函数模型及其应用学案

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学案15 函数模型及其应用

某机床在生产中所需垫片可以外购，也可自己生产，其中外购的单价是每个1.10元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元.设该厂每月所需垫片x个，则自己生产垫片比外购垫片较合算的条是A.x>1 800B.x>1 600C.x>500D.x>1 400A. x=15,y=12B.x=12,y=15C. x=14,y=10D. x=10,y=14①前三年中，产量增长的速度越来越快；②前三年中，产量增长的速度越来越慢；③第三年中，产品停止生产；④第三年中，这种产品产量保持不变.其中说法正确的是（）A.②与③B.②与④C.①与③D.①与④例1 1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000对数lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0数N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78对数lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2例2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.（1）求y关于x（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.1. 某产品的总成本y （万元）与产量x(台）之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x 2,x ∈(0,240),若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量为（）.A. 100台B.120台C.150台D.180台2、某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）之间的关系用如图所示曲线表示.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为（小时）为（）A.4B. 487 C. 41615 D.53、某商店计划投入资金20万元经销甲、乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P （万元）和Q （万元），且它们与投入资金x （万元）的关系是：P=4x ，Q=x a2（a>0）.若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于5万元，则a 的最小值应为（） A.5 B.5 C.5± D.-54、某种商品进货单价为40元，若按每个50元的价格出售，能卖出50个，若销售单价上涨1元，则销售量就减少1个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应定为元.5、某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款元.6、(2010·福建理，4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0 ；B ．1 ；C ．2 ；D ．37、已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1] ；B ．(0,1)；C ．(－∞，1) ；D ．(－∞，1]8、（山东2010年高考）设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，bb x x f x (22)(++=为常数），则=-)1(f（A ）3（B ）1 （C ）-1 （D ）-39、若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 10、某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元. （1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P=f （x ）的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-。

函数模型及应用教案

函数模型及应用教案函数模型是基于数学函数的一种建模方法，通过将现实问题抽象为数学函数的形式来描述、分析和解决问题。

函数模型的应用非常广泛，涉及到许多领域，包括物理、经济、生物等。

一、函数模型的基本概念1. 函数的定义：函数是一个映射关系，将输入映射到唯一的输出，通常用f(x)表示。

2. 自变量和因变量：函数的自变量是输入值，通常用x表示；函数的因变量是输出值，通常用y表示。

3. 函数图像：函数图像是函数在坐标系中的几何表示，可以通过计算和绘制得到。

4. 函数的性质：函数可以有多个性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

二、函数模型的应用1. 物理学中的应用：物理学中许多自然现象都可以用函数模型来描述，如运动学中的位移函数、速度函数和加速度函数，力学中的万有引力函数等。

2. 经济学中的应用：经济学中常常用函数模型来描述供求关系、成本函数、效用函数等，以便分析经济现象和制定经济政策。

3. 生物学中的应用：生物学中常常用函数模型来描述生物体的生长、代谢和进化过程，以便研究和预测生物现象。

4. 工程学中的应用：工程学中常常用函数模型来描述电路、信号处理、控制系统等，以便分析和设计工程系统。

5. 数据分析中的应用：数据分析中常常用函数模型来描述数据的分布和趋势，以便预测和优化数据。

三、函数模型的教学内容1. 函数的基本概念和性质：教学内容包括函数的定义、自变量和因变量的概念、函数图像的绘制和函数的性质分析等。

2. 函数的分类和常见函数模型：教学内容包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、图像和性质分析等。

3. 函数的应用实例分析：教学内容包括物理、经济、生物、工程等领域的函数模型实例分析，以及数据分析中的函数模型应用实例。

4. 函数模型的建立和求解：教学内容包括根据实际问题建立函数模型、利用函数模型求解问题等。

四、函数模型的教学方法1. 理论讲解：通过讲解基本概念、定理和性质，帮助学生理解函数模型的基本原理和方法。

高中数学教案第11讲函数模型及其应用

第11讲函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调□1递增单调□2递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与□3y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与□4x 轴平行随n 值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)与指数函数相关的模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与对数函数相关的模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与幂函数相关的模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0)实际问题中函数要有意义，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.常用结论1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，增长速度缓慢.2.“对勾”函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增，当x ＝a 时f (x )取最小值2a .1.回源教材(1)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示，假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A.40万元B.60万元C.80万元D.120万元解析：D 当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元).故该商人共获利40＋80＝120(万元).(2)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S ＝a e －kt (a ，k 为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S (单位：克)代表t 分钟末未溶解糖块的质量，则k ＝()A.ln 2 B.ln 3C.ln 25D.ln 35解析：C 由题意可得，当t ＝0时，S ＝a ＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e －5k ，解得k ＝ln 25.2.易错自纠(1)已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A.f (x )>g (x )>h (x )B.g (x )>f (x )>h (x )C.g (x )>h (x )>f (x )D.f (x )>h (x )>g (x )解析：B在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g (x )>f (x )>h (x ).(2)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.11解析：C设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为(12)n ，由(12)n <11000，得n ≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.利用函数图象刻画实际问题的变化过程1.某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数图象正确的是()解析：A 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A ，C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，A 中总产量增长，C 中总产量不变，因此A 正确.2.如图所示，△OAB 是边长为2的等边三角形，直线x ＝t 截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y (见图中阴影部分)，则函数y ＝f (t )的大致图象为()解析：D 根据题意，△OAB 是边长为2的等边三角形，则A 点的坐标为(1，3)，B 点的坐标为(2，0)，所以直线OA 的方程为y ＝3x ，直线AB 的方程为y ＝－3(x －2)，所以当0≤t ≤1时，y ＝f (t )＝12×t ×3t ＝3t 22；当1＜t ≤2时，y ＝f (t )＝12×2×3－12(2－t )×3(2－t )＝3－32(2－t )2；当t ＞2时，y ＝f (t )＝12×2×3＝3，它的图象如D 选项所示.故选D.反思感悟判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案.已知函数模型解决实际问题例1(多选)(2024·德州模拟)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为R 0，1个感染者在每个传染期会接触到N 个新人，这N 个人中有V 个人接种过疫苗(VN 称为接种率)，那么1个感染者传染人数为R 0N (N －V ).已知某种传染病在某地的基本传染数R 0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率不可能为()A.45%B.55%C.65%D.75%解析：ABC 为了使1个感染者传染人数不超过1，只需R0N(N －V )≤1，即R 0·(1－VN)≤1，因为R 0＝4，故1－V N ≤14，可得V N ≥34.反思感悟已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.训练1(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6解析：C 4.9＝5＋lg V ⇒lg V ＝－0.1⇒V ＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.构造函数模型解决实际问题构建二次函数模型例2某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元解析：C设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.构建分段函数模型例3某村利用当地优势引进经济效益好、养殖密度高的“活水围网”养鱼技术.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的连续函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.解：(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2，当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)，显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，a＋b＝0，a＋b＝2，＝－18，＝52，所以v＝－18x＋52.故函数v，0<x≤4，－18x＋52，4<x≤20.(x∈N*)(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，由(1)得f(x)x，0<x≤4，－18x2＋52x，4<x≤20.(x∈N*)当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；当4<x≤20时，f(x)＝－18x2＋52x＝－18(x2－20x)＝－18(x－10)2＋252.所以f(x)max＝f(10)＝12.5.所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.构建对勾函数模型例4某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为.解析：根据图象求得y＝－(x－6)2＋11(x＞0)，∴年平均利润yx＝12－(x＋25x)，∵x＋25x≥10，当且仅当x＝5时等号成立，∴要使营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为5.答案：5反思感悟在应用函数解决实际问题时需注意以下4个步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.(3)解模：求解函数模型，得出数学结论.(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题.训练2(2024·临沂测试)已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x千件(0<x≤25)并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)(单位：万元)，且R(x)108－13x2，0<x≤10，－x＋175x＋57，10<x≤25.(1)写出年利润f(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解：(1)当0<x≤10时，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝81x－x33－100；当10<x≤25时，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝－x2＋30x＋75.故f(x)81x－x33－100，0<x≤10，－x2＋30x＋75，10<x≤25.(2)当0<x≤10时，由f′(x)＝81－x2＝－(x＋9)(x－9)，得当x∈(0，9)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(9，10)时，f′(x)<0，f(x)单调递减.故f(x)max＝f(9)＝81×9－13×93－100＝386.当10<x≤25时，f(x)＝－x2＋30x＋75＝－(x－15)2＋300≤300.综上，当x＝9时，年利润取最大值386.所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大.限时规范训练(十六)A 级基础落实练1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x 1.99234 5.15 6.126y1.5174.04187.51218.01A.y ＝2x －2B.y ＝12(x 2－1)C.y ＝log 2xD.y ＝log 12x解析：B由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.2.据统计，第x 年某湿地公园越冬的白鹭数量y (只)近似满足y ＝k log 3(x ＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)()A.1530只 B.1636只C.1830只 D.1930只解析：B∵第x 年某湿地公园越冬的白鹭数量y (只)近似满足y ＝k log 3(x ＋1)，且当x ＝2时，y ＝1000，∴1000＝k log 33，解得k ＝1000，∴当x ＝5时，y ＝1000×log 36＝1000×(log 33＋log 32)＝1000×(1＋ln 2ln 3)≈1636.3.某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为()A.3.75元/瓶B.7.5元/瓶C.12元/瓶D.6元/瓶解析：D设销售价每瓶定为x 元，利润为y 元，则y ＝(x －3)(400＋4－x0.5×40)＝80(x －3)·(9－x )＝－80(x －6)2＋720(x ≥3)，所以x ＝6时，y 取得最大值.4.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，下列结论正确的是()A.甲同学从家出发到乙同学家走了60minB.甲从家到公园的时间是30minC.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D.当0≤x ≤30时，y 与x 的关系式为y ＝115x 解析：BD在A 中，甲在公园休息的时间是10min ，所以只走了50min ，A错误；由题中图象知，甲从家到公园的时间是30min ，B 正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C 错误；当0≤x ≤30时，设y ＝kx (k ≠0)，则2＝30k ，解得k ＝115，D 正确.5.(2024·潍坊期末)由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验标准》(GB/T19522－2010)于2011年7月1日正式实施.车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f (x )（π3x ）＋13，0≤x <2，－0.5x ＋14，x ≥2，则该人喝1瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)()车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类型阈值(mg/100mL)饮酒后驾车≥20，<80醉酒后驾车≥80A.5hB.6hC.7hD.8h解析：B由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e －0.5x ＋14<20，解得x >5.42，取整数，故为6个小时.故选B.6.(2024·连云港质检)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A.8 B.10C.12 D.13解析：B 设该企业需要更新设备的年数为x (x ∈N *)，设备年平均费用为y万元，则x 年的设备维护费用为2＋4＋6＋…＋2x ＝x （2＋2x ）2＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用y ＝100＋0.5x ＋x （x ＋1）x ＝x ＋100x ＋32≥2x ·100x ＋32＝432(万元)，当且仅当x ＝10时，等号成立，因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10.7.如图所示，学校要建造一面靠墙(墙足够长)的2个面积相同的矩形花圃，如果可供建造围墙的材料总长是60m ，要所建造的每个花圃的面积最大，则宽x 应为m.解析：设每个花圃的面积为y，则y＝x·60－3x2＝－32x2＋30x＝－32(x－10)2＋150(0<x<20)，所以当x＝10时，y最大.答案：108.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣优惠率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为元.解析：由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，y 0，0<x≤600，0.05（x－600），600<x≤1100，0.1（x－1100）＋25，x>1100，∵y＝30>25，∴x>1100，∴0.1(x－1100)＋25＝30，解得x＝1150，1150－30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元.答案：11209.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2－T5730(N0表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的3 7至12，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到年之间.(参考数据：lg 2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)解析：∵N ＝N 0·2－T5730，∴当T ＝5730时，N ＝N 0·2－1＝12N 0，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12.由题意可知2－T5730>37，两边同时取以2为底的对数得log 22－T5730>log 237，∴－T5730>lg 37lg 2＝lg 3－lg 7lg 2≈－1.2，∴T <6876，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间.答案：12687610.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，即a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.取a ，b 的值分别为－1和1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，故－1＋log3Q10≥2，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s时，其耗氧量至少要270个单位.11.某公司生产某种电子仪器的固定成本为2万元，每生产一台仪器需增加投入100元，公司每月生产量为x(单位：台)，已知总收入R(单位：元)满足函数：Rx－12x2－15000（0≤x≤200），000－25000000x（x＞200）.(1)将利润P表示为月产量x的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？(总收入＝总成本＋利润)解：(1)由题知，利润P ＝－12x2＋300x－35000，0≤x≤200，000－100x－25000000x，x＞200.(2)当0≤x≤200时，P＝－12(x－300)2＋10000，所以当x＝200时，P有最大值5000；当x＞200时，P＝150000－100x－25000000x≤150000－2100×25000000＝50000，当且仅当x＝500时，等号成立，所以当x＝500时，P有最大值50000.综上，当月产量为500台时，公司所获利润最大，最大利润为5万元.B级能力提升练12.大气压强p＝压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”(Pa，1Pa＝1N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p＝p0e－kh(k＝0.000126m－1)，p0是海平面大气压强.已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，p1p2＝13，那么A 1，A 2两处的海拔高度的差约为(参考数据：ln 3≈1.099)()A.660mB.2340mC.6600mD.8722m解析：D 设A 1，A 2两处的海拔高度分别为h 1，h 2，则p 1p 2＝13＝p 0e －0.000126h 1p 0e －0.000126h 2＝e0.000126(h 2－h 1)，∴0.000126(h 2－h 1)＝ln 13＝－ln 3≈－1.099，得h 2－h 1＝－1.0990.000126≈－8722(m).∴A 1，A 2两处的海拔高度的差约为8722m.13.医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x (单位：mg)与给药时间t (单位：h)近似满足函数关系式ln kx ＝ln k 0＋ln(1－e －kt )，其中k 0，k 分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，对于某种药物，给药时间12h 后，人体内的药物含量为3k 04k，则该药物的消除速率k 的值约为(参考数据：ln 2≈0.693)()A.0.1055B.0.1065C.0.1165D.0.1155解析：D 由题意，ln(k ·3k 04k )＝ln k 0＋ln(1－e －12k )⇒e －12k ＝14⇒－12k ＝－2ln 2，即6k ＝ln 2≈0.693，解得k ≈0.1155.14.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a (单位：万元)满足P ＝42a －6，乙城市收益Q 与投入a (单位：万元)满足Q ＝＋2，80≤a ≤120，，120<a ≤160，设甲城市的投入为x (单位：万元)，两个城市的总收益为f (x )(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？解：(1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，所以f(128)＝4×2×128－6＋14×112＋2＝88(万元).因此，此时公司的总收益为88万元.(2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，≥80，－x≥80，解得80≤x≤160，当80≤x<120，即120<240－x≤160时，f(x)＝42x－6＋32＝42x＋26<26＋1615；当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时，f(x)＝42x－6＋14(240－x)＋2＝－14x＋42x＋56.令t＝x，则t∈[230，410]，所以y＝－14t2＋42t＋56＝－14(t－82)2＋88.当t＝82，即x＝128时，y取最大值88.因为88－(26＋1615)＝2×(31－815)>0，故f(x)的最大值为88.因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元.。

函数模型及其应用教案

函数模型及其应用教案一、教学目标1. 理解函数的概念，了解函数模型的产生和应用；2. 学习两种常见函数模型的基本形式和参数，并能解决实际问题应用；3. 认识函数模型在现实生活和工程实践中的重要作用；4. 提高学生分析和解决实际问题的能力。

二、教学重点1. 函数的概念与应用；2. 两种常见函数模型的基本形式与参数；3. 实际问题中函数模型的应用。

三、教学难点1. 函数模型在数学联系与实际应用展示之间的联系；2. 如何将实际问题转化为基本形式的函数模型。

四、教学方法1. 讲授教学法；2. 课堂互动式教学法；3. 问题式教学法。

五、教学准备1. 多媒体教学设备；2. 函数模型案例资料。

六、教学过程1. 引入函数是一种重要的数学概念，也是自然科学、经济学、工程技术等领域的基础。

而函数模型则是在实际问题中应用函数的过程中，通过对数据和经验的分析产生的数学模型，可用于预测、控制、优化等目的。

今天我们将学习两种常见函数模型及其应用。

2. 基础知识讲解（1）函数的概念函数是一个输入输出关系的特殊情况。

数学上定义一个函数是指一组数对，其中第一个数（称为自变量）从一个特定集合中取任意一个值，；第二个数（称为因变量或函数值）则从另一集合中取一个值，这个取值完全由第一个数决定。

（2）线性函数模型线性函数模型可以写为 y=a*x+b 的形式，其中 a 称为斜率，b称为截距。

它的应用非常广泛，比如经济学中的供给函数、消费函数，工程学中的动力学方程等等，都可以通过线性函数模型来描述。

（3）指数函数模型指数函数模型可以用 y=a^x+b 的形式表示，其中 a 称为底数，b 称为位移。

指数函数具有非常广泛的应用，在物理学、天文学、化学、生物学、经济学等领域中都有其用途，比如放射性衰变过程、细胞增殖过程、经济增长过程等等都可以使用指数函数模型来描述。

3. 练习将下列实际问题转化为线性函数模型或指数函数模型，并求出相应的参数或曲线。

高中数学(函数模型及其应用)导学案北师大版必修1 学案

第4课时函数模型及其应用1.掌握求解函数应用题的基本步骤,并能利用常见的函数模型解决实际问题.2.能够根据已有的数据建立拟合函数解决实际问题.前面我们学习了几种不同增长的函数模型问题,并重点学习了利用函数模型解决一些简单的实际问题;另外在一些实际问题中,还会遇到对函数模型的灵活选择以及应用的问题,本节课就来研究这类问题.问题1:我们所学过的重要的函数模型有哪些?(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);(2)反比例函数模型:f(x )=kx+b(k,b为常数,k ≠0);(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);(4)指数函数模型:f(x)=ab x+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);(5)对数函数模型:f(x)=m log a x+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);(6)幂函数模型:f(x)=ax n+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);问题2:(1)建立数学模型的方法是怎样的?(2)在解决实际问题过程中,该如何做才能找到合适的数学模型?(3)解函数应用问题的基本步骤是什么?(1)一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量,并用x、y和辅助变量表示各相关量,然后根据问题的,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立,在此基础上将问题转化为一个问题,实现问题的数学化,即所谓的建立数学模型.(2)①:建立直角坐标系,画出散点图;②:根据散点图设想比较接近的可能的函数模型.例如:一次函数型、二次函数型、指数、对数函数型.③:利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型.(3)第一步:阅读理解,审清题意.第二步:引进数学符号,建立.第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果.第四步:将所得结果再转译成具体问题的答案.问题3:(1)对于一些函数实际应用问题,我们该如何分析?(2)数学模型的实质是什么?(1)把问题模型化,思考我们要研究的问题与我们学习过的知识有何关系,把实际问题转化为去研究,利用函数性质特点求解出数学问题,再转化为实际问题的解.(2)数学模型是用模拟现实的一种模型,它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来,并用来表达,数学模型可采用各种形式,如方程(组),函数解析式,图形与网络等.1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为().A.200副B.400副C.600副D.800副2.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y={4x,1≤x<10,x∈N+,2x+10,10≤x<100,x∈N+,1.5x,x≥100,x∈N+,其中x代表拟录用人数,y代表面试人数,若面试人数为60,则该公司拟录用人数为().A.15B.40C.25D.1303.一个水池每小时注入水量是全池的110,水池还没有注水部分与总量的比y随时间x(小时)变化的解析式为.4.某人有资金2000元,拟投入在复利方式下年报酬为8%的投资项目,大约经过多少年后能使现有资金翻一番?(下列数据供参考:lg 2≈0.3010,lg5.4≈0.7324,lg 5.5≈0.7404,lg 5.6≈0.7482)用已知函数模型解决实际问题某县目前有100万人,经过x年后有y万人,如果年平均增长率是1.2%,请回答下列问题:(1)写出y关于x的函数解析式;(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年).分段函数模型的应用WAP手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)按30元计费;超过500分钟则超过部分按0.15元/分钟计费.假如上网时间过短,在1分钟以下不计费,1分钟以上(包括1分钟,不超过60分钟)按0.5元/分钟计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.问:(1)小周12月份用WAP手机上网20小时,要付多少上网费?(2)小周10月份付了90元的上网费,那么他这个月用手机可以上多少分钟的网?(3)你会选择WAP手机上网吗?若用电脑上网的收费为60元/月,你会用哪一种方式上网?建立拟合函数模型解决实际问题某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算,请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).分贝是表示声音强度相对大小的单位,物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小:把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级,声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,60~110为过渡区,110以上为有害区.(1)根据上述材料列出声压级y与声压P的函数关系式;(2)某地声压P=0.002帕,试问该地区为以上所说的什么区?(3)2013年春节联欢晚会上,某小品类节目上演时,现场响起多次响亮的掌声,某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到90分贝,试求此时中央电台大厅的声压是多少帕?某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N+)(天)之间的函数关系用如图的两条线段表示,该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N+)(天)之间的关系如表:第t天 5 15 20 30Q件35 25 20 10(1)根据提供的图像,写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系.(2)根据表中提供的数据,确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式.(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?(日销售金额=每件的销售价格×日销售量)为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y,现有连续10年的实测资料,如下表所示.年序x y1 15.2 28.62 10.4 21.13 21.2 40.54 18.6 36.65 26.4 49.86 23.4 45.07 13.5 29.28 16.7 34.19 24.0 45.810 19.1 36.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度的图像.(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型,并画出图像.1.某种商品2012年提价25%,2013年欲恢复成原价,则应降价().A.30%B.25%C.20%D.15%2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时,交通灯由红变绿,汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走,那么().A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5米D.人追不上汽车,其间距最少为7米3.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1;乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为拟合模型较好.4.某商场经营一批进价是每件30元的商品,在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系:销售单价x(元) 30 40 45 50日销售量y(件) 60 30 15 0(1)在所给坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点,并确定x与y的一个函数关系式y=f(x);(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系式写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少时,才能获得最大日销售利润.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要清洗的次数是(lg 2≈0.3010).考题变式(我来改编):答案第4课时函数模型及其应用知识体系梳理问题2:(1)已知条件关系式实际函数(2)①建系②初步选择函数模型③择优函数模型(3)数学模型问题3:(1)函数模型(2)数学语言数学语言基础学习交流1.D 由5x+4000≤10x ,解得x ≥800,即日产手套至少800副时才不亏本.2.C 令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意; 若2x+10=60,则x=25,满足题意; 若1.5x=60,则x=40<100,不合题意. 故拟录用人数为25.3.y=1-x10,0≤x ≤10 y=1-x10,0≤x ≤10.4.解:设经过x 年后能使现有资金翻一番,则2000×(1+8%)x=4000,即1.08x=2.两边取对数,有x=lg2lg1.08=lg2lg 5.45=lg2lg5.4-(1-lg2)≈0.30100.7324-1+0.3010≈9.01.所以,经过10年后才能使现有资金翻一番. 重点难点探究探究一:【解析】(1)当x=1时,y=100+100×1.2%=100(1+1.2%); 当x=2时,y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2; 当x=3时,y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)2×1.2%=100(1+1.2%)3; …故y 关于x 的函数解析式为y=100(1+1.2%)x(x ∈N +). (2)当x=10时,y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7. 故10年后该县约有112.7万人.(3)设x 年后该县的人口总数为120万,则100×(1+1.2%)x =120,所以 x=log 1.012120100≈16. 故大约16年后该县的人口总数将达到120万.【小结】解决此类问题时一定要注意不要将次幂搞错.解决本题的另一个难点就是不能正确地进行指对互化,进而利用对数的运算来求解.探究二:【解析】设使用WAP 手机上网的时间为x 分钟,由已知条件可知:当上网时间不超过60分钟时,以每分钟0.5元递增计费;当上网时间超过60分钟但不超过500分钟时,一律按30元收费;当上网时间超过500分钟时,在30元的基础上,再增加0.15元/分钟.故所付上网费为:y={0.5x,1≤x <60,30,60≤x ≤500,30+0.15(x -500),x >500.(1)当x=20×60=1200(分钟)时,应将1200代入第三段解析式,得y=135,小周要付135元上网费. (2)90元已经超过30元,所以上网时间超过500分钟,由函数解析式可得x=900,小周这个月用手机可以上网900分钟.(3)当1≤x<60时,y max <30元;当60≤x ≤500时,y max =30元,当x>500时,30+0.15(x-500)=60⇒x=700,若每月上网时间少于700分钟,则选用WAP 手机上网;若等于700分钟,则选择两种上网方式都可以;若上网时间超过700分钟,则选用电脑上网.【小结】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变量的范围,特别是端点值.探究三:【解析】以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.观察散点图可以看出,A 种商品所获纯利润y 万元与投资额x 万元之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟.取(4,2)为最高点,则y=a (x-4)2+2,再把(1,0.65)代入得0.65=a (1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.B 种商品所获纯利润y 万元与投资额x 万元之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟.设y=kx+b ,取点(1,0.25)和(4,1),代入得{0.25=k +b,1=4k +b,解得{k =0.25,b =0,所以y=0.25x. 综上,前六个月所获纯利润y 关于月投资A 种商品的金额x 的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y 关于月投资B 种商品的金额x 的函数关系式是y=0.25x.设下月投入A ,B 两种商品的资金分别为x A ,x B (万元),总利润为W (万元),那么{x A +x B =12,W =y A +y B =-0.15(x A -4)2+2+0.25x B .所以W=-0.15(x A -196)2+0.15×(196)2+2.6. 当x A =196≈3.2(万元)时,W 取最大值,约为4.1万元,此时x B ≈8.8(万元).即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A 种商品,8.8万元投资B 种商品,可获得最大利润约为4.1万元.【小结】本题根据给定的数据画出散点图,然后根据散点图的“走向”找到其拟合函数,根据题意得出总利润与投资A 产品的金额之间的函数关系,最后转化为二次函数的最值问题. 思维拓展应用应用一:(1)由已知得y=20lg P P 0=20lg P2×10-5.(2)当P=0.002时,y=20lg 0.0022×10-5=40,∵y<60,∴该地区为无害区.(3)设中央电视台大厅的声压是x 帕,则当y=90时,有lg x 2×10-5=9020=4.5,∴x=√105,∴此时中央电视台大厅的声压是√105帕.应用二:(1)由图可得:P={t +20(0<t <25,t ∈N +),-t +100(25≤t ≤30,t ∈N +).(2)日销售量Q 与时间t 的一个函数式为Q=-t+40(0<t ≤30,t ∈N +). (3)由题意y={(t +20)(-t +40)(0<t <25,t ∈N +),(-t +100)(-t +40)(25≤t ≤30,t ∈N +)={-(t -10)2+900(0<t <25,t ∈N +),(t -70)2-900(25≤t ≤30,t ∈N +),当0<t<25,t=10时,y max =900,当25≤t ≤30,t=25时,y max =(25-70)2-900=1125, 故当t=25时,日销售金额最大且最大值为1125元. 应用三:(1)利用计算机几何画板软件,描点如图.(2)从上图可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y 和最大积雪深度x 满足线性模型:y=a+bx.取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx ,得{21.1=a +10.4b,45.8=a +24.0b,用计算器可得a ≈2.4,b ≈1.8,这样,我们得到一个函数模型:y=2.4+1.8x ,画图略. 基础智能检测1.C 设2012年提价前的价格为a ,2013年要恢复成原价应降价x ,于是有a (1+25%)(1-x )=a ,解得x=15,即应降价20%.2.D 设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米,则s=12t 2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t 2-6t+25=12(t-6)2+7,当t=6时,d 取得最小值为7,故选D .3.甲将已知的三个点的坐标分别代入两个解析式得,前两个点均适合,但第三个点更适合甲,比较发现选甲更好.4.解:实数对(x ,y )对应的点如图所示,由图可知y 是x 的一次函数.(1)设f (x )=kx+b ,则{60=30k +b 30=40k +b,解得{k =-3,b =150.∴f (x )=-3x+150,30≤x ≤50.检验成立.(2)P=(x-30)·(-3x+150)=-3x 2+240x-4500,30≤x ≤50,∴对称轴x=-2402×(-3)=40∈[30,50]. 故当销售单价为40元时,所获利润最大. 全新视角拓展4 设至少要洗x 次,则(1-34)x≤1100, ∴x ≥1lg2≈3.322,∴需4次.思维导图构建二次函数模型反比例函数模型指数函数模型对数函数模型幂函数模型。

高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用互动课堂学案新人教A版必修1(2021年整理)

高中数学第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用互动课堂学案新人教A 版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用互动课堂学案新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.2 函数模型应用举例互动课堂疏导引导一、函数的应用1。

数学建模的地位和作用数学来源于生活，又服务于生活。

在生活中的形形色色的数据处理需要数学模型，对于事物的发展和预测也离不开数学模型的建立，所以数学建模是提出问题和解决问题的必由之路.掌握函数的基础知识是学好本节的前提.例如函数概念、指数函数和性质、对数函数和性质.反过来，通过函数建模的学习，又能加深对上述知识的理解和认识，还能提高同学们学习数学的积极性。

在实际建模过程中，要学会化整为零，分步骤、有层次地完成，要求掌握计算器的使用。

2.数学模型的种类第一类是以数学课本上的知识为探究内容.如利用图形计算器展现数学知识的形成过程、知识的应用过程.第二类探究的内容来源于物理、化学等学科。

主要是利用CBL（基于图形计算器的掌上实验室）和各种探讨开展物理和化学实验，对物理现象和化学反应进行观察、收集数据、处理数据，完成定性和定量的分析.第三类探究的内容主要来源于生活，是那些看似与数学无关或与数学有关但关系不明显的问题。

如节约能源(怎样烧开一壶水更省天然气）、储蓄问题(怎样存钱能获得更多利息）、绿化问题（控制栽树和伐树的比例保护环境）、生态问题(草食动物和肉食动物的平衡)等等，这样的问题可以由我们自己发现和提出，也可以由老师提供原始材料,我们对材料进行筛选、组织，选取关键的特征和关系,用数学的语言表达，建立数学模型，利用图形\，计算器对数学模型处理,从而解决问题.3。

高一数学必修一教案《函数模型及其应用》(Word版)

高一数学必修一教案《函数模型及其应用》（2021最新版）作者：______编写日期：2021年__月__日【篇一】【内容】建立函数模型刻画现实问题【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的应用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。

在一个具体问题的解决过程中，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。

;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正理解函数模型的应用和在应用过程中函数模型的建立与解决问题的过程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中挖掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。

同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的选择与建立。

因为建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。

在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。

【教学目标】(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程.(2)了解函数模型的广泛应用(3)通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力(4)提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度【重点】了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用【难点】建立函数模型刻画现实问题中数据的处理【教学目标解析】通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理,，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本过程和提高解决实际问题的能力,在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本过程中让学生亲身体验函数应用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)【学生学习中预期的问题及解决方案预设】①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的计算速度④计算结束后不进行检验针对上述可能出现的问题,我在课前课上处理是,课前给学生准备一些坐标纸来提高描点的规范性,同时让学生使用计算器利用小组讨论来进行多人合作以期提高相应计算速度,在解析式得出后引导学生得出的标准应该是只有一个的较好的,不能有很多的标准,这样以期引导学生想到对结果进行筛选从而引出检验.【教学用具】多媒体辅助教学(ppt、计算机)。

3.5 函数模型与应用

3.4.2函数模型及其应用导学案编写人:刘远波审核人：李玉浩编号：22 一、学习目标：1. 培养数学建模能力。

把实际问题抽象为数学问题，逐步形成应用数学的意识，是分析问题、解决问题的需要.2.掌握解答数学应用题的关键，合理选取参变量,设定变元，选用恰当的代数式表示问题中的数量关系，建立相应的函数方程模型，使实际问题获解.3.掌握数学方法和函数与方程的思想。

二、学习重难点1.通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学模型方法，简称建模.2.解决函数应用题的流程图本课时主要学习以一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数为模型的实际问题预习课本（98页）3.4.2函数模型及其运用例1-例3例1．某人购物进价按原价a 扣去25%，他希望对所购货物定一个新价格，以便按新价格让利20%销售后仍能获得25%的纯利，求此人经销这种新货物的件数x 与按新的价格让利总额y 之间的函数关系式。

解析：本题关键是弄清原价、进价、新价格之间的关系。

原价为a ，进价为，设新价格为b ，则售价为，获得利润可表示为，也可表示为；例2．为合理用电，缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段（8时到22时），电价为每千瓦时0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元，而目前没有实行“峰谷电价”居民户电价每千瓦时0.53元，若总用电量为s 千瓦时，设高峰时段用电为x 千瓦时。

（1）分别写出实行峰谷电价的电费)(11x g y =，实行现行电价的电费)(22x g y =的解析式及两种不同的计费方式电费总差额21)(y y x f -=的解析式。

（2）对于用电量按时均等的电器(相等时间用电量相同)，采用峰谷电价的计费方式是否省钱？解析：第（1）问是关键，峰谷电价与现行电价费用差是本题的数量关系；第（2）问中的省钱包含着怎样的数学问题？本题是比较函数模型增长趋势的应用题，可运用解不等式法、作差法等解决。

函数模型及其应用(2)导学案

函数模型及其应用（2）【自学目标】1.学会分析问题，准确地选择函数模型；2. 学会解决常见的函数问题，如增长率问题、最佳效益问题；3. 培养分析问题、解决问题的能力.【知识要点】1.用已知函数模型解决实际问题数学应用题一般文字叙述较长，反映的时间背景新颖，知识涉及广，这就要求有较强的阅读理解能力、捕捉信息的能力、归纳抽象的能力.2.增长率问题在实际问题中，常常遇到平均增长率问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值为y，用公式y=N(1+P)x表示，解决平均增长率，要用这个公式.3.最佳效益问题实际问题中中的最佳效益问题，即函数的最值问题.求函数最值的方法较多.【预习自测】例1.某丁在甲、乙俩地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B 地8台，已知从甲地调运一台至A地、B地的费用分别为400元和800元，从乙地调运一台到A地、B地的运费分别是300元和500元（1）若从乙地要调运x台至A地，求总运费y（元）与x之间的函数关系式（2）若总运费不得超过9000元，问共有几种调运方案（3）求出总运费最低的调运方案及最低的运费例2.渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量。

已知鱼群的年增长量y吨与空闲率和实际增长量x 的乘积成正比，比例系数为k（k>0）。

（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）（1）写出y 关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.例3.在某服装批发市场，季节性服装当季节来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每天削价2元，直到16周末，该服装已不再销售。

（1）试建立价格p （元）与周次t 之间的函数关系；（2）若此服装每周进价q （元）与周次t 之间的关系式为，试问该服装第几周每件销售利润最大？例4.某城市现有人口数为100万人，如果年增长率为1.2%，试解答以下问题：（1）写出该城市人口总数y （万人）与年份x （年）的函数关系式；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？【课内练习】1.某种植物生长发育的数量yA ．B ．C ．D ．2.已知A 、B 两地相距150km ，某人开车以60km/h 的速度从A 到达B 地，在B 地停留1小时后，再以50km/h 的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x 随时间变化的关系式是N t t t q ∈∈+--=],16,0[,12)8(125.0212-=x y 12-=x y 12-=xy 25.25.12+-=x x y3.某厂年生产化肥8000吨，计划5年后把产量提高到14000吨，则平均每年增长的百分数是（精确到0.1%）参考数据：1. 设距地面高度x （km ）的气温为y （℃），在距地面高度不超过11km 时，y 随着x 的增加而降低，且每升高1km ，大气温度降低6℃；高度超过11km 时，气温可视为不变。

人教版高中必修13.2函数模型及其应用课程设计

人教版高中必修13.2函数模型及其应用课程设计
一、前言
高中数学是一门广泛而深入的学科，数学与现实生活有着密不可分的联系。

本次课程设计着重于函数模型及其应用的教学设计，目的是加深学生对函数概念的理解，并引导学生建立函数与实际问题之间的联系，使学生能够学以致用。

二、教学目标
•理解函数概念及其表示方法
•掌握函数模型的建立方法
•运用函数模型解决实际问题
•加深学生对函数应用的认识和理解
三、教学重点难点
教学重点：函数表示方法与函数模型建立方法
教学难点：实际问题的函数模型建立
四、教学内容与安排
第一部分：函数概念及表示方法（1学时）
1.函数的定义和特征
（1）定义：函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规律
（2）特征：单调性、奇偶性、周期性、对称性等
2.函数的表示方法
1。

函数模型及其应用教学设计导学案

第九节函数模型及其应用（1）-----二次函数模型复习目标：1、了解二次函数在实际生活中的应用，并能利用二次函数的单调性和最值解决相关问题；2、通过问题探究，培养自己的观察、分析、归纳及创新能力；注意数形结合思想的运用；3、形成勤于思考，不怕困难，勇于探索，积极进取的精神。

小题体验1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 c m，点燃后每小时燃烧5 c m，燃烧时剩下的高度h(c m)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．3、据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．归纳小结：解函数应用问题的四步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：典例引领经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N)．前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N)，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N)，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值．由题悟法二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．跟踪训练A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km )处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km .已知供电费用等于供电距离(km )的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？课堂练习1、某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．(2016·辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( ) A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但期间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但期间最近距离为7米3．某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 4＋22，0≤t <40，t ∈N ，－t 2＋52，40≤t ≤100，t ∈N ，日销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t 3＋1093(0≤t ≤100，t ∈N)．求这种商品的日销售额的最大值.4、如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．。

数学一轮复习第二章函数2.9函数模型及其应用学案理

2.9函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.常见的函数模型（1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)；(2)二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c（a，b,c为常数,a≠0）；(3）反比例函数模型:f（x）=kk（k为常数，k≠0)；（4）指数型函数模型：f(x)=ab x+c（a，b,c为常数,a≠0，b〉0，b≠1）；（5)对数型函数模型：f(x）=m log a x+n（m,n，a为常数,m≠0,a〉0,a≠1);（6)幂型函数模型：f(x）=ax n+b(a,b，n为常数,a≠0）；(7）分段函数模型：y={k1(k),k∈k1,k2(k),k∈k2,k3(k),k∈k3;（8）对勾函数模型:y=x+kk（a为常数，a>0）。

2。

指数、对数、幂函数模型的性质比较性质函数y=a x(a>1）y=log a x（a〉1)y=xα（α〉0）在(0，+∞)内的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随α值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x〉x0时，有log a x<xα〈a x考点自诊1。

判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×"。

(1）幂函数增长比一次函数增长更快。

（) (2）在（0，+∞）内,随着x的增大，y=a x（a〉1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α〉0)的增长速度.（）(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题。

()（4)f（x)=x2,g(x)=2x,h（x）=log2x,当x∈（4,+∞）时，恒有h(x）〈f(x)〈g(x）。

（）(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0，b>1)增长速度越来越快的形象比喻。

(）2。

(2020山东潍坊临朐模拟二,3）某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

函数模型及其应用导学案1

1.了解和体会函数模型在实际中的广泛应用.2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较.3.会分析具体的实际问题,能够建模解决实际问题.1859年,有人把几只兔子从欧洲带到澳大利亚,由于澳大利亚没有鹰、狐狸和狼这些天敌,而且气候宜人,牧草茂盛,于是,一场几乎不受任何限制的可怕扩张开始了,不到100年,兔子数量达到75亿只,每十只兔子就能吃掉相当于一只羊所吃的牧草,使得澳大利亚的农业和畜牧业蒙受了巨大损失,直到20世纪50年代,科学家采用黏液瘤病毒杀死了90%的野兔,才使澳大利亚人松了一口气.问题1:情境中的生物入侵已成为世界性难题,如果建立一种函数模型来描述兔子的这种增长,那么应选用的函数模型是.问题2:截止到目前我们学习过的基本函数类型有6种,分别是一次函数、二次函数、反比例函数、、、.问题3:对比函数y=kx+b(k>0),y=x2,y=a x(a>1),y=log a x(a>1)在(0,+∞)的单调性和图象,比较它们的增长差异.(1)这几个函数的共同点都是在(0,+∞)上是.(2)通过它们的函数图象可以发现,增长速度由慢到快的函数模型依次是模型、模型、模型、模型.(3)一次函数、二次函数模型属于幂函数y=x n(n∈N*)模型,n越大,增长的速度就,但增长速度最终不会超过模型,而最终会比模型增长速度快.问题4:如何正确理解指数函数、幂函数、对数函数三种模型增长的差异性?对于函数y=a x(a>1),y=log a x(a>1)和y=x n(n>0)在x∈(0,+∞)上都为增函数,我们常用它们来描述一些增长现象.但它们增长的快慢不同,y=a x(a>1)“先慢后快”“随着x的增大逐渐加快增大”;y=log a x(a>1)“先快后慢”“随着x的增大逐渐减慢增大”;事实上,总存在一个x0,当x>x0时,有log a x<x n<a x,即所谓的“对数增长”“直线上升”(当y=x n中n=1时)和“指数爆炸”.1.某山区加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,那么,经过x年,绿色植被面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象为.2.一个矩形的周长是40,则矩形的长y关于宽x的函数解析式为下列选项中的.①y=20-x,0<x<10;②y=20-2x,0<x<20;③y=40-x,0<x<10;④y=40-2x,0<x<20.3.用长度为24的材料围一矩形场地,中间用该材料加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为.4.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v=2000 ln(1+),则当燃料质量是火箭质量的多少倍时,火箭的最大速度可达12 km/s?一次函数、二次函数模型某公司试销一种新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件,又不高于800元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件),可近似看作一次函数y=kx+b的关系(图象如图所示).(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.①求S关于x的函数表达式;②求该公司可获得的最大毛利润,并求出此时相应的销售单价.指数函数、对数函数和幂函数模型我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中,发掘出古莲子,至今大部分还能发芽开花.古莲子出土时14C(半衰期为5730年)的残余量约占原始含量的87.9%,试推算古莲子的生活年代(经过科学鉴定,若14C的原始含量为Q0,则经过t年后的残余量Q与Q0之间满足Q=Q0·e-kt).对指数函数、幂函数不同增长速度的应用函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;(2)结合函数图象,判断f(8),g(8),f(2015),g(2015)的大小.据市场分析,烟台某海鲜加工公司,当月产量在10吨至25吨时,其月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数;当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点.(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式.(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润?燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2,单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.(1)计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位?(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x)、g(x)的大小进行比较).1.对于函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,三个函数的增长速度的比较,下列选项中正确的是.①f(x)>g(x)>h(x);②g(x)>f(x)>h(x);③g(x)>h(x)>f(x);④f(x)>h(x)>g(x).2.李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修车耽误了一段时间,为了按时到校,李老师加快了速度但仍保持匀速,结果准时到校,以下符合自行车进程s(km)与行驶时间t(h)的函数图象的示意图的是.3.三个变量y1、y2、y19685其中x呈对数型函数变化的变量是,呈指数函数型变化的变量是,呈幂函数型变化的变量是.4.某种商品现在定价每件p元,每月卖出n件,因而现在每月售货总金额np元,设定价上涨x 成,卖出数量减少y成,售货总金额变成现在的z倍.(1)用x和y表示z;(2)若y=x,求使售货总金额有所增加的x值的范围.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是元.考题变式(我来改编):第12课时函数模型及其应用(一)知识体系梳理问题1:指数函数模型问题2:指数函数对数函数幂函数问题3:(1)增函数(2)对数函数一次函数二次函数指数函数(3)越快指数函数对数函数基础学习交流1.④f(x)=(1+10.4%)x,故填④.2.①∵矩形的周长是40,∴2x+2y=40,则y=20-x(0<x<10).3.3设隔墙的长为x(0<x<6),矩形面积为y,y=x×=2x(6-x),∴当x=3时,y最大.4.解:依题意知2000ln(1+)=12000,∴ln(1+)=6,∴1+=e6,故=e6-1.故当燃料质量是火箭质量的e6-1倍时,火箭的最大速度可达12 km/s.重点难点探究探究一:【解析】(1)由图象可知,解得所以y=-x+1000(500≤x≤800).(2)①由(1),S=x×y-500y=(-x+1000)(x-500)=-x2+1500x-500000,(500≤x≤800).②由①可知,S=-(x-750)2+62500,其图象开口向下,对称轴为x=750,所以当x=750时,S max=62500.即该公司可获得的最大毛利润为62500元,此时相应的销售单价为750元/件.【小结】一次函数和二次函数是函数应用中比较常见的两种函数模型,此类问题常常与二次函数的最值相联系.探究二:【解析】衰减函数可以写成Q=Q0·e-kt,其中Q0是初始量,t是时间.已知当=时,t=5730,即e-5730k=,解得k≈0.00012.故有Q=Q0·e-0.00012t.由题目条件得=87.9%,代入上式,解得t≈1075.即古莲子约是1075年前的遗物.【小结】用已知函数模型解决问题时,先将题中的数据代入函数模型,即可求得函数模型中的参数,再转化为求函数值或自变量的值.探究三:【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)∵f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),∴1<x1<2,9<x2<10,∴x1<8<x2,2015>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),∴f(8)<g(8);当x>x2时,f(x)>g(x),∴f(2015)>g(2015).又g(2015)>g(8),∴f(2015)>g(2015)>g(8)>f(8).【小结】根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.思维拓展应用应用一:(1)由题意可设,y=a(x-15)2+17.5,将x=10,y=20代入上式,得20=25a+17.5.解得a=0.1.所以y=0.1(x-15)2+17.5(10≤x≤25).(2)设利润为Q(x),则Q(x)=1.6x-y=1.6x-(0.1x2-3x+40)=-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25).因为x=23∈,所以当月产量为23吨时,可获最大利润12.9万元.应用二:(1)由题意知,当燕子静止时,它的速度v=0,代入题中的公式,得0=5log2,解得Q=10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)将耗氧量Q=80代入题中的公式得:v=5log2=5log28=15(m/s).即当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度为15 m/s.应用三:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.(2)当x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).基础智能检测1.②对幂函数、指数函数、对数函数增长速度的比较:直线上升、指数爆炸、对数增长,故当x∈(4,+∞)时,h(x)<f(x)<g(x).2.③3.y3y2y14.解:(1)npz=p(1+)·n(1-),∴z=.(2)当y=x时,z=,由z>1,得>1,∴x(x-5)<0,∴0<x<5.全新视角拓展108设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.思维导图构建log a x<x n<a x。

3.2.2《函数模型及其应用》第一课时参考教案

3.2.2函数模型的应用实例（第1课时）教学目的：通过一些实例，让学生感受函数模型的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程。

教学重点：两函数模型实例的讲解。

教学难点：通过观察图象，判断问题所适用的函数模型是难点。

教学过程：一、复习提问我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？二、新课例3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象。

解：(1)阴影部分面积为：50×1+80×1+90×1+75×1+65×1＝36阴影部分面积表示汽车在5小时内行驶的路程为360km。

（2）根据图有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+=542299)4(65432224)3(75322134)2(90212054)1(8010200450t t t t t t t t t t s 它的函数图象P 102。

在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。

例4、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长依据。

早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y ＝rt e y 0，其中t 表示经过的时间，y 0表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率。

表3-8是1950――1959年我国的人口数据资料（P 103）（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001）用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？分析：分别求出1950到1959年的每一年的增长率，再算出平均增长率，得到从口增长模型y=55196e 0.0221t ，作出原数据的散点图，作出模型的函数图象，可以看出这个模型与数据是否吻合，用Excel 电子表格作出图象展示给学生看。