
扭转角 任意两横截面间相 对转过的角度。
第2章 杆件的内力和内力图 工程中承受扭转的圆轴
◎ 轴力与轴力图
一些机器和结构中所用的各种紧固螺栓，在紧固时，要 对螺栓施加预紧力，螺栓承受轴向拉力，将发生伸长变形。
第2章 杆件的内力和内力图 工 程 实 例
◎ 轴力与轴力图
由汽缸、活塞、 连杆所组成的机构中， 不仅连接汽缸缸体和 汽缸盖的螺栓承受轴 向拉力，带动活塞运 动的连杆由于两端都 是铰链约束，因而也 是承受轴向载荷的杆 件。
FN
+
FN
－
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 轴力与轴力图
绘制轴力图的方法与步骤
首先，确定作用在杆件上的外载荷与约束力； 其次，根据杆件上作用的载荷及约束力，轴力图的分段点： 在有集中力作用处即为轴力图的分段点； 第三，应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开， 在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开 的部分杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负：产生拉 伸变形的轴力为正，产生压缩变形的轴力为负； 最后，建立FN-x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系 中，画出轴力图。
2．求扭矩 应用截面法由平 衡方程确定
M
x
0
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
3．画扭矩图 建 立 Mx-x 坐 标
系。将所求得的各段
的扭矩值，标在Mxx坐标系中，得到相
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第2章构件的内力分析思考题2-1 判断题(1) 梁在集中力偶的作用处，剪力F S图连续，弯矩M图有突变。
(对)(2) 思2-1(1)图示的两种情况下，左半部的内力相同。
思2-1(1)图(3) 按静力学等效原则，将梁上的集中力平移不会改变梁的内力分布。
(4) 梁端铰支座处无集中力偶作用，该端的铰支座处的弯矩必为零。
(5) 若连续梁的联接铰处无载荷作用，则该铰的剪力和弯矩为零。
(6) 分布载荷q(x)向上为负，向下为正。
(7) 最大弯矩或最小弯矩必定发生在集中力偶处。
(8) 简支梁的支座上作用集中力偶M，当跨长l改变时，梁内最大剪力发生改变，而最大弯矩不改变。
(9) 剪力图上斜直线部分可以肯定有分布载荷作用。
(10) 若集中力作用处，剪力有突变，则说明该处的弯矩值也有突变。
2-2 填空题(1) 用一个假想截面把杆件切为左右两部分，则左右两部分截面上内力的关系是，左右两面内力大小相等，( )。
A. 方向相反，符号相反B. 方向相反，符号相同C. 方向相同，符号相反D. 方向相同，符号相同(2) 如思2-1(2)图所示矩形截面悬臂梁和简支梁，上下表面都作用切向均布载荷q，则( )的任意截面上剪力都为零。
A. 梁(a)B. 梁(b)C. 梁(a)和(b)D. 没有梁第2章 构件的内力分析思2-1(2)图(3) 如思2-1(3)图所示，组合梁的(a)，(b)两种受载情形的唯一区别是梁(a)上的集中力F 作用在铰链左侧梁上，梁(b)上的集中力作用在铰链右侧梁上，铰链尺寸不计，则两梁的( )。
A. 剪力F S 图相同B. 剪力F S 图不相同C. 弯矩M 图相同D. 弯矩M 图不相同思2-1(3)图(4) 如思2-1(4)图所示，组合梁的(a)，(b)两种受载情形的唯一区别是集中力偶M 分别作用在铰链左右侧，且铰链尺寸可忽略不计，则两梁的( )。
A. 剪力F S 图相同B. 剪力F S 图不相同C. 弯矩M 图相同D. 弯矩M 图不相同思2-1(4)图(5) 如思2-1(5)图所示，梁ABCD 在C 点作用铅垂力F ，若如思2-1(5)图(b)所示，在B 点焊接一刚架后再在C 点正上方作用铅垂力F ，则两种情形( )。
A. AB 梁段的剪力F S 相同B. BC 梁段的剪力F S 相同C. CD 梁段的剪力F S 相同D. AB 梁段的弯矩M 相同E. BC 梁段的弯矩M 相同F. CD 梁段的弯矩M 相同思2-1(5)图(6) 如思2-1(6)图所示，梁的剪力F S ，弯矩M 和载荷集度q 之间的微分关系S d d M F x =-和S d d F q x=-适用于图( )所示微梁段，其中F 0和M 0分别为集中力和集中力偶。
材料力学思2-1(6)图(7) 如思2-1(7)图所示组合梁( )。
A. 梁段AB弯矩为常量B. 梁段AB剪力为常量C. 梁段BC弯矩为常量D. 梁段BC剪力为常量(8) 如思2-1(8)图所示，当集中力偶沿简支梁AB任意移动时( )。
A. 梁内剪力为常量B. 梁内剪力不为常量，但最大剪力值不变C. 梁内弯矩为常量D. 梁内弯矩不为常量，但最大弯矩值不变思2-1(7)图思2-1(8)图(9) 悬臂梁左端自由，右端固定，梁上载荷元集中力偶，剪力图如思2-1(9)图所示，则梁上作用的最大集中载荷F max(绝对值)=_______________，梁内最大弯矩为M max=_______________。
(10) 如思2-1(10)图所示，外伸梁长l，载荷F可能作用在梁的任意位置，为了减小梁的最大弯矩值，则外伸段长度a=_______________。
思2-1(9)图思2-1(10)图答案：(2)A (3)AC (4)BD (5)ACDF (6)D (7)BD (8)A (9)4F，3Fa(10)l/5(需要用等强设计思想分析)2-3 简答题第2章 构件的内力分析(1) 梁的弯矩峰值一般会产生在什么位置?(2) 在集中力和集中力偶矩处，梁的剪力图和弯矩图各有什么特点?(3) 若结构对称，载荷对称或反对称，其剪力图和弯矩图各有什么特点?(4) 某梁分别承受A 、B 两组载荷，A 组载荷只比B 组载荷多一个集中的力偶矩。
有人认为，由于画剪力图时，集中力偶矩不影响剪力，因此，对应于这两组载荷的剪力图是完全一样的。
这种看法对吗?为什么?(5) 某梁的弯矩图如思2-3(5)图所示。
如果将支反力也视为一种外荷载，那么，梁承受了哪些载荷?这些载荷各作用于什么位置?(6) 如思2-3(6)图所示的简支梁上有一副梁。
集中力F 作用于副梁上。
在求简支梁A 、B 处的支反力时，可以将F 沿其作用线平移至梁上D 处吗?在求简支梁中的剪力和弯矩时，是否可以将F 平移至D 处?(7) 思2-3(7)图所示的对称结构的中点作用有一个集中力偶。
这种情况载荷是对称的还是反对称的?或是既不对称又不反对称?思2-3(5)图 思2-3(6)图 思2-3(7)图习 题2-1 铰接梁的尺寸及载荷如题2-1图所示，B 为中间铰。
求支座反力和中间铰两侧面上的内力。
答：1312,,,3263Ay Cy Dy B F F F F F F F F -====。
题2-1图2-2 如题2-2图所示悬臂梁AB ，试求：(1) 支座反力，(2) 1-1，2-2，3-3截面上的内力。
答：1-1：M =2.5kN ⋅m(顺时针)，F S =5kN(↑)；2-2：M =7.5kN ⋅m(顺时针)，F S =5kN(↑)；3-3：M =10kN ⋅m(顺时针)，F S =5kN(↑)。
2-3 如题2-3图所示为一端固支的半圆弧杆，自由端受F 力作用。
求截面1-1，2-2，3-3上的内力。
材料力学答：1-1：M /2(顺时针)，F N /2(正法向)，F S = F /2(向心)；2-2：M =FR (顺时针)，F N =F (向上)，F S = 0；3-3：M =Fa (逆时针)，F N =0，F S = F (向上)。
题2-2图 题2-3图2-4 塔式架的受力与支承如题2-4图所示。
若己知载荷F 和尺寸a ，h 。
试求1，2，3杆的内力。
答：N1N2N3/(),(),2/F Fh a F a F Fh a ===拉力拉力(压力)。
2-5 如题2-5图所示杆系结构在C ，D ，E ，G ，H 处均为铰接。
C ，D 铰分别设置在AH 杆和BH 杆的下侧。
已知F =100kN ，求杆1~5所受的轴向力。
答： F 1=125kN(拉)，F 2=75kN(压)，F 3=100kN(拉)，F 4=75kN(压)，F 5=125kN(拉)，题2-4图 题2-5图2-6 一等直杆及其受力情况如题2-6图所示。
试作此杆的内力图。
答：F Nmax =50kN 。
2-7 两组人员拔河比赛，某瞬时作用于绳子上的力如题2-7图所示。
已知F l ＝0.4kN ，F 2＝0.3kN ，F 3=0.35kN ，F 4=0.35kN ，F 5=0.25kN ，F 6＝0.45kN 。
试求横截面1-1，2-2，3-3，4-4，5-5上的内力。
答： F N1=0.4kN ，F N2=0.7kN ，F N3=1.05kN ，F N4=0.7kN ，F N5=0.45kN 。
第2章构件的内力分析题2-6图题2-7图2-8 试求如题2-8图所示等直杆横截面1-1，2-2上的内力，并作内力图。
已知F＝100kN，a＝1m。
答：F N1=-100kN，F N2=200kN。
2-9 电车架空线立柱结构如题2-9图所示，假设杆AB与杆BC在B处为固定连接。
(1)若在A处作用有沿z 方向的力F，试问AB和BC两杆各产生什么基本变形形式，并求截面1-1和截面2-2上的内力。
(2)若在A处作用有沿y方向(垂直于AB)的力F，试问AB和BC两杆各产生什么基本变形形式，并求截面1-1和截面2-2上的内力。
答：(1) AB杆：剪切与弯曲变形，BC杆：压缩与弯曲变形；F S1=-F，M1=-Fa，F N1=-F，M2=-2Fa。
(2) AB杆：剪切与弯曲变形，BC杆：剪切、弯曲与扭转变形；|F S1|=F，|M1|=Fa，|F S1|=F，|T|=2Fa。
2-10 如题2-10图所示一环形夹具，由两个半薄壁圆筒组成，内部受均布载荷p作用，若圆筒直径为D，沿轴线方向圆筒的长度为b，试求左右螺栓所受的内力。
答：F N=0.5pbD。
题2-8图题2-9图题2-10图2-11 空气泵操纵杆如题2-11图所示。
所受力F l=8.5kN，试求截面1-1上的内力。
答：F S1＝17kN，M1=5.44kN m。
题2-11图2-12 试求如题2-12图所示各梁在指定横截面1，2，3上的内力。
答：(a) F S1=M/2l，M1=M/2，F S2=-M/2l，M2=M0，F S3=0，M1=M0。
(b) F S1=-q0a/3，M1=0，F S2=-q0a/12，M2=-q0a2/4，F S3=-2q0a/3，M1=0。
材料力学(c) F S1=0.75qa，M1=-qa2，F S2=-qa，M2=-qa2，F S3=-qa，M1=0。
(d) F S1=0.5qa，M1=0，F S2=0.5qa，M2=0，F S3=-0.5qa，M1=0。
(e) F S1=-ql，M1=-1.5ql2，F S2=-ql，M2=-0.5ql2，F S3=-ql，M1=-0.5ql2。
(f) F S1=-F，M1=-Fa，F S2=-F，M2=0，F S3=-F，M1=0。
题2-12图2-13 试写出如题2-13图所示各梁的内力方程，并作出内力图。
答：(a) F Smax=qa，|M|max=0.5qa2；(b) F Smax=0.75ql，|M|max=0.25ql2；(c) F Smax=ql，M max=0.5ql2；(d) F Smax=1.25qa，M max=0.75qa2；(e) |F S|max=1.25ql，M max=ql2；(f) |F S|max=1.5ql，|M|max=9ql2/8。
第2章构件的内力分析题2-13图2-14 利用剪力、弯矩与荷载集度之间的微分关系作出题2-14图所示各梁的内力图。
答：(a) F Smax=2ql，M max=ql2；(b) |F S|max=qa，M max=2qa2；(c)|F S|max=7qa/4，M max=49qa2/64; (d) F Smax=1.5qa，M max=3.125qa2；(e) F Smax=ql，|M|max=ql2；(f) F Smax=ql，|M|max=0.5ql2。
题2-14图材料力学2-15 试用奇异函数写出题2-14的内力方程。