电动力学电磁场与电磁波课件第1章矢量分析
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精品课件-电磁场与电磁波-第1章
第1章 矢量分析基础
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
面元矢量与此矢量相合时，极限值为最大值，也就是
该矢量的模。这个矢量称为 的旋度(curl)，记为
或
，故有
其中 是 在面元矢量 (用 表示其方向)上的投影。
第47页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
旋度：若在矢量场 中的一点M 处存在矢量 ， 的方向
是 在该点环流面密度最大的方向，它的模就是这个最大
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
为
或
。
说明：
① 在流体力学中，旋度表示了旋转的强弱即大小；在电磁场中，
不存在旋转强弱的意义；
② 旋度与环流中C 的形状、取向无关，只与场在M 点的量 本身有关；
③ 旋度场： 与矢量场 中的点一一对应得到的新的矢量场
第48页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第23页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.3.2/3 方向导数和梯度 方向导数意义：表示场沿某方向的空间变化率
梯度的意义：描述标量场在某点的最大变化率及其 变化最大的方向
第24页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
定义算符:
←哈密顿算符
数量场u 的梯度是矢量(是空间坐标点的函数) 梯度的大小为该点标量函数u 的最大变化率，即最大方向导数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 梯度场：数量场u 中每点都有一个梯度而形成的矢量场
第25页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 直角坐标梯度: 圆柱坐标梯度: 球 坐 标 梯度:
第26页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
梯度运算公式：
k为常数
第27页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
{例} 考虑一个二维标量场 求此标量场的等值面，求u 的梯度 任取一闭合的积分回路,证明
电磁场与电磁波课件第一章 矢量分析
divA lim SA dS V 0 V
第一章 矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积， 即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面，则
SA dS
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章 矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2
第一章 矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积， 即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面，则
SA dS
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章 矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2
电磁场与电磁波矢量分析亥姆霍兹定理
A ( B C) B( A C) C( A B)
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
§1 .2 通量与散度, 散度定理
一、通量
面元:
ˆ ds ds n
ˆ 是面元的法线方向单位矢量 其中： n ˆ 的取向问题: n
对开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方 ˆ 的方向 向就是n ˆ 取为封闭面的外法线方向。 对封闭曲面上的面元, n
ˆ (gradient)为 grad n n
grad lˆ l
在直角坐标系中梯度的计算公式
ˆ grad x
ˆ ˆ y z x y z
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
例1 .6
在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为
注意：x ˆx ˆ
ˆ y ˆz ˆ z ˆ0 y ˆ y ˆz ˆz ˆ, z ˆy ˆ ˆ, y ˆx ˆ x x
直角坐标系中的计算公式：
ˆ x yA ˆ y zA ˆ x yB ˆ y zB ˆ z ) ( xB ˆ z) A B ( xA ˆ ( Ay Bz Az By ) y ˆ ( Az Bx Ax Bz ) z ˆ( Ax By Ay Bx ) x
散度计算公式： divA A
Ax Ay Az ˆ y ˆ z ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A (x x y z x y z x
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
三、散度定理
n2
q ˆds e D ds r r 3 s 4r s q q 2 ds 4 r q 2 s 2 4r 4r
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
§1 .2 通量与散度, 散度定理
一、通量
面元:
ˆ ds ds n
ˆ 是面元的法线方向单位矢量 其中： n ˆ 的取向问题: n
对开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方 ˆ 的方向 向就是n ˆ 取为封闭面的外法线方向。 对封闭曲面上的面元, n
ˆ (gradient)为 grad n n
grad lˆ l
在直角坐标系中梯度的计算公式
ˆ grad x
ˆ ˆ y z x y z
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
例1 .6
在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为
注意：x ˆx ˆ
ˆ y ˆz ˆ z ˆ0 y ˆ y ˆz ˆz ˆ, z ˆy ˆ ˆ, y ˆx ˆ x x
直角坐标系中的计算公式：
ˆ x yA ˆ y zA ˆ x yB ˆ y zB ˆ z ) ( xB ˆ z) A B ( xA ˆ ( Ay Bz Az By ) y ˆ ( Az Bx Ax Bz ) z ˆ( Ax By Ay Bx ) x
散度计算公式： divA A
Ax Ay Az ˆ y ˆ z ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A (x x y z x y z x
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
三、散度定理
n2
q ˆds e D ds r r 3 s 4r s q q 2 ds 4 r q 2 s 2 4r 4r
电磁场与电磁波第1章绪论与矢量分析
A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
A B B A
5．矢量的混合积矢量(标量)
A ( B C ) B (C A) C ( A B)
正交性
坐标变量是r,φ, z
z
ez
Q
er e ez e ez er ez er e
er
r
e
P( r ， ， z ) e
er
z
r
O x
注意 e r ，e为变矢量
y
矢量式：
A er Ar e A ez Az
y r sin
zz zz
x r cos
线元：
dr er dr e rd ez dz
面积元：
dSr er rd dz dS e drdz dS z ez rdrd
z
d
r
dS z
rd
dS
d
dz dr
dS r
O x y
体积元：
dV rdrd dz
例1.1 已知一个矢量在直角坐标系中为 A ex 7 ey 41 ez 5 求它在圆柱坐标中的表达式。
Ar cos A sin A z 0
直A sin A 0 z
sin cos 0
0 Ax 0 Ay 1 A z
圆柱坐标中矢量转换到直角坐标系的转换关系式
电子科技大学电磁场与电磁波课件第一章+矢量分析1
思考：计算圆柱、球的表面积、体积？
球坐标系中的线元、面元和体积元
14
线元矢量 d l e d r e r d e r sin d r
面元矢量 2 d S e d l d l e r d d r r rsin
d S e d l d l e r d r d r
A B Ax Bx ex ey Ay By ez Az Bz
A A 矢量 与B 的叉积
叉积仅服从分配律。
9
混合运算： —— 标量三重积 A ( B C ) B ( C A ) C ( A B ) A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C —— 矢量三重积
( A B ) C A C B C —— 分配律 ( A B ) C A C B C —— 分配律
10
1.2 三种常用的正交坐标系
三维空间点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 正交曲线坐标系：三条正交曲线组成的确定三维空间任意点 位置的体系；
e
ey
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey
e
ex
圆柱坐标与 球坐标系
e
sin cos 0
ex
e
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
0 0 1
ey
z
ez
er
e
直角坐标与 球坐标系
电磁场与电磁波-第1章
z o x
v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A × B = ( Ax ax + Ay a y + Az az ) × ( Bx ax + By a y + Bz az )
y
ˆ ˆ ˆ = ( Ay Bz − Az By )ax + ( Az Bx − Ax Bz )a y + ( Ax By − Ay Bx )az
第1章 矢量分析
主要内容 矢量代数、常用坐标系、 梯度、散度、旋度、亥姆量
标量：只有大小而没有方向的物理量。如温度、高度、时间等。 标量：只有大小而没有方向的物理量。如温度、高度、时间等。 矢量：不但有大小而且有方向的物理量。如力、速度、电场强度等。 矢量：不但有大小而且有方向的物理量。如力、速度、电场强度等。 矢量的数学符号用黑斜体字母表示，如A、B、E，或斜体字母上 矢量的数学符号用黑斜体字母表示， 黑斜体字母表示
两矢量的叉积又可表示为： 两矢量的叉积又可表示为：
ˆ ax v v A × B = Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
2、矢量运算法则
（3）乘法: 乘法: 乘法 ③ 三重积 三个矢量相乘有以下几种形式： 三个矢量相乘有以下几种形式：
v v v ( A ⋅ B)C
矢量，标量与矢量相乘。 矢量，标量与矢量相乘。
v v v v v v v v b.满足结合律 满足结合律： b.满足结合律： ( A + B ) + (C + D) = ( A + C ) + ( B + D)
矢量加法是几个矢量合成问题，反之， 矢量加法是几个矢量合成问题，反之，一个矢量也可分解为几个矢量
2、矢量运算法则
电磁场与电磁波第一章.ppt
第1章 矢量场
物理量随空间的分布称为场。本书涉及的物理量主要是标 量和矢量。前者称为标量场，后者称为矢量场。 1.1 矢量及其矢量场
1.2 三种常用坐标系中的矢量场 1.3 梯度 1.4矢量场的散度 1.5 矢量场的旋度
1.1 矢量及其矢量场
1.矢量的表示方法
a矢量的概念
E, H, F,v
b矢量的特点
反映曲面边界上的矢量场与曲面中旋度源的关系
1.6无旋场与无散场
() 0 ( A) 0
矢量场的唯一性定理
2.矢量的代数运算法
a.加减法：法则和规律
A B
平行四边形法则：
A B
B
A B B A A (B C) (A B) C
A
三角形法则： A B来自BABAB B A
A
b.标积：
A B A B cos Ax Bx Ay By Az Bz
满足乘法交换律： A B B A
直角坐标系：三个单位矢相互垂直且为常矢量，不随空间的变化而变化；
圆柱坐标系与圆球坐标系的三个单位矢量不全是常矢量。
一：位置矢量（位矢）
r
o
p 有向线段 r 可以表示p点的位置，称为位置矢量。只与
参考点选择有关，与坐标系选择无关。 位矢的基本特征：起点始终在参考点O上。
二：正交坐标系
1：直角坐标系
单位矢量： ex , ey , ez （常矢量）
1．2 三种常见坐标系中的矢量场
场是物理量的空间分布，矢量场是矢量的空间分布。随着空间点的不 同，每个空间点上对应的矢量也不同。因此，矢量场是空间坐标变量的函 数，对矢量场的分析很大程度上依赖于采用的坐标系。
共同特征：正交坐标系，各自的三个单位矢量都互相垂直。
物理量随空间的分布称为场。本书涉及的物理量主要是标 量和矢量。前者称为标量场，后者称为矢量场。 1.1 矢量及其矢量场
1.2 三种常用坐标系中的矢量场 1.3 梯度 1.4矢量场的散度 1.5 矢量场的旋度
1.1 矢量及其矢量场
1.矢量的表示方法
a矢量的概念
E, H, F,v
b矢量的特点
反映曲面边界上的矢量场与曲面中旋度源的关系
1.6无旋场与无散场
() 0 ( A) 0
矢量场的唯一性定理
2.矢量的代数运算法
a.加减法：法则和规律
A B
平行四边形法则：
A B
B
A B B A A (B C) (A B) C
A
三角形法则： A B来自BABAB B A
A
b.标积：
A B A B cos Ax Bx Ay By Az Bz
满足乘法交换律： A B B A
直角坐标系：三个单位矢相互垂直且为常矢量，不随空间的变化而变化；
圆柱坐标系与圆球坐标系的三个单位矢量不全是常矢量。
一：位置矢量（位矢）
r
o
p 有向线段 r 可以表示p点的位置，称为位置矢量。只与
参考点选择有关，与坐标系选择无关。 位矢的基本特征：起点始终在参考点O上。
二：正交坐标系
1：直角坐标系
单位矢量： ex , ey , ez （常矢量）
1．2 三种常见坐标系中的矢量场
场是物理量的空间分布，矢量场是矢量的空间分布。随着空间点的不 同，每个空间点上对应的矢量也不同。因此，矢量场是空间坐标变量的函 数，对矢量场的分析很大程度上依赖于采用的坐标系。
共同特征：正交坐标系，各自的三个单位矢量都互相垂直。
电磁场与电磁波(矢量分析)
u u N
◇ 定义标量函数 u( x, y, z) 沿给定方向 l 的变化率。 an l
M
u u u u u lim lim PM l u 0 u0 PM
u
P
u x , y , z , 为标量场 在P点沿 l 方向的方 向性导数。其大小与方向 l 有关。
dl r sind
h r sin
面积元：
dSr dl dl r 2 sin dd dS dlr dl r sin drd dS dlr dl rdrd
体积元：
d dlr dl dl r 2 sindrdd
1.2.4 三种坐标系的坐标变量之间的关系
在矢量场中，若 A = 0，称之为有源场， 称为(通量)
=0，称之为无源场。
散度的计算公式的推导： 在直角坐标系中，曲面上的通量可表示为
A dS Ax dS x Ay dS y Az dS z
s
在闭合面上 A 的通量为
A dS Ax dS x Ay dS y Az dS z
Ay
Az Az A x y ( A z ) x y xyz z z 上下一对表面穿出的净通量 z z
前后一对表面穿出的净通量 A yz ( A Ax x)yz Ax xyz x x
x
x
故从平行六面体穿出的净通量为
S
AdS
0
三、散度的物理意义 ◇ 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。 ◇ 散度代表矢量场的通量源的分布特性。
• A A= 0 (无源）
= 0 (正源) A
A= 0 (负源)
◇ 定义标量函数 u( x, y, z) 沿给定方向 l 的变化率。 an l
M
u u u u u lim lim PM l u 0 u0 PM
u
P
u x , y , z , 为标量场 在P点沿 l 方向的方 向性导数。其大小与方向 l 有关。
dl r sind
h r sin
面积元：
dSr dl dl r 2 sin dd dS dlr dl r sin drd dS dlr dl rdrd
体积元：
d dlr dl dl r 2 sindrdd
1.2.4 三种坐标系的坐标变量之间的关系
在矢量场中，若 A = 0，称之为有源场， 称为(通量)
=0，称之为无源场。
散度的计算公式的推导： 在直角坐标系中，曲面上的通量可表示为
A dS Ax dS x Ay dS y Az dS z
s
在闭合面上 A 的通量为
A dS Ax dS x Ay dS y Az dS z
Ay
Az Az A x y ( A z ) x y xyz z z 上下一对表面穿出的净通量 z z
前后一对表面穿出的净通量 A yz ( A Ax x)yz Ax xyz x x
x
x
故从平行六面体穿出的净通量为
S
AdS
0
三、散度的物理意义 ◇ 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。 ◇ 散度代表矢量场的通量源的分布特性。
• A A= 0 (无源）
= 0 (正源) A
A= 0 (负源)
电磁场与电磁波第1章矢量分析
例：已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：
（1） 该矢量场的旋度;
（2） 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分， 如图所 示， 验证斯托克斯定理。
y B
r＝ 3
O
Ax
四分之一圆盘
第 7、8 学时 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度
一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标 系中， 可将u表示为
lim l A dl
SP S
称固定矢量R为矢量A的 旋度，记作
rotA=R
上式为旋度矢量在n方 向的投影，如图所示， 即
A dl
lim l
SP S
rotn A
ro tA
n
旋涡面
P l
旋度及其投影
矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为
rotA
ax
Az y
Ay z
a
y
Ax z
Az x
z
l
式 中 ， 当 Δl→0 时 δ→0 。 将 上 式 两 边 同 除 以 Δl 并 取 极限得到方向导数的计算公式：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
其中，cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
1.4.4 标量场的梯度
1. 梯度的定义
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的 变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不 同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，
▽ ·(▽ ×A)≡0
即如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可 以用另一个矢量A的旋度来表示，即当 ▽ ·B=0 则有
电磁场电磁波-第一章 矢量分析(1.4-5)
环流面密度矢量→旋涡源密度矢量 旋涡源密度矢量。 物理意义 ◇ 环流面密度矢量 旋涡源密度矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
•
直角坐标系中 rot x F、rot y F 、rot z F 的表达式 的示意图如图所示。 推导 rot x F 的示意图如图所示
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.5.2. 矢量场的旋度（∇× F） 矢量场的旋度（ 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系， 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入 矢量场的旋度。 矢量场的旋度。 （1）环流面密度 ） 过点M 作一微小曲面∆ 它的边界曲线记为C， 过点 作一微小曲面∆S ，它的边界曲线记为 ，曲面的法 与曲线的绕向成右手螺旋法则。 线方向 n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当∆S→0 时，极限 →
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 宏观上 量与曲面内产生矢量场的源的关系。 量与曲面内产生矢量场的源的关系。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.4.3. 矢量场的散度 散度： 向某点无限收缩时， 散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 F 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 F 在该 点的散度， 表示， 点的散度，以 div F 表示，即
环流的概念 矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合 矢量场对于闭合曲线 环流定义为该矢量对闭合 曲线C 的线积分， 曲线 的线积分，即
Γ = ∫C F(x, y, z) ⋅ dl
如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无 旋场，又称为保守场。 旋场，又称为保守场。 保守场 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零， 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为 有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是 有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。 旋涡源 磁场的旋涡源。 磁场的旋涡源。
电磁场与电磁波-1、2、3章矢量分析与场论基础
R e zez
位置矢量的微分元是
dR
它在
d 、
(
和e ) dBiblioteka (zez ) e d e d ezdz
z 增加方向的微分元分别为d 、d和dz，如
图1.6所示。与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
dS ddz
dS d dz
体积元可表示为
dSz d d
dV dddz
r 3.球坐标系
A aA A ,其中是与同方向的单位矢量，为矢量的模值。
其中 aA 是 与 A同方向的单位矢量，A为矢量A模值。 一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，则
这个矢量就确定了。如在直角坐标系中，若矢量A的坐标
分量为( Ax,Ay, Az)，则可表示为则 A可表示为
A ex Αx ey Αy ez Αz
矢量A和B矢量的平面，方向满足右手螺旋法则，即
当右手四指从矢量A到B旋转 角时大拇指所指的方 向，其大小为 ABsin ,即
A B en AB sin
是叉积方向的单位矢量。 在直角坐标系中，各单位坐标矢量的叉积满足如下关系
ex ey ez ,ey ez ex ,ez ex ey
ex ex ey ey ez ez 0
y
x
图1.4 直角坐标系 在直角坐标系中，以坐标原点为起点,指向M (x, y, z点) 的矢 量R称为M点的位置矢量，可表示为
R xex yey zez 位置矢量的微分元是
dR exdx e ydy ezdz
它在x、y和z增加方向的微分元分别为 dx、dy和 dz ，
而与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
【提示】A B的模就是A与B所形成的平行四边形的面 积，因此C ( A B)是平行六面体的体积。
位置矢量的微分元是
dR
它在
d 、
(
和e ) dBiblioteka (zez ) e d e d ezdz
z 增加方向的微分元分别为d 、d和dz，如
图1.6所示。与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
dS ddz
dS d dz
体积元可表示为
dSz d d
dV dddz
r 3.球坐标系
A aA A ,其中是与同方向的单位矢量，为矢量的模值。
其中 aA 是 与 A同方向的单位矢量，A为矢量A模值。 一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，则
这个矢量就确定了。如在直角坐标系中，若矢量A的坐标
分量为( Ax,Ay, Az)，则可表示为则 A可表示为
A ex Αx ey Αy ez Αz
矢量A和B矢量的平面，方向满足右手螺旋法则，即
当右手四指从矢量A到B旋转 角时大拇指所指的方 向，其大小为 ABsin ,即
A B en AB sin
是叉积方向的单位矢量。 在直角坐标系中，各单位坐标矢量的叉积满足如下关系
ex ey ez ,ey ez ex ,ez ex ey
ex ex ey ey ez ez 0
y
x
图1.4 直角坐标系 在直角坐标系中，以坐标原点为起点,指向M (x, y, z点) 的矢 量R称为M点的位置矢量，可表示为
R xex yey zez 位置矢量的微分元是
dR exdx e ydy ezdz
它在x、y和z增加方向的微分元分别为 dx、dy和 dz ，
而与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
【提示】A B的模就是A与B所形成的平行四边形的面 积，因此C ( A B)是平行六面体的体积。
电磁波与电磁场第1章 矢量分析
直角坐标系•三变量x y z •坐标表示•线元•面元•体积元dle dz e dy e dx e l d l z y x =++= ds e ds e ds e s d z z y y x x ++=zz yy xx e dxdyds e dxdz ds e dydz ds ⊥=⊥=⊥=d V d xd yd z=Az z y y x x e A e A e A e A A=++=∞dzz e d d ds e dz d ds e dz d ds ⊥=⊥=⊥=ϕρρρϕρϕρ另图见下页-5813∞dzzz e d d ds e dz d ds e dzd ds ⊥=⊥=⊥=ϕρρρϕρϕϕρρ142r ds r sin θd θd ds rsin θdrd ds rdrd θθϕϕϕ===d θϕϕ另图见下页系2r rθds r sin θd θd e ds rsin θdrd e ds rdrd θe θϕϕϕϕ=⊥=⊥=⊥-5817x y z2≤≤−∞<<∞z ϕπ2π0πθ≤≤≤≤ϕ一个专用它的大小就能完整的描示Az z e A e A=单位矢量（unit vector）：A A e A=212z )A cos A cos y ==γβzz B A-5830gradient在这无穷多个方向中哪个方向的变化率三维高度场的梯度例2电位场的梯度三维高度场的梯度电位场的梯度高度场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；ndSΦ= 0(无源)Φ< 0 (有负源)divergence内的通量源决定，而通量是一个积分量，仅能说明较大范围内的源分布情况，而不能说明每一点的性质。
引入散度概念。
A= ρ>0 (正源A= 0(无源）•A= −ρ<0 (负源-5850HFUT -FZG该环量表示绕线旋转趋势的大小。
水流沿平行于水管轴线方向流动Γ=0，无涡旋运动流体做涡旋运动Γ≠0，有产生涡旋的源环量矢量F 沿空间有向闭合曲线L 的线积分LF d lΓ=⋅∫环量circulation例：流速场环量密度(涡量)取不同的路径，其环量密度不同。
最新-《电磁场与电磁波》第1章矢量分析-PPT文档资料
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
A B ( A x a ˆ x A y a ˆ y A z a ˆ z ) ( B x a ˆ x B y a ˆ y B z a ˆ z )
o y
x
(A y B z A z B y )a ˆx (A z B x A x B z)a ˆy (A x B y A y B x )a ˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
z
模的计算： |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量：
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
Ay
y
方向角与方向余弦： , ,
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 v 、电场 E 等
矢量表示为： A | A | aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
定义： A B C |A ||B ||C |s inc o s hBC A
含义：
C
标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A ( B C ) C ( A B ) B ( C A ) hBC
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分析和处理电磁场问题的方法 —— 数学处理过程
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
?e??
??
?
? e?xcos?
? e?ysin?
?
? e?ρ
xy 平面上的投影图
?
矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
e?z
位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
?
位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
e?x ?e?y ? e?y ?e?z ? e?z ?e?x ? 0
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r的微分: (?)
?
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x
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y
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球坐标系 基本变量： r, ?, ?
rz圆面
单位矢量： e?r , e?? , e??
(单位矢量沿坐标增加方向，彼 此正交，且构成右手螺旋关系)
z
r
?
e?r P(r, ?,?e)??
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y
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e?r ? e?? ? e?? e?? ? e?? ? e?r e?? ? e?r ? e??
本课程知识结构体系
矢量分析
基本规律 静电场 静电场分析
（第2章） （第3章）
静态场
静电场边值问题（第 3章）
静磁场 基本规律 静磁场分析
（第2章） （第3章）
波磁电与场磁电
时变场
时变场基本性质
（第4章）
无界空间中的电磁波 （第5、6章）
有界空间中的电磁波 （第7章）
电磁波产生的基本理论
（第8章)
难点
单位矢量：e?x , e?y , e?z
e?z e?y
? 位置矢量： r ? e?x x ? e?y y ? e?z z e?x
y
?
x
任意矢量： A ? e?x Ax ? e?y Ay ? e?z Az
e?x ? e?y ? e?z, e?y ? e?z ? e?x, e?z ? e?x ? e?y
y
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柱坐标系与直角坐标下的单位矢量之间的关系
e?ρ ? e?x cos? ? e?y sin? y e?? ? ? e?xsin? ? e?ycos?
单位矢量 e?、e? 随? 坐标
变化，且
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圆柱坐标系
基本变量： ρ, ?, z
单位矢量： e?? , e?? , e?z
(单位矢量沿坐标增加方向，彼 此正交，且构成右手螺旋关系 )
e?? ? e?? ? e?z e?? ? e?z ? e?? e?z ? e?? ? e??
z e?z e??
P(?, ?, z)
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在三维空间，上述方程给出等值曲面；在二维空间，给出等值 曲线。 例如真空中孤立点电荷的电位函数
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球坐标中的单位矢量都 非常矢量 ，随球坐标 ?、?
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任意矢量 A ? e?r Ar ? e?? A? ? e?? A?
? 位置矢量 r ? e?rr
3. 标量场的描述
一个标量场可以用等值面和梯度来描述。
等值面
一个标量u场?可u以?用r?,t一?个标量函数来表示 在直角坐标系中 u ? u?x,y,z,t ?
在某一时刻，对于任意给定的常数 C，方程
u?x,y,z,t ?? C --- 等值面方程
所决定的空间各点构成标量场 u 的一个等值曲 面，称等值面。
因此，场实际上是物理量在时间和空
间 磁上 场的B??一r?,t种?，分分布别，代例表如物温体度温场度和T 磁?r?,场t?，强
度矢量的时空分布。
场是一种物质形态 --- 爱因斯坦
场的分类
静态场（ Static Field ）
场物理量不随时间变化，如静电场，稳恒 磁场等
时变场（ Time-varied Field ）
xxy圆面e?r Fra bibliotek??e??
球坐标系与直角坐标下的单位矢量之间的关系
? ? e?r ? e?x cos ? ? e?y sin ? sin ?
? e?zcos ?
e?z e?r P
?
e?? ? ? e?xsin ? ? e?y cos ?
?
e?x
? ? e?? ? e?x cos ? ? e?y sin ? cos ?
矢量分析是研究 电磁场空间分布及其 变化、传播规律 的基本数学工具之一。
1. 场的概念及分类
什么是场
通常，描述某物理系统之状态的物理 量都是时间和空间的函数， i.e.
Φ ? Φ?r?,t?
在任一时刻 t，空间每个位置 r， 物理
量? 都有一个确定的值与之对应，则空
间所有各点物理量数值的无穷集合就形 成了该系统 t 时刻的一种场。
电磁场与电磁波
刘子龙 武汉理工大学物理系
使 用 教 材
参考书目
《电磁场与电磁波》，王家礼，朱满座，路宏 敏，西安电子科技大学， 2000年12月第1版
《电磁场与电磁波》，李书芳等，科学出版社， 2004 年第 1版
《电动力学》，郭硕鸿，高等教育出版社， 1979 年第 1版
J.D. Kraus, D.A. Fleish, Electromagnetics With Application, Fifth Edition , 北京：清华大学出版 社， 2001
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
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?
? e?xcos?
? e?ysin?
?
? e?ρ
xy 平面上的投影图
?
矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
e?z
位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
?
位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
e?x ?e?y ? e?y ?e?z ? e?z ?e?x ? 0
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A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az
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r的微分: (?)
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球坐标系 基本变量： r, ?, ?
rz圆面
单位矢量： e?r , e?? , e??
(单位矢量沿坐标增加方向，彼 此正交，且构成右手螺旋关系)
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e??
y
?
e?r ? e?? ? e?? e?? ? e?? ? e?r e?? ? e?r ? e??
本课程知识结构体系
矢量分析
基本规律 静电场 静电场分析
（第2章） （第3章）
静态场
静电场边值问题（第 3章）
静磁场 基本规律 静磁场分析
（第2章） （第3章）
波磁电与场磁电
时变场
时变场基本性质
（第4章）
无界空间中的电磁波 （第5、6章）
有界空间中的电磁波 （第7章）
电磁波产生的基本理论
（第8章)
难点
单位矢量：e?x , e?y , e?z
e?z e?y
? 位置矢量： r ? e?x x ? e?y y ? e?z z e?x
y
?
x
任意矢量： A ? e?x Ax ? e?y Ay ? e?z Az
e?x ? e?y ? e?z, e?y ? e?z ? e?x, e?z ? e?x ? e?y
y
e?z
x e?ρ
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柱坐标系与直角坐标下的单位矢量之间的关系
e?ρ ? e?x cos? ? e?y sin? y e?? ? ? e?xsin? ? e?ycos?
单位矢量 e?、e? 随? 坐标
变化，且
e?? e?y e?ρ
?
? P?
e?x
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??
?
? e?xsin?
?
e?ycos?
?
Bx By Bz
圆柱坐标系
基本变量： ρ, ?, z
单位矢量： e?? , e?? , e?z
(单位矢量沿坐标增加方向，彼 此正交，且构成右手螺旋关系 )
e?? ? e?? ? e?z e?? ? e?z ? e?? e?z ? e?? ? e??
z e?z e??
P(?, ?, z)
z e?ρ
??
在三维空间，上述方程给出等值曲面；在二维空间，给出等值 曲线。 例如真空中孤立点电荷的电位函数
e?r ?
? e?zsin ?
e??
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球坐标中的单位矢量都 非常矢量 ，随球坐标 ?、?
变化
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,
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? e??
cos?
?
任意矢量 A ? e?r Ar ? e?? A? ? e?? A?
? 位置矢量 r ? e?rr
3. 标量场的描述
一个标量场可以用等值面和梯度来描述。
等值面
一个标量u场?可u以?用r?,t一?个标量函数来表示 在直角坐标系中 u ? u?x,y,z,t ?
在某一时刻，对于任意给定的常数 C，方程
u?x,y,z,t ?? C --- 等值面方程
所决定的空间各点构成标量场 u 的一个等值曲 面，称等值面。
因此，场实际上是物理量在时间和空
间 磁上 场的B??一r?,t种?，分分布别，代例表如物温体度温场度和T 磁?r?,场t?，强
度矢量的时空分布。
场是一种物质形态 --- 爱因斯坦
场的分类
静态场（ Static Field ）
场物理量不随时间变化，如静电场，稳恒 磁场等
时变场（ Time-varied Field ）
xxy圆面e?r Fra bibliotek??e??
球坐标系与直角坐标下的单位矢量之间的关系
? ? e?r ? e?x cos ? ? e?y sin ? sin ?
? e?zcos ?
e?z e?r P
?
e?? ? ? e?xsin ? ? e?y cos ?
?
e?x
? ? e?? ? e?x cos ? ? e?y sin ? cos ?
矢量分析是研究 电磁场空间分布及其 变化、传播规律 的基本数学工具之一。
1. 场的概念及分类
什么是场
通常，描述某物理系统之状态的物理 量都是时间和空间的函数， i.e.
Φ ? Φ?r?,t?
在任一时刻 t，空间每个位置 r， 物理
量? 都有一个确定的值与之对应，则空
间所有各点物理量数值的无穷集合就形 成了该系统 t 时刻的一种场。
电磁场与电磁波
刘子龙 武汉理工大学物理系
使 用 教 材
参考书目
《电磁场与电磁波》，王家礼，朱满座，路宏 敏，西安电子科技大学， 2000年12月第1版
《电磁场与电磁波》，李书芳等，科学出版社， 2004 年第 1版
《电动力学》，郭硕鸿，高等教育出版社， 1979 年第 1版
J.D. Kraus, D.A. Fleish, Electromagnetics With Application, Fifth Edition , 北京：清华大学出版 社， 2001