高中数学必修一《函数模型及其应用》优秀教学设计

人教版数学必修①

3.2 函数模型及其应用

【课时安排】第4 课时

【教学对象】高一学生

【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。而"3.2 函数模型及其应用"一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。

【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。

【教学目标】

知识与技能

（1）初步理解数学模型、数学建模两个概念；

（2）掌握框图2——数学建模的过程。

过程与方法

（1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；

情感态度价值观

（1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；

（2）感受数学的实用价值，增强应用意识；

（3）体会数学以不变应万变的魅力。

【教学重点】框图2——数学建模的过程。

【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。

【教学方法】引导探究、讨论交流。

教学手段】计算机、PPT、几何画板。

教学过程设计】、教学流程设计

1：

教学节环教学内容教活师动学活生动设意计图

（五）最优解的探究：预计时间7 分钟

我们前面的设计是将横截面设计成矩形，将深

度、宽度分别设计为a/4 和a/2 时，可得到最大的

横截面积。

如果将水槽的横截面分别按照下图中的五种方

案进行设计，结果又如何呢？

教

师将

学生

分成

五个

小

组，

并巡

视指

导学

生解

决问

题。

由于

缺少

导数

工

学生

动手探

究各自

的设计

方案

1、让

学生经

历数学

建模中

的优化

过程；

2、培

养学生

的探究

意识。

数学建模过程：预计时间2 分钟引导

分析

讲解

听讲

思考

这一实

际问题

的解决

过程，

概括出

数学建

模的基

本过

程，以

实现由

具体到

抽象的

升华。

下面，我们将全班分成 5 个小组，分别探 究五个方案的设计。 最后派代表报告本小组的 探究结果。 方案一： S=1/2x(a-x)sin θ≤

1/2x(a-x)=a 2/8-1/2(x-1/2a) 2≤ 22 a 2/8=0.125a 2。

当θ=90°且 x=1/2a 时， Smax=0.125a 2

(五)

方案二： S=1/2(2/3a+2 ×a/3 ×sin θ)a/3cos 教 学 1、让 最优解

2

θ)=a 2/9(1+sin θ)cos θ 师将 生 学生 的探

当θ=30°时， Smax ≈ 0.144a 2

学生 动 经历 究：预 方案三： (四个底角为 67.5 °的等腰三角形 )

分成 手 数学

具， 教师 应引 导学 生运 用观 察、 试 算、 估算 来探 究方 案二 的答 案。

、教学过程设计

计时间7 分钟

2

S=4×1/2 ×a/4 ×a/8tan67.5 °≈0.151a 2 方案四：（五个底

角为72°的等腰三角形） S=5×1/2 ×a/5 ×a/10tan72 °≈

0.154a 2 方案五：πr=a, ∴S=1/2r π2=a2/2 π ≈0.159a 2 通

过比较以上五种方案和横截面设计为矩形时的情况可以得

出，方案五是这个实际问题的最优解，即：将水槽的横截面

设计为半径为的半圆形时，从而可获得最大的流水量。

五个

小

组，

并巡

视指

导学

生解

决问

题。

由于

缺少

导数

工

具，

教师

应引

导学

生运

用观

察、

试

算、

估算

来探

究方

案二

的答

案。

探

究

各

自

的

设

计

方

案

建模

中的

优化

过

程；

2、培

养学

生的

探究

意

识。

（六）

什么是

数学建模：预

计时间6 分钟以上我们进行了六种设计方案的探究后，才找到了该问题的

最优解。这就表明，数学建模需要对所得到的结果进行检验

评价，以确认结果是否合理，是否是较好的结果。如果结果

不满意，就需要重新回到" 理想化问题"这一环节。于是，

我们就可以概括出一个较为完善的数学建模过程的框图。框

图2：

教师

讲解

概括

学

生

听

讲

思

考

1、使

学生

获得

科学

的数

学建

模理

论：

数学

建模

与数

学模