专题21 菱形(解析版)

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专题21 菱形

1.菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2.菱形的性质:(1)菱形的四条边都相等;(2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。

3.菱形的判定定理:

(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形; (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

(3)四条边相等的四边形是菱形。

4.菱形的面积:S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

【例题1】(2019内蒙古赤峰)如图,菱形ABCD 周长为20,对角线AC 、BD 相交于点O ,E 是CD 的中点,则OE 的长是( )

A .2.5

B .3

C .4

D .5

【答案】A

【解析】∵四边形ABCD 为菱形,

∴CD =BC

=204=5,且O 为BD 的中点, ∵E 为CD 的中点,

∴OE 为△BCD 的中位线,

∴OE =1

2CB =2.5

【例题2】(2019广西梧州)如图,在菱形ABCD 中,2AB =,60BAD ∠=︒,将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG ,点E 在AC 上,EF 与CD 交于点P ,则DP 的长是 . 专题知识回顾 专题典型题考法及解析

1-

【解析】连接BD 交AC 于O ,如图所示:

Q 四边形ABCD 是菱形,

2CD AB ∴==,60BCD BAD ∠=∠=︒,1302

ACD BAC BAD ∠=∠=∠=︒,OA OC =,AC BD ⊥, 112

OB AB ∴==,

OA ∴=

AC ∴=,

由旋转的性质得:2AE AB ==,60EAG BAD ∠=∠=︒,

2CE AC AE ∴=-=,

Q 四边形AEFG 是菱形,//EF AG ∴,

60CEP EAG ∴∠=∠=︒,

90CEP ACD ∴∠+∠=︒,90CPE ∴∠=︒,

1

12

PE CE ∴==,3PC ==

2(31DP CD PC ∴=-=--=。

一、选择题 1.(2019四川泸州)一个菱形的边长为6,面积为28,则该菱形的两条对角线的长度之和为( )

A .8

B .12

C .16

D .32

【答案】

【解析】如图所示:

∵四边形ABCD 是菱形,

∴AO =CO

=12AC ,

DO =BO =1

2BD ,AC ⊥BD ,

∵面积为28,

∴12AC •BD =2OD •AO =28 ① ∵菱形的边长为6,

∴OD 2+OA 2=36 ②,

由①②两式可得:(OD +AO )2=OD 2+OA 2+2OD •AO =36+28=64.

∴OD +AO =8,

∴2(OD +AO )=16,即该菱形的两条对角线的长度之和为16.

2.(2019•四川省绵阳市)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 为菱形,O (0,0),A (4,0),∠AOC =60°,则对角线交点E 的坐标为( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】过点E 作EF ⊥x 轴于点F ,

专题典型训练题

∵四边形OABC 为菱形,∠AOC =60°,

=30°,∠FAE =60°,

∵A (4,0),

∴OA =4,

=2, ∴,EF ===,

∴OF =AO -AF =4-1=3,

∴.

3.(2019•四川省广安市)如图,

在边长为3的菱形ABCD 中,︒=∠30B ,过点A 作BC AE ⊥于点E ,现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置,AF 与CD 交于点G 则CG 等于( )

A.13-

B.1

C. 21

D. .23 【答案】A

【解析】因为∠B =30°,AB =3,AE ⊥BC ,

所以BE =23,所以EC =3-2

3, 则CF =3-3,

又因为CG ∥AB ,

G

D

A

所以CG CF AB BF

=, 所以CG =13-.

4.(2019四川省雅安市)如图,在四边形ABCD 中,AB=CD ,AC 、BD 是对角线 ,E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 的中点,连接EF 、FG 、GH 、HE ,则四边形EFGH 的形状是( )

A .平行四边形

B .矩形

C .菱形

D .正方形

【答案】C 【解析】由点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点,根据三角形中位线性质,得EF =GH =AB ,EH =FG =CD ,又由AB=CD ,得EF =FG =GH =EH 时,四边形EFGH 是菱形. ∵点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点,∴EF =GH =AB ,EH =FG =CD ,∵AB=CD ,∴EF =FG =GH =EH 时,四边形EFGH 是菱形,故选C .

5. (2019·贵州安顺)如图,在菱形ABCD 中,按以下步骤作图:

①分别以点C 和点D 为圆心,大于CD 的长为半径作弧,两弧相交于M 、N 两点;

②作直线MN ,且MN 恰好经过点A ,与CD 交于点E ,连接BE .

则下列说法错误的是( )

A .∠ABC =60°

B .S △ABE =2S △ADE

C .若AB =4,则BE =4

D .sin ∠CB

E =

【答案】C

【解析】由作法得AE 垂直平分CD ,即CE =DE ,AE ⊥CD ,

∵四边形ABCD 为菱形,

B

C

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