数学建模线性规划的求解
数学建模线性规划与整数规划
数学建模线性规划与整数规划数学建模是一门将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法解决的学科。
线性规划和整数规划是数学建模中常用的两种模型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍线性规划和整数规划的概念、模型形式以及求解方法。
一、线性规划（Linear Programming）线性规划是一种在约束条件下求解线性目标函数最优解的数学模型，它的基本形式可以表示为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0在上述模型中，C₁,C₂,...,Cₙ为目标函数的系数，Aᵢₙ为不等式约束条件的系数，bᵢ为不等式约束条件的右端常数，X₁,X₂,...,Xₙ为决策变量。
线性规划的求解可以通过单纯形法或内点法等算法实现。
通过逐步优化决策变量的取值，可以得到满足约束条件并使目标函数达到最优的解。
二、整数规划（Integer Programming）整数规划是在线性规划基础上增加了决策变量必须取整的要求，其模型形式为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0X₁,X₂,...,Xₙ为整数整数规划在实际问题中常用于需要求解离散决策问题的情况，如装配线平衡、旅行商问题等。
然而，由于整数规划问题的整数约束，其求解难度大大增加。
求解整数规划问题的方法主要有分支定界法、割平面法、遗传算法等。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型线性规划是一种数学模型，被广泛应用于许多领域。
本文将介绍线性规划的数学模型的重要性和应用领域，并简要说明线性规划的定义和基本概念。
线性规划是一种优化问题的数学表述，其目的是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小的变量值。
线性规划的主要特点是目标函数和约束条件均为线性关系。
线性规划在工程、经济、物流、运输等领域都有广泛的应用。
它可以用来解决资源分配、生产计划、成本最小化、效益最大化等问题。
线性规划的数学模型可以通过建立目标函数和约束条件的数学表达式来表示。
这篇文档将深入探讨线性规划的数学模型，并介绍一些常见的线性规划应用案例。
通过了解线性规划的数学模型，读者可以更好地理解其背后的原理和应用。
希望本文能对读者在研究和实践中解决实际问题时提供帮助和指导。
本文将讨论如何构建线性规划模型，包括确定决策变量、目标函数和约束条件，以及如何将实际问题转化为数学模型。
决策变量在构建线性规划模型时，首先需要确定决策变量。
决策变量是用来表示决策问题中需要决定的未知量。
它们的取值将影响函数的输出结果。
在确定决策变量时，需要考虑问题的具体情况，并确保决策变量具有明确的定义和可行的取值范围。
目标函数确定决策变量后，下一步是确定目标函数。
目标函数是线性规划模型中需要最大化或最小化的函数。
它通常与问题的目标密切相关，并且能够量化问题的目标。
在确定目标函数时，需要考虑问题的特点和要求，确保目标函数能够准确地度量问题的目标。
约束条件除了目标函数，线性规划模型还包括一系列约束条件。
约束条件是对决策变量的限制和要求，用于限定决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式或不等式，它们对问题的解产生了限制和约束。
在确定约束条件时，需要将问题的限制条件转化为数学形式，并确保约束条件与实际问题相符合。
实际问题转化为数学模型最后，将实际问题转化为数学模型是构建线性规划模型的关键步骤。
这需要理解问题的要求和限制，并将其转化为决策变量、目标函数和约束条件的数学表达式。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
《数学建模》实验指导_03_Lingo求解线性规划问题
实验二：Lingo求解线性规划问题学时：4学时实验目的：掌握用Lingo求解线性规划问题的方法，能够阅读Lingo结果报告。
实验内容：1、求解书本上P130的习题1：某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表1所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程序越高）；3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
表 1（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？列出线性规划模型，然后用Lingo求解，根据结果报告得出解决方案。
2、指派问题：6个人计划做6项工作，其效益如下表（”-”表示某人无法完成某项工作），3、有限制的运输问题：6个发点6个收点，其供应量、接收量和运费如下表1（”-”表示某个发电无法向某个收点运输货物），如果某个发点向某个收点运输货物，则运输量不得低使用Lingo 的一些注意事项1. “>”与“>=”功能相同。
2. 变量与系数间相乘必须用”*”号，每行用”;”结束。
3. 变量以字母开头，不能超过8个字符。
4. 变量名不区分大小写（包括关键字）。
5. 目标函数用min=3*x1+2*x2或max=3*x1+2*x2的格式表示。
6. “!”后为注释。
7. 变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，共4种：@bin(x) 限制x 为0或1 @bnd(L,x,U) 限制L≤x≤U@free(x) 取消对变量x 的默认下界为0的限制，即x 可以取任意实数 @gin(x) 限制x 为整数 其他可见“Lingo 教程.doc ”如书上85页的Lindo 代码可改为如下Lingo 代码： max =72*x1+64*x2; x1+x2<50;12*x1+8*x2<480; 3*x1<100;例1.1 如何在LINGO 中求解如下的LP 问题：,6002100350..32min 212112121≥≤+≥≥++x x x x x x x t s x x在模型窗口中输入如下代码：min =2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100;2*x1+x2<=600;然后点击工具条上的按钮 即可。
数学建模第4讲线性规划
解 编写M文件xxgh1.m如下：
c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6];
A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08];
b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[];
8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2
因检验员错检而造成的损失为：
(8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8x1 12 x2
2024/8/3
数学建模
故目标函数为：
min z (32 x1 24 x2) (8x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2
0 0 0 0.5 1.2 1.3];
b = [800; 900];
Aeq=[1 0 0 1 0 0
010010
0 0 1 0 0 1]; beq=[400 600 500];
To MATLAB (xxgh3)
vlb = zeros(6,1);
vub=[];
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
解: 编写M文件xxgh2.m如下：
x1
min z (6
3
4)
x2
x3
s.t.
1
0
1 1
1 0
x1 x2 x3
120
50
30 0 20
x1 x2 x3
c=[6 3 4];
A=[0 1 0];
b=[50];
Aeq=[1 1 1];
beq=[120]; vlb=[30,0,20];
线性规划问题的解法与最优解分析
线性规划问题的解法与最优解分析线性规划是一种数学建模方法，用于解决最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划问题的解法和最优解分析。
一、线性规划问题的定义线性规划问题是指在一定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
线性规划问题的数学模型可以表示为：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数中的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划问题的解法线性规划问题的解法主要有两种：图形法和单纯形法。
1. 图形法图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
它通过绘制约束条件的直线或平面以及目标函数的等高线或等高面，来确定最优解。
首先，将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系上。
然后，确定目标函数的等高线或等高面，并绘制在坐标系上。
最后，通过观察等高线或等高面与约束条件的交点，找到最优解。
图形法简单直观，但只适用于低维的线性规划问题。
2. 单纯形法单纯形法是一种迭代的求解方法，适用于高维的线性规划问题。
它通过在可行域内不断移动，直到找到最优解。
单纯形法的基本思想是从初始可行解开始，每次通过找到一个更优的可行解来逼近最优解。
它通过选择一个基本变量和非基本变量，来构造一个新的可行解。
然后，通过计算目标函数的值来判断是否找到了最优解。
如果没有找到最优解，则继续迭代，直到找到最优解为止。
单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法，但对于大规模的问题，计算量会很大。
线性规划中的最优解求解
线性规划中的最优解求解线性规划是一种在运筹学和数学中广泛应用的数学建模技术，通过确定一组线性约束条件下的最优解，以实现目标最大化或最小化。
最优解是指在满足给定约束条件的前提下，能使目标函数达到最优值的解。
在线性规划问题中，最优解的求解有多种方法。
本文将介绍线性规划中的两种主要方法：图解法和单纯形法。
一、图解法图解法是一种简单直观的方法，适用于只有两个变量的问题。
它通过在平面坐标系上画出约束条件的图形，找到可行域（满足所有约束条件的解集），并在可行域内寻找使目标函数达到最优值的点。
具体步骤如下：1. 绘制坐标系，并画出约束条件的直线或曲线。
每个约束条件都会限制变量的取值范围，在平面上形成一条直线或曲线。
2. 标出可行域。
根据所有约束条件的交集，确定满足所有约束条件的解的集合，即可行域。
可行域通常是一个多边形区域。
3. 确定目标函数。
根据问题的要求确定目标函数，并将其表示为直线或曲线。
4. 在可行域内寻找最优解。
通过平行于目标函数的线，将其移动至与可行域相切，并找到使目标函数取得最优值的点。
图解法的优点是简单易懂，能够提供初步的解决方案。
然而，对于复杂问题和具有多个变量的大规模问题，图解法可能不适用。
二、单纯形法单纯形法是一种基于矩阵运算的高效方法，适用于多变量和大规模问题。
它通过不断进行迭代计算，寻找最优解。
具体步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式。
标准形式要求目标函数为最小化问题，并且所有约束条件均为等式形式。
如果原问题不符合标准形式，可以进行线性变换进行转化。
2. 构建初始单纯形表。
将原问题的线性规划模型表示为矩阵形式，并构建单纯形表，包括目标函数系数、基变量和非基变量等信息。
3. 迭代计算。
根据单纯形表中的信息，进行迭代计算，通过选择合适的主元（即最大系数法则）和更新各个单元的值，逐步接近最优解。
4. 判断终止条件。
在每一次迭代计算后，判断是否满足终止条件，即目标函数是否达到最优解。
线性规划问题求解----数学建模实验报告
由题目所给的数据可建立如下的线性规划模型：
Min z(1.250.25)(������1 ������2 )(20.35)������8 (2.80.5)������9 10������6 )
084 实验报告
1、 实验目的：
（1)学会用 matlab 软件解决线性规划问题的最优值求解问题。 （2） 学会将实际问题归结为线性规划问题用 MATLAB 软件建立恰 当的数学模型来求解。 （3）学会用最小二乘法进行数据拟合。 （4）学会用 MATLAB 提供的拟合方法解决实际问题。
2、 实验要求：
（1）按照正确格式用 MATLAB 软件解决课本第 9 页 1.1、1.3， 第 100 页 5.1、5.3 这几个问题，完成实验内容。 （2）写出相应的 MATLAB 程序。 （3）给出实验结果。 （4）对实验结果进行分析讨论。 （5）写出相应的实验报告。
3、 实验步骤：
（1)、对于习题 1.1: a.将该线性规划问题首先化成 MATLAB 标准型 b．用 MATLAB 软件编写正确求解程序：程序如下:
（4)、对于习题5.3:用MATLAB中最小二乘法求拟合表中的数据。 程序如下：x=[1:8]';
y=[15.3,20.5,27.4,36.6,49.1,65.6,87.87,117.6]'; xishu=[ones(8,1),x];%构造系数矩阵 cs=xishu\log(y);%线性最小二乘法拟合参数 cs(1)=exp(cs(1));%把lna变换成a
对应整数规划的最优解为 x11200，x2230，x30，x4859，x5571，x60，x7500，x8 500，x9324， 最优值为 z1146.414 元。
数学建模竞赛中的数学模型求解方法
数学建模竞赛中的数学模型求解方法数学建模竞赛是一项旨在培养学生数学建模能力的竞赛活动。
在竞赛中，参赛者需要利用数学知识和技巧，解决实际问题，并提出相应的数学模型。
然而，数学模型的求解方法却是一个非常关键的环节。
本文将介绍一些常见的数学模型求解方法，帮助参赛者在竞赛中取得好成绩。
一、线性规划线性规划是数学建模中常见的一种模型求解方法。
它的基本思想是将问题转化为一个线性函数的最优化问题。
在线性规划中，参赛者需要确定决策变量、目标函数和约束条件，并利用线性规划模型求解最优解。
常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。
这些方法基于数学原理，通过迭代计算，逐步接近最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量取整数值。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，例如货物运输、资源分配等。
在整数规划中，参赛者需要将问题转化为一个整数规划模型，并利用整数规划求解方法求解最优解。
常见的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法等。
这些方法通过分解问题、添加约束条件等方式，逐步缩小搜索空间，找到最优解。
三、非线性规划非线性规划是一类目标函数或约束条件中包含非线性项的最优化问题。
在实际问题中，很多情况下目标函数和约束条件都是非线性的。
在非线性规划中，参赛者需要选择适当的数学模型，并利用非线性规划求解方法求解最优解。
常见的非线性规划求解方法有牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。
四、动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。
在动态规划中，参赛者需要确定状态、决策和状态转移方程，并利用动态规划求解方法求解最优解。
常见的动态规划求解方法有最优子结构、重叠子问题等。
这些方法通过存储中间结果、利用递推关系等方式，逐步求解最优解。
五、模拟与优化模拟与优化是一种常见的数学模型求解方法。
在模拟与优化中，参赛者需要建立数学模型，并利用计算机模拟和优化算法求解最优解。
常见的模拟与优化方法有蒙特卡洛模拟、遗传算法等。
高中数学解线性规划问题的步骤和技巧
高中数学解线性规划问题的步骤和技巧线性规划是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模的基础。
它通过数学方法来解决实际问题，寻找最优解。
本文将介绍解线性规划问题的步骤和技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用线性规划。
一、了解线性规划问题的基本概念在解决线性规划问题之前，首先需要了解线性规划问题的基本概念。
线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值。
其中，线性约束条件是指各个变量之间的关系是线性的，线性目标函数是指目标函数是线性的。
二、确定决策变量和目标函数解决线性规划问题的第一步是确定决策变量和目标函数。
决策变量是指需要决策的变量，目标函数是指需要优化的目标。
例如，假设有一个生产问题，需要确定生产不同产品的数量，那么生产不同产品的数量就是决策变量，而总利润就是目标函数。
三、列出线性约束条件在确定了决策变量和目标函数之后，需要列出线性约束条件。
线性约束条件可以是等式或不等式，用来限制决策变量的取值范围。
例如，假设生产不同产品的数量不能超过某个限制值，那么可以列出相应的不等式约束条件。
四、绘制可行域图为了更直观地理解线性规划问题，可以绘制可行域图。
可行域图是指将线性约束条件表示在坐标系中，形成的一个区域。
决策变量的取值必须在这个区域内，才满足线性约束条件。
通过绘制可行域图，可以更好地理解问题的约束条件和可行解的范围。
五、确定最优解在确定了可行域图之后，需要确定最优解。
最优解是指在满足线性约束条件的前提下，使目标函数取得最大值或最小值的决策变量取值。
通过观察可行域图和目标函数的变化趋势，可以推测最优解的位置。
六、检验最优解在确定了最优解之后，需要对最优解进行检验。
检验最优解的方法是将最优解代入目标函数和约束条件中，计算是否满足所有约束条件。
如果满足所有约束条件，则最优解是可行解；如果不满足所有约束条件，则需要重新调整决策变量的取值。
七、灵活运用线性规划的方法和技巧在解决线性规划问题时，可以灵活运用一些方法和技巧来简化计算过程。
数学建模 - 第二章 线性规划及单纯形法
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
13
§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的 解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。 记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得 对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
11
第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。
数学建模：常见的线性规划问题求解方法
数学建模：常见的线性规划问题求解方法1. 引言在数学建模中，线性规划是一种常见的数学模型。
它通常用于求解优化问题，在多个约束条件下找到使目标函数最大或最小的变量值。
本文将介绍几种常见的线性规划问题求解方法。
2. 单纯形法单纯形法是一种经典且高效的线性规划问题求解方法。
它通过不断移动基变量和非基变量来搜索可行解集，并在每次移动后更新目标函数值，直到达到最优解。
该方法适用于标准形式和松弛法形式的线性规划问题。
2.1 算法步骤1.初始化：确定基变量和非基变量，并计算初始相应坐标。
2.计算检验数：根据当前基变量计算检验数，选取检验数最小的非基变量作为入基变量。
3.计算转角系数：根据入基变量计算转角系数，并选择合适的出基变量。
4.更新表格：进行行列交换操作，更新表格中的各项值。
5.结束条件：重复2-4步骤，直至满足结束条件。
2.2 优缺点优点： - 单纯形法的时间复杂度较低，适用于小规模线性规划问题。
- 可以处理带等式约束和不等式约束的线性规划问题。
缺点： - 在某些情况下，单纯形法会陷入梯度消失或梯度爆炸的情况，导致无法找到最优解。
- 处理大规模问题时，计算量较大且可能需要较长时间。
3. 内点法内点法是另一种常见的线性规划求解方法。
与单纯形法不同，内点法通过在可行域内搜索目标函数的最优解。
它使用迭代过程逼近最优解，直到满足停止条件。
3.1 算法步骤1.初始化：选取一个可行解作为初始点，并选择适当的中心路径参数。
2.计算对偶变量：根据当前迭代点计算对偶变量，并更新目标函数值。
3.迭代过程：根据指定的迭代更新方程，在可行域内搜索目标函数的最优解。
4.结束条件：重复2-3步骤，直至满足结束条件。
3.2 优缺点优点： - 内点法相对于单纯形法可以更快地收敛到最优解。
- 在处理大规模问题时，内点法的计算效率更高。
缺点： - 内点法需要选择适当的中心路径参数，不当的选择可能导致迭代过程较慢。
- 对于某些复杂的线性规划问题，内点法可能无法找到最优解。
数学建模中的线性规划方法
数学建模中的线性规划方法随着科技和经济的发展，线性规划在多个领域中得到广泛应用，特别是在数学建模中，它是一种非常重要的工具。
在本文中，我们将探讨线性规划的基本概念、求解方法以及在数学建模中的实际应用。
一、基本概念线性规划是一种最优化的数学模型，通常用于寻找最大或最小值的解决方案。
这种模型通常由多个线性约束条件组成，并有一个或多个变量需要优化。
线性规划的目标是通过最小化或最大化目标函数，找到最优解。
一个典型的线性规划问题可以用如下的形式表示：\begin{aligned} & \min/\max\ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ &\text{subject to:} \\ & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n\leq b_1 \\ & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \leq b_2 \\ & \vdots \\ & a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \leqb_m \\ & x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, \ldots, x_n \geq 0 \end{aligned}其中，$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$是待优化的目标函数，$a_{ij}$和$b_i$是已知的线性不等式限制条件。
二、求解方法线性规划有多种求解方法，包括单纯形法、内点法、网络流方法等。
其中，单纯形法是最常用的方法之一。
单纯形法是一种迭代的算法，它从一个起始基（基向量组成的矩阵）开始，不断交替地找出进入基的变量和离开基的变量，从而求出最优解。
具体步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数为最小化，并且所有约束条件都是等式形式。
2. 构造初始基。
3. 计算基的费用向量，即基所对应的目标函数系数。
线性规划的解法
线性规划的解法线性规划（Linear Programming）是数学优化的一个重要分支，旨在寻求一组最优解，以满足一系列线性约束条件。
在实际问题中，线性规划方法被广泛应用于资源分配、生产调度、运输计划等领域。
本文将介绍线性规划的解法及其应用。
一、线性规划问题的描述与模型建立线性规划问题可以用数学模型来描述，一般表示为：$max\{c^Tx | Ax \leq b, x \geq 0\}$其中，$c$表示目标函数的系数向量，$x$表示决策变量的值向量，$A$和$b$分别表示约束条件的系数矩阵和常数向量。
解决线性规划问题的关键是确定目标函数和约束条件，以及求解最优解的方法。
二、单纯形法（Simplex Method）单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一，由乔治·丹尼格（George Dantzig）于1947年提出。
该方法基于下面的原理：从一个顶点出发，沿着边界不断移动到相邻的顶点，直到找到目标函数的最大（或最小）值。
具体而言，单纯形法的步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式（如果不满足标准形式）。
2. 选择一个初始基本可行解。
3. 判断当前解是否为最优解，若是，则结束；否则，进行下一步。
4. 选择一个进入变量和一个离开变量，即确定下一个顶点。
5. 进行变量的调整，即计算新的基本可行解。
6. 重复3-5步，直到找到最优解。
三、内点法（Interior Point Method）内点法是另一种常用的线性规划求解方法，其优点是能够在多项式时间内找到最优解。
与单纯形法相比，内点法不需要从一个顶点移动到相邻的顶点，而是通过在可行域内搜索，在每次迭代中逐渐接近最优解。
内点法的基本思路是通过寻找原问题的拉格朗日对偶问题的最优解来解决线性规划问题。
它通过引入一个额外的人工变量，将原问题转化为一个等价的凸二次规划问题，并通过迭代的方式逐步逼近最优解。
四、应用举例线性规划方法在各个领域都有广泛的应用。
数学建模讲座之三-用MATLAB求解线性规划linprog函数
线性规划的求解方法
01
线性规划的求解方法有 多种，包括图解法、单 纯形法、对偶法等。
02
运输问题
总结词
运输问题是一个经典的线性规划应用案例，旨在通过合理安排运输路线和车辆配 置，降低运输成本并提高运输效率。
详细描述
在运输问题中，企业需要考虑货物的运输路线、车辆配置、运输时间等多个因素 ，以最小化运输成本并最大化运输效率。通过建立线性规划模型，可以找到最优 的运输方案，使得企业在满足客户需求的同时获得最大的利润。
02
fval
目标函数的最小值
03
04
exitflag
退出标志，表示求解是否成功 ，0表示成功，其他值表示失
败
output
输出信息，包括迭代次数、最 优解等信息
03
使用linprog函数求解线 性规划问题
建立线性规划问题
确定决策变量
首先需要确定问题的决策 变量，即需要优化的变量。
确定目标函数
根据问题需求，确定目标 函数，即需要最大化或最 小化的函数。
05
总结与展望
线性规划的重要性和应用领域
线性规划是一种优化技术，通 过合理分配有限资源达到最优 目标。它在生产计划、物流管 理、金融投资等领域有广泛应
用。
在生产计划中，线性规划可用 于确定最优的生产组合，以最
小化成本或最大化利润。
在物流管理中，线性规划可用 于货物运输和配送路线优化， 降低运输成本和提高效率。
线性规划的求解算法
线性规划的求解算法线性规划（linear programming ）是运筹学中的一个重要分支，在现代工业、农业、商业、交通运输、国防军事及经济管理等诸多领域都有着广泛重要的应用。
在数学系的竞赛数学建模中，也多次应用线性规划来建模从而解决实际问题。
在这里介绍单纯性法和对偶单纯形法两种求解线性规划的方法。
一、单纯形法算法主体思想 标准线性规划简记如下：LP-max LP-min s.t {0Ax b x =≥ s.t {0Ax bx =≥ 这里只以LP-min 为例。
1、算法思想单纯形法是在已知一个可行基的前提下采用的解决线性规划的算法。
步骤如下：（1）输入初始矩阵：01020,111121,112,1n n m m m n a a a a a a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦K L M MO M K，并化为典则形式。
用R （i ）记录单位矩阵I 中元素1的位置。
（2）求{}0min|0,1jj aj n t >≤≤@若t 不存在，则得到最优解；(i),1R i n x a += （i=1,2,...m ）.其他j x =0，停。
否则，转到（3）。
（3）求,1min{|0,1}i n it ita a i m a λ+>≤≤@。
若λ不存在，则LP-min 无下届，所以无最优解，停；否则，求,1min (i)|,0,1(s)i n it it a R a i m R a λ+⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭@，转到（4）。
（4）sjsj sta a a ⇐，（j=1，2....n+1）ijij sj it a a a a ⇐-,(i=0,1,2...m;i ≠s;j=1,2,....,n+1),(s)t R ⇐,转到（2）.二、对偶单纯形法对偶单纯形法是在已知一个正则基的条件下的求解线性规划的方法。
步骤如下:(1)输入初始矩阵：01020,111121,112,1n n m m m n a a a a a a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦K L M MO M K，并化为典则形式。
01线性规划数学建模
01-线性规划(数学建模) 线性规划是一种数学建模技术，用于解决一类特定的优化问题。
这些问题通常涉及到在一组线性约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数。
线性规划的应用广泛，包括诸如生产计划、货物运输、资源分配等问题。
线性规划的基本模型由以下三个要素组成：1.决策变量：这是我们希望优化的变量。
它们通常是连续的实数变量，可以在问题中自由设定其范围。
2.目标函数：这是我们希望最大化或最小化的函数。
目标函数通常是决策变量的线性函数。
3.约束条件：这些是限制决策变量选择的条件。
它们通常是由决策变量的线性不等式或等式表示。
线性规划问题的一般形式可以表示为：最大化（或最小化）目标函数: c^T x在满足以下条件的情况下：Ax = bx >= lbx <= ub其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧常数向量，lb和ub分别是决策变量的下界和上界。
线性规划问题的求解方法有很多种，其中最常用的方法是使用单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过在约束条件下不断迭代，寻找最优解。
在每次迭代中，我们根据目标函数的系数和约束条件，计算出每个约束条件的"优势"，然后选择具有最大优势的约束条件进行扩展，直到找到最优解或确定无解。
线性规划问题在现实世界中的应用非常广泛。
例如，我们可以使用线性规划来安排生产计划，使得总成本最低。
我们也可以使用线性规划来分配资源，使得某种资源的需求总和不超过供应总和。
下面是一个具体的例子：假设我们有一个公司，生产三种产品：A、B和C。
每种产品都有各自的生产成本（单位成本），以及各自的预期销售量（单位售价）。
我们希望确定每种产品的生产量，以使得总生产成本最低，同时总销售收入最高。
这个问题可以通过一个线性规划来解决。
我们可以将生产量作为决策变量，将总生产成本和总销售收入分别作为目标函数和约束条件。
通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最优的生产计划。
数学教案数学建模中的线性规划问题
数学教案数学建模中的线性规划问题【教案】数学建模中的线性规划问题引言：在数学建模中，线性规划是一种常见的数学模型。
通过对实际问题进行数学建模，可以将实际问题抽象化为线性规划问题，并利用数学方法解决。
本教案将以线性规划问题为主题，介绍线性规划的基本概念、模型建立和解决方法。
一、线性规划的基本概念线性规划是一种优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻找使线性目标函数取得最大（最小）值的一组变量取值。
线性规划的基本组成包括：决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是需要求解的未知数，也是问题中需要决策的部分。
例如，假设某个问题需要制定生产计划，那么可以定义生产计划为决策变量。
2. 目标函数目标函数表示需要优化的目标，可以是最大化或最小化某个指标。
例如，假设某个问题中需要最小化生产成本，那么可以将成本作为目标函数。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制，通常包括等式约束和不等式约束。
例如，某个问题中可能对生产数量有限制，那么可以将这个限制作为约束条件。
二、线性规划模型的建立在建立线性规划模型时，需要明确问题中的决策变量、目标函数和约束条件。
根据具体问题的要求，可以将其转化为数学表达式。
1. 决策变量的定义根据问题中的需要，确定决策变量的含义和取值范围。
例如，在某个生产计划问题中，决策变量可以表示各种产品的生产数量。
2. 目标函数的建立根据问题的优化目标，确定目标函数的表达式。
例如，在最小化生产成本的问题中，可以将成本表示为决策变量的线性组合。
3. 约束条件的制定根据问题中对决策变量的限制，确定约束条件的表达式。
例如，某个问题中对生产数量有限制，那么可以将这个限制表示为决策变量的线性组合。
三、线性规划问题的求解求解线性规划问题的方法有多种，其中最常用的方法是单纯形法。
单纯形法是一种逐步迭代的方法，通过改变决策变量的取值，逐步接近最优解。
1. 单纯形表单纯形表是单纯形法的主要工具，用于辅助计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
结果：
Ｇlobａl oｐtimal solutｉoｎ found. Oｂjeｃｔive valｕe： Infeasibilities：
Totａｌ ｓolｖer itｅrａｔｉons:
34６0。8０0 0。0０00０0
2
Ｍodel Ｔｉｔle： 奶制品的生产销售计划
Cost １.6８0０00 ０0０
0．０00００0 ０００00０ ００0０
ﻩ结果:
Ｇlobal ｏptimal soｌutiｏｎ found． Ｏbjective valuｅ： Infeasibilitｉes： Totaｌ solｖｅr iterａtions：
Ｍodel Tiｔｌe： 储蓄所招聘计划
4 / 17
770。０000 0.０00０0０
５
Cosｔ ０00 ０．０000０0 ０000 ０00000 0.0000０0 00０ 000０
Ｖariａｂle duｃeｄ Cost
X1 0．00０0０0
Ｘ2 ０.0０00０0
336０。000
０．0000０0
2
Ｖaｌuｅ
Rｅ
2０。０00０0
30.00０00
ｉｃe 1．00000０
000０00 ０000
Ｒｏｗ Ｓlack or Surplus
1
3360.00０
ﻩ结果: ﻩx＝
9．00０0 0.0０００ fval = ３6０
例３: ﻩ代码：
maｘ＝72*x1＋64＊ｘ2； x1+ｘ2＜＝５０; 1２＊x1+8＊ｘ2〈=48０; 3*ｘ１<＝100；
ﻩ结果： ﻩ ﻩGlobａl oｐtimal solutｉｏn founｄ.
Objective value： Iｎｆｅaｓｉｂilｉties： Ｔotal solver itｅｒａtions:
000000 0000 ０.０0000０ 0.000０00 ０000 ０00０ ０0００ ００ ０．0０000 ﻩ灵敏度分 析: ﻩ
Vａriable
Vaｌue
Redｕcｅｄ
X1
２。０00０00
0.０00
X2
4.500００0
Y１
０。00000０
50。0
Y２
1。5０000０
0。
Y3
0.0０000０
1. 例 1: 代码：
f=[13 9 10 11 12 8］; A=［0。４ 11 1 0 ０ ０；
0 0 0 0.5 1。2 １。3]; b＝［800；９00］； Aeｑ＝［1 ０ ０ １ ０ 0;
０ 1 0 0 1 0; 0 ０ １ 0 0 1]; bｅq=[４00；600;500］； vlb=ｚeｒos(６，1)； vub＝[］； [ｘ,fval］=ｌｉｎprog（f，Ａ,ｂ，Aｅq,ｂeq,vlｂ,vｕｂ）
1. 对例 1 和例 2,在 MAＴLAB 进行求解。 2. 对例３、４、5，在 LIＮGO 软件进行求解，并作灵敏度分析. 3. 对“3．3 投资的收益与风险"的模型 I，在 MAＴLＡB 中进行求解。 4. 对“习题 5,６，7,8”进行建模与求解。
三、 实验过程与结果(对重要实验结果,截取全屏图，保存为 JＰＧ／PＮＧ图 片）
Ｖariaｂle
Value
X1
０.０0０00０
X2
1６8。0000
Ｘ3 X4
19。20000 0.0００000
X５
2４。0０0０0
X6
0。000000
Reducｅd
0.０00 0．000000
０. １。52
Price
3.16０000 ０0 0．0000００
Row Sｌack ｏr Surplｕs
１
3460.8０0
2
０.000０００
3
0。000000
４
76.000０0
5
0．00０00０
Ｄuａl １.000000 ３．2600
4
3 / 17
４.00000 ０0０0
灵敏度分析：
6
0．000００0
３2．0
例５： 代码：
ﻩmodｅｌ:
titlｅ 储蓄所招聘计划; min=10０*ｘ１+１00*ｘ2＋40＊ｙ1＋40*ｙ２+４０＊y３+40＊ｙ4+4０*y5; x1+x２+ｙ1〉=4； x1+ｘ2＋y1+y2＞=3； ｘ1+x2+y１+y2＋y3〉=４； ｘ2+y1+ｙ2+ｙ3+ｙ4〉=6； x1+y２＋y3+y4+ｙ5〉=5; x1+ｘ２+y3+y４+y5＞=6； x1+ｘ2+y4+ｙ５〉=8; x1+x2+y５＞=8; y1+y2+y3+y4+y5<=3；
实验二 线性规划的求解
学号：４1０1１ 姓名:何科 班级：201５级 10 班
一、 实验目的
1. 熟悉并掌握 MATLAB 的线性规划求解函数ｌinprｏg()及其用法； 2. 熟悉并掌握 LINGＯ软件求解线性规划的方法； 3. 能运用 LＩNGO 软件对线性规划问题进行灵敏度分析。
二、 实验任务
结果：
ｘ= ０.000０
600.00０0 0。0000
400．０0０0 0．0000
5０0.0000 ｆｖal =1.３800e+０4
例 2:
代码： c=［4０ 3６］； Ａ=[-5 —3］；
1 / 17
b=［-45]; Ａｅq＝[]; beｑ=［］; ｖlb=zeros(２，１）； vub＝［9;15]; ［ｘ，ｆｖａl]=ｌiｎprog（ｃ,A，b,Aeq，beq,ｖlb，vub)
0.０000
９
0。００0００0
—5
１0
0。000000
60。00000
5 / 17
4. 投资的收益与风险的模型Ｉ,在 MATLAB 中进行求解 代码：
４
40.0０000
Duaｌ Ｐr
４8。00000 2。
0.０0
ﻩ灵敏度分析: ﻩ
2 / 17
例 4: 代码:
mｏdel: titlｅ 奶制品的生产销售计划； max＝2４＊x1+16*x2＋４4＊ｘ3+３２＊x4－3＊x5-3＊ｘ６； ４*x１+3＊x2+4*ｘ5+3＊x６〈600; ４＊x1＋２＊x2+６＊x５+４＊x6<480; ｘ1＋x5〈100; x3=0.8*x５； ｘ4＝0。7５*x6； eｎd
Ｙ4
0.０00００0
0.00０
Y5
１.500000
0．００
Row Ｓｌack or Sｕｒplus
1
７70。０000
Dual Priｃe -1。
２
2．50000０
0．0０
3
5．０００00０
4
4．000000
5
0．０0０000
—50.0
6
0。0００00０
－５0．0
7
2。０00000
0．００
8
0．０００000