高中数学必修一《函数模型及其应用》优秀教学设计
函数模型及应用教案
函数模型及应用教案函数模型是基于数学函数的一种建模方法，通过将现实问题抽象为数学函数的形式来描述、分析和解决问题。
函数模型的应用非常广泛，涉及到许多领域，包括物理、经济、生物等。
一、函数模型的基本概念1. 函数的定义：函数是一个映射关系，将输入映射到唯一的输出，通常用f(x)表示。
2. 自变量和因变量：函数的自变量是输入值，通常用x表示；函数的因变量是输出值，通常用y表示。
3. 函数图像：函数图像是函数在坐标系中的几何表示，可以通过计算和绘制得到。
4. 函数的性质：函数可以有多个性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
二、函数模型的应用1. 物理学中的应用：物理学中许多自然现象都可以用函数模型来描述，如运动学中的位移函数、速度函数和加速度函数，力学中的万有引力函数等。
2. 经济学中的应用：经济学中常常用函数模型来描述供求关系、成本函数、效用函数等，以便分析经济现象和制定经济政策。
3. 生物学中的应用：生物学中常常用函数模型来描述生物体的生长、代谢和进化过程，以便研究和预测生物现象。
4. 工程学中的应用：工程学中常常用函数模型来描述电路、信号处理、控制系统等，以便分析和设计工程系统。
5. 数据分析中的应用：数据分析中常常用函数模型来描述数据的分布和趋势，以便预测和优化数据。
三、函数模型的教学内容1. 函数的基本概念和性质：教学内容包括函数的定义、自变量和因变量的概念、函数图像的绘制和函数的性质分析等。
2. 函数的分类和常见函数模型：教学内容包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、图像和性质分析等。
3. 函数的应用实例分析：教学内容包括物理、经济、生物、工程等领域的函数模型实例分析，以及数据分析中的函数模型应用实例。
4. 函数模型的建立和求解：教学内容包括根据实际问题建立函数模型、利用函数模型求解问题等。
四、函数模型的教学方法1. 理论讲解：通过讲解基本概念、定理和性质，帮助学生理解函数模型的基本原理和方法。
函数模型及其应用新人教A版必修1优秀教案资料
3.2函数模型及其应用新人教A版必修1优秀教案3.2.1几类不同增长的函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题•课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的•三维目标1•借助信息技术，禾U用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数的增长差异•2•恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题•3•让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同•教学难点：应用函数模型解决简单问题•课时安排2课时教学过程第1课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm, 一块砖的厚度大约为10 cm ,请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度•你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n 次的厚度：f(n)=0.01 2n(cm),n 块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20) ~ 105 m,g(20)=2 m. 也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幕函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x,面积为y,把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.④分别用表格、图象表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型•⑥讨论它们的单调性.⑦比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型•活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路•①总价等于单价与数量的积•②面积等于边长的平方•③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象•⑤引导学生回忆学过的函数模型•⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性•⑦让学生自己比较并体会•⑧另外还有与对数函数有关的函数模型•讨论结果：①y=x.②y=x2.③y=(1+5%)x,④如下表x123456y=x1234562y=x149162536xy=(1+5%) 1.05 1.01 1.16 1.22 1.28 1.34⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a工抛物线型)，y=ka x+b(指数型)•⑥从表格和图象得出它们都为增函数•⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数•⑧另外还有与对数函数有关的函数模型形如y=log a x+b,我们把它叫做对数型函数•应用示例思路1例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番•请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答•教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x € N*)进行描述；方案二可以用函数y=10x(x € N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4 *-1(x € N*)进行描述•三个模型中，第一个是常函数，后两个都是递增函数模型•要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况图 3-2-1-4由表和图（3214）可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方 案二与方案三的函数的增长情况很不相同•可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变， 而方案三是 指数增长”其增长量”是成倍增加的，从第 7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的•从每天所得回报看，在第 1〜3天，方案一最多；在第 4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第 5〜8天方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过 2亿元.天数 回捲/元12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -一- 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 -——二10 30 60 100 150 210180 360450550660_ -0.41.22.8612.425.250.8102 204.4 409.2 818.8因此，投资1〜6天，应选择方案一；投资 7天，应选择方案一或方案二；投资 8〜10天,应选择方案二；投资 11天（含11天）以上，则应选择方案三• 针对上例可以思考下面问题：① 选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数 ② 课本把两种回报数都列表给出的意义何在？ ③ 由此得出怎样结论•答案:①选择哪种方案依据的是累积回报数•X 天 万案一万案二 万案三 y/元 增加量/元 y/元增加量/元 y/元 增加量/元1 40100.42 40 0 20 10 0.8 0.43 40 0 30 10 1.6 0.84 40 0 40 10 3.2 1.65 40 0 50 10 6.4 3.26 40 0 60 10 12.8 6.47 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.69 40 0 90 10 102.4 51.2 104010010204.8102.430 40 0300 10 214748364.8107374182.4再作出三个函数的图象（3-2-1-4）.t ^=0.4^2*-1 J 进行分析•我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况y4(>20mSD604020I』------- 芒 --------- 尸40②让我们体会每天回报数增长变化•③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x 分钟，两种通讯业务的费用分别为y i元和y2元，那么(1) 写出y i、y2与X之间的函数关系式；(2) 在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3) 求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；(4) 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；⑵运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.解：(1)y1=50 + 0.4x(x >,0)y2=0.6x(x > 0).(2) 图象如图(3-2-1-5)所示.」M元200图3-2-1-5(3) 根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250,所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.(4) 当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算.另解：当y1=200 时有0.4x + 50=200, A X1=375 ；七1000 1000当『2=200 时有0.6X=200,X2= .显然375> ,3 3A选用全球通更合算.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型例2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润X(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log 7X+1,y=1.002 x,其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%,由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间］10,1000 ］上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果图3-2-1-6观察函数的图象，在区间］10,1 000］上，模型y=0.25x,y=1.002X的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log 7X+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7X+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间］10,1 000］上递增，而且当x=20时，y=5,因此，当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x,由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805, 806)内有一个点X。
新课标人教版高中数学必修一 3.2函数模型及其应用 教学设计
3.2 函数模型及其应用[教学目标]1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用．[教学要求]对于函数增长的比较，教科书分了三个层次：首先以实例为载体让学生切实感受不同函数模型间的增长差异，然后采用图、表两种方法比较三个函数（2x y =，x y 2=，x y 2log =）的增长差异，最后将结论推广到一般的指数函数、对数函数、幂函数间的增长差异．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一．教科书用4个例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习．在4个例题中，分别介绍了分段函数、指数型函数、二次函数的应用．在例4和例6中还渗透了函数拟合的基本思想．本章安排的实习作业主要是让学生收集现实生活中的一些函数实例，并运用已学习的函数知识解决一些问题，感受函数的广泛应用．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．这是因为函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．同时，这样做还能给学生提供更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并体会数学在实际问题中的应用价值．[教学重点]认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长，应用函数模型解决简单问题．将实际问题转化为数学模型．[教学难点]学生对指数函数、对数函数、幂函数等的增长速度的认识还很少，因此让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难．如何选择适当的函数模型分析和解决实际问题是另一个困难．[教学时数]4课时[教学过程]第一课时3.2.1几类不同增长的函数模型（1）新课进展一、实例分析投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．（底数0 a ）例1（课本第95页例1）分析与解：课本第95——96页．关键：阅读、理解、审题重点：让学生体会指数爆炸问：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描述一下三个方案的特点吗？由以上的分析，你认为应当如何做出选择？例2（课本第97页例2）本例将三个函数增长模型同时呈现给学生，主要目的是让学生感受它们增长速度的差异．教学时，除了用函数的图象直观展示这种增长差异外，还可以通过以下的表格让学生从另一个角度去认识．问：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例2的解答吗？本课小结通过师生交流进行小结：确定函数的模型——利用数据表格、函数图象讨论模型——体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．第二课时3.2.1几类不同增长的函数模型（2）新课进展二、三类函数增长差异的比较1．通过图、表比较2x y =，xy 2=两个函数的增长速度．2．探究2x y =，x y 2log =两个函数的增长速度．3．说说函数x y 2=，2x y =，x y 2log =的增长差异．在区间),0(+∞上，总有x x 22log >；当4>x 时，总有22x x >． 所以当4>x 时，总有x x x 22log 2>>．4．一般的，在区间),0(+∞上，尽管函数)1(>=a a y x ，)1(log >=a x y a 和)0(>=n x y n 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个‘档次’上，随着x 的增大，)1(>=a a y x 的增长速度越来越快，会超过并远远大于)0(>=n x y n的增长速度，而)1(log >=a x y a 的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有x n a a x x <<log ． 探究（课本101页）：x y x y y x 2121log ,,)21(===-的衰减情况． 通过观察获得这三个具体的函数的衰减情况，然后得出结论并推广到一般情况：存在一个0x ，当0x x >时，)10,0(log <<<>>a n x a x a x n ．第三课时3.2.2函数模型的应用实例（1）复习导入问：对幂函数、指数函数、对数函数，你是否注意到函数变化的速度有什么不同？ 结合上节课学习内容或者课本进行回答．新课进展一、例题及分析例3（课本第102页例3）本例所涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型．此题的主要意图是让学生用函数模型（分段函数）刻画实际问题．（1）获得路程关于时间变化的函数解析式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+=.54,2299)4(6543,2224)3(7532,2134)2(9021,2054)1(8010,200450t t t t t t t t t t s（2）根据解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象．例4（课本第103页例4）本例中，数学模型n e y y 0=是指数型函数模型，它由0y 与r 两个参数决定，而0y 与r 的值不难得到．本题意在让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合，并用数学模型解释实际问题，并利用模型进行预测，这也是此题的难点．借助计算器做出函数图象，比较与实际的吻合度．课堂练习课本第98页练习第1、2题．布置作业课本第107页习题3.2A 组第1、2、3题第四课时3.2.2函数模型的应用举例（2）新课进展一、例题及分析续例5（课本第104页例5）课本第104页表3-9中数据的变化是有特定规律的，教学时应注意引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型．同时，应注意变量的变化范围，并以此检验结果的合理性．例6（课本第105页例6）只给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的．思考：散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型．课堂练习课本第106页练习第1、2题．二、例题的回顾与总结4个例题各有特点，例3、5是一类变量之间具有确定关系的问题，根据这个关系就可以建立函数模型解决问题；与例2、5不同的是，例4、6都是需要判断所选择的函数模型与问题所给数据的吻合程度，像例6用“当取表中不同的两组数据时，得到的函数解析式可能会不一样”这句话体现了这点不同；例4、6略有不同的是例4给出了函数模型，例6需要自己根据数据特点选择函数模型，这反映了一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，要让学生逐渐明确和感受这一点．例7 教师用书第107页第4题布置作业课本第107页习题3.2A组第4、5、6题．。
高一数学必修1《函数模型及其应用》教案
高一数学必修1《函数模型及其应用》教案教学设计一、教学目标1. 知识目标：（1）认识到函数的概念及其分类。
（2）掌握函数的符号表示、图像表示和定义域、值域的求法。
（3）了解函数的基本性质。
（4）学会应用函数进行实际问题的解决。
2. 能力目标：（1）能够分析函数图像，判断函数的单调性和奇偶性。
（2）能够利用函数求解实际问题。
3. 情感目标：（1）了解函数在数学中的应用价值，增强数学学科的兴趣和信心。
（2）培养学生分析问题和解决问题的能力。
（3）培养学生的创新思维和实践能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：函数的符号表示、图像表示与应用。
2. 教学难点：函数模型的建立和应用题的解决。
三、教学方法1. 演示法。
通过演示，帮助学生理解函数的概念及其符号表示、图像表示和应用。
2. 实验法。
通过实验让学生探究函数的性质和应用，增强学生的实践能力。
3. 讲授法。
注重理论的概括和归纳，掌握函数的基本知识。
四、教学步骤1. 函数的概念及其分类初始练习：小组讨论，举例说明实际生活中函数的应用。
①引入函数的概念和分类，让学生观察一些常见的图像。
②讲解一元函数和多元函数的概念，引导学生理解函数的本质。
③引导学生根据一系列具体问题分类讨论实践中不同的函数：1. 一元函数：y=f(x)。
2. 二元函数：z=f(x,y)。
3. 多元函数：f(x1,x2,x3,……,xn)。
4. 隐函数：F(x,y)=0。
2. 函数的符号表示、图像表示和定义域、值域的求法①通过实例来说明函数的符号表示和图像表示。
②掌握函数的定义域与值域的求法。
③针对各种具体问题进行训练，巩固理论知识点，引导学生学会函数的应用。
3. 函数的基本性质①单调性和奇偶性的判定。
②零点和极值的确定。
③函数的连续性和可导性。
④复合函数的构造与性质。
⑤利用函数的基本性质进行具体问题的求解。
4. 函数模型及其应用①通过实际案例引入函数模型的建立。
②通过练习加深学生对模型的理解。
高一数学《函数模型及其应用》教案
高一数学《函数模型及其应用》教案函数模型及其应用(1)【学习导航】知识网络学习要求1.了解解实际应用题的一般步骤;2.初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法;3.渗透建模思想，初步具有建模的能力.自学评价1.数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述.2. 数学建模就是把实际问题加以抽象概括建立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的关键.3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察定义域. 【精典范例】例1.写出等腰三角形顶角(单位：度)与底角的函数关系. 例2.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元,生产每台计算机的可变成本为元,每台计算机的售价为元.分别写出总成本(万元)、单位成本(万元)、销售收入(万元)以及利润(万元)关于总产量(台)的函数关系式.分析：销售利润销售收入成本,其中成本(固定成本可变成本).【解】总成本与总产量的关系为课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。
单位成本与总产量的关系为销售收入与总产量的关系为要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
高一数学必修一教学设计 3.4.2函数模型及其应用
3.4.2函数模型及其应用明目标、知重点 1.能根据数据的特点，建立函数模型解决实际问题.2.通过函数知识的应用，复习巩固已学过的基本初等函数的知识.3.通过实例了解函数模型的广泛应用，进一步巩固函数的应用问题，进一步熟悉用函数解题的步骤和方法．1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)2.面临实际问题，自己建立函数模型的步骤(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验；(6)用函数模型解释实际问题．[情境导学]我们已经学过一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等等，它们在实际生活中有着广泛的应用．今天我们尝试一下，怎样从实际问题入手，运用已学过的函数知识来解决一个实际问题．探究点一一次函数模型的应用例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3 000元，每台计算机的售价为5 000元．分别写出总成本C (万元)、单位成本P (万元)、销售收入R (万元)以及利润L (万元)关于总产量x (台)的函数关系式． 解 总成本C (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为C ＝200＋0.3x ，x ∈N *.单位成本P (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为P ＝200x ＋0.3，x ∈N *.销售收入R (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为R ＝0.5x ，x ∈N *. 利润L (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为L ＝R －C ＝0.2x －200，x ∈N *.反思与感悟 信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等． 跟踪训练1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min 开出13 km 后，以120 km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的关系，并求火车离开北京2 h 内行驶的路程．解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝115 (h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶时间t h 所行驶路程为120t ，所以，火车运行总路程s 与匀速行驶时间t 之间的关系是s ＝13＋120t (0≤t ≤115)．2 h 内火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233 (km)．探究点二 指数型函数模型的应用例2 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T α＝(T 0－T α)·(12)th ，其中T α表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min ，那么降温到35℃时，需要多长时间(结果精确到0.1)? 解 由题意知40－24＝(88－24)·(12)20h，即14＝(12)20h，解之，得h ＝10，故T －24＝(88－24)·(12)10t，当T ＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·(12)10t，即(12)10t＝1164，两边取对数，用计算器求得t ≈25.4. 因此，约需要25.4 min ，可降温到35℃.反思与感悟 本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解．本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要借助计算器进行计算．跟踪训练2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y ＝y 0e rt ，其中t 表示经过的时间，y 0表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率．下表是1950～1959年我国的人口数据资料：(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解 (1)设1951～1959年的人口增长率分别为r 1，r 2，…，r 9.由55 196·(1＋ r 1) ＝ 56 300，可得1951年的人口增长率r 1≈0.020 0.同理可得，r 2≈0.021 0，r 3≈0.022 9，r 4≈0.025 0，r 5≈0.019 7，r 6≈0.022 3，r 7≈0.027 6，r 8≈0.022 2，r 9≈0.018 4.于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r ＝(r 1＋r 2＋…＋r 9)÷9≈0.022 1.令y 0＝55 196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y ＝55 196e 0.022 1t ，t ∈N .根据表中的数据作出散点图，并作出函数y ＝55 196e 0.022 1t (t ∈N )的图象．由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合． (2)将y ＝130 000代入y ＝55 196e 0.022 1t ，由计算器可得t ≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．探究点三 二次函数模型的应用例3 在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台(x ∈N *)的收入函数为R (x )＝3 000x －20x 2(单位：元)，其成本函数为C (x )＝500x ＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；(2)利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )是否具有相同的最大值？ 解 由题意知，x ∈[1,100]，且x ∈N *.(1)P (x )＝R (x )－C (x )＝3 000x －20x 2－(500x ＋4 000) ＝－20x 2＋2 500x －4 000， MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000－[－20x 2＋2 500x －4 000] ＝2 480－40x .(2)P (x )＝－20x 2＋2 500x －4 000＝－20(x －1252)2＋74 125，当x ＝62或x ＝63时，P (x )的最大值为74 120元．因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数，所以当x ＝1时，MP (x )的最大值为2 440元．因此，利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )不具有相同的最大值． 反思与感悟 数学应用题的一般求解程序：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；(2)建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得到数学结论；(4)结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论．跟踪训练3 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (1)当每辆车的月租金定为3 600元，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12，∴租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金为x (x ≥3 000)元， 则租赁公司月收益为y ＝(100－x －3 00050)(x －150)－x －3 00050×50，整理后得：y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，∴当x ＝4 050时，y 的最大值为307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．1．某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式为________．答案 y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000) 解析 由题意得：y ＝0.2x ＋0.3(4 000－x ) ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)．2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应分别为________． 答案 15,12解析 由三角形相似得24－y24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180(8≤y <24)．∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.3．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型． 答案 甲解析 将x ＝3分别代入y ＝x 2＋1及y ＝3x －1，得y ＝32＋1＝10，y ＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．4．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少x2，则面积最大．此时x ＝________，面积S ＝________.答案 1 252解析 根据题目条件0<x2<3，即0<x <6，所以S ＝(4＋x )⎝⎛⎭⎫3－x 2 ＝－12(x 2－2x －24)＝252－12(x －1)2(0<x <6)．故当x ＝1时，S 取得最大值252.[呈重点、现规律]解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.一、基础过关1．一等腰三角形的周长为20，底边y 是关于腰x 的函数，它的解析式为__________________． 答案 y ＝20－2x (5＜x ＜10)解析 由题意得2x ＋y ＝20，所以y ＝20－2x . ∵y ＞0，∴20－2x ＞0，∴x ＜10. 又∵三角形两边之和大于第三边，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞y ，y ＝20－2x ，解得x ＞5，∴5＜x ＜10.2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元． 答案 300解析 由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b ，将(1,800)，(2,1 300)代入得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300.3．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为________元． 答案 42解析 设每天获得的利润为y 元，则 y ＝(x －30)(162－3x )＝－3(x －42)2＋432， ∴当x ＝42时，获得利润最大，应定价为42元．4．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费S (元)的函数关系如图所示，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元． 答案 10解析 设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t ；当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150分钟时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10(元)．5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元． 答案 45.6解析 依题意，可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0且x ∈N )． ∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．6．已知某皮鞋厂一天的生产成本C (元)与生产数量n (双)之间的函数关系是C ＝4 000＋50n .若每双皮鞋的售价为90元，且生产的皮鞋全部售出．则每天至少生产________双皮鞋，才能不亏本． 答案 100解析 由题意得：P ＝90n －(4 000＋50n )＝40n －4 000(n ∈N *)． 要不亏本，必须P ≥0，解得n ≥100. 故每天至少生产100双鞋，才能不亏本．7.为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y ＝ax ＋b 或y ＝a x ＋b (a ，b 为常数，且a >0)来模拟这种电脑元件的月产量y 千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由． 解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b 52＝2a ＋b 或⎩⎪⎨⎪⎧50＝a ＋b ，52＝a 2＋b .(a >0)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝48(两方程组的解相同)．∴两函数分别为y ＝2x ＋48或y ＝2x ＋48. 当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝54； 当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝56. 由于56与53.9的误差较大， ∴选y ＝ax ＋b 较好． 二、能力提升8．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件． 答案 18解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．9．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________ cm 2. 答案 2 3解析 设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x )cm. ∴S ＝34(x 3)2＋34(4－x 3)2＝318(x －6)2＋23≥2 3. 10．已知甲、乙两地相距150 km ，某人开汽车以60 km /h 的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以50 km/h 的速度返回甲地，把汽车离开甲地的距离s 表示为时间t 的函数，则此函数表达式为____________________________． 答案 s ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)150 (2.5＜t ＜3.5)325－50t (3.5≤t ≤6.5)解析 当0≤t ≤2.5时s ＝60t ，当2.5＜t ＜3.5时s ＝150，当3.5≤t ≤6.5时s ＝150－50(t －3.5)＝325－50t ，综上所述，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150 (2.5＜t ＜3.5)，325－50t (3.5≤t ≤6.5).11．某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为6 000包，每包进价为2.8元，销售价为3.4元，全年分若干次进货，每次进货均为x 包，已知每次进货运输费为62.5元，全年保管费为1.5x 元，求使利润最大的x 的值，并求出最大利润？ 解 设获得利润为y 元，则y ＝(3.4－2.8)×6 000－6 000x×62.5－1.5x＝－1.5(x ＋400×625x)＋3 600，(x ∈N *,0＜x ≤6 000)．由于函数g ＝x ＋400×625x 在(0,500]上递减，在[500，＋∞)上递增，所以x ＝500时，g min ＝1000.所以y max ＝－1.5×1 000＋3 600＝2 100(元)．答 每次进货均为500包全年利润最大，最大利润为2 100元．12.在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满．五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金．经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？解 设每件棉衣日租金提高x 个5元，即提高5x 元，则每天棉衣减少6x 件，又设棉衣日租金的总收入为y 元． ∴y ＝(50＋5x )×(120－6x )， ∴y ＝－30(x －5)2＋6 750 ∴当x ＝5时，y max ＝6 750，这里每件棉衣日租金为50＋5x ＝50＋5×5＝75(元)，∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6 750元． 三、探究与拓展13.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x 吨，3x 吨． (1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨时，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增；当x ∈[0，45]时，y ≤f (45)<26.4；当x ∈(45，43]时，y ≤f (43)<26.4；当x ∈(43，＋∞)时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5(吨)； 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5(吨)， 付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元).。
函数模型及其应用教案
函数模型及其应用教案一、教学目标1. 理解函数的概念，了解函数模型的产生和应用；2. 学习两种常见函数模型的基本形式和参数，并能解决实际问题应用；3. 认识函数模型在现实生活和工程实践中的重要作用；4. 提高学生分析和解决实际问题的能力。
二、教学重点1. 函数的概念与应用；2. 两种常见函数模型的基本形式与参数；3. 实际问题中函数模型的应用。
三、教学难点1. 函数模型在数学联系与实际应用展示之间的联系；2. 如何将实际问题转化为基本形式的函数模型。
四、教学方法1. 讲授教学法；2. 课堂互动式教学法；3. 问题式教学法。
五、教学准备1. 多媒体教学设备；2. 函数模型案例资料。
六、教学过程1. 引入函数是一种重要的数学概念，也是自然科学、经济学、工程技术等领域的基础。
而函数模型则是在实际问题中应用函数的过程中，通过对数据和经验的分析产生的数学模型，可用于预测、控制、优化等目的。
今天我们将学习两种常见函数模型及其应用。
2. 基础知识讲解（1）函数的概念函数是一个输入输出关系的特殊情况。
数学上定义一个函数是指一组数对，其中第一个数（称为自变量）从一个特定集合中取任意一个值，；第二个数（称为因变量或函数值）则从另一集合中取一个值，这个取值完全由第一个数决定。
（2）线性函数模型线性函数模型可以写为 y=a*x+b 的形式，其中 a 称为斜率，b称为截距。
它的应用非常广泛，比如经济学中的供给函数、消费函数，工程学中的动力学方程等等，都可以通过线性函数模型来描述。
（3）指数函数模型指数函数模型可以用 y=a^x+b 的形式表示，其中 a 称为底数，b 称为位移。
指数函数具有非常广泛的应用，在物理学、天文学、化学、生物学、经济学等领域中都有其用途，比如放射性衰变过程、细胞增殖过程、经济增长过程等等都可以使用指数函数模型来描述。
3. 练习将下列实际问题转化为线性函数模型或指数函数模型，并求出相应的参数或曲线。
函数模型及其应用的教学教案
函数模型及其应用的教学教案教学教案：函数模型及其应用一、教学目标1.了解函数模型的基本概念和特性；2.掌握函数模型在实际问题中的应用；3.培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
二、教学重点和难点1.函数模型的基本概念和特性；2.函数模型在实际问题中的应用。
三、教学方法1.讲授与示范相结合；2.小组合作学习；3.课堂实践。
四、教学过程步骤一：导入新知识（10分钟）1.复习函数的基本概念和性质；2.提出问题：“函数模型是什么？它有什么特点？”；3.学生回答问题并进行讨论。
步骤二：讲解函数模型的基本概念（20分钟）1.介绍函数模型的定义和表示方法；2.引导学生理解函数模型的含义：根据已知条件，建立函数模型来描述一个实际问题；3.示范几个常见的函数模型。
步骤三：探究函数模型的特性（20分钟）1.引入函数模型的性质：单调性、奇偶性、周期性等；2.以实例为例，让学生观察并总结函数模型的特性；3.学生合作完成几个练习题。
步骤四：应用函数模型解决实际问题（30分钟）1.通过实例介绍函数模型在实际问题中的应用，如物体自由落体、物种数量增长等；2.让学生进行小组合作，选择一个实际问题，建立相应的函数模型并解决问题；3.学生展示他们的解决方案，进行评价和讨论。
步骤五：巩固与拓展（20分钟）1.让学生复习巩固所学的内容，完成一篇小结；2.引导学生思考：函数模型在其他学科中的应用；3.教师进行点评和总结。
五、教学评估1.课堂表现评价：学生是否积极参与讨论、是否能熟练运用函数模型解决实际问题等；2.书面作业评价：布置相关练习题，检查学生的掌握程度。
六、教学资源1.教材：《数学教材》；2.多媒体教学工具；3.实际问题的资料。
七、教学反思通过本节课的教学，学生能够理解函数模型的基本概念和特性，能够应用函数模型解决实际问题。
在教学过程中，我注重将知识与实际问题相结合，让学生能够在解决问题的过程中感受到函数模型的重要性和应用价值。
高中数学人教A版必修1教案-3.2_函数模型及其应用_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标解应用题的一般思路2. 教学重点/难点解应用题的一般思路3. 教学用具4. 标签教学过程2.解应用题的一般程序(1)审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础.(2)建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,正确进行建“模”是关键的一关。
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论，要充分注重数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。
(4)作答：将数学结论还原给实际问题的过程。
3．常见函数模型(1)应用的模型解决有关增长率及利息等问题。
(2)分段函数模型。
(3)应用二次函数模型解决有关最值问题。
(4)数列模型。
二．题型剖析例1：书P30例1。
（增长率）练习．（成才之路P99变式2）某农产品去年各季度的市场价格如下表：今年某公司计划按去年各季度市场价的“最佳近似值m”（m是与上表中各售价差的平方和取最小值时的值）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。
（1）根据题中条件填空，m= （元/担）（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围。
解:设平方和为y例2：书例2（分段函数）例3：书例3（二次不等式）练习（基本不等式）：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有旧墙一面，其长14m,现准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为3150px2的厂房，工程条件：（1）修1m旧墙的费用是建1m新墙的费用的25%，（2）用拆去1m旧墙的材料建1m新墙，其费用是建1m新墙费用的50%，（3）建门窗的费用与建新墙的费用相同，问：如何利用旧墙才能使建墙费用最低？三．小结1．解应用题的一般步骤：审题、建模、求模、作答2．常见函数模型及应用。
人教版高中必修13.2函数模型及其应用教学设计
人教版高中必修13.2函数模型及其应用教学设计一、教学目标1.理解函数模型的概念，并掌握基本函数模型的构成和性质；2.掌握函数模型在实际问题中的应用方法；3.学会使用函数模型解决实际问题。
二、教学重点1.函数模型的构成和性质；2.函数模型在实际问题中的应用方法；3.使用函数模型解决实际问题的能力。
三、教学难点1.函数模型的抽象概念；2.函数模型在实际问题中的应用方法的理解和掌握；3.解决实际问题的能力培养。
四、教学内容和教学方法1. 教学内容本节课的教学内容是函数模型及其应用，其具体包括如下几个方面。
(1) 函数模型的概念•函数的定义；•函数的性质；•基本函数模型的构成和性质。
(2) 函数模型在实际问题中的应用•通过实际问题建立函数模型；•利用函数模型解决实际问题；•利用函数模型进行分析和预测。
2. 教学方法本节课的教学方法包括如下几种。
(1) 导入新知识引入新知识需要考虑让学生能够以不同的方式理解和掌握知识点。
推荐以下两种方式：•讲授法：通过讲解、演示、PPT等方式，向学生介绍函数模型及其应用的基本概念；•互动式教学法：引导学生进行讨论和思考，提高学生对知识的探究和理解能力。
(2) 训练实际应用能力针对练习实际应用能力的训练，可以采用以下方式：•例题讲解法：通过讲解一些有代表性的例题，引导学生了解函数模型的实用性；•自主创作法：鼓励学生尝试自行分析实际问题，创作并解决问题。
(3) 评估学习效果通过考试和检测学生的作品，了解学生掌握知识和应用能力的程度，为后续教学打好基础。
五、教学步骤1. 教师引入通过PPT、讲课、互动等方式，向学生介绍函数模型和应用的基本概念，引导学生开始对新知识感兴趣并逐渐理解。
2. 学生探究将学生分为小组，给每个小组分配一组实际问题，让他们分析并在小组内讨论问题的解决办法，然后将结果展示给全班。
3. 老师讲解针对学生提出的问题和讨论，教师进行针对性的讲解，帮助学生掌握和理解函数模型的应用方法。
高中数学函数模型及其应用教案人教版必修一doc
函数模型及其应用一考纲要求。
1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2.搜集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
二．高考趋势。
函数知识应用十分广泛，利用函数知识解应用问题是数学应用题的主要类型之一，也是高考考查的重点内容。
三．要点回顾解应用题，首先应通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解。
其解题步骤如下： 1.审题 2.建模（列数学关系式） 3.合理求解纯数学问题。
4.解释并回答实际问题。
四．基础训练。
1．在一定的范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨700元，那么客户购买400吨，单价应该是2.根据市场调查，某商品在最近10天内的价格)(t f 与时间t 满足关系),101(2110)(+∈≤≤+=N t t t t f 销售量)(t g 与时间t 满足关系),101(24)(+∈≤≤-=N t t t t g 则这种商品的日销售额的最大值为 .3.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向公司交a 元)53(≤≤a 的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9)11≤≤x 时，一年的销售量为2)12(x -万件。
则分公司一年的利润L(元)与每件产品的售价x 的函数关系式为 .4.有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示）,则围成矩形场地最大面积为（围墙厚度不计）。
5.某建筑商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按右表折扣分别累计计算。
高中数学必修1《函数模型的应用实例》优秀教学设计
3.2.2 函数模型的应用实例三维教学目标知识与能力：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题。
过程与方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性。
情感、态度、价值观：体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值。
教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题。
教学难点：将实际问题转变为数学模型。
学习过程一、复习提问我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？二、新课例3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立汽车行 驶这段路程时汽车里程表读数skm 与时间th 的函数解析式，并作出檅应的图像。
解：(1)阴影部分面积为：50×1+80×1+90×1+75×1+65×1＝36阴影部分面积表示汽车在5小时内行驶的路程为360km 。
（2）根据图有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+=542299)4(65432224)3(75322134)2(90212054)1(8010200450t t t t t t t t t t s 画出它的函数图像。
在解决实际问题过程中，函数图像能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。
本例题是分段函数是刻画现实问题的重要模型。
例4、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可 以为有效控制人口增长依据。
早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状 态下的人口增长模型：y ＝rte y 0，其中t 表示经过的时间，y 0表示t ＝0时的人口数， r 表示人口的年平均增长率。
苏教版高中数学必修一第二章函数模型及其应用教案
《函数模型及其应用》教案一．课标要求：1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
二．命题走向函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。
高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。
出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
预测2009年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
三．要点精讲1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：实际问题函数模型实际问题的解函数模型的解抽象概括还原说明2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
高中数学教案 必修1 第十一讲：函数模型及其应用
博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名: 年级：高一日期：辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题第十一讲：函数模型及其应用授课日期教学目标1、培养学生根据实际问题进行信息综合列出函数解析式；2、会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论.教学内容函数模型及其应用〖教学重点与难点〗◆教学重点：根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型；◆教学难点：根据数学模型解决实际问题。
〖教学过程〗一、创设情境，导入课题在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.这段话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型.二、提出问题，探索新知①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x).②A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月. 把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域.③分析以上实例属于那种函数模型. 讨论结果：①f(x)=5x(15≤x ≤40).g(x)=⎩⎨⎧≤<+≤≤4030,902,3015,90x x x②y=5x 2+25(100—x)2(10≤x ≤90)；③分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型.三、应用示例例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. (1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象.图3-2-2-1活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断变化，汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数为分段函数.解：(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.(2)根据图，有s=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+.54,2299)4(65,43,2224)3(75,32.2134)2(90,21,2054)1(80,10,200450t t t t t t t t t t这个函数的图象如图3-2-2-2所示.图3-2-2-2变式训练电信局为了满足客户不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MN ∥CD).(1)分别求出方案A 、B 应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A 、B 两种优惠方案？并说明理由.图3-2-2-3解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤,100,10103,1000,20x x x g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤.500,100103,5000,50x x x(2)当f(x)=g(x)时,103x-10=50, ∴x=200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可;当客户通话时间为0≤x ＜200分钟，g(x)>f(x),故选择方案A ； 当客户通话时间为x>200分钟时，g(x)<f(x),故选方案B.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例 2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： y=y 0e rt ,其中t 表示经过的时间，y 0表示t=0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率. 下表是1950～1959年我国的人口数据资料：年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数／万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,…,r9.由55196(1+r1)=56300，可得1951年的人口增长率为r1≈0.020 0.同理,可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r 8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.令y=55 196，则我国在1951～1959年期间的人口增长模型为y=55 196e0.0221t,t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55 196e0.0221t(t∈N)的图象(图3-2-2-4).图3-2-2-4由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.(2)将y=130000代入y=55 196e0.0221t,由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.变式训练一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减.(1)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式;(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)解：(1)最初的质量为500 g.经过1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91;经过2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92;由此推知,t年后,ω=500×0.9t.(2)解方程500×0.9t=250,则0.9t=0.5,所以t=9.0lg 5.0lg =13lg 22lg --≈6.6(年), 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.知能训练某电器公司生产A 型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5 000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A 型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益. (1)求1997年每台A 型电脑的生产成本;(2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:5=2.236,6=2.449)活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导. 出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润.解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x 元,依题意,得 x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1－y)4=3200, 解得y 1=1－552,y 2=1+552(舍去). 所以y=1－552≈0.11=11%, 即1997年每台电脑的生产成本为3 200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%. 点评：函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体会它们的关系. 拓展提升某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称 空调 彩电 冰箱每台所需工时21 31 41 每台产值(千元) 4 32 问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少?(以千元为单位) 解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，每周产值为f 千元， 则f=4x+3y+2z ，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥=++=++)3(,60,0,0)2(,120413121)1(,360z y x z y x z y x由①②可得y=360-3x,z=2x,代入③得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥,602,03360,0x x x 则有30≤x ≤120.故f=4x+3(360-3x)+2·2x=1080-x, 当x=30时，f max =1 080-30=1050. 此时y=360-3x=270,z=2x=60.答:每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1 050千元.点评：函数方程不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体,请同学们借助上面的实例细心体会.四、课堂小结本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系.五、课后练习1．按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币（ ） A ． 3.52(18%)+万元 B ．362(18%)(12%)++万元 C ．32(18%)22%5++⨯⨯万元D ．3362(18%)2(18%)(12%)++⨯++万元解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故只有选B ．2．某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（ ）解析：由于d表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D。
高中数学必修一《函数模型及其应用》优秀教学设计
人教版数学必修①
3.2函数模型及其应用
【课时安排】第4课时
【教学对象】高一学生
【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。
而"3.2函数模型及其应用"一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解
决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。
本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。
【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。
【教学目标】
知识与技能
（1）初步理解数学模型、数学建模两个概念；
（2）掌握框图2——数学建模的过程。
过程与方法
（1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；
情感态度价值观
（1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；
（2）感受数学的实用价值，增强应用意识；
（3）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】框图2——数学建模的过程。
【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。
【教学方法】引导探究、讨论交流。
【教学手段】计算机、PPT、几何画板。
高一数学必修一教案《函数模型及其应用》
精心整理高一数学必修一教案《函数模型及其应用》【篇一】【内容】建立函数模型刻画现实问题量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。
在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。
【教学目标】(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程.态度了解函处理生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本过程中让学生亲身体验函数应用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)【学生学习中预期的问题及解决方案预设】①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的计算速度④计算结束后不进行检验这样以.教学前言：函数模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.教学内容师生活动设计意图探究新知引入：教师：大家觉得我胖吗?学生回答教师：我们在街上见到一个人总是会判断这个人的胖瘦，我们衡来衡量BMI 大于学生说，教师把相关数据填在用PPT展示的一张表格上教师：好，有了这些数据我们就可以来研究了，那接下来我们怎么来处理刚收集到的这些数据呢?学生回答(预期:画散点图——连线——找函数)教师：好，大家按小组先画图连线然后讨论一下你们小组认为哪个函数的图像符合学生活动并回答教师：好，那大家分一下工，你们几个小组来计算这个函数解析呢?教师:那大家来检验一下哪个模型更符合数据情况学生分小组进行检验教师:好了,我们利用刚才收集的数据通过我们的努力得出了一个式子,它也就是符合大家的情况的一个胖瘦的标准,既是我们班的一个标准,能用来衡量其它班的同学吗?那我们来计算一下老师的结果是什么样的.教师:可见用世界肥胖标准对老师的体重进行的评价和所建立的数学模型计算的结果是基本一致的。
高一数学必修教案《函数模型及其应用》
高一数学必修教案《函数模型及其应用》自己整理的高一数学必修教案《函数模型及其应用》相关文档，希望能对大家有所帮助，谢谢阅读！[第1条]【内容】建立描述现实问题的功能模型【内容分析】功能模型本身来源于现实，用于解决实际问题。
因此，这一节的内容是让学生有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，实现数学在实际问题中的应用价值。
同时，本课题是学生在学习初中函数的形象和性质的基础上，刚刚进入高中的探究式课堂教学。
学生在解决某一具体问题的过程中，可以从理解知识升华到熟练应用知识，从而辩证地看待知识理解与知识应用的关系，这种关系与所学的功能知识是紧密联系、相辅相成的。
另一方面，函数模型本身是与实际问题相结合的，空谈理论只能导致学生无法真正理解函数模型的应用以及在应用过程中建立和解决问题的过程，而从简单、典型、熟悉的函数模型中提取的思想和方法更容易被学生接受。
同时，学生要从简单的例子中学习，感受函数模型的选择和建立。
由于函数模型的建立离不开函数图像和数据表，会有一定量的原始数据处理，可能会用到计算机、计算器和图形工具，我们的教学更应该注重通过对实际问题的分析过程来选择合适的函数模型和函数模型的构建过程。
在这一过程中，学生应注重模型的建立，同时体验模型建立的可操作性和有效性，学习模型建立解决实际问题，培养和发展组织思维和表达能力，提高逻辑思维能力。
[教学目标](1)反映建立功能模型描述实际问题的基本过程。
(2)了解功能模型的广泛应用(3)通过学生的操作和探究，提高学生发现、分析和解决实际问题的能力(4)提高学生探索和学习新知识的兴趣，培养学生勇于探索的科学态度【重点】了解并建立一个功能模型来描述现实问题的基本过程，了解功能模型的广泛应用【难点】建立函数模型描述实际问题中的数据处理【教学目标分析】通过对整堂课抽样样本的分析和处理，学生认识到这门课的重点是用函数建模来刻画实际问题的基本过程，提高解决实际问题的能力。
5.3函数模型的应用 一等奖创新教学设计
5.3函数模型的应用一等奖创新教学设计4.5.3 函数模型的应用一、教学内容分析本节课的教学内容选自《人教版2019 年高中数学教科书必修第一册(A 版)》第四章指数函数第五节第三课时.函数是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具，函数模型在生活中有广泛的应用．《函数模型的应用》是在学生学习了函数、指数函数、对数函数和幂函数的概念与性质后进行的一次综合应用，学生已经掌握了多种函数模型，具备了一定的建模基础．本节课选择了“城市机动车保有量情况”为研究背景，这是各地的热点问题，具有实际意义，不仅能调动学生的积极性，也能体现数学的应用价值．二、学情分析1 ．学生前在状态分析学生当前已经掌握了函数的概念以及简单的性质，如单调性、奇偶性等，在函数类型上，初中就学习了一次函数、二次函数以及反比例函数，到了高中又学习了指数函数、对数函数以及幂函数等初等函数模型，因此学生具备一些函数方面的基本前在知识，此外从小学开始接触的应用题也是数学模型的简单应用基础，这些知识为学生学习本课时提供了经验上的可能.2 ．学生潜在状态分析学习本课时的学生是刚进入高中阶段的学生，在生理、心理方面逐渐趋于成人，此外学生的智力也日趋成熟，抽象逻辑思维由“经验型”向“理论型”转化. 函数部分作为整个中学数学的重难点，在初中学习的二次函数，可能对一部分学生的学习造成了不少困难，而到了高中函数集合概念的抽象性可能再次让学生困惑，甚至产生一定的恐惧心理.本课时的学习是对以前函数学习的一个巩固和应用，用函数知识解决问题，通过实际应用加深学生对函数理解的同时，也为后面进一步学习函数相关知识打下坚实基础.此外，本课时也涉及数学建模的初步思想，可以利用学生对于数学实践的兴趣来进行教学，使学生达到教学目标.三、目标及目标解析1 ．目标(1)了解函数模型在实际生活中的应用；通过生活实例问题解决的学习，初步理解数学建模的基本过程.(2)经历实际问题解决的完整过程，归纳利用函数模型解决实际问题的一般思维过程；能建立适当函数模型解决简单的生活问题.(3)通过实际问题的函数解决，体会数学的实际应用功能；经历实际问题的函数模型解决过程，增强解决问题的自信心，学会用数学的眼光观察生活.2 ．目标解析达成上述目标的标志是：(1)能够想到用函数的思想解决问题，对于不同的实际情况，会选择不同的函数模型针对性的加以解决.(2)在总结部分可以自己总结得到数学建模的一般步骤：实际问题→提出问题→建立模型→求解模型→检验结果→实际结果；通过合作探究的方式完成问题2，并能够评价问题与反思求解过程.(3)通过对所在城市与首都北京的实际问题—“机动车保有量”的解决，感受到函数并不只是存在于课本的这一章，而是真切的可以应用于生活中；在解决问题过后对问题的反思中，能够通过言语以及语气感受到对实际问题得到成功解决这一行为的自豪感.四、教学重点与难点1 ．教学重点：学会通过建立函数模型解决实际问题.2 ．教学难点：能针对不同问题灵活的选取模型，会对数据进行适当的处理.五、方法与策略1.教学方法(1)问答法(2)讨论法(3)探究法2.教学策略为了突出重点，本课时采用了问题导向式教学.(1)课程标准对本课时的要求为“体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义. ”而教师仅仅通过对教材例题的讲解很难达成目标，采用问题导向式教学可以让学生始终保持对问题的探究，从而在解决实际问题中学会数学建模的基本过程.(2) 教材上的例题虽多但都与学生的生活有一定距离，而通过问题导向式教学可以使得教学富有生活化气息，学生能被激发兴趣，主动探究数学问题.(3)问题导向式教学还能够正确建立学生合作氛围，激励学生相互探究，参研逻辑，整理思路，取得合作能力、沟通能力、表达能力的同步提升.为了突破难点，本课时采用了合作探究的学习方式．(1)首先，通过合作互助，学生能及时发现解题过程中的困难并予以克服，突破学习的难点．(2)其次，在合作探究的过程中，学生能及时交流解题思路并在Geogebra 软件的支持下进行充分探索，有利于发展学生的创新思维．六、教学过程(一) 前测评估，了解学情在本节课之前，对班级学生进行前测，以评估他们的学习情况．前测如下：近几年，芜湖市机动车保有量急剧增长，为了研究芜湖市机动车保有量的发展情况，小明调查了三年的机动车保有量数据：年份(x) 第1 年第2 年第3 年机动车保有量(y) (单位：万辆) 39 45 54若机动车保有量y 是年份x 的二次函数，请解答下面的问题：(1)到第4 年，芜湖市机动车保有量将达到多少万辆？(2)芜湖市机动车保有量将在哪一年超100 万辆？题后反思：你如何评价这个应用问题？【设计意图】前测的条件清楚准确，原始问题数学化的过程比较简单，学生只需要利用待定系数法确定函数模型即可解决相关问题．但在题后反思中，大部分同学可能无法作出清晰的评价或仅能作出如“挺实用的”等简单评价．由此可以看出，学生的基本知识和基本技能掌握得较好，但是应用数学的意识不强，也缺乏对问题进行评价与反思的经验．(二) 设计教学，开展实践基于对学生学情的把握，本节课的教学分四个环节进行．1.复习交流，引出问题在引入阶段，师生共同回顾前测并交流题后反思．学生认识到常见的应用问题往往条件有限、数据量少、函数模型唯一确定，与现实生活有一定的差距，引出后续的探究活动．2.分析问题，探求方法在学生交流的基础上，展示本节课的问题情境，并引导学生自主探究问题1．阅读材料———北京机动车保有量作为一个人口约为2000 万的特大城市，北京市的交通拥堵问题一直比较严重．为了缓解拥堵，2010 年12 月，北京市公布了《关于进一步推进首都交通科学发展加大力度缓解交通拥堵工作的意见》，其中一条重要的措施就是实施小客车(含私人小客车和非私人小客车)限购政策．2011 年，小客车限购政策正式实施，从2011 到2015 年，小客车限购指标分别为24 万、24 万、24 万、12 万、12 万．在未来几年中，小客车限购指标将减少至每年10 万．通过调控，北京市机动车(包含摩托车，小客车，货车等)增长趋势得到了一定的控制(见下图)，截至2015 年年底，北京市机动车保有量为562 万．市交通委此前发布规划：力争到2025 年将全市机动车保有量控制在730 万辆以内．根据材料中的信息，请你尝试解决下面的问题．问题1 请你估计若不实行限购，2015 年底北京市机动车保有量约为多少？【设计意图】阅读材料比前测更贴近实际，包含的数据和信息量较大，材料中的可用信息有待学生自己挖掘，学生需要对信息进行分析、筛选并利用不同的函数模型进行数据拟合和结果预测.预设：为了落实教学重点，采用自主探究、展示交流、讨论小结三个学习活动，引导学生逐步掌握建立函数模型解决实际问题的步骤.(1)自主探究在这个环节中，学生借助Geogebra 软件进行自主探究．多数学生能正确的(函数模型2：y =aX3+bX2+ CX + d预测结果：1207) (函数模型4 ：y=a.Xb预测结果：470 万)选择数据(2002—2010 年机动车保有量) 并利用不同的函数模型进行拟合，得到相应的预测结果如下：(函数模型1：y=aX+b预测结果：607 万)(函数模型3 ：y =a .b预测结果：789 万)(2)展示交流在自主探究的基础上，请一名同学从数据提取、函数拟合、结果预测等方面展示他的研究过程，并鼓励其他同学进行补充．【设计意图】一方面，这是对问题进行再分析的过程．学生在阐述方案的同时，有意识的分析方案的合理性，探究能力得到提高；另一方面，通过交流，学生直观的感受到现实问题结论的多样性．(3)讨论小结①为什么会有不同的预测结果？②是不是所有的预测结果都是合理的？预设：利用模型y ＝a ·Xb 预测的结果(470 万) 比实行限购后的实际数据(562 万)小，不合常理，利用三次函数进行拟合的预测数据过大(1207 万)，不符合实际.【设计意图】问题①让学生认识到每种函数模型都只是近似的反映机动车保有量与年份之间函数关系，从而提供了对结果的不同预测．在对结果合理性的讨论中，学生结合实际对结果进行了评价，学生对问题的认识得到提升，反思的意识得到加强．3.应用方法，解决问题在问题1 的基础上，向学生展示问题2．问题2 请你预测一下按照现行的小客车限购政策，2025 年北京市机动车保有量控制在730 万以内的目标能否达到？题后反思：请你评价一下这个应用问题．预设：要解决问题2，学生需要理解机动车、小客车、私人小客车之间的关系，并对数据进行适当的处理，这为本节课的难点．为了突破难点，本阶段学生采用了合作探究的学习方式．在充分的探究后，学生从数据选取和函数模型两方面交流了他们的方案．方案一：对2002-2014 年机动车保有量数据进行函数拟合；方案二：对2011-2014 年机动车保有量数据进行函数拟合；方案三：将2015 年机动车保有量加上每年的小客车限购指标；方案四：对每年小客车保有量增量与限购指标的比值进行函数拟合；……对学生的探究成果教师予以肯定，并引导他们对方案进行评价和改进．在这个过程中，学生对问题的认识逐步深入，也提出了一个相对更合理的方案．改进方案：(1)根据相关数据，计算2002 年到2015 年非小客车(不限购部分) 保有量，选择适当的函数模型进行拟合，预测2025 年的非小客车数量；(2)计算出2015 年小客车(限购部分) 保有量并以此为基础，根据之后每年的小客车限购指标预测2025 年的小客车数量；(3)将(1)(2)的结果相加，得到最后的预测结果(约720 万)，并得出结论——基本能完成630 万的控制目标．【设计意图】通过对问题2 的探究，学生获得了将数学知识运用于实际问题的成功体验，本节课的难点得以突破．之后，通过“请你评价一下这个应用问题”这一设问，学生再次经历了题后反思的过程．与前测相比，学生已经能有意识的从问题背景、解题方法、探究结果等方面来评价这个问题，反思的层次得到提升.4.总结收获，提升认识师生共同总结建立数学模型解决实际问题的基本步骤：在此基础上，教师指出，由于所学知识的限制，在问题解决的过程中，并未考虑更多的影响因素.并留下拓展作业——上网搜集与芜湖市交通有关的数据，提出相应的问题，并尝试利用所学的知识解决问题．七、板书设计§4.5.3 函数模型的应用①为什么会有不同的预测结果？②是不是所有的预测结果都是合理的？多媒体投影区y = aX + b 607 万y = aX 3 + bX 2 + CX + d 1207 万y = a . b 789 万y = a . X b 470 万八、设计理念说明1.在数学建模活动中，学生是认知活动的主体，教师是帮助者、促进者、引导者．在建模的教学中，方案的探索、实施、调整和反思应尽量由学生自主或合作探究完成，同时在评价学习效果时，无需过多的强调结果的正确性，应主要考查学生使用的数学方法是否得当，求解过程是否合乎常理，建模的结果是否有一定的实际意义．2.数学建模本质上是一个问题解决的过程，因此问题的设置是教学中关键的一环．数学建模的问题应来自于学生熟悉的日常生活、现实世界等多方面．同时，解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系．由于课堂教学面对的是全体学生，因此问题的设计应该有梯度，以使所有学生都能有所收获．本节课中，“前测——问题1——问题2——拓展作业”难度逐渐加大，不同发展水平的学生都可以在适当的层次上获得数学建模的经验．3. 《普通高中数学课程标准(2017 年版)》指出，“教师应整体设计、分步实施数学建模活动与数学探究活动，引导学生从类比、模仿到自主创新，从局部实施到整体构想，……”．考虑到高一学生数学建模的经验不足，在本节课中，“发现和提出问题”这个环节主要由教师课前完成，在呈现问题情境时，也剔除了一些复杂的现实因素．随着学生数学知识的扩充，数学能力的发展，我们还可以开展以数学应用和数学建模为主题的课外活动，让学生进一步经历数学建模的全过程．4. 由于数学建模的问题的来源更生活化，可用信息和数据量很大，因此，在问题解决的过程中，信息技术(如Geogebra 等)的使用是必要的．利用Geogebra ，学生能从多角度、多层次研究问题，为发展他们的创新思维提供了支持．史宁中教授指出：“抽象、推理、模型”是高中阶段的数学核心素养中最重要的三个要素”，数学建模的教学应当贯穿高中数学教育教学的全过程．作为学科教学的硕士，我们应当积极研究教学内容，在未来的课堂教学中为学生提供适于数学建模的素材和课题，让学生积累发现和提出问题，分析和解决问题的经验，促进学生核心素养的发展．。
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人教版数学必修①
3.2 函数模型及其应用
【课时安排】第4 课时
【教学对象】高一学生
【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。
而"3.2 函数模型及其应用"一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。
本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。
【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。
【教学目标】
知识与技能
（1）初步理解数学模型、数学建模两个概念；
（2）掌握框图2——数学建模的过程。
过程与方法
（1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；
情感态度价值观
（1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；
（2）感受数学的实用价值，增强应用意识；
（3）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】框图2——数学建模的过程。
【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。
【教学方法】引导探究、讨论交流。
教学手段】计算机、PPT、几何画板。
教学过程设计】、教学流程设计
1：
教学节环教学内容教活师动学活生动设意计图
（五）最优解的探究：预计时间7 分钟
我们前面的设计是将横截面设计成矩形，将深
度、宽度分别设计为a/4 和a/2 时，可得到最大的
横截面积。
如果将水槽的横截面分别按照下图中的五种方
案进行设计，结果又如何呢？
教
师将
学生
分成
五个
小
组，
并巡
视指
导学
生解
决问
题。
由于
缺少
导数
工
学生
动手探
究各自
的设计
方案
1、让
学生经
历数学
建模中
的优化
过程；
2、培
养学生
的探究
意识。
数学建模过程：预计时间2 分钟引导
分析
讲解
听讲
思考
这一实
际问题
的解决
过程，
概括出
数学建
模的基
本过
程，以
实现由
具体到
抽象的
升华。
下面，我们将全班分成 5 个小组，分别探 究五个方案的设计。
最后派代表报告本小组的 探究结果。
方案一： S=1/2x(a-x)sin θ≤
1/2x(a-x)=a 2/8-1/2(x-1/2a) 2≤ 22 a 2/8=0.125a 2。
当θ=90°且 x=1/2a 时， Smax=0.125a 2
(五)
方案二： S=1/2(2/3a+2 ×a/3 ×sin θ)a/3cos 教 学 1、让 最优解
2
θ)=a 2/9(1+sin θ)cos θ 师将 生 学生 的探
当θ=30°时， Smax ≈ 0.144a 2
学生 动 经历 究：预 方案三： (四个底角为 67.5 °的等腰三角形 )
分成 手 数学
具， 教师 应引 导学 生运 用观 察、 试 算、 估算 来探 究方 案二 的答 案。
、教学过程设计
计时间7 分钟
2
S=4×1/2 ×a/4 ×a/8tan67.5 °≈0.151a 2 方案四：（五个底
角为72°的等腰三角形） S=5×1/2 ×a/5 ×a/10tan72 °≈
0.154a 2 方案五：πr=a, ∴S=1/2r π2=a2/2 π ≈0.159a 2 通
过比较以上五种方案和横截面设计为矩形时的情况可以得
出，方案五是这个实际问题的最优解，即：将水槽的横截面
设计为半径为的半圆形时，从而可获得最大的流水量。
五个
小
组，
并巡
视指
导学
生解
决问
题。
由于
缺少
导数
工
具，
教师
应引
导学
生运
用观
察、
试
算、
估算
来探
究方
案二
的答
案。
探
究
各
自
的
设
计
方
案
建模
中的
优化
过
程；
2、培
养学
生的
探究
意
识。
（六）
什么是
数学建模：预
计时间6 分钟以上我们进行了六种设计方案的探究后，才找到了该问题的
最优解。
这就表明，数学建模需要对所得到的结果进行检验
评价，以确认结果是否合理，是否是较好的结果。
如果结果
不满意，就需要重新回到" 理想化问题"这一环节。
于是，
我们就可以概括出一个较为完善的数学建模过程的框图。
框
图2：
教师
讲解
概括
学
生
听
讲
思
考
1、使
学生
获得
科学
的数
学建
模理
论：
数学
建模
与数
学模
、教学过程设计
根据这个框图，我们就可以来回答什么是数学建模？数学建模(Mathematical Modelling) ：就是运用数学化的手段从实际问题中提炼、抽象出一个数学模型，求出模型的解，检验模型的合理性，从而使这一实际问题得以解决的过程。
数学模型就是用数学语言符号来描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
例如，各种函数、方程、不等式、不等式组等等都是比较常见的数学模型。
示的是一个变量：可大可小；可正可负；可以是有理数也可以使无理数。
由于数学模型具有高度的抽象性、概括性和结构的确定性，所以数学模型能以不变应万变。
不管是中文还是英文，一个字所能表达的意义十分有限，但我们的数学模型"" 却可以表示无穷无尽的对象——流动的世界。
又比如说勾股定理，这一模型可以用来处理数以亿计的实际问题。
从小到斜边长为一微米的直角三角形到大至斜边长为十万八千里的直角三角形，只要是直角三角形，它们居然都满足同样的结构模型：
斜边的平方等于两条直角边的平方之和。
我不知道，这个世界上还有什么学科象数学这样
如此简洁，如此概括，如此统一。
我只知道：" 数学的魅力在于，她能以稳定的模式驾驭流动的世界！"
教学节环教学内容
教师动活学生动活设计图意
（小八结）与1、小结
这节课，我们通过解决一个实际问题，
教师讲
解点
学生内
化数学
1、小结
意在强
（七）牛刀小试预计时间14 分钟
如下图，某房地产公司拥有一块" 缺角矩
形"荒地ABCD，E 边长和方向如图所示，欲
在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公
寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积。
教师解
释说明
问题，
最后演
示数学
实验。
学生动
手解决
问题
1、根据
练习律
和强化
原理，
强化刚
刚获得
的数学
建模理
论；
2、培养
学生的
问题解
决能
力。