菱形专题
初中数学《菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义》题型及答案解析
解题技巧专题：菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义型问题目录【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】 1【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】 5【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】 10【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】 16【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】 21【典型例题】【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】1.(2024九年级下·江苏南京·专题练习)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE=4，DG=3，则AE的长为．【变式训练】2.(2024·广东东莞·二模)如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D= 80°，则∠BCF的度数是．3.(23-24八年级下·江苏无锡·期中)如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠A=120°，M是CD上，DM=3，N是点AB上一动点，四边形CMNB沿直线MN翻折，点C对应点为E，当AE最小时，AN=．4.(23-24八年级下·河北邢台·期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°．(1)∠C=°．(2)点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C ，且DC 是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为°．5.(2024·云南曲靖·二模)如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，连接BE，交CD于点G，△BFE是△BCE沿BE折叠所得，且点C的对应点F恰好落在AB上，连接FG．(1)求证：四边形CEFG为菱形；(2)若AC=8，BC=6，求DG的长．【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】6.(2024·北京朝阳·二模)如图1，在菱形ABCD 中，∠B =60°，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点P ，再沿线段P A 运动到顶点A ，停止运动．设点M 运动的路程为x ，MA MC=y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是()A.43B.4C.23D.2【变式训练】7.(2024·广东深圳·三模)如图(1)，点P 为菱形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 为边CD 上一定点，连接PB ，PE ，BE ．图(2)是点P 从点A 匀速运动到点C 时，△PBE 的面积y 随AP 的长度x 变化的关系图象(当点P 在BE 上时，令y =0)，则菱形ABCD 的边长为()A.5B.6C.23D.258.(23-24九年级下·山东淄博·期中)如图1，点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →C →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，点P 运动时△P AD 的面积y cm 2 随时间x (s )变化的关系如图2，则a 的值为()A.254B.253C.9D.1929.(2024·甘肃·中考真题)如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为()A.2B.3C.5D.2210.(23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习)在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，P 是直线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，(A 、P ，E 按逆时针排列)，点E 的位置随点P 的位置变化而变化．(1)如图1，当点P 在线段BD 上，且点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，则BP 与CE 的数量关系是，BC 与CE 的位置关系是；(2)①如图2，当点P 在线段BD 上，且点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②在①的条件下，连接BE ，若AB =2，∠APD =75°，直接写出BE 的长；(3)当点P 在直线BD 上时，其他条件不变，连接BE ．若AB =23，BE =219，请直接写出△APE 的面积．【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】11.(2024·河南·三模)如图，菱形OABC 的顶点O (0,0)，A (-1,0)，∠B =60°，若菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，那么点C 2024的坐标是()A.32,12B.12,-32C.-32,-12D.-12,32【变式训练】12.(2024九年级·全国·竞赛)在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，边长为2cm ，现将菱形ABCD 绕其外一点O影部分的面积为cm2．13.如图①，菱形ABCD和菱形AEFG有公共顶点A，点E，G分别落在边AB，AD上，连接DF，BF．(1)求证：DF=BF；(2)将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角∠BAE=α0°≤α≤180°，且AB=6，AE= 3，∠DAB=∠GAE=60°．①如图②，当α=90°时，则线段DF的长度是多少？②连接BD，当△DFB为直角三角形时，则旋转角α的度数为多少度？14.(23-24八年级下·湖北武汉·期中)在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°,AB=6,BE=2．(1)如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF，直接写出DF的长度为；(2)如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转α°(0<α<360)，连接DF、CG，判断DF与CG的数量关系，并给出证明；(3)如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接CO、EO，试探究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围．【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】15.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【变式训练】16.(2024九年级下·全国·专题练习)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B=45°，BC=23，则GH的最小值是．17.(23-24八年级下·安徽合肥·期末)菱形ABCD中，∠B=60°，E是BC中点，连接AE,DE，点F是DE上一动点，G为AF中点，连接CG．(1)∠BAE=；(2)若AB=2，则CG的最小值为．18.(2024八年级下·全国·专题练习)如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，点P为AD边上任意一点(不包括端点)，连结AC，过点P作PQ∥AC，交边CD于点Q，点R线段AC上的一点．(1)若点R为菱形ABCD对角线的交点，PQ为△ACD的中位线，求PR+QR的值；(2)当PR+QR的值最小时，请确定点R的位置，并求出PR+QR的最小值；(3)当PR+QR的值最小，且PR+QR+PQ的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出PR+QR+PQ的最小值．【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】19.(22-23八年级下·江苏苏州·期末)定义：如果三角形有两个内角的差为90°，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)已知△ABC是“准直角三角形”，∠C>90°，若∠A=40°，则∠B=°．(2)如图，在菱形ABCD中，∠B>90°，AB=5，连接AC，若△ABC正好为一个准直角三角形，求菱形ABCD的面积．【变式训练】20.(23-24九年级下·山东威海·期中)【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形．【解决新问题】(1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形ABCD的边CD，AD上，CE=DF，∠A=60°．四边形BEDF是否为补等四边形？(填“是”或“否”)(2)如图Ⅱ，在△ABC中，∠B>90°．∠ACB的平分线和边AB的中垂线交于点D，中垂线交边AC于点G，连接DA，DB．四边形ADBC是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由．21.(22-23八年级下·浙江宁波·期末)我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形ABCD中，连接AC，在AD的延长线上取点E 使得AC=AE，以CA、AE为边作菱形CAEF，我们称菱形CAEF是菱形ABCD的“伴随菱形”．(1)如图2，在菱形ABCD中，连接AC，在BC的延长线上作CA=CF，作∠ACF的平分线CE交AD的延长线于点E，连接FE．求证：四边形AEPC为菱形ABCD的“伴随菱形”．(2)①如图3，菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”，过C作CH垂直AE于点H，对角线AC、BD相交于点O．连接EO若EO=2CH，试判断ED与BD的数量关系并加以证明．②在①的条件下请直接写出CHED的值．22.(22-23八年级下·安徽合肥·期末)定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．(1)如图(a)，△ABC是中垂三角形，BD,AE分别是AC,BC边上的中线，且BD⊥AE于点O，若∠BAE=45°，求证：△ABC是等腰三角形．(2)如图(b)，在中垂三角形ABC中，AE,BD分别是边BC,AC上的中线，且AE⊥BD于点O，求证：AC2+BC2=5AB2．(3)如图(c)，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O，点M,N分别是OA,OD的中点，连接BM,CN并延长，交于点E．求证：△BCE是中垂三角形；解题技巧专题：菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义型问题目录【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】 1【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】 5【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】 10【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】 16【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】 21【典型例题】【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】1.(2024九年级下·江苏南京·专题练习)如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，BC 上，沿EF 翻折后，点B 落在边CD 上的G 处，若EG ⊥CD ，BE =4，DG =3，则AE 的长为．【答案】914【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作BH ⊥CD 交DC 的延长线于点H ，因为EG ⊥CD ，所以BH ∥EG ，由四边形ABCD 是菱形，得AB ∥CD ，AB =BC =CD ，则四边形BEGH 是平行四边形，所以GH =BE =4，由折叠得GE =BE =4，则BH =GE =4，所以DH =DG +GH =3+4=7，由勾股定理得42+7-AB 2=AB 2，求得AB =6514，所以AE =AB -BE =6514-4=914，于是得到问题的答案．【详解】解：作BH ⊥CD 交DC 的延长线于点H ，则∠H =90°，∵EG ⊥CD ，∴BH ∥EG ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =BC =CD ，∴BE ∥GH ，∴四边形BEGH 是平行四边形，∴GH =BE =4，由折叠得GE =BE =4，∵DG =3，∴DH =DG +GH =3+4=7，∵BH 2+CH 2=BC 2，CH =7-CD =7-AB ，∴42+7-AB 2=AB 2，解得AB =6514，∴AE =AB -BE =6514-4=914，故答案为：914．【变式训练】2.(2024·广东东莞·二模)如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若∠D =80°，则∠BCF 的度数是．【答案】80°/80度【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质，首先根据平行的性质得到BC =CD ，由折叠得BC =CF ，然后求出CF =CD ，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形∴BC =CD由折叠可得，BC =CF∴CF =CD∴∠CFD =∠D =80°∵四边形ABCD 是菱形∴AD ∥BC∴∠BCF =∠DFC =80°．故答案为：80°．3.(23-24八年级下·江苏无锡·期中)如图，在菱形ABCD 中，AB =8，∠A =120°，M 是CD 上，DM =3，N 是点AB 上一动点，四边形CMNB 沿直线MN 翻折，点C 对应点为E ，当AE 最小时，AN =．【答案】7【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是确定点E在AM上时，AE的值最小．作AH⊥CD于H，如图，根据菱形的性质可求得AH=32AD=83，DH=CH=8，在Rt△AHM中，利用勾股定理计算出AM=7，再根据两点间线段最短得到当点E在AM上时，AE的值最小，然后证明AN=AM即可．【详解】解：作AH⊥CD于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8，∠A=120°，∴AD=AB=CD=8，AB∥CD，∴∠D=180°-∠BAD=60°，∴∠DAH=30°，∴DH=12AD=4，AH=AD2-DH2=43，∵DM=3，∴HM=1，MC=CD-DM=5，在Rt△AHM中，AM=AH2+HM2=7，∵四边形CMNB沿直线MN翻折，点C对应点为E，，∴ME=MC=10，∵AE+ME≥AM，∴AE≥AM-ME，∴当点E在AM上时，AE的值最小，由折叠的性质得∠AMN=∠CMN，而AB∥CD，∴∠ANM=∠CMN，∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM=7．故答案为：7．4.(23-24八年级下·河北邢台·期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°．(1)∠C=°．(2)点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C ，且DC 是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为°．【答案】6075【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义．(1)直接根据菱形的对角相等即可求解；(2)如图，由垂直平分线的定义得到∠1=90°，从而∠ADC =30°，由菱形的性质得到∠CDC =∠1=90°，从而由折叠有∠CDE=∠C DE=12∠CDC =45°，因此∠ADE=75°，再根据菱形的对边平行即可求解．【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠C=∠A=60°．故答案为：60(2)如图，∵C D 是AB 的垂直平分线，∴∠1=90°，∴∠ADC =90°-∠A =90°-60°=30°，∵在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDC =∠1=90°，由折叠可得∠CDE =∠C DE =12∠CDC =12×90°=45°，∴∠ADE =∠ADC +∠C DE =30°+45°=75°，∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEC =∠ADE =75°．故答案为：755.(2024·云南曲靖·二模)如图，已知在△ABC 中，∠ACB =90°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC 上一点，连接BE ，交CD 于点G ，△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，且点C 的对应点F 恰好落在AB 上，连接FG ．(1)求证：四边形CEFG 为菱形；(2)若AC =8，BC =6，求DG 的长．【答案】(1)见解析(2)GD =1.8．【分析】(1)推出CG =EF ，CG ∥EF ，进而推出四边形CEFG 是平行四边形，并根据EC =EF 证得四边形CEFG 是菱形；(2)首先利用勾股定理求出AB ，设CG =x ，然后用x 表示出AE 和EF ，再在Rt △AEF 中，利用勾股定理构建方程，求出x ，进一步计算即可求解．【详解】(1)证明：∵CD ⊥AB ，△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，∴∠BFE =∠BCE =90°，∠CEG =∠FEG ，EC =EF ，∴CD ∥EF ，∴∠CGE =∠FEG ，∴∠CGE =∠CEG ，∴CE =CG ，∴CG =EF ，∵CG ∥EF ，∴四边形CEFG 是平行四边形，∵EC =EF ，∴平行四边形CEFG 是菱形；(2)解：∵AC =8，BC =6，∠ACB =90°，22∵四边形CEFG 是菱形，∴EF =FG =CE =CG =x ，∴AE =8-x ，∵△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，∴BF =BC =6，∴AF =AB -BF =10-6=4，∵在Rt △AEF 中，EF 2+AF 2=AE 2，∴x 2+42=8-x 2，解得：x =3，即CG =3．∵CD ⊥AB ，∴S △ABC =12AC ×BC =12AB ×CD ，∴CD =4.8，∴GD =4.8-3=1.8．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】6.(2024·北京朝阳·二模)如图1，在菱形ABCD 中，∠B =60°，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点P ，再沿线段P A 运动到顶点A ，停止运动．设点M 运动的路程为x ，MA MC=y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是()A.43B.4C.23D.2【答案】C【分析】首先根据题意作图，然后由图象判断出点P 在对角线BD 上，BP =4，BP +AP =6，设AO =x ，则AB =2AO =2x ，利用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，由图象可得，当x 从0到4时，MA MC=y =1∴MA =MC∵四边形ABCD 是菱形∴点P 在对角线BD 上∴由图象可得，BP =4，BP +AP =6∵在菱形ABCD 中，∠B =60°，∴∠ABD =30°，AC ⊥BD∴设AO =x ，则AB =2AO =2x∴PO =BP -BO =4-3x∴BO =AB 2-AO 2=3x∴在Rt △APO 中，AP 2=AO 2+PO 2∴22=x 2+4-3x 2解得x =3，负值舍去∴AB =2x =23∴菱形ABCD 的边长是23．故选：C ．【点睛】此题考查了动点函数图象问题，菱形的性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据图象正确分析出点P 在对角线BD 上．【变式训练】7.(2024·广东深圳·三模)如图(1)，点P 为菱形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 为边CD 上一定点，连接PB ，PE ，BE ．图(2)是点P 从点A 匀速运动到点C 时，△PBE 的面积y 随AP 的长度x 变化的关系图象(当点P 在BE 上时，令y =0)，则菱形ABCD 的边长为()A.5B.6C.23D.25【答案】A 【分析】根据图象可知，当x =0时，即点P 与点A 重合，此时S △ABE =12，进而求出菱形的面积，当x =8时，此时点P 与点C 重合，即AC =8，连接BD ，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．【详解】解：由图象可知：当x =0时，即点P 与点A 重合，此时S △ABE =12，∴S 菱形ABCD =2S △ABE =24，当x =8时，此时点P 与点C 重合，即AC =8，连接BD ，交AC 于点O ，则：BD ⊥AC ,OA =OC =4,OB =OD ，∴S 菱形ABCD =12AC ⋅BD =24，∴BD =6，∴OB =OD =3，∴AB =OA 2+OB 2=5，∴菱形ABCD 的边长为5；故选A ．8.(23-24九年级下·山东淄博·期中)如图1，点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →C →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，点P 运动时△P AD 的面积y cm 2 随时间x (s )变化的关系如图2，则a 的值为()A.254B.253C.9D.192【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，过点C 作CE ⊥AD ，根据函数图象求出菱形的边长为a ，再根据图像的三角形的面积可得CE =8，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a 即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥AD 于E ，∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ，∴当点P 在边BC 上运动时，y 的值不变，∴AD =BC =10+a -10=a ，即菱形的边长是a ，∴12⋅AD ⋅CE =4a ，即CE =8．当点P 在AC 上运动时，y 逐渐增大，∴AC =10，∴AE =AC 2-CE 2=102-82=6．在Rt △DCE 中，DC =a ,DE =a -6,CE =8，∴a 2=82+a -6 2，解得a =253．故选：B ．9.(2024·甘肃·中考真题)如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为()A.2B.3C.5D.22【答案】C 【分析】结合图象，得到当x =0时，PO =AO =4，当点P 运动到点B 时，PO =BO =2，根据菱形的性质，得∠AOB =∠BOC =90°，继而得到AB =BC =OA 2+OB 2=25，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为12BC=5，解得即可．本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．【详解】结合图象，得到当x=0时，PO=AO=4，当点P运动到点B时，PO=BO=2，根据菱形的性质，得∠AOB=∠BOC=90°，故AB=BC=OA2+OB2=25，当点P运动到BC中点时，PO的长为12BC=5，故选C．10.(23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，(A、P，E按逆时针排列)，点E的位置随点P的位置变化而变化．(1)如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；(2)①如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②在①的条件下，连接BE，若AB=2，∠APD=75°，直接写出BE的长；(3)当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB=23，BE=219，请直接写出△APE的面积．【答案】(1)BP=CE，CE⊥BC；(2)①仍然成立，见解析；②20-83(3)73或313【分析】(1)连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；(2)①(1)中的结论成立，用(1)中的方法证明△BAP≌△CAE即可；②根据已知得出DP=AD，进而根据①可得BP=CE，根据CE⊥BC，勾股定理，即可求解；(3)分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE=90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．【详解】(1)解：如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°；∴AP=AE，∠P AE=60°，∴∠BAP=∠CAE=60°-∠P AC，∴△BAP≌△CAE SAS，∴BP=CE；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABP=1∠ABC=30°，2∴∠ABP=∠ACE=30°，∵∠ACB=60°，∴∠BCE=60°+30°=90°，∴CE⊥BC；故答案为：BP=CE，CE⊥BC；(2)(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴AB=AC，∠BAD=120°，∠BAP=120°+∠DAP，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠P AE=60°，∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE SAS，∴BP=CE，∠ACE=∠ABD=30°，∴∠DCE=30°，∵∠ADC=60°，∴∠DCE+∠ADC=90°，∴∠CHD=90°，∴CE⊥AD；∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立；②如图所示，∵△ABP≌△ACE SAS，∴CE=BP，∵∠APD=75°,∠ADB=30°∴∠DAP=75°=∠APD，∴DA=DP=2，∵BD=2BO=23AO=3AB=23∴BP=CE=BD-DP=23-2∵CE⊥AD，AD∥BC∴CE⊥BC∴BE=BC2+CE2=22+23-22=20-83故答案为：20-83．(3)如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四边形ABCD是菱形，∵∠ABC =60°，AB =23，∴∠ABO =30°，∴AO =12AB =3，OB =3AO =3，∴BD =6，由(2)知CE ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∴CE ⊥BC ，∵BE =219，BC =AB =23，∴CE =(219)2-(23)2=8，由(2)知BP =CE =8，∴DP =2，∴OP =5，∴AP =OA 2+OP 2=(3)2+52=27，∵△APE 是等边三角形，∴S △AEP =34×27 2=73，如图4中，当点P 在DB 的延长线上时，同法可得AP =OA 2+OP 2=(3)2+112=231，∴S △AEP =34×231 2=313．【点睛】此题考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来．【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】11.(2024·河南·三模)如图，菱形OABC 的顶点O (0,0)，A (-1,0)，∠B =60°，若菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，那么点C 2024的坐标是()A.32,12B.12,-32C.-32,-12D.-12,32【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，根据题意得到旋转的规律是解题的关键．根据题意得到点C 2024与点C 重合，在菱形中算出C 点坐标，即可解答．【详解】解：作CD ⊥OA 于D ，则∠CDO =90°，∵四边形OABC 是菱形，O 0,0 ,A -1,0 ，∴∠AOC =∠B =60°,OC =OA =1∴∠OCD =30°∴OD =12OC =12,CD =3OD =32∴点C 的坐标为-12,32，若菱形绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，则菱形OABC 绕点O 连续旋转2024次，旋转4次为一周，旋转2024次为2024÷4=506(周)，∴绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024与菱形OABC 重合，∴点C 2024与C 重合，∴点C 2024的坐标为-12,32，故选：D ．【变式训练】12.(2024九年级·全国·竞赛)在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，边长为2cm ，现将菱形ABCD 绕其外一点O按顺时针方向分别旋转90°、180°、270°后，得到如图的图形，每相邻两个菱形有一个顶点重合，则图中阴影部分的面积为cm 2．【答案】12-43【分析】连接AC 、OB ，交点为点E ，则OB 为AC 的中垂线，S △AOD =12×AE ×OD =12×3×3-1 =3-32cm 2 ，计算即可．【详解】如图，连接AC 、OB ，交点为点E ，则OB 为AC 的中垂线，∴点D 在OB 上，由已知条件易得BE =DE =12AB =1cm ,AE =OE =3cm ，∴OD =3-1cm ，∴S =1×AE ×OD =1×3×3-1 =3-3cm 2 ，∴所求面积为8×3-32=12-43cm2．故答案为：12-43．13.如图①，菱形ABCD和菱形AEFG有公共顶点A，点E，G分别落在边AB，AD上，连接DF，BF．(1)求证：DF=BF；(2)将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角∠BAE=α0°≤α≤180°，且AB=6，AE= 3，∠DAB=∠GAE=60°．①如图②，当α=90°时，则线段DF的长度是多少？②连接BD，当△DFB为直角三角形时，则旋转角α的度数为多少度？【答案】(1)证明见解析(2)①33；②30°或90°【分析】(1)连接AF，根据菱形的性质，可得到△GAF≅△EAF，从而得到∠GAF=∠EAF，进而得到△DAF ≅△BAF，即可求证；(2)①连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O，AF交EG于点P，根据旋转的性质和菱形的性质可得AF∥OD，△ABD和△AEG是等边三角形，从而得到AF=OD，进而得到四边形AODF是平行四边形，即可求解；②分两种情况讨论：∠BDF=90°和∠BFD=90°，利用矩形的性质、等边三角形的判定与性质求解即可得．【详解】(1)证明：连接AF，∵四边形AEFG是菱形，∴AE=EF=FG=GA，在△GAF和△EAF中，AG=AEGF=EFAF=AF，∴△GAF≅△EAF SSS，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =AB ，在△DAF 和△BAF 中，AD =AB∠DAF =∠BAF AF =AF，∴△DAF ≅△BAF SAS ，∴DF =BF ．(2)解：①如图，连接AF ，EG ，BD ，AC ，BD 与AC 交于点O ，AF 交EG 于点P ，由(1)得当菱形AEFG 没有旋转时，AC 平分∠BAD ，AF 平分∠EAG ，∴此时点A 、F 、C 三点共线，∴当菱形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转时，∠FAC =α，∴当α=90°时，∠FAC =∠BAE =90°，在菱形ABCD 中，AB =AD ，OD =12BD ,OA =12AC ，BD ⊥AC ，∠DAO =12∠BAD =30°，∴∠AOD =90°∴∠DOA +∠FAC =180°，∴AF ∥OD ，在菱形AEFG 中，∠EAF =12∠EAG =30°，AE =AG ，AP =12AF ,PE =12EG ，∵∠DAB =∠GAE =60°．∴△ABD 和△AEG 是等边三角形，∴BD =AB =6，EG =AE =3，∴OD =3,EP =32，∴AP =AE 2-EP 2=32，OA =AD 2-OD 2=33∴AF =3，∴AF =OD ，∴四边形AODF 是平行四边形，∴DF =OA =33；②由①得四边形AODF 是平行四边形，∵∠FAC =90°，∴四边形AODF 是矩形，∴∠BDF =90°，即△DFB 为直角三角形，∴此时旋转角α的度数为90°；如图，当点F 在AD 上时，由①得AF =3，∴AF=DF，∵△ABD为等边三角形，∴BF⊥AD，即∠BFD=90°，∴此时△DFB为直角三角形，∵∠EAF=1∠EAG=30°，2∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=30°，即此时旋转角α的度数为30°；综上所述，当△DFB为直角三角形时，旋转角α的度数为30°或90°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．14.(23-24八年级下·湖北武汉·期中)在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°,AB=6,BE=2．(1)如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF，直接写出DF的长度为；(2)如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转α°(0<α<360)，连接DF、CG，判断DF与CG的数量关系，并给出证明；(3)如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接CO、EO，试探究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围．【答案】(1)43(2)FD=3CG，证明见解析(3)OE=3OC,2≤OC≤4【分析】(1)连接AC,EG,BF,DB，AC,BD交于点O，EG,BF交于点H，根据菱形的性质，证明B,F,D三点共线，求出BD,BF的长，用BD-BF即可求出DF的长度；(2)过点D作DM∥FG，过点G作GM∥DF，过点C作CN⊥MG，得到四边形DMGF为平行四边形，证明△CDM≌△CBG，得到CM=CG,∠DCM=∠BCG，进而求出∠MCG=∠BCG+∠BCM=∠DCM+∠BCM=∠DCB=120°，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；(3)①延长CO至点H，使OC=OH，连接AC,AH,HE,HG，延长BA，交CH于点Q，先证明△DOC≌△GOH，推出四边形AHGB为平行四边形，再证明△HAC≌△EBC，推出△CHE为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出CE的范围，进而求出OC的范围即可．【详解】(1)解：连接AC,EG,BF,DB，AC,BD交于点O，EG,BF交于点H，∵菱形ABCD ，菱形EBGF ，∴∠ABD =∠CBF =12∠ABC =30°,∠EBF =∠GBF =12∠EBG =30°，AC ⊥BD ,EG ⊥BF ,BD =2OB ,BF =2HB ，∵点E 、G 分别在边AB 、BC 上，∴∠ABD =∠ABF =30°，∴B ,F ,D 三点共线，∵BE =2,∠EBF =30°，∴HE =12BE =1，BH =3HE =3，∴BF =2BH =23，同理：BD =2OB =23OA =2×32AB =63，∴DF =BD -BF =43；故答案为：43；(2)FD =3CG ，证明如下：过点D 作DM ∥FG ，过点G 作GM ∥DF ，过点C 作CN ⊥MG ，则：四边形DMGF 为平行四边形，∴DF =MG ，DM =GF ，∵菱形ABCD ，菱形EBGF ，∠ABC =∠EBG =60°，∴AD ∥BC ,BE ∥GF ，∠ADB =∠ABC =∠EBG =60°，CD =BC ,BG =GF =DM∴BE ∥DM ，∠1=∠2，∠DCB =180°-∠ADC =120°，∴∠3=∠DMN ，∵∠1=∠ADM +∠DMN ,∠2=∠3+∠CBE∴∠ADM =∠CBE ，∴∠CDA +∠ADM =∠CBE +∠EBG ，即：∠CDM =∠CBG ，又∵CD =BC ,BG =DM ，∴△CDM ≌△CBG ，∴CM =CG ,∠DCM =∠BCG ，∴∠MCG =∠BCG +∠BCM =∠DCM +∠BCM =∠DCB =120°，∴∠CMG =∠CGM =12180°-120° =30°，∵CN ⊥MG ，∴DF =MG =2NG ，CN =12CG ，∴NG=CG2-CN2=3CG，2∴DF=3CG；(3)①延长CO至点H，使OC=OH，连接AC,AH,HE,HG，延长BA，交CH于点Q，∵O是DG的中点，∴OD=OG，又∵∠DOC=∠HOG，∴△DOC≌△GOH，∴GH=CD，∠OCD=∠OHG，∴CD∥HG，∵菱形ABCD，∴AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=CD=DA,∠ADC=∠ABC=60°，∴AB∥HG，GH=CD=AB，△ABC为等边三角形，∴四边形AHGB为平行四边形，∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB=BC，∴AH∥BG,AH=BG，∠CAQ=180°-∠CAB=120°，∴∠HAQ=∠ABG，∵BG=BE，∴AH=BE，∵∠CBE=∠ABC+∠ABG+∠EBG=120°+∠ABG，∠HAC=∠HAQ+∠CAQ=∠HAQ+120°，∴∠CBE=∠HAC，又∵AH=BE，AC=BC，∴△HAC≌△EBC，∴CH=CE，∠HCA=∠ECB，∴∠HCE=∠HCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，∴△CHE为等边三角形，∵OC=OH，∠HEC=60°，∴OE⊥OC，∠CEO=30°，∴OC=1CE，2∴OE=3OC；②∵BC=AB=6,BE=2，∴BC-BE≤CE≤BC+BE，即：4≤CE≤8，∵OC=1CE，2∴2≤OC≤4．【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键．【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】15.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【答案】3【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质连接BD ，DE ，根据菱形的性质可得，△ABD 是等边三角形，再证明△ADP ≌△ABP ，可得PD =PB ，从而得到PE +PB 的最小值为DE 的长，再由E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ,AE =12AB =1，然后根据勾股定理可得DE =3，即可求解．【详解】解：如图，连接BD ，DE ，∵四边形ABCD 是菱形，周长为8，∠DAC =30°，∴∠DAB =2∠DAC =60°，∠DAP =∠BAP ，AB =AD =2，∴△ABD 是等边三角形，在△ADP 和△ABP 中，∵AP =AP ，∠DAP =∠BAP ，AB =AD ，∴△ADP ≌△ABP ，∴PD =PB ，∴PE +PB =PE +PD ≥DE ，即PE +PB 的最小值为DE 的长，∵E 是AB 的中点，∴DE ⊥AB ,AE =12AB =1，∴DE =AD 2-AE 2=3，即PE +PB 的最小值为3．故答案为：3．【变式训练】16.(2024九年级下·全国·专题练习)如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B =45°，BC =23，则GH 的最小值是．【答案】62【分析】连接AF ，利用三角形中位线定理，可知GH =12AF ，当AF ⊥BC 时，AF 最小，求出AF 最小值即可求出．【详解】解：连接AF ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∵G ，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH 是△AEF 的中位线，∴GH =12AF ，当AF ⊥BC 时，则∠AFB =90°，AF 最小，GH 得到最小值，∵∠B =45°，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF 2+BF 2=AB 2，即2AF 2=AB 2，∴AF =6，∴GH =62，故答案为：62．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．17.(23-24八年级下·安徽合肥·期末)菱形ABCD 中，∠B =60°，E 是BC 中点，连接AE ,DE ，点F 是DE 上一动点，G 为AF 中点，连接CG ．(1)∠BAE =；(2)若AB =2，则CG 的最小值为．【答案】30°2217【分析】(1)连接AC ，证明△ABC 为等边三角形，三线合一，即可得出结果；(2)取AD 的中点I ，AE 的中点H ，连接HG ,IG ，CH ,CI ，根据三角形的中位线定理，推出点G 在IH 上运动，当CG ⊥HG 时，CG 最小，进行求解即可．【详解】解：(1)连接AC ，∵菱形ABCD ，∴AB =BC ，∵∠B =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC =60°，∵E 是BC 中点，∴AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =12∠BAC =30°；故答案为：30°；(2)取AD 的中点I ，AE 的中点H ，连接HG ,IG ，CH ,CI则：IG ∥DF ，HG ∥DF ，∴I ,G ,H 三点共线，。
专题01 菱形(解析版)
九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练专题01 菱形【典例1】如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF=BE ．【点拨】连接AC ，根据菱形的性质可得AC 平分∠DAE ，CD=BC ，再根据角平分线的性质可得CE=FC ，然后利用HL 证明Rt △CDF ≌Rt △CBE ，即可得出DF=BE ．【解析】证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAE ，CD=BC ，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE=FC ，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt △CDF 与Rt △CBE 中，⎩⎨⎧==CECF CB CD ， ∴Rt △CDF ≌Rt △CBE （HL ），∴DF=BE ．典例解读【总结】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．【典例2】如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数．【点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．【典例3】如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【答案】C．【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【总结】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP 有最小值是解题的关键．【典例4】如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．【点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵ DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵ DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．【总结】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．【典例5】如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【点拨】（1）由题意得到AD=CD ，再由AG 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS 即可得证；（2）若四边形ACFE 是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E 的速度求出E 运动的时间即可．【解析】（1）证明：∵AG ∥BC ，∴∠EAD=∠DCF ，∠AED=∠DFC ，∵D 为AC 的中点，∴AD=CD ，在△ADE 和△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AD DFC AED DCF EAD ，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：①若四边形ACFE 是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s ）．故答案为：6s ．【总结】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.【典例6】如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，CE 平分∠ACD ，交AD 于点G ，交AB 于点E ，EF ⊥BC 于点F ． 求证：四边形AEFG 是菱形．【点拨】由角平分线性质易知AE ＝EF ，欲证四边形AEFG 是菱形，只要再证四边形AEFG 是平行四边形或AG ＝GF ＝AE 即可．【解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．【典例7】如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．教材知识链接【教材知识必背】一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.精准变式题【变式1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD 的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．【变式2】如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．【答案】50；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO=∠CDO=50°．【变式3】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形【变式4】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF 是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．【变式5】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB 的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形【变式6】如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．综合提升变式练1．下列说法中，错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D；2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等 B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D【解析】∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D ．3.下列命题中，正确的是( )A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形【答案】B ；4. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（ ）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°【答案】A ；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°.5．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ）A ．6cm ，8cm B. 3cm ，4cm C. 12cm ，16cm D. 24cm ，32cm【答案】C ；【解析】设两条对角线的长为6,8k k .所以有()()2223410k k +=，∴2k =，所以两条对角线的长为12 ，16.6. 如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=72°，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则∠CPB 的度数是（ ）A.108°B.72°C.90°D.100°【答案】B ；【解析】连接PA ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP=∠CDP=21∠ADC=36°，BD 所在直线是菱形的对称轴， ∴PA=PC ， ∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，∴PA=PD ，∴PD=PC ，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；故选：B ．7．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果EF ＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )A.4B.8C.12D.16【答案】D ；【解析】BC ＝2EF ＝4，周长等于4BC ＝16.8．已知菱形的周长为40cm ，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm ．【答案】103；【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为222105103-=.9．如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为3cm ，则对角线AC 长和BD 长之比为 .【答案】1：3；【解析】如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm ，∵高AE 长为3cm ， ∴BE=22AE AB -=1（cm ）， ∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ，∴OB=22OA AB -=3（cm ）， ∴BD=2OB=23cm ，∴AC ：BD=1：3．10. 已知菱形ABCD 两对角线AC ＝ 8cm , BD ＝ 6cm , 则菱形的高为________.【答案】245cm ； 【解析】菱形的边长为5，面积为168242⨯⨯= ，则高为245cm . 11. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE= ．【答案】512.【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OB=OD=21BD=3，OA=OC=21AC=4， 在Rt △OBC 中，∵OB=3，OC=4，∴BC=2243+=5，∵OE ⊥BC ，∴21OE •BC=21OB •OC ，∴OE=543⨯=512． 故答案为512． 12．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB ＋PE 的最小值是3，求AB 的值．【解析】解：∵∠ABC ＝120°∴∠BCD ＝∠BAD ＝60°；∵菱形ABCD 中， AB ＝AD∴△ABD 是等边三角形；又∵E 是AB 边的中点， B 关于AC 的对称点是D ，DE ⊥AB连接DE ，DE 与AC 交于P ，PB ＝PD ；DE 的长就是PB ＋PE 的最小值3；设AE ＝x ，AD ＝2x ，DE ＝()22233x x x -==，所以1x =，AB ＝22x =.13. 如图，在▱ABCD 中，BC=2AB=4，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．【解析】（1）证明：∵在▱ABCD 中，AB=CD ，∴BC=AD ，∠ABC=∠CDA ．又∵BE=EC=21BC ，AF=DF=21AD ， ∴BE=DF ． ∴△ABE ≌△CDF ．（2）解：∵四边形AECF 为菱形时，∴AE=EC ．又∵点E 是边BC 的中点，∴BE=EC ，即BE=AE ．又BC=2AB=4，∴AB=21BC=BE ， ∴AB=BE=AE ，即△ABE 为等边三角形，▱ABCD 的BC 边上的高可由勾股定理算得为3，∴菱形AECF 的面积为23．14．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF ＝2．(1)求证：△BDE ≌△BCF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；(3)设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．【解析】解：（1）∵AE ＋CF ＝2＝CD ＝DF ＋CF∴AE ＝DF ，DE ＝CF ，∵AB ＝BD∴∠A ＝∠ADB ＝60°在△BDE 与△BCF 中BD BC ADB C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△BCF（2）由（1）得BE ＝BF ，∠EBD ＝∠CBF∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠DBF ＋∠CBF ＝∠CBD ＝60°∴△BEF 是等边三角形(3)∵3≤△BEF 的边长＜2 ∴2233(3)(2)44S ≤< ∴33 3.4S ≤< 15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB ，CD 的中点，连接DE 、BF 、BD ．若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．【解析】四边形BFDE 是菱形，证明：∵AD ⊥BD ，∴△ABD 是直角三角形，且AB 是斜边，∵E 为AB 的中点，∴DE ＝12AB ＝BE ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，DC ＝AB ，∵F 为DC 中点，E 为AB 中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB ， ∴DF ＝BE ，DF ∥BE ，∴四边形DFBE 是平行四边形，∵DE ＝EB ，∴四边形BFDE 是菱形．16.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG=BD ，连接BG 、DF ．（1）求证：BD=DF ；（2）求证：四边形BDFG 为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG 的周长．【解析】证明：∵∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，∴BD=21AC ， ∵AG ∥BD ，BD=FG ，∴四边形BGFD 是平行四边形，∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG ，又∵点D 是AC 中点，∴DF=21AC ， ∴BD=DF ；（2）证明：∵BD=DF ，∴四边形BGFD 是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。
专题16 菱形的判定与性质（含答案）
专题16 菱形的判定与性质知识解读菱形是一个特殊的平行四边形，理解菱形的定义，可从菱形的共性和特性两个方面来理解.共性：菱形是一个特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分等。
菱形的特性主要体现在两个方面：①邻边相等；②对角线互相垂直判断一个四边形是菱形有三种方法方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形方法3：四条边相等的四边形是菱形。
如果把一组邻边相等和对角线互相垂直看作菱形的特征，前两种判断方法可以理解为“平行四边形+菱形特征=菱形”，也就是说，要证明一个四边形是菱形，可先证明这个四边形是一个平行四边形，然后再添加一个菱形的特征。
培优学案典例示范一、菱形四边相等为全等提供了可能例1如图4-16-1①，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连接CE，CF.（1）求证：CE=CF；（2）如图4-16-1②，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB.BA EBAEHCFFCDD①②图4-16-1【提示】（1）由菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，易证得△BCE2A△DCF（SAS），则可得CE=CF；（2）延长BA与CF，交于点G，由平行线的性质，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易证得∠G=∠HCG，则可得CH=GH，则可证的结果。
【解答】【技巧点评】菱形的四条边相等、对角相等，这就为全等三角形提供了条件，因此菱形问题常常与全等三角形联系在一起．【跟踪训练】1．如图4－16－2，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝34CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③二、菱形被两条对角线分成四个直角三角形例2已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2【提示】菱形的周长是20cm，故边长为5cm，又两条对角线的比是4：3，不妨设两条对角线长为4k，3k，因菱形的对角线互相垂直平分，同勾股定理可得（4k）2＋（3k）＝100，可求出k的值，即可求出菱形的两条对角线的长，代入菱形的面积公式，可求出菱形的面积．【技巧点评】菱形的一边和两条对角线的一半构成直角三角形，在直角三角形中，应用勾股定理，是解决这个问题的基本思路，本题在计算菱形的面积的时候，应用了菱形的面积等于对角线之积的一半．【跟踪训练】1.如图4－16－3，菱形ABCD的周长为40cm，AC，BD相交于O，且BD:AC＝3：4．求AC，BD的长及菱形ABCD的面积．【解答】三、含60°角的菱形常与等边三角形结合在一起例3如图4－16－4，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；【提示】（1）由于菱形ABCD的边长为2，BD＝2，所以△ABD和△BCD是等边三角形，则∠BDE＝∠BCF＝60°，BC＝BD，又由于AE＋CF＝2，AE＋ED＝2可得DE＝CF，即可证明△BDE≌△BCF；（2）由△BDE≌△BCF可证BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，由于∠CBF＋∠DBF＝60°，即可证明∠FBE＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证得△DEF是等边三角形．【解答】【技巧点评】如果一个菱形有一个内角等于60°，那么这个菱形较短的对角线会把菱形分成两个等边三角形，此时常需要用等边三角形知识解决问题．【跟踪训练】3.如图4－16－5，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．四、菱形的判定思路，平行四边形＋菱形特性＝菱形由于菱形是一个特殊的平行四边形，因此判定一个四边形是菱形时，可考虑先证明这个四边形是平行四边形，然后再证明这个平行四边形具有菱形特征（如邻边相等或对角线互相垂直）．当然如果能直接证明四条边相等，就不需要先证明它是平行四边形．例4如图4－16－6，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D．交AB于E，F在DE上，且AF＝CE＝AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？并说明理由．【提示】（1）用两组对边平行且相等，可以证明四边形ACEF是平行四边形．（2）通过探究得出当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形，可以用一组对边相等的平行四边形来证明．【解答】【技巧点评】要证明一个四边形是菱形，应尽可能先证明这个四边形是平行四边形，然后再证明一组邻边相等或者证明对角线互相垂直．【跟踪训练】4.如图4－16－7，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．【解答】例5 如图4－16－8，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，点E ，F ，G ，H 分别是AD ，BD ，BC ，AC 的中点．试说明：四边形EFGH 是菱形．【提示】由于“点E ，F ，G ，H 分别是AD ，BD ，BC ，AC 的中点”，我们可联想到三角形中位线定理，EH ，HG ，GF ，FE 分别是△ACD ，△ABC ，△BCD ，△ABD 的中位线，EH ，HG ，GF ，FE 分别等于12CD ，12AB ，12CD ，12A B ．由于AB ＝CD ，所以EH ＝HG ＝GF ＝FE ，根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形EFGH 是菱形．【解答】【技巧点评】当题目不容易证明两直线平行时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形． 【跟踪训练】5.如图4－16－9，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB，BC，CD，DA的中点分别为P，Q，M，N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．【解答】五、从对称的角度考虑菱形问题，可以为解决问题提供帮助例6如图4－16－10，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）A.3B．4C．5D．6【提示】找到点F关于AC的对称点（即CD的中点），连接CD的中点与点E交AC于点B P，则点P为AC 与BD的交点，此时PE＋PF的和最短，即等于AD的长，由于菱形的对角线互相垂直，由勾股定理可得AD ＝5，所以PE＋PF的长为5．【技巧点评】本题是把轴对称变换与菱形的轴对称性结合在一起的综合题，解决问题的方法是作出F点的对称点F'，线段EF'的长就是PE＋PF的最小值，同样道理，也可以作E点的对称点E’．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，许多题目正是从对称的角度展开对问题的讨论，因此从对称的角度思考问题，常常会给解决问题带来便利．【跟踪训练】6.如图4－16－11，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【解答】【拓展延伸】例7如图4－16－12，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30o．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE＝DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【提示】（1）在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，由已知条件求证；（2）求得四边形AEFD为平行四边形，若使口AEFD为菱形则还需要满足一组邻边相等；（3）①∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形．在直角三角形AED中利用AD＝2AE即求得．②∠DEF＝90°时，由（2）知EF//AD，则得∠ADE＝∠DEF＝90°，求得AD＝AE·cos60°列式得．③∠EFD＝90°时，此种情况不存在．【解答】【跟踪训练】7.如图4－16－13，菱形ABCD的边长为24厘米，∠A＝60°，质点P从点A出发沿着AB－BD－DA作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿着线路DC－CB－BD作匀速运动．（1）求BD的长；（2）已知质点P，Q运动的速度分别为4cm/s、5cm/s，经过12秒后，P，Q分别到达M，N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形？并说明理由．【解答】【竞赛连接】例8（希望杯全国数学邀请赛试题）若某一个内角为30°的菱形中有一个点到四边的距离分别为1、2、3、4，则这个菱形的面积等于．【提示】菱形内的点到对边的距离之和为菱形的高线，故菱形的高为1＋4＝2＋3＝5，根据直角三角形中30°角的特殊性可以证明AB＝2AE，根据边长和高即可求菱形ABCD的面积．【跟踪练习】8．（湖北初中数学竞赛试题）如图4－16－14，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°培优训练1.如图4－16－15，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，△AOB的周长为3＋，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为．2.如图4－16－16，在菱形ABCD中，∠BCD＝120°，点F是BD上一点，EF⊥CF，AE⊥EF，AE＝3，EF＝4，求AB长．3.如图4-16-17，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F . 求证：四边形AEFG 是菱形.G DFECB A图4-16-174.如图4-16-18，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N . 求证：四边形AMNE 是菱形.OENMD ACB图4-16-185.如图4-16-19，在菱形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，且CE =CF .试说明：AE =AF .F DABC图4-16-196.如图4-16-20，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF . （1）求证：AF =DC ；（2）若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论.FED图4-16-207.如图4-16-21，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连接AE ，BD 且AE =AB . （1）求证：∠ABE =∠EAD ；（2）若∠AEB =2∠ADB ， 求证：四边形ABCD 是菱形.ECBA图4-16-218.如图4-16-22，在四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，BC =CD ，锐角∠BAC 的角平分线AE 交BC 于点E ，AF 是CD 边上的中线，且PC ⊥CD 与AE 交于点P ，QC ⊥BC 与AF 交于点Q . 求证：四边形APCQ 是菱形.QPEFACB图4-16-229.如图4-16-23，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD 为AC 边的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG =BD ，连接BG 、DF .若AG =13，CF =6，求四边形BDFG 的周长.EFDBC图4-16-2310.如图4-16-24，点D 是等腰Rt △ABC 的直角边BC 上一点，AD 的垂直平分线EF 分别交AC ，AD ，AB 于E ，O ，F ，且BC =2. （1）当CD =2时，求AE ；（2）当CD =2(21) 时，试证明四边形AEDF 是菱形.FE OACD图4-16-24直击中考11.★★（2017·湖北十堰）如图4-16-25，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE ⊥BC 于点E ，连接OE ，若∠ABC =140°，则∠OED =________.O EDCABE D ABCP ADBC图4-16-25图4-16-26图4-16-2712.★★（2017·山东东营）如图4-16-26，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP +AP 的最小值为________.13.★★★★（2017·湖南怀化）如图4-16-27，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，AB =10cm ，点P 是这个菱形内部或边上的一点。
菱形对称问题专题练习
菱形对称问题专题练习
菱形对称问题是一个常见的数学问题，涉及到菱形的对称性质
和构造方法。
在本次专题练中，我们将深入探讨菱形对称问题，并
提供一些练题供大家练。
背景知识
在讨论菱形对称问题之前，我们先来了解一些基本的背景知识。
菱形是一种特殊的四边形，其特点是四个边都相等，并且相邻的两
个角是直角。
菱形有多种对称性质，包括轴对称和旋转对称。
轴对
称是指存在一个轴，使得图形关于该轴对称。
旋转对称是指存在一
个中心点和一个旋转角度，使得图形经过旋转后与原图形重合。
菱形对称问题
菱形对称问题主要涉及以下几个方面：
1. 给定一个菱形，如何找到它的对称轴或对称中心？
2. 给定一个对称轴或对称中心，如何构造一个菱形？
3. 给定一个菱形的一部分，如何推断出其对称部分的形状和位置？
练题
以下是一些针对菱形对称问题的练题，请大家尝试解答：
1. 给定一个菱形ABCD，如何找到它的对称轴？
2. 给定一个对称轴EF，如何构造一个与已知菱形相似的菱形？
3. 图形GHIJ是一个不完整的菱形，已知它的一部分，如何推
断出其对称部分的形状和位置？
请各位同学根据所学知识和思考，尝试解答以上问题。
如果有
任何疑问或困难，欢迎提问和讨论。
祝大家练习愉快，提高解决菱形对称问题的能力！。
专题25 菱形篇(解析版)
专题25 菱形考点一：菱形的性质1. 菱形的定义：有一组邻边相等的四边形是菱形。
2. 菱形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②菱形的四条边都相等。
③菱形的对角线相互垂直且平分每一组对角。
④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。
对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。
⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。
1．（2022•广东）菱形的边长为5，则它的周长是 ．【分析】根据菱形的性质即可解决问题；【解答】解：∵菱形的四边相等，边长为5，∴菱形的周长为5×4＝20，故答案为20．2．（2022•通辽）菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的边长为 ．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝5故答案为：53．（2022•达州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为 ．【分析】菱形的四条边相等，要求周长，只需求出边长即可，菱形的对角线互相垂直且平分，根据勾股定理求边长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵AC＝24，BD＝10，∴AO＝AC＝12，BO＝BD＝5，在Rt△AOB中，AB＝＝＝13，∴菱形的周长＝13×4＝52．故答案为：52．4．（2022•甘肃）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝25cm，AC＝4cm，则BD 的长为 cm．【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝DO，由勾股定理可求BO，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4cm，∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝2cm，∵AB＝2cm，∵BO＝＝4cm，∴DO＝BO＝4cm，∴BD＝8cm，故答案为：8．5．（2022•乐山）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为 cm2．【分析】根据菱形的面积＝对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积．【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm，∴菱形的面积是＝24（cm2），故答案为：24．6．（2022•河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（ ）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC【分析】根据菱形的性质即可一一判断．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，AC⊥BD，故A、B、D正确，无法得出BD，故选：C．7．（2022•贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是（ ）A．40°B．60°C．80°D．100°【分析】根据菱形的对边平行，以及两直线平行，内错角相等即可求解．【解答】解：∵菱形的对边平行，∴由两直线平行，内错角相等可得∠1＝80°．故选：C．8．（2022•德州）如图，线段AB，CD端点的坐标分别为A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，5），且AB∥CD，将CD平移至第一象限内，得到C′D′（C′，D′均在格点上）．若四边形ABC′D′是菱形，则所有满足条件的点D′的坐标为 ．【分析】利用勾股定理可得AB＝CD＝5，根据菱形性质可得AD′＝AB＝5，再由平移规律即可得出答案．【解答】解：如图，∵A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，5），∴AB∥CD，AB＝CD＝5，∵四边形ABC′D′是菱形，∴AD′＝AB＝5，当点D向右平移4个单位，即D′（3，5）时，AD′＝5，当点D向右平移3个单位，向上平移1个单位，即D′（2，6）时，AD′＝5，故答案为：（3，5）或（2，6）．9．（2022•绵阳）如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为（23，3），则图象最低点E的坐标为（ ）A．（332，2）B．（332，3）C．（334，3）D．（3，2）【分析】由函数图象可得点F表示图1中点N与点B重合时，即可求BD，BM的长，由锐角三角函数可求解．【解答】解：如图，连接AC，NC，∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，∴AB＝BC，AC垂直平分BD，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠DBC＝30°，∴AN＝CN，△ABC是等边三角形，∴AN+MN＝CN+MN，∴当点N在线段CM上时，AN+MN有最小值为CM的长，∵点F的坐标为（2，3），∴DB＝2，AB+BM＝3，∵点M是AB的中点，∴AM＝BM，CM⊥AB，∴2BM+BM＝3，∴BM＝1，∵tan∠ABC＝tan60°＝＝，∴CM＝，∵cos∠ABD＝cos30°＝＝，∴BN'＝，∴DN'＝，∴点E的坐标为：（，），故选：C．10．（2022•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为323，则CD的长为（ ）A．4B．43C．8D．83【分析】在Rt△BDH中先求得的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．【解答】解：∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD，∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），∴OD＝4，BD＝8，由得，＝32，∴AC＝8，∴OC＝＝4，∴CD＝＝8，故选C．11．（2022•淄博）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（ ）A．16B．67C．127D．30【分析】连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝2，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．【解答】解：连接AC交BD于O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，∵E为AD边的中点，∴DE＝2，∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2，∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠BCF，∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4，∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOC中，OC＝＝，∴AC＝2OC＝2，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×2×6＝6．故选：B．12．（2022•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，则OE＝（ ）A．4B．23C．2D．3【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝2，∴AO＝＝2，∴AB＝2AO＝4，∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，∴OE＝AD＝2，故选：C．13．（2022•呼和浩特）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（ ）A．3B．5+1C．22+1D．2+3【分析】连接DB，交AC于点O，连接OE，根据菱形的性质可得∠DAC＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，OD＝BD，AC＝2AO，AB＝AD，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得DB＝AD，再根据直角三角形斜边上的中线可得OE＝AE＝DE＝AD，然后设OE＝AE＝DE＝a，则AD＝BD＝2a，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形的外角求出∠OEF＝∠EFO＝15°，从而可得OE＝OF＝a，即可求出AF，CF的长，进行计算即可解答．【解答】解：连接DB，交AC于点O，连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，OD＝BD，AC＝2AO，AB＝AD，∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴DB＝AD，∵∠AOD＝90°，点E是DA中点，∴OE＝AE＝DE＝AD，∴设OE＝AE＝DE＝a，∴AD＝BD＝2a，∴OD＝BD＝a，在Rt△AOD中，AO＝＝＝a，∴AC＝2AO＝2a，∵EA＝EO，∴∠EAO＝∠EOA＝30°，∴∠DEO ＝∠EAO +∠EOA ＝60°，∵∠DEF ＝45°，∴∠OEF ＝∠DEO ﹣∠DEF ＝15°，∴∠EFO ＝∠EOA ﹣∠OEF ＝15°，∴∠OEF ＝∠EFO ＝15°，∴OE ＝OF ＝a ，∴AF ＝AO +OF ＝a +a ，∴CF ＝AC ﹣AF ＝a ﹣a ，∴＝＝＝2+，故选：D ．14．（2022•湖北）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，∠O ＝60°，则tan ∠ABC ＝（ ）A ．31B ．21C ．33D ．23【分析】连接CD ，然后证B 、C 、D 三点共线，根据菱形的性质可得：△OBD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BA ⊥OD ，∠ADB ＝60°，进而可得∠ABC ＝30°，进而可得tan ∠ABC 的值．【解答】解：如图，连接CD ，∵网格是由4个形状相同，大小相等的菱形组成，∴∠3＝∠4，OD ∥CE ，∴∠2＝∠5，∵∠1+∠4+∠5＝180°，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∴B、C、D三点共线，又∵网格是由4个形状相同，大小相等的菱形组成，∴OD＝OB，OA＝AD，∵∠O＝60°，∴△OBD是等边三角形，∴BA⊥OD，∠ADB＝60°，∴∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴tan∠ABC＝tan30°＝，故选：C．15．（2022•河南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）A．6B．12C．24D．48【分析】由菱形的性质可得出⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△COD为直角三角形．∵OE＝3，点E为线段CD的中点，∴CD＝2OE＝6．＝4CD＝4×6＝24．∴C菱形ABCD故选：C．16．（2022•株洲）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB 的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）A ．OB ＝21CE B ．△ACE 是直角三角形C ．BC ＝21AE D ．BE ＝CE 【分析】由菱形的性质可得AO ＝CO ＝，AC ⊥BD ，通过证明△AOB ∽△ACE ，可得∠AOB ＝∠ACE ＝90°，OB ＝CE ，AB ＝AE ，由直角三角形的性质可得BC ＝AE ，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ＝，AC ⊥BD ，∵CE ∥BD ，∴△AOB ∽△ACE ，∴∠AOB ＝∠ACE ＝90°，＝，∴△ACE 是直角三角形，OB ＝CE ，AB ＝AE ，∴BC ＝AE ，故选：D ．17．（2022•甘肃）如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，动点P 从点A 出发，沿折线AD →DC →CB 方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，△APB 的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（ ）A ．3B ．23C ．33D ．43【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为3解答即可．【解答】解：在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB ＝a ，由图2可知，△ABD 的面积为3，∴△ABD 的面积＝a 2＝3，解得：a 1＝2，a 2＝﹣2（舍去），故选：B ．18．（2022•丽水）如图，已知菱形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，AF 平分∠EAD 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AE 于点G ．若cos B ＝41，则FG 的长是（ ）A ．3B ．38C ．3152D ．25【分析】方法一：过点A 作AH ⊥BE 于点H ，过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，根据cos B ＝＝，可得BH ＝1，所以AH ＝，然后证明AH 是BE 的垂直平分线，可得AE ＝AB ＝4，设GA ＝GF ＝x ，根据S 梯形CEAD ＝S 梯形CEGF +S 梯形GFDA ，进而可以解决问题．方法二：作AH 垂直BC 于H ，延长AE 和DC 交于点M 由已知可得BH ＝EH ＝1，所以＝AB ＝EM ＝CM ＝4设GF ＝x ，则AG ＝x ，GE ＝4﹣x ，由三角形MGF 相似于三角形MEC 即可得结论．【解答】解：方法一，如图，过点A 作AH ⊥BE 于点H ，过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，∵菱形ABCD 的边长为4，∴AB ＝AD ＝BC ＝4，∵cos B ＝＝，∴BH ＝1，∴AH ＝＝＝，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线，∴AE＝AB＝4，∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠FAG，∵FG∥AD，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠FAG＝∠AFG，∴GA＝GF，设GA＝GF＝x，∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴DF＝AG＝x，cos D＝cos B＝＝，∴DQ＝x，∴FQ＝＝＝x，∵S梯形CEAD ＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，∴×（2+4）×＝（2+x）×（﹣x）+（x+4）×x，解得x＝，则FG的长是．或者：∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴四边形AGFD的等腰梯形，∴GA＝FD＝GF，则x+x+x＝4，解得x＝，则FG的长是．19．（2022•自贡）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（ ）A．（5，﹣2）B．（2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，﹣5）【分析】菱形的对角线相互平分可知点A与C关于原点对称，从而得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，∵点A（﹣2，5），∴点C的坐标是（2，﹣5）．故选：B．20．（2022•鞍山）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB中点，F为AD中点，连接EF EF的长为 ．【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位线定理得FH＝AO＝，FH∥AO，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，取OD的中点H，连接FH，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，∴AO＝AB＝1，BO＝AO＝＝DO，∵点H是OD的中点，点F是AD的中点，∴FH＝AO＝，FH∥AO，∴FH⊥BD，∵点E是BO的中点，点H是OD的中点，∴OE＝，OH＝，∴EH＝，∴EF＝＝＝，故答案为：．21．（2022•青岛）图①他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是 °．【分析】先确定∠BAD的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE＝360°，∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°，∵BC∥AD，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，故答案为：60．22．（2022•铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝6，则BD的长为 （结果保留根号）．【分析】连接AC，交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．【解答】解：如图，连接AC，交BD于点H，由菱形的性质得∠ADC＝∠ABC＝80°，∠DCE＝80°，∠DHC＝90°，又∵∠ECM＝30°，∴∠DCF＝50°，∵DF⊥CM，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝40°，又∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠HDC＝40°，在△CDH和△CDF中，，∴△CDH≌△CDF（AAS），∴DH＝DF＝，∴DB＝2DH＝．故答案为：．23．（2022•哈尔滨）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为 ．【分析】由菱形的性质可得AC BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，由勾股定理可求AE的长，BC的长，由三角形中位线定理可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，∴AE＝＝＝5，∴BE＝AE＝5，∴BO＝8，∴BC＝＝＝4，∵点F为CD的中点，BO＝DO，∴OF＝BC＝2，故答案为：2．24．（2022•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 ．【分析】连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，从而可得OP＝O′P，此时OP+PE的值最小，先利用菱形的性质可得AD＝AB＝3，∠BAC＝∠BAD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∠AOD＝90°，从而可得△ADB是等边三角形，进而求出AD＝3，然后在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，进而利用直角三角形斜边上的中线可得OE＝OA＝AC＝，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得OE ∥AB，从而求出∠EOF＝90°，进而在Rt△AOF中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，即可求出OO′的长，最后在Rt△EOO′中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，∴AP是OO′的垂直平分线，∴OP＝O′P，∴OP+PE＝O′P+PE＝O′E，此时，OP+PE的值最小，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝3，∠BAC＝∠BAD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∠AOD＝90°，∵∠BAD＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD＝AD＝3，∴OD＝BD＝，∴AO＝＝＝，∴AC＝2OA＝3，∵CE⊥AH，∴∠AEC＝90°，∴OE＝OA＝AC＝，∴∠OAE＝∠OEA，∵AE平分∠CAB，∴∠OAE＝∠EAB，∴∠OEA＝∠EAB，∴OE∥AB，∴∠EOF＝∠AFO＝90°，在Rt△AOF中，∠OAB＝∠DAB＝30°，∴OF＝OA＝，∴OO′＝2OF＝，在Rt△EOO′中，O′E＝＝＝，∴OP+PE＝，∴OP+PE的最小值为，故答案为：．25．（2022•天津）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 ．【分析】如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，先证明FH是△CDE的中位线，得FH＝1，再证明△AEG≌△FHG（AAS），得AG＝FG，在Rt△CBM 中计算BM和CM的长，再证明BF是中位线，可得BF的长，由勾股定理可得AF的长，从而得结论．【解答】解：如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∴FH∥AB，∴∠FHG＝∠AEG，∵F是CE的中点，FH∥CD，∴H是DE的中点，∴FH是△CDE的中位线，∴FH＝CD＝1，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝1，∴AE＝FH，∵∠AGE＝∠FGH，∴△AEG≌△FHG（AAS），∴AG＝FG，∵AD∥BC，∴∠CBM＝∠DAB＝60°，Rt△CBM中，∠BCM＝30°，∴BM＝BC＝1，CM＝＝，∴BE＝BM，∵F是CE的中点，∴FB是△CEM的中位线，∴BF＝CM＝，FB∥CM，∴∠EBF＝∠M＝90°，Rt△AFB中，由勾股定理得：AF＝＝＝，∴GF ＝AF ＝．故答案为：．考点二：菱形的判定1. 直接判定：四条边都相等的四边形是菱形。
菱形专题复习
菱形专题复习
我们在这份文档中将复菱形专题。
菱形专题在几何学中占有重
要地位，因此了解其特征和性质对我们的研究和应用都非常有帮助。
菱形的定义
菱形是一个有四条边的几何图形，其特点是：
- 四条边都相等的长度
- 相邻边之间夹角为直角
菱形的性质
菱形有一些独特的性质，我们来逐一探讨：
1. 对角线
菱形的对角线具有以下性质：
- 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等。
- 对角线互相垂直：菱形的两条对角线互相垂直，即两条对角线之间的夹角为直角。
2. 内角和外角
菱形的内角和外角具有以下性质：
- 内角：菱形的内角都是直角（90度）。
- 外角：菱形的外角都是锐角（小于90度）。
3. 对称性
菱形具有对称性：
- 轴对称：菱形关于任意一条对角线都是轴对称图形。
菱形的应用
菱形的性质使其在现实生活和工程中有广泛的应用，以下是一些例子：
- 结构设计：菱形的稳定性和对称性使其成为建筑和桥梁设计中常用的形状。
- 标志设计：许多标志和徽标使用菱形来表达特定的意义和形象。
- 钻石饰品：钻石是一种形成菱形晶体结构的珍贵宝石。
总结
本文档回顾了菱形的定义、性质和应用。
了解菱形的特点和用途对我们的研究和实际应用都非常重要。
希望这份复资料对你有所帮助。
> 注：本文中的内容资料均为普遍公认的几何学知识，无法提供具体的引用来源。
如果需要引用，请参考相关几何学教材和学术文献。
菱形专题复习
O D CB AODCBAODCBAODCBA菱形专题复习一. 填空题1.．若菱形两条对角线长分别为6 cm和8 cm,则它的周长是________,面积是_________.2. 菱形的一个内角为120°,平分这个内角的一条对角线长为12 cm,则菱形的周长为_________.3. 菱形有_______条对称轴,对称轴之间具有___________的位置关系.4. 已只菱形周长是24cm,一个内角为60°，则面积为＿＿＿＿＿＿cm２5. 若菱形两邻角的比为1:2,周长为24 cm,则较短对角线的长为______________.6. 若从菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半,则菱形两相邻内角的度数分别是_______.7. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°,那么菱形的各角的度数为_____________.8. 菱形的一个角是60°,边长是8 cm,那么菱形的两条对角线的长分别是____________.备用图：9、如图，已知菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，∠ABC=°。
二、选择题1. 菱形具有而一般四边形不具有的性质是 ( )A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等C. 一组邻边相等D. 对角线相互平分2. 菱形ABCD中,AE⊥BC于E,若S菱形ABCD=24cm2,则AE=6cm,则菱形ABCD的边长为 ( )A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 7 cm3. 在菱形ABCD中,AE⊥BC, AF⊥CD,且BE=EC, CF=FD,则∠AEF等于 ( )A. 120°B. 45°C. 60°D. 150°4. 已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的邻角度数分别为 ( )A. 45°, 135°B. 60°, 120°C. 90°, 90°D. 30°, 150°5. 在菱形ABCD中,若∠ADC=120°,则BD:AC等于 ( )A. 3:2B. 3:3C. 1:2D. 3:16．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）．A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB=BC=CD=DAC．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD7．已知点A、B、C、D在同一平面内，下面列有6个条件：①AB∥CD，②AB=•CD，•③BC∥CD，④BC=AD，⑤AC⊥BD，⑥AC平分∠DAB与∠DCB．从这6个条件中选出（•直接填写序号）______3个，能使四边形ABCD是菱形．321FEDCBA8．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（ ） A 、一组临边相等的四边形是菱形B 、四边相等的四边形是菱形C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D 、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 9、如图．若要使平行四边形ABCD 成为菱形．则需要添加的条件是（ ） A.AB ＝CDB.AD ＝BCC.AB ＝BCD. AC ＝BD三、判断题，对的画“√”错的画“×”1.对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）2.一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）3.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）4.对角线相等的四边形是菱形（ ） 四、解答题1、已知菱形ABCD 的周长为20 cm,面积为20 cm 2,求对角线AC,BD 的长.2、□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？3、、如图在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D 点，过D 作DE ∥AC 交AB 于E 点, 过D 作DF ∥AB 交AC 于F 点. 求证：（1）四边形AEDF 是平行四边形 ；（2）∠2﹦∠3 ；（3）四边形AEDF 是菱形。
菱形的性质与判定之八大考点(原卷版)--初中数学专题训练
菱形的性质与判定之八大考点【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】【考点二利用菱形的性质求线段长】【考点三利用菱形的性质求面积】【考点四利用菱形的性质证明】【考点五添一个条件使四边形是菱形】【考点六证明四边形是菱形】【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】【考点八根据菱形的性质与判定求面积】【过关检测】【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】1(2023秋·陕西汉中·九年级统考期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD =110°，则∠OBC的度数为________．【变式训练】1(2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BCD=50°，则∠DHO的度数为．2(2023春·八年级单元测试)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE=FE，∠BEC=58°，则∠AFE的度数为．【考点二利用菱形的性质求线段长】1例题：(2023·辽宁鞍山·统考一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为8和6，DE⊥AB，垂足为E，则DE的长为______．【变式训练】1(2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模)如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长为．2(2022秋·陕西榆林·九年级校考期末)如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：AE=AF；(2)若AB=10，CE=4，求菱形ABCD的面积．【考点三利用菱形的性质求面积】1(2023春·广东韶关·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=7，BD=4，则菱形ABCD的面积为_______．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为，面积为．2(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB= 25cm，AC=4cm，则BD的长为__cm，菱形ABCD的面积为cm2．【考点四利用菱形的性质证明】1(2023春·湖北襄阳·八年级统考阶段练习)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD的延长线上，且BE=DF，连接CE，CF．求证：CE=CF．【变式训练】1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF(1)求证：AE=AF；(2)若∠B=60°，求∠AEF的度数．2(2023春·广东肇庆·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF．(1)求证：AF=DF；(2)若∠BAD=70°，求∠FDC的度数．【考点五添一个条件使四边形是菱形】1(2023·黑龙江牡丹江·统考二模)如图，四边形ABCD是平行四边形．请添加一个条件_______，使平行四边形ABCD为菱形．(只填一种情况即可)【变式训练】1(2023·安徽·校联考一模)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB∥CD，AO= CO，想要判断四边形ABCD是菱形，则可以添加一个条件是．2(2023春·湖南永州·八年级统考期中)如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC 的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．【考点六证明四边形是菱形】1(2023·吉林长春·统考一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E，F，求证：四边形AFCE是菱形？2(2023·吉林长春·统考二模)如图，AC为▱ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，AE= AF，连接EF交AC于点G．若AC⊥EF，求证．四边形ABCD是菱形．【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】1(2023春·全国·八年级专题练习)如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⎳BC交AB于点E，DF⎳AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)如果∠A=80°，∠C=30°，求∠BDE的度数．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD 的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．2(2023·广东广州·校考二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=10，BD=2，求OE的长度．3(2023春·全国·八年级专题练习)如图，平行四边形ABCD中，AD=BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．(1)求证：四边形BDEC是菱形；(2)连接BE，若AB=6，AD=9，则BE的长为．【考点八根据菱形的性质与判定求面积】1(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF ⊥DC于点F，且BE=DF．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形(2)若∠EAF=60°，CF=2，求菱形ABCD的面积．【变式训练】1(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠A=75°，AC=8，求菱形DFCE的面积．2(2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．3(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测)如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求：①BO的长；②菱形AFCE的面积．【过关检测】一、选择题1(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，BD 为菱形ABCD 的对角线，已知∠A =50°，则∠BDC 的度数为()A.130°B.50°C.55°D.65°2(2023·浙江·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，则AC 的长为()A.12B.1C.32D.33(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习)如图，在菨形ABCD 中，过顶点C 作CE ⊥BC 交对角线BD 于E 点，已知∠A =134°，则∠BEC 的大小为()A.67°B.57°C.33°D.23°4(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD 中，对角线BD =43，∠BAD =120°，则菱形ABCD 的面积是()A.83B.8C.163D.435(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是边AB，AD的中点，DE，BF相交于G，连接CG，以下结论正确的有( )个①∠BGD=120°；②SΔADE:SΔGBC=2:3；③BG+DG=CG；④S菱形ABCD=32AB2A.1B.2C.3D.4二、填空题6(2023春·天津滨海新·八年级校考期中)如图，已知菱形ABCD，AC=6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于．7(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，AB=10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠ABO=32°，则OE的长等于，∠ADO的度数为．8(2023·全国·八年级假期作业)如图，已知菱形ABCD的顶点A和B的坐标分别为-2，0、3，0，点C在y轴的正半轴上．则点D的坐标是．9(2023·河南新乡·统考三模)如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°,AB=2，点E是AB的中点，点F 在AC上．若∠BEF=45°，则线段FG的长为．10(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是．三、解答题11(2023春·湖南郴州·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6，求菱形的边长和对角线AC的长．12(2023·福建泉州·统考二模)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，CE⊥AB，已知OC =2，BE=7．(1)求菱形ABCD的面积．(2)求BD的长．13(2023·江苏镇江·统考二模)如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，连接BF并延长，交AD的延长线于点E，连接CE．(1)求证：△DFE≌△CFB；(2)当BD、BC满足关系时，四边形BCED是菱形．14(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，过点C作CE⊥AD于点E，过点A作AF⊥CD于点F，且AF=CE．(1)求证：四边形ABCD为菱形．(2)若OB=8，OC=6，求AF的长．15(2023·浙江温州·校考三模)如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF=BE，连接AE，DF，EF，ED平分∠AEF．(1)求证：四边形AEFD是菱形．(2)若∠BDC=45°，DE=2CF，AB=102，求▱ABCD的面积．16(2023春·浙江·八年级专题练习)已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．(1)求证：四边形ABGE是菱形；(2)若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的长．17(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．18(2023·全国·模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E，F在直线AD上，且DE=DF．(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若DF=BC=8，AB=AF，求AB的长．。
专题：菱形的性质与判定
专题：菱形的性质与判定菱形的性质11、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2、菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（）A. 168cm2B. 336cm2C. 672cm2D. 84cm23、下列语句中，错误的是（）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm，8 cm，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，已知AB＝5, AO＝4，求对角线BD 和菱形ABCD的面积.6、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于（）．（A）3：2 （B）3：3（C）1：2 （D）3：17、菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。
8、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm，求菱形ABCD的高DH。
9、如右上图，在菱形ABCD中,∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．10、在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．11、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）12、菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1B．4：1C．5：1D．6：113、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．14、如右上图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．15、如图，在菱形ABCD中，顶点A到边BC、CD的距离AE、AF都为5，EF＝6，那么，菱形ABCD的边长是_____菱形的性质2一、选择题1．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形2．菱形的周长为12cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形对边间的距离是（）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．0.75cm3．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图1）则∠E AF 等于（ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°图1 图24．已知菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24，且AE =6，则菱形的边长为（ ） A ．12B ．8C ．4D ．25．菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是2 cm ，则另一条对角线的长约是（ ） A ．4cmB ．1cmC ．3.4cmD ．2cm二、判断正误：（对的打“√”错的打“×”） 1．两组邻边分别相等的四边形是菱形．（ ） 2．一角为60°的平行四边形是菱形．（ ） 3．对角线互相垂直的四边形是菱形．（ ） 4．菱形的对角线互相垂直平分．（ ） 三、填空题1．如图3，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，若OD =21A D ，则四个内角为________．图3 图42．若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a 时，如图4，其他三边长为________；周长为________．3．菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC =21∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为____________．4．若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm ，则它的一组对边的距离等于_________cm ，它的面积等于________cm 2．5．菱形ABCD 中，如图5，∠BAD =120°，AB =10cm ，则AC =________cm ，BD =________cm．图5 图6四、解答题∠如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足.且BE=CE，AB=2.求：（1）BAD的度数；（2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长.菱形的性质3一．选择题（共4小题）1．（如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2B．C．1D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1B．4：1C．5：1D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15B．C．7.5D．二．填空题（共15小题）5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∠AC交BC的延长线于点E，则∠BDE的周长为_________．9．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=_________度．10题图12题13题图14题图11．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C ﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE∠AB于点E，PF∠AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∠BC交AB于E，PF∠CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∠AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE∠AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．如图，四边形ABCD是菱形，BE∠AD、BF∠CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，∠ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．菱形的判定11、能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？EOBCF DA3、 如图，AD 是△ABC 的角平分线。
专题28 菱形-重难点题型(学生版)
专题5.2 菱形-重难点题型【题型1 菱形的性质（求角度）】【例1】（2020秋•萍乡期末）如图，四边形ABCD 为菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，∠CAD ＝25°，则∠DHO 的度数是（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【变式1-1】（2021•南岗区模拟）如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°，点E 在BC 边上，将菱形纸片ABCD 沿DE 折叠，点C 落在AB 边的垂直平分线上的点C ′处，则∠DEC 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【变式1-2】（2021春•海淀区校级期中）如图，在菱形ABCD 中，点M 、N 分别交于AB 、CD 上，AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ．若∠OBC ＝62°，则∠DAC 为 °．【变式1-3】（2021春•汉阳区期中）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝110°，AB 的垂直平分线交AC 于点N ，点M 为垂足，连接DN ，则∠CDN 的大小是 ．【题型2 菱形的性质（求长度）】【例2】（2020秋•遂川县期末）如图，在菱形ABCD 中，BC ＝10，点E 在BD 上，F 为AD 的中点，FE ⊥BD ，垂足为E ，EF ＝4，则BD 长为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．16【变式2-1】（2021春•武汉期中）如图四边形ABCD 为菱形，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若∠DAB ＝60°，∠DF A ＝2∠EAB ，AD ＝4，则CF 的长为（ ）A ．45B ．45√3C ．65D ．85 【变式2-2】（2020秋•黄岛区期末）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13cm ，AC ＝24cm ，E ，F 分别是CD 和BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG 的长度为 cm ．【变式2-3】（2021春•洪山区期中）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且CE ＝DF ，BF 与DE 交于点G ，若BG ＝3，DG ＝5，则CD ＝ ．【题型3 菱形的性质（等积法）】【例3】（2021•雁塔区校级模拟）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ．过O 作OE ⊥AB 于点E ．延长EO 交CD 于点F ，若AC ＝8，BD ＝6，则EF 的值为（ ）A ．5B ．125C ．245D ．485【变式3-1】（2020秋•南山区期末）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BE CE 的值为（ ） A ．512 B ．725 C ．718 D ．524【变式3-2】（2021春•无锡期中）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，AC ＝16，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为 ．【变式3-3】（2021•天津二模）如图，在菱形ABCD 中，∠ADC ＝120°，AB ＝3，点E 在BC 上，且BE ＝2EC ，BF ⊥AE ，垂足为F ，则BF 的值为 ．【题型4 菱形的判定（选择条件）】【例4】（2021春•岳麓区校级月考）在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA ＝OC ，OB ＝OD ．若要使四边形ABCD 为菱形，则可以添加的条件是（ ）A ．∠AOB ＝60° B ．AC ⊥BD C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC【变式4-1】（2021春•静海区月考）已知平行四边形ABCD ，下列条件：①AC ⊥BD ；②∠BAD ＝90°；③AB ＝BC ；④AC ＝BD ．其中能使平行四边形ABCD 是菱形的有（ ）A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③【变式4-2】（2021•莲湖区二模）如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是菱形，这个条件是（ ）A ．OM =12ACB ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND【变式4-3】（2021春•上城区校级期中）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA ，下列四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②如果∠BAC ＝90°，那么四边形AEDF 是菱形； ③如果AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是菱形．其中，正确的有 ．（只填写序号）【题型5 菱形的判定（证明题）】【例5】（2021•南京二模）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．【变式5-2】（2021•浦东新区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．（1）求证：OE=12AC；（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．【变式5-3】（2021•玄武区一模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．（1）求证△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．【变式5-3】（2021•余杭区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝°时，四边形BECD是菱形．【题型6 菱形的判定与性质综合（最值问题）】【例6】（2020春•如东县期末）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A．3√3B．3+3√3C．6+√3D．6√3【变式6-1】（2020•瑶海区二模）如图，菱形ABCD的边长为2√3，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（）A．4B．4+√3C．2+2√3D．6【变式6-2】（2020•寿光市二模）如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P 为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于．【变式6-3】（2020春•赣州期末）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．【题型7 菱形的判定与性质综合（多结论问题）】【例7】（2020春•中山市校级月考）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD=12AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【变式7-1】（2020春•如东县校级月考）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（）①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．A．③⑤B．①②④C．①②③④D．①②③④⑤【变式7-2】（2020春•香洲区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DE=√3DC；⑥BF＝BC，正确结论的有（）个．A．1B．2C．3D．4【变式7-3】（2021春•开州区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①∠DBC＝60°：②△AED≌△DFB；③GC与BD一定不垂直；④∠BGE的大小为定值．其中结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【题型8 菱形的判定与性质综合（动点问题）】【例8】（2020秋•青山区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（）A ．34B ．43C ．32D ．53 【变式8-1】（2021春•洪山区期中）如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝8，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是线段OC 上一动点，F 是射线AD 上一动点，若∠BEF ＝120°，则在点E 运动的过程中，EF 长度为整数的个数有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【变式8-2】（2021春•越秀区校级期中）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．AB ＝10，AC ＝12，BD ＝16．（1）求证：▱ABCD 是菱形；（2）若点P 是对角线BD 上一动点（不与点B 、D 重合），PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，PE +PF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【变式8-3】（2021春•沙坪坝区校级期中）如图1，四边形ABCD 为菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 上的动点．（1）当AD ＝AE 时，OE ＝1，OD ＝5，求菱形ABCD 的面积；（2）如图2，当OE ＝OD 时，过点A 作CD 的垂线，垂足为F ，交ED 延长线于点G ，求证：GE =√2AO ．。
专题07 菱形(变式集训)【2022春人教八下数学核心考点题型归纳+变式集训】(解析版)
专题07 菱形（变式集训）一、单选题1．（2020·四川三台·八年级期末）下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A ．对边平行且相等 B ．对角线互相平分 C ．每条对角线平分一组对角D ．对角互补【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．【详解】解：A 、菱形、平行四边形的对边平行且相等，故A 选项不符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，故B 选项不符合题意；C 、菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；平行四边形的对角线互相平分，故C 选项符合题意；D 、菱形、平行四边形的对角相等，故D 选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，掌握平行四边形与菱形的性质是解题的关键．2．（2021·湖南澧县·八年级期中）如图，菱形ABCD 中，130D ∠=︒，则1∠=（ ）A ．30B ．25︒C ．20︒D ．15︒【答案】B【解析】【分析】 直接利用菱形的性质得出//DC AB ，1DAC ∠=∠，进而结合平行四边形的性质得出答案．【详解】 解：四边形ABCD 是菱形，//DC AB ∴，1DAC ∠=∠，130D ∠=︒，18013050DAB ∴∠=︒-︒=︒，11252DAB ∴∠=∠=︒． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确得出DAB ∠的度数是解题关键．3．（2018·山东金乡·八年级期中）如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE BC ⊥于点E ．若110BAD ∠=︒，则BOE ∠=( )A ．75︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒【答案】C【解析】【分析】 根据菱形的性质求出∠OBE,再根据OE∠BC 即可求出∠BOE ．【详解】∠∠BAD=110°,AC 、BD 是菱形对角线, ∠∠OBC=∠OBA=()1180110352︒-︒=︒, ∠OE∠BC,∠∠BOE=90°－35°=55°．故选C ．【点睛】本题考查菱形的性质,关键在于利用对角线平分对角的性质解题．4．（2021·全国·八年级专题练习）菱形的边长是5cm ，一条对角线的长为6cm ，则另一条对角线的长为（ ）A ．6cmB ．C ．8cmD ．10cm 【答案】C【解析】【分析】根据菱形性质得出OB ＝OD ＝3cm ，OA ＝OC ，AC ∠BD ，由勾股定理求出OA ，即可得出答案．【详解】如图所示：∠四边形ABCD 是菱形，∠AB ＝5cm ，OB ＝OD ＝12BD ＝3cm ，AC ∠BD ，∠∠AOB ＝90°，由勾股定理得：OA =4cm ，∠AC ＝2OA ＝8cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 5．（2021·山东牡丹·九年级阶段练习）如图，正方形ABCD 的面积为2，菱形AECF 的面积为1，则E ，F 两点间的距离为（ ）A ．1B ．2CD 【答案】A【解析】【分析】 连接AC ，根据正方形ABCD 的面积为2，可得2AC =，再由菱形AECF 的面积为1，得到112AC EF ⋅=，即可求解． 【详解】解：如图，连接AC ，∠正方形ABCD 的面积为2， ∠2122AC = ， 解得：2AC = ，∠菱形AECF 的面积为1， ∠112AC EF ⋅= ， 即1212EF ⨯⨯= ， 解得：1EF = ．故选： A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．6．（2021·广东揭西·九年级阶段练习）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，BC ＝6，则OH 的长为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】【分析】 直接利用菱形的性质得出AD ＝BC ＝6，AC ∠BD ，进而得出答案．【详解】解：∠四边形ABCD 是菱形，∠AD ＝BC ＝6，AC ∠BD ，∠H 为AD 边的中点，∠HO ＝12AD ＝3．故选：C ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，正确应用直角三角形的性质是解题关键．7．（2021·湖南·长沙市北雅中学八年级阶段练习）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断▱ABCD 是菱形的为（ ）A ．AO ＝COB ．AO ＝BOC ．∠AOB ＝∠BOCD ．∠BAD ＝∠ABC【答案】C【解析】【分析】 在平行四边形基础上，菱形的判定方法有：∠一组邻边相等的平行四边形是菱形；∠对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此逐个选项分析即可．【详解】A 、由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，则此项不符题意B 、由ABCD 中AO BO =可推得AC BD =，可以证明ABCD 为矩形，但不能判定ABCD 为菱形，则此项不符题意C 、当AOB BOC ∠=∠时，因为180AOB BOC ∠+∠=︒，所以90AOB BOC ∠=∠=︒，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知ABCD 是菱形，则此项符合题意D 、由平行四边形的性质可知，180BAD ABC ∠+∠=︒，故当BAD ABC ∠=∠时，可推出90BAD ABC ∠=∠=︒，从而可判定ABCD 为矩形，则此项不符题意故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键．8．（2022·山西太原·九年级期末）将图1所示的长方形纸片对折后得到图2，图2再对折后得到图3，沿图3中的虚线剪下并展开，所得的四边形是（ ）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形【答案】B【解析】【分析】根据操作过程可还原展开后的纸片形状，并判断其属于什么图形．【详解】展得到的图形如上图，由操作过程可知：AB=CD，BC=AD，∠四边形ABCD是平行四边形，∠AC∠BD，∠四边形ABCD为菱形，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的判定，和菱形的判定，拥有良好的空间想象能力是解决本题的关键．9．（2021·浙江浙江·九年级专题练习）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连结EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（）A．B．C．D【答案】B【解析】【分析】连接FG ，根据菱形的性质和轴对称的性质可得∠A=60°，AE ＝AF ，BF ＝BG ，进而可证∠AEF是等边三角形及∠BFG 是等腰三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求得EF 和FG 的长，且∠EFG=90°，根据勾股定理即可求得EG 的长．【详解】解：连接FG ，过点B 作BH∠FG 于H ，如图，∠菱形ABCD ，∠ADC ＝120°，∠∠A ＝60°，∠ABC ＝120°，∠点E 关于∠A 的平分线的对称点为F ，点F 关于∠B 的平分线的对称点为G ，∠AE ＝AF=1，BF ＝BG ，∠∠AEF 是等边三角形，∠∠AFE ＝60°，EF=AF=1∠BF ＝BG ，∠∠BFG 是等腰三角形，∠∠GFB ＝1801202-=30°， ∠∠EFG ＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∠BF ＝4﹣1＝3，∠BH=32，=∠FG ＝∠EG故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的三边关系、勾股定理，属于常考基本题型，难度适中，充分利用轴对称的性质是解答的关键．10．（2021·福建·莆田擢英中学八年级期中）如图，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线．将∠DCB 绕着点D 顺时针旋转45°得到∠DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ．则下列结论：∠∠AED ∠∠GED ；∠四边形AEGF 是菱形；∠∠DFG ＝112.5°；∠BC +FG ＝1.5，其中正确的结论是（ ）A ．∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠【答案】B【解析】【分析】 首先证明∠ADE ∠∠GDE ，再求出∠AEF 、∠AFE 、∠GEF 、∠GFE 的度数，推出AE =EG =FG =AF ，由此可以一一判断．【详解】解：∠四边形ABCD 是正方形，∠AD =DC =BC =AB ，∠DAB =∠ADC =∠DCB =∠ABC =90°，∠ADB =∠BDC =∠CAD =∠CAB =45°， ∠∠DGH 是由∠DCB 旋转得到，∠DG =DC =AD ，∠DGE =∠DCB =∠DAE =90°，在R t∠AED 和R t∠GED 中，,.DE DE DA DG =⎧⎨=⎩∠∠AED ∠∠GED ，故∠正确，∠∠ADE =∠EDG =22.5°，AE =GE ，∠∠AED =∠AFE =67.5°，∠AE =AF ，同理GE =GF ，∠AE =GE =GF =AF ，∠四边形AEGF 是菱形，故∠正确，∠∠DFG =∠GFC +∠DFC =∠BAC +∠DAC +∠ADF =112.5°，故∠正确．∠AE =FG =EG =BG ，BE ，∠BE >AE ，∠AE +BE =AB =1∠AE <12，∠CB +FG <1.5，故∠错误．故选B.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．二、填空题11．（2021·贵州毕节·九年级阶段练习）若一个菱形的两条对角线的长为3和4，则菱形的面积为___________．【答案】6【解析】【分析】由题意直接由菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．【详解】=⨯÷=.解：菱形的面积3426故答案为：6.【点睛】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．12．（2021·江苏海陵·八年级期末）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将∠ABE沿BE翻折，点A恰好落在边CD上的点F处，若∠A=63°，则∠BFC的度数为_________．【答案】63°【解析】【分析】由折叠的性质可知，AB=BF，再由菱形的性质即可得到∠C=∠A，BF=BC，则∠BFC=∠C．【详解】解：由折叠的性质可知，AB=BF，∠四边形ABCD是菱形，∠∠C=∠A=63°，AB=BC，∠BF=BC，∠∠BFC=∠C=63°，故答案为：63°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．13．（2021·陕西凤翔·九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连接BE ，DF ，EF ，BD .若四边形BEDF 是菱形，则EF 的长为___________.【答案】152【解析】【分析】由矩形的性质可得∠A ＝90°，利用勾股定理计算BD 的长，设BE ＝x ，根据勾股定理列方程可得x 的值，最后菱形的性质和勾股定理可解答．【详解】解：∠四边形ABCD 是矩形，∠∠A ＝90°，∠6AB ==CD ，8BC ==AD ，∠BD 10=，∠四边形EBFD 为菱形，∠EF ∠BD ，BE ＝DE ，OD ＝12BD ＝5，设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝8−x ，在Rt ∠ABE 中，由勾股定理得：AB 2＋AE 2＝BE 2，∠62＋（8−x ）2＝x 2，解得：x ＝254，∠DE＝254，Rt∠EOD中，OE154 =，∠四边形EBFD为菱形，∠EF＝2OE＝152．故答案为：152．【点睛】本题考查了矩形性质，菱形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．14．（2021·安徽怀宁·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，将∠ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将∠CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）四边形BFDE的形状是________．（2）若四边形BFDE是菱形，BE=4，则菱形BFDE的面积为________．【答案】平行四边形【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和面积解答即可．【详解】解：（1）四边形BFDE为平行四边形，理由如下：∠四边形ABCD是矩形，∠∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∠CD，∠∠ABD=∠CDB，由于折叠，∠ABE=∠EBD，∠DCF=∠FDB，∠∠EBD=∠FDB，∠EB∠DF，∠ED∠BF，∠四边形BFDE为平行四边形．故答案是：平行四边形；（2）∠四边形BFDE为菱形，∠BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，∠四边形ABCD是矩形，∠AD=BC，∠ABC=90°，∠∠ABE=30°，∠∠A=90°，BE=4，∠AE=2，BF=BE=2AE=4，∠AB∠菱形BFDE的面积为：故答案是：【点睛】本题考查了翻折变换问题，关键根据翻折的性质和矩形、菱形的性质解答．三、解答题15．（2021·陕西·西安市第六中学九年级期中）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE∠AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．【答案】24 5【解析】【分析】先求出菱形的面积和边长，再求高BE即可．【详解】解：∠菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，∠∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3，5AB，菱形的面积为118624 22AC BD⨯=⨯⨯=，∠24 AB BE⨯=，245BE=．【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键根据菱形对角线互相垂直求出边长和面积，利用等积法求出高．16．（2019·福建福清·八年级期中）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于点O ，30ACD ∠=︒，4AB =．求AC 的长(结果保留根号)．【答案】【解析】【分析】利用菱形的性质：对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，利用直角三角形中30的性质得到较短的直角边的长，利用勾股定理可得答案．【详解】证明：∠四边形ABCD 是菱形，4CD AB OA OC OB OD AC BD ∴====⊥，，，，在Rt DOC 中，30ACD ∠=︒， ∠122DO CD =＝， 在Rt DOC 中，90DOC ∠=︒，222OC OD CD ∴+=，∠OC =，∠2AC OC ==．【点睛】本题考查的是菱形的性质，考查直角三角形中30所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的计算，掌握以上知识点是解题关键．17．（2020·福建·厦门一中九年级阶段练习）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，∠CBD ＝75°． （1）求∠A 的度数；（2）请用尺规作图，在AD 边上找到一点F ，使得∠DBF ＝45°（不要求写作法，保留作图痕迹）【答案】（1）30°；（2）见解析【分析】（1）根据菱形的性质和三角形内角和即可求∠A的度数；（2）根据尺规作图，作AD的垂直平分线交AD于点F，此时∠DBF＝45°．【详解】解：如图所示：（1）∠四边形ABCD是菱形，∠AD∠BC，AD＝AB∠∠ADB＝∠ABD=∠CBD＝75°．∠∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°．答：∠A的度数为30°；（2）作AD边的垂直平分线，交AD于点F，∠AF＝BF，∠∠FBA＝∠A＝30°∠∠DFB＝∠FBA+∠A=60°∠∠DBF＝45°．【点睛】本题考查菱形的性质及尺规作图,关键在于熟悉菱形的性质并学会尺规作图. 18．（2021·陕西武功·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB 的中点，DE∠AB．（1）求∠ABC的度数．（2）如果AC DE的长．【答案】（1）120°；（2）【分析】（1）先证明∠ABD 是等边三角形，可得∠DAB =60°，即可求解；（2）根据菱形的性质，可得AC ∠BD ，AO =12AC 然后根据三角形的面积可得DE =AO ，即可求解．【详解】解：（1）∠E 为AB 中点，DE ∠AB ，∠AE =BE ，∠AED =∠BED ，又DE =DE ，∠∠AED ∠∠BED ，∠AD =BD ，又∠四边形ABCD 是菱形，∠AD =AB ，∠DAB +∠ABC =180°，∠∠ABD 是等边三角形 ，∠∠DAB =60°，∠∠ABC =120°，（2）∠四边形ABCD 为菱形，AC∠AC ∠BD ，AO =12AC在等边∠ABD 中，∠AO ∠BD ，DE ∠AB ，∠S △ABD =12 AO ×BD =12DE ×AB ，∠DE =AO【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握得到等边三角形是解题的关键．19．（2021·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，已知等腰ABC ，AB AC =，AD 平分BAC ∠，E 为AD 上一动点，作EF 平行AB ，交AC 于F ，在AB 上取一点G ，使得AG CF =，连接GF .（1）根据题意补全图形；（2）求证四边形BEFG 是平行四边形；（3）若50BAC ∠=︒，写出一个ABE ∠的度数，使得四边形BEFG 是菱形.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）50ABE ∠=︒，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据题意按步骤画图即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得出FAE FEA ∠=∠，则AF EF =，进而有EF BG =，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；（3）根据菱形的性质有GF EF =，然后利用等腰三角形的性质和平行线的性质即可求解．【详解】（1）补全图形如下：（2）,AB AC AG CF == ，BG AF ∴= ．//EF AB ，BAE FEA ∴∠=∠ ．∠AD 平分BAC ∠，BAE FAE ∴∠=∠，FAE FEA ∴∠=∠，AF EF ∴=，EF BG ∴=．//EF BG ，∠四边形BEFG 是平行四边形；（3）50ABE ∠=︒，理由如下：若四边形BEFG 是菱形，则有GF EF =，AF EF = ，AF GF∴=，∴∠=∠=︒．AGF BAC50∠四边形BEFG是平行四边形，GF BE∴，//∴∠=∠=︒．50ABE AGF【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，菱形的性质，掌握平行四边形的判定及性质和菱形的性质是解题的关键．20．（2021·河南·登封市嵩阳中学九年级阶段练习）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE．(1)求证：BD=EC．(2)当∠DAB=60°时，四边形BECD为菱形吗?请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）四边形BECD是菱形．理由见解析【解析】【分析】（1）根据菱形的四条边的对边平行且相等可得AB=CD，AB∠CD，再求出四边形BECD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可；（2）只要证明DC=DB，即证明∠DCB是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）证明：四边形ABCD是菱形，∠AB=CD，AB∠CD，又∠BE=AB，∠BE=CD，BE∠CD，∠四边形BECD是平行四边形，∠BD=EC；（2）解：结论：四边形BECD是菱形．理由：∠四边形ABCD是菱形，∠AD=AB，∠∠DAB=60°，∠∠ADB，∠DCB都是等边三角形，∠DC =DB ，∠四边形BECD 是平行四边形，∠四边形BECD 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．21．（2021·吉林·九年级专题练习）如图，已知ACB △中，90ACB ∠=︒，CE 是ACB △的中线，连接CE ，分别过点A ，C 作CE 和AB 的平行线相交于点D ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若5CE =，6BC =，求菱形AECD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）24【解析】【分析】（1）根据题意由//,//AD CE CD AE 可得四边形ADCE 是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE AE =进而可得四边形ADCE 是菱形；（2）连接DE 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB ，根据勾股定理求得AC ，根据菱形ADCE 的面积公式即可求得．【详解】（1）//,//AD CE CD AE ，∴四边形ADCE 是平行四边形，90ACB ∠=︒，CE 是ACB △的中线，12CE AB AE ∴==， ∴四边形ADCE 是菱形；（2）如图，连接DE ，5CE=，6BC=，210AB CE==，在Rt ABC中，AC8 ==，四边形ADCE是菱形，∴CD CE=，//CD AE，CE EB=，∴四边形CDEB是平行四边形，6DE BC∴==，∴菱形ADCE的面积118624 22AC DE⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．22．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学九年级阶段练习）在ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．（1）如图1，若AC＝BC，求证：四边形DECF为菱形；（2）如图2，过C作CG∥AB交DE延长线于点G，连接EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与ADG面积相等的平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）DECF，DEFB，EGCF，AEFD【解析】【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）利用等高模型即可解决问题．【详解】解：（1）∠D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∠DE 、DF 分别是△ABC 中BC 边、AC 边上的中位线，∠DE ∠BC ，DE ＝12BC ，DF ∠AC ，DF ＝12AC ，∠DE ∠FC ，DF ∠EC ，∠四边形DECF 为平行四边形，又∠AC ＝BC ，∠DF ＝DE ，∠DECF 为菱形；（2）∠CG EF ∥，EG CF ∥，∠四边形EFCG 是平行四边形，∠与ADG 面积相等的平行四边形有：DECF ，DEFB ，EGCF ，AEFD ．【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．23．（2021·广东顺德·九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，6cm BC =．点E 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 即停止；同时，点F 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点E ，F 的速度都是0.5cm /s ．连接EF ，AF ，CE ，设点E ，F 运动的时间为s t ．（1）当t 为何值时，四边形ABFE 是矩形？（2）当t 为何值时，四边形AFCE 是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AFCE 的周长和面积.【答案】（1）当6t =时，四边形ABFE 为矩形；（2）当92t =时，四边形AFCE 为菱形；（3）周长15(cm)，面积245(4cm ) 【解析】【分析】 （1）当四边形ABFE 是矩形时，BF AE =，据此求得t 的值；（2）当四边形AFCE 是菱形时，AF EC =，列方程求得运动的时间t ；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长4t =，面积=矩形的面积2-个直角三角形的面积．【详解】解：（1）由已知可得，0.5BF DE t ==，60.5AE CF t ==-，在矩形ABCD 中，90B ∠=︒，//AD BC ，当BF AE =时，四边形ABFE 为矩形，0.560.5t t ∴=-，得6t =，故当6t =时，四边形ABFE 为矩形．（2）由（1）可知，,//AE FC AE FC =，∴四边形AFCE 为平行四边形，∴当AF FC =时，四边形AFCE 为菱形，60.5t -时，四边形AFCE 为菱形，解得92t =， 故当92t =时，四边形AFCE 为菱形， （3）当92t =时，154=AF ，154CF =， 则周长为：154415(4cm)AF =⨯=， 面积为：215453m ()44c CF AB ⋅=⨯=． 【点睛】 本题考查了菱形、矩形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是注意结合方程的思想．。
中考数学菱形专题练习
中考菱形专题附参考答案1、（2012•泸州）如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（ ） A ． 24 B ． 16 C ． 4 D ． 22、（2013凉山州）如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．173、（2013•绵阳）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，且DH 与AC 交于G ，则GH =（ ）A ．2825cm B ．2120cm C ．2815cm D ．2521cm 4、（2013•内江）已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM+PN 的最小值= ．图5F EBCDA5、（2013• 淄博）如图，菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，折叠菱形纸片ABCD ， 使点C 落在DP （P 为AB 中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ．则∠DEC 的大小为（A ）78°（B ）75°（C ）60°（D ）45°6、（2013•黔西南州）如图5所示，菱形ABCD 的边长为4，且AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，∠B=60°，则菱形的面积为_________。
7、（2013，河北）．如图4，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ， NF ⊥AB . 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =8、（2013•安徽）如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是___________．（5题）ABCDEC P HGOD CBA 3题图9、（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．10、（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.11、（2013•遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．12、（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H 分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．13、（2013•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC 的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．14、（2013•南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．第8题图DABCPM N10题图15、（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE 交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．16、（2013•乌鲁木齐）如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．连接FH，求证：四边形CFHE是菱形．17、（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．18、（2013•龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且BD=．动点M、N分别以每秒１个单位的速度从点A、D同时出发，分AC=，6080别沿A O D和D A®运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）求菱形ABCD的周长；（2）记D M ND的面积为S, 求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．（第18题图）答案考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：根据菱形得出AB=BC ，得出等边三角形ABC ，求出AC ，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可． 解答：解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC ， ∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴AC=AB=4，∴正方形ACEF 的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16， 故选C ．（2013•绵阳）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，且DH 与AC 交于G ，则GH =（ ） A ．2825cm B ．2120cm C ．2815cm D ．2521cm（2013•内江）已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM+PN 的最小值= 5 ．考点： 轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析： 作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，此时MP+NP 的值最小，连接AC ，求出OC 、OB ，根据勾股定理求出BC 长，证出MP+NP=QN=BC ，即可得出答案． 解答：解：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，此时MP+NP 的值最小，连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠QBP=∠MBP ， 即Q 在AB 上，HGOD CBA 10题图∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为：5．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．（2013•遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.（2013•龙岩）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，且80AC =，60BD =．动点M 、N 分别以每秒１个单位的速度从点A 、D 同时出发，分别沿A O D和D A ®运动，当点N 到达点A 时，M 、N 同时停止运动．设运动时间为t 秒． （1）求菱形ABCD 的周长；（2）记DM N D 的面积为S , 求S 关于t 的解析式，并求S 的最大值；（3）当t =30秒时，在线段OD 的垂直平分线上是否存在点P ，使得∠DPO ＝∠DON ？若存在，这样的点P 有几个？并求出点P 到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．. (1)在菱形ABCD 中，∵AC ⊥BD∴AD=223040+=50.∴菱形ABCD 的周长为200. ····························· 4分 (2) 过点M 作MP ⊥AD ，垂足为点P . ①当0＜t ≤40 ∵35MP OD Sin OAD AM AD ∠=== ∴MP =35t∴12S DN MP =⨯∙=2310t ························································································································ 6分 ②当40<t 50≤时，∴80-MD t =∵Sin MP AOMD AD ∠=ADO= ∴MP =4(70)5t -17题图（第25题图）∴DMN 12S DN MP ∆=∙ 222228(35)49055t t t =-+=--+·························································································· 8分 ∴223,040102(35)490,40505t t S t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪--+<≤⎪⎩当0＜t ≤40时，S 随t 的增大而增大，当t ＝40时，最大值为480. 当40＜t ≤50时，S 随t 的增大而减小，当t ＝40时，最大值为480. 综上所述，S 的最大值为480. ····························································································· 9分 （3）存在2个点P ，使得∠DPO =∠DON . ········································································ 10分 方法一：过点N 作NF ⊥OD 于点F ，则401203024505NF ND Sin ODA =∙∠=⨯==，DF =30903018.505ND Cos ODA ∙∠=⨯==∴OF =12，∴24tan 212NF NOD OF ∠=== ···································································· 11分 作NOD ∠的平分线交NF 于点G ，过点G 作GH ⊥ON 于点H .∴12ONF OGN OFG S OF NF S S ∆∆∆=∙=+1122OF FG ON GH =∙+∙1()2OF ON FG =+∙∴FG =1224241212515OF NF OF ON ∙+==+++ ∴24215tan 1215GF GOF OF +∠===+ 设OD 中垂线与OD 的交点为K ，由对称性可知：∴1122DPK DPO DON FOG ∠=∠=∠=∠ ·································································· 12分∴152tan 15DK DPK PK PK ∠===+∴PK =15(51)2+ ··········································································································· 13分 根据菱形的对称性可知，在线段OD 的下方存在与点P 关于OD 轴对称的点'P .∴存在两个点P 到OD 的距离都是15(51)2+.·························································· 14分 方法二：如图，作ON 的垂直平分线，交EF 于点I ，连结OI ，IN.过点N 作NG ⊥OD ，NH ⊥EF ,垂足分别为G ，H. 当t =30时，DN =OD =30，易知△DNG ∽△DAO ，∴DN NG DGDA AO OD ==． 即30504030NG DG ==．∴NG=24,DG=18．·······································································································10分∵EF垂直平分OD，∴OE= ED＝15，EG=NH=3． ······················································································11分设OI=R，EI=x,则在Rt△OEI中，有R2=152+x2①在Rt△NIH中，有R2=32+(24-x)2②由①、②可得：1521552 xR⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴PE=PI+IE =151552+．····························································································13分根据对称性可得，在BD下方还存在一个点'P也满足条件．∴存在两个点P，到OD 的距离都是15(51)2+.（2013•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．（2013•南京）如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。
专题06 菱形的性质和判定(解析版)
专题06 菱形的性质和判定姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟满分：120分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中，正确的是（）．A．两邻边相等的四边形是菱形B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D．对角线垂直的四边形是菱形【答案】B【分析】根据菱形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】两邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故选项B符合题意；对角线垂直且一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了命题、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，从而完成求解．2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E，F分别为AO，DO的中点，则线段EF的长为（）A．2.5 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出AD的长，再根据中位线定理即可求出EF的长．【解析】解：因为在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，∴AC⊥BD，AO=4，DO=3，∴AD=2222435AO DO+=+=，∵点E，F分别为AO，DO的中点，∴12.52==EF AD；故选：A．【点睛】本题考查的是菱形的性质和中位线的性质，注意到菱形的对角线互相垂直平分是解决本题的关键．3．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）．A．3 B．2C．3D．32 2【答案】C【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．【解析】解：∵菱形AECF，AB=6，设BE=x，则AE=CE=6-x，∵菱形AECF，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=FCO=30°，∴2BE=CE，即CE=2x，∴2x=6-x，解得：x=2，∴CE=4，又EB=2，则利用勾股定理得：23BC ，故选：C．【点睛】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．4．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，M为AD中点，P为对角线BD上一动点，连接PA和PM，则PA＋PM的最小值是( )A．3 B．23C．33D．6【答案】C【分析】首先连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，由在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，易得△ACD是等边三角形，BD垂直平分AC，继而可得CM⊥AD，则可求得CM的值，继而求得PA+PM的最小值．【解析】解：连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD=6，BD垂直平分AC，∴△ACD是等边三角形，PA=PC，∵M为AD中点，∴DM=12AD=3，CM⊥AD，∴CM=22CD DM -=33，∴PA+PM=PC+PM=CM=33．故选C ．【点睛】此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点P 的位置是解此题的关键．5．如图在平面直角坐标系xOy 中若菱形ABCD 的顶点,A B 的坐标分别为(6,0),(4,0)-，点D 在y 轴上，则点C 的坐标是（ ）A ．(6,8)B ．(10,8)C ．(10,6)D ．(4,6)【答案】B【分析】 首先根据菱形的性质求出AB 的长度，再利用勾股定理求出DO 的长度，进而得到点C 的坐标．【解析】∵菱形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为(-6，0)、(4，0)，点D 在y 轴上，∴AB=AO+OB=6+4＝10，∴AD=AB=CD=10，∴22221068DO AD AO =-=-=，∴点C 的坐标是：(10，8)．故选：B ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出DO 的长度． 6．如图，ABCD 中，AC 平分BAD ∠，若2,3AC AB ==ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．22C ．42D ．82【答案】B【分析】 连接BD 交AC 于点O ，首先证明四边形ABCD 为菱形，然后求出BD 的长，最后根据菱形的面积公式解答．【解析】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，在ABCD 中，//AD BC ，,DAC ACB ∴∠=∠AC 平分BAD ∠，DAC BAC ∴∠=∠，BAC BCA ∴∠=∠，AB BC ∴=，∴四边形ABCD 为菱形，11,2122AC BD OA AC ∴⊥==⨯=， 22312OB AB OA ∴=-=-222BD OB ==，ABCD ∴的面积为：112222222ABCD S AC BD =•=⨯⨯=故选B ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是证得四边形ABCD 为菱形．7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，连接OE ，若OB ＝6，S 菱形ABCD ＝60，则OE 的长为（ ）A ．23B ．5C ．5D ．6【答案】C【分析】 先根据菱形的性质、面积公式可得AC 的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．【解析】四边形ABCD 是菱形，6OB =，212BD OB ∴==，OA OC =，162ABCD BD AC S AC =⋅=菱形， 60ABCD S =菱形，660AC ∴=，解得10AC =，又OA OC =，CE AD ⊥，OE ∴是Rt ACE △斜边AC 上的中线，1110522OE AC ∴==⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握菱形的性质是解题关键．8．如图，在菱形ABCD 中，E F ，分别是BC CD ，的中点，设ABCD S S =四边形，1AEF S S ∆=，则（ ）A ．112S S =B ．112S S <C ．112S S >D ．152S S = 【答案】B【分析】利用三角形的中线得到12AECF S S =四边形，判断出A 、C 错误，B 符合题意，利用三角形中位线定理求得CEF 18S S =，通过计算得到183S S =，即可得到正确的答案． 【解析】连接BD 、AC ，∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点， ∴ABE ABC ADF ACD 1122S S S S ==，， ∴A CD 1122AECF B S S S ==四边形菱形， ∵AEF AECF S S <四边形，即112S S <，故A 、C 错误，B 符合题意； ∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，∴EF=12BD ，EF ∥BD ， ∴CEF CBD A CD 111488B S S S S ===菱形，∴1AEF CEF 113288AECF S S S S S S S ==-=-=四边形， 即183S S =，故D 错误，故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中线有关的面积计算，三角形中位线与三角形的面积，熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．9．如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，以A 为圆心，AB 为半径的弧交AD 于点F ，连接EF ．若BF ＝6，AB ＝5，则四边形ABEF 面积是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】B【分析】 根据题意AB ＝AF ，利用角平分线和平行证明BA ＝BE ，用一组对边平行且相等证明四边形ABEF 为平行四边形，再用邻边相等证明它是菱形，最后用菱形面积公式计算面积．【解析】记AE 与BF 相交于O 点，如图，由作法得AB ＝AF ＝10，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠BEA ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∴BA ＝BE ，∴AF ＝BE ，∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 为平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF为菱形，∴OA＝OE，OB＝OF＝12BF＝3，AE⊥BF，在Rt△AOB中，OA22534=-=，∴AE＝2AO＝8，∴四边形ABEF面积116824 22AE BF=⋅=⨯⨯=．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，菱形的判定和面积求解，解题的关键是根据题目中的角平分线和平行的条件能够证明等腰三角形，再根据菱形的判定和面积公式求四边形面积．10．如图，在菱形ABCD中，AE是菱形的高，若对角线AC、BD的长分别是6、8，则AE的长是()A．174B．245C．163D．5【答案】B【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO=4，CO=AO=3，由勾股定理可求CB=5，由菱形的面积公式可求AE的长．【解析】解：四边形ABCD是菱形AC BD∴⊥，4BO DO==，3CO AO==225BC BO CO ∴=+=12ABCD S AC BD BC AE =⨯⨯=⨯菱形 245AE ∴=245AE ∴= 故选B ．【点睛】本题菱形的性质，熟练运用菱形的面积公式是本题的关键．11．如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线AC 的长为24，延长AB 至E ，BF 平分CBE ∠，点G 是BF 上任意一点，则ACG 的面积为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．120【答案】B【分析】 连接BD 交AC 于点O ，根据菱形的性质可得BD 与AC 互相垂直平分，再根据AC 平分∠DAB ，BF 平分∠CBE ，可以证明AC ∥FB ，根据平行线间的距离处处相等可得S △CBG =S △ABG ，进而可得S △ACG =S △ABC ．【解析】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 与AC 互相垂直平分，∴OA=OC=12，∴OB=OD=221312=5，∵DA∥CB，∴∠DAB=∠CBE，∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=12∠DAB，∵BF平分∠CBE，∴∠FBE=12∠CBE，∴∠CAB=∠FBE，∴AC∥FB，∴S△CBG=S△ABG，∴S△ACG=S△ABC=12×AC•OB=12×24×5=60，则△ACG的面积为60．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握菱形的性质．12．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC．若AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）．A．2 B3C．53D．43【答案】C【分析】证得四边形AGCH是平行四边形，由△ABG≌△CEG（AAS），证得四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的长，即可求出菱形AGCH的面积．【解析】设BC 交AE 于G ，AD 交CF 于H ，如图所示：∵四边形ABCD 、四边形AECF 是全等的矩形，∴AB=CE ，∠B=∠E=90°，AD ∥BC ，AE ∥CF ，∴四边形AGCH 是平行四边形，在△ABG 和△CEG 中，AGB CGE B EAB CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABG ≌△CEG （AAS ），∴AG=CG ，∴四边形AGCH 是菱形，设AG=CG=x ，则BG=BC-CG=3-x ，在Rt △ABG 中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x 2，解得：x=53， ∴CG=53， ∴菱形AGCH 的面积=CG ⋅AB=55133⨯=， 即图中重叠（阴影）部分的面积为53． 故选：C ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．菱形的周长为12cm ，一个内角等于120︒，则这个菱形的面积为_________2cm ． 932【分析】作AE ⊥BC 于E ，由直角三角形的性质求出菱形的高AE ，再运用菱形面积公式＝底×高计算即可．【解析】解：作AE⊥BC于E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，周长为12cm，∠BCD＝120°，∴AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝30°，∴BE＝12AB＝32cm，AE=3BE＝332cm，∴菱形的面积＝BC•AE＝3×332932cm2）；932【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、菱形的面积等知识；熟练掌握菱形的性质，求出菱形的高是解决问题的关键．14．己知菱形ABCD的边长是3，点E在直线AD上，DE=1，联结BE与对角线AC相交于点M，则AMMC的值是______．【答案】23或43【分析】首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【解析】解：∵菱形ABCD的边长是3，∴AD=BC=3，AD∥BC，如图①：当E在线段AD上时，∴AE=AD－DE=3－1=2，∴△MAE∽△MCB，∴23 MA AEMC BC==；如图②，当E在AD的延长线上时，∴AE=AD+DE=3+1=4，∴△MAE∽△MCB，∴43 MA AEMC BC==．∴MAMC的值是23或43．故答案为23或43．【点睛】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD 上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解．15．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G，则EG ＝____．【答案】10；【分析】连接菱形的另一条对角线，利用菱形性质特征和勾股定理可求BD长；利用三角形中位线定理可得EF长；在利用三角形全等可证EF GF=即可得解．【解析】连接BD 交AC 与点O ，在菱形ABCD 中 ∵111222AC BD OC OA AC OD OB BD ⊥=====，，， 在RT DOC △中 222213125OD DC OC =-=-=，∴10BD =，∵点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，∴152EF BD ==， ∵//AB CD ，∴BGF CEF GBF ECF ∠=∠∠=∠，，又∵CF BF =，∴BGF CEF ≅△△，∴5EF GF ==，∴10EG =．故答案为：10．【点睛】本题主要考查菱形的性质特征、三角形的中位线定理、平行线性质、勾股定理以及全等三角形等．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．运用三角形中位线定理求线段长的方法：当题中有中点，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题，首先证明出它是三角形的中位线，然后利用中位线构造线段这间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的联系，从而求出线段的长．16．在数学必修拓展课上，小兰利用一张直角三角形纸片折出了一个菱形AFDE ，如图所示，若∠ACB ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，则折痕EF 的长为______．【答案】354【分析】过点D 作DH ⊥AB 于 H ，连结AD 、EF ，设CD=x ，则DH=x ，BD=4−x ，由勾股定理求得x 的值，设CF=y ，则 AF=3−y=FD ，由勾股定理求得y 的值，由菱形的性质得AD 与EF 垂直平分，进而求得EF 的长．【解析】解：如图，过点D 作DH ⊥AB 于 H ，连结AD 、EF ，∵菱形AFDE ，∴AD 平分∠BAC ，∵∠ACB=90°，∴CD=DH ，∴AH=AC=3，设CD=x ，则DH=x ，BD=4−x ，∵2222345AC BC +=+=，∴HB=5−3=2，在Rt △DBH 中，()22222242BD DH BH x x =+-=+，，∴x=1.5，即CD=1.5，设CF=y ，则AF=3−y=FD ，在Rt △CDF 中，()222222321.534CF CD FD y y y +=+=-=，，， 即CF=324，∴AF=3−324， 在Rt △ACD 中，2222363 1.5AC CD +=+=， ∴AO=136362=，由菱形的性质得AD 垂直平分EF ，OF=22223236353448AF AO ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴EF=2OF= 3535284⨯=， 故答案为35． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，角平分线的性质．17．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若20DHO ∠=︒，则HDB ∠的度数是______．【答案】20︒【分析】先根据菱形的性质得OD ＝OB ，而DH ⊥AB ，所以OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线，得到OH ＝OD ，利用等腰三角形的性质得∠HDB ＝∠DHO ．【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝OB ，∵DH ⊥AB ，∴∠DHB ＝90°，∴OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线，∴OH ＝OD ，∴∠HDB ＝∠DHO ＝20°，故填：20°．【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．已知：如图，点P 是边长为2的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M 是AB 边的中点，且60BAD ∠=︒，则MP PB +的最小值是_______．【答案】3 【分析】 找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DM ，则DM 就是PM+PB 的最小值，求出即可．【解析】解：连接DE 交AC 于P ，连接BD ，BP ，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD=PB ，∴PE+PB=PE+PD=DE ，即DM 就是PM+PB 的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB ，∴△ABD 是等边三角形，∵AE=BE ，∴DE ⊥AB （等腰三角形三线合一的性质）在Rt △ADE 中，DM=22AD AM －=2221=3－．故PM+PB 的最小值为3．故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．过点B 作AC 的平行线，过点C 作BD的平行线，两线相交于点P ．（1）求证：四边形OBPC 是菱形．（2）已知3AB =，5BC =，求四边形OBPC 的面积．【答案】（1）证明过程见解析；（2）152OBPC S =四边形 【分析】（1）根据平行四边形的判定证得四边形OBPC 是平行四边形，再根据矩形的性质可知OB=OC ，然后根据菱形的判定即可证得结论；（2）根据菱形的性质和三角形的中线将三角形面积平分可证得四边形OBPC 的面积等于三角形ABC 的面积，利用直角三角形的面积公式即可解答．【解析】（1）∵//BP OC ，//CP OB ，∴四边形OBPC 是平行四边形，在矩形ABCD 中，AC BD =，且AC 与BD 互相平分，∴OB OC =，∴'平行四边形OBPC 是菱形．（2）∵四边形OBPC 是菱形，∴OBC BCP S S =△△，又∵AO OC =，∴AOB BOC S S =△△，∴OBC BCP AOB S S S ==△△△，∴四边形OBPC 的面积等于三角形ABC 的面积， ∴11522ABC S AB BC =⋅=△， ∴152OBPC S =四边形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形的中线与面积关系、三角形的面积公式，属于基础题型，难度适中，解答的关键是熟练掌握菱形的判定与性质的应用．20．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．【答案】（1）见解析；（2）BD=2【分析】（1）根据菱形的性质和平行线的性质得到AB＝BC，∠A＝∠CBF，结合垂直的性质得到△AEB≌△BFC，根据三角形全等的性质即可证明；（2）首先证明BE是AD的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质即可求解．【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，AD∥BC∴∠A＝∠CBF∵BE⊥AD、CF⊥AB∴∠AEB＝∠BFC＝90°∴△AEB≌△BFC（AAS）∴AE＝BF（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD∴直线BE为AD的垂直平分线∴BD＝AB＝2【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的证明，垂直平分线的性质，关键是要利用好菱形的性质求解．，连接CE．21．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE DE（1）求证：DE CE =．（2）当EA AB ⊥于点A ，1AE ED ==时，求菱形的边长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据SAS 证明△ADE ≌△CDE ，从而得到AE ＝CE ，再根据AE ＝DE ，再得出结论；（2）连接AC 交BD 于H ，由菱形的性质可得AB=AD ，AC ⊥BD ，BH=DH ，AH=CH ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，利用直角三角形的性质可求解即可．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝DC ，∠ADE ＝∠CDE ，在△ADE 和△CDE 中，AD DC ADE CDE DE DE ⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝ ，∴△ADE ≌△CDE （SAS ），∴AE ＝CD ，又∵AE=DE ，∴DE CE =；（2）如图，连接AC 交BD 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD ，AC ⊥BD ，BH=DH ，AH=CH ，∴∠ABD=∠ADB ，∵AE═ED=1，∴∠DAE=∠EDA ，∴∠DAE=∠ADE=∠ABD ，∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD=180°，∴∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，∴BE=2AE=2，∴BD=BE+DE=3，∴BH=DH=32， ∵∠ABD=30°，AH ⊥BD ，∴AB=2AH ，BH=3 AH ，∴AH=3，AB=2AH=3， ∴菱形的边长为3．【点睛】考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解题关键是灵活运用其性质． 22．如图，ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA 和BC 的平行线，两线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若60B ∠=︒，6BC =，求四边形ADCE 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）S 菱形ADCE 183=【分析】（1）先证明四边形ADCE 为平行四边形，再证明AC ⊥DE 即可证明；（2）根据勾股定理得到AC 的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE 的长度，然后由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求．【解析】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC=DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD=DB=CD．∴EC=AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD=∠ACB．∵∠ACB=90°，∴∠AOD=∠ACB=90°，∴AC⊥DE，∴ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B=60°，BC=6，∴AD=DB=CD=6．∴AB=12，由勾股定理得AC=63．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE=BC=6．∴S菱形ADCE6361832AC ED⋅⨯===．【点睛】本题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，含30°角的直角三角形．（1）掌握菱形的判定定理并能灵活运用是解题关键；（2）中理解菱形的面积等于对角线的乘积的一半是解题关键．23．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）当AC=6时，求出四边形OCED的周长.【答案】（1）详见解析；（2）12【分析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形OCED是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形OCED是菱形，（2）求出OC=OD=3，由菱形的性质即可得出答案．【解析】（1）∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED为平行四边形，又∵四边形 ABCD 是矩形，∴OD=OC，∴四边形OCED为菱形；（2）∵四边形 ABCD 是矩形，∴OC=OD=12 AC，又∵AC=6，∴OC=3，由（1）知，四边形OCED为菱形，∴四边形OCED的周长为=4OC=4×3=12．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．24．如图，四边形ABCD中，60B︒∠=，连接对角线AC，AC BC=，点E在AB上，将CE绕点C顺时针旋转60︒得到CF，且点F在AD上．（1）求证：AF BE=；（2）若AE DF=，求证：四边形ABCD是菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）证明ABC ∆是等边三角形，由旋转的性质得出CE CF =，60ECF ︒∠=，通过证明ACF BCE ∆≅∆进行求证；（2）由已知条件可求出AD BC =，由（1）可证//AD BC ，进而可得出四边形ABCD 是平行四边形，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行求证．【解析】证明：（1）∵60B ︒∠=，AC BC =，ABC ∆∴是等边三角形，60ACB ︒∴∠=，AB AC BC ==， CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到CF ，CE CF ∴=，60ECF ︒∠=，∵ACB ACE ECB ∠=∠∠＋，ECF ACE ACF ∠=∠∠＋，BCE ACF ∴∠=∠，在ACF 和BCE 中AC BC ACF BCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF BCE SAS ∴∆≅∆，AF BE ∴=；（2）AE DF =，AF BE =，DF AF AE BE ∴+=+，即AB AD =，又AB BC =，AD BC ∴=，由（1）知BCE ACF ∆∆≌，60B CAF ︒∴∠=∠=，60ACB CAF ︒∴∠=∠=，//AD BC ∴，∴四边形ABCD 是平行四边形，又AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，平行四边形与菱形的判定，由已知条件证明BCE ACF ∆∆≌是解题的关键．。
专题9-6 菱形的性质与判定(知识解读)-2023-2024学年八年级数学下册(0002)
专题9.6 菱形的性质与判定（知识解读）【学习目标】1. 理解菱形的概念；2. 探索并证明菱形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；3. 通过经历菱形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；4. 通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。
【知识点梳理】知识点1：菱形的概念与性质1.概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质：边：菱形的四条边都相等．对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．知识点2：菱形的判定1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．3. 四条边相等的四边形是菱形（边）【典例分析】【考点1：菱形的概念和性质】【典例1】（2022秋•南岸区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长为（）A．12B．16C．20D．40【变式1-1】（2021春•龙马潭区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，E是AB的中点，连结EO．若EO＝2，则CD的长为（）A．2B．3C．4D．5【变式1-2】（2022秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【变式1-3】（2022秋•三明期中）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．20°【典例2】（2022秋•绥化期末）下列不属于菱形性质的是（）A．四条边都相等B．两条对角线相等C．两条对角线互相垂直D．每一条对角线平分一组对角【变式2-1】（2022秋•舞钢市期中）下列说法不正确的是（）A．菱形的四条边都相等B．菱形的对角线相等C．菱形是轴对称图形D．菱形的对角线互相垂直【变式2-2】（2022•赫章县模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为菱形，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，3），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A．16B．20C．24D．26【典例3-1】（2021秋•榆林期末）如图，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝8，则菱形ABCD的面积为（）A．24B．20C．16D．12【典例3-2】（2022•文山州模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，DB＝8，则点A到BC的距离为（）A．B．6C．8D．（2021秋•深圳期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，【变式3-1】则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm2【变式3-2】（2021秋•毕节市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（）A．6B．8C．D．【考点2：菱形的判定】【典例4】（2021秋•莱西市期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（）A．点D在∠BAC的平分线上B．AB＝ACC．∠A＝90°D．点D为BC的中点【变式4-1】（2022春•南昌期中）下列选项中能使平行四边形ABCD成为菱形的是（）A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90°D．AC＝BD【变式4-2】（2022秋•胶州市校级月考）如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的平行四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形【变式4-3】（2022秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形【典例5】（2022春•长乐区期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝13，AO＝12，BO＝5．求证：▱ABCD是菱形．【变式5-1】（2022春•苍溪县期末）如图，在△AFC中，∠F AC＝90°，B、E 分别是FC、AB的中点，过点A作AD∥FC交FE的延长线于点D．（1）求证：BF＝AD；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【变式5-2】（2022春•铁西区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D和点E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE．（1）∠BCE的度数为°．（2）求证：四边形ACEF是菱形．【变式5-3】（2022•聊城）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．【考点3：菱形的性质和判定】【典例6】（2022秋•龙岗区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．【变式6-1】（2022•冷水滩区校级开学）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，过点A作BC的平行线交ED于点F，连接AE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝10，∠ACB＝30°，求菱形AECF的面积．【变式6-2】（2022秋•罗湖区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的边长．【变式6-3】（2022春•海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD 的平分线AE交BC于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝2，求平行四边形ABCD的面积．。
菱形小专题(教师版)
菱形小专题（教师版）1．菱形的两条对角线分别为8和6，则菱形的周长和面积分别是（）A．20，48B．14，48C．24，20D．20，24【答案】D2．若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（）A．96B．48C．24D．12【答案】C3．菱形的面积为212cm，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B4．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH AB⊥于点H，连接OH，∠的度数是（）25∠=︒，则DHOCADA．20︒B．25︒C．30︒D．35︒【答案】B5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH AB⊥于点H，连接OH，若3OH=，则菱形ABCD的面积为（）OA=，2A．12B．18C．6D．24【答案】A6．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作DH BC ⊥于点H ，连接OH ，若4OA =，24ABCD S =菱形，则OH 的长为（ ）A ．5B ．3C ．52D ．125【答案】B7．已知菱形ABCD 的面积为83，对角线AC 的长为43，60BCD ∠=︒，M 为BC 的中点，若P 为对角线AC 上一动点，则PB PM +的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．4【答案】C8．如图，已知菱形ABCD 的周长为16，60ABC ∠=︒，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP AP +的最小值为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．43【答案】B9．如图，菱形ABCD的边长为2，60∠=︒，点P是边AD的中点，点Q是对角线AC上BAD一动点，则DPQ∆周长的最小值是（）A．3B．33+C．23++D．13【答案】D10．如图，在边长为6的菱形ABCD中，60∠=︒，E为AB的中点，F是AC上的一DAB动点，则EF BF+的最小值为（）A．6B．33C．3D．32【答案】B11．如图，菱形ABCD的周长为24，30∠=︒，点P是对角线BD上一动点，Q是BC的ABD中点，则PC PQ+的最小值是（）A．6B．33C．35D．3【答案】B12．如图，正方形ABCD 的面积是2，E ，F ，P 分别是AB ，BC ，AC 上的动点，PE PF +的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．1【答案】B13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且1BE =，F 为对角线AC 上一动点，则BFE ∆周长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B14．菱形ABCD 中，若对角线8BD =，6AC =，则该菱形的面积为 ． 【答案】2415．两对角线分别是10cm 和24cm 的菱形面积是 2cm ，周长是 cm ． 【答案】120；5216．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为 ．【答案】4。
全等菱形专题整理
全等菱形专题整理简介全等菱形是一个重要的几何概念，在研究几何学时经常会涉及到。
本文档将对全等菱形的一些关键概念和性质进行整理和总结，以帮助读者更好地理解和应用全等菱形的知识。
内容1. 全等菱形的定义：全等菱形的定义和判定条件是什么，包括对边长和角度的要求。
全等菱形的定义：全等菱形的定义和判定条件是什么，包括对边长和角度的要求。
2. 全等菱形的性质：全等菱形具有哪些特点和性质，例如对角线互相垂直、对角线平分彼此的角、边长相等等。
全等菱形的性质：全等菱形具有哪些特点和性质，例如对角线互相垂直、对角线平分彼此的角、边长相等等。
3. 全等菱形的证明：如何证明两个菱形全等，以及证明菱形具有特定性质的方法。
介绍一些常用的证明思路和步骤。
全等菱形的证明：如何证明两个菱形全等，以及证明菱形具有特定性质的方法。
介绍一些常用的证明思路和步骤。
4. 全等菱形的应用：全等菱形在实际生活和其他学科中的应用，例如在建筑设计中的使用、在计算机图形学中的应用等。
全等菱形的应用：全等菱形在实际生活和其他学科中的应用，例如在建筑设计中的使用、在计算机图形学中的应用等。
5. 全等菱形的练题：提供一些全等菱形相关的练题，供读者巩固和应用所学知识。
全等菱形的练习题：提供一些全等菱形相关的练习题，供读者巩固和应用所学知识。
总结全等菱形是几何学中重要的概念，掌握全等菱形的定义、性质和证明方法能帮助读者更好地理解和应用几何学知识。
通过练题的完成，读者可以进一步巩固对全等菱形的理解和应用能力。
以上是对全等菱形专题的整理，希望对读者有所帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
菱形【例题1】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（）A．2.5 B．3 C．4 D．5【例题2】（2019广西梧州）如图，在菱形ABCD中，2AB=，60∠=︒，将菱形ABCD绕点A逆时针BAD方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是．一、选择题1.（2019四川泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8 B．12 C．16 D．322.(2019•四川省绵阳市)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（）A. B. C. D.3.（2019•四川省广安市）如图，在边长为3的菱形ABCD中，︒AE⊥于点E，B，过点A作BC∠30=现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G 则CG 等于（ ）A.13B.1C. 21D. .23 4.（2019四川省雅安市）如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，AC 、BD 是对角线 ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 的中点，连接EF 、FG 、GH 、HE ，则四边形EFGH 的形状是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形5. （2019·贵州安顺）如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于CD 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ．则下列说法错误的是（ ）A ．∠ABC ＝60°B ．S △ABE ＝2S △ADEC ．若AB ＝4，则BE ＝4D ．sin ∠CBE ＝6.（2019·贵州贵阳）如图所示，菱形ABCD 的周长是4cm ，∠ABC ＝60°，那么这个菱形的对角线AC 的长是（ ）B CA．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm7.（2019•贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（）A．B．C．D．8.（2019•河北省）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°二、填空题9.（2019广西北部湾）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH= .10．（2019内蒙古通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．11．（2019湖南常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P 是二次函数y ＝x 2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线y ＝﹣1于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）12.（2019湖北十堰）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，E 为BC 的中点，若OE ＝3，则菱形的周长为 ．13.（2019北京市） 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为_______．14．（2019辽宁抚顺）如图，菱形ABCD 的边长为4cm ，∠A ＝60°，BD 是以点A 为圆心，AB 长为半径的弧，CD 是以点B 为圆心，BC 长为半径的弧，则阴影部分的面积为 cm 2．图3图2图1三、解答题15．（2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．16. （2019•海南省）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．17. （2019北京市）如图1，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）如图2，延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=12，求AO的长．图1 图2【例题1】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（）A．2.5 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴CD＝BC=204=5，且O为BD的中点，∵E为CD的中点，∴OE为△BCD的中位线，∴OE=12CB＝2.5【例题2】（2019广西梧州）如图，在菱形ABCD中，2AB=，60BAD∠=︒，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是．1【解析】连接BD 交AC 于O ，如图所示：Q 四边形ABCD 是菱形，2CD AB ∴==，60BCD BAD ∠=∠=︒，1302ACD BAC BAD ∠=∠=∠=︒，OA OC =，AC BD ⊥， 112OB AB ∴==，OA ∴==AC ∴=，由旋转的性质得：2AE AB ==，60EAG BAD ∠=∠=︒，2CE AC AE ∴=-=-，Q 四边形AEFG 是菱形，//EF AG ∴，60CEP EAG ∴∠=∠=︒，90CEP ACD ∴∠+∠=︒，90CPE ∴∠=︒，112PE CE ∴=，3PC ==2(31DP CD PC ∴=-=-=。
一、选择题1.（2019四川泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（） A ．8 B ．12 C ．16 D ．32【答案】【解析】如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO＝CO=12AC，DO＝BO=12BD，AC⊥BD，∵面积为28，∴12AC•BD＝2OD•AO＝28 ①∵菱形的边长为6，∴OD2+OA2＝36 ②，由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64．∴OD+AO＝8，∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．2.(2019•四川省绵阳市)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】过点E作EF⊥x轴于点F，∵四边形OABC为菱形，∠AOC=60°，∴=30°，∠FAE=60°，∵A（4，0），∴OA=4，∴=2，∴，EF===，∴OF =AO -AF =4-1=3，∴．3.（2019•四川省广安市）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，︒=∠30B ，过点A 作BC AE ⊥于点E ，现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G 则CG 等于（ ）A.13-B.1C. 21D. .23 【答案】A【解析】因为∠B =30°，AB =3，AE ⊥BC ，所以BE =23，所以EC =3-23， 则CF =3-3，又因为CG ∥AB ， 所以CG CF AB BF=, 所以CG =13-.4.（2019四川省雅安市）如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，AC 、BD 是对角线 ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 的中点，连接EF 、FG 、GH 、HE ，则四边形EFGH 的形状是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【答案】C 【解析】由点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，根据三角形中位线性质，得EF ＝GH ＝AB ，EH ＝FG ＝CD ，又由AB=CD ，得EF ＝FG ＝GH ＝EH 时，四边形EFGH 是菱形．∵点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，∴EF ＝GH ＝AB ，EH ＝FG ＝CD ，∵AB=CD ，∴EF ＝FG ＝GH ＝EH 时，四边形EFGH 是菱形，故选C ．5. （2019·贵州安顺）如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于CD 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ．则下列说法错误的是（ ）A ．∠ABC ＝60°B ．S △ABE ＝2S △ADEC ．若AB ＝4，则BE ＝4D ．sin ∠CBE ＝ 【答案】C【解析】由作法得AE 垂直平分CD ，即CE ＝DE ，AE ⊥CD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ＝CD ＝2DE ，AB ∥DE ，在Rt △ADE 中，cosD ＝＝，∴∠D ＝60°，∴∠ABC ＝60°，所以A 选项的结论正确；∵S △ABE ＝AB •AE ，S △ADE ＝DE •AE ，B C而AB＝2DE，∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的结论正确；若AB＝4，则DE＝2，∴AE＝2，在Rt△ABE中，BE＝＝2，所以C选项的结论错误；作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，设AB＝4a，则CE＝2a，BC＝4a，BE＝2a，在△CHE中，∠ECH＝∠D＝60°，∴CH＝a，EH＝a，∴sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的结论正确．故选：C．6.（2019·贵州贵阳）如图所示，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（）A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm【答案】A【解析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长．∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵菱形ABCD的周长是4cm，∴AB＝BC＝AC＝1cm．7.（2019•贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（）A．B．C．D．【答案】D．【解答】∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°∵CE＝CD，CF＝CB∴CE＝CF＝∴△CEF为等边三角形∴S△CEF＝＝8.（2019•河北省）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°【答案】D．【解答】∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，∴∠BAD+∠D＝180°，∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，∴∠1＝15°二、填空题9.（2019广西北部湾）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH= .【答案】245.【解析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．∵四边形ABCD是菱形，∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD，∴BD=8.∵S菱形ABCD=12AC×BD=24，∴AC=6，∴OC=12AC=3，∴，∵S菱形ABCD=BC×AH=24，∴AH=245.10．（2019内蒙古通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．【答案】﹣1【解析】过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，∵AM＝AD，AD＝CD＝3∴AM＝1，MD＝2∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°∴HD＝MD＝1，HM＝HD＝∴CH＝4∴MC＝＝∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，∴AM＝A'M＝1，∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣111．（2019湖南常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）【答案】①②④．【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），∴MP＝＝，PQ＝+1，∵点P在第一象限，∴m＞0，∴MP＝+1，∴MP＝PQ，又∵MN∥PQ，∴四边形PMNQ是广义菱形．④正确；故答案为①②④．12.（2019湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为．【答案】24【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴CD＝2OE＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长＝4×6＝2413.（2019北京市）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为_______．【答案】12【解析】设图1中小直角三角形的两直角边长分别为a ，b （a>b ）；则由图2和图3列得方程组51a b a b +=⎧⎨-=⎩，由加减消元法得32a b =⎧⎨=⎩， ∴菱形的面积1144321222S ab =⨯=⨯⨯⨯=.故填12. 14．（2019辽宁抚顺）如图，菱形ABCD 的边长为4cm ，∠A ＝60°，BD 是以点A 为圆心，AB 长为半径的弧，CD 是以点B 为圆心，BC 长为半径的弧，则阴影部分的面积为 cm 2．【答案】4．【解析】连接BD ，判断出△ABD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ABD ＝60°，再求出∠CBD ＝60°，然后求出阴影部分的面积＝S △ABD ，计算即可得解．如图，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD ＝60°，又∵菱形的对边AD ∥BC ，∴∠ABC ＝180°﹣60°＝120°，∴∠CBD ＝120°﹣60°＝60°，图3图2图1∴S阴影＝S扇形BDC﹣（S扇形ABD﹣S△ABD），＝S△ABD，＝×4×＝4cm2．三、解答题15．（2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．【答案】见解析．【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．16. （2019•海南省）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．【解析】（1）由四边形ABCD是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由E是CD的中点知DE＝CE，结合∠DEP＝∠CEQ即可得证；（2）①由PB＝PQ知∠PBQ＝∠Q，结合AD∥BC得∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，由△PDE≌△QCE知PE＝QE，再由EF∥BQ知PF＝BF，根据Rt△PAB中AF＝PF＝BF知∠APF＝∠PAF，从而得∠PAF＝∠EPD，据此即可证得PE∥AF，从而得证；②设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，由PD2+DE2＝PE2得关于x的方程，解之求得x的值，从而得出四边形AFEP为菱形的情况．【解答】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°，∵E是CD的中点，∴DE＝CE，又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE（ASA）；（2）①∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，∵EF∥BQ，∴PF＝BF，∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，∴∠APF＝∠PAF，∴∠PAF＝∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；②当AP＝时，四边形AFEP是菱形．设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，∵CD＝1，E是CD中点，∴DE＝，在Rt△PDE中，由PD2+DE2＝PE2得（1﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，即当AP＝时，四边形AFEP是菱形．17. （2019北京市）如图1，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）如图2，延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=12，求AO的长．图1 图2【答案】见解析。