菱形专题复习
2023年中考数学复习存在性问题系列菱形的存在性问题专题探究
2023年中考复习存在性问题系列菱形的存在性问题专题探究函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大得多，因此我在研究了近些年中考真题之后尝试性地总结一下菱形存在性问题的通用解法，以供大家参考.解题攻略1.【基本概念】菱形作为一种特殊的平行四边形，可以从以下几种方式得到：（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边都相等的四边形是菱形2.【基本题型】因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点（2）1个定点+3个半动3.【解题思路】解决问题的方法也可有如下两种：思路1：先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A +C =B +D ”（AC 、BD 为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．思路2：先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，平移再确定第4个点．典例剖析1. 两定两动：坐标轴+平面例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax x c a =-+≠与x 轴交于点A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．OA 、OB 的长是不等式组243522x x x x +>⎧⎪⎨-⎪⎩的整数解()OA OB <，点(2,)D m 在抛物线上．（1）求抛物线的解析式及的值；（2）轴上的点使和的值最小，则 ；（3）将抛物线向上平移，使点落在点处．当时，抛物线向上平移了 个单位；（4）点在在轴上，平面直角坐标系内存在点使以点、、、为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标．【答案】（1）-4（2）2（3）9（4）、、、．【详解】：（1）所给不等式组的解集为，其整数解为2，3，、的长是所给不等式组的整数解，且，，，则，，点、在抛物线上，， m y E AE DE OE =C F //AD FB M y N A B M NN 1(5,4)N --2(5,4)N -321)N 4(5,21)N 24x <OA OB OA OB <2OA ∴=3OB =(2,0)A -(3,0)B A B ∴420930a c a c ++=⎧⎨-+=⎩解得， 所求的抛物线的解析式为，点在抛物线上，；（2）如图1所示，连接交轴于点，则此时最小，设直线的解析式为，点，在直线上，， 解得， 直线的函数解析式为，当时，，即．，， 16a c =⎧⎨=-⎩∴26y x x =--(2,)D m 22264m ∴=--=-AD y E AE ED+AD (0)y kx b k =+≠(2,0)A -(2,4)D -AD ∴2024k b k b -+=⎧⎨+=-⎩12k b =-⎧⎨=-⎩∴AD 2y x =--0x =2y =-(0E 2)-|2|2OE ∴=-=故答案为：2；（3）如图1，，，， ，，，，，抛物线向上平移9个单位，故答案为：9；（4）以、、、为顶点的四边形是菱形，对角线互相垂直且平分，由，与不能作为一组对角线，分两种情况：①以与为对角线时，如图2①和图2②， //AD FB AEO BFO ∴∆∆∽∴OE OA OF OB=2OE OA ==3OF OB ∴==(0,6)C -|6|6OC ∴=-=639CF CO OF ∴=+=+=∴A B M N OA OB ≠AB ∴MN ∴AM BN如图2①，，四边形是菱形，轴，，在中，，，，如图2②，同理可得：，②以与为对角线时，如图2③和图2④，如图2③，菱形的边长仍为5，轴，，，235AB OA OB =+=+=ABMN ////MN AB x ∴5MN MB AB ===Rt MBO ∆2222534OM MB OB --=(0,4)M ∴(5,4)N ∴-(5,4)N --ANBM //MN x 22225221MO AM OA =--=21)M ∴，如图2④，同理可得：，综上所述，①②两种情况，符合条件的点的坐标为：、、、．2.两定两动：对称轴+平面例2.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点B ，D （﹣4，5）两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ，探究EM +MP +PB 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出点B 的坐标为（1，0），再用待定系数法即可求解；（2）以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，故点B 向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E ，则Q （F ）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F （Q ），21)N ∴(5,21)N -N 1(5,4)N --2(5,4)N -321)N 4(5,21)N-且BE＝EF（BE＝EQ），即可求解；（3）由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，进而求解．【解析】（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0），则，解得，故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2，5），由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为（﹣1，m），由点B、E的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26，设点Q的坐标为（s，t），∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），则或，解得或，故点F的坐标为（﹣1，5+）或（﹣1，5﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）；（3）存在，理由：由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四边形B″B′PM为平行四边形，则B″M＝B′P＝BP，则EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E+1为最小，由点B″、E的坐标得，直线B″E的表达式为y＝（x+2），当x＝﹣1时，y＝（x+2）＝，故点M的坐标为（﹣1，），则EM+MP+PB的最小值B″E+1＝1+＝+1．3.两定两动：斜线+抛物线例3.（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．【分析】（1）解方程x2+2x﹣6＝0，可求得A、B的坐标，令x＝0，可求得点C的坐标，即可得直线AC，BC的函数表达式；（2）①设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，可得BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，分两种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解；②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，由直线l∥BC可设直线BC的解析式为y＝3k+b，由点D的坐标可得b＝﹣4m﹣6，则M（﹣2，﹣4m﹣12），根据AC的函数表达式可得N（﹣2，﹣4），求出MN，根据S△DMN＝S△AOC可求得m，求出点D，点M 的坐标，即可得DM的长．【解析】（1）当y＝0时，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝2，∴A（﹣6，0），B（2，0），当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；（2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，∵DE∥BC，∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，∴BD2＝BC2，∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，∴CD2＝CB2，∴2m2＝40，解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），∴点D的坐标为（﹣2，2﹣6），∵点D向右移动2各单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，∴点E的坐标为（2﹣2，2）；综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；②设点D 的坐标为（m ，﹣m ﹣6），其中﹣6＜m ＜0，∵A （﹣6，0），B （2，0），∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2，∵直线BC 的函数表达式为y ＝3x ﹣6，直线l ∥BC ，∴设直线l 的解析式为y ＝3x +b ，∵点D 的坐标（m ，﹣m ﹣6），∴b ＝﹣4m ﹣6，∴M （﹣2，﹣4m ﹣12），∵抛物线的对称轴与直线AC 交于点N ．∴N （﹣2，﹣4），∴MN ＝﹣4m ﹣12+4＝﹣4m ﹣8，∵S △DMN ＝S △AOC ，∴（﹣4m ﹣8）（﹣2﹣m ）＝×6×6，整理得：m 2+4m ﹣5＝0，解得：m 1＝﹣5，m 2＝1（舍去），∴点D 的坐标为（﹣5，﹣1），∴点M 的坐标为（﹣2，8），∴DM ＝＝3， 答：DM 的长为3． 变式练习1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与直线AB 交于A ，B 两点，其中01A （，），(4,1)B -．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P ，Q 为直线AB 下方抛物线上任意两点，且满足点P 的横坐标为m ，点Q 的横坐标为1m +，过点P 和点Q 分别作y 轴的平行线交直线AB 于C 点和D 点，连接PQ ，求四边形PQDC 面积的最大值；(3)在（2）的条件下，将抛物线2y x bx c =++沿射线AB 平移51y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，点G 为平面直角坐标系内一点，当点B E F G ，，，构成以EF 为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G 的坐标．【答案】(1)2912y x x =-+； (2)154； (3)1315(,)44-、193394(4--、193394(4-．【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据题意，求得直线AB 解析式，以及P Q C D 、、、四点坐标，得到PC 、DQ 长度，利用二次函数的性质求解即可；（3）根据平移的性质，求得1y 的表达式，分两种情况，讨论求解即可．【详解】（1）解：将01A （，），(4,1)B -代入二次函数解析式，可得16411b c c ++=-⎧⎨=⎩，解得921b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即2912y x x =-+；（2）设直线AB 解析式y kx n =+，代入01A （，），(4,1)B -，可得411k n n +=-⎧⎨=⎩，解得121k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即112y x =-+， 则29(,1)2P m m m -+，1(,1)2C m m -+，29(1,(1)(1)1)2Q m m m ++-++，1(1,(1)1)2D m m +-++ 22191(1)422PC m m m m m =-+--+=-+， 2219(1)1[(1)(1)1)2322QD m m m m m =-++-+-++=-++， 2213315()13()2224PQDC S PC QD m m m =⨯+⨯=-++=--+四边形， 即当32m =时，PQDC S 四边形最大，为154； （3）由（2）可知37(,)22P -， 直线AB 为112y x =-+与x 轴的交点为(2,0)，与y 轴的交点为(0,1)，5 沿射线AB 平移54个单位，向下移动了2个单位， ∴1111(,)22E -， 则2912y x x =-+平移后2125332y x x =-+， 抛物线1y 的对称轴为254x =， 设25(,)4F t ， 当BE BF =时，如图：则22221111251111(4)(1)()()22422t -+-+=-++， 解得22339t -±=， ∴2522339(4F --或2522339(4F -+， 当2522339(4F -+时，E 平移到B ，F 平移到G ， ∴193394(4G -， 当2522339()4F --时，E 平移到B ，F 平移到G ， ∴193394()4G --，当BF EF =时，如下图：222225251111(4)(1)()()4422t t -++=-++，解得114t =-，F平移到B，E平移到G，可得1315 (,)44G-，综上点G的坐标为1315(,)44-、193394(4--、193394(4-．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，四边形面积、菱形的性质及应用等知识解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．2.如图，已知直线y＝43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝﹣43x2﹣83x+4(2)S最大＝252，D（﹣32，5）(3)存在，Q（﹣2，198）【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；（2）作DF∴AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；（3）根据菱形性质可得P A ＝PC ，进而求得点P 的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q 坐标．【详解】（1）解：当x ＝0时，y ＝4，∴C （0，4），当y ＝0时，43x +4＝0， ∴x ＝﹣3，∴A （﹣3，0），∴对称轴为直线x ＝﹣1，∴B （1，0），∴设抛物线的表达式：y ＝a （x ﹣1）•（x +3），∴4＝﹣3a ，∴a ＝﹣43， ∴抛物线的表达式为：y ＝﹣43（x ﹣1）•（x +3）＝﹣43x 2﹣83x +4； （2）如图1，作DF ∴AB 于F ，交AC 于E ，∴D （m ，﹣243m ﹣83m +4），E （m ，﹣43m +4）， ∴DE ＝﹣243m ﹣83m +4﹣（43m +4）＝﹣43m 2﹣4m ， ∴S △ADC ＝12DE OA ＝32•（﹣43m 2﹣4m ）＝﹣2m 2﹣6m ，∴S△ABC＝12AB OC⋅＝1442⨯⨯＝8，∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+32）2+252，∴当m＝﹣32时，S最大＝252，当m＝﹣32时，y＝﹣433(1)(3)322⨯--⨯-+＝5，∴D（﹣32，5）；（3）设P（﹣1，n），∴以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴P A＝PC，即：P A2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n＝138，∴P（﹣1，138），∴xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣138＝198，∴Q（﹣2，198）．【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质菱形作为特殊的平行四边形其存在性问题亦是分类讨论中的一大难点．此类题目多以直角坐标平面为背景．题干中一般会给出两个顶点，第三个点在某个可求的函数图像上，在另一个函数的图像上或直角坐标平面内，求能与之前的三个点构成菱形的第四个点的坐标．此类题目的一大难度在于如何合理分类的问题．若题干中已知两定点的话，可以把这两定点连成的线段是菱形的一边或者对角线进行分类讨论，再利用菱形的性质确定出其他的顶点的位置．。
2014年八年级下数学、菱形的专题复习2
第五讲：菱形的学习一、知识点梳理：1、 菱形：有一组___________相等的平行四边形叫做菱形。
2、 菱形的性质：（1）菱形的___________都相等；（2）菱形的对角线___________ ，并且每一条对角线__________ _____。
3、菱形的判定：（1）定义；有一组邻边相等的___________叫做菱形。
（2）四条边相等的___________是菱形；（3）______________________的平行四边形是菱形； （4）对角线________________的平行四边形是菱形。
4、菱形的面积等于___________。
推广：对角线互相垂直的四边形的面积都等于_____________________。
二、典型例题：例1：（1）菱形的周长为12 cm ，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（ ）A.6 cmB.1.5 cmC.3 cmD.0.75 cm（2）如图（1），在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点， 则∠EAF 等于（ ）A.75°B.60°C.45°D.30°图（1） 图（2）（3）如图2，已知菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24，且AE =6，则菱形的边长为（ ）A.12B.8C.4D.2相应练习练习11、 菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23 cm,则另一条对角线的长是_____________。
2、菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于_______ cm, 它的面积等于______ cm 2.3、菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC =21∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为____________.4、如图3，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是．．．（． ）． A ．矩形 B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形三、典型例题例2：如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点N ，连接BM ，DN ． （1）求证：四边形BMDN 是菱形； （2）若AB=4，AD=8，求MD 的长．相应练习25.如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE=AB ，连接CE ． （1）求证：BD=EC ；（2）若∠E=50°，求∠BAO 的大小．例3：两个全等的直角三角形重叠放在直线l 上，如图⑴，AB=6cm ，BC=8cm ，∠ABC=90°，将Rt △ABC 在直线l 上左右平移，如图⑵所示.⑴ 求证：四边形ACFD 是平行四边形;ACD图3⑵ 怎样移动Rt △ABC ，使得四边形ACFD 为菱形; ⑶ 将Rt △ABC 向左平移cm 4，求四边形DHCF 的面积.四、强化训练：1、已知：菱形两条对角线长的比为2∶3，菱形面积为12cm 2，则它的较长对角线的长为 cm.2、菱形ABCD 中，∠A ＝60o，对角线BD 长为7cm ，则此菱形周长＿＿＿cm 。
(初中)数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总
（初中）数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总菱形的性质与判定基础同步过关知识点一：菱形的性质定理1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，则添加下列条件之一，不能使它成为菱形的是（）A.AB=ADB.AC=BDC.BD平分∠ABCD.AC∠BD2.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是。
3.如图，下列对菱形ABCD表述正确的有。
∠AC=BD；∠∠OAB=∠OBA；∠AC∠BD；∠有4条对称轴；∠AD=BD；∠∠OAB=∠OAD。
4.如图，四边形ABCD是菱形，AC BD相交于点O,AC=8，BD=6，DH∠AB于点H，则DH的长为。
第1题图第2题图第3题图第4题图5.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=120°，则菱形ABCD的面积是。
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OE∠AB，垂足为E，若∠ADC=128°，则∠AOE的度数为（）A.62°B.52°C.68°D.64°7.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3，点E是BC边上的一个动点（点E与点C不重合），点F,G分别是AE,CE的中点，则线段FG的长度为（）B.3第5第6题图第7题图知识点二：菱形的判定定理8.已知四边形ABCD中，AC∠BD，再补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（）A.AC=BDB.AB=BCC.AC与BD互相平分D.∠ABC=90°9.如图，将∠ABC沿BC方向平移得到∠DCE，连接AD.下列条件中，能够判定四边形ACED为菱形的是（）A .AB=BC B. AC=BC C.∠ABC=60° D.∠ACB=60°10.AC,BD相交于点O，点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，（写出一种即可）11.折纸游戏一直很受大家的欢迎，小丽同学要用一张矩形纸片折出一个菱形，她用沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）。
菱形基础知识总结期末复习
菱形基础知识总结期末复习
菱形是几何学中常见的图形之一，具有一些特殊的性质和定义。
本文将总结菱形的基础知识，以供期末复参考。
1. 定义和性质：
- 菱形是一个有四条边的四边形，其中所有的边都相等长度。
- 菱形的对角线相交于一点，并且对角线相等且相互垂直。
2. 公式：
- 菱形的面积可以通过以下公式计算：面积 = 对角线1长度 ×
对角线2长度 ÷ 2。
- 菱形的周长可以通过公式计算：周长 = 4 ×边长。
3. 关系与衍生形状：
- 菱形是正方形的一种特殊情况，正方形也是菱形的一种情况。
- 菱形的内角和为360度。
- 菱形可以被划分为4个全等的直角三角形。
4. 判断菱形：
- 判断一个四边形是否为菱形，需要检查它的四条边是否相等，以及对角线是否相等且垂直。
5. 菱形在生活中的应用：
- 菱形常见于建筑物的设计中，如钻石形状的窗户。
- 菱形也常用于制作各种装饰品，如首饰等。
以上是对菱形基础知识的总结和复习，希望能对您的期末复习
有所帮助。
祝您考试顺利！。
复习课菱形的性质与判定
D
B
E
F
B
D
C
例2：
例3.如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线交CD于 E，交BC于F，FG⊥AB于G．
求证：四边形EGFC为菱形．
C F E A D G
B
例4.四边形ABCD是边长为13cm的菱形， 其中对角线BD长10cm。求： （1）。对角线AC的长度。 A （2）。菱形ABCD的面积。
第三课时：菱形性质与判定
A
B 边
菱形的两组对边分别平行. 的 性 质
角
菱形的两组对角分别相等,邻角互补. 菱形的两条对角线互相垂直平分. 菱形的每一条对角线都平分一组对角.
对角线
对称性
菱形是轴对称图形.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱 形 的 判 定
边
四条边都相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
对角线
对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
若用a、b表示菱形的两条对角线，那么菱形的面 A 积为： D
1 S a b 2
O C
B
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角 形的问题来解决.
例1.如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC， DF//AB,AE=5. （1）判断四边形AEDF的形状？ A （2）四边形AEDF的周长为多少？
菱形专题复习
菱形专题复习
我们在这份文档中将复菱形专题。
菱形专题在几何学中占有重
要地位，因此了解其特征和性质对我们的研究和应用都非常有帮助。
菱形的定义
菱形是一个有四条边的几何图形，其特点是：
- 四条边都相等的长度
- 相邻边之间夹角为直角
菱形的性质
菱形有一些独特的性质，我们来逐一探讨：
1. 对角线
菱形的对角线具有以下性质：
- 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等。
- 对角线互相垂直：菱形的两条对角线互相垂直，即两条对角线之间的夹角为直角。
2. 内角和外角
菱形的内角和外角具有以下性质：
- 内角：菱形的内角都是直角（90度）。
- 外角：菱形的外角都是锐角（小于90度）。
3. 对称性
菱形具有对称性：
- 轴对称：菱形关于任意一条对角线都是轴对称图形。
菱形的应用
菱形的性质使其在现实生活和工程中有广泛的应用，以下是一些例子：
- 结构设计：菱形的稳定性和对称性使其成为建筑和桥梁设计中常用的形状。
- 标志设计：许多标志和徽标使用菱形来表达特定的意义和形象。
- 钻石饰品：钻石是一种形成菱形晶体结构的珍贵宝石。
总结
本文档回顾了菱形的定义、性质和应用。
了解菱形的特点和用途对我们的研究和实际应用都非常重要。
希望这份复资料对你有所帮助。
> 注：本文中的内容资料均为普遍公认的几何学知识，无法提供具体的引用来源。
如果需要引用，请参考相关几何学教材和学术文献。
菱形知识点复习和习题
菱形的性质与判定 1. 概念：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
如图（1）有一组邻边_______的平行四边形是菱形。
（2）对角线________的平行四边形是菱形。
（3）四条边都______的四边形是菱形。
例1：如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD 的长是________.例1图 例2图 例3图例2,：如图，已知菱形ABCD 的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD 的面积为_______.例3：如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，∠BAC=∠DAC （1） 求证：AB=BC（2） 若AB=2,AC=2 ，求平行四边形ABCD 的面积。
nmEDA BC60°DABCDA B CC例4：如图：AC 是平行四边形ABCD 的一条对角线，过AC 中点O 的直线分别交AD 、BC 于点E 、F 。
（1） 求证：△AOE ≌△COF（2） 当EF 与AC 满足什么条件时，四边形AFCE 是菱形？说明理由。
例5：如图，将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转角α到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1、BC 1分别相交于点E 、F 。
（1） 求证△BCF ≌△BA 1D（2） 当∠C=α时，判定四边形A 1BCE 的形状并请说明理由。
例6：如图，在菱形ABCD 中,AB=2，∠ABC=60°，对角线AC 、BC 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0<α<90°）后得直线l ，直线l 与AD 、BC 两边分别相交于点E 和点F 。
（1） 求证△AOE ≌△COF（2） 当α=30°时，求线段EF 的长度EOFDABCC1CF BA1EDA lEOFDABC。
中考数学总复习知识点专题讲解14---菱形的性质与证明的综合应用
中考数学总复习知识点专题讲解 专题 14 正方形的性质与证明的综合应用一、知识点综述 1. 菱形性质（“三板斧”） ①边——两组对边分别平行且相等，邻边相等； ②角——两组对角分别相等； ③对角线——两条对角线垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角.2. 菱形判定（“菱形三兄弟”） ①一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线垂直的平行四边形是菱形； ③四条边相等的四边形是菱形. ☆这“三兄弟”在证明菱形的过程中是互通的，“你中有我，我中有你”，要熟记.3. 对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半. （面积法）二、基本图形图形条件结论四边形 ABCD 对角线 AC⊥BD1S四边形ABCD = 2 × AC × BDAD2 + BC2 = AB2 + CD21 / 14∠A=30°，∠C=90°c = 2a b = 3a a= 3b3边长为 a 的菱形，一个 内角为 60°对角线长分别为a和 3a S = 3 a2 2三、典型例题选讲题 1. 如图 1-1，边长为 2 菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，连接对角线 AC，以 AC 为边作第二个菱形 ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接 AC1，再以 AC1 为边作第三个菱形 AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°；…，按此 规律所作的第 n 个菱形的边长为．( )n+1【 答案】 2 × 3 .图 1-1【解析】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠DAB＝60°，∴AD＝AB．∠DAC=∠DCA=30°根据基本图形，可得：∴AC＝ 3AB ＝ 2 3 .( ) ( ) ( ) 2n +1n +1同理可得 AC1＝3AC ，AC2＝3AC 1=3 AC ……，ACn+1＝3AC = 2 × 32 / 14( )n+1故答案为： 2 × 3 ． 题 2. 如 图 2-1 所示，四边形 ABCD 是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB 于点 H，则 线段 BH 的长为________．图 2-1 50 【答案】 13 . 【解析】解：由菱形性质知：AO=12，BO=5， 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB=13.1所以 S菱形ABCD =AB ⋅ DH = 2 × AC ⋅ BD120 即 BH= .13 50在 Rt△BDO 中，由勾股定理得：BH= 13 50故答案为： 13 . 题 3. 如图 3-1 所示，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，E 为 AB 的中点，F 是 AC 上一动点，则 EF＋BF 的最小值为________．图 3-1 【答案】 3 . 【解析】解：由菱形性质知：点 B 与点 D 关于 AC 对称，连接 DE， 线段 DE 长即为 EF+BF 的最小值，连接 BD，如图 3-2 所示.3 / 14图 3-2 因为∠DAB＝60°， 所以△ABD 为等边三角形. 又 E 是 AB 的中点， 所以 DE⊥AB. 在△ADE 中，∠ADE=30°，A D=2，所以 AE=1，DE= 3 . 故答案为： 3 . 题 4. 如图 4-1 在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，E 是对角线 AC 上任意一点，F 是线段 BC 延长线上一点，且 CF＝AE，连接 BE，EF. (1)如图 4-1，当 E 是线段 AC 的中点时，求证：BE＝EF. (2)如图 4-2，当 E 不是线段 AC 的中点，其他条件不变时，请你判断(1)中的结论： ________(填“成立”或“不成立”)． (3)如图 4-3，当 E 是线段 AC 延长线上的任意一点，其他条件不变时，(1)中的结论是否 成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图 4-1图 4-2【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）见解析.4 / 14图 4-3【解析】(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC. 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠BCA＝60°. ∵E 是线段 AC 的中点， ∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE. ∵CF＝AE， ∴CE＝CF，1 ∴∠F＝∠CEF＝2∠BCA＝30°， ∴∠CBE＝∠F＝30°， ∴BE＝EF. (2)成立. 可过 E 作 EG∥BC 交 AB 于点 G. (3)成立．理由如下： 过点 E 作 EG∥BC 交 AB 的延长线于点 G，如图 4-4 所示．图 4-4 ∵四边形 ABCD 为菱形，∴AB＝BC. 又∵∠ABC＝60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ACB＝60°，∴∠ECF＝60°. ∵EG∥BC，5 / 14∴∠AGE＝∠ABC＝60°. 又∵∠BAC＝60°，∴△AGE 是等边三角形， ∴AG＝AE＝GE， ∴BG＝CE，∠AGE＝∠ECF. 又∵CF＝AE， ∴GE＝CF， ∴△BGE≌△ECF， ∴BE＝EF. 题 5. 如图 5-1 所示，在菱形 ABCD 中，AB＝10，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC： BD＝3：4，AE⊥CD 于点 E，则 AE 的长是图 5-1 【答案】9.6. 【解析】解：由菱形性质知：AO=OC，BO=DO，AC⊥BD， 设 AO=OC=3x，BO=DO=4x， 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB=5x=10. 所以，x=2，即 AC=6x=12，BD=8x=16.1所以 S菱形ABCD =CD ⋅ AE = 2 × AC ⋅ BD可得：AE=9.6. 故答案为：9.6. 题 6. 如图 6-1 所示，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，M 为对角线 BD 延长线上一点，6 / 14连接 AM 和 CM，E 为 CM 上一点，且满足 CB＝CE，连接 BE，交 CD 于点 F. (1)若∠AMB＝30°，且 DM＝3，求 BE 的长； (2)求证：AM＝CF＋DM.图 6-1 【答案】见解析. 【解析】解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°， ∴△ABD，△BCD 都是等边三角形，AB＝BC， ∵∠AMB＝30°，∠ADB＝∠AMB＋∠DAM， ∴∠DAM＝∠AMB， ∴∠BAM＝90°，DA＝DM＝AB＝CB＝CE＝3. 在△BMA 和△BMC 中，∵BM＝BM，∠MBA＝∠MBC，AB＝CB，∴△BMA≌△BMC， ∴∠BCM＝∠BAM＝90°. ∴在 Rt△BCE 中，由勾股定理得：BE＝ 3 2 . (2)证明：如图 6-2 所示，在 BD 上取一点 G，使得 BG＝DF，连接 CG 交 BE 于点 O.7 / 14图 6-2 ∵BG＝DF，∠CBG＝∠BDF，CB＝BD， ∴△GBC≌△FDB， ∴∠BGC＝∠BFD，∠DBF＝∠BCG， ∴∠MGC＝∠BFC，∠COF＝∠CBO＋∠OCB＝∠CBO＋∠DBF＝60°. 又∠ECO＋∠COE＋∠CEO＝180°，∠BFC＋∠CBE＋∠BCF＝180°， ∵∠CBE＝∠CEO ∵∠BCF＝∠COE＝60°， ∴∠ECO＝∠BFC＝∠MGC， ∴MC＝MG. 由(1)可知 AM＝MC＝MG. ∵MG＝DG＋DM，BD＝CD，BG＝DF， ∴DG＝CF，∴AM＝CF＋DM. 题 7. 如图 7-1 所示，菱形 ABCD 中，点 E、F 分别为 AB、AD 的中点，连接 CE、CF． （1）求证：CE＝CF； （2）如图 7-2，若 H 为 AB 上一点，连接 CH，使∠CHB＝2∠ECB，求证：CH＝AH+AB．【答案】见解析.图 7-1图 7-28 / 14【解析】（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD，∵点 E、F 分别为 AB、AD 的中点，11∴BE＝ AB，DF＝ AD，22∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF，∴CE＝CF；图 7-3 （2）证明：延长 BA、CF，交于点 G，如图 7-3 所示. 由菱形性质可知： ∠B＝∠D ，AB＝BC＝CD＝AD，AF∥BC，AB∥CD， ∴∠G＝∠FCD， ∵点 F 分别为 AD 的中点，且 AG∥CD， ∴AG＝AB， 由（1）知：∠ECB＝∠DCF， ∵∠CHB＝2∠ECB， ∴∠CHB＝2∠G， ∵∠CHB＝∠G+∠HCG， ∴∠G＝∠HCG， ∴GH＝CH，9 / 14∴CH＝AH+AG＝AH+AB． 题 8. 如图 8-1 所示，在菱形 ABCD 中，若边 AB 的长等于 4，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在菱形的边 BC，CD 上滑动，且△AE F 为等边三角形，点 E，F 不与点 B，C，D 重合． (1)求证：BE＝CF. (2)当点 E，F 在滑动时，四边形 AECF 的面积是否会发生变化？如果不变，求出这个 定值；如果变化，请说明理由．图 8-1 【答案】见解析. 【解析】（1）证明：∵在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，1 由菱形性质，得：∠B＝60°，∠BAC＝2∠BAD＝60°， ∴△ABC 为等边三角形，即 AB＝BC＝AC. ∵△AEF 为等边三角形，即 AE＝AF，∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAF，∴BE＝CF. （2）四边形 AECF 的面积不会发生变化．理由如下： 由（1）知：△BAE≌△CAF，∴S△ABE＝S△ACF，△ △ △ ∴S 四边形 AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S AEC＋S ABE＝S ABC.∵∵ABC 的面积是定值， ∴四边形 AECF 的面积不会发生变化．10 / 14图8-2如图8-2所示，过点A 作AH ⊥BC 于点H .∵AB ＝4，∠BAH =30°，∴BH ＝12BC ＝2， 在Rt ∵ABH 中，由勾股定理得：AH ＝，∴S 四边形AECF ＝S △ABC ＝12BC ·AH ＝题9. 如图9-1所示，在正方形ABCD 中，以对角线BD 为边作菱形BDFE ，使B ，C ，E 三点在同一直线上，连接BF ，交CD 与点G ．（1）求证：CG =CE ；（2）若正方形边长为4，求菱形BDFE 的面积．图9-1【答案】见解析.【解析】（1）证明：因为以正方形ABCD 的对角线BD 为边作菱形BDFE ，所以BD =BE ，∠BDG =45°图9-2连接GE ，如图9-2所示.AD F B CE G AD FB C E G因为BD=BE，BG=BG，∠DB 所以∵DBG≌∵EBG，所以∠GEB=∠BDG=45°，所以∠GEB=∠CGE=45°所以CG=CE.（2）因为正方形边长为4，所以BD= BE=，所以菱形BDFE的面积等于题10. 如图10-1所示，在Rt 的平分线AD交BC于点D，求证：四边形ADCF是菱形【答案】见解析.【解析】证明：∵AF∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在∵AFE和∵CDE中，∠FAE ∴∵AEF≌∵CED．AF=CD∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，AC=2AB，∠BAC 于点F，连接FC.，由题意知，AE =AB ，∠EAD ∴∵AED ≌∵ABD ．∴∠AED =∠B =90°，即DF ∴四边形ADCF 是菱形．题11. 如图11-1所示，在菱形且与边AD 、BC 分别交于点（1）请你判断OM 和ON 的数（2）过点D 作DE ∥AC 【答案】见解析.【解析】解：（1）∵四边形∴AD ∥BC ，AO =OC ，∠∴∵AOM ≌∵CON∴OM =ON ．（2）∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BD ，AD =BC =AB =3∴在Rt ∵AOB 中，由勾股定理∴BD=∵DE ∥AC ，AD ∥CE ，∴四边形ACED 是平行四边形∴DE =AC =6，AD =∠BAD ，AD =AD ，⊥AC ．在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点于点M 和点N .的数量关系，并说明理由； 交BC 的延长线于点E ，当AB =3，AC =4时，边形ABCD 是菱形，AOM =∠CON ，∠MAO =∠NCO菱形，，股定理得：BO，四边形，于点O ，MN 过点O ，求∵BDE 的周长.∴∵BDE的周长为：BD+DE+BE=BD+AC+（BC+CE）=（3+3）=10+即∵BDE的周长是10+．。
菱形专题复习
O D CB AODCBAODCBAODCBA菱形专题复习一. 填空题1.．若菱形两条对角线长分别为6 cm和8 cm,则它的周长是________,面积是_________.2. 菱形的一个内角为120°,平分这个内角的一条对角线长为12 cm,则菱形的周长为_________.3. 菱形有_______条对称轴,对称轴之间具有___________的位置关系.4. 已只菱形周长是24cm,一个内角为60°，则面积为＿＿＿＿＿＿cm２5. 若菱形两邻角的比为1:2,周长为24 cm,则较短对角线的长为______________.6. 若从菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半,则菱形两相邻内角的度数分别是_______.7. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°,那么菱形的各角的度数为_____________.8. 菱形的一个角是60°,边长是8 cm,那么菱形的两条对角线的长分别是____________.备用图：9、如图，已知菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，∠ABC=°。
二、选择题1. 菱形具有而一般四边形不具有的性质是 ( )A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等C. 一组邻边相等D. 对角线相互平分2. 菱形ABCD中,AE⊥BC于E,若S菱形ABCD=24cm2,则AE=6cm,则菱形ABCD的边长为 ( )A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 7 cm3. 在菱形ABCD中,AE⊥BC, AF⊥CD,且BE=EC, CF=FD,则∠AEF等于 ( )A. 120°B. 45°C. 60°D. 150°4. 已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的邻角度数分别为 ( )A. 45°, 135°B. 60°, 120°C. 90°, 90°D. 30°, 150°5. 在菱形ABCD中,若∠ADC=120°,则BD:AC等于 ( )A. 3:2B. 3:3C. 1:2D. 3:16．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）．A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB=BC=CD=DAC．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD7．已知点A、B、C、D在同一平面内，下面列有6个条件：①AB∥CD，②AB=•CD，•③BC∥CD，④BC=AD，⑤AC⊥BD，⑥AC平分∠DAB与∠DCB．从这6个条件中选出（•直接填写序号）______3个，能使四边形ABCD是菱形．321FEDCBA8．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（ ） A 、一组临边相等的四边形是菱形B 、四边相等的四边形是菱形C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D 、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 9、如图．若要使平行四边形ABCD 成为菱形．则需要添加的条件是（ ） A.AB ＝CDB.AD ＝BCC.AB ＝BCD. AC ＝BD三、判断题，对的画“√”错的画“×”1.对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）2.一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）3.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）4.对角线相等的四边形是菱形（ ） 四、解答题1、已知菱形ABCD 的周长为20 cm,面积为20 cm 2,求对角线AC,BD 的长.2、□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？3、、如图在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D 点，过D 作DE ∥AC 交AB 于E 点, 过D 作DF ∥AB 交AC 于F 点. 求证：（1）四边形AEDF 是平行四边形 ；（2）∠2﹦∠3 ；（3）四边形AEDF 是菱形。
中考数学一轮复习：第26课时菱形正方形课件
1.边：对边平行，四边都__相___等___ 2．角：四个角_直__角__（__9_0_ﾟ_）__
3．对角线：对角线互相_垂__直__平__分___且相等，每条对角线平分一组对角4．
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有_______4_条对称轴
1.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平__行__四__边__形__是正方形
DE∥AC，CE∥BD.
求证：四边形OCED是矩形．
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°.
第2题图
∴四边形OCED是矩形．
No
第26课时 菱形
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3. (202X宁德5月质检21题8分)如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，点E在
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝ 1 AC＝ 1×12＝6，CD＝AB＝10.
2
2
在Rt△DCO中，根据勾股定理得，
OD＝ CD2－OC2＝ 102－62 ＝8.
又∵EF垂直平分AB，
∴BF＝ 1 AB＝ 1 ×10＝5.
2
2
由(1)可知△BEF∽△DCO,
∴ EF＝BF ，即EF＝5，
OC DO ∴EF＝ 15 .
(5)若在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，如图②，则∠EAC＝___3_0_ﾟ___；
No
第26课时 菱形
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(6)作∠DAC的平分线AF交BC的延长线于点F，如图③，若AC＝ 2 ，则CF ＝_____2_____；
例题图③
例题图④
(7)若点G是AD中点，连接BG，交于AC于点H，如图④，则
中考复习菱形(共12张PPT)
初三第一轮总复习
图形与证明
6 （2017江苏盐城第22题）如图，矩形ABCD中，∠ABD、 ∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明 理由．
初三第一轮总复习
图形与证明
拓展与提升：
（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4， ∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点 E，F，且∠EAF=60°． （1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE， EF，AF之间的数量关系； （2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、 C重合），求证：BE=CF； （3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且 ∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
初三第一轮总复习
图形与证明
1.菱形的两对角线长分别为10cm和24cm，则面积为 cm2；一边上的高为 cm.
2.已知，菱形的周长为24cm，其中一条对角 线的长为6cm，那么它的另一条对角线的长为 cm，较大的内角是 °，较长的对角线与 该菱形的边的夹角为 .
初三第一轮总复习
图形与证明
3.如图，菱形ABCD的一条对角线BD上任一 点O，到菱形一边AB的距离为2，那么点O到 另外一边BC的距离 . 4 .如图菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接 EF．若EF= 2 ，BD=2 ，则菱形ABCD的面 积为 .
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图形与证明
小结与思考 1、本节课你觉得你学会了什么？ 2、本节课你觉得还应该注意什么？
A O E B 图4 C
初三第一轮总复习
图形与证明
【复习】：初中数学九年级上册.菱形(基础)知识讲解+练习
专项训练年度：菱形（基础）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2015•石景山区一模）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长．【思路点拨】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【答案与解析】（1）证明：连接AC，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF=AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）解：过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH=，BH=1．∴GH=2，在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG=．【总结升华】本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．【答案】50；解：在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDO=∠AED=50°， CD=CB ，∠BCO=∠DCO ， ∴在△BCO 和△DCO 中，，∴△BCO ≌△DCO （SAS ）， ∴∠CBO=∠CDO=50°．【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．A.21B.4C.1D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1. 类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE ∥AC ，DF ∥BC 知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可． 【答案与解析】解：四边形DECF 是菱形，理由如下： ∵ DE ∥AC ，DF ∥BC∴ 四边形DECF 是平行四边形． ∵ CD 平分∠ACB ，∴ ∠1＝∠2 ∵ DF ∥BC ， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3．∴ CF ＝DF ，∴ 四边形DECF 是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC 于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD 于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．∴EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴AG＝FG．∴AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A 点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵E、F分别为AB、CD的中点∴DF＝12DC，BE＝12AB∴DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴DE∥BF(2)证明：∵AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵F为边CD的中点．∴BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．【巩固练习】一.选择题1．（2015•潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形2．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )A.矩形B.平行四边形C．菱形 D.任意四边形3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )A.4B.8C.12D.164.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．55.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．80°D．100°6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )A.1B. 2C. 2D. 3二.填空题7．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．8．（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为 .9. 已知菱形ABCD两对角线AC ＝8cm, BD ＝6cm, 则菱形的高为________.10.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是____cm.11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.三.解答题13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB ＋PE的最小值是3，求AB的值．14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．15（2015春•泰安校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C 作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．【答案与解析】一.选择题 1.【答案】D ； 2.【答案】C ； 3.【答案】D ；【解析】BC ＝2EF ＝4，周长等于4BC ＝16. 4.【答案】B ；【解析】∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，又∵ABCD 是菱形，∴BA=BC ，∴△ABC 是等边三角形，故可得△ABC 的周长=3AB=15．5.【答案】C ；【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAC ＝12∠BAD ，CB ∥AD ，∵∠BAC ＝50°，∴∠BAD ＝100°，∵CB ∥AD ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，∴∠ABC ＝180°－100°＝80°．6.【答案】D ；【解析】∠DAF ＝∠FAO ＝∠OAE ＝30°，所以2BE ＝CE ＝AE ，3BE ＝3，BC BE ＝3. 二.填空题7.【答案】【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为=8．【答案】1：；【解析】如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ， ∴AB=BC=2cm ， ∵高AE 长为cm ，∴BE==1（cm ），∴CE=BE=1cm ， ∴AC=AB=2cm ， ∵OA=1cm ，AC ⊥BD ， ∴OB==（cm ），∴BD=2OB=2cm ，∴AC ：BD=1：．9.【答案】245cm ； 【解析】菱形的边长为5，面积为168242⨯⨯= ，则高为245cm .10.【答案】4；【解析】在菱形ABCD 中，BD 是∠ABC 的平分线，∵PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，∴点P 到BC 的距离＝PE ＝4cm ．11.【答案】60；【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt △AOB 中利用勾股定理求出OB ＝12，BD ＝2OB ＝24，DE ＝2OC ＝10，BE ＝2BC ＝26，△BDE 的周长为60．12.【答案】（3,4）；【解析】过B 点作BD ⊥OA 于D ，过C 点作CE ⊥OA 于E ，BD ＝4，OA ＝x ，AD ＝8－x ，()22284x x =-+，解得5x =，所以OE ＝AD ＝8－5＝3，C 点坐标为（3,4）.三.解答题13.【解析】解：∵∠ABC ＝120°∴∠BCD ＝∠BAD ＝60°；∵菱形ABCD 中， AB ＝AD∴△ABD 是等边三角形；又∵E 是AB 边的中点， B 关于AC 的对称点是D ，DE ⊥AB连接DE ，DE 与AC 交于P ，PB ＝PD ；DE 的长就是PB ＋PE 的最小值3；设AE ＝x ，AD ＝2x ，DE ==1x =，AB ＝22x =.14.【解析】四边形BFDE 是菱形，证明：∵AD ⊥BD ，∴△ABD 是直角三角形，且AB 是斜边，∵E 为AB 的中点，∴DE ＝12AB ＝BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，DC ＝AB ，∵F 为DC 中点，E 为AB 中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB ，∴DF ＝BE ，DF ∥BE ，∴四边形DFBE 是平行四边形，∵DE ＝EB ，∴四边形BFDE 是菱形．15.【解析】证明：∵∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，∴BD=AC ，∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。
中考数学复习专题之菱形的性质与判定,考点过关与基础练习题
26.菱形➢考点分类考点1菱形的性质例1如图所示，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE||AC，CE||BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形.考点2 菱形的性质例2如图所示，将等腰∠ABC绕顶点B逆时针方向旋转α到的∠A1B1C1位置，AB与A1C1相交于点D，AC与AC1、BC1分别交于点E、F.(1)求证：∠BCF∠∠BAD(2)当∠C=α度时，判定A1BCE的形状并说明理由.➢ 真题演练1．如图，菱形ABCD 的对角线交于原点O ，若点B 的坐标为（4，m ），点D 的坐标为（n ，2），则m +n 的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣62．如图，AC 为菱形ABCD 的对角线，已知∠ADC ＝140°，则∠BCA 等于（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°3．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B ＝45°，BC ＝2√3，则GH 的最小值为（ ）A ．√3B ．√22C ．√6D ．√624．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝8，S 菱形ABCD ＝64，则OH 的长为（ ）A ．4√5B ．8C ．4D ．2√55．如图，四边形ABCD 是菱形，点E 、F 分别在边AD 、CD 上，且AE ＝CF ，BA ＝BE ．若∠EBF ＝30°，则∠C 的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°6．如图，在菱形ABCD 中，AB =4√3，∠BAD ＝120°，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，连接OA ，则四边形AOED 的面积为（ ）A ．10√3B ．212√3C ．7+2√3D ．4+6√37．如图，菱形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 上的点，连接CE 、CF 、EF ，AC 与EF 相交于点G ，若BE ＝AF ＝1，∠BAD ＝120°，则EF 的长为 ．8．如图，菱形ABCD 的周长为20，面积为24，P 是对角线BD 上一点，分别作P 点到直线AB 、AD 的垂线段PE 、PF ，则PE +PF 等于 ．9．如图，在边长为5的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、点F分别在AD、CD上，且∠EBF＝60°，连接EF，若AE＝2，则EF的长度为．10.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AB于点E，交AC于点P，BF⊥DC于点F．（1）四边形DEBF是；（2）若BE＝2，BF＝4，求DP的长．11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且2DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接DE、OE．（1）求证：AF＝EF；（2）已知AB＝4，若AB＝2DE，求AE的长．12．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G．（1）求证：四边形BDEG是平行四边形；（2）若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．13．如图1，已知菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠BAD ＝120°． （1）若BD ＝4√3，求AB 的长；（2）如图2，点E 为BC 上一点，连接AE ，以AE 为边向AE 的左侧构造等边△AEF ，连接BF 、DF ，DF 交AC 于点G ，求证：CE ＝2OG ．➢ 课后练习1．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是OC 、CD 的中点，连接EF 、AF ，AF 交OD 于点H ．若EC ＝3，EF ＝4，则点H 到AD 的距离为（ ）A ．2√2B ．3C ．165D ．2452．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有下列结论：①∠BGD ＝120°；②BG +DG ＝CG ；③△BDF ≌△CGB ；④S △ABD =√34AB 2，其中正确的结论有（ ）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠3．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（）①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．A．∠∠B．∠∠∠C．∠∠∠∠D．∠∠∠∠∠4．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，CD＝2OB，E为CD延长线上一点，使得DE＝CD，连结BE，分别交AC、AD于点F、G，连结OG，AE，则下列结论：①∠ABC＝120°；②OG=12AB；③四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论个数是（）A．4B．3C．2D．15．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°6．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，AF与CE相交于点G，BG与AC相交于点H．下列结论：①AF＝CE；②∠AGE＝60°；③若=√34BG2．其中正确的结论有．DF＝2CF，则CE＝6GF；④S四边形ABCG7．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、CD边上的动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是．8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，点F、G分别为边AD、DC的中点，EF ＝5，FG＝8，则S菱形ABCD＝．9．如图，菱形ABCD的周长为40，对角线AC＝10．过AD的中点E作EG⊥AC交AB于点F，交CB的延长线于点G，则EG的长为．10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在BC上，连接AE，点F在AD上，∠AEB＝2∠AFE，过点A作AG⊥BC于点G，若AF﹣BE＝2，EG＝1，则DF的长为．11．如图，在菱形ABCD中，AB＝6√3，∠ABC＝120°，点E在边BC上（不与端点重合），AE交BD于点F，以EF为边向外作等边△EFG，连接CF，BG，现给出以下结论：①∠EAB＝30°；②△ABF≌△CBF；③直线AB与直线DC的距离是9；④BF+BG＝BE．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．12．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随点P位置的变化而变化，连接CE．（1）如图∠，当点E在菱形ABCD内部或边上时，求证：BD＝CE+PD；（2）如图∠、图∠，请分别写出线段BD，CE，PD之间的数量关系，不需证明．13．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E是对角线BD上一点．（1）如图1，若E是线段BD的中点，且AB＝6，求AE的长度；（2）如图2，F是线段AB延长线上一点，且DE＝BF，连接AE，EF．求证：AE＝EF．➢冲击A+如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，sin B=35，求CD和AD的长；（3）在（2）的条件下，线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，求CF的长．。
中考数学专题复习：菱形的性质与判定
中考数学专题复习：菱形的性质与判定一、选择题1.下列命题中错误的是( )A.平行四边形的对角线互相平分B.菱形的对角线互相垂直C.同旁内角互补D.矩形的对角线相等2.平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，-2)，则四边形ABCD是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形3.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为( )A.28°B.52°C.62°D.72°4.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )A.10B.8C.6D.55.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且∠CDF=24°，则∠DAB等于( )A.100°B.104°C.105°D.110°6.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为( )A. B. C. D.7.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为2.5m)围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为( )A.20mB.25mC.30mD.35m8.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=1，E 为BC 的中点，则对角线BD 上的动点P 到E 、C 两点的距离之和的最小值为（ ）A.43B.33C.23 D.21 二、填空题9.如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________.10.如图，两个完全相同的三角尺ABC 和DEF 在直线l 上滑动.要使四边形CBFE 为菱形，还需添加的一个条件是________(写出一个即可).11.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD 的高DH=________.12.如图，将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2 cm，∠BAD=120°，则EF的长为________.13.如图，已知矩形ABCD中，AB=8 cm，AD=10 cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的面积等于________cm2.14.把两张宽为2 cm的矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分(图中的阴影部分)的四边形ABCD的形状为________，其面积的最小值为________cm2.三、解答题15.如图，已知在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE、CF。
中考数学复习----《菱形的判定》知识点总结与专项练习题(含答案)
中考数学复习----《菱形的判定》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.直接判定：四条边都相等的四边形是菱形。
几何语言：∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形2.利用平行四边形判定：①定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。
②对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
练习题1、（2022•襄阳）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．2、（2022•营口）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是．（写出一个即可）【分析】由平移的性质得AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABED是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论．【解答】解：这个条件可以是AB＝AD，理由如下：由平移的性质得：AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形，又∵AB＝AD，∴平行四边形ABED是菱形，故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．3、（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）【分析】由AB∥CD，AB＝CD得四边形ABCD是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论．【解答】解：添加的条件是AB＝CD，理由如下：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．4、（2022•辽宁）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝43，则四边形CEDF的周长是．【分析】连接EF交CD于O，证明四边形CEDF是菱形，可得CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝2，在Rt△COE中，可得CE＝＝＝4，故四边形CEDF的周长是4CE＝16．【解答】解：连接EF交CD于O，如图：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形CEDF是平行四边形，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠FCD＝∠ECD，∵DE∥AC，∴∠FCD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，∴四边形CEDF是菱形，∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝2，在Rt△COE中，CE＝＝＝4，∴四边形CEDF的周长是4CE＝4×4＝16，故答案为：16．。
菱形性质和判定复习案
菱形的性质和判定导学案1、菱形的性质：（1）菱形的对边 。
（2）菱形的邻边 。
（3）菱形的四边 。
（4）菱形的对角线 ，且每一条对角线______平分每一组对角。
（5）菱形既是 对称图形又是_____对称图形。
（6）菱形的面积计算公式①若菱形的底为a,高为h,则该菱形的面积=___________②若菱形的两条对角线分别为a,b,则该菱形的面积=___________2、菱形的判定：（1）一组邻边 的平行四边形是菱形。
（2）四边 的四边形是菱形。
（3）对角线 的平行四边形是菱形。
（4）对角线 的四边形是菱形。
一、性质1．下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ）（A ）邻角互补 （B ）内角和为360° （C ）对角线相等 （D ）对角线互相垂直2.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD 的周长是_______．2题 3题 5题 6题3、如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积为 cm 2．4．已知菱形两条对角线的长分别为5cm 和8cm ，则这个菱形的面积是______cm ．5、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离6、如图，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于 cm 2．7、如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC ＝ ．8、如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为. 7题 8题9、如图，P 为菱形ABCD 的对角线上 一 点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点 F ，PF=3cm ，则P 点到AB 的距离是_____……cm10、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM +PN的最小值是_______．11．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形。
北师大版九年级上册《特殊平行四边形--菱形》复习
教学内容菱形新知详解1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形也是特殊的平行四边形，故菱形具备平行四边形的多有性质。
除此之外，菱形的性质还有：菱形的性质一：边菱形的四条边相等。
菱形的性质二：对角线菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的性质三：对称性菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴，菱形有2条对称轴。
例1：已知，如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F。
(1)求证：AM=DM；(2)若DF=2，求菱形ABCD的周长。
练习1：如图所示，菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2．求：（1）较短对角线的长；（2）一组对边的距离。
例2：如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是3，求AB的值．练习2：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，求△AEF 的周长。
第21题图A BCDEFMFADEBC例3：如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．练习3：已知菱形ABCD中，AC与BD相交O点，若∠BDC=030，菱形的周长为20厘米，求菱形的面积.小结：S菱形ABCD =AB× DE或S菱形ABCD = S△ABD+S△BCD = AC×BD （菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半）随堂练习一、填空题1．菱形的邻角比为1：5，它的高为1.5cm，则它的周长为__________．2．已知菱形的两对角线的比为2：3，两对角线和为20，•则这对角线长分别为_______，__________．3．菱形ABCD中，AC交BD于O，AB=13，BO=12，AO=5，菱形的周长=________，面积=•_______．4．O为菱形ABCD的对角线交点，E、F、G、H分别是菱形各边的中点，若OE=3cm，•则OF=__________，OG=__________，OH=___________．5. 已知一个菱形的面积为8 3 ㎝2，且两条对角线的比为1∶ 3 ，则菱形短的对角线长为_________。
全等菱形知识点总结及复习
全等菱形知识点总结及复习
基础概念
- 全等菱形是指两个菱形在形状和大小上完全相同。
- 全等菱形的所有边长相等，并且对角线相等且垂直。
- 全等菱形的角度相等，且相邻角互补。
判定全等菱形的条件
两个菱形是全等菱形的条件是：
1. 它们的边长相等。
即两个菱形的所有边长长度相等。
2. 它们的对角线相等。
即两个菱形的对角线长度相等。
3. 它们的对角线相互垂直。
全等菱形的性质
1. 对角线互相垂直。
2. 对角线互相平分。
3. 边长相等。
4. 角度相等。
5. 对角线交点为菱形的中心点。
全等菱形的构造法
构造全等菱形的方法有两种：
1. 已知边长构造全等菱形：通过给定一个菱形的边长，可以构
造出一个全等的菱形。
2. 已知对角线构造全等菱形：通过给定一个菱形的对角线长度，可以构造出一个全等的菱形。
复要点
1. 全等菱形的定义和基本性质。
2. 判断全等菱形的条件。
3. 全等菱形的构造法。
4. 全等菱形的特点和性质。
这些是全等菱形的基本知识点总结和复要点。
通过深入理解和熟练掌握这些内容，相信你能够在全等菱形的相关问题和应用中获得更好的成绩。
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菱形专题复习
一、选择题
1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A ．两组对边分别平行
B ．两组对边分别相
C ．一组邻边相等
D ．对角线互相平分 2. 下列命题中，假命题是（ ）
A ．菱形的对角线互相平分
B ．菱形的对角线互相垂直
C ．菱形的对角线相等
D ．菱形的对角线平分一组对角 3. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，已知BD=6，AC=8，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．40 B ．20 C ．10 D ．5
4. 菱形的一个内角等于60°，较短对角线长等于2cm ，则菱形较长对角线长等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5. 如图，在菱形ABCD 中，∠C=110°，BC 的垂直平分线交BD 于点E ，F 为垂足，连接AE ，则∠EAD 的度数是（ ） A ．60° B ．65° C ．70° D ．75°
二、填空题
7. 在菱形ABCD 中，AB=5cm ，对角线AC=8cm ，则菱形ABCD 的面积等于 ． 8. 菱形的周长为20cm ，一条对角线的长为8cm ，则另一条对角线的长为 ． 9. 菱形的周长为20cm ，它的两条对角线长度之比为1：2，则对角线长分别为 ． 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为点E ，AB=13cm ，对角线AC=10cm ，那么AE= cm ． 11. .如图，菱形ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，E 、F 为垂足，若AE=ED ，则∠EBF 的度数是 ．
12. 如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，E 是AD 的中点，P
13.如图，边长为6的菱形ABCD 中，∠ABC=60°，E 、F 分别为BD 、
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
14.如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠A=120°，点M 、N 、P 分别为线段AB 、AD 、BD 上的任意一点，则PM+PN 的最小值为 ．
15.如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是 ．
16.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE ＝______．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图
17．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件 使其成为菱形（只填一个即可）．
18.如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF=2，则菱形ABCD 的周长是 ． 19.如图，菱形ABCD 中，AC=2，BD=5，P 是AC 上一动点（P 不与A 、C 重合），PE ∥BC 交
三、综合题
20. 如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC=6cm ，BD=8cm ，求菱形的高AE ．
21. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，已知AB=13cm ，AC=24cm ． （1）求：菱形
ABCD
的面积；
（
2
）如过点D
作
DE ⊥BC
，垂足为
E ，求
DE 的长．
O
22.如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE丄AB，AE=2．求：
（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC，BD的长；
（3）菱形ABCD的面积．
23.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=DF．
（1）试猜想△ECF的形状，并说明理由．
（2）若AB=10，那么△ECF的周长是否存在最小值？如
果存在，请求出来；如果不存在，请说明理由．
24.如图，已知在△ABC中，O是边BC的中点，E是线段AB延长线一点，过点C作CD∥BE，交线段EO的延长线于点D，连接BD，CE．
（1）求证：CD=BE；
（2）如果∠ABD=2∠BED，求证：四边形BECD是菱形．25.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
26.已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：
（1）直接写出线段AP、AQ的长（含t的代数式表示）：AP=______，AQ=______；
（2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．。