多边形边角关系(思维训练含答案)
八年级数学竞赛例题专题讲解14：多边形的边与角 含答案
专题14 多边形的边与角阅读与思考主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形．多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常用技巧．例题与求解【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：设两个凸多边形分别有m，n条边，分别引出(3)2m m-，(3)2n n-条对角线，由此得m，n方程组．【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么n的最大值是（）A．5 B．6 C．7 D．8解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于n的不等式，通过求解不等式逼近求解．【例3】凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n的值．（山东省竞赛试题）解题思路：利用n边形内角和公式，以及边数n为大于等于3的自然数这一要求，推出该角大小，进而求出n的值．录入：王云峰【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FG 的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长． （全国通讯赛试题）解题思路：该八边形每一内角均为135°，每一外角为45°，可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决．【例5】如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了多少米？解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了．能力训练A 级1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．（重庆市竞赛试题）A DE FG HM2．如图，凸四边形ABCD 的四边AB ，BC ，CD 和DA 的长分别为3，4，12和13，∠ABC ＝90°，则四边形ABCD 的面积为＿＿＿．3．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．4．如图，ABCD 是凸四边形，则x 的取值范围是＿＿＿．.5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条（“祖冲之杯”邀请赛试题）6．—个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ）（全国初中联赛试题）A ．11B ．12C ．13D ．147．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（ ）个角．A ．5个B ．5个或3个C ．5个或3个或4个D ．4个 8．—个凸n 边形，除一个内角外，其余1n 个内角的和为2400°，则n 的值是（ ）A ．15B ．16C ．17D ．不能确定9．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝8，∠A ＝60°，∠D ＝150°，四边形周长为32，求BC 和DC 的长．A BCD EFG 第1题 A BC D 第2题 AB D EFG 第3题 A B C D24x 第4题 第7题 AB CD10．—个凸n边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求n的值．（“希望杯”邀请赛试题）11．平面上有A，B，C，D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC，△ABD，△ACD，△BDC中至少有—个三角形的内角不超过45°．（江苏省竞赛试题）12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．（安徽省中考试题）B级1．一个正m边形恰好被正n边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是m＝4，n＝8的情况），若m ＝10，则n＝＿＿＿＿．2．如图，六边形ABCDEF 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F ，且AB ＋BC ＝11，F A -CD ＝3，则BC ＋DE ＝＿＿＿＿．（北京市竞赛试题）3．如图，延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到五个角：∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5，它们的和等于＿＿＿．若延长凸n 边形（n ≥5）的各边相交，则得到的n 个角的和等于＿＿＿＿．（第十二届“希望杯”邀请赛试题）4．如图，在四边形ABCD 中，AB＝4BC ＝1，CD ＝3，∠B ＝135°，∠C ＝90°，则∠D ＝（ ）A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．不能确定（重庆市竞赛试题）5．如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠DAO ＋∠DCO 的大小是（ ）A ．70°B ．110°C ．140°D ．150°6．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（ ）A ．12B ．12或13C ．14D ．14或15（江苏省竞赛试题）7．一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图．（全国通讯赛试题）第1题 ABC D EF 第2题 1A 1B 2A 2B 3B 4B 5B 3A 4A 5A 第3题 AB CD 第4题 O ABC D 第5题8．一块地能被n 块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需n ＋76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n 及地砖的边长都是整数，求n 的值．（上海市竞赛试题）9．设有一个边长为1的正三角形，记作A 1如下左图，将A 1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A 2（如下中图）；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3（如下右图）；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作 A 4，求A 4的周长．（全国初中数学联赛试题）10．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫作平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：1A 2A 3A（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形．说明你的理由．（陕西省中考试题）。
专题14 多边形的边与角答案
专题14 多边形的边与角例1 5 7 例2 B 例3 n ＝17 提示：设此角为x ，则（n －2）×180°＝x ＋2570°，得2570360180x n +︒+︒=︒，x ＝130°，此时n ＝17.例4 双向延长AB ，CD ，EF ，GH 得四边形MNPQ ，如图，原八边形的内角都相等，其每一内角均为(82)1801358-⨯︒=︒，每一外角均为45°，因此MNPQ 为长方形，△BPC ，△DQE ，△FMG ，△ANH 都是等腰直角三角形.设GH ＝x ，HA ＝y ，由MQ ＝NP ，得MF ＋FE ＋EQ ＝NA ＋AB ＋BP 6722y +=++，∴3y =∵MN ＝QP ，∴x ＝3＋，∴周长＝7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋＋332.例5 将整个图形画完，就知道是一个边长为10米的正多边形，且每个外角的大小都是20°，由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形，所以小华第一次回到M 点时走的总路程是180米.A 级1. 7；540°2. 363. 540°4. 1＜x ＜135. D6. C7. C8.A9. BC ＝10，DC ＝6 10. n ＝611. 提示：分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论，并用反证法加以证明推出矛盾.12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面, 必须使若干个正五边形拼成一个周角，但找不到符合条件的以n ×108°=360°的n 值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面.⑵⑶略.B 级1.52.143.180°;(n －4)180°4.B5.D 由OA=OB=OC 得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°6.D7.提示：因凸十一边形由正方形或正三角形拼成，故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\150°四种可能,设这些角的个数分别为x,y,z,w,则11 6090120150(112)180x y z wx y z w+++=⎧⎨+++=-⨯⎩解得x=y=0,z=1,w=10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成，其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略.8.n=3249.649提示：从A1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原来图形周长的43倍.。
中考体系-73.多边形的边和角(最全,含答案)
多边形的边和角一、多边形的边二、多边形的角三、多边形的对角线四、镶嵌五、多边形综合一、多边形的边已知内角和求边数1.【易】（2012年海淀二模）若一个多边形的内角和等于540︒，则这个多边形的边数是___________．【答案】52.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）若一个多边形的内角和等于720︒，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B3.【易】（2012福建泉州中考）n边形的内角和为900︒，则n=__________．【答案】74.【易】（2012南外初二期末）一个多边形的内角和等于1080︒，则这个多边形为_____边形．【答案】八5.【易】（天津市河西区2011年初中毕业生学业考试模拟试卷（二）数学）一个多边形的内角和等于1260︒，则它是（）A．五边形B．七边形C．九边形D．十边形【答案】C已知一个内角求边数6.【易】（2012师达中学初一下期中）一个多边形的每一个内角都是108︒，它是_______边形．【答案】五7.【易】（丰台区2011学年度第二学期期末练习）若一个正多边形的每个内角等于120︒，则这个正多边形的边数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C8.【易】（2009年武昌水果湖第二中学初一下期末）一个多边形的每一个内角都是135︒，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【答案】B9.【易】（2010北京22中初一下期中）若一个正多边形的一个内角是140︒，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B10.【易】（北京市西城区2010年抽样测试）若一个正多边形的一个内角是144︒，则这个多边形的边数为（）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】C11.【易】（东城2011二模）若一个正多边形的一个内角等于150︒，则这个正多边形的边数是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D12.【易】（2012年铁二中初一下期中）已知正多边形的每一个内角都是160︒，则正多边形的边数为______．【答案】18已知一个外角求边数13.【易】（2010年朝阳二模）若一个多边形的每一个外角都是36︒，则这个多边形的边数是（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】D14.【易】（2011年莆田中考）若一个正多边形的一个外角等于40︒，则这个多边形是_________边形．【答案】九15.【易】（2011年山西省初中毕业生学业考试）一个正多边形，它的每一个外角都等于45︒，则该正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形【答案】C16.【易】（北京市东城区2010学年度初三年级综合练习）若一个正多边形的一个外角是60︒，则这个正多边形的边数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】B17. 【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）一个正多边形的每一个外角都等于72︒，则这个多边形的边数是_________． 【答案】518. 【易】（2012初二深圳罗湖统考）如图，小明从点O 出发，每前进10米后向右转20︒，再前进10米又向右转20︒，……，这样一直走下去，当小明第一次回到出发点O 时，他一共走了（ ）米A ．190B ．180C ．170D ．160【答案】B19. 【易】（2010初一下期中）某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转45︒，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了________米．（n 边形的内角和是()2180n -︒）【答案】8已知内外角关系求边数20. 【易】（2011年来宾市初中毕业升学统一考试试题）如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（ ） A ．六边形 B ．五边形 C ．四边形 D ．三角形 【答案】D21. 【易】（2009年怀柔一模）若一个多边形的内角和等于它外角和的1.5倍，则这个多边形的边数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B22. 【易】（巴中市2013年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是_______边形.20°20°O23.【易】(娄度市2013年初中毕业学业考试数学试题卷)（西城2011二模）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为_______．【答案】624.【易】（2013年长沙市初中毕业学业水平考试数学试卷）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】A25.【易】（2013宣武外国语实验学校第二学期期中考试）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是___________【答案】826.【易】一个多边形的内角和等于十边形的外角和的3倍，则这个多边形是________边形【答案】八27.【易】（天津市红桥区2011七年级第二学期期中考试数学）一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形是（）边形．4A．六B．八C．十D．十二【答案】C28.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）已知多边形的内角和为其外角和的5倍，则这个多边形的边数为_________．【答案】1229.【易】（武汉二中广雅中学七年级（下）数学期中）已知一个多边形的每一个内角都相等，且一个内角等于它相邻外角的9倍，则这个多边形的边数是（）A．9 B．12 C．18 D．20【答案】D30.【易】（2012陈经纶中学七年级下期中）一个n边形的内角和比它的外角和的2倍还大180︒，则边数n为_________．【答案】731.【易】（2010年北京师大附中期中）某多边形的内角与外角和共1080︒，则这个多边形的边数为_________【答案】632.【易】（沈阳）若一个多边形的所有内角与某一外角的和为1350︒，那么这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形33.【易】（初一数学下期末复习）若一个多边形的内角和与外角和等于1440︒，则这个多边形的边数是__________．【答案】834.【易】（天津市南开区2010学年度第二学期期中质量检测七年级数学试卷）一个多边形的内角和与外角和的比为5:2，则这个多边形是_________【答案】七边形35.【易】（2012育鸿中学初一下期中）一个多边形的内角和与外角和之比是7:2，则这个多边形是_________边形．【答案】九36.【易】（2010年21中初一下期中）n边形的内角和与外角和之比为4:1，则边数为__________ ．【答案】1037.【易】（2010年房山区初三年级统一练习）如果正n边形的一个外角与和它相邻的内角之比是1:3，那么n的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D38.【易】（2012人大附初一上期中）若一个正多边形的每一个外角都是相邻内角的14，则这个正多边形为（）A．正八边形B．正九边形C．正十边形D．正十二边形【答案】C39.【易】（2012首师大附中初一下期中）一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻的内角的15，则这个多边形是____边形．【答案】十二40.【中】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570︒，那么这个多边形的边数为________ 【答案】541.【中】（耀华嘉诚2008学年第一学期九年级第二次月考）外角大于内角的正多边形是正_______边形，外角等于内角的正多边形是正_____边形，外角等于内角的23的正多边形是正_________边形．【答案】三，四，五42. 【中】（2012年度初一第二学期期末模拟）一个多边形截去一个角后所形成的多边形的内角和是1260︒，那么原多边形的边数不可能是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】D截去一个角，会有这么几个变化：1、内角增加了一个，那么原来边数是：1260180218︒︒+-=÷2、内角减少了一个，那么原来边数是：12601802110︒︒++=÷3、内角不变，那么原来边数是：126018029︒︒+=÷43. 【中】（2012重庆綦江区三江初一下期中）一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形，它的内角和为2520︒，则原来多边形的边数不可能是（ ） A ．15条 B ．16条 C ．17条 D ．18条 【答案】D截去一个角，会有这么几个变化：1、内角增加了一个，那么原来边数是：25201802115︒︒+-=÷2、内角减少了一个，那么原来边数是：25201802117︒︒++=÷3、内角不变，那么原来边数是：2520180216︒︒+=÷44. 【中】（清华附初一下期中）在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角和为2010度，则这个多边形的边数为_____________． 【答案】14或1545. 【中】（南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）一个多边形少一个内角的度数和为2300︒． ⑴求它的边数；⑵求少的那个内角的度数． 【答案】⑴ 15⑵ 40︒46. 【中】（沈阳）一个多边形恰有5个钝角，则此多边形的边数最多是______________．【答案】8设这个凸多边形的边数为n ，其中5个内角为钝角，()5n -个内角为直角或锐角．()()2180180590n n ∴-⋅︒⋅︒+-⋅︒＜5 n ∴＜9，取8n =.47. 【中】（天津竞赛题）如果一个凸n 边形恰有4个内角是钝角，那么，这个多边形的边数n 最多为___________ 【答案】7因为凸n 边形恰有4个内角是钝角，所以这4个内角之和大于360︒，且小于720︒，而另外的()4n -个内角是直角或锐角，则这()4n -个内角之和不大于()490n-⨯︒，且大于0︒，于是，有不等式()()︒+︒-⨯︒︒+-⨯︒＜＜，解得48n n36002180720490＜＜，故边数n最多为7n二、多边形的角多边形内外角和48.【易】（百色市2011年初中毕业暨升学考试）五边形的外角和等于（）A．180︒B．360︒C．540︒D．720︒【答案】B49.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）四边形的内角和等于__________．【答案】360︒50.【易】（天津市河西区2010学年度第二学期七年级期中阶段性质量调查数学试卷）如图，已知长边形ABCD，若沿图中虚线减去B∠，则剩下的多边形AEFCD的内角和为______．【答案】540︒51.【易】（2012年北京十二中第二学期期中考试试卷）六边形的内角和是__________【答案】720︒52.【易】（2009年北京55中初一下期中）一个八边形的内角和为________︒．【答案】1080n+时，它的内角和增加（）53.【易】（沈阳）当多边形的边数由n增加到1A．180︒B．270︒C．360︒D．120︒【答案】A54.【易】（2009年北京65中初一下期中）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360度B．外角和增加360度C．对角线增加一条D．内角和增加180度【答案】D55.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）下面各角能成为某多边形的内角的和的是（）A．430︒B．4343︒C．4320︒D．4360︒【答案】C56. 【易】（2010中大附中期末考试）九边形中有一个内角等于120︒，则其它内角的和为___________． 【答案】1140︒57. 【易】（2012年中关村中学初一下期中）一个多边形的每一个内角都是144︒，则它的内角和等于（ ） A ．1260︒ B ．1440︒ C ．1620︒ D ．1800︒【答案】B58. 【易】（2012北大附初一下期中）若一个多边形的每个外角都等于30︒，则它的内角和等于_________． 【答案】1800︒59. 【易】（2012年铁二中初一下期中）(北大附中2013学年度第二学期期末考试初一年级数学试卷)一个多边形的每一个外角都等于40︒，那么这个多边形的内角和为（ ） A ．1260︒ B ．900︒ C ．1620︒ D ．360︒ 【答案】A60. 【易】（2010武汉市新洲区初一下期末）已知多边形的每一个外角都是72︒，则该多边形的内角和是（ ） A ．700︒ B ．720︒ C ．540︒ D ．1080︒ 【答案】C∵多边形的每一个外角都是72︒，∴多边形的边数为：360572=， ∴该多边形的内角和为：()52180540-︒=︒×．61. 【易】（2012人大附初一上期中）若从一个多边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，则这个多边形的内角和为___________． 【答案】720︒62. 【易】（2010年湖北武汉华一寄宿学校）从n 边形的一个顶点出发一共可引6条对角线，则这个n 边形的内角和等于（ ） A ．1260︒ B ．1440︒ C ．1620︒ D ．1800︒ 【答案】A63. 【易】（2011年松江区初中毕业生学业模拟考试）从多边形一个顶点可作9条对角线，则这个多边形内角和为________度． 【答案】180064.【易】（2013年福建省泉州市初中毕业、升学考试）九边形的外角和为_________．【答案】360︒65.【中】（天津市河西区2011学年度第二学期七年级期中质量调查）动脑筋完成下表：四边形五边形六边形边形1 2 3四边形五边形六边形n边形多边形内外角66.【易】（2012年铁二中初一下期中）正n边形的每一个内角的度数为________，每一个外角的度数为________．【答案】()1802nn-度，360n度.67.【易】（2011年无锡市中考）正五边形的每一个内角都等于________︒．【答案】10868.【易】（2013年晋江市初中学业升学考试）正六边形的每个内角的度数为______．【答案】120︒69.【易】（2011年广东省初中毕业生学业考试）正八边形的每个内角为（）A．120︒B．135︒C．140︒D．144︒【答案】B70.【易】（2011年上海静安区九年级二模）正五边形每个外角的度数是_________．【答案】72︒71.【易】（2012北京中考）正十边形的每个外角等于（）A．18︒B．36︒C．45︒D．60︒【答案】B72.【中】（武汉二中广雅中学七年级（下）数学月考（四））n>），锐角最多有（）个一个n边形中（4n-A．3 B．4 C．5 D．()3【答案】A73.【中】（耀华嘉诚2009学年第一学期九年级第二次月考）正多边形的一个中心角与该正多边形的一个外角的关系是（）A．互余B．互补C．相等D．互余或互补【答案】C74.【中】（2010年武珞路中学七年级下期中）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的度数和为2550︒，则这个内角的度数为（）A．30︒B．60︒C．120︒D．150︒【答案】D75.【中】（2010湖北武汉武昌初一下期末）小明在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少计算了一个内角，结果得1345°，则未计算的内角的大小为（）A．80︒B．85︒C．95︒D．100︒【答案】C76.【中】（2009武汉二中初一下期中）下列命题中：①如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．②一个多边形的内角中最多只能有3个锐角．③三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．④有公共端点，有一条公共边且和为180°的两个角是邻补角．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C77.【中】（2009⑴ 内角和为2005︒，小明为什么说不可能？ ⑵ 小华求的是几边形的内角和？⑶ 错把外角当内角的那个外角的度数你能求吗？是多少度呢？ 【答案】⑴ 因为2005︒不是180︒的整数倍，所以小明说不可能；⑵ 依题意有()21802005x -⋅=， 解得2513180x =． 因而多边形的边数是13，该多边形为十三边形．⑶ 13边形的内角和是()1321801980-=×度，则错把外角当内角的那个外角的度数是2005198025-=︒．78. 【难】（天津竞赛题）如果一个凸n 边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形，若m 等于这个凸n 边形对角线条数的49，那么此n 边形的内角和为___________ 【答案】720︒综合求角度79. 【易】（2009年浙江省宁波市中考数学试题及答案）如图，1∠、2∠、3∠、4∠是五边形ABCD 的外角，且123470∠=∠=∠=∠=︒，则AED ∠的度数是（ ）2431E DC BAA ．110︒B ．108︒C ．105︒D ．100︒ 【答案】D80. 【易】（2013年河北省初中毕业生升学文化课数学试卷）如图11，四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，将BMN △沿MN 翻折，得FMN △，若MF AD ∥，FN DC ∥，则B ∠=_________．【答案】95︒81. 【易】（2013年湖北省咸宁市中考数学试卷）如图，过正五边形ABCDE 的顶点A 作直线l BE ∥，则1∠的度数为（ ） A ．30︒ B ．36︒ C ．38︒ D ．45︒【答案】B82. 【易】（北京市西城区（南区）2012学年度第一学期期末）如图，六边形ABCDEP 是轴对称图形，CP 所在的直线是它的对称轴，若150APC BCP ∠+∠=︒，则APE BCD ∠+∠的大小是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B83. 【易】（南京市2013年初中毕业生学业考试数学试题）P BCDEA150︒300︒210︒330︒如图将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到AB C D '''的位置，旋转角090αα︒︒（＜＜）．若1110∠=︒，则α∠=____________︒．【答案】2084. 【易】（乐山市2013年高中阶段教育学校招生统一考试数学）如图7，在四边形ABCD 中，45A =∠°，直线l 与边AB AD 、分别相交于点M N 、，则12+=∠∠_______.【答案】225︒85. 【中】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）求下图中x 的值．【答案】60︒86. 【易】（天津市红桥区2011七年级第二学期期中考试数学）用一条宽度相同的足够长的线条，打一个结，如图所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE （五个角、五条边相等），其中BAC ∠的度数为__________度．1C′D′B′DCBAED CBAx °150°120°2x°1287. 【中】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）如图，在正五边形ABCDE 中，连结AC ，AD ，则CAD ∠的度数是__________︒．【答案】3688. 【中】（福建宁德中考）图⑴表示一个正五棱柱形状的高大建筑物，图⑵是它的俯视图．小健站在地面观察该建筑物，当他在图⑵中的阴影部分所表示的区域活动时，能同时看到建筑物的三个侧面，图中MPN ∠的度数为___________【答案】36︒89. 【中】（2012育鸿中学初一下期中）如图，在四边形ABCD 中，点E 在BC 上，180A ADE ∠+∠=︒，78B ∠=︒，60C ∠=︒，求EDC ∠的度数．【答案】42︒90. 【中】（2012年铁二中初一下期中）已知：如图，DC AB ∥，BAE BCD ∠=∠，AE DE ⊥，130D ∠=︒，求B ∠的度数．图（2）图（1）91. 【中】（2012年铁二中初一下期中）如图，四边形ABCD 中，40B ∠=︒，沿直线MN 剪去B ∠，则所得五边形AEFCD 中，12∠+∠=___________．【答案】220︒92. 【中】（2011年南京）如图，过正五边形ABCDE 的顶点A 作直线l CD ∥，则1∠=________．【答案】36︒93. 【中】（长春中考题）在平面内，有一条公共边的正六边形和正方形如图放置，则∠α等于_______度【答案】150︒94. 【难】（希望杯竞赛题）如图，延长凸五边形12345A A A A A 的各边相交得到5个角，即1B ∠，2B ∠，3B ∠，4B ∠，5B ∠，它们的和等于________；若延长凸n 边形()5n ≥的各边相交，则得到的n 个角的和等于_________1EC DBAlα【答案】180︒，()4180n -︒三、 多边形对角线95. 【易】（2012北京十一中学七年级下期中）若一个多边形从任一个顶点，只可以引三条对角线，则它是（ ）边形 A ．四 B ．五 C ．六 D ．七 【答案】C96. 【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程． 【答案】2097. 【易】（山西省太原市初中数学竞赛试卷）在凸多边形中，四边形有两条对角线，五边形有5条对角线．观察探索凸十边形有（ ）条对角线． A ．29 B ．32 C ．35 D ．38 【答案】C98. 【易】（北京171初一下期中）若多边形每个角都是150︒，则从此多边形的一个顶点出发的对角线条数为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】C99. 【中】（2011年四川省广安市中考数学试卷）若凸n 边形的内角和为1260︒，则从一个顶点出发引的对角线条数是___________. 【答案】6100. 【中】（2011年广东省河源市初中毕业生学业水平考试与高中阶段学校招生考试）凸n边形的对角线的条数记作()4n a n ≥，例如：42a =，那么：①5a =______________；②65a a -=___________；③1n n a a +-=_________．（4n ≥，用n 含的代数式表示） 【答案】5；4；1n -B 5B 4B 3B 2B 1A 5A 4A 3A 2A 1101. 【中】（2011深圳中学初二上期末）已知正n 边形共有3n +条对角线，其周长为x ，对角线长度之和为y ，试求yx的值． 【答案】6n =，y x =四、 平面镶嵌102. 【易】（2012教师进修初一下期中）只用下列正多边形，不能进行平面镶嵌的是（ ） A ．正三角形 B ．正四边形 C ．正六边形 D ．正八边形【答案】D103. 【易】（2012初一下检测）某市为了让居民有更多休闲和娱乐的地方，政府新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖．现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能进行平面镶嵌的是（ ） A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形 【答案】C104. 【易】（广州）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）A ．正十边形B ．正八边形C ．正六边形D ．正五边形 【答案】C105. 【易】（2010中大附中期末考试）在海珠广场修建的工程中，计划采用同一种正多边形地板铺设地面，在下面的地板砖：①正方形 ②正五边形 ③正六边形 ④正八边形 中能够铺满地面的地板砖的种数有（ ） A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种 【答案】B106. 【易】（2012首师大附中初一下期中）商店出售下列形状的地砖：⑴正方形；⑵长方形；⑶正五边形；⑷正六边形；若只选购其中一种地砖镶嵌地面，则可供选择的地砖共有（ ） A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种 【答案】C107. 【易】（武汉二中广雅中学2011下学期期末七年级数学）能与正六边形同时进行平面镶嵌的是（ ） A ．正方形 B ．正八边形 C ．正五边形 D ．正三角形 【答案】D108. 【易】（2012陈经纶中学七年级下期中）如果在一个顶点周围用两个正方形和个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6n n【答案】A109. 【易】（2012学年度第二学期河南省实验中学期中试卷）用两个正三角形与下面的（ ）若干个可以形成平面镶嵌 A ．正方形 B ．正六边形 C ．正八边形 D ．正十二边形 【答案】B110. 【易】（2012师达中学初一下期中）用正三角形和正六边形镶嵌平面，若每一个顶点处有2个正三角形，则有________个正六边形． 【答案】2111. 【易】（2012北大附初一下期中） 用边长相等的正三角形和正六边形镶嵌平面，若正三角形的个数为m 个，正六边形的个数为n 个，那么m 、n 满足的关系是________． 【答案】26m n +=112. 【易】（2012育鸿中学初一下期中）一幅美丽的图案，在其顶点处由四个正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，则第四个为（ ） A ．正三边形 B ．正四边形 C ．正五边形 D ．正六边形 【答案】B113. 【易】（2012年中关村中学初一下期中）一幅美丽的图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中两个分别为正十二边形、正四边形，则另一个为（ ）A ．正三角形B ．正四边形C ．正五边形D ．正六边形 【答案】D114. 【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是______________． 【答案】12115. 【易】（清华附中初一下期中）在下列四组多边形地板砖中，①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形．将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②③D ．①②④ 【答案】D116. 【易】（武汉二中初一下期中）装修房子铺地板，有下列规格的地板砖供挑选：①正方形②正三角形③正五边形④正六边形，若所有地砖的边长相等，使用其中的一种或两种规格的地砖，选择方案有（ ） A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种 【答案】B117. 【易】（2010武汉洪山去初一下期末）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 【答案】A正八边形的每个内角为：1803608135︒-︒=︒÷，两个正八边形在一个顶点处的内角和为：2135270︒=︒×， 那么另一个多边形的内角度数为：36027090︒-︒=︒， ∵正方形的每个内角和为90︒， ∴另一个是正方形．118. 【易】（2010年初二第二学期综合考试）如图所示，已知等边三角形ABC 的边长为1，按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（ ）A ．2008B ．2009C ．2010D ．2011【答案】C119. 【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案． 【答案】120. 【易】（浙江省2009年初中毕业生学业考试（丽水市卷））下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（ ）【答案】D121. 【中】（天津市初中毕业生学业考试试卷）如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有_______个．ABCD【答案】21122. 【中】（2010年河北省中考题）如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B123. 【中】（沈阳初二）如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直边（>x y ），下列四个说法：①2249+=x y ，②2-=x y ，③2449+=xy ，④9+=x y ．其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】B124. 【中】（浙江省2009年初中毕业生学业考试（衢州卷））陈老师要为他家的长方形餐厅（如图）选择一张餐桌，并且想按如下要求摆放：餐桌一侧靠墙，靠墙对面的桌边留出宽度不小于80cm 的通道，另两边各留出宽度不小于60cm 的通道．那么在下面四张餐桌中，其大小规格符合要求的餐桌编号是_____________（把符合要求的编号都写上）．x yG FHEDCBA【答案】①②③④125.【中】（漳州中考题）我们知道形状为正五边形的地砖不能铺满地面，但某公园的一段路面是用型号相同的特殊的五边形地砖铺成的．如图，是拼铺图案的一部分，其中每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于________度【答案】120五、多边形综合中心角、边心距、外接/内切圆126.【易】（奉贤区调研测试）如果正多边形的中心角等于30︒，那么它的每个内角为_________度；【答案】150127.【易】（上海普陀区初三下质量调研）中心角是40︒的正多边形的边数是_____________【答案】9128.【易】（2013年天津市初中毕业生学业数学考试试卷）正六边形的边心距与边长之比为（）A3B2C．1:2D2CDEBA（第15题）桌面是边长为80cm的正方形桌面是长、宽分别为100cm和64cm的长方形桌面是半径为45cm的圆桌面的中间是边长为60cm的正方形，两头均为半圆【答案】B129.【中】（肇庆市2011年初中毕业生学业考试数学试题））A．6 B．12 C．D．【答案】B130.【中】（2011年上海金山区初三二模）已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C131.【中】（学年第一学期南汇区九年级数学期末质量抽查试卷）正六边形的边心距为3，则它的半径长为_________，面积为_________．【答案】，132.【中】（莆田市毕业考试）一个圆内接正六边形的边长为2，那么这个正六边形的边心距为_________．133.【中】（天津市初中毕业生学业考试试卷）边长为的正六边形的内切圆的半径为（）A．2a B．a CD．12a【答案】C134.【中】（台州市初中学业水平考试）如图，O的内接多边形周长为3，O的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）ABaCD【答案】C圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长．圆的内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，所以圆周长在3与3.4之间．只有C选项满足条件．135.【中】（2009年安徽省芜湖市中考）小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折．旋转放置，做成科学方舟模型．如图所示，该正五边形的边心距OBAC为科学方舟船头A到船底的距离，请你计算12AC AB+=______________．（不能用三角函数表达式表示）136.【中】（杭州市各类高中招生文化考试）如图，有一个圆O和两个正六边形1T，2T．1T的6个顶点都在圆周上，2T的6条边都和圆O相切（我们称1T，2T分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．⑴设1T，2T的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求:r a及:r b的值；⑵求正六边形1T，2T的面积比12:S S的值．【答案】⑴连接圆心O和1T的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以:1:1r a=；连接圆心O和2T相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以:2r b=；B门。
数学思维训练营认识多边形的综合算式练习题
数学思维训练营认识多边形的综合算式练习题某数学思维训练营为了提高学生的数学思维能力，特别设计了一系列的多边形综合算式练习题。
通过解答这些练习题，学生们可以更深入地了解多边形的性质和相关的计算方法。
以下是其中的几道典型练习题：1. 已知某个正多边形的内角和为1440°，多边形有几条边？每个内角的度数是多少？解答：设正多边形有n条边，每个内角的度数为x°。
根据正多边形的性质，可以得到以下等式：180° + (n-2)x° = 1440°整理得到：(n-2)x° = 1260°由于内角和是1440°，所以(n-2)x°必须是1440°的一个因数。
通过观察可知，1260是1440的一个因数，且除数为6，即1260 = 1440 × 6 / 8。
因此，n-2 = 6，解得n = 8。
将n = 8代入等式，可得x = (1440° - 180°)/8 = 150°。
所以，这个正多边形有8条边，每个内角的度数为150°。
2. 如果一个正多边形的每个内角的度数是135°，则这个多边形有几条边？解答：设正多边形有n条边，每个内角的度数为135°。
根据正多边形的性质，可以得到以下等式：180° + (n-2) × 135° = n × 180°整理得到：(n-2) × 135° = n × 180° - 180°化简得到：(n-2) × 135° = (n-1) × 180°展开得到：135°n - 270° = 180°n - 180°整理得到：45°n = 90°解得：n = 2由于一个多边形至少需要3条边，所以这个正多边形不存在。
多边形的边角与对角线(含答案)-
分，求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．
(2003 年安徽省中考题 )
பைடு நூலகம்
11．如图，凸四边形有 (重庆市竞赛题 )
个；∠ A+ ∠ B+ ∠ C+∠D+ ∠E+∠ F+∠ G=
．
12．如图，延长凸五边形 A 1A 2A 3A 4A 5 的各边相交得到 5 个角，∠ B 1，∠ B2 ，∠ B 3，∠ B 4，
． (第 17 届江苏省竞赛题 )
2002°，则这个多边形的
思路点拨 设除去的角为°， y°，多边形的边数为 n ，可建立关于 x、y 的不定方程； 又 0° <x<180 °， 0° <y<180 °，又可得到关于 n 的不等式．故有两种解题途径，注意 n 为 自然数的隐含条件． 链接 世界上的万事万物是一个不断地聚合和分裂的过程，点是几何学最原始的概念，点 生线、线生面、面生体，几何元素的聚合不断产生新的图形，另一方面，不断地分割已有的 图形可得到新的几何图形， 发现新的几何性质， 多边形可分成三角形， 三角形可以合成其他 一些几何图形．
( ) A．4 B． 4 2
C． 3 2
D． 3
3 (第 16 届江苏省竞赛题 )
注 按题中的方法 '不断地做下去，就会成为下图那样的图形，它的边界有一个美丽的名 称——雪花曲线或科克曲线 (瑞典数学家 )，这类图形称为“分形” ，大量的物理、生物与数 学现象都导致分形，分形是新兴学科“混沌”的重要分支． 17．如图，设∠ CGE= α ，则∠ A+ ∠B+ ∠ C+∠ D+∠ C+∠ F=( )
3
9．如图，四边形 ABCD 中， AB ＝ BC＝ CD，∠ ABC=90 °，∠ BCD ＝150°，求∠ BAD 的 度数． (2003 年北京市竞赛题 )
八年级数学竞赛例题专题讲解15：多边形的边与角 含答案
专题15 多边形的边与角阅读与思考两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系，其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系．全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法．我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的．了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形：例题与求解【例1】考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个（山东省竞赛试题）解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例．【例2】如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ ＝AB．求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．（第十六届江苏省竞赛试题）解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明∠P AQ ＝90°．【例3】如图，已知为AD 为△ABC 的中线，求证：AD ＜1()2AB AC ． （陕西省中考试题）解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB ，AC ，AD 集中到同一个三角形中，从构造2AD 入手．【例4】如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ．求证：AB ＝AC ＋BD ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在AB 上截取AF ，使AF ＝AC ，以下只要证明FB ＝BD 即可，于是将问题转化为证明两线段相等．【例5】如图1，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E ，F 分别是直线CD 上两点，且Q AB C DEO P AB C D AB CD E∠BEC ＝∠CF A ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图2，若∠BCA ＝90°，∠α＝90°，则BE ＿＿＿＿CF ，EF ＿＿＿＿BE AF -（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图3，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；（2）如图4，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α＝∠BCA ，请提出EF ，BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．（台州市中考试题）解题思路：对于②，可用①进行逆推，寻找△BCE ≌△CAF 应满足的条件．对于（2）可用归纳类比方法提出猜想．【例6】如图，在四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠BAD ＝105°，∠ABC ＝∠ADC ＝45°．求证：CD ＝AB ．（天津市竞赛试题）解题思路：由已知易得∠CAB ＝30°，∠GAC ＝75°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＋∠DAC ＝180°，由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等．BC D E F αα图1 A BC D EF 图2 ABC E F 图3D A B C DEF 图4 A B CD能力训练A 级1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ︰DB ＝3︰5，则点D 到AB 的距离是＿＿＿＿．2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过B ，C 作经过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD ＝3cm ，CE ＝4cm ，则DE ＝＿＿＿＿．3．如图，△ABE 和△ACF 分别是以△ABC 的边AB 、AC 为边的形外的等腰直角三角形，CE 和BF 相交于O ，则∠EOB ＝＿＿＿＿．4．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，且AB ＝AE ，AC ＝AD ．有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC ＝DE ；③∠DBC ＝12∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号＿＿＿＿．（把你认为正确结论的序号都填上）（天津市中考试题）5．如图，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1＝∠2＝∠3，AC ＝AE ，则（ ）A ．△ABD ≌△AFDB ．△AFE ≌△ADC C ．△AFE ≌△DFCD ．△ABC ≌△ADE6．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ．若AB ＝6cm ，则△DEB 的周长为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm7．如图，从下列四个条件：①BC ＝B 'C ；②AC ＝A ′C ；③∠A ′CA ＝∠B ′CB ；④AB ＝A ′B ′中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成的正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（北京市东城区中考试题）A BCD第1题 AD E 第2题 A BC E F O 第3题 A B CDE 第4题第5题 A B C DE F 321A B C D 第6题 A B C B 'A '第7题8．如图1，在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，且BF＝AC．（1）求证：ED平分∠FEC；（2）如图2，若△ABC中，∠C为钝角，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明．9．在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中，∠AOB＝∠DOC＝90°，连AD，M为AD中点，连OM．（1）如图1，请写出OM与BC的关系，并说明理由；（2）将图1中的△COD旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．10．如图，已知∠1＝∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M．求证：∠M＝1()2ACB B∠-∠．（天津市竞赛试题）AB CDEF图1AB DEC图2A BCDMO图1A BCDMO图2ABCDEFMP2111．如图，已知△ABC 中，∠A ＝60°，BE ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，P 为BE ，CD 的交点． 求证：BD ＋CE ＝BC ．12．如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ．（1）求证：DE 平分∠BDC ；（2）若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，求证：ME ＝BD ．（日照市中考试题） B 级1．在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝＿＿＿＿．（武汉市竞赛试题）2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若AB ＝5，AC ＝3，则AD 的取值范围是＿＿＿＿．（“希望杯”竞赛试题）3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是角平分线，P 是AD 上任意一点，在AB -AC 与BP -PC 两式中，较大的一个是＿＿＿＿．4．如图，已知AB ∥CD ，AC ∥DB ，AD 与BC 交于O ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，那么图中全等的三角形有（ ）ABC DE P A B C 第2题 D AB C P D 第3题 A B CD EF O 第4题 第5题 A B C EF AA ．5对B ．6对C ．7对D ．8对5．如图，AD 是△ABC 的中线，E ，F 分别在AB ，AC 上，且DE ⊥DF ，则（ ）A ．BE ＋CF ＞EFB ．BE ＋CF ＝EFC ．BE ＋CF ＜EFD ．BE ＋CF 与的大小关系不确定（第十五届江苏省竞赛试题）6．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余 D.互补或相等（北京市竞赛试题）7．如图，在△ABE 和△ACD 中，给出以下四个论断：①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③AM ＝AN ；④AD ⊥DC ，AE ⊥BE ．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（荆州市中考试题）8．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝1()2AB AD ，求∠ABC ＋∠ADC 的度数． （上海市竞赛试题）9．在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝6，且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画出图形并证明你的结论．（河北省竞赛试题）AB C D EM N A B CDE10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD ，CE ：分别平分∠BAC ，∠ACB ．求证：AC ＝AE ＋CD ．（武汉市选拔赛试题）11．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AP ，CQ 分别平分∠BAC ，∠BCA ．AP 交CQ 于I ，连PQ ． 求证：IACACPQ S S ∆四边形为定值．12．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD 丄MN 于O ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：DE ＝AD ＋BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE ＝AD -BE ； （3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问：DE ，AD ，BE 有怎样的等量关系？请写出这个等 量关系，并加以证明． （海口市中考试题）AB C D E M N 图1 A B CM N 图3 D EA BC MN 图2 D E Q A BCI PAB C D EO13．CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E ，F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC ＝∠CF A ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA ＝90°，∠α＝90°，则BE ＿＿＿＿CF ，EF ＿＿＿＿BE AF -（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；（2）如图3，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α＝∠BCA ，请提出EF ，BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．（台州市中考试题）A BCD EF 图1 A B C E F 图2 D A BC D E F 图3。
2021年人教版五年级数学思维训练第四讲多边形的
第四章 多边形内角和知识导航在同一平面内，由3条或3条以上不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形，我们称为多边形。
一个多边形的顶点数、边数、内角数是相等的。
如果不说明，我们一般都指凸多边形。
如果多边形的各条边都相等，我们称它为正多边形，正多边形所有的内角也相等。
如正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形……多边形所有内角相加得到多边形内角和，它的和是有一定规律的。
图解思维训练题例1 我们知道多边形中三角形内角和是180°，要求多边形内角的和是多少度，就利用转化思想将多边形内角和转化成求几个三角形内角的和。
请同学们分析下面的哪种分法求五边形内角和简单而且无错误。
图1图2图3图解思路图2的分法最简单。
图2内角和=∠6+∠7+∠8+∠9+∠11+∠12+∠13+∠14+∠10= (∠6+∠9+∠11)+(∠7+∠12+∠13)+(∠8+∠10+∠11)=180°+180°+180°=180°×3=540°。
只有从一个顶点引出的所有对角线将多边形分成的三角形个数，才是计算多边形内角和最简便且最无误的方法。
例2 计算四边形、五边形、六边形、七边形等多边形内角和，推出多边形内角和的一般计算方法。
图解思路首先要把多边形先转化成三角形，计算出几种多边形的内角和，再通过边数与三角形个数的对应关系，推出求一般多边形内角和的计算方法。
为便于直观推理，我们可以利用表格，观察数据间的变与不变关系以发现其规律。
规范解答多（n）边形内角和为：(n-2)×180°。
例3 求出下图中x的值。
图解思路上图是一个五边形，可以利用公式(n-2)×180°求出它的内角和，再用等量关系列出方程，并求出解。
规范解答95°+135°+110°+3x+x=(5-2)×180°340°+4x=540°4x=200°x=50°例4 一个多边形的每条边相等，则每个角也相等，这种多边形叫正多边形（如下图所示）。
多边形的边角与对角线(含答案)-
第十四讲 多边形的边角与对角线边、角、对角线是多边形中最基本的概念，求多边形的边数、内外角度数、对角线条数是解与多边形相关的基本问题，常用到三角形内角和、多边形内、外角和定理、不等式、方程等知识．多边形的内角和定理反映出一定的规律性：(n －2)×180°随n 的变化而变化；而多边形的外角和定理反映出更本质的规律；360°是一个常数，把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形有关问题的常用技巧．将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略，连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法，从凸n 边形的一个顶点引出的对角线把凸n 边形分成)2(-n 个多角形，凸n 边形一共可引出2)3(-n n 对角线． 例题求解【例1】在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数是 ．(第17届江苏省竞赛题)思路点拨 设除去的角为°，y °，多边形的边数为n ，可建立关于x 、y 的不定方程；又0°<x<180°，0°<y<180°，又可得到关于n 的不等式．故有两种解题途径，注意n 为自然数的隐含条件．链接 世界上的万事万物是一个不断地聚合和分裂的过程，点是几何学最原始的概念，点生线、线生面、面生体，几何元素的聚合不断产生新的图形，另一方面，不断地分割已有的图形可得到新的几何图形，发现新的几何性质，多边形可分成三角形，三角形可以合成其他 一些几何图形．【例2】 在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是( )A ．0B ．1C ．3D ．5 (2003年全国初中数学竞赛题)思路点拨 多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，而外角和却总是不变的，因此，可把内角为锐角的个数讨论转化为外角为钝角的个数的探讨．【例3】 如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，且AD=BC=4，若将此三角形沿AD 剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗?画出所拼四边形的示意图(标出图中直角)，并分别写出所拼四边形的对角线的长. (2002年鸟鲁木齐市中考题)B CD A思路点拨 把动手操作与合情想象相结合，解题的关键是能注意到重合的边作为四边形对角线有不同情形．注 教学建模是当今教学教育、考试改革最热门的一个话题，简单地说，“数学建模”就是通过数学化(引元、画图等)把实际问题特化为一个数学问题，再运用相应的数学知识方法(模型)解决问题．本例通过设元，把“没有重叠、没有空隙”转译成等式，通过不定方程求解．【例4】 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)，这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．(1)请根据下列图形，填写表中空格：(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?(3)从正三角形、正四边形，正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图)；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由． (2003年陕西省中考题)思路点拨 本例主要研究两个问题：①如果限用一种正多边形镶嵌，可选哪些正多边形；②选用两种正多边形镶嵌，既具有开放性，又具有探索性．假定正n 边形满足铺砌要求，那么在它的顶点接合的地方，n 个内角的和为360°，这样，将问题的讨论转化为求不定方程的正整数解．【例5】 如图，五边形ABCDE 的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位，得到新的五边形A'B'C'D'E'．（1）图中5块阴影部分即四边形AHA'G 、BFB'P 、COC'N 、DMD'L 、EKE'I 能拼成一个五边形吗?说明理由．(2)证明五边形A'B'C'D'E'的周长比五边形ABCD 正的周长至少增加25个单位．(第14届江苏省竞赛题)思路点拨 (1)5块阴影部分要能拼成一个五边形须满足条件：，A'GB'； B'PC'；C'ND'；D'LE'；E'IA'三点分别共线；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周长等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I ，用圆的周长逼近估算．学历训练1．如图，用硬纸片剪一个长为16cm、宽为12cm的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是㎝，周长最小的是cm．(选6《荚国中小学数学课程标准》)2．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ．3．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，则线段AD的取值范围是．4．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：(1)第4个图案中有白色地面砖块；(2)第n个图案中有白色地面砖块．(2003年江西省中考题)5．凸n边形中有且仅有两个内角为钝角，则n的最大值是( )A．4 B．5 C．6 D．7. (第12届“希望杯”邀请赛试题) 6．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( )A．9条B．8条C．7条D．6条7．有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖( )A．216块B．288块C．384块D．512块. (第14届“希望杯”邀请赛试题) 8．已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是一个含有30°角的直角三角形，现将△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD．(上海市闵行区中考题)（1）)画出四边形ABCD；(2)求出四边形ABCD的对角线BD的长．9．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度数．(2003年北京市竞赛题)10．如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B l是A1的对边A3A4的中点，连结A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线，如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分，求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．(2003年安徽省中考题)11．如图，凸四边形有个；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．(重庆市竞赛题)12．如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它们的和等于；若延长凸n边形(n≥5)的各边相交，则得到的n个角的和等于．(第12届“希望杯”邀请赛试题)13．设有一个边长为1的正三角形，记作A1(图a)，将每条边三等分，在中间的线段上向外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A 2(图b)，再将每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3(图c)；再将每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么，A4的周长是；A4这个多边形的面积是原三角形面积的倍．(全国初中数学联赛题)14．如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA—CD=3，则BC+DC= ．(北京市竞赛题)(第14题) (第16题) (第17题)15．在一个n边形中，除了一个内角外，其余(n一1)个内角的和为2750°，则这个内角的度数为( )A．130°D．140° C ．105°D．120°16．如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=23，AC=6，AD=3，则CD的长为( ) A．4 B．42C．32D．3 3(第16届江苏省竞赛题)注按题中的方法'不断地做下去，就会成为下图那样的图形，它的边界有一个美丽的名称——雪花曲线或科克曲线(瑞典数学家)，这类图形称为“分形”，大量的物理、生物与数学现象都导致分形，分形是新兴学科“混沌”的重要分支．17．如图，设∠CGE=α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( )A．360°一αB．270°一αC．180°+αD．2α. (山东省竞赛题)18．平面上有A、B，C、D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°．19．一块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖，如果用较小的相同正方形地砖，那么需n+76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n及地砖的边长都是整数，求n．(上海市竞赛题)20．如图，凸八边形ABCDEFGH的8个内角都相等，边AB、BC、CD、DE、EF、FG的长分别为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长．21．(2003年淄博市中考题)如图l是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下(这里的A、B、C、D各点都是活动的)，活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来．如果已知四边形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多长时，才能实现上述的折叠变化?22．一个凸n边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸n 边形各个内角的大小，并画出这样的凸n边形的草图．。
多边形边角关系(经典)
知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）3、4、6。
拼成360度的角：3、4。
巩固提高一、填空题1.如果一个多边形的内角和等于900°,那么这个多边形是_____边形.2.一个正多边形的每个外角都等于30°,则这个多边形边数是______.3.n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7,则边数为_______.4.从一个多边形的一个顶点出发,一共做了10条对角线,则这个多边形的内角和为_ 度.5.在四边形ABCD中,如果∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4,则∠D=______.6.一个多边形的内角和是外角和的5倍,那么这个多边形的边数是( )7、正n边形的一个外角等于它的一个内角的13，则n=________.8、正n边形的一个内角等于150°，则从这个多边形的一个顶点出发可引_____条对角线.9、一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为2780°，则除去的这个内角的度数为________.10.从n边形(n>3)的一个顶点出发，可以画__ _____条对角线，.这些对角线把n边形分成______三角形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和_______。
.11.如果一个多边形的内角和与它的外角和相等，那么这个多边形是____边形。
12.如果一个多边形的内角和等于它的外角和5倍，那么这个多边形是____边形。
13.若n 边形的每个内角都是150°，则n=____。
14.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，那么这个边形的每个内角是_____度，其内角和等于_____度。
15.一个多边形的外角和是它的内角和的41，这个多边形是______边形。
16.如果十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角都等于______度，每个外角都等于______度。
多边形内角和外角专项练习30题(有答案)ok
多边形内角和外角专项练习30题（有答案）1．一个正多边形的每个外角是45°．（1）试求这个多边形的边数；（2）求这个多边形内角和的度数．2．如果两个多边形的边数之比为1：2，这两个多边形的内角之和为1440°，请你确定这两个多边形的边数．3．如图，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠C=120°，∠ADF=135°，求∠B的度数．4．若一个多边形的内角和等于外角和的3倍，求这个多边形的边数．5．如图所示，DE⊥AB于E，DF⊥BC于D，∠AFD=155°，∠A=∠C，求∠EDF的度数．6．如果一个正多边形的每个内角比它相邻的外角的4倍还多30°，求这个多边形的边数及内角和．7．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．8．已知一个多边形的内角和与外角和之和为2160°，求这个多边形的对角线的条数．9．如图，在△ABC中，∠BAC=75°，AD、BE分别是BC、AC边上的高，AD=BD，求∠C和∠AFB的度数．10．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数以及它的对角线的条数．11．五边形各内角的比是2：3：4：5：6，求其内角中最大和最小的度数．12．一个多边形的内角和与外角和的差为1260度，求它的边数．13．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，求原多边形边数．14．一个多边形每一个内角都为135°，求这个多边形对角线总条数．15．已知一个多边形的每一内角都等于150°，求这个多边形的内角和．16．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．17．一个多边形的内角和是它外角和的4倍，求这个多边形的边数及该多边形对角线的总条数．18．已知一个多边形的每个内角都比相邻外角的3倍还多20°，求这个多边形的内角和．19．如图，四边形ABCD中，∠C与∠D的角平分线相交于P，∠A=60°，∠B=80°，求∠P的度数．20．已知：如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，求图形中∠AED的值．21．如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E=110°，求∠BFD的度数．22．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BD、CE相交于点H，求∠BHC 的度数．23．如图，在六边形ABCDEF中，AB⊥AF，BC⊥DC，∠E+∠F=260°，求两外角和∠α+∠β的度数．24．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4，求x的值．25．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和．26．求出下列图中x的值．27．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠BAC=∠BCA，∠EAD=∠EDA．求∠CAD度数．28．如图∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠1=60°，∠7=20°（1）试说明AC⊥BD；（2）求∠3及∠5的度数；（3）求四边形ABCD各内角的度数．29．如图，四边形ABCD中，已知∠B、∠C的角平分线相交于点O，∠A+∠D=200°，求∠BOC的度数．30．n边形的每一个内角都相等，它的一个外角等于正十边形的一个内角的．（1）求正十边形的内角和；（2）求n．参考答案：1．（1）方法一：设这个多边形的边数为n，得：45°n=360°，解得：n=8．∴这个多边形的边数为8．方法二：多边形每一个内角为：180°﹣45°=135°．设这个多边形的边数为n，得：（n﹣2）×180°=135°×n，解得：n=8．∴这个多边形的边数为8．（2）这个多边形内角和的度数为（n﹣2）×180°=（8﹣2）×180°=1080°2．设多边形较少的边数为n，则（n﹣2）•180°+（2n﹣2）•180°=1440°，解得n=4．2n=8．故这两个多边形的边数分别为4，8．3．∵∠ADF=135°，∴∠ADC=180°﹣135°=45°，∴∠B=360°﹣∠ADC﹣∠A﹣∠C=360°﹣45°﹣135°﹣120°=60°．4．设这个多边形是n边形，由题意得：（n﹣2）×180°=360°×3，解得：n=8．答：这个多边形的边数是85．∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=90°，∠FDC=90°，∵∠AFD=∠FDC+∠C=155°，∴∠C=155°﹣∠FDC=155°﹣90°=65°，∵∠A=∠C，∴∠A=65°，∵∠A+∠AED+∠EDF+∠AFD=360°，∴∠EDF=360°﹣65°﹣90°﹣155°=50°6．设内角是x°，外角是y°，则得到一个方程组解得．而任何多边形的外角是360°，则多边形内角和中的外角的个数是360÷30=12，则这个多边形的边数是12边形，内角和为（12﹣2）×180°=1800°．故这个多边形的边数为12，内角和为1800°7．设这个多边形的每一个内角为x°，那么180﹣x=x，解得x=150，那么边数为360÷（180﹣150）=12．答：这个多边形的每一个内角的度数为150，它的边数为128．设这是n边形，则（n﹣2）×180°=2160°﹣360°，n﹣2=10，n=12．这个多边形的对角线的条数=12×（12﹣3）÷2=54．9．（1）在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°．∵AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°．在△ABC中，∠BAC=75°，∴∠C=180°﹣（∠ABD+∠BAC）=180°﹣（45°+75°）=60°．（2）在四边形DCEF中，∵∠DFE=360°﹣（∠ADC+∠BEC+∠C）=360°﹣（90°+90°+60°）=120°．∴∠AFB=∠DFE=120°．10．设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n﹣2），依题意得180（n﹣2）=360×3﹣180．解得n=7．对角线条数：．答：这个多边形的边数是7，对角线有14条11．设五边形各内角的度数分别为2x，3x，4x，5x，6x，∴2x+3x+4x+5x+6x=（5﹣2）×180°，∴x=27°，∴6x=162°，2x=54°，∴这个五边形的内角中最大和最小的度数分别为162°、54°．12．设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°﹣360°=1260°，解得n=11．故答案为：1113．设新多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°=2520°，解得n=16，①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，所以多边形的边数可以为15，16或17．故答案为：15，16或17．14．外角是：180﹣135=45°，则多边形的边数是：=8．每一点发出5条对角线，且每条对角线被计算两次，对角线的条数是：×8×（8﹣3）=20条15．设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°=n×150°，180°n﹣360°=150°n，30°n=360°解得n=12．∴12×150°=1800°．答：这个多边形的内角和为1800°．16．设这个多边形的边数是n，依题意得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°，（n﹣2）=6﹣1，n=7．∴这个多边形的边数是7．17．设这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1440°，解得：n=10．则从这个多边形一个顶点可以引7条对角线，故这个多边形的总条数为=35条18．设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，由题意，得（3α+20）+α=180°，解得α=40°．即多边形的每个外角为40°．又∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数==9．∴多边形的边数=9，∴多边形的内角和=（9﹣2）•180°=1260°19．∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠ADC+∠BCD=360°﹣60°﹣80°=220°，（4分）∵PD、PC分别平分∠ADC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=（∠ADC+∠BCD）=×220°=110°，（6分）∴在△PCD中，∠P=180°﹣110°=70°．（8分）故答案为：70°20．∵AB∥CD，∴∠B=180°﹣∠C=120°，∵五边形ABCDE内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴在五边形ABCDE中，∠AED=540°﹣150°﹣120°﹣60°﹣160°=50°21．连接BD，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∴∠ABE+∠E+∠CDE=180°+180°=360°，∴∠ABE+∠CDE=360°﹣110°=250°，又∵BF、DF平分∠ABE和∠CDE，∴∠FBE+∠FDE=125°，∴∠BFD=360°﹣110°﹣125°=125°．22．设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3x+4x+5x=180°，∴x=15°，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°．∵四边形AEHD内角和等于360°，∴∠A+∠AEH+∠ADH+∠EHD=360°；∵CE⊥AB；BD⊥AC，∴∠AEH=90°，∠ADH=90°，∴45°+90°+90°+∠EHD=360°，∴∠EHD=135°．则∠BHC=∠EHD=135°23．∵AB⊥AF，BC⊥DC，∴∠A+∠C=90°，∵∠E+∠F=260°，∴∠EDC+∠ABC=（6﹣2）×180°﹣90°×2﹣260°=280°，∴∠α+∠β=360°﹣（∠EDC+∠ABC）=80°．故两外角和∠α+∠β的度数为80°24．因为五边形的内角和是540°，则每个内角为540°÷5=108°，∴∠E=∠C=108°，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，由三角形内角和定理可知，∠1=∠2=∠3=∠4=（180°﹣108°）÷2=36°，∴x=∠EDC﹣∠1﹣∠3=108°﹣36°﹣36°=36°25．∵∠APC是△AEP的外角，∴∠APC=∠A+∠E，∵∠BOD是△DOF的外角，∴∠BOD=∠D+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠B+∠C+∠APC+∠BOD=180°×（4﹣2）=360°26．（1）根据三角形的外角的性质得到：x+70=x+（x+10）解得：x=60．（2）根据四边形的内角和是360°得到：（x+10）+x+60+90=360，解得：x=100．（3）根据五边形的内角和是（5﹣2）•180=540°得到：x+（x+20）+（x﹣10）+x+70=540，解得：x=11527．根据题意，得五边形每个内角的度数为108°．在△ABC中，由∠BAC=∠BCA，∠B=108°，得∠BAC=．同理：∠EAD=36°．所以，∠CAD=108°﹣（∠BAC+∠EAD）=108°﹣72°=36°．答：∠CAD度数为36°28．（1）∵∠1+∠2+∠DAB=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4=180°，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∵∠1+∠3+∠AOD=90°，∴∠AOD=90°，∴AC⊥BD；（2）∵∠1+∠3=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°．∵AC⊥BD，∴∠COD=90°，∴∠5+∠7=90°，∴∠5=90°﹣∠7=70°；（3）∠DAB=2∠3=60°，∠ADC=∠1+∠7=60°+20°=80°，∠DCB=∠5+∠6=70°+70°=140°，则∠ABC=360°﹣∠DAB﹣∠ADC﹣∠DCB=80°．29．四边ABCD中，∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°…（1分），∵∠A+∠D=200°，∴∠ABC+∠BCD=360°﹣200°=160°…（2分），∵BO、CO分别是∠ABC、∠BCD的平分线，∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，∴∠OBC=（∠ABC+∠BCD）=×160°=80°…（3分），∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°﹣80°=100°，∴∠BOC的度数为100°30．（1）正十边形的内角和（10﹣2）×180°=1440°；（2）∵1440°÷10×=60°，∴n=360°÷60°=6．故n为6．。
多边形及其内角和练习题(答案)
第9章 多边形总复习一、知识点1．三角形：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形。
2．三角形的内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角。
3．三角形的外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。
4．三角形的分类：⑴按角分类：三角形 ⎝⎛钝角三角形直角三角形锐角三角形⑵按边分类：三角形 ⎝⎛ ⎝⎛)()(正三角形等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形三条边互不相等不等边三角形 5．三角形的三条重要线段⑴中线：连结三角形的一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。
⑵高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高。
钝角三角形有两条边上的高在三角形外。
⑶三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
⑷重要规律：①三角形的三条中线相交于一点，该点叫做三角形的重心。
②三角形的三条高（或其所在直线）相交于一点。
三角形的三条高（或其所在直线）相交于一点，该点叫做三角形的垂心。
③三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的内心，它到三角形的三边的距离相等。
6．三角形的内角和等于180°。
7．三角形的外角和等于360°。
8．三角形的外角性质：⑴三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ⑵三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
9．三角形的三边关系：⑴三角形任意两边之和大于第三边； ⑵三角形的任意两边之差小于第三边。
10．多边形的定义：由n 条不在同一直线上线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做n 边形。
11．正多边形的定义：各边相等且各内角也相等的多边形叫做正多边形。
12．多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
经过)3(≥n n 多边形的一个顶点．．．．有)3(-n 条对角线；)3(≥n n 边形共有．．2)3(-n n 条对角线。
七级数学思维探究多边形的边与角(含答案)
泰勒斯（公元前624-前547），古希腊学者，西方理性数学的倡导者，素有“科学之父”的美称．他不满足于直观的感性的特殊认识，崇尚抽象的理性的一般的知识，发现了许多平面几何定理，泰勒斯在天文学方面也有不同凡响的工作，相传他曾测知公元前585年5月28日的一次日全食，他不愧于其墓碑上镌刻的颂词：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地，万古流芳．”25．多边形的边与角 解读课标大街上的人行道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到由各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面．一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为n 边形，又称多边形． 边、角、对角线是多边形中最基本的概念．多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略．多边形的内角和性质反映出一定的规律性：()2180n -⨯︒随n 的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是360︒的一个常数．把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧． 问题解决例1 如图，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________．试一试 运用三角形外角的性质，或连线运用对顶三角形的性质，把分散的角加以集中． 例2 凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7试一试 把凸多边形内角问题转化为外角问题．例3 凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570︒，求n 的值．试一试 设除去的角为x ︒，可建立关于x ，n 的不定方程；又0180x ︒<<︒，又可得到关于n 的不等式，故有两种解题途径，注意n 为自然数的隐含条件．例4 如图，四边形ABCD 中，已知AB CD ∥，AD BC ∥，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ．证明：180BAD EAF ∠+∠=︒．试一试 从四边形AECF 内角和入手． n 角星例5 （1）如图①，任意画一个五角星，求A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠度数．（2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角形，求A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠度数． （3）如图③，用“一笔画”方法画成的21n +角形()2n ≥，且12221n n B B B B +是凸21n +边形，求123221n n A A A A A +∠+∠+∠++∠+∠度数．DGHABC EFDABCEF分析 从特殊到一般，将所求的度数用相关三角形、凸多边形内角和的式子表示． 解 （1）180︒ （2）540︒（3）12221n n A A A A +∠+∠++∠+∠=（21n +个三角形1121n A B B +，221A B B ，332A B B ，…，2221n n n A B B -，21212n n n A B B ++的内角总和减去多边形12221n n B B B B +外角和的2倍）()()21180360223180n n =+⨯︒-︒⨯=-⨯︒．完全多边形把平面上的一些点以及这些点中某些点之间连接的线段，称为一个图．如图，这样的图有6个点，每两点之间都有一条线，称为完全六边形．一个完全n 边形共有()12n n -条连线．例6 证明：任何6个人中，必有3个人互相认识，或者有3个人互相不认识． 分析与解 借助图表示这一抽象的思想．用点1A ，2A ，…，6A 代表6个人，两个人互相认识则在对应的两点间连一条红边，否则连一条蓝边，问题转化为图中必有三边同色的三角形．考虑1A 与5条引线，因为只染了两种颜色，由抽屉原理知必有3条同色，不妨设12A A ，13A A ，14A A 同为红色；若23A A ，34A A ，42A A 中有红边，则有红色()12,4i j A A A i j △≤≤；若23A A ，34A A ，42A A 无红边，则234A A A △为蓝色三角形，无论哪种情况，图中都有同色三角形．数学冲浪 知识技能广场图①DAB CE图②D GHMN A BC EFIJ K LB 2n B 2n +1B 2B 3B 4B 5B 1B 9B 8B 7B 6A 2A 3A 4A 5A 1A 2nA 9A 87A 6A 2n +1图③A 2A 3A 4A 11．如图，1∠、2∠、3∠、4∠是五边形ABCDE 的4个外角，若120A ∠=︒，则1234∠+∠+∠+∠=_______．2．如图①，将一块正六边形硬纸片做成一个底面仍是正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图①中的四边形'AGA H ，那么'GA H ∠的度数为_______．3．如图，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为_____________．4．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为___________．5．将五边形纸片ABCDE 按如图所示的方式折叠，折痕为AF ，点E 、D 分别落在'E 、'D '上，已知76AFC ∠=︒，则'CFD ∠等于（ ）． A ．31︒ B ．28︒ C ．24︒ D ．22︒DABCE 1234A H GA'图①图②1234567图①图②6．如图，已知正五边形ABCDE 中，12∠=∠，34∠=∠，则x =（ ）． A ．30︒ B ．45︒ C ．40︒ D ．36︒7．一个凸多边形的每一内角都等于140︒，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）． A ．9条 B ．8条 C ．7条 D ．6条8．一个凸n 边形，除一个内角外，其余1n -个内角的和是2400︒，则n 的值是（ ）． A ．15 B ．16 C ．17 D ．不能确定9．如图，已知DC AB ∥，BAE BCD ∠=∠，AE DE ⊥，130D ∠=︒，求B ∠的度数．10．如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，AE 、CF 分别平分BAD ∠和BCD ∠．求证：AE CF ∥．思维方法天地 11．从凸n 边形的一个顶点引出的所有对甬线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形，若m 等于这个凸n边形对角线条数的49，那么此n 边形的内角和为________．12．一个多边形截去一个（三角形状的）角后，形成另一个多边形，其内角和是3060︒，则原多边形是_________边形．13．如图，设120CGE ∠=︒，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________．DBCEFE'1234x A BED ABCEDABCE14．如图，A B C D E F G H I K ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为_________．15．如图，A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数等于（ ）． A ．360︒ B ．450︒ C ．540︒ D ．720︒16．在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002︒，则这个多边形的边数为（ ）． A ．12 B ．12或13 C ．14 D ．14或1517．有一个边长为4m 的正六边形客厅，用边长为50cm 的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（ ）． A ．216块 B ．288块 C ．384块 D ．512块18．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一米，然后原地逆时针方向旋转()0180αα︒︒<︒<︒，被称为一次操作，若5次操作后发现赛车回到出发点，则α︒角为（ ）． A ．720︒ B ．108︒或144︒ C ．144︒ D ．720︒或144︒19．如图，在凸六边形ABCDEF 中，已知A B C D E F ∠+∠+∠=∠+∠+∠成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的．20．已知凸四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）如图①，若DE 平分ADC ∠，BF 平分ABC ∠的邻补角，判断DE 与BF 的位置关系并证明； （2）如图②，若BF 、DE 分别平分ABC ∠、ADC ∠的邻补角，判断DE 与BF 的位置关系并证明．GBCEFαDGHA BCEFIKGMN ABCEFDABCEF应用探究乐园 21．（1）如图①，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是_________；（2）如图②，在55⨯的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图③中，并写出这个图形的边数；（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？ 22．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图①，若AB CD ∥，点P 在AB ，CD 外部，则有B BOD ∠=∠，又因为BOD ∠是POD △的外角，故BOD BPD D ∠=∠+∠，得BPD B D ∠=∠-∠．将点P 移到AB ，CD 内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则BPD ∠，B ∠，D ∠之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）如图②中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图③，则BPD ∠，B ∠，D ∠，BQD ∠之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论，求图④中A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数． 微探究 平面镶嵌DABCEF 图①F E CBAD图②图①图②图③DOPA BC图①DPABC图②DPQ AB C图③ABCEF图④平面镶嵌就是用同样形状的平面几何图形无缝隙又不重复地铺满整个平面．我们研究的镶嵌是：镶嵌的正多边形的边长都相等，每个顶点都是同样数目的一些同样形式的多边形的公共点．镶嵌的实质在于，围绕一点拼在一起的若干个多边形的内角加在一起恰为360︒，镶嵌图案有下列多种方式：1．任意三角形和任意四边形都能镶嵌；2．用同一种正多边形进行镶嵌；3．用几种正多边形组合镶嵌．对于（2）、（3），可以证明：能镶嵌整个平面的只有11种．如图：例1 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，设正多边形的边数为x、y、z，则111x y z++的值为________．试一试从建立x、y、z的等式入手．例2 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）．A．2种B．3种C．4种D．5种试一试假设选择正三角形与正方形，设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形，则6090360m n+=，即2312m n+=，将问题转化为求不定方程正整数解，类似探讨其他选择方式．例3 问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题，今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面，如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着________个正六边形的内角．问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决，从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：()82180903608x y -⨯+⋅=，整理得：238x y +=， 我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为12x y =⎧⎨=⎩．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 验证2：_________________________________________ 结论2：_________________________________________ 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案． 问题拓展请你依照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：_____________________________________ 验证3：_____________________________________ 结论3：_____________________________________ 拼图的背后例4 同时用边长相等的正三角形和正方形拼（无重叠无间隙）凸多边形，能拼成怎样的凸多边形？ 分析 要得到完整的解答，需将问题转化为解方程组．解 设可以拼成凸n 边形，n 边形的内角只可能是60︒，90︒，120︒，150︒．并设其个数分别为x ，y ，z ，w （x ，y ，z ，w 为大于等于零的整数）． 则()60901201502180x y z w n x y z w n +++=⎧⎪⎨+++=-⨯⎪⎩①② 由②得2345612x y z w n +++=- ③ ①6⨯-③得43212x y z w +++= ④43212n x y z w x y z w =++++++=∴≤．由此可见，拼得的多边形最大边数为12．下面我们分情况一一探讨．（1）当2n =时，由1243212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得320x y z ++=，()(),,,0,0,0,12x y z w =∴．这说明可以拼成十二边形，且这十二边形的每个内角均为150︒，如图①．O（2），当11n =时，由1143212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得321x y z ++=，()(),,,0,0,1,10x y z w =∴．这说明，可以拼成十一边形，且这十一边形中有一个内角为120︒，其余各内角均为150︒，如图②．（3）当10n =时，由1043212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得322x y z ++=，()(),,,0,0,2,8x y z w =∴．这说明可以拼成十边形，且这十边形中有2个内角为120︒，有8个内角为150︒，如图③． （4）当9n =时，由943212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得323x y z ++=，()(),,,0,0,3,6x y z w =∴．这说明可以拼成九边形，且这九边形中有3个内角为120︒，有6个内角为150︒，如图④．同理，可以拼成八边形、七边形、六边形、五边形，分别如图⑤、⑥、⑦、⑧．练一练1．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一组；在它的周围铺上6块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组……按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满_______组，还剩_________块瓷砖．图①十二边形()图②十一边形()图③十边形()图④九边形()图⑤八边形()图⑥七边形()图⑦六边形()图⑧五边形()2．花团锦簇有一个正六边形花坛，周围用同样规格的正三角形、正方形砖块铺路，按图示方法从花坛向外铺10圈，共需砖_______块，其中正三角形砖_______块．若铺n 圈，则共需砖_______块．3．有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（ ）．A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种4．如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n 边形地板砖铺满，则n 等于（ ）． A ．4 B ．6 C ．8 D ．105．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360 ）时，就拼成了一个平面图形． （1）请根据下列图形，填写表中空格；A…（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 微探究三角形三边关系三角形的三边关系是三角形最基本的性质，是解决三角形计数、研究线段不等关系、探讨几何最值等问题的基础．例1 不等边三角形ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于_________．试一试 设ABC △的面积为S 、第三条高的长为h ，则ABC △三边都可用S 的代数式表示，由三边关系建立关于h 的不等式组．例2 已知三角形的三边a 、b 、c 的长都是整数，且a b c <≤，如果7b =，则这样的三角形共有（ ）． A ．21个 B ．8个 C ．9个 D ．4个试一试 a 的取值范围是明确的，依三角形三边关系，可确定c 的取值范围，列表枚举出所有的可能性．例3 如图，已知P 为ABC △内任一点．（1）AB BC CA ++与()2PA PB PC ++哪个大？证明你的结论； （2）AB BC CA ++与PA PB PC ++哪个大？证明你的结论．试一试 对于（2），解题的关键是先证明：BP PC AB AC +<+， PA PC AB BC +<+，PA PB AC BC +<+．例4 现有长为150cm 的铁丝，要截成()2n n >小段，每段的长为不小于1cm 的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段？试一试 因n 段之和为定值150cm ，故欲n 尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小，这样依题意可构造一个数列． 整边三角形例5 将长度为24的一根铅丝折成各边均为整数的三角形，记(),,a b c 为三边分别为a ，b ，c 且a b c ≤≤的一个三角形．（1）试尽可能多地写出满足题意的(),,a b c ； （2）你能否提出一些进一步的问题？分析与解 （1）由题意可知24a b c ++=，且a b ca b c +>⎧⎨⎩≤≤，由此得811c ≤≤，即8c =，9，10，11，故满足题意的(),,a b c 共有如下12组：():2,11,11A ；():3,10,11B ；():4,9,11C ；():5,8,11D ；():6,7,11E ；():4,10,10F ；():5,9,10G ；():6,8,10H ；():7,7,10I ；():6,9,9J ；():7,8,9K ；():8,8,8L ． （2）以下问题供参考：①将长度为()7n n ≥的线段折成各边均为整数的三角形，求最大边的边长的取值范围；②将长度为()4n n ≥的线段折成各边均为整数的四边形，可得多少个不同的四边形？ 练一练1．现有3cm 、4cm 、7cm 、9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三PCBA角形的个数是________________．2．若三角形的周长是偶数，其中有两边的长是2和5，则这个三角形是________三角形（按边分类）． 3．如图，加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧，A 到MN 的距离大于B 到MN 的距离，7m AB =，一个行人P 在马路MN 上行走．问：当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于_______米．4．将长度为25cm 的细铁丝折成边长都是质数（单位：厘米）的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是a 、b 、c ，且满足a b c ≤≤，则(),,a b c 有________组解，所构成的三角形都是_______三角形．5．三角形的三边长为3，4，1x -，那么x 的取值范围是（ ）． A ．08x << B ．28x << C ．06x << D ．26x <<6．三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10，这样的三角形有（ ）． A ．55种 B ．45种 C ．40种 D ．30种7．7条长度均为整数的线段1a ，2a ，…，7a 满足177a a a <<<，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若11a =，721a =，则6a =（ ）． A ．18 B ．13 C ．8 D ．58．已知ABC △的两条高线的长分别为5、20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．在平面内，分别用3根，5根，6根，…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？画出它们的示意图．10．有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（单位：cm ）的细木棒各1根，利用它们（允许连接加长但不允许折断）能够围成多少种周长不同的等边三角形？ 11．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？P NBA25．多边形的边与角 问题解决例1 连BC ，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=四边形EFBC 的内角和360=︒．例2 C 设凸多边形的边数为n ，n 个内角中恰有三个是锐角，则其余3n -个外角中将是钝角或直角，而外角中钝角或直角的个数不超过3，即33n -≤，解得6n ≤．例3 设除去的角为x ︒，则()21802570n x -⨯=+，得2570360180x n ++=，130x =，17n =．例4 180EAF C ∠+∠=︒，又C BAD ∠=∠，故180BAD EAF ∠+∠=︒． 数学冲浪1． 30 2．60︒ 3．540︒4．6 得到的正多边形的一个内角为3602120120︒-⨯︒=︒． 5．B 6．D 7．D 8．B 9．40B ∠=︒10．180DAB DCB ∠+∠=︒，90EAB FCB ∠+∠=︒，又90FCB CFB ∠+∠=︒，得EAB CFB ∠=∠，故AE CF ∥．11． 720︒ 12．十八边形，或十九边形或二十边形 13． 240︒ 14．1080︒ 连KF 15．C 16．D 设这个多边形为n 边形（n 为正整数），由()200221802002360n ︒<-⨯︒<︒+︒，得111113159090n <<，14n =或15． 17．C 18．D 19．可以证明CD AF ∥ 20．（1）DE BF ⊥；（2）DE BF ∥（证明略） 21．（1）12；（2）这个图形的边数是20（如图所示）；（3）得到的图形的边数是30．22．（1）不成立，结论是BPD B D ∠=∠+∠． （2）结论：BPD BQD B D ∠=∠+∠+∠． （3）360A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒． 平面镶嵌（微探究）例1 依题意有：222180180180360x y z x y z ---⨯+⨯+⨯=，化简得11112x y z ++=． 例2 B 用两种正多边形密铺地面的组合有：正三角形和正六边形、正三角形和正方形、正方形和正八边形，共3种． 例3 问题再现：3验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a 个正三角形和b 个正六边形的内角可以拼成一个周角． 根据题意，可得方程：60120360a b +=．整理得：26a b +=，可以找到两组适合方程的正整数解为22a b =⎧⎨=⎩和41a b =⎧⎨=⎩．结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m 个正三角形、n 个正方形和c 个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：6090120360m n c ++=，整理得：23412m n c ++=，可以找到唯一一组适合方程的正整数解为121m n c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 练一练1．铺满n 组时，所用瓷砖总数为()()1616261131n n n +⨯+⨯++-=+-．当26n =时，()131********n n +-=<，当27n =时，()131********n n +->=，故最多能完整地铺满26组，还剩2005195154-=（块）瓷砖．2． 660；600；266n n + 3． B4． C 由()2180135n n-⨯=，得8n =．5．（1）108︒；120︒；()2180n n-⨯︒（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．假定在接合处一共有k 块正n 边形地砖．由于正n 边形的所有内角都相等，则()2180360n k n-⨯⋅=，即24222n k n n ==+--，因k 为整数，故2|4n -，21n -=，2，4，得3n =，4或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形．（3）如：正方形和正八边形，设在一个顶点周围有m 个正方形的角，n 个正八边形的角，那么，m ，n 应是方程90135360m n ⋅︒+⋅︒=︒的整数解，即238m n +=的整数解．∵这个方程的整数解只有12m n =⎧⎨=⎩一组，∴符合条件的图形只有一种．三角形三边关系（微探究）例1 设长度为4和12的高分别是边a 、b 上的，边c 上的高为h ，ABC △的面积为S ，则24S a =，212Sb =，2Sc h=，由22222412412S S S S Sh -<<+，得36h <<，又h 为整数且ABC △为不等边三角形，故5h =．a b c +>，列表如下：例3 （1） +AB PA PB <，BC PB PC <+，AC PC PA <+，相加得：()2AB BC CA PA PB PC ++<++． （2）如图，延长BP 交AC 于D ．在ABD △中，AB AD BD BP PD +>=+①， 在PDC △中，PD DC PC +>②，①+②，得AB AD PD DC BP PD PC +++>++即AB AC PB PC +>+，同理AB BC PA PC +>+，AC BC PA PB +>+．相加得:()()22AB AC BC PA PB PC ++>++，故AB AC BC PA PB PC ++>++．例4 这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…但1123455143150+++++=<，112345589232150++++++=>．故n 的最大值为10，共有以下7种方式：()1,1,2,3,5,8,13,21,34,62；()1,1,2,3,5,8,13,21,35,61；()1,1,2,3,5,8,13,21,36,60； ()1,1,2,3,5,8,13,21,37,59；()1,1,2,3,5,8,13,22,35,60； ()1,1,2,3,5,8,13,22,36,59；()1,1,2,3,5,8,14,22,36,58． 练一练1．2 2．等腰3．7 PA PB AB -≤，当A 、B 、P 在一条直线上时，等号成立．4．2 等腰 最长边介于周长的13和12之间，故最长边可取整数12、11、10、9，又三边长都是质数，则最长边为11，另两边的和为14．其中符合条件的有1111325++=，771125++=． 5．B 6．D7．B 只有当22a =，3123a a a =+=，4235a a a =+=，5348a a a =+=，64513a a a =+=时，7条线段中的任意三条都不能构成三角形．8．B 设第三条高线的长为h ，可得2043h <<．9．（1）不能搭成三角形（2）2，3，3能搭成一个等腰三角形；2，5，5；3，4，5；4，4，4各能搭成一个三角形，并且这个三角形分别是等腰三角形、直角三角形、等边三角形，图略．PDCBA11．不妨设a b c <<，则由30a b ca b c +=-⎧⎨+>⎩得1015c <<．因c 为整数，故11c =，12，13，14．当11c =时，10b =，9a =；当12c =时，11b =，7a =或10b =，8a =；当13c =时，12b =，5a =或11b =，6a =或10b =，7a =或9b =，8a =；当14c =时，13b =，3a =或12b =，4a =或11b =，5a =或10b =， 6a =或9b =，7a =．。
多边形边角关系
（三角形的“五心三线段” ｛多边形的概念与性质 ［多边形的镶嵌、\prepare1. 判断：三角形的高是一条直线.（ ）2. 判断：三角形的三条高必交一点.（ ）3. 判断：所有内角都相等的多边形是正多边形.（)4.正六边形的一个内角等于度.【解析】错，错，错，120. 删叶卄“五心”（1）三角形的“三线段”指的是三角形的角平分线.中线、高.⑵三角形的“五心”指的是三角形的内心、重心、垂心、外心、旁心.①三角形的三条角平分线的交点叫做内心.② 三角形的三条中线的交点叫做重心.③ 三角形的三条高所在的直线的交点叫做垂心.④ 三角形的三条边的中垂线的交点叫做外心.⑤ 三角形的任意两个外角的外角平分线和第三个内角平分线的交点叫做旁心.（虽然课本没有, 但中考中出现了很多与旁心相关的题）锐角三角形的内心直角三角形的内心 钝角三角形的内心 三角形内切岡的恻心锐角三角形的重心直角三角形的重心 钝角三角形的重心【例1】⑴如图1, 30平分Z4BC, ⑵如图2, BO 平分ZABC, ⑶如图3, BO 平分乙CBD , CO 平分ZACD,写出ZA 与ZO 之间的等童关系.CO 平分ZACB,写出ZA 与上O 之间的等童关系. CO 平分ZBCE,写出ZA 与ZO 之间的等量关系.角平分线 中线 高钝角三角形的垂心说角三角形的垂心直角三角形的垂心 钝角三角形的外心Z0+Z1+22 = 180°ZA+(180°- 2Z1) + (180° - 2Z2) =180° 【变式】如下图，ZAEB=ZCEB, ZADB=ZCDB,写出ZA, ZB, ZC 之间的等童关系.【解析】用上一讲的结论：■乙2 3 4,.・.2Z5=ZA +ZC . ZC=Z1+Z2 + ZB【例2】已知BD 、CE 是A4BC 的两条高，直线BD 、CE 交于点O,且D.E.A.O 互不重合，ZBOC = a, 请用a^ZBAC的度数.【解析】1•锐角三角形的情形：ZBAC = lSO°-a.二、Z4为钝角三角形的锐角，如图：ZBAC = a.2 直角三角形不符合的情形；3 钝角三角形的情形：一、ZA 为钝角三角形的钝角，如图：ZBAC = lSO°-a.【解析】（D由外角定理: 2Z1+ZA = 2Z2 Z1 + ZO=Z2 ,・・・ZO =丄乙4.由三角形内角和定理:2Z1 + 2Z2+ZA = 18O° Z1+Z2+ZO = 180°,・・・込9。
第三节 多边形的边与角(含答案)...八年级数学 学而思
第三节 多边形的边与角1.多边形(1)多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． (2)正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． 注：①多边形可分为凸多边形和凹多边形，②在没有特殊说明的情况下，我们所说的多边形是凸多边形．画出多边形的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的图形叫凸多边形，2. 多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形内角与外角(1)多边形内角和定理：,3(180)2≥⋅-n n ο（且n 为整数）．(2)多边形的外角和等于.360ο注：①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为.360ο②借助内角和和邻补角概念共同推出以上结论：外角和为.360ο4.平面镶嵌 （密铺）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌， 注：正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为.360ο1.辨别凸多边形可用两种方法(1)画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧． (2)每个内角的度数均小于,180ο通常所说的多边形指凸多边形 2.对多边形对角线条数公式2)3(n -n 的理解 n 边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出)3(-n 条．共有n 个顶点，应为n)3(-n 条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n 的值计算，而计算边数时，需利用方程思想， 解方程求，n3.判断一种或几种图形是否能够镶嵌只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成,360ο则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能， 总结：①单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．②两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等． ③用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．例1．把一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是( )16.A 17.B 18.C 19.D检测1．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是( )A.六边形 B ．五边形 C ．四边形 D ．三角形例2．一个机器人从点0出发，每前进1米，就向右转体),1801(<<a a 照这样走下去，如果他恰好能回到O 点，且所走过的路程最短，则a 的值等于检测2．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转,45ο若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了 米，例3．小张由于粗心，计算一个多边形的内角和少加了一个内角的度数，得到2009度，那么他少加的内角是检测3．（衡阳县校级期末）已知在一个n 边形中，)1(-n 个内角的和是,1290ο那么这个n 边形的另一个内角的度数是( )ο30.A ο90.B ο120.C ο150.D例4．（江苏吴中区校级期末）如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多,30ο求这个多边形的内角和及对角线的总条数，检测4．（山东高密市期末）一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多,180ο则这个多边形的边数及内角和度数分别为 例5．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为,,,z y x则zy x 111++的值为( ) 1.A 32.B 21.C 31.D检测5．用正三角形和正六边形铺成一个平面，则在同一个顶点处，正三角形和正六边形的个数之比为( )1:4.A 1:1.B 4:1.C 1:11:4.或D第三节 多边形及其内角和(建议用时 35分钟)实战演练1．下列图中不是凸多边形的是( )2．下列图形中，是正多边形的是( )A 直角三角形B ．等腰三角形C ．长方形D ．正方形3．一名模型赛车手遥控一辆赛车．先前进1m ．然后原地逆时针方向旋转角)1800(οο<<αa 被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为( )ο72.A o o B 44108.或 o C 144. ο4472.或oD4．下列关于多边形的说法不正确的是( )A.内角和与外角和相等的多边形是四边形 B 十边形的内角和为ο1440C 多边形的内角中最多有四个直角D 十边形共有40条对角线 5．下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是( )A.正三角形和正五边形B.正六边形和正方形C.正八边形和正方形D.正五边形和正八边形 6．一个正多边形的周长是100，边长为10，则正多边形的边数=n 7．正六边形的每一个内角都等于 度．8．一个凸多边形的内角中，最多有 个锐角．9．如果一个多边形的内角与外角和的差是,1440ο那么这个多边形是 边形．10．将一个正六边形纸片对折，并完全重合，那么得到的图形是 边形．11.如图1-3-1所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的……依此类推，则由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为131--12．我们知道各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，小明却说各边都相等的多边形就是正多边形，各角都相等的多边形也是正多边形，他的说法对吗？如果不对，你能举反例（画出相应图形）说明吗？ 13.（山东历下期末）一个多边形的内角和比四边形的内角和多,720ο并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度．14．（河北中考）已知n 边形的内角和.180)2(ο⨯-=n θ(1)甲同学说，θ能取;360ο而乙同学说，θ也能取.630ο甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n ．若不对，说明理由；(2)若n 边形变为)(x n +边形，发现内角和增加了,360ο用列方程的方法确定． 15.已知正n 边形的周长为60．边长为a ． (1)当3=n 时，请直接写出a 的值；(2)把正n 边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为,7+n 周长为67，边长为6．有人分别取n 等于,120,20,3再求出相应的以与6，然后断言：“无论”取任何大干2的正整数，a 与b 一定不相等，”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n 的值．16.如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫作正多边形，如图1-3-2所示，就是一组正多边形，观察每个正多边形中/a 的变化情况，解答下列问题：231--(2)根据规律，是否存在一个正多边形，其中的?20ο=∠α若存在，请求出咒的值，若不存在，请说明理由． 17.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫作平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角)360(ο时，就拼成了一个平面图形．331--(1)请根据图1-3-3所示，填写表中空格：(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；(3)正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．18．如图1-3-4所示．(1)已知：如图①所示，在△ADC 中，CP DP ,分别平分ADC ∠和,ACD ∠试探究P ∠与A ∠的数量关系（直接写出结论）；(2)已知：如图②所示，在四边形ABCD 中，DP ，CP 分别平分ADC ∠和,BCD ∠试利用上述结论探究B A P ∠+∠∠与的数量关系（写出说理过程）；(3)若将(2)中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF （如图③），请直接写出+∠∠A P 与F E B ∠+∠+∠的数量关系：431--19.如图1-3-5所示，已知凸四边形ABCD 中，.90C oA =∠=∠(1)如图①，若DE 平分,ADC ∠BF 平分ABC ∠的邻补角，判断DE 与BF 位置关系并证明； (2)如图②，若BF ，DE 分别平分ADC ABC ∠∠,的邻补角，判断DE 与BF 位置关系并证明．531--拓展创新 20.看图回答问题：内角和为,2014ο小明为什么说不可能？ 拓展1．在20题的条件下，小华求的是几边形的内角和，拓展2．在20题的条件下，错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度．极限挑战21.把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形．分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条，内角和是原多边形内角和的1.3倍．求：原来的多边形是几边形？把原来的多边形分割成了多少个多边形．答案。
八年级数学上册：多边形的边与角
八年级数学上册：多边形的边与角知识导航1.多边形的边与角的关系；2.多边形中角度计算.【板块一】多边形的边角的关系方法技巧熟记n 边形内角和外角和以及正多边形边角的关系，直接运用公式计算.题型一求多边形边数【例1】若一个多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数.题型二求多边形对角线条数【例2】一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线共有______条.题型三探究多边形边角变化规律【例3】一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的()A.内角和增加180°B.外角和增加360°C.对角线增加一条D.内角和增加360°题型四正多边形内外角与边数关系【例4】如果一个正多边形的内角和等于外角和的2倍，求每一个内角的度数.针对练习11.如图，如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则∠1的度数是_________.2.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数.1【板块二】多边形中角度计算方法技巧1.直接运用公式计算；2.运用转化思想，整体思想，设参计算等解决多边形中角度问题.题型一正多边形组合求角【例5】有公共顶点A ，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC 交正六边形于点D ，求∠ADE 的度数.ED C BA题型二多边形多角求和(转化思想＋整体思想)【例6】“转化思想”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题.(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图1中∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数；(2)若对图1中星形截去一个角，如图2，请你求出∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数；(3)若再对图2中的角进一步截去，你能由(1)(2)所得的方法或规律，猜想图3中的∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠M ＋∠N 的度数吗?(只要写出结论，不需要写出解题过程)图1图2图3E A BCD 2211N M GF E D C B A F E DC B A题型3多边形与角平分线夹角【例7】(2018济宁)如图，在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠B ＋∠E ＝300°，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，求∠P 的度数.PEABC【例8】如图1，四边形ABCD 中，设∠A ＝α，∠D ＝β，∠P 为四边形ABCD 的内角∠ABC 与外角∠DCE 的平分线所在直线相交而形成的锐角.(1)如图1，若α＋β＞180°，求∠P 的度数(用含α，β的代数式表示)；(2)如图2，若α＋β＜180°，请在图2中画出∠P ，并直接写出∠P 的度数(用含α，β的代数式表示).图1图2A B C D EABC D E针对练习21.如图，以正六边形ADHGFE 的一边AD 为边向外作正方形ABCD ，求∠BED 的度数.AB C DEF G2.如图1所示，△ABO 与△CDO 称为“对顶三角形”，其中∠A ＋∠B ＝∠C ＋∠D.利用这个结论，在图2中，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数.图1图2ACD EF G O D CBA3.如图，P 是四边形ABCD 的外角∠EBC 与∠BCF 的平分线BP 和CP 的交点，设∠A ＋∠D ＝α.(1)求∠BPC 与α之间的数量关系；(2)根据α的值的情况，判断△BPC 的形状(按角分类).ABC D EFP4.动手操作，探究:探究一:三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系已知:如图1，在△ADC 中，DP ，CP 分别平分∠ADC 和ACD ，试探究∠P 与∠A 的数量关系并说明理由；探究二:若将△ADC 改为任意四边形ABCD 呢?已知:如图2，在四边形ABCD 中，DP ，CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，请你利用上述结论探究∠P 与∠A ＋∠B 的数量关系，并说明理由；探究三:若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF ，如图3所示，请你直接写出∠P 与∠A ＋∠B ＋∠E ＋∠F 的数量关系.图3图2P P P A B C DE F AB C 图1AC D。
11.3多边形及其内角和练习题(含答案)
11.3多边形及其内角和练习题姓名：_______________班级：_______________考号：_______________一、选择题1、n边形所有对角线的条数有（）A. B. C. D.2、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于（）A．315° B．270°C．180° D．135°3、一个多边形的内角和与它的一个外角的和为，那么这个多边形的边数为（）A．5 B．6C．7D．84、如图，四边形ABCD中，∠A＋∠B＝200°，∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，则∠COD的度数是（）A.80°B．90°C．100°D．110°5、一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（）A．增加180°B．减少180° C．不变 D．以上三种情况都有可能6、如果一个多边形的边数变为原来的2倍后，其内角和增加了1260°，则这个多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．107、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A． 5 B． 5或6 C． 5或7 D． 5或6或78、多边形的每个内角都等于150°，则从此多边形的一个顶点出发可引的对角线有A.8条B.9条C.10条D.11条9、一个多边形有14条对角线，那么这个多边形有（）条边A.6B.7C.8D.910、一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1：4，那么这个多边形的边数为--（）A．8 B．9 C．10 D．1211、如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是（）A．30° B．35° C．36° D．42°12、一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．813、一个正多边形每个外角都是30°，则这个多边形边数为（）A．10 B．11 C．12 D．1314、正多边形的一个内角的度数为108°，则这个正多边形的边数为A. 4B. 5C. 6D. 715、多边形的边数增加1，则它的外角和（）A．不变 B．增加180° C．增加360° D．无法确定二、填空题16、一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为．17、如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= _________ ．18、如图，正方形ABCD中，截去∠B、∠D后，∠1、∠2、∠3、∠4的和为19、一个多边形的内角和与外角和之比为9:2，则从这个多边形的个顶点可以引_______条对角线。
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要点诠释： (1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。 (2)内角和定理的应用： ①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数。 知识点五：多边形的外角和公式 1.公式：多边形的外角和等于 360°. 2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以
镶嵌Biblioteka 只用一种正多边形：3、4、6。 拼成 360 度的角
只用一种非正多边形（全等）：3、4。
知识点一：多边形及有关概念 1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个 n 边形有 n 个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 （2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于 3 的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面 的情况,即空间多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整 个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图 1）.本 章所讲的多边形都是指凸多边形.
实用标准文档
知识要点梳理
定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
多边形
分类 1： 分类 2：
凸多边形
凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
非正多边形：
多边形的定理
多边形边角关系(思维训练含答案)
知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n （n-3）3、4、6。
拼成360度的角：3、4。
知识点一：多边形及有关概念1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
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知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
分类2：多边形非正多边形：1、n边形的内角和等于180°（n-2）。
多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于360°。
3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6。
镶嵌拼成360度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。
知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3)条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。
知识点四：多边形的内角和公式1.公式：边形的内角和为.2.公式的证明：证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得到边形的内角和为.证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于.证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数，即.要点诠释：(1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。
(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数。
知识点五：多边形的外角和公式1.公式：多边形的外角和等于360°.2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加外角和为，外角和等于.注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。
要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°。
②多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关。
知识点六：镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。
这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。
2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。
3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。
(2)只用一种正多边形镶嵌地面对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特点。
当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形。
事实上，正n边形的每一个内角为，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°＝，由此导出k＝＝2＋，而k是正整数，所以n只能取3,4，6。
因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。
注意：任意四边形的内角和都等于360°。
所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。
例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°。
规律方法指导1．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少. 每增加一条边，内角的和就增加180°（反过来也成立），且多边形的内角和必须是180°的整数倍.2．多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角.4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法.5．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用.巩固提高一、填空题1.如果一个多边形的内角和等于900°,那么这个多边形是___7__边形.2.一个正多边形的每个外角都等于30°,则这个多边形边数是__12____.3.n 边形的外角和与内角和的度数之比为2:7,则边数为___9____.4.从一个多边形的一个顶点出发,一共做了10条对角线,则这个多边形的内角和为_1980度.5.在四边形ABCD 中,如果∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4,则∠D=__144____.6.一个多边形的内角和是外角和的5倍,那么这个多边形的边数是( )7、正n 边形的一个外角等于它的一个内角的13，则n=________.8、正n 边形的一个内角等于150°，则从这个多边形的一个顶点出发可引_____条对角线.9、一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为2780°，则除去的这个内角的度数为________.11.从n 边形(n>3)的一个顶点出发，可以画__ n-3_____条对角线，.这些对角线把n 边形分成__ n-2____三角形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和__相等_____。
. 12.如果一个多边形的内角和与它的外角和相等，那么这个多边形是__四__边形。
13.如果一个多边形的内角和等于它的外角和5倍，那么这个多边形是_12___边形。
14.若n 边形的每个内角都是150°，则n=_12___。
16.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，那么这个边形的每个内角是_120____度，其内角和等于_720_____度。
18.一个多边形的外角和是它的内角和的41，这个多边形是_10_____边形。
19.如果十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角都等于__144____度，每个外角都等于___36___度。
21.如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是__12____边形；如果一个ｎ边形每一个内角都是135°，则＝ｎ__8____；如果一个ｎ边形每一个外角都是36°，则＝ｎ__10____。
26.多边形的边数增加一条时，其外角和 ，内角和增加 .29.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°, 那么这个多边形的边数最少为___.30.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为_.37.从一个多边形的一个顶点出发,一共做了10条对角线,则这个多边形的内角和为_____度.44．个多边形的每个外角都是300， 则这个多边形是 边形． 45.一个五边形五个外角的比是2：3：4：5：6，则这个五边形五个外角的度数分别是 ．63.若凸n 边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是____【答案】665.如图5，四边形ABCD 中，若去掉一个60o 的角得到一个五边形，则∠1+∠2=_________度．思路导引：根据题意，结合平角定义以及三角形的内角和，三角形的外角性质进行解答 解析：∠1＋∠2=360°－（180°－∠A）=180°＋∠A=240°点评：灵活运用三角形的内角和、三角形的外角以及多边形的内角和、外角和是解答与多边形有关的角度计算问题的基础.66.如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的4个外角，若∠A=1200，则∠1+∠2+∠3+∠4= .ED CB A 4321解析：由于多边形的外角和均为3600，因而∠1、∠2、∠3、∠4 及其∠A 的领补角这五个角的和为3600，∠A 的领补角为600，所以∠1+∠2+∠3+∠4=3600-600=3000.答案：3000.点评：多边形的外角和均为3600，常用这一结论求多边形的边数、外角的度数等问题.69.已知一个多边形的内角和是外角和的23，则这个多边形的边数是 .【解析】设这个多边形的边数为n ，由题意可得，（n-2）×180°=×360°解得，n=5 【答案】5. 图5【点评】此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解二、选择题2.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和是2570°,则这个角是( D )A.90°B.15°C.120°D.130°3.在多边形的内角中,锐角的个数不能多于( B )A.2个B.3个C.4个D.5个4.n 边形的边数增加一倍,它的内角和增加( C )A.180°B.360°C.(n -2).180°D.n.180°6、若多边形的边数由3增加到n （n 为正整数），则其外角和的度数（ ）A 、增加B 、减少C 、不变D 、不能确定7、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少0180，这个多边形的边数是（ ）A 、5条B 、6条C 、 7条D 、8条8、下列说法错误的个数： （ ）（1）、任意一个三角形的三条高至少有一条在此三角形内部；（2）、若线段a 、b 、c 满足c b a >+，以c b a ，，为边能构成一个三角形；（3）、一个多边形从一个顶点共引出三条对角线，此多边形一定是五边形（4）、多边形中内角最多有2个是锐角；（5）、一个三角形中，至少有一个角不小于060（6）、以a 为底的等腰三角形其腰长一定大于2a（7）、一个多边形增加一条边，那它的外均增加0180。