专题21 菱形(解析版)
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专题21 菱形
1.菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质:(1)菱形的四条边都相等;(2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形的判定定理:
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形; (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
(3)四条边相等的四边形是菱形。
4.菱形的面积:S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
【例题1】(2019内蒙古赤峰)如图,菱形ABCD 周长为20,对角线AC 、BD 相交于点O ,E 是CD 的中点,则OE 的长是( )
A .2.5
B .3
C .4
D .5
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD 为菱形,
∴CD =BC
=204=5,且O 为BD 的中点, ∵E 为CD 的中点,
∴OE 为△BCD 的中位线,
∴OE =1
2CB =2.5
【例题2】(2019广西梧州)如图,在菱形ABCD 中,2AB =,60BAD ∠=︒,将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG ,点E 在AC 上,EF 与CD 交于点P ,则DP 的长是 . 专题知识回顾 专题典型题考法及解析
1-
【解析】连接BD 交AC 于O ,如图所示:
Q 四边形ABCD 是菱形,
2CD AB ∴==,60BCD BAD ∠=∠=︒,1302
ACD BAC BAD ∠=∠=∠=︒,OA OC =,AC BD ⊥, 112
OB AB ∴==,
OA ∴=
AC ∴=,
由旋转的性质得:2AE AB ==,60EAG BAD ∠=∠=︒,
2CE AC AE ∴=-=,
Q 四边形AEFG 是菱形,//EF AG ∴,
60CEP EAG ∴∠=∠=︒,
90CEP ACD ∴∠+∠=︒,90CPE ∴∠=︒,
1
12
PE CE ∴==,3PC ==
2(31DP CD PC ∴=-=--=。
一、选择题 1.(2019四川泸州)一个菱形的边长为6,面积为28,则该菱形的两条对角线的长度之和为( )
A .8
B .12
C .16
D .32
【答案】
【解析】如图所示:
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AO =CO
=12AC ,
DO =BO =1
2BD ,AC ⊥BD ,
∵面积为28,
∴12AC •BD =2OD •AO =28 ① ∵菱形的边长为6,
∴OD 2+OA 2=36 ②,
由①②两式可得:(OD +AO )2=OD 2+OA 2+2OD •AO =36+28=64.
∴OD +AO =8,
∴2(OD +AO )=16,即该菱形的两条对角线的长度之和为16.
2.(2019•四川省绵阳市)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 为菱形,O (0,0),A (4,0),∠AOC =60°,则对角线交点E 的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点E 作EF ⊥x 轴于点F ,
专题典型训练题
∵四边形OABC 为菱形,∠AOC =60°,
∴
=30°,∠FAE =60°,
∵A (4,0),
∴OA =4,
∴
=2, ∴,EF ===,
∴OF =AO -AF =4-1=3,
∴.
3.(2019•四川省广安市)如图,
在边长为3的菱形ABCD 中,︒=∠30B ,过点A 作BC AE ⊥于点E ,现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置,AF 与CD 交于点G 则CG 等于( )
A.13-
B.1
C. 21
D. .23 【答案】A
【解析】因为∠B =30°,AB =3,AE ⊥BC ,
所以BE =23,所以EC =3-2
3, 则CF =3-3,
又因为CG ∥AB ,
G
D
A
所以CG CF AB BF
=, 所以CG =13-.
4.(2019四川省雅安市)如图,在四边形ABCD 中,AB=CD ,AC 、BD 是对角线 ,E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 的中点,连接EF 、FG 、GH 、HE ,则四边形EFGH 的形状是( )
A .平行四边形
B .矩形
C .菱形
D .正方形
【答案】C 【解析】由点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点,根据三角形中位线性质,得EF =GH =AB ,EH =FG =CD ,又由AB=CD ,得EF =FG =GH =EH 时,四边形EFGH 是菱形. ∵点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点,∴EF =GH =AB ,EH =FG =CD ,∵AB=CD ,∴EF =FG =GH =EH 时,四边形EFGH 是菱形,故选C .
5. (2019·贵州安顺)如图,在菱形ABCD 中,按以下步骤作图:
①分别以点C 和点D 为圆心,大于CD 的长为半径作弧,两弧相交于M 、N 两点;
②作直线MN ,且MN 恰好经过点A ,与CD 交于点E ,连接BE .
则下列说法错误的是( )
A .∠ABC =60°
B .S △ABE =2S △ADE
C .若AB =4,则BE =4
D .sin ∠CB
E =
【答案】C
【解析】由作法得AE 垂直平分CD ,即CE =DE ,AE ⊥CD ,
∵四边形ABCD 为菱形,
B
C