多边形边角关系(经典)
七年级数学下册 第9章 多边形 9.2 多边形的内角和与外角和 多边形的内角和课件(新版)华东师大版
合作探究
四边形的内角和
。 360
D
A
2 4
B
C
即∠A+∠B+∠C+∠D=360o
合作探究
五边形的内角和
。 540
B C
A D
E
合作探究
3180 4180 5180
三角形 四边形 五边形
六边形
七边形
请你认真地想一想,你能通过怎样的方法把多边形转化为三角形?
345 540 °720 °900 °
n-2
例3 已知多边形的每一内角为150°,
求这个多边形的边数.
解:设这个多边形的边数为n, 根据题意,得
(n-2)×180°=150 °n 解得n= 12
答:这个多边形的边数为12.
练习运用
1.如果一个多边形的内角和等于900°, 那么这个多边形是 七 边形.
2.十边形的内角和等于1440°度.
3.正十五边形的每一个内角等于 156°度.
拓展提高
B C
B C
A
A
D
D
E
E
拓展提高
B
.
A
p
E
C
A D
B C
.D
p
E
拓展提高
B
.
A
p
E
C
A D
B C
.D
p
E
小小结结
本节课我们通过把多边形划分成
若干个三角形,用三角形内角和去 求多边形的内角和,从而得到多边 形的内角和公式为(n-2)·180°.这种 化未知为已知的转化方法,必须在 学习中逐步掌握.
例1
求八边形的内角和。
解:八边形的内角和为 (n-2)×180°=(8-2)×180°=10 80°
经典逻辑度量空间中的边角关系
Rea in h p o e h s a d a lsi he ca sc l1 gc m e rc s a e l to s i flng t n nge n t l sia o i ti p c
HU n . i Mi g d .L 0U ig n Zh .a g
b i o l od v lp c mp tt n . sls I i p o e a ee ae smes e i rp sl e Eq i trlp l- s a cto e eo o uai s Reu t t s rv d t tt r r o p ca ga h i ul ea oy t o h h l k a
eu aea tageu ca gdo eLn eb u l ba.L sy i i poe a,i ecas a gcm tc q i t l r n l n h e nt idn a m ag r l r i n h e s at , t s rvdt t nt l i l er l h h s c o l i i sae tev us f oieo s eag f ag osttdb rel cf uasidnei eui pc , a e s f i i l o t n ecntue yt e g r le es t nt h l oc n n a n d n e ar l i i h o o i m s nh
利用计量
逻辑学理论 中建立的距离函数进行计算。结果 首先证 明了在经典逻辑度量 空间( F s ]p 中 [ ( ) ,) 存在等边多边形 , 直角三角形等特殊图形。其次证明了不存在边长大于或等于2 3的等边三角形, / 但存在边长可任意接近 23的等边三 角形。同时证明了 Lnebu / i n am代数上的反射 变换 ’ d 和平移 变换 G 保持等边三角形、 角三角形的边角关系不变。最后证 明了在经典逻辑度量空间中三逻辑 直
【精品】第九章 三角形、多边形
第9章三角形与多边形一、教学目标本章的主要内容是三角形和多边形的有关概念及其边角的性质。
教材先从瓷砖的铺设提出问题,接着研究三角形和多边形的有关边角的性质,最后探究正多边形在拼地板中的运用及其隐含的数学道理。
本章的教学目标是:1.了解三角形的内角、外角及其主要线段(中线、高、角平分线)等概念。
2.会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。
3.了解三角形的稳定性。
4.了解几种特殊的三角形与多边形的特征,并能加以简单地识别。
5.探索并掌握三角形的外角性质与外角和。
6.理解并掌握三角形的三边关系。
7.探索、归纳多边形的内角和外角和公式,并能运用于解决计算问题。
8.体验探索、归纳过程,学会合情推理的数学思想方法。
9.在直观感知、操作确认的基础上,体验证明的必要性,初步学会说理.10.欣赏丰富多彩的图案,体验数学美,提高审美情趣.二、教材特点1.本章由“瓷砖的铺设"导入,接着研究三角形和多边形的性质,最后运用三角形和多边形的有关性质探索拼地板的问题,体现了数学来源于实践,又应用于实践的特点。
2.在呈现方式上,改变“结论——例题——练习”的陈述模式,而是采用“问题——探究——发现”的研究模式,并采用多种探究方法:对“三角形的外角性质及外角和”同时采用拼图和数学说理的方法;对“三角形的三边关系"采用画图的方法;对“多边形的内角与外角和”采用计算与归纳说理的方法.3.在直观感知、操作确认的基础上,适当地进行数学说理,将两者有机地结合起来,让学生体验证明的必要性,学会初步说理。
4.渗透计算器的应用,有意识地让学生运用计算器探索多边形的内角和外角和。
5.通过教材的“问题型”呈现和探索性、开放性习题的练习,力图改变学生的学习方式,让学生自主探索、合作学习。
6.第1课时认识三角形(1)教学目的1。
理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念.2。
会将三角形按角分类.3。
理解等腰三角形、等边三角形的概念。
二年级上册数学教案-第二单元《认识多边形》|苏教版(2023秋)
一、教学内容
《认识多边形》为苏教版二年级上册数学第二单元内容,主要包括以下方面:
1.多边形的定义与特点:通过观察和操作,让学生理解多边形是由三条或三条以上的线段首尾相连围成的封闭图形。
2.常见多边形的认识:介绍三角形、四边形(矩形、正方形、平行四边形)、五边形和六边形等基本多边形。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解多边形的基本概念。多边形是由三条或三条以上的线段首尾相连围成的封闭图形。它在几何学中具有重要地位,广泛应用于日常生活和各类设计中。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。通过观察教室内的物体,找出多边形的应用实例,了解多边形如何帮助我们认识周围的世界。
在讲解多边形边角数量关系时,我发现学生们对于这一概念的理解还不够深入。为了帮助他们更好地理解,我计划在接下来的课程中,设计一些有趣的数学游戏或竞赛,让学生们在游戏中感受多边形边角数量关系的变化,从而加深记忆。
此外,在小组讨论环节,我发现学生们在讨论多边形在实际生活中的应用时,思路比较局限。为了拓宽他们的思维,我将在下一次教学中,引入更多的生活实例,引导学生从不同角度去观察和思考多边形的应用。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《认识多边形》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否见过三角形、四边形等形状的物体?”比如我们的桌子、书本封面等。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索多边形的奥秘。
难点解析:学生可能对多边形边数和角数的数量关系感到困惑,可以通过举例、绘图等方法,引导学生发现和掌握这一关系。
相似多边形基本知识
相似多边形基本知识相似多边形是数学中一个重要的概念,它在几何学和实际应用中都具有广泛的应用。
相似多边形具有相同的形状,但是大小可以不同。
在本文中,我们将介绍相似多边形的定义、性质以及如何确定相似多边形之间的关系。
一、相似多边形的定义相似多边形是具有相同形状但大小不同的多边形。
即使边长和内角都不相等,只要多边形的形状相同,就可以称它们为相似多边形。
相似多边形通过对应边的比值来确定彼此之间的关系。
例如,若多边形A和多边形B的边比为a:b,那么我们可以表示为A∼B,表示多边形A与多边形B相似。
二、相似多边形的特性相似多边形具有以下一些特性:1. 边的比例关系:相似多边形的对应边的比值相等,即A∼B,则对应边AB的比值等于a:b。
2. 角的对应关系:相似多边形的内角相等,即A∼B,则对应角的度数相等。
3. 面积的比例关系:相似多边形的面积比等于边长比的平方,即A∼B,则多边形A的面积与多边形B的面积的比等于(a/b)²。
三、判断相似多边形的条件在实际问题中,我们需要根据已知条件判断两个多边形是否相似。
常见的判断相似多边形的条件包括:1. 边比例相等:两个多边形的对应边的比值相等。
2. 角度相等:两个多边形的对应角度相等。
3. 边角关系:如果两个多边形的对应边比例相等,并且对应角度相等,那么它们是相似的。
四、相似多边形的应用相似多边形在实际应用中有着广泛的用途。
以下是一些常见的应用场景:1. 建筑设计:在建筑设计中,相似多边形可以用来计算建筑物的比例关系,从而确定合适的尺寸和比例。
2. 地图制作:在地图制作中,相似多边形可以用来表达地图上不同地区的比例关系,帮助人们更好地理解地理信息。
3. 电影特效:在电影特效中,相似多边形可以用来生成虚拟世界的模型,通过调整大小和比例来创造逼真的效果。
4. 工程测量:在工程测量中,相似多边形可以用来测量难以直接测量的物体的尺寸,通过相似性关系来推算出实际尺寸。
边角边的判定方法
边角边的判定方法引言在几何学中,边角边是指一个多边形的两条边和夹角的组合。
在解决几何问题时,我们常常需要判断一个图形是否为边角边,以便进行后续推导和计算。
本文将介绍边角边的判定方法,并给出详细的步骤和示例。
边角边的定义在一个多边形中,如果两条边与它们夹角之间的第三条边相等或成比例,那么这两条边与夹角就构成了一个边角边。
判定方法要判断一个图形是否为边角边,可以根据以下步骤进行:1.观察图形:首先要仔细观察给定的图形,并标记出所需判断的两条边和夹角。
确保没有遗漏或错误地标记了其他部分。
2.测量长度:使用测量工具(如尺子)测量所需判断的两条边和夾角之间的第三条邊。
确保测量结果准确无误。
3.判断相等性:比較这三个长度是否相等。
如果它们完全相等,则说明图形是一个完全相等于一般多邊形或正方型的边角边。
如果它们成比例,则说明图形是一个成比例的边角边。
4.判断比例:如果三个长度不完全相等但成比例,可以通过计算它们的比值来判断。
将第一条边与第三条边的长度相除,再将第二条边与第三条边的长度相除,得到两个比值。
如果这两个比值相等,则说明图形是一个成比例的边角边。
5.举例验证:为了进一步验证判断结果,可以选择一些已知为边角边的图形进行对比。
将所测量的长度与这些已知图形进行对比,如果它们吻合,则说明判断正确。
示例以下是一个示例问题及解答过程:给定一个多邊形 ABCD,其中 AB = BC = 5cm,∠ABC = 60°。
请判断这个多邊形是否为一个边角边。
解答过程:1.观察图形:观察多邊形 ABCD,并标记出所需判断的两条邊 AB 和 BC,以及夾角∠ABC。
2.测量长度:使用尺子测量 AB、BC 和 AC 的长度分别为 5cm、5cm 和7.07cm(约)。
3.判断相等性:由于 AB = BC = 5cm,并且∠ABC 是直角(90°),所以这个多邊形是一个正方形,也是一个边角边。
4.判断比例:由于AC ≠ AB 和AC ≠ BC,我们需要计算比值。
共边定理和共角定理
共边定理和共角定理
共边定理和共角定理是几何学中两个重要的定理,它们都是关于多边形的定理。
这两个定理分别描述了多边形边数和内角数之间的关系。
共边定理指出,相邻两条边之间会有一个内角,那么在n条边的多边形中,边数和内角数之间的关系是n(n-3)/2,也就是说,当n 边形中有n条边时,内角数为n(n-3)/2。
这就是共边定理。
共角定理指出,多边形的n个内角之和为(n-2)180°,这就是共角定理。
以上就是共边定理和共角定理的基本定义,接下来我们将研究它们之间的关系。
共边定理和共角定理之间有一定的关联,当已知n条边多边形的内角数之和时,可以推导出它的边数。
因为我们已经知道共角定理:多边形的n个内角之和为(n-2)180°,且共边定理:n条边的多边形的内角数为n(n-3)/2。
所以若要求出边数,应当将(n-2)180°和n(n-3)/2分别等于,然后求解出n的值,即可求出多边形的边数。
此外,共边定理和共角定理还可以用于检验多边形是否有效。
一个多边形若是有效的,那么它应该符合共边定理和共角定理。
也就是说,若一个多边形边数和它的内角数之和不符合共边定理和共角定理,则该多边形是无效的。
共边定理和共角定理也可以用来求解多边形的面积,这里提出的
方法叫做“三角法”:如果一个多边形的所有边都可以通过已知的点形成三角形,那么通过共边定理和共角定理就可以将这些三角形重新拼接成一个完整的多边形,这样,就可以根据每个三角形的面积计算出整个多边形的面积。
总之,共边定理和共角定理是几何学中重要的定理,它们与多边形有着紧密的联系,可以帮助我们求解多边形的边数、内角数、面积等问题。
第9讲 多边形的边角和对角线
知识要点1 多边形的有关概念(1)多边形:在平面内,由一些首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
(2)内角:多边形相邻两边组成的角叫作它的内角。
如图所示,∠A ,∠B ,∠C ,∠D ,∠E 是五边形ABCDE 的5个内角。
(3)外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角,如图所示,∠1是五边形的一个外角。
(4)对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
如图所示,AC 是五边形ABCDE 的一条对角线。
(5)凸多边形:画出多边形的任何一条边所在的直线,如果整个多边形都在这条直线的同一侧,那么这个多边形叫做凸多边形,否则叫凹多边形,我们初中阶段主要学习凸多边形。
(6)正多边形:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫作正多边形。
例1、判断下列说法是否正确。
(1)所有的角都相等的多边形是正多边形; ( )(2)所有的边都相等的多边形是正多边形。
( )(3)所有的多边形都有对角线。
( )例2、从十边形的一个顶点作对角线,把十边形分成 个三角形.知识要点2 多边形对角线的条数在n 边形中选定一个顶点,与它不相邻的顶点有(n-3)个,即可连成(n-3)条对角线。
依此类推,从n 个顶点出发可连n(n-3)条线。
但每条线都被算了两次,帮还要除以2,故凸n 边形一共可引出2)3( n n 对角线。
第9讲 多边形的边角和对角线A B D C E A B D C E AB DC E 1例3、过m 边形的一个顶点有7条对角线,n 边形没有对角线,k 边形有k 条对角线,则(m −k)n =______________[巩固练习]1、若从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线,则它是______边形;2、有一个十八边形,它共有______条对角线,若有一个多边形有35条对角线,则它为_________边形;3、记凸多边形对角线的条数为a n (n ≥4)。
如:a 4=2,则a 6=_______,a n =_____ a 2015−a 2012=________________知识要点3 多边形的内角和多边形的内角和:(n -2)×180°例4、从凸n 边形的一个顶点引出的所有对角线有m 条,若m 等于这个凸n 边形对角线条数的13,那么此n 边形的内角和为 .例5、如图,已知长方形ABCD ,一条直线将该长方形ABCD 分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为M 和N ,则M+N 不可能是( )A 、360°B 、540°C 、720°D 、630°[巩固练习]1、一个凸多边形中除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个多边形的内角和为 .2、凸n 边形中,有且仅有两个内角为钝角,则n 的最大值是 .3、在凸多边形的所有内角中,锐角的个数最多是c例6、小林从点P 向西走12m 后,向左转,转动的角度为α,再走12m ,如此重复,小林共走了108m 回到点P ,则α=____________[巩固练习](1)一个多边形的内角和是外角的2倍,则这个多边形的边数为_____(2)在凸多边形的所有外角中,钝角的个数最多是 ;知识要点5 星形角度和例7、如图延长凸五边形12345A A A A A 的各边相交得到5个角,(1)求12345,,,,B B B B B ∠∠∠∠∠的和?(2)若延长凸n 边形(n ≥5)的各边相交,这时n 个角的度数是多少?[巩固练习]如图,A++++++n 90B C D E F G ∠∠∠∠∠∠∠=︒,求n .例8、在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌),这显然与正多边形的内角大小有关,当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时,就拼成了一个平面图形。
浙教版数学八年级下册解码专训一:巧用多边形的内(外)角和求边角问题.docx
解码专训一:巧用多边形的内(外)角和求边角问题名师点金:多边形的内角和与外角和定理属于多边形中的基础知识,常与方程、不等式综合运用来求角的度数或多边形的边数.多边形的有关概念1.下列说法正确的是()A.若干条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做多边形B.连结多边形两个顶点的线段叫做多边形的对角线C.从n边形的一个顶点可以引(n-2)条对角线D.n边形共有n(n-3)2条对角线利用多边形的内角和或外角和定理求边数2.已知一个多边形的内角和是540°,则这个多边形是()A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形3.(中考·娄底)一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形的边数为________.4.已知两个多边形的内角总和是900°,且边数之比是1∶2,求这两个多边形的边数.利用多边形的内角和或外角和定理求角的度数5.在四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D的度数比为2∶3∶4∶3,则∠D等于()A.60°B.75°C.90°D.120°6.(中考·北京)如图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=________.(第6题)7.如图,CD∥AF,∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠C=120°,∠E=80°,试求∠F的度数.(第7题)用不等式思想解有关多边形的边数及角的问题8.一个多边形除去一个内角后,其余内角之和是2 570°,求:(1)这个多边形的边数;(2)除去的那个内角的度数.求不规则图形的内角和9.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.(第9题)多边形中的截角问题10.一个多边形截去一个角后,形成一个新多边形,新多边形的内角和是其外角和的6倍,那么原多边形的边数是多少?解码专训二:平行四边形判定的五种常用方法名师点金:平行四边形的判定方法有多种,选择判定方法时,一定要结合题目的条件,灵活选择恰当的方法,从而简化解题过程.利用两组对边分别平行判定1.如图,在▱ABCD中,DE平分∠ADC,交CB的延长线于点E,BF平分∠ABC,交AD的延长线于点F,那么四边形BFDE是否为平行四边形?说明你的理由.(第1题)利用两组对边分别相等判定2.如图,在▱ABCD中,点E、F在对角线BD上,并且BE=DF,证明:四边形AECF是平行四边形.(第2题)利用一组对边平行且相等判定3.(中考·桂林)如图,在▱ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点.(1)求证:四边形EBFD为平行四边形;(2)对角线AC分别与DE、BF交于点M、N,求证:△ABN≌△CDM.(第3题)利用两组对角分别相等判定4.如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,交AD于点E,DF平分∠ADC,交BC于点F,那么四边形BFDE是平行四边形吗?为什么?(第4题)利用对角线互相平分判定5.如图,AB、CD相交于点O,AC∥BD,AO=BO,点E、F分别是OC、OD的中点.求证:四边形AFBE是平行四边形.(第5题)解码专训三:平行四边形的性质与判定的五种常见题型名师点金:平行四边形的性质与判定定理的应用,是中考的重点内容之一,主要从四边形的边、角、对角线等方面进行比较,对四边形的边、角进行计算或推理论证,题型多样,命题以简单题为主,有向解决实际问题方面发展的趋势.利用性质与判定证明平行四边形1.(中考·龙岩)如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F是对角线AC上的两点,∠1=∠2.(1)求证:AE=CF;(2)求证:四边形EBFD是平行四边形.(用两种不同的方法证明)(第1题)利用性质与判定判断线段的关系2.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BA交AC于E,DF∥CA交AB 于F,连结EF、AD,那么是否有下列结论?说明理由.(1)AD与EF互相平分;(2)BF=AE.(第2题)利用性质与判定探究图形的形状3.如图,E,F分别是▱ABCD的AD,BC边上的点,且AE=CF.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)若M,N分别是BE,DF的中点,连结MF,EN,试判断四边形MFNE 是怎样的四边形,并证明你的结论.(第3题)利用性质与判定探究四边形中的动点问题4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6厘米.点P、Q分别为从点A、C同时出发,点P以1厘米/秒的速度由点A向点D运动,点Q以2厘米/秒的速度由点C向点B运动.当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.几秒后,四边形ABQP为平行四边形?(第4题)利用性质与判定求解翻折问题5.如图,四边形ABCD是长方形纸片,翻折∠B、∠D,使BC、AD恰好落在AC上,设F、H分别是B、D落在AC上的两点,E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点.(1)求证:四边形AECG是平行四边形;(2)若AB=4 cm,BC=3 cm,求线段EF的长.(第5题)解码专训四:平行四边形与图形变换名师点金:本章主要学习平行四边形的性质与判定,结合前面学过的平移、旋转与轴对称,可利用图形变换的性质,解决平行四边形中简单的推理与计算问题.平行四边形与平移1.将图①中的平行四边形ABCD沿对角线AC剪开,再将△ADC沿着AC 方向平移,得到图②中的△A1D1C1,连结AD1,BC1.除△ABC与△C1D1A1外,你还可以在图中找出哪几对全等的三角形(不能另外添加辅助线和字母)?请选择其中的一对加以证明.(第1题)平行四边形与旋转2.如图,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6,将△OAB绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.(1)求线段OA1的长和∠AOB1的度数;(2)连结AA1,求证:四边形OAA1B1是平行四边形;(3)求四边形OAA1B1的面积.(第2题)3.已知:如图,在平行四边形ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA,BC的延长线于点E,F,交AB,DC于点M,N.(1)观察图形并找出一对全等三角形:△________≌△________,请加以证明;(2)在(1)中你所找出的一对全等三角形,其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到?(第3题)平行四边形与轴对称4.△ABO在平面直角坐标系中的位置如图①,∠OAB=90°,∠AOB=30°,AB=1,OB=2,以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连结AD并延长交OC于点E.(1)求点B的坐标;(2)求证:四边形ABCE是平行四边形;(3)如图②,将图①中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.(第4题)解码专训五:构造平行四边形巧解证明题名师点金:在解决与四边形有关的几何问题时,若能够根据题设条件和图形特征,运用平行四边形具有的对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质,添加适当的辅助线,巧妙地构造出平行四边形,就会化难为易,化繁为简.证两线段相等1.如图,在△ABC中,D为AB的中点,E为AC上一点,BE∥DF,BD∥EF,DF交AC于G.求证:AG=EG.(第1题)证两线段互相平分2.如图,在平行四边形ABCD中,E,G,F,H分别是四条边上的点,且AE=CF,BG=DH.求证:EF与GH互相平分.(第2题)证两线段平行3.如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,E,F分别为OB,OD的中点,过点O任作一直线分别交AB,CD于点G,H.求证:GF∥EH.(第3题)证线段的和差关系4.如图,在四边形BCED中,DE∥BC,延长边BD,CE交于点A,在边BD上截取BF=AD,过点F作FG∥BC交EC于点G.求证:DE+FG=BC.(第4题)解码专训六:巧用三角形的中位线名师点金:三角形的中位线是初中几何中的重要内容,通常可以利用它来证明线段的位置关系和数量关系.在实际运用中,有些问题虽没有直接给出中位线或看似与三角形中位线定理无关,但通过巧添辅助线就可运用其解决相关问题.利用三角形的中位线求线段长度或角的度数1.在△ABC中,E,D,F分别是AB,BC,CA的中点,AB=6,AC=4,则四边形AEDF的周长是()A.8 B.10(第2题)C.12 D.142.如图,四边形ABCD中,AD=BC,F、E、G分别是AB、CD、AC的中点,若∠DAC=20°,∠ACB=60°,则∠FEG=________.利用三角形的中位线证线段的位置关系3.如图,▱ABCD中,E、F分别是AD、BC边上的点,AE=BF,AF与BE相交于点M,CE与DF相交于点N.求证:MN∥BC.(第3题)4.如图,四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,AC =BD ,M 、P 、N 分别是边AB 、BC 、CD 的中点,Q 是MN 的中点.(1)求证:PQ ⊥MN ; (2)判断△OEF 的形状.(第4题)利用三角形的中位线证线段的倍分关系5.如图,在△ABC 中,AB =AC ,延长AB 到D ,使BD =AB ,E 为AB 的中点,求证:CD =2CE.(第5题)利用三角形的中位线证线段的和差关系6.如图,在△ABC 中,AC>AB ,M 为BC 的中点,AD 是∠BAC 的平分线,若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F ,求证:MF =12(AC -AB).(第6题)利用三角形的中位线证线段的不等关系7.如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ≠CD ,E 、F 分别是AD 、BC 的中点.求证:EF<12(AB +CD).(第7题)解码专训七:思想方法荟萃方程思想名师点金:对于所要求的数学问题,通过列方程(组)来解决的一种解题策略就是方程思想.在一些几何图形中,利用设未知数、列方程(组)求解可使问题更简单易解.1.如图,四边形ABCD 是平行四边形,AE ⊥BC 于E ,AF ⊥CD 于F ,AE =4,AF =5,四边形ABCD 的周长为36,求AB ,BC 的长.(第1题)转化思想名师点金:平行四边形可被其对角线分成几个三角形(或特殊三角形),在解决有关的计算题与证明题时,常将四边形中的问题转化到三角形中,然后用三角形知识来解决.另外,证明线段或角相等时,若不能直接证得结论,可通过转化为平行四边形的对边、对角或证三角形全等的形式来证明.2.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线交AD 于点E,交BC于点F,若▱ABCD的面积为30 cm2,求图中阴影部分的面积.(第2题)3.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,EF过点O与AB交于点E,与CD交于点F,GH过点O与AD交于点G,与CB交于点H.求证:GF=EH.(第3题)构造法名师点金:构造法是根据题设条件或结论具有的特征、性质,构造出满足条件或结论的数学模型,借助该数学模型来解决原数学问题的解题方法.对于某些问题,常采用构造平行四边形的方法,从而利用平行四边形的性质使问题变得简单.4.如图,AD为△ABC的中线,E为AC上一点,连结BE交AD于点F,且AE=FE.求证:BF=AC.(第4题)答案解码专训一1.D 2.B3.6点拨:设多边形的边数为n,由题意得(n-2)·180°=360°×2.所以n =6.4.解:设这两个多边形的边数分别是n,2n.根据多边形的内角和定理,得(n-2)·180°+(2n-2)·180°=900°,解得n=3.所以2n=6.所以,这两个多边形的边数分别是3,6.5.C 6.360°7.解:如图,连结AD,在四边形ABCD中,∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°.∵AB⊥BC,∴∠B=90°.又∵∠C=120°,∴∠BAD+∠ADC=150°.∵CD∥AF,∴∠CDA=∠DAF.∴∠BAF=150°.∵∠CDE=∠BAF,∴∠CDE=150°.∴在六边形ABCDEF中,∠F=720°-∠BAF-∠B-∠C-∠CDE-∠E=720°-150°-90°-120°-150°-80°=130°.(第7题)8.解:(1)设这个多边形的边数为n,则其内角和为(n-2)·180°.依题意,得2 570°<(n-2)·180°<2 570°+180°.解得16518<n<17518.因为n≥3,且n是整数,所以n=17,即这个多边形的边数为17.(2)除去的那个内角的度数为(17-2)×180°-2 570°=130°.点拨:由于除去一个内角后,其余内角之和为2 570°,因此该多边形的内角和比2 570°大,比2 570°+180°小.可列出关于边数的不等式,先确定边数的范围,再求边数.(第9题)9.解:如图,连结CD.∵∠1+∠3+∠4=180°,∠A+∠ACD+∠ADC=180°,∴∠1=∠A+∠ACF+∠ADB.∵∠1=∠2,∠2+∠B+∠E+∠F=360°,∴∠A+∠B+∠ACF+∠ADB+∠E+∠F=360°.因此,所求的度数为360°.10.解:设新多边形的边数是n,根据多边形的内角和定理,得(n-2)·180°=6×360°.解得n=14.一个多边形截去一个角后,所得新多边形的边数可能不变,也可能减少1,还可能增加1,所以原多边形的边数是13或14或15.解码专训二1.解:四边形BFDE为平行四边形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,CD∥AB,∠ADC=∠ABC,∴FD∥BE,∠2=∠3,∵DE平分∠ADC,BF平分∠ABC,∴∠1=12∠ADC,∠2=12∠ABC,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴DE∥BF,∴四边形BFDE为平行四边形.2.证明:在▱ABCD中,AB∥CD,AB=CD,∴∠ABE=∠CDF.又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF.同理可得△ADF≌△CBE,∴AF=CE,∴四边形AECF是平行四边形.3.证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,EB∥DF.又∵EB=12AB,DF=12CD,∴EB=DF,∴四边形EBFD为平行四边形.(2)∵四边形EBFD为平行四边形,∴∠ABN=∠CDM.∵AB∥CD,∴∠BAN=∠DCM.又∵AB=CD,∴△ABN≌△CDM. 4.解:四边形BFDE是平行四边形.理由:在▱ABCD中,∠ABC=∠CDA,∠A=∠C. ∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC,∠CDF=∠ADF=12∠ADC,∴∠ABE=∠CBE=∠CDF=∠ADF.∵∠DFB=∠C+∠CDF,∠BED=∠ABE+∠A,∴∠DFB=∠BED,∴四边形BFDE是平行四边形.5.证明:∵AC∥BD,∴∠C=∠D.∵∠AOC=∠BOD,OA=OB,∴△AOC≌△BOD,∴OC=OD.∵E、F分别是OC、OD的中点,∴OE=12OC,OF=12OD,∴OE=OF.又∵OA=OB,∴四边形AFBE是平行四边形.解码专训三BC,∴∠3=∠4.1.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=∵∠1=∠3+∠5,∠2=∠4+∠6,∠1=∠2,∴∠5=∠6,又∵AD=CB,∴△ADE≌△CBF(ASA),∴AE=CF.(2)方法一:由(1)知△ADE≌△CBF,∴DE=BF.∵∠1=∠2,∴DE∥BF,∴四边形EBFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).方法二:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=DC,∴∠BAE =∠DCF.∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS),∴BE=DF.∵△ADE≌△CBF,∴DE=BF,∴四边形EBFD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).点拨:(2)题方法不唯一.2.解:两个结论都成立,理由如下:(1)∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AFDE是平行四边形.∴AD与EF互相平分.(2)在▱AFDE中,AE=DF,AC∥DF,∴∠C=∠FDB.∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴∠B=∠FDB,∴BF=DF=AE.3.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠A=∠C.∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)解:四边形MFNE是平行四边形.证明如下:∵△ABE≌△CDF,∴∠AEB=∠CFD,BE=DF.又∵M,N分别是BE,DF的中点,∴ME=FN.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠AEB=∠FBE.∴∠CFD=∠FBE.∴EB∥DF,即ME∥FN.∴四边形MFNE是平行四边形.规律总结:(2)题是一道猜想型问题,先猜想结论,再证明结论.本题已知一个四边形是平行四边形,借助其性质判断另一个四边形的形状,再利用平行四边形的判定方法判定这个四边形是平行四边形.4.解:设x 秒后,四边形ABQP 是平行四边形. 则AP =x 厘米,CQ =2x 厘米,BQ =(6-2x)厘米.∵AD ∥BC ,∴当AP =BQ 时,四边形ABQP 是平行四边形. ∴x =6-2x ,解得x =2.∴2秒后,四边形ABQP 是平行四边形.5.(1)证明:由题意可得∠GAH =12∠DAC ,∠ECF =12∠ACB. ∵四边形ABCD 是长方形,∴AD ∥BC ,∴∠DAC =∠ACB.∴∠GAH =∠ECF , ∴AG ∥CE ,又∵AE ∥CG ,∴四边形AECG 是平行四边形.(2)解:由勾股定理可得AC =5 cm ,由题意可得CF =BC =3 cm ,∴AF =2 cm ,设EF =BE =x cm ,则AE =(4-x)cm ,∴(4-x)2=22+x 2,解得x =32. ∴EF =32 cm .解码专训四1.解:△AA 1D 1≌△C 1CB ,△AD 1C 1≌△C 1BA. 选证△AA 1D 1≌△C 1CB :由平行四边形和平移的性质,得AA 1=C 1C ,A 1D 1=CB ,∠ACB =∠C 1A 1D 1, ∴∠AA 1D 1=∠C 1CB. 在△AA 1D 1和△C 1CB 中,⎩⎨⎧AA 1=C 1C ,∠AA 1D 1=∠C 1CB ,A 1D 1=CB ,∴△AA 1D 1≌△C 1CB.2.(1)解:由旋转的性质得OA 1=6,∠AOB 1=90°+45°=135°.(2)证明:∵∠AOA 1=∠OA 1B 1=90°,∴OA ∥A 1B 1.又∵OA =AB =A 1B 1,∴四边形OAA 1B 1是平行四边形.(3)解:S 四边形OAA 1B 1=OA·OA 1=6×6=36. 3.解:(1)BOM ;DON证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴BO =DO ,AB ∥CD ,∴∠MBO =∠NDO ,∠BMO =∠DNO. ∴△BOM ≌△DON.(2)其中一个三角形可由另一个三角形绕点O 旋转180°后得到或以点O 为对称中心作中心对称得到.点拨:(1)题答案不唯一.4.(1)解:由勾股定理得OA =22-12=3, ∴点B 的坐标为(3,1).(2)证明:∵∠OAB =90°,∴AB ⊥x 轴. ∵y 轴⊥x 轴,∴AB ∥y 轴,即AB ∥CE. ∵∠AOB =30°,∴∠OBA =60°. ∵D 是OB 的中点,∴OD =DB =1. ∵AB =1,∴AB =DB.∴△ABD 是等边三角形,∴∠ADB =60°. ∵△OBC 是等边三角形,∴∠OBC =60°, ∴∠ADB =∠OBC ,∴AE ∥BC , ∴四边形ABCE 是平行四边形.(3)解:设OG =x ,则由题意可得GA =GC =2-x.由勾股定理得,OG 2+OA 2=GA 2,即x 2+(3)2=(2-x)2,解得x =14,即OG =14.解码专训五(第1题)1.证明:∵BE ∥DF ,BD ∥EF , ∴四边形BEFD 是平行四边形. ∴EF =BD.∵D 为AB 的中点, ∴AD =BD ,∴EF =AD.如图,连结DE ,AF ,∵EF ∥AD , ∴四边形ADEF 是平行四边形. ∴AG =EG.2.证明:如图,连结HE ,EG ,GF ,FH.(第2题)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A =∠C ,AD =CB. ∵BG =DH , ∴AH =CG. 又∵AE =CF , ∴△HAE ≌△GCF , ∴HE =FG. 同理可证HF =EG.∴四边形EGFH 是平行四边形. ∴EF 与GH 互相平分.(第3题)3.证明:如图,连结GE ,FH. ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA =OC ,OB =OD ,AB ∥CD ,∴∠BAO =∠DCO. 又∵∠AOG =∠COH , ∴△AOG ≌△COH , ∴OG =OH.∵E ,F 分别为OB ,OD 的中点, ∴OE =12OB =12OD =OF ,∴四边形EHFG是平行四边形.∴GF∥EH.(第4题)4.证明:如图,过点F作FM∥AC交BC于点M,则四边形FMCG是平行四边形,∠BFM=∠A.∵DE∥BC,∴∠EDA=∠B.又BF=AD,∴△BFM≌△DAE,∴BM=DE.∵四边形FMCG是平行四边形,∴FG=MC,∴DE+FG=BM+MC=BC.解码专训六1.B 2.20°3.证明:连结EF,在▱ABCD中,AD=BC,AD∥BC,∵AE=BF,∴DE=CF.∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形.∴点M、N分别是EB和EC的中点.∴MN是△EBC的中位线.∴MN∥BC.点拨:本题借助平行四边形的性质,先证明MN是△EBC的中位线,然后利用三角形中位线定理证明结论.4.(1)证明:如图,连结PM和PN,∵M、P分别是边AB、BC的中点,∴PM是△BAC的中位线.∴PM ∥AC ,PM =12AC.同理,PN ∥BD ,PN =12BD.∵AC =BD ,∴PM =PN.∵Q 是MN 的中点,∴PQ ⊥MN.(2)解:△OEF 是等腰三角形.∵PM ∥AC ,PN ∥BD ,∴∠OFE =∠PMN ,∠OEF =∠PNM.∵PM =PN ,∴∠PMN =∠PNM ,∴∠OFE =∠OEF.∴△OEF 是等腰三角形.(第4题)(第5题)5.证明:如图,取CD 的中点F ,连结BF ,则CD =2CF.∵AB =BD ,∴BF 是△ADC 的一条中位线,∴BF ∥AC ,BF =12AC.∴∠2=∠ACB.∵AB =AC ,∴∠1=∠ACB ,∴∠1=∠2.∵E 是AB 的中点,∴BE =12AB , ∵BF =12AC ,且AB =AC ,∴BE =BF.在△BCE 和△BCF 中,⎩⎨⎧BE =BF ,∠1=∠2BC =BC ,,∴△BCE ≌△BCF(SAS),∴CE =CF.∵CD =2CF ,∴CD =2CE.(第6题)6.证明:如图,延长AB 、CF 交于点E.∵CF ⊥AF ,∴∠AFE =∠AFC =90°.∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠1=∠2.在△AEF 和△ACF 中,⎩⎨⎧∠1=∠2,AF =AF ,∠AFE =∠AFC ,∴△AEF ≌△ACF(ASA).∴AE =AC ,EF =CF.又∵M 为BC 的中点,∴MF 为△BEC 的中位线.∴MF =12BE =12(AE -AB)=12(AC -AB).(第7题)7.证明:如图,连结BD ,取BD 的中点M ,连结ME 和MF.∵M 、E 分别是BD 、AD 的中点,∴ME 是△ABD 的中位线.∴ME =12AB.同理,MF =12CD.在△MEF 中,ME +MF>EF ,∴12AB +12CD =12(AB +CD)>EF ,即EF<12(AB +CD).解码专训七1.解:在▱ABCD中,CD=AB.∵▱ABCD的面积=BC·AE=CD·AF,AE=4,AF=5,∴4BC=5CD,即BC=54CD.又2(AB+BC)=36,∴AB+BC=18,即BC+CD=18,∴54CD+CD=18,解得CD=8.∴BC=10.即AB=8,BC=10.2.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,DC=BA.∵AC=CA,∴△ABC≌△CDA.∴S△ABC =S△CDA=12S▱ABCD=12×30=15(cm2).∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,AD∥BC.∴∠OED=∠OFB,∠EDO=∠FBO. ∴△DOE≌△BOF,∴S△DOE =S△BOF.∴S阴影部分=S△BOF+S△AOE+S△COD=S△DOE+S△AOE+S△COD=S△CDA=15 cm2.(第3题)3.证明:如图,连结GE,HF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,OA=OC,∴∠1=∠2.又∵∠3=∠4,∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.同理可证△OCH≌△OAG,∴OH=OG.∴四边形GEHF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).∴GF=EH.点拨:本题把要证明相等的两条线段转化为平行四边形的对边加以证明.4.证明:如图,延长AD至N,使DN=AD,连结BN,CN,则四边形ABNC 是平行四边形.(第4题)∴BN=AC,BN∥AC,∴∠BNA=∠NAC.∵AE=FE,∴∠FAE=∠AFE.∵∠AFE=∠BFN,∴∠BFN=∠BNF.∴BN=BF,∴BF=AC.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
多边形边角关系
(三角形的“五心三线段” {多边形的概念与性质 [多边形的镶嵌、\prepare1. 判断:三角形的高是一条直线.( )2. 判断:三角形的三条高必交一点.( )3. 判断:所有内角都相等的多边形是正多边形.()4.正六边形的一个内角等于度.【解析】错,错,错,120. 删叶卄“五心”(1)三角形的“三线段”指的是三角形的角平分线.中线、高.⑵三角形的“五心”指的是三角形的内心、重心、垂心、外心、旁心.①三角形的三条角平分线的交点叫做内心.② 三角形的三条中线的交点叫做重心.③ 三角形的三条高所在的直线的交点叫做垂心.④ 三角形的三条边的中垂线的交点叫做外心.⑤ 三角形的任意两个外角的外角平分线和第三个内角平分线的交点叫做旁心.(虽然课本没有, 但中考中出现了很多与旁心相关的题)锐角三角形的内心直角三角形的内心 钝角三角形的内心 三角形内切岡的恻心锐角三角形的重心直角三角形的重心 钝角三角形的重心【例1】⑴如图1, 30平分Z4BC, ⑵如图2, BO 平分ZABC, ⑶如图3, BO 平分乙CBD , CO 平分ZACD,写出ZA 与ZO 之间的等童关系.CO 平分ZACB,写出ZA 与上O 之间的等童关系. CO 平分ZBCE,写出ZA 与ZO 之间的等量关系.角平分线 中线 高钝角三角形的垂心说角三角形的垂心直角三角形的垂心 钝角三角形的外心Z0+Z1+22 = 180°ZA+(180°- 2Z1) + (180° - 2Z2) =180° 【变式】如下图,ZAEB=ZCEB, ZADB=ZCDB,写出ZA, ZB, ZC 之间的等童关系.【解析】用上一讲的结论:■乙2 3 4,.・.2Z5=ZA +ZC . ZC=Z1+Z2 + ZB【例2】已知BD 、CE 是A4BC 的两条高,直线BD 、CE 交于点O,且D.E.A.O 互不重合,ZBOC = a, 请用a^ZBAC的度数.【解析】1•锐角三角形的情形:ZBAC = lSO°-a.二、Z4为钝角三角形的锐角,如图:ZBAC = a.2 直角三角形不符合的情形;3 钝角三角形的情形:一、ZA 为钝角三角形的钝角,如图:ZBAC = lSO°-a.【解析】(D由外角定理: 2Z1+ZA = 2Z2 Z1 + ZO=Z2 ,・・・ZO =丄乙4.由三角形内角和定理:2Z1 + 2Z2+ZA = 18O° Z1+Z2+ZO = 180°,・・・込9。
八年级数学上册:多边形的边与角
八年级数学上册:多边形的边与角知识导航1.多边形的边与角的关系;2.多边形中角度计算.【板块一】多边形的边角的关系方法技巧熟记n 边形内角和外角和以及正多边形边角的关系,直接运用公式计算.题型一求多边形边数【例1】若一个多边形的内角和是外角和的3倍,求这个多边形的边数.题型二求多边形对角线条数【例2】一个多边形的内角和为1800°,则这个多边形的对角线共有______条.题型三探究多边形边角变化规律【例3】一个多边形的边数每增加一条,这个多边形的()A.内角和增加180°B.外角和增加360°C.对角线增加一条D.内角和增加360°题型四正多边形内外角与边数关系【例4】如果一个正多边形的内角和等于外角和的2倍,求每一个内角的度数.针对练习11.如图,如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合,则∠1的度数是_________.2.一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为2520°,求原多边形的边数.1【板块二】多边形中角度计算方法技巧1.直接运用公式计算;2.运用转化思想,整体思想,设参计算等解决多边形中角度问题.题型一正多边形组合求角【例5】有公共顶点A ,B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放,连接AC 交正六边形于点D ,求∠ADE 的度数.ED C BA题型二多边形多角求和(转化思想+整体思想)【例6】“转化思想”是数学中的一种重要思想,即把陌生的问题转化成熟悉的问题,把复杂的问题转化成简单的问题,把抽象的问题转化为具体的问题.(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图1中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数;(2)若对图1中星形截去一个角,如图2,请你求出∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数;(3)若再对图2中的角进一步截去,你能由(1)(2)所得的方法或规律,猜想图3中的∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠M +∠N 的度数吗?(只要写出结论,不需要写出解题过程)图1图2图3E A BCD 2211N M GF E D C B A F E DC B A题型3多边形与角平分线夹角【例7】(2018济宁)如图,在五边形ABCDE 中,∠A +∠B +∠E =300°,DP ,CP 分别平分∠EDC ,∠BCD ,求∠P 的度数.PEABC【例8】如图1,四边形ABCD 中,设∠A =α,∠D =β,∠P 为四边形ABCD 的内角∠ABC 与外角∠DCE 的平分线所在直线相交而形成的锐角.(1)如图1,若α+β>180°,求∠P 的度数(用含α,β的代数式表示);(2)如图2,若α+β<180°,请在图2中画出∠P ,并直接写出∠P 的度数(用含α,β的代数式表示).图1图2A B C D EABC D E针对练习21.如图,以正六边形ADHGFE 的一边AD 为边向外作正方形ABCD ,求∠BED 的度数.AB C DEF G2.如图1所示,△ABO 与△CDO 称为“对顶三角形”,其中∠A +∠B =∠C +∠D.利用这个结论,在图2中,求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G 的度数.图1图2ACD EF G O D CBA3.如图,P 是四边形ABCD 的外角∠EBC 与∠BCF 的平分线BP 和CP 的交点,设∠A +∠D =α.(1)求∠BPC 与α之间的数量关系;(2)根据α的值的情况,判断△BPC 的形状(按角分类).ABC D EFP4.动手操作,探究:探究一:三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系已知:如图1,在△ADC 中,DP ,CP 分别平分∠ADC 和ACD ,试探究∠P 与∠A 的数量关系并说明理由;探究二:若将△ADC 改为任意四边形ABCD 呢?已知:如图2,在四边形ABCD 中,DP ,CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ,请你利用上述结论探究∠P 与∠A +∠B 的数量关系,并说明理由;探究三:若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF ,如图3所示,请你直接写出∠P 与∠A +∠B +∠E +∠F 的数量关系.图3图2P P P A B C DE F AB C 图1AC D。
多边形边角关系(思维训练含答案)
知识要点梳理边形的内角和等于180°(n-2)。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n (n-3)3、4、6。
拼成360度的角:3、4。
知识点一:多边形及有关概念1、 多边形的定义:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.(1)多边形的一些要素:边:组成多边形的各条线段叫做多边形的边.顶点:每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.内角:多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角,一个n 边形有n 个内角。
外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
(2)在定义中应注意:①一些线段(多边形的边数是大于等于3的正整数);②首尾顺次相连,二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形,画出多边形的任何一条边所在的直线,如果整个多边形都在这条直线的同一侧,则此多边形为凸多边形,反之为凹多边形(见图1).本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名,多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形,其中三角形是边数最少的多边形.知识点二:正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释:各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件,二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形,四个角都相等的四边形也不一定是正方形,只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三:多边形的对角线多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 如图2,BD为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释:(1)从n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线,将多边形分成(n-2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
四下认识多边形整理复习
一.谈话导入师:同学们,我们都知道数学课离不开数,但你知道么,在数学这个王国里还有一个很大的家族—就是图形,前面我们已经学习了四单元认识多边形,那这节课我们就一起来整理整理多边形这个单元吧。
(板贴课题多边形的整理复习)二,回顾整理建构网络1.回顾整理师:回顾多边形这个单元,谁能来说说我们都学习了哪些图形?生:三角形,平行四边形,梯形(板贴框架)师:课前同学们已将这部分知识进行了整理,接下来请同学们在小组内交流并完善你的思维导图。
(在学生交流过程中,师下去巡视指导)2.汇报交流(1).三角形知识的梳理目标引导学生条理的整理思维导图师:谁先来和大家分享你整理的有关三角形的知识?(将思维导图呈现在幻灯片上交流同时,师注意倾听,找出错误或是遗漏的知识点,)生:(起来汇报交流)(预设1对于错误)师:你真棒,建构了三角形的知识网络。
那对刚才这位同学说的你有不同意的地方吗?生:······(预设2对于知识点的遗漏)师:你真棒,建构了三角形的知识网络。
谁还有补充?生:······结师:哦,老师听出来了,原来大家是从三角形的特性,认识,分类和边角的关系这几个方面进行梳理的(随着叙述板贴)。
梳理的真不错。
老师这里有一张桌子太晃了,你能帮我想个办法加固它么?生:师:这个办法真不错,你是怎么想到的?生:利用三角形具有稳定性师:恩,你可真会活学活用,这就是三角形一个重要的特性。
其实,我们不仅认识了三角形、了解了它的这个独一无二的特性,还学习了三角形的分类,是吧?那如果老师用一个圆表示全部的三角形,那么,怎样用这个图形来表示三角形的分类?谁想来说说你的想法?按角进行分类如果让你用图形表示你打算怎样分?(思考10秒)师:谁起来说说看?生:可以用一个圆表示全部的三角形,然后把它分成三部分,一次是锐角三角形,钝角三角形,直角三角形。
边角关系公式范文
边角关系公式范文边角关系公式是用来描述几何形状中边与角之间的关系的公式。
在几何学中,边是形状的边缘,角是由两条边所夹的部分。
边角关系公式包括角度和边长之间的关系,以及角度之间的关系。
这些公式在解决几何问题,计算角度大小和边长等方面都有广泛的应用。
下面是一些常见的边角关系公式:1.三角形的内角和:在任何三角形中,三个内角的和等于180度。
设三角形的三个内角分别为A、B和C,则A+B+C=180。
2.同位角关系:同位角是指两条平行线(或一对平行线和一条横截线)上的对应角。
同位角有以下几种关系:a.同位内角:同位内角是指两条平行线被一条横截线切割时所形成的内角。
同位内角互补,即互为补角。
设两条平行线为l和m,横截线为t,则同位内角A和同位内角B的度数之和为180度,即A+B=180。
b.同位外角:同位外角是指两条平行线被一条横截线切割时所形成的外角。
同位外角相等。
设两条平行线为l和m,横截线为t,则同位外角A和同位外角B的度数相等,即A=B。
3.三角形的角平分线:在三角形中,角平分线将其中一角分成两等角。
设三角形的一个角为A,其对边所在的边为a,角平分线从顶点到对边所在的边的交点为P,则根据角平分线定理,AP/a=BP/b,其中b为角平分线所在的边长。
4.正多边形的内角和:在正多边形中,内角和公式为:内角和=(n-2)*180度,其中n为多边形的边数。
5.外角和定理:在任何多边形中,外角的和等于360度。
设多边形的一个外角为A,则A+B+C+...=360度,其中B、C等为多边形的其他外角。
这些边角关系公式是解决几何问题和计算角度大小、边长等相关计算的基础。
通过这些公式,我们可以更好地理解和掌握几何形状中边与角之间的关系,从而解决各种几何问题。
多边形的外角和教案
一、教学内容
本节内容选自《初中数学课程标准》七年级下册第四章“多边形的内角和与外角和”第三节“多边形的外角和”。主要包括以下内容:
1.理解多边形外角的概念及其与内角的关系;
2.掌握多边形外角和的性质,即多边形的外角和等于360度;
3.学会利用多边形外角和的性质解决实际问题;
4.能够运用多边形外角和的性质进行简单的几何证明。
今天的学习,我们了解了多边形外角和的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对多边形外角和的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中,我们探讨了多边形的外角和。我发现学生们对于外角和的概念接受得相对顺利,但确实在一些地方遇到了挑战。比如,当涉及到不规则多边形的外角和计算时,部分学生表现出了一定的困惑。这让我意识到,我们需要在直观演示和实际操作上多下功夫。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解多边形外角的基本概念。多边形外角是指一个多边形的任意一边与相邻两边延长线所形成的角。它是多边形内角的外部对应角,与内角有着密切的关系。外角和是360度,这一性质在解决多边形问题时具有重要意义。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。通过观察不同形状的多边形,分析其外角和始终为360度的规律,并探讨这一性质在实际中的应用,如户外地图的绘制。
我尝试通过动态图演示和实验操作来帮助学生直观理解外角和的性质,这样的教学手段似乎收到了不错的效果。学生们在动手操作的过程中,能够更直观地感受到外角和的不变性,这有助于他们建立起对这一几何性质的认识。
此外,小组讨论环节也让我看到了学生们的积极性。他们围绕多边形外角和在实际生活中的应用提出了很多有趣的想法,这表明他们能够将理论知识与实际情境相结合。不过,我也注意到,在讨论中有些学生还不够主动,可能是因为他们对主题不够自信或者不太愿意在小组中表达自己的观点。针对这一点,我计划在未来的课堂中,更多地鼓励和引导学生参与讨论,提高他们的自信心和表达能力。
边角构图知识点总结
边角构图知识点总结边角构图是指根据已知条件,画出几何图形的一种常见方法。
在数学学科中,边角构图是解决几何题目的关键步骤之一。
通过边角构图,我们可以清晰地了解几何图形的特征,以及几何关系的性质。
下面我们将对边角构图的知识点进行总结。
1. 边角构图的基本原则边角构图的基本原则是根据已知条件,通过测量,划线,绘制图形,以及利用几何关系来描绘出所要求的几何图形。
在构图过程中,需要严格遵循几何图形的性质和规则,确保构图的准确性和合理性。
2. 边角构图的步骤边角构图的步骤一般分为以下几个部分:首先是明确所给条件,然后根据条件进行分析,确定所要构图的几何图形,接着根据图形性质和关系绘制图形,最后进行检查和校对,确保构图的准确性。
在构图的过程中,需要注意保持几何图形的比例和形状,确保构图的完整性和正确性。
3. 直线、角度、三角形的构图在边角构图中,直线、角度、三角形的构图是最常见的几何图形构图。
在构图直线的过程中,需要根据已知两点或一点及斜率,通过使用尺规作图等方式进行构图。
在构图角度的过程中,需要利用传统的量角器或者利用直尺、圆规等工具来测量和绘制角度。
在构图三角形的过程中,需要根据已知的三个顶点或三边长,进行合理的构图,保证三角形的边长和角度的正确性。
4. 平行线、垂直线的构图在边角构图中,平行线和垂直线的构图是经常需要用到的内容。
在构图平行线的过程中,可以利用已知的平行线或者利用已知角度来构图。
在构图垂直线的过程中,一般需要利用已知的垂直线或者利用已知的角度等信息来构图。
通过合理的构图方法,可以确保平行线和垂直线的正确性。
5. 同位角、内错角、同旁内角、等角构图在边角构图中,同位角、内错角、同旁内角、等角的构图是需要重点注意的内容。
在构图同位角的过程中,需要保证同位角的角度大小和位置正确。
在构图内错角的过程中,需要根据错角的性质,确保构图的正确性。
在构图同旁内角和等角的过程中,需要利用角平分线等方法,确保构图的准确性和规范性。
多边形边角关系(经典)
多边形边⾓关系(经典)知识要点梳理边形的内⾓和等于180°(n-2)。
360°。
边形的对⾓线条数等于1/2·n(n-3)3、4、6。
拼成360度的⾓:3、4。
巩固提⾼⼀、填空题1.如果⼀个多边形的内⾓和等于900°,那么这个多边形是_____边形.2.⼀个正多边形的每个外⾓都等于30°,则这个多边形边数是______.3.n边形的外⾓和与内⾓和的度数之⽐为2:7,则边数为_______.4.从⼀个多边形的⼀个顶点出发,⼀共做了10条对⾓线,则这个多边形的内⾓和为_ 度.5.在四边形ABCD中,如果∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4,则∠D=______.6.⼀个多边形的内⾓和是外⾓和的5倍,那么这个多边形的边数是( )7、正n边形的⼀个外⾓等于它的⼀个内⾓的13,则n=________.8、正n边形的⼀个内⾓等于150°,则从这个多边形的⼀个顶点出发可引_____条对⾓线.9、⼀个多边形除去⼀个内⾓后,其余各内⾓的和为2780°,则除去的这个内⾓的度数为________.10.从n边形(n>3)的⼀个顶点出发,可以画__ _____条对⾓线,.这些对⾓线把n边形分成______三⾓形,分得三⾓形内⾓的总和与多边形的内⾓和_______。
.11.如果⼀个多边形的内⾓和与它的外⾓和相等,那么这个多边形是____边形。
12.如果⼀个多边形的内⾓和等于它的外⾓和5倍,那么这个多边形是____边形。
13.若n 边形的每个内⾓都是150°,则n=____。
14.如果⼀个多边形的每个内⾓都相等,且内⾓的度数是与它相邻的外⾓度数的2倍,那么这个边形的每个内⾓是_____度,其内⾓和等于_____度。
15.⼀个多边形的外⾓和是它的内⾓和的41,这个多边形是______边形。
16.如果⼗边形的每个内⾓都相等,那么它的每个内⾓都等于______度,每个外⾓都等于______度。
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知识要点梳理边形的内角和等于180°(n-2)。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n(n-3)3、4、6。
拼成360度的角:3、4。
巩固提高一、填空题1.如果一个多边形的内角和等于900°,那么这个多边形是_____边形.2.一个正多边形的每个外角都等于30°,则这个多边形边数是______.3.n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7,则边数为_______.4.从一个多边形的一个顶点出发,一共做了10条对角线,则这个多边形的内角和为_ 度.5.在四边形ABCD中,如果∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4,则∠D=______.6.一个多边形的内角和是外角和的5倍,那么这个多边形的边数是( )7、正n边形的一个外角等于它的一个内角的13,则n=________.8、正n边形的一个内角等于150°,则从这个多边形的一个顶点出发可引_____条对角线.9、一个多边形除去一个内角后,其余各内角的和为2780°,则除去的这个内角的度数为________.10.从n边形(n>3)的一个顶点出发,可以画__ _____条对角线,.这些对角线把n边形分成______三角形,分得三角形内角的总和与多边形的内角和_______。
.11.如果一个多边形的内角和与它的外角和相等,那么这个多边形是____边形。
12.如果一个多边形的内角和等于它的外角和5倍,那么这个多边形是____边形。
13.若n 边形的每个内角都是150°,则n=____。
14.如果一个多边形的每个内角都相等,且内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍,那么这个边形的每个内角是_____度,其内角和等于_____度。
15.一个多边形的外角和是它的内角和的41,这个多边形是______边形。
16.如果十边形的每个内角都相等,那么它的每个内角都等于______度,每个外角都等于______度。
17.如果一个多边形的内角和等于1800°,则这个多边形是______边形;如果一个n边形每一个内角都是135°,则=n_____;如果一个n边形每一个外角都是36°,则=n_____。
18.多边形的边数增加一条时,其外角和 ,内角和增加 .19.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°, 那么这个多边形的边数最少为___.20.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为_.21.从一个多边形的一个顶点出发,一共做了10条对角线,则这个多边形的内角和为_____度.22.个多边形的每个外角都是300, 则这个多边形是 边形.23.一个五边形五个外角的比是2:3:4:5:6,则这个五边形五个外角的度数分别是 .23.若凸n 边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发引的对角线条数是____【答案】624.如图5,四边形ABCD 中,若去掉一个60o 的角得到一个五边形,则∠1+∠2=_________度.25.如图,∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的4个外角,若∠A=1200,则∠1+∠2+∠3+∠4= .图5ED C B A 432126.已知一个多边形的内角和是外角和的23,则这个多边形的边数是 .二、选择题1.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和是2570°,则这个角是( )A.90°B.15°C.120°D.130°2.在多边形的内角中,锐角的个数不能多于( )A.2个B.3个C.4个D.5个3.n 边形的边数增加一倍,它的内角和增加( )A.180°B.360°C.(n -2).180°D.n.180°4、若多边形的边数由3增加到n (n 为正整数),则其外角和的度数( )A 、增加B 、减少C 、不变D 、不能确定5、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少0180,这个多边形的边数是( )A 、5条B 、6条C 、 7条D 、8条6、下列说法错误的个数: ( )(1)、任意一个三角形的三条高至少有一条在此三角形内部;(2)、若线段a 、b 、c 满足c b a >+,以c b a ,,为边能构成一个三角形;(3)、一个多边形从一个顶点共引出三条对角线,此多边形一定是五边形(4)、多边形中内角最多有2个是锐角;(5)、一个三角形中,至少有一个角不小于060(6)、以a 为底的等腰三角形其腰长一定大于2a(7)、一个多边形增加一条边,那它的外均增加0180。
A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、下列说法中,①等边三角形是等腰三角形;②三角形外角和大于这个三角形内角和;③四边形的内角最多可以有三个钝角;④多边形的对角线有7条,正确的个数有几个( )A .1B .2C .3D .48、如果一个多边形的边数增加1倍,它的内角和是2160°,那么原来那个多边形的边数是( )A .5B .6C .7D .89、a 、b 、c 是三角形的三边长,化简a b c b a c c a b --+--+--后等于( )A .3b a c +-B .a b c ++C .333a b c ++D .a b c +-10、一个n 边形削去一个角后,变成(n+1)边形的内角和为2520°,则原n 边形的边数是( )A .7B .10C .14D .1511.某学生在计算四个多边形的内角和时,得到下列四个答案,其中错误的是( )A.180°B.540°C.1900°D.1080°12.如果一个多边形的内角和是它的外角和的n 倍,则这个多边形的边数是( )A.n B.2n-2 C.2n D.2n+213.一个多边形截去一个角(不过顶点)后,形成的多边形的内角和是2520°,那么原多边形的边数是( )A.13 B.14 C.15 D.13或1514.一个多边形中,除一个内角外,其余各内角和是120°,则这个角的度数是( )A.60° B.80° C.100° D.120°15.若把一个多边形的顶点数增加一倍,它的内角和是25200,那么原多边形的顶点数为( ) A.8 B.9 C.6 D.1016.在多边形的内角中,锐角的个数不能多于( )A.2个B.3个C.4个D.5个17、一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( )毛A.1个B.2个C.3个D.4个18.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是( )A.2:1B.1:1C.5:2D.5:419.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( )A.3个B.4个C.5个D.6个20.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( )A.都是钝角;B.都是锐角C.是一个锐角、一个钝角D.是一个锐角、一个直角21.如图所示,各边相等的五边形ABCDE 中,若∠ABC=2∠DBE,则∠ABC 等于( )A.60°B.120°C.90°D.45°22.若一个多边形的内角和小于其外角和,则这个多边形的边数是A .3B .4C .5D .623.下列命题是假命题的是A .三角形的内角和是180o .B .多边形的外角和都等于360o .C .五边形的内角和是900o .D .三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三、简答题1.一个多边形的最大外角为85°,其他外角依次减少10°, 求这个多边形的边数.(6)EDC B A2.已知:如图,五边形ABCDE 中,AE//CD,∠A=107°,∠B=121°,求∠C 的度数.(132)3.已知:过m 边形的一个顶点有7条对角线,n 边形没有对角线,p 边形有p 条对条线.求(m-p)n.(125)4、如图,求F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数和。
(360)5.如图,在六边形ABCDEF 中,AF//CD ,AB//DE ,且0080120=∠=∠B A ,,求C ∠ 和D∠的度数6、如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠C=90°,BE 平分∠ABC ,DF 平分∠ADC ,试问BE ∥DF 吗?为什么?7、把一副三角板的直角顶点O 重叠在一起,1)如图(1),当OB 平分∠COD 时,则∠AOD 和∠BOC 的和是多少度?2)如图(2),当OB 不平分∠COD 时,则∠AOD 和∠BOC 的和是多少度?(8分) ED B C A A B CD E FBA CO图(2)图(1)D CBA O8.如图7,将正六边形绕其对称中心O 旋转后,恰好能与原来的正六边形重合,那么旋转的角度至少是 度.9.若两个多边形的边数之比为1:2,两个多边形的内角和之和为1440°,求这两个多边形的边数。
9.一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角,这种多边形是几边形能确定它的每一个外角的度数吗?10.如图,求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 度数。
11.求图15-13①、②中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数。
12.一个五边形的五个外角的读数比是1∶2∶3∶4∶5,求这个五边形的五个内角的度数比.F ED C B A。