2021年高考全国I卷文科数学模拟试题(含答案和解析) (2)
2020-2021学年（新课标i卷）高考数学文科模拟试题及答案解析
2020-2021学年（新课标i卷）⾼考数学⽂科模拟试题及答案解析绝密★启封并使⽤完毕前试题类型：普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试⽂科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分.第Ⅰ卷1⾄3页，第Ⅱ卷3⾄5页. 2.答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上⽆效.4.考试结束后，将本试题和答题卡⼀并交回.第Ⅰ卷⼀. 选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、⽩、紫4种颜⾊的花中任选2种花种在⼀个花坛中，余下的2种花种在另⼀个花坛中，则红⾊和紫⾊的花不在同⼀花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）13（D ）56（4）△ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（A （B C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点，若椭圆中⼼到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离⼼率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)（7）如图，某⼏何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该⼏何体的体积是28π3，则它的表⾯积是（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π（8）若a>b>0，0（A ）log a c（D ）c a>c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像⼤致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执⾏右⾯的程序框图，如果输⼊的0,1,x y ==n=1,则输出,x y 的值满⾜（A ）2y x =（B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平⾯α过正⽂体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平⾯,ABCD m α=I 平⾯，11ABB A n α=I 平⾯，则m ，n 所成⾓的正弦值为（A ）3（B ）22（C ）3（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3??-（C ）11,33??-（D ）11,3--第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考⽣都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考⽣根据要求作答. ⼆、填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分（13）设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x=. （14）已知θ是第四象限⾓，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的⾯积为。
2021年高考数学全国I卷(文)预测卷以及答案
2021年高考数学全国I卷（文）预测卷以及答案----fcf9e606-6ea2-11ec-b3c8-7cb59b590d7d2021年高考等值试卷★预测卷文科数学（国家卷一）本试卷分第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.在为第一卷中的每个小问题选择答案后，用2B铅笔涂黑答题卡上相应问题的答案标签；如果需要更换，用橡皮擦擦干净，并涂上其他答案标签。
第二卷必须用0.5毫米的黑色签字笔书写。
如果你在试卷上作答，答案无效。
3.考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。
第一卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果已知I是一个虚单位，那么I（1？I）？（a）?1?i（b）?1?i（c）1?i（d）1?i2.已知集合a？{x|x？100}，b？{x|x？A}和aerb？r、那么实数a的取值范围是（a）a？100（b）a？100（c）a？100（d）a？一百3．已知数列?an?的首项为1，且an?1?an?an?an?1对于所有大于1的正整数n都成立，s3？s5？2a9，然后是A6？a12？（a）34（b）17（c）36（d）184、相关数据显示，2022，中国固定资产投资（不包括农户，下同）为63兆5636亿元，增长5.9%。
其中，第一产业投资22413亿元，比上年增长12.9%；第二产业投资237899亿元，增长6.2%；第三产业投资375324亿元，增长5.5%。
此外，从2022到2022，中国第一产业、第二产业和第三产业在固定资产投资中所占的比例如下图所示。
根据以上信息可知，下列说法中：① 2022—2022年间，中国一级产业投资固定资产投资比重逐年上升；②2021―2021年，我国第一产业、第三产业投资之和占固定资产投资比重逐年增加；③22413635636?5%；④237899? 375324635636? 96.5%．不正确的个数为（a） 1（b）2（c）3（d）45。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国 I卷)文科数学试题及解答
1- x x n n普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用 2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在．试．题．卷．上．作．答．无．效．． 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 参考公式：如果事件 A ，B 互斥，那么球的表面积公式P ( A + B ) = P ( A ) + P (B )S = 4πR 2如果事件 A ，B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径 P ( A B ) = P ( A ) P (B )如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么球的体积公式V = 4πR 33 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率其中 R 表示球的半径P (k ) = C k P k (1- P )n -k(k = 0，1, 2， ，n ) 一、选择题1．函数 y = + 的定义域为（）A ．{x | x ≤1}B ．{x | x ≥ 0}C ．{x | x ≥1或x ≤ 0}D ．{x | 0 ≤ x ≤1}2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）ssOtO A ．B ．C ．D ．s t Ost Otx 233． ⎛1+ ⎝ x ⎫5⎪ ⎭ 的展开式中 x 2 的系数为（ ）5A ．10B ．5C ．2D ．14．曲线 y = x 3- 2x + 4 在点(1，3) 处的切线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．在△ABC 中， AB = c ， AC = b ．若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =（ ）A ． 2 b + 1c3 3 B ． 5 c - 2b33C ． 2 b - 1c3 3 D ． 1 b + 2c336． y = (sin x - cos x )2-1是（ ）A ．最小正周期为2π 的偶函数B ．最小正周期为 2π 的奇函数C ．最小正周期为 π 的偶函数D ．最小正周期为 π 的奇函数7．已知等比数列{a n }满足 a 1 + a 2 = 3，a 2 + a 3 = 6 ，则 a 7 = （ ）A ．64B ．81C ．128D ．2438．若函数 y = f (x ) 的图象与函数 y = ln +1的图象关于直线 y = x 对称，则 f (x ) =（）A ． e 2 x -2B ． e 2 xC ． e 2 x +1D ． e 2 x -29．为得到函数 y = cos ⎛x +π ⎫的图象，只需将函数 y = sin x 的图像（）3 ⎪πA ．向左平移 6 ⎝⎭π个长度单位 B ．向右平移 6个长度单位 5π C ．向左平移65π 个长度单位D ．向右平移6个长度单位10．若直线 x + y= 1与圆 x 2+ y 2= 1有公共点，则（）a bA ． a 2 + b 2≤1B ． a 2 + b 2≥1C ． 1 + 1≤1a 2b 2D ．1+ a 2 1≥1 b 211．已知三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的侧棱与底面边长都相等， A 1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心，则 AB 1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（）1 2 A ．B ．C ．D ．333312．将 1，2，3 填入3⨯ 3 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，2则不同的填写方法共有（）⎩A ．6 种B ．12 种C ．24 种D ．48 种2008 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+ 选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共 7 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在．试．题．卷．上．作．答．无．效．．3．本卷共 10 小题，共 90 分．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）⎧x + y ≥ 0， ⎪13．若 x ，y 满足约束条件 ⎨x - y + 3≥0，则 z = 2x - y 的最大值为 ．⎪0 ≤ x ≤3， 14．已知抛物线 y = ax 2-1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．在△ABC 中， ∠A = 90， tan B = 3．若以 A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆4的离心率e = ．16．已知菱形 ABCD 中， AB = 2 ， ∠A = 120，沿对角线 BD 将△ABD 折起，使二面角A - BD - C 为120 ，则点 A 到△BCD 所在平面的距离等于．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）设△ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边长分别为 a ，b ，c ，且 a cos B = 3， b sin A = 4 ． （Ⅰ）求边长 a ；1 2 3 3 1 2 231（Ⅱ）若△ABC 的面积S = 10 ，求△ABC 的周长l ．18．（本小题满分12分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=2，AB =AC ．（Ⅰ）证明：AD ⊥CE ；（Ⅱ）设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C -AD -E 的大小．AC19．（本小题满分12分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）在数列{a }中，a =1，a = 2a+ 2n ．n 1 n+1 n（Ⅰ）设bn =an2n-1．证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．20．（本小题满分12分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）已知5 只动物中有1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2 只中任取1 只化验．求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．B21．（本小题满分 12 分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）已知函数 f (x ) = x 3+ ax 2+ x +1， a ∈ R ．（Ⅰ）讨论函数 f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）设函数 f (x ) 在区间⎛ - 2 ，-1 ⎫内是减函数，求 a 的取值范围．33 ⎪ ⎝⎭22．（本小题满分 12 分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）双曲线的中心为原点O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2 ，经过右焦点 F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2 于 A ，B 两点．已知 OA 、AB 、OB 成等差数列，且 BF 与 FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程．5 52008 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．D 7．A 8．A 9．C 10．D 11．B 12．B1 二、13．9 14．2115．216．2三、17．解：（1）由 a cos B = 3与b sin A = 4 两式相除，有：3 = a cos B = a cos B = b cos B = cot B4 b sin A sin A b sin B b 又通过a cos B = 3知： cos B > 0 ，则cos B = 3 ， sin B = 4，5 5则a = 5 ．（2）由 S = 1ac sin B ，得到c = 5 ．2a 2 + c 2 -b 2由cos B =，2ac解得： b = 2 ，最后l = 10 + 2 ．18．解：（1）取 BC 中点 F ，连接 DF 交CE 于点O ，AB = AC ， ∴ AF ⊥ BC ，又面 ABC ⊥ 面 BCDE ， ∴ AF ⊥ 面 BCDE ， ∴ AF ⊥ CE ．tan ∠CED = tan ∠FDC =2 ，2∴ ∠OED + ∠ODE = 90 ，∴∠DOE = 90 ，即CE ⊥ DF ，∴CE ⊥ 面 ADF ， ∴CE ⊥ AD ．（2）在面 ACD 内过C 点做 AD 的垂线，垂足为G ．3DE 2 - DG 2 6 10 ⎛ 10 ⎫n +1 n n n n = CG ⊥ AD ， CE ⊥ AD ， ∴ AD ⊥ 面CEG ， ∴ EG ⊥ AD ，则∠CGE 即为所求二面角． CG =AC CD = 2 3 ， D G = 6， AD 3 3EG = 30 ，3CE = ，CG 2 + GE 2 - CE 2则cos ∠CGE == - ，2CG GE10∴∠CGE = π - arccos 10 ⎪ ．⎝ ⎭19．解：（1） a = 2a + 2n，a n +1 =2n a n2n -1 + 1， b n +1 = b n + 1，则b n 为等差数列， b 1 = 1，b n = n ， a n = n 2n -1 ．（2） S = 1 20+ 2 21+ + (n -1) 2n -2+ n 2 n -12S = 1 21 + 2 22 + + (n -1) 2n -1 + n 2 n 两式相减，得S = n 2n -1 20 - 21 - 2n -1 = n 2n - 2n +1 ． 20次数 1 2 3 4 5 概率0.20.20.20.20.2对于乙：次数 2 3 4 概率0.40.40.20.2 * 0.4 +* **．21．解：（1） f (x ) = x 3+ ax 2+ x +1⎛ -a + a 2 - 3a 求导： f '(x ) = 3x 2+ 2ax +1当a2≤ 3时， ∆ ≤ 0， f '(x ) ≥ 0f (x ) 在R 上递增当a 2> 3， f '(x ) = 0 求得两根为 x =3⎛ -a - a 2 - 3 ⎫⎛ -a - a 2 - 3 -a + a 2 - 3 ⎫ 即 f (x ) 在 -∞， 3 ⎪ 递增， 3 ， 3 ⎪ 递减，⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎫ 3 ，+ ∞⎪ 递增⎝ ⎭⎧ -a - ⎪ ⎪ （2） ⎨⎪ -a + ⎪⎩a 2- 3 ≤ - 23 3 ，且 a 2 > 3 a 2 - 3 ≥ -13 3 解得： a ≥ 7422．解：（1）设OA = m - d ， AB = m ， OB = m + d由勾股定理可得： (m - d )2+ m 2= (m + d )2得： d = 1 m ， tan ∠AOF = b， tan ∠AOB = tan 2∠AOF =AB = 44aOA 32 b 由倍角公式∴ a = 4 ，解得 b = 1则离心率e =⎛ b ⎫23 a 2 1- ⎪⎝ ⎭5 ．2（2）过 F 直线方程为 y = - a(x - c )bx 2 - y 2 =与双曲线方程 a 2将a = 2b ， c = b 21联立15 5b 代入，化简有 4b2x 2 - bx + 21 = 0 -a ± a 2- 3 8 51+ b ⎪ ⎛ a ⎫2⎝ ⎭ - =4 = x 1 - x 2 =将数值代入，有4 解得b = 3最后求得双曲线方程为：x 2 y 21． 36 9点评：本次高考题目难度适中，第 12 道选择题是 2007 年北京市海淀区第二次模拟考试题， 新东方在 2008 年寒假强化班教材的 220 页 33 题选用此题进行过详细讲解，在 2008 年春季 冲刺班教材 30 页 33 题也选用此题，新东方的老师曾在多种场合下对此题做过多次讲解．第 19 道计算题也是一个非常典型的题型，在 2007 年 12 月 31 日，新东方在石家庄的讲座上曾 经讲过这类问题的解法，在 2008 年的讲课中也多次提过此题型是重点．其他的题型也都很固定，没有出现偏题怪题，应该说，本次高考题的难度，区分度都非常恰当．⎡ ⎢1+ ⎛ a ⎫2 ⎤ ⎢⎣ ⎝ b ⎭ ⎥⎦⎪ ⎥ ⎣ ( x + x ) - 4 x x 21 2 1 2 ⎦ 5 ⎢ ⎡⎛ 32 5b ⎫228b 2 ⎤ ⎣⎝ 15 ⎪ - 4 ⎭ 5 ⎦。
2021年高考文科数学模拟试卷（含答案）
2021年高考文科数学模拟试卷（含答案）2021年高考文科数学模拟测试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||2x﹣1|≥3}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}，则?R A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．?C．（2，3）D．（﹣2，﹣1）2．复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ＝（）A．﹣B．﹣C．D．3．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值＝（）A．B．C．2D．34．在等差数列{a n}中，a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，则S15＝（）A．134B．135C．136D．137 5．已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．96．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0B．C．D．7．圆柱的底面半径为r，侧面积是底面积的4倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A．B．C．D．8．下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1有极值0，则a＝2，b＝9或a＝1，b＝3．A．0 个B．1 个C．2 个D．3个9．已知x，y满足区域D：，则的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．10．函数的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，圆M：x2﹣2x+y2+4y+a2＝0（a＞0），过F的直线l与C交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线l与圆M相切，则a＝（）A．0B．C．D．312．若函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x﹣lnx（a∈R）在其定义域上有两个零点，则a 的取值范围是（）A．（4（ln2+1），+∞）B．（0，4（1+ln2）]C．（﹣∞，0）∪{4（1+ln2）}D．（0，4（ln2+1））二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为．14．已知△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝4，E、F分别为BC边上三等分点，则＝．15．若数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2，记，则数列的前50项的和为．16．如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．已知各项都不相等的等差数列{a n}中，，又a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若函数，0＜φ＜π，的一部分图象如图所示，A（﹣1，a1），B（3，﹣a1）为图象上的两点，设∠AOB＝θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ+φ）的值．18．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3 日3月4日3月5日温差x（℃）1011131282325302616发芽数y（颗）（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于25”的概率；（2）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程＝x ．（参考公式：回归直线方程为＝x ，其中＝，＝x）19．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；BCD间的体积．（Ⅱ）设CD＝2，求三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面之和为4，离心率为，且点M与点N关于原点O对称．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M作椭圆的切线l与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，当△NAB 的面积最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x+xlnx，h（x）＝（a﹣1）x+xlnx+2ln （1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a∈（0，2）时，求函数g（x）＝f（x）﹣h（x）在区间[0，3]上的最小值．请考生在第22-23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若?x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．参考答案一、选择题1．解：因为A＝{x||2x﹣1|≥3}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，所以?R A＝（﹣1，5），B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}＝{x|x＞3或x＜﹣4}，故选：B．2．解：∵复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，∴，解得tanθ＝2．故选：C．3．解：根据茎叶图知，乙的中位数是31，∴甲的中位数也是31，即＝31，又甲的平均数是×（24+29+33+42）＝32，∴n＝9；故选：A．4．解：在等差数列{a n}中，∵a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，故选：B．5．解：∵a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣3）x+y﹣1＝0，l2：x+6by+1＝0，且l1⊥l2，∴（a﹣6）+2b＝0，即a+2b＝1≥2∴ab≤，≥8，当且仅当a＝2b ＝时，等号成立．故选：C．6．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝tan+tan+…+tan的值，由于tan的取值周期为6，且2017＝336×6+2，故选：C．7．解：根据题意，设圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，其底面面积S＝πr2，＝2πr?h，侧面积S侧若侧面积是底面积的3倍，即2πr?h＝4πr2，则有h＝3r，若|PO|≤r，则P在以O为球心，半径为r的球内，其体积V′＝，故选：C．8．解：对于①：相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，故①错误；对于②：命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x7+x+1≥0”，故②错误；对于④：f'（x）＝3x2+6ax+b，因为f（x）在x＝﹣1有极值0，故，解得当a＝1，b＝3时，f'（x）＝3x7+6x+3＝3（x+1）2≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故不符合条件；故选：A．9．解：作出不等式表示的平面区域如图所示，令t＝，则t∈[0，8]，t+1∈[1，3]，＝＝．而当1+t＝1时，1+t+﹣3＝1，当1+t＝3时，1+t+﹣3＝1，∴的取值范围是[，1]．故选：C．10．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A，f（x）＝＝，当x→+∞时，f（x）→0，函数图象向x 轴靠近，排除C；故选：D．11．解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，解得x1＝1．∴，则直线l的方程为y＝，即3x+4y﹣6＝0．则圆M的圆心坐标为（1，﹣2），半径为．故选：B．12．解：函数定义域为（0，+∞），由f（x）＝0有两个根，而f （1）＝2，所以x＝1不是方程的根，即直线y＝a与函数y＝有两个交点，，．由图可知，a的取值范围是（4（1+ln4），+∞）．故选：A．二、填空题13．解：由三视图还原原几何体如图，PA⊥底面ABC，且AB＝PA＝2，∴BC⊥平面PAC，得BC⊥PC，取PB中点O，则O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，∴这个几何体的外接球的体积为．故答案为：．14．解：根据题意，作出如下所示的图形：同理可得，＝+，＝++＝．故答案为：．15．解：数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2①，当n＝1时，．①﹣②得3（S n﹣S n﹣1）+（a n﹣a n﹣1）＝0，所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．所以．所以T50＝c1+c2+…+c50＝＝．故答案为：．16．解：根据题意知，大正方形的边长为，面积为a2+b2，小正方形的面积为（a2+b6）﹣4×ab＝a4+b2﹣2ab；∴﹣3（）+1＝0，又a＞b，故答案为：．三、解答题17．解：（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则a4＝a1+3d＝①，∵a1，a2，a6成等比数列，∴＝a4?a6，即＝a1?（a1+5d）②，∴a n＝a2+（n﹣1）d＝n﹣（n∈N*）．把A（﹣1，）代入函数y＝sin（x+φ），得φ＝+2kπ，k∈Z．∵A（﹣1，），B（5，﹣），在△AOB中，由余弦定理知，cos∠AOB＝，又5＜θ＜π，∴θ＝．∴cos（θ+φ）＝cos（+）＝cos cos﹣sin sin＝（）×（）﹣×＝．18．解：（1）m，n构成的基本事件（m，n）有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个．其中“m，n均小于25”的有1个，其概率为．（2），故所求线性回归方程为．19．解：（Ⅰ）证明：由已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，得DC⊥BC，AB⊥AD，∴AB⊥平面BCD，得AB⊥DC，∴DC⊥平面ABC；∵CD＝2，∴BD＝AB＝4，BC＝2，则．由（Ⅰ）知DC⊥平面ABC，则EF⊥平面ABC．∴．∴三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面BCD间的体积为．20．解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a＝4，即a＝2，又e＝＝，可得c＝，b＝＝1，（Ⅱ）设M（m，n），由题意可得N（﹣m，﹣n），可得过M的切线的斜率为﹣，化为mx+4ny＝4，圆C的圆心为（7，0），半径为2，可得圆心到切线的距离为，故S＝?2?＝?2|n|＝≤△NAB＝4，则当△NAB的面积最大时，直线l的方程为x+8y﹣12＝0，或x﹣8y ﹣12＝0，或x+8y+12＝0，或x﹣8y+12＝0．21．解：（Ⅰ）依题意，f′（x）＝1+lnx+1＝lnx+2，故k＝f′（1）＝2，又f（1）＝3，（Ⅱ）由题意可知，g（x）＝（2﹣a）x﹣2ln（x+1）（x＞﹣1），则，∴6﹣a＞0，∴函数g（x）在上单调递减，在单调递增，①当，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，∴；②当，即时，g（x）在[0，3]单调递减，∴g（x）min＝g（3）＝8﹣3a﹣2ln4；综上，当时，；当时，g（x）min＝6﹣3a ﹣4ln2．22．解：（Ⅰ）由，可得，即圆C的方程为．由可得直线l的方程为．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．所以，又直线l过点，故由上式及t的几何意义得．…23．解：（I）由已知，∵a、b不为0，∴ab＝1，或a+b＝0，①ab＝6时，原不等式相当于|﹣2x+1|≥1，所以，﹣2x+1≥1或﹣2x+1≤﹣1，②a+b＝0时，a，b异号，ab＜0，（Ⅱ）由已知得，|x﹣a|≥x﹣1≥7，a＝1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥8恒成立，a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥4得，a≤2x﹣1，从而a≤1，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．。
2021年高考数学全国卷Ⅰ文科试题(全解析)
普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修) 解析版本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)cos300︒=(A)12 (C)121.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()UN M ⋂=A.{}1,3B. {}1,5C. {}3,5D. {}4,52.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】{}2,3,5UM =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂={}1,3,5{}2,3,5⋂={}3,5(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图），11222z x y y x z =-⇒=-，由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A)4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===，37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =,x +20y -=所以133364564655()(50)a a a a a a a =====(5)43(1)(1x --的展开式 2x 的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】()134323422(1)(11464133x x x x x x x x ⎛⎫-=-+---+- ⎪⎝⎭2x 的系数是 -12+6=-6(6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABC A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADAC 为平行四边形，1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又三角形1A DB 为等边三角形，0160DA B ∴∠=(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞7.C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a+≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+b=1a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令()f a a=+1a 由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求C DA 1B 1C 1D 1 Oz x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF =4【解析2】由焦点三角形面积公式得：1202201216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆=====12||||PF PF =4（9）正方体ABCD -1111A B C D中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A ）（B（C ）23（D 9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACDV V--=,即111133ACD ACDS DO S DD∆∆⋅=⋅.设DD1=a,则122111sin60)22ACDS AC AD∆==⨯=,21122ACDS AD CD a∆==.所以13133ACDACDS DDDO aS∆∆===,记DD1与平面AC1D所成角为θ,则1sin3DODDθ==,所以cosθ=.【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O；1O O与平面AC1D所成角就是B1B与平面AC1D所成角，1111cos3O OO ODOD∠===（10）设123log2,ln2,5a b c-===则（A）a b c<<（B）b c a<< (C) c a b<< (D) c b a<<10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析1】a=3log2=21log3, b=In2=21log e,而22log3log1e>>,所以a<b,c=125-222log4log3>=>,所以c<a,综上c<a<b.【解析2】a=3log2=321log,b=ln2=21log e, 3221log log2e<<<，32211112log log e<<<；c=12152-=<=，∴c<a<b（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA PB•的最小值为(A) 4-+3- (C) 4-+3-+11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析1】如图所示：设PA=PB=x(0)x>,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+.故min ()3PA PB •=-+.此时x =【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫•== ⎪⎝⎭ 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin 22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-= ⎪⎝⎭换元：2sin ,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x xx--•==+-≥【解析3】建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x •=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (C) 12.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y •=-⋅--=-+-ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max V =第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2020-2021学年(新课标i卷)高考数学文科模拟试题及答案解析高考模拟题
题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答 .
二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分
（ 13）设向量 a=(x， x+1)， b=(1， 2)，且 a b，则 x=.
（ 14）已知 θ是第四象限角，且 sin( θ+ π)= 3 ，则 tan(θ–π)=.
45
4
22
（ 15）设直线 y=x+2a 与圆 C： x +y -2ay-2=0 相交于 A， B 两点，若
p x ， 代 入 y2 t
2 px 整理 得
px 2
2t 2 x 0 ，解得 x1
0 ， x2
2t 2
2t 2
，因此 H ( ,2t) .
p
p
所以 N 为 OH 的中点，即 | OH | 2 . | ON |
（Ⅱ）直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点 .理由如下：
直 线 MH 的 方 程 为 y t p x ， 即 x 2t ( y t) . 代 入 y 2 2 px 得 y2 4ty 4t 2 0 ， 解 得
（ A）
（B）
（ C）
（D）
（ 10）执行右面的程序框图，如果输入的
x 0, y 1, n=1,则输出 x, y 的值满足
（ A） y 2x
（ B） y 3x
（ C） y 4x
（ D） y 5x
（ 11）平面 过正文体 ABCD— A1B1C1D1 的顶点 A // 平面 CB1D1 , I 平面 ABCD m ， I 平面 ABB1A1 n ，则 m， n 所成角的正弦值为
（ 6） D
（ 7） A （ 8） B （ 9）D （ 10） C （ 11） A （ 12） C
【试卷】2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 文科数学(一)(附答案)
可知6个口罩中有3个质量超过m，记为A，B，C，另外3个记为d，e，f.
随机抽取2个，所有的情况有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共15种，其中满足条件的有 ， ， ，共3种.
由古典概型的概率得所求概率 .故选：C.
7．C【解析】 ，故 ， .
，对比图像知 满足条件.故选： .
22.（1） ；（2）
【解析】（1）由 ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴点 的极坐标为 ；
（2）设
，∴ 的最大值为 .
23.（1） （2）4
【解析】试题解析：（1）由题意，知不等式 解集为 由 ，得 ，
所以，由 ，解得 ．
（2）不等式 等价于 ，
由题意知 ．因为 ，
所以 ，即 对任意 都成立，则 ．
而 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.
（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为 (元)，
所以该公司平均每天的利润有1000元．
（3）设四件礼物分为二个包裹E、F，因为礼物A、C、D共重 （千克），
礼物B、C、D共重 （千克），都超过5千克，
故E和F的重量数分别有 ， ， ， ， 共5种，
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（一）
参考答案
1．A【解析】因为 ，所以， ，所以， 故选A.
2．A【详解】函数定义域满足： ，即 ，所以 ，
函数 的值域 ，所以 ，故选：A.
3．C【详解】因为动点 满足 ，作出可行域如图所示阴影部分：由图可知：点 到直线x-y=0的距离最小，此时， ，
（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；
（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？
2020-2021学年(新课标i卷)高考数学文科模拟试题及答案解析
绝密★启封并使用完毕前试题类型：普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）13（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（A （B C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c<log b c （B ）log c a<log c b （C ）a c<b c（D ）c a>c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n=1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）3（B ）22（C ）3（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x=. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。
全国1卷2021届高三第二次模拟考试卷文科数学(二)【含答案】
全国1卷2021届高三第二次模拟考试卷文科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，2,,B y y x y x ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭Z Z ，则A B =（ ） A ．{}2,1,1,2-- B ．{}2,1,0,1,2-- C ．{}1,1-D ．{}2,2-2．已知()1i 2z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知直线()1:21230l x a y a +-+-=，22:340l ax y a +++=，则“12//l l ”是“32a =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如果执行下面的程序框图，输入6n =，3m =，那么输出的p 等于（ ）A ．360B ．240C ．120D ．605．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x =R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]3.74-=-，[]2.32=．已知()1112x x e f x e -=-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}2,1,0--D ．{}1,0,1-6．若实数,x y 满足约束条件21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则2269z x y x =+-+的最小值是（ ） A 2B ．2C ．4D ．127．若两个非零向量a 、b 满足2+=-=a b a b a ，则向量+a b 与-a b 的夹角是（ ）A ．π2B ．5π6C ．π3D ．2π38．已知等差数列{}n a 满足11a =，1010a =，则数列18n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为（ ）A ．118B ．115C ．344D ．11493 ）①tan 25tan 35325tan 35︒+︒︒︒；②()2sin35cos25cos35cos65︒︒+︒︒；③1tan151tan15+︒-︒；④1tan151tan15-+︒︒．A ．①②B ．③C ．①②③D ．②③④10．在区间[]0,1上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是（ ）A ．1225B ．1625C ．1725D ．242511．设函数()32()sin ln 13f x ax b x c x x =+++++的最大值为5，则()f x 的最小值为（ ）A ．5-B ．1C ．2D ．312．已知O 为坐标原点，A ，B 分别是双曲线22:1169x y C -=的左、右顶点，M 是双曲线C 上不同于A ，B 的动点，直线AM ，BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，则||||OP OQ ⋅=（ ） A ．16 B ．9C ．4D ．3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若一组数据123,,,,n x x x x 的平均数是30，另一组数据112233,,,,n n x y x y x y x y ++++的平均数是70，则第三组数据12341,41,41,,41n y y y y ++++的平均数是___________．14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A 、B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C 、D ，测得45m CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A 、B 两点的距离为______m ．15．在正三棱锥S ABC -中，6AB BC CA ===，点D 是SA 的中点，若SB CD ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为___________．16．已知函数2,1()43,13xe xf x x x x ⎧≤⎪=⎨-+-<<⎪⎩，若关于x 的方程()20f x k x -+=有三个不同实数根，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）设数列{}n a 满足()*122222nn a a a n n +++=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，AC PB ⊥，22PB AB PD ==．（1）证明：PD ⊥平面ABCD ．（2）若四棱锥P ABCD -的体积为12，求点D 到平面PBC 的距离．19．（12分）2020年11月24日我国使用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号月球探测器，12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功．某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为100分，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组：[)30,40，[)40,50，⋯，[]90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）估计这100名学生测试分数的中位数；（2）把分数不低于80分的称为优秀，已知这100名学生中男生有70人，其中测试优秀的男生有45人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为测试优秀与性别有关；男生 女生 优秀 不优秀附：20()P K k ≥0.050 0.010 0.0010k 3.841 6.635 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++． （3）对于样本中分数在[)80,90，[]90,100的人数，学校准备按比例从这2组中抽取12人，在从这12人中随机抽取3人参与学校有关的宣传活动，记这3人分数不低于90分的学生数为X ，求X 的分布列．20．（12分）已知函数()2f x ax =，()lng x x =．（1）当1a =时，求()()f x g x -的最小值； （2）若曲线()y f x =与y g x 有两条公切线，求a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆2C 与221:143x y C +=的离心率相同，过2C 的右焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆2C 截得的线段长为32 （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若直线:3l y x m =+与椭圆1C 、2C 的交点从上到下依次为C 、A 、B 、D ，且45AC =，求m 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3131213x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 与极轴交于点N ，且动点M 满足1MN =． （1）求直线l 的极坐标方程和点M 的轨迹的极坐标方程C ；（2）若直线()π4θρ=∈R 分别交直线l 、曲线C 于点A ，B （非极点），求11OA OB +的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|2|f x x a =+，()||g x x b =-． （1）若1a =，3b =，解不等式()()4f x g x +≥；（2）当0a >，0b >时，()2()f x g x -的最大值是3，证明：22942a b ≥+．文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】因为{}{}{}230,33,1,0,1A x x x x x x =-≤∈=≤≤∈=-Z Z ，{}2,,2,1,1,2B y y x y x ⎧⎫==∈∈=--⎨⎬⎩⎭Z Z ，所以{}2,1,0,1,2AB =--，故选B ．2．【答案】D 【解析】由题意22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2z --====-++-，对应点为(1,1)-，在第四象限， 故选D ． 3．【答案】C【解析】若12//l l ，则()213a a -=，解得32a =或1a =-， 当1a =-时，1:350l x y --=，2:350l x y -++=，直线1l ，2l 重合，32a ∴=， ∴充分性成立；当32a =时，1:20l x y +=，225:206l x y ++=，显然12//l l ，∴必要性成立， ∴故“12//l l ”是“32a =”的充要条件，故选C ．4．【答案】C【解析】程序在执行过程中，,p k 的值依次为1,1p k ==； 4,2p k ==； 20,3p k ==；120p =，此时k m <不成立，结束循环，输出120p=，故选C．5．【答案】C【解析】()1112121 121212 x xxx xe ef xe e e-+-=-=-=-++++，当0x≥时，1xe≥，则2101xe-≤-<+，故()2111,1222xf xe⎡⎫=-+∈-⎪⎢+⎣⎭，故(){}1,0f x∈-⎡⎤⎣⎦；但0x<时，01xe<<，则2211xe-<-<-+，故()2131,1222xf xe⎡⎫=-+∈--⎪⎢+⎣⎭，(){}2,1f x∈--⎡⎤⎣⎦，综上所述，函数()y f x⎡⎤=⎣⎦的值域为{}2,1,0--，故选C．6．【答案】B【解析】画出约束条件210110x yxx y-+≥⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩或210110x yxx y-+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图所示：则()2222693z x y x x y=+-+=-+表示可行域内的点到定点()3,0距离的最小值，过()3,0作10x y--=的垂线，距离为2231211d-==+z的最小值为22d=，故选B．7．【答案】D【解析】在等式+=-a b a b两边同时平方可得222222+⋅+=-⋅+a ab b a a b b，∴⋅=a b，在等式2+=a b a 两边同时平方可得22224+⋅+=a a b b a ，3∴=b ，()()222222∴+⋅-=-=-=-a b a b a b a a ，所以，()()221cos ,222-+⋅-<+->===-+⋅-⨯aa b a b a b a b a b a ba a ，0,π≤<+->≤a b a b ，所以，2π,3<+->=a b a b ，故选D ． 8．【答案】C【解析】因为数列{}n a 是等差数列，11a =，1010a =， 所以1019a a d =+，解得1d =，n a n =， 则()()2181818989n n n a n n a a n n n n n n++===++++++， 因为8892+992n n n n++≥⨯=+22n = 所以当2n =时，231011815292a a a ==++；当3n =时，341113844393a a a ==++， 故数列18n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为344，故选C ． 9．【答案】C【解析】对于①，由于()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-， 所以tan 25tan 35325tan 35︒+︒︒︒()[]()tan 25351tan 25tan35325tan35tan 25353=︒+︒-︒︒︒︒=︒+︒=对于②，由于cos65sin 25︒=︒，所以()()2sin35cos25cos35cos652sin35cos25cos35sin 25︒︒+︒︒=︒︒+︒︒2sin 603=︒=对于③，因为tan 451︒=，1tan15tan 45tan15tan 6031tan151tan 45tan15++︒︒===-︒︒︒︒-︒；对于④，因为tan 451︒=，1tan15tan 45tan153tan 301tan151tan 45tan15︒︒-︒︒︒︒︒-===++， 故选C ． 10．【答案】C【解析】设所取的两个数分别为x 、y ， 则事件构成的全部区域为(){},01,01x y x y Ω=≤≤≤≤，区域Ω是边长为1的正方形区域， 事件“这两个数之和小于65”构成的区域为()6,01,01,5A x y x y x y ⎧⎫=≤≤≤≤+<⎨⎬⎩⎭，如下图所示：直线65x y +=交直线1y =于点1,15⎛⎫⎪⎝⎭，区域A 表示的是图中阴影部分区域． 则三角形区域是直角边长为45的等腰直角三角形， 区域A 的面积为22141712525A S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，因此，事件“这两个数之和小于65”的概率为2171725125A S P S Ω===．故选C ．11．【答案】B【解析】由题可知，(32()sin ln 13f x ax b x c x x =++++，设(32()sin ln 1g x ax b x c x x =+++，其定义域为R ，又()32()()sin ln(()1)g x a x b x c x x -=-+-+-+-+，即()32sin ln(1)g x ax b x c x x -=-+-+-，由于()()((22ln 1ln 1g c x x c x g x x x -++=++-+(()222211ln 1ln10ln x x x x c x x c c +-+=+-===，即()()0g x g x -+=，所以()g x 是奇函数， 而()()3f x g x =+，由题可知，函数()f x 的最大值为5， 则函数()g x 的最大值为532-=，由于()g x 是奇函数，得()g x 的最小值为2-， 所以()f x 的最小值为231-+=，故选B ． 12．【答案】B【解析】设动点00(),M x y ，由双曲线方程可得(4,0)A -，(4,0)B ， 则004AM y k x =+，004BM y k x =-，所以直线AM 的方程为00(4)4y y x x =++，直线BM 的方程为00(4)4y y x x =--， 由此可得004(0,)4y P x +，004(0,)4y Q x --， 所以200020004416··()4416y y y OP OQ x x x =-=+--．因为动点M 在双曲线22:1169x y C -=上，所以22001169x y -=，所以2200169(16)y x =-，则22002200169(16)·91616y x OP OQ x x -===--，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】161【解析】数据112233,,,,n n x y x y x y x y ++++共有n 个，其平均数为111111()3070n n ni i i i i i i x y x y y n n n ===+=+=+=∑∑∑，因此40y =，故数据12341,41,41,,41n y y y y ++++的平均数是4401161⨯+=，故答案为161．14．【答案】455【解析】在ACD △中，150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒，15DCA =︒∠，15DAC ∴∠=︒，()45m AD CD ∴==，在BCD △中，15BDC ∠=︒，135BCD ACB ACD ∠=∠+∠=︒，30CBD ∴∠=︒，由正弦定理可得sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，)2452452m 12BD ∴==，在ABD △中，()45m AD =，)452m BD =，135ADB ∠=︒， 由余弦定理可得22222cos 455AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=⨯， 因此，)455m AB =，故答案为455 15．【答案】54π【解析】设ABC △的中心为G ，连接SG ，BG ，∴SG ⊥平面ABC ，AC ⊂面ABC ，∴SG AC ⊥，又AC BG ⊥，BGSG G =，∴AC ⊥平面SBG ，SB ⊂平面SBG ，∴AC SB ⊥，又SB CD ⊥，ACCD C =，∴SB ⊥平面ACS ．,SA SC ⊂平面ACS ，SB SA ∴⊥，SB SC ⊥，∵S ABC -为正三棱锥，∴SA ，SB ，SC 两两垂直，32SA SB SC ∴===，故外接球直径为()()()22232323236++=，故三棱锥S ABC -外接球的表面积为2364π54π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为54π．16．【答案】151(0,),3e e ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】当13x <<时，()243f x x x =-+-，令243y x x =-+-，则()2221x y -+=，13x <<， 故此时()f x 的图象为圆的一部分， 在坐标平面中画出()f x 的图象如下：因为关于x 的方程()20f x k x -+=有三个不同的实数根， 所以()y f x =的图象与2y k x =+的图象有3个不同的交点． 当0k ≤时，()y f x =的图象与2y k x =+的图象无交点，舍去；当0k >时，2y k x =+的图象的左边的射线与()y f x =的图象有一个交点，当射线()()22y k x x =+>-与xy e =相切时，设切点为(),a b ，则()2a a e k a e k⎧=+⎨=⎩，故1a =-，1k e =．当射线()()22y k x x =+>-过()1,e 时，3e k =； 当()()22y k x x =+>-与圆()2221x y -+=2411kk =+，故15k =．因为151153ee <<，故当()yf x =的图象与2y k x =+的图象有3个不同的交点时， 有15015k <<或13e k e <≤． 故答案为151,3e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2nn a =；（2）2332n nn T +=-． 【解析】（1）数列{}n a 满足122222n n a a a n +++=， 当2n ≥时，112211222n n a a a n --+++=-， 两式作差有12n na =，所以2nn a =， 当1n =时，12a =，上式也成立，所以2nn a =．（2）22211nn n n a --=， 则211113(21)222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，231111113(21)2222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2311111111221222222nn n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()111111113142221231222212n n n n n +-+⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⨯--=-+⨯ ⎪⎝⎭-，所以2332n nn T +=-． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）677． 【解析】（1）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．因为AC PB ⊥，且BD PB B =，所以AC ⊥平面PBD ．因为PD ⊂平面PBD ，所以AC PD ⊥．因为AB AD =，且60BAD ∠=︒，所以BD AB =， 因为22PB AB PD ==，所以222PD BD PB +=，则PD BD ⊥．因为AC 与BD 相交，所以PD ⊥平面ABCD ．（2）解：由（1）可知PD ⊥平面ABCD ，BD CD =，则2PB PC PD ==．设AB m =，则四棱锥P ABCD -的体积为3131232m ⨯=，解得3m = 在PBC △中，23BC =26PB PC == 则PBC △的面积为123243372⨯-= 设点D 到平面PBC 的距离为h ．因为三棱锥P BCD -的体积为11262⨯=， 所以三棱锥D PBC -的体积为13763h ⨯=，解得67h =即点D 到平面PBC 67． 19．【答案】（1）82.5；（2）列联表见解析，没有95%的把握认为测试优秀与性别有关；（3）分布列见解析．【解析】（1）设这100名学生测试分数的中位数为a ，由前5组频率之和为0.4，前6组频率之和为0.8，可得8090a <<， 所以()0.4800.040.5a +-⨯=，82.5a =． （2）列联表如下：男生 女生优秀 45 15不优秀25 15()2210045152515 1.786 3.84170306040K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为测试优秀与性别有关．（3）由题意可知，12人中分数在[)80,90内的共有8人，分数不低于90分的学生有4人，X 的取值依次为0,1,2,3．()38312C 140C 55P X ===，()2184312C C 281C 55P X ===，()1284312C C 122C 55P X ===，()34312C 13C 55P X ===，所以X 的分布列为：X 0 12 3P14552855125515520．【答案】（1）11ln 222+；（2）12a e >．【解析】（1）当1a =时，令()()()2ln F x f x g x x x =-=-，()()212120x F x x x x x-'=-=>，令()0F x '=且0x >，可得22x =， 2()02F x x '>⇒>；2()002F x x '<⇒<<，即函数()F x 在22⎛ ⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， min211ln 2ln 2221122F F =--⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由函数()f x 和()g x 的图象可知， 当()()f x g x >时，曲线()y f x =与y g x 有两条公切线， 即2ln ax x >在0,上恒成立，即2ln xa x>在0,上恒成立，设()2ln x h x x =，()312ln x h x x -'=，令()312ln 0,xh x x e x -=='= ()00x h x e >⇒<<'()0h x x e <'⇒>即函数()h x 在(e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，即max12h h e e ==，因此，12a e>．21．【答案】（1）22186x y +；（2）3m = 【解析】（1）设椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，将x c =代入2C 的方程可得22221c y a b +=，解得2by a=±．由题意得222212232c aba c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得226a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 因此2C 的方程为22186x y +．（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y 、()44,D x y ，由22433x y y x m λ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2215834120x mx m λ++-=（1λ=或2）， l 与1C 、2C 相交，只需当1λ=时，()()22216436041248150Δm m m =⨯--=->，解得1515m <<当2λ=时，()()22226436042448300Δm m m =⨯--=->，由韦达定理可得12348315mx x x x +=+=-，所以，AB 与CD 的中点相同， 所以，2CD ABAC -=， 即()()()22341248304815122m m AC x x x x --=⨯⨯---=224330154155m m --==，整理可得23m =，解得3m =22．【答案】（1）:2cos 3sin 20l ρθρθ--=；2:cos C ρθ=；（232． 【解析】（1）由3131213x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）得2320x y --=，∴直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 20ρθρθ--=． 令0θ=，得1ρ=，∴点()1,0N ，由1MN =得点M 的轨迹为以点()1,0N 为圆心，1为半径的圆， ∴点M 的轨迹方程为()2211x y -+=，∴2cos ρθ=．（2）联立2cos 3sin 20π4ρθρθθ--=⎧⎪⎨=⎪⎩，得2ρ=- ∴点π22,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22OA = 联立2cos π4ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得2ρ=π2,4B ⎫⎪⎭，2OB =，∴1132222OA OB +== 23．【答案】（1）2,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）证明见解析．【解析】（1）当1a =，3b =时，123,21()()|21||3|4,3232,3x x f x g x x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪+=++-=+-<≤⎨⎪->⎪⎪⎩， 当12x ≤-时，由234x -≥，解得23x ≤-；当132x -<≤时，44x +≥，解得03x ≤≤； 当3x >时，由324x -≥，解得3x >， 所以不等式()()4f x g x +≥的解集为2,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．（2）当0a >，0b >时，由三角不等式得()2()|2|2|||2||22||222|2f x g x x a x b x a x b x a x b a b -=+--=+--≤+-+=+，所以23a b +=．因为222422a b a b ++≤223422a b +≤ 所以22942a b ≥+． 当且仅当2a b =，即32a =，34b =时取得等号．。
2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷一(附带答案及详细解析)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（模拟卷一）本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前， 先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸 和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答 题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后， 请将本试卷和答题卡-并上交。
一、选择题：1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=（ ）A. {-1，0，1}B. {0，1}C. {-1，1}D. {0，1，2} 2.若z （1+i ）=2i ，则z=（ ）A. -1-iB. -1+iC. 1-iD. 1+i 3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A. 16 B. 14 C. 13 D. 124.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。
某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.85.函数f(x)=2sin x−sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 56.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A. 16B. 8C. 4D. 27.已知曲线y=ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A. a=e，b=-1B. a=e，b=1C. a=e-1，b=1D. a=e-1，b=-18.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A.BM=EN，且直线BM、EN是相交直线BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C. BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于（）A. 2−124B. 2−125C. 2−126D. 2−12710.已知F 是双曲线C ： x 24−y 25=1 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若|OP|=|OF| ，则 △OPF 的面积为（ ）A. 32B. 52C. 72D. 9211.记不等式组 {x +y ⩾6,2x −y ≥0表示的平面区域为D .命题 p:∃(x,y)∈D,2x +y ⩾9 ；命题 q:∀(x,y)∈D,2x +y ⩽12 .下面给出了四个命题（ ）① p ∨q ② ¬p ∨q ③ p ∧¬q ④ ¬p ∧¬q这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）A. ①③B. ①②C. ②③D. ③④ 12.设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）A. f （log 3 14 ）＞ f （ 2−32 ）＞ f （ 2−23 ）B. f（log3 14）＞f（2−23）＞f（2−32）C. f（2−32）＞f（2−23）＞f（log3 14）D. f（2−23）＞f（2−32）＞f（log3 14）二、填空题：13.已知向量a→=(2,2),b→=(−8,6)，则cos<a→,b→>=________.14.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=5,a7=13，则S10=________.15.设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________。
2021届普通高中教育教学质量监测考试全国I卷文科数学答案
2021届普通高中教育教学质量监测考试全国I 卷文科数学试题参考答案1．A 【思路点拨】利用集合的并运算即可求解. 【解析】由{3,2,1}A =---，{2,1,0}B =--， 则{3,2,1,0}A B ⋃=---. 故选：A2．B 【思路点拨】依题意计算2iz+，进一步求出答案.【解析】依题意3i (3i)(2i)2i 2i (2i)(2i)z ---==+++-55i 1i 5-==-，则|1i |2i z =-=+故选：B.3．C 【思路点拨】先求3a b -，利用//(3)a a b -求出答案.【解析】3(3,1)3(,4)a b t -=---(33,13)t =--，又(3) a //a b -， 所以(3)13(33)10t -⨯---⨯=，解得12t =. 故选：C.4．B 【思路点拨】列举出基本事件，用古典概型的概率公式求概率.【解析】从1，2，3，…，50中任取一个数共有50种情况，其中能被4整除的数共有4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48共12个，故所求概率1265025P ==. 故选：B【名师指导】古典概型的概率计算中列举基本事件的方法： （1）枚举法；（2）列表法；（3）坐标法；（4）树状图法.5．B 【思路点拨】根据对数速算的原理，求得该数所处的指数范围，然后换算成对数，对应于表中的数值即可.【解析】设这个正整数为a ，因为a 的62次方是个49位数，所以4862491010a ≤<，即4849lg 6262a ≤<，则lg 0.790.77a ≤<，结合表中数据易知，a 6=. 故选：B.6．A 【思路点拨】根据函数()f x 的是偶函数，求出a ，从而进一步求出(2)f .【解析】若1(1)8f =，则1(1)8f -=，即131(1)228af ----===， 解得2a =.所以221(2)(2)216f f --=-==. 故选：A.7．D 【思路点拨】根据空间中的线线，线面，面面关系一一分析即可.【解析】对于A 项，需要加上n 与l 相交才符合线面垂直的判定定理，故A 错误； 对于B 项，有可能m α⊂，故B 错误；对于C 项，m 与β没有关系，斜交､垂直平行都有可能，故C 错误； 对于D 项，若n β⊥，//αβ，则n α⊥，而//m α，故m n ⊥，故D 正确. 故选：D.8．D 【思路点拨】首先求出函数3cos 47y x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭平移和伸缩变化后的函数，然后利用函数的对称中心求出答案.【解析】若将函数3cos 47y x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，可得3cos 27y x π⎫⎛=-⎪⎝⎭， 然后向左平移12π个单位长度，可得3cos 2127y x ππ⎡⎤⎫⎛=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3cos 242x π⎫⎛=+ ⎪⎝⎭， 令2()422x k k πππ+=+∈Z ，得5()221k x k ππ=+∈Z ， 则得到的函数图象的称中心为5,0()221k k ππ⎫⎛+∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：D.9．B 【思路点拨】利用抛物线的焦点求出椭圆的一个焦点，根据2314a =+=，求出a ，进一步求出离心率.【解析】抛物线21:4C y x =-的焦点为(1,0)-，则椭圆2222:1(0)3x y C a a +=>的一个焦点为(1,0)-，则2314a =+=，解得2a =，所以2C 的离心率为12e =. 故选：B.10．C 【思路点拨】根据题目条件可知()02f x '=，进一步求出切点坐标，从而求出a 的值.【解析】由已知，()02f x '=.因为()2cos sin f x x x '=+， 所以()0002cos sin 2f x x x '=+=，联立0022002cos sin 2cos sin 1x x x x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得00cos 2sin 2x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00cos sin 10x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为0,6x ππ⎫⎛∈⎪⎝⎭，所以0cos 1,2x ⎛∈- ⎝⎭，而102>，故00cos 10sin 10x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩舍去，综上，00cos 2sin 2x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以04x π=，则0002sin cos 2y x x =-=，将()00,A x y代入2y x a =+中，得224a π=⨯+，解得a =-. 故选：C.11．B 【思路点拨】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式、余弦函数的单调性进行求解即可.【解析】因为5cos 7α=>02πα<<，所以04πα<<，sin α==又304πβ<<，所以344ππαβ-<-<，由3cos()52αβ⎛-=∈ ⎝⎭， 可知24ππαβ-<-<，故4sin()5αβ-=-，从而可求得：cos cos[()]βααβ=--=cos cos()sin sin()ααβααβ-+-5347575⎫⎛=⨯+⨯- ⎪⎝⎭1535-=. 故选：B12．D 【思路点拨】由题意可得122F AF π∠=，且2AOF △是等边三角形，所以2AF c =，112sin3AF F F π==，再根据双曲线的定义得122AF AF c a -=-=，由ce a= 即可求解.【解析】如图，设双曲线C 的半焦距为c . 若16OAF π∠=，因为以原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线C 在第一象限交于点A ，所以122F AF π∠=，所以1||OA OF =，所以116OF A OAF π∠=∠=，所以2113AOF OF A OAF π∠=∠+∠=，又2||OA OF =，则2AOF △是等边三角形，则2AF c =，则112sin3AF F F π=2c ==，再根据双曲线的定义得122AF AF c a -=-=，得1)2c a -=，所以c a ==1=.故选：D13．16【思路点拨】画出可行域求解.【解析】作出不等式组4224x y x y x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤-⎩，所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，观察可知，平移直线3z x y =+，当直线3z x y =+过点P 时，z 有最大值；联立424x y x =⎧⎨=-⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩，故3z x y =+的最大值为43416+⨯=. 故答案为:16.14．0.78【思路点拨】根据概率中独立事件概率的定义计算即可. 【解析】设抽到一等品､二等品､三等品的事件分别为A ，B ，C .则()()0.93()()0.85()()()1P A P B P A P C P A P B P C +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，解得()0.07()0.15()0.78P C P B P A =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则抽到一等品的概率为0.78. 故答案为：0.78.15．-由53BD A AC DC B ==，由余弦定理求出5AB =，3AC =，进而由余弦定理可得tan 13B =，再由ABD ACDS BDS DC=，根据三角形的面积公式得出60BAD CAD ∠=∠=︒，由()tan tan 60BDA B ∠=-+︒即可求解.【解析】因为53BD A AC DC B ==. 由余弦定理得222cos12049AB AC AB AC +-⋅︒=， 整理得2249AB AC AB AC ++⋅=，解得5AB =，3AC =，故22213cos 214BA BC AC B BA BC +-==⋅，所以sin 14B =，所以tan B = 由ABDACDS BD S DC ==△△1sin 21sin 2AB AD BAD AC AD CAD ⋅∠⋅∠，得sin sin BAD CAD ∠=∠，即60BAD CAD ∠=∠=︒，故()tan tan 60BDA B ∠=-+︒=13413+=-=-故答案为：-16．5【思路点拨】设二十四等边体的棱长为1，计算其表面积，再计算正四面体魔方的表面积，即可解得.【解析】设该二十四等边体的棱长为1，则正四面体魔方的棱长也为1，则该二十四等边体的表面积为221816162⨯⨯+⨯=+，正四面体的表面积为214122⨯⨯⨯=2 5.46=≈，所以至少可以涂5个这样正四面体魔方.故答案为：5.17．【思路点拨】（1）利用基本量代换求出通项公式；（2）把112n n a a +转化为112n n a a +113532n n =---，利用裂项相消法求和.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .因为2a ，3a ，7a 成等比数列，所以2327a a a =.又14a =-，所以2(42)(4)(46)d d d -+=-+-+，化简得2(6)0d d -=， 又公差不为0，所以6d =.故1(1)n a a n d =+-=4(1)6610n n -+-⨯=-. （2）依题意，11212(610)(64)n n a a n n +=--311(35)(32)3532n n n n ==-----，故111111211447n T =-+-+-+⋅⋅⋅+-1111335322322(23)n n n n n -=-=-----. 【名师指导】(1)数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由S n 求a n ；④累加（乘）法；⑤由递推公式求通项公式； (2)数列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③分组求和法；④裂项相消法；⑤错位相减法．18．【思路点拨】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OF ，判断F 为BE 的中点，根据线面平行的判定证//DE 平面ACF ；（2）应用勾股定理、余弦定理求AC ，AF ，CF ，cos AFC ∠，利用三角形面积公式求AFC S △，根据等体积法求点面距离.【解析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OF ，则O 为BD 的中点， ∵E ，F 为PB 的两个三等分点，∴F 为BE 的中点，则//OF DE ，又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF ， ∴//DE 平面ACF .（2）∵3PA AD AB ===，由勾股定理得223332AC =+=22215AF =+=22231111CF =++= 由余弦定理得222(5)(11)(32)cos 2511AFC ∠=⨯⨯55=2154sin 15555AFC ⎫⎛∠=--= ⎪⎝⎭∴154365112255AFC S ==△，设点B 到平面ACF 的距离为d . 由B ACF F ABC V V --=，得213611313232d ⨯⨯=⨯⨯⨯，解得62d =. ∴点B 到平面ACF 6【名师指导】关键点点睛：（1）由等分点，结合中点的性质证线线平行，根据线面平行的判定证线面平行； （2）应用等体积法求点面距离.19．【思路点拨】（1）由频率分布直方图联立方程，求出答案； （2）由频率分布直方图，直接求平均分；（3）分别求出该中学数学分数在[50,60)和[60,70)的频率和人数进一步求出答案.【解析】（1）由频率分布直方图可得(0.030.035)10123m n n m n ++++⨯=⎧⎨=⎩，解得0.0150.01m n =⎧⎨=⎩.（2）由频率分布直方图可得， 估计该中学数学测试的平均分为(550.01650.015750.035⨯+⨯+⨯+850.03950.01)1076.5⨯+⨯⨯=.（3）因为该中学数学分数在[50,60)的频率是0.01100.1⨯=， 所以估计该中学数学分数在[50,60)的人数是15000.1150⨯=； 同理，因为该中学数学分数在[60,70)的频率是0.015100.15⨯=， 所以估计该中学数学分数在[60,70)的人数是15000.15225⨯=. 所以估计该中学数学分数在[50,70)的人数为150225375+=.20．【思路点拨】（1）根据椭圆的定义可得2MNF ，12MF F △的周长分别为4,22a a c +，结合222a b c =+可得答案.(2)根据题意设出直线l 的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，由1||MF m MN =，得出11MF F N，得出,M N 的纵坐标12,y y 的关系，从而可求出答案.【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为2MNF ，12MF F △的周长分别为8，6，所以根据椭圆的定义得22248226a a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由条件1||MF m MN =，且2334m ≤<，则12MF MF >,所以直线l 的斜率存在. 根据题意，可设直线l 的方程为(1)(0).y k x k =+>.联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()22234690k y ky k +--=，则()2214410kk∆=+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122634k y y k +=+①，2122934k y y k -=+②， 又1||MF m MN =，且2334m ≤<，则11[2,3)1MF m F N m =∈-. 设1mmλ=-，[2,3)λ∈， 则11MF F N λ=，所以12y y λ③，把③代入①得()226(1)34k y k λ=-+，()126(1)34ky k λλ-=-+，并结合②可得()2212222236934(1)34k k y y k k λλ--==+-+，则22(1)434kλλ-=+，即214234k λλ+-=+， 因为12λλ+-在[2,3)λ∈上单调递增，所以114223λλ≤+-<，即21442343k ≤<+，且0k >，解得0k <≤，即0tan θ<≤，所以0sin θ<≤. 故sin θ的取值范围是0,3⎛ ⎝⎦. 【名师指导】关键点睛：本题考查求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，解答本题的关键是由122634k y y k +=+，2122934k y y k-=+，又1||MF m MN =，且2334m ≤<，则11[2,3)1MF mF Nm=∈-，得出关系求解，属于中档题. 21．【思路点拨】（1）函数定义域为(0,)+∞，求导22()axf x x-'=，再分0a ≤和0a >两种情况讨论求解即可得答案； （2）根据题意得22ln 222x x a x x ++≥+在(0,)+∞上恒成立，故令22ln 22()2x xh x x x++=+，求函数()h x 最大值即可得答案.【解析】（1）函数()2ln 22f x x ax =-+的定义域是(0,)+∞.222()2ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '<，得1x a >；令()0f x '>，得10x a<<， 故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）不等式()()f x g x ≤为22ln 222x ax ax x -+≤-，所以不等式22(ln 1)22x ax ax x +≤+-在(0,)+∞上恒成立， 所以22ln 222x x a x x++≥+在(0,)+∞上恒成立. 设22ln 22()2x x h x x x ++=+，则()222(1)(2ln )()2x x x h x x x ++'=-+， 当0x >时，10x +>，()2220x x +>，又()2ln x x x ϕ=+在(0,)+∞上是增函数，112ln 2022ϕ⎫⎛=-<⎪⎝⎭，(1)10ϕ=>， 所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00x ϕ=， 当00x x <<时，()0x ϕ<，()0h x '>；当0x x >时，()0x ϕ>，()0h x '<，即()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，()0002ln 0x x x ϕ=+=，00ln 2x x =-， 则()00max 02002ln 22()2x x h x h x x x ++==+02000212x x x x +==+，所以01a x ≥，因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以01(1,2)x ∈，又因为a ∈Z ，所以min 2a =，所以a 的最小值为2.【名师指导】本题考查利用导数求解函数的单调区间，研究不等式恒成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，是难题.“隐零点”问题：求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点.我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题．我们称这类问题为“隐零点”问题（零点大小确定的叫“显零点”）．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程0()0f x '=，并结合()f x 的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；第二步：以零点为分界点，说明导函数()'f x 的正负，进而得到()f x 的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；第三步：将零点方程0()0g x =适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征） 22．【思路点拨】（1）由22cos sin 1θθ+=可将曲线C 的参数方程化为普通方程，利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出直线l 的直角坐标方程；（2）设点()2cos ,sin Q θθ，利用点到直线的距离公式、辅助角公式以及余弦函数的有界性可求得PQ 的最小值.【解析】（1）由2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩得，2222cos sin 12x y θθ⎫⎛+=+= ⎪⎝⎭，即2214x y +=， 故曲线C 的普通方程是2214x y +=. 由2cos 3sin 12ρθρθ-=及公式cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，得2312x y -=，故直线l 的直角坐标方程是23120x y --=；（2）直线l 的普通方程为23120x y --=，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 设()2cos ,sin Q θθ，点Q 到直线23120x y --=距离为d =125cos θϕ-+==（其中3tan 4ϕ=）， 当()cos 1θϕ+=时，mind =min PQ =【名师指导】方法点睛：解决与圆或椭圆有关的最大值和最小值以及取值范围的问题，常常设圆或椭圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值以及取值范围的问题，注意三角恒等式()sin cos a b θθθϕ+=+（其中tan b aϕ=，其中0a ≠，且角ϕ的终边过点(),a b ）.23．【思路点拨】（1）分2x <-，21x -≤≤-，1x >-三种情况求解即可得答案.（2）结合(1)的结论首先确定函数()f x 的最小值，再解()min 34a f x -≥即可得答案.【解析】（1）依题意，|33||2|10x x +++>. 当2x <-时，33210x x ---->，解得154x <-； 当21x -≤≤-时，33210x x --++>，解得112x <-，无解； 当1x >-时，33210x x +++>，则54x >，故54x >； 故不等式()10f x >的解集为155,,44⎫⎫⎛⎛-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭.（2）依题意，()|33||2|f x x x =+++45,221,2145,1x x x x x x --<-⎧⎪=---≤≤-⎨⎪+>-⎩，由一次函数的性质知，()f x 在(],1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增， 所以()min ()11f x f =-=，即()f x 的值域为[1,)+∞，因为方程()34f x a =-有实数解，所以341a -≥，解得12a ≤， 故实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【名师指导】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学试题 (文科)解析版
绝密★启封并使用完毕前试题类型：注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1 至3 页,第Ⅱ卷3 至5 页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A ={1, 3,5, 7}, B ={x 2 x 5},则A B =（）（A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7}【答案】B考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.(2) 设(1 + 2 i)(a + i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=（）（A）－3 （B）－2 （C）2 （D）3【答案】A【解析】试题分析：(1 + 2i)(a +i) =a - 2 + (1 + 2a)i ,由已知,得a - 2 = 1 + 2a ,解得a =-3 ,故选A. 考点：复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类5 问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i 2= -1中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.（3）为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）【答案】C1 （A ）31 （B ）22（C ）35 （D ）6考点：古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答常见错误是在用列举 法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举. （4）△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c.已知 a =, c = 2, cos A = 2,则b=（ ）3（A ） 【答案】D 【解析】（B ） （C ）2 （D ）3试题分析：由余弦定理得5 = b 2+ 4 - 2 ⨯ b ⨯ 2 ⨯ 2 ,解得b = 3（ b = - 1舍去）,故选 D.33考点：余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b 的一元二次方程, 再通过解方程求 b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！（5）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的1,则该椭4圆的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】B 【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中, OF = c, OB = b, OD = 1 ⨯ 2b = 1b4 223在Rt∆OFB 中, | OF | ⨯ | OB |=| BF | ⨯ | OD |,且a2 = b2 + c2 ,代入解得a2 = 4c2 ,所以椭圆得离心率得e =1,故选B. 2x考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求e .（6）若将函数π的图像向右平移1个周期后,所得图像对应的函数为（）y=2sin (2x+ )6 4（A）π（B）π（C）π（D）πy=2sin(2x+ )4y=2sin(2x+ )3y=2sin(2x– )4y=2sin(2x– )3【答案】D考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x 而言的,不用忘记乘以系数.（7）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π,则它的表面积是（）3yD BF O（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A【解析】考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.（8）若a >b > 0 , 0 <c < 1,则（）（A）log a c<log b c （B）log c a<log c b （C）a c<b c（D）c a>c b【答案】B【解析】试题分析：由0 <c < 1可知y = logc x 是减函数,又a >b > 0 ,所以logca < logcb ．故选B.本题也可以用特殊值代入验证.考点：指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.（9）函数y = 2x2 -e x 在[-2, 2]的图像大致为（）（A）（B）（C）（D）【答案】D考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.（10）执行右面的程序框图,如果输入的x = 0, y =1, n=1,则输出x, y 的值满足（）（A）y = 2x （B）y = 3x （C）y = 4x （D）y = 5x【答案】C【解析】试题分析：第一次循环：x = 0, y = 1, n = 2,第二次循环：x =1, y = 2, n = 3, 2第三次循环：x =3, y = 6, n = 3,此时满足条件x2 +y2 ≥ 36 ,循环结束, x =3, y = 6 ,满足2 2y = 4x ．故选C考点：程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.（11）平面α过正文体ABCD—A1B1C1D1 的顶点Aα//平面CB1D1 ,α 平面ABCD =m ,α 平面ABB1 A1 =n ,则m,n 所成角的正弦值为（）（A）2【答案】A （B）2（C）3（D）13考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.323【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定 角、连线成形,解形求角、得钝求补.（12）若函数 f (x ) = x - 1sin 2x + a sin x 在(-∞, +∞)单调递增,则 a 的取值范围是（）3（A ） [-1,1] （B ） ⎡-1, 1 ⎤（C ） ⎡- 1 , 1 ⎤（D ） ⎡-1, -1 ⎤【答案】C⎣⎢ 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 3 3⎥⎦ ⎣⎢ 3⎥⎦考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调 性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值 域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题,每小题 5 分 （13）设向量 a =(x ,x +1),b =(1,2),且 a ⊥ b ,则 x = .【答案】 - 23【解析】试题分析：由题意,a ⋅b = 0, x + 2(x +1) = 0,∴ x = - 2. 3考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若a =(x1, y1 ),b =(x2 , y2 ),则a ⋅b =x1 y1+x2y2 .（14）已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4【答案】-43 )= 35,则tan(θ–π4)=.【解析】试题分析：由题意sin⎛θ+π⎫= sin ⎡⎛θ-π⎫+π⎤= cos ⎛θ-π⎫=3,4 ⎪⎢ 4 ⎪ 2 ⎥ 4 ⎪5⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭因为2kπ+3π<θ< 2kπ+ 2π(k ∈Z ),所以2kπ+5π<θ-π< 2kπ+7π(k ∈Z ),2从而sin4 4 4．⎭考点：三角变换【名师点睛】三角函数求值,若涉及到开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换.（15）设直线y=x+2a 与圆C：x2+y2-2ay-2=0 相交于A,B 两点,,则圆C 的面积为【答案】4π考点：直线与圆【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r、弦长l、⎛l ⎫2r 2 =d 2 + ⎪圆心到弦的距离d 之间的关系：⎝2 ⎭在求圆的方程时常常用到.⎛θ- π ⎫=- 4,因此tan⎛θ- π ⎫=- 4．故填- 4⎝ 4⎪⎭ 5⎝ 4 ⎪ 3 3⎪x ⎩ ⎪ （16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】 216000 【解析】试题分析：设生产产品 A 、产品 B 分别为 x 、 y 件,利润之和为 z 元,那么⎧1.5x + 0.5 y 150, ⎪x + 0.3y 90, ⎨5x + 3y 600, ①⎪ 0, ⎪⎩ y 0.目标函数 z = 2100x + 900 y .⎧10x + 3 y = 900 取得最大值.解方程组 ⎨5x + 3y = 600,得 M 的坐标(60,100) .所以当 x = 60 , y = 100时, z max = 2100⨯ 60 + 900⨯100 = 216000 .故生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216000 元. 考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约 束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.（17）.（本题满分 12 分）已知{a n }是公差为 3 的等差数列,数列{b n }满足b =1，b = 1，a b + b = nb ,. 1 2 3 n n +1 n +1n（I ）求{a n }的通项公式； （II ）求{b n }的前 n 项和.【答案】（I ） a = 3n -1（II ） 3 - 1. n2 2⨯ 3n -1（II ）由（I ）和 a b + b= nb ,得b = b n,因此{b }是首项为1,公比为 1的等比数列. n n +1n +1 nn +1 3 n 3记{b n }的前 n 项和为 S n ,则1-1 n( 3) 3 1S n = 1- 1 3= - 2 2 ⨯ 3 n -1 . 考点：等差数列与等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程, 利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.（18）.（本题满分 12 分）如图,在已知正三棱锥 P -ABC 的侧面是直角三角形,PA =6,顶点 P在平面ABC 内的正投影为点E,连接PE 并延长交AB 于点G.（I）证明G 是AB 的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．4【答案】（I）见解析（II）作图见解析,体积为3试题解析：（I）因为P在平面ABC 内的正投影为D,所以AB ⊥PD.因为D 在平面PAB 内的正投影为E ,所以AB ⊥DE.所以AB ⊥平面PED ,故AB ⊥PG.又由已知可得, PA =PB ,从而G 是AB 的中点.（II）在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB ⊥PA , PB ⊥PC ,又EF / / PB ,所以EF ⊥PC ,因此EF ⊥平面PAC ,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连接CG ,因为P 在平面ABC 内的正投影为D ,所以D 是正三角形ABC 的中心.由（I ）知, G 是 AB 的中点,所以 D 在CG 上,故CD = 2 CG . 3 由题设可得 PC ⊥ 平面 PAB , DE ⊥平面 PAB ,所以 DE / / PC ,因此 PE = 2 PG , DE = 1 PC .3 3由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA = 6 ,可得 DE = 2, PE = 2 2.在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF = PF = 2.1 1 4 所以四面体 PDEF 的体积V = ⨯ ⨯ 2⨯ 2⨯2 = .3 2 3考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度 不大,以中档题为主.（19）（本小题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有 一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如 果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集 并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）, n 表示购机的同时购买的易损零件数.（I ）若 n =19,求 y 与 x 的函数解析式；（II ）若要求“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值；（III ）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损 零件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？OH ON⎧3800, 【答案】（I ） y = ⎨x ≤ 19, (x ∈ N ) （II ）19（III ）19 ⎩500x - 5700, x > 19,（Ⅱ）由柱状图知,需更换的零件数不大于 18 的概率为 0.46,不大于 19 的概率为 0.7,故 n 的最小值为 19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件,则这 100 台机器中有 70 台在购买易损 零件上的费用为 3800,20 台的费用为 4300,10 台的费用为 4800,因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 1 100(4000⨯ 90 + 4500⨯10) = 4050. 比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.考点：函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解关键是读懂 题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.（20）（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中,直线 l :y =t (t ≠0)交 y 轴于点 M ,交抛物线 C ： y 2 = 2 px ( p > 0) 于点 P ,M 关于点 P 的对称点为 N ,连结 ON 并延长交 C 于点 H .（I ）求 ； （II ）除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.【答案】（I ）2（II ）没有【解答】试题分析：先确定 N (t p 2t 2 ,t ) , ON 的方程为 y = 2t 2 px ,代入 y 2 t = 2 px 整理得 px 2 | OH | - 2t 2 x = 0 , 解得 x 1 = 0 , x 2 = ,得 H ( p ,2t ) ,由此可得 N 为OH 的中点,即 = 2 .（II ） p | ON | 2把直线 MH 的方程 y - t = p x ,与 y 2 = 2 px 联立得 y 2 - 4ty + 4t 2 = 0,解得 y = y = 2t ,2t1 2 即直线 MH 与C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与C 没有其它公共点.（Ⅱ）直线 MH 与C 除 H 以外没有其它公共点.理由如下：直线 MH 的方程为 y - t =px ,即 x = 2t ( y - t ) .代入 y 2 = 2 px 得 y 2 - 4ty + 4t 2 = 0 ,解得 2t py 1 = y 2 = 2t ,即直线 MH 与C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与C 没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、 函数思想及化归思想的应用.（21）（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ( x - 2)e x + a ( x - 1)2．(I)讨论 f ( x )的单调性；(II)若 f ( x )有两个零点,求 a 的取值范围.【答案】见解析(II) (0, +∞)【解析】试题分析：(I)先求得 f '(x ) = (x -1)(e x + 2a ).再根据 1,0,2a 的大小进行分类确定 f ( x )的 单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得 a 的取值范围为(0, +∞).2试题解析：(I)f'(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a). (i)设a ≥ 0 ,则当x ∈(-∞,1)时, f '(x)< 0 ；当x ∈(1, +∞)时, f '(x)> 0 .所以在(-∞,1)单调递减, 在(1, +∞)单调递增. (ii)设a < 0 ,由f '(x)= 0 得x=1 或x=ln(-2a).①若a=-e,则f'(x)=(x-1)(e x-e),所以f (x)在(-∞, +∞)单调递增.②若a >-e,则ln(-2a)<1,故当x ∈(-∞, ln (-2a)) (1, +∞)时, f '(x)> 0 ；2当x ∈(ln (-2a),1)时, f '(x)< 0 ,所以f (x)在(-∞, ln (-2a)), (1, +∞)单调递增,在(ln (-2a),1)单调递减.③若a <-e,则ln (-2a)> 1,故当x ∈(-∞,1) (ln (-2a), +∞)时, f '(x)> 0 ,当2x ∈(1, ln (-2a))时, f '(x)< 0 ,所以f (x)在(-∞,1), (ln (-2a), +∞)单调递增,在(1, ln (-2a ))单调递减.考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲1 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以 O 为圆心, 2(I)证明：直线 AB 与 O 相切；OA 为半径作圆. (II)点 C ,D 在⊙O 上,且 A ,B ,C ,D 四点共圆,证明：AB ∥CD .【答案】(I)见解析(II)见解析在 Rt ∆AOE 中, OE=1 AO ,即O 到直线 AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线 AB 与⊙ O 2相切．（Ⅱ）因为OA = 2OD ,所以O 不是 A , B , C , D 四点所在圆的圆心,设O ' 是 A , B , C , D 四点⎩⎩ 1 2 所在圆的圆心,作直线OO '．由已知得O 在线段 AB 的垂直平分线上,又O ' 在线段 AB 的垂直平分线上,所以OO ' ⊥ AB ．同理可证, OO ' ⊥ CD ．所以 AB // CD ．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系 的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相 似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.（23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程⎧x = a cos t在直角坐标系 x O y 中,曲线 C 1 的参数方程为 ⎨ y = 1+ a sin t （t 为参数,a ＞0）． 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2：ρ= 4 cos θ.（I ）说明 C 1 是哪一种曲线,并将 C 1 的方程化为极坐标方程；（II ）直线 C 3 的极坐标方程为θ=α0 ,其中α0 满足 tan α0 =2,若曲线C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上,求 a ．【答案】（I ）圆, ρ2 - 2ρsin θ+ 1 - a 2 = 0（II ）1试题解析：⑴⎧x = a cos t ⎨ y = 1 + a sin t （ t 均为参数）,∴ x 2 + ( y - 1)2 = a 2 ① ∴ C 为以(0 ，1)为圆心, a 为半径的圆．方程为 x 2 + y 2 - 2 y +1 - a 2 = 0∵ x 2 + y 2 = ρ2 ，y = ρsin θ,∴ ρ2 - 2ρsin θ+ 1 - a 2 = 0 即为C 的极坐标方程 1⑵ C ：ρ= 4cos θ,两边同乘ρ得ρ2 = 4ρcos θ ρ2 = x 2 + y 2 ，ρcos θ= x ∴ x 2 + y 2 = 4x ,即(x - 2)2 + y 2 = 4②C 3 ：化为普通方程为 y = 2x ,由题意： C 1 和C 2 的公共方程所在直线即为C 3①—②得： 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ,即为C 3∴1 - a 2 = 0 ,∴ a = 1考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.（24）（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲已知函数f (x)= x +1 - 2x - 3 .（I）在答题卡第（24）题图中画出y =f (x)的图像；（II）求不等式 f (x)> 1的解集．⎛-∞ 1 ⎫【答案】（I）见解析（II） ，⎪ (1，3) (5，+∞)⎝ 3 ⎭试题解析：⑴如图所示：考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.。
2021年普通高等学校招生全国统一考试 新高考I卷(附答案解析)
本试卷共 4 页, 22 小题. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 用 2B 铅笔将试卷类型 (B) 填 涂在答题卡相应位置上. 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动, 用 橡皮擦干净后, 再选涂其他答案. 答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需 改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求.
A：两组样本数据的样本平均数相同 C：两组样本数据的样本标准差相同
B：两组样本数据的样本中位数相同 D：两组样本数据的样本极差相同
10. 已知 O 为坐标原点, 点 P1(cos α, sin α), P2(cos β, − sin β), P3(cos(α + β), sin(α + β)), A(1, 0), 则 ( ).
D： {2, 3, 4}
A： 6 − 2i
B： 4 − 2i
C： 6 + 2i
D： 4 + 2i
答案：C.
解析：易得 z¯ = 2 + i, z¯ + i = 2 + 2i, 所以 z · (z¯ + i) = (2 − i)(2 + 2i) = 4 + 4i − 2i − 2i2 = 6 + 2i, 选 C.
2021年高三第一次高考模拟考试文科数学 word版含答案
数为
A.B.C.D.
2.若是虚数单位，则
A.B.C.D.
3.若变量满足约束条件，则目标函数的最小值为
A.B.C.D.
4.若，则的值为
A.B.C.D.
5.若向量的夹角为，且，则与
的夹角为
A.B.C.D.
6.若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是,则输入的
的值为
A. B. C. D.
2021年高三第一次高考模拟考试文科数学 word版含答案
考试说明：本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；
13.已知角，由不等式，，
，归纳得到推广结论：
，则实数
14.甲、乙两位同学约定晚饭点到点之间在食堂见面，先到之人等后到之人十五分
钟，则甲、乙两人能见面的概率为
15.已知,动点满足,则的最大
值为
16.在中，内角所对的边长分别为，已知角为锐角,且
，则实数范围为
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组
的人数为60.
（ ）请在图中补全频率分布直方图；
（ ）若大学决定在成绩高的第，组中用分层抽样的方法抽取名学生，并且分成组，每组人进行面试，求分（包括95分）以上的同学在同一个小组的概率.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中中，底面为菱形，，为
7.直线截圆所得劣弧所对圆心
2021年高三高考模拟统一考试(一)数学(文)试题 含答案
UAB2021年高三高考模拟统一考试（一）数学（文）试题 含答案数 学 (文史类) 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号，填写在答题卡内的相关空格上．3.第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4.第Ⅱ卷每题的答案填写在答题卡相应题号下的空格内．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数2－i2＋i＝( )A ． 35－45IB ． 35＋45iC ．1－45iD ．1＋35i 2．已知全集U=R ,集合A={x| 0<x<9, x ∈R}和B={x| -4<x<4, x ∈Z} 关系的韦恩图如图所示,则阴影部分所示集合中的元素共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无穷多个 3．是“直线与直线平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C . 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4．已知sin θ＝45，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )A ．－45B ．－1225C ．2425D ．－24255．右图是一个算法框图，则输出的k 的值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．97. 已知圆C ：的圆心为抛物线 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆 C 相切，则该圆的方程为( ) A ． B ． C ．D ．8．右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数的最小正周期为2，且，则函数的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为（ ）A ． B.C ． D.10．已知函数f （x ）为奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=，则f （）=（ ）A ．B ．C ．D ．11.设F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若点M 在以F 1F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. 2 D..12．若函数在区间内为减函数,在区间为增函数,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．设在的边上,, 若 (为实数),则的值为__________.14．小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小明周末不在家看书的概率为__________.15．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，AB=2，BC=4，且∠ABC=60°，球心到平面ABC 的距离为 , 则球O 的表面积为_________. 16.中,,则的最小值为__________.三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知数列是公差不为零的等差数列，，且是的等比中项. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前项和，求使成立的所有的值.18.(本小题满分12分)已知四棱锥底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，AD ＝2，AB ＝1， E ．F 分别是线段AB ，BC 的中点，（Ⅰ）在PA 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD ；．（Ⅱ）若PB 与平面所成的角为，求三棱锥D--EFG 的体积．19．(本小题满分12分)为预防H 7N 9病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定xx 个流感样本分成三组，测试结果如下表：分组 A 组 B 组 C 组 疫苗有效 673 a b 疫苗无效7790c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33．（I ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取样本多少个？ （II ）已知b≥465，c ≥30，求通过测试的概率．20（本小题满分12分）已知函数f （x ）=，x ∈[1，3]， （I ）求f （x ）的最大值与最小值；（II ）若f （x ）＜4﹣a t 于任意的x ∈[1，3]，t ∈[0，2]恒成立，求实数a 的取值范围． 21．（本题满分12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为A ，以为圆心为半径的圆恰好经过点A 且与直线相切（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过右焦点作斜率为K 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由。
2021年高考全国卷一文科数学试题及答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A 〕{1,3} 〔B 〕{3,5} 〔C 〕{5,7} 〔D 〕{1,7} (2)设的实部与虚部相等，其中a 为实数，那么a=〔A 〕－3 〔B 〕－2 〔C 〕2 〔D 〕3〔3〕为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，那么红色和紫色的花不在同一花坛的概率是〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕〔4〕△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.，，，那么b=〔A 〕 〔B 〕〔C 〕2 〔D 〕3〔5〕直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到的l 间隔 为其短轴长的41，那么该椭圆的离心率为 〔A 〕31 〔B 〕21 〔C 〕32 〔D 〕43〔6〕假设将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移41个周期后，所得图像对应的函数为 〔A 〕y =2sin(2x +4π) 〔B 〕y =2sin(2x +3π) 〔C 〕y =2sin(2x –4π) 〔D 〕y =2sin(2x –3π)〔7〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.假设该几何体的体积是328π，那么它的外表积是〔A 〕17π 〔B 〕18π 〔C 〕20π 〔D 〕28π〔8〕假设a>b>0，0<c<1，那么〔A〕log a c<log b c 〔B〕log c a<log c b 〔C〕a c<b c 〔D〕c a>c b〔9〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔10〕执行右面的程序框图，假如输入的n=1,那么输出的值满足〔A〕〔B〕〔C 〕 〔D 〕〔11〕平面过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,，，那么m ，n 所成角的正弦值为〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕〔12〕假设函数在单调递增，那么a 的取值范围是〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分〔13〕设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，那么x =〔14〕θ是第四象限角，且sin(θ+)=，那么tan(θ–)= .〔15〕设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，假设32AB ，那么圆C 的面积为〔16〕某高科技企业消费产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。