微积分第三章答案

习题 3-1

1. 验证函数()f x =在区间[0,4]上满足罗尔定理的条件，并求出使得结

论成立的点ξ。

解：显然函数()f x =[0,4]上连续，在(0,4)上可导，且有(0)(4)0f f ==

所以函数在区间[0,4]上满足罗尔定理，则有()0

f ξ'=

=，83

ξ=

。 2. 验证函数3

()1f x x =-在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使

得结论成立的ξ。

解：函数3

()1f x x =-在区间[1,2]上连续，在(1,2)上可导，则满足拉格朗日中值定理，则

有2(2)(1)

321

f f ξ-=-，即ξ=

3. 函数4

()1f x x =-与2

()g x x =在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条

件，如满足，求出满足定理的数值ξ。

解：函数4

()1f x x =-与2

()g x x =在区间上连续，在区间(1,2)上可导，则满足柯西中值

定理，则有3

(2)(1)4(2)(1)2f f g g ξξ

-=-，即ξ=

4. 若4次方程432

012340a x a x a x a x a ++++=有4个不同的实根，证明

3201234320a x a x a x a +++=

的所有根皆为实根。

证明：设432

01234()f x a x a x a x a x a =++++，()0f x =的四个实根分别为1234,,,x x x x ，

且1234x x x x <<<，则函数()f x 在1[,](1,2,3)i i x x i +=上满足罗尔定理的条件，则在

1(,)i i x x +内至少存在一点i ξ，使得()0i f ξ'=。

这说明方程32

01234320a x a x a x a +++=至少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只

有3个实根，所以结论得到证明。

5. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，证明：存在(0,1)ξ∈，

使得

()

()f f ξξξ

'=-

。

解：构造辅助函数()()F x xf x =，而()()F x xf x =满足罗尔定理的条件，所以有在(0,1)，至少存在一点ξ，()()0f f ξξξ'+=即()

()f f ξξξ

'=-。

6. 试用拉格朗日中值定理证明： （1）2121sin sin x x x x -≤-； （2）当0x >时，

ln(1)1x

x x x

<+<+。 解：（1）设()sin f x x =，则()f x 在区间12(,)x x 上满足拉格朗日中值定理，则有

12

1212sin sin cos ,(,)x x x x x x ξξ-=∈-，又因为cos 1ξ≤，则

1212

sin sin 1x x x x -≤-， 1212sin sin x x x x -≤-。

（2）设()ln(1)f x x =+，则()f x 在区间(0,)x 上满足拉格朗日中值定理，则有

ln(1)11x x ξ+=+ (0,)x ξ∈，又因为11111x ξ<<++，则1ln(1)

11x x x

+<<+，即

ln(1)1x

x x x <+<+。

7. 证明等式：arctan arccot 2

x x π

+=

。

证明：设()arctan arccot f x x x =+，则有()(arctan arccot )0f x x x ''=+=， 所以()f x c ≡，代入0x =，得到arctan arccot 2

x x π

+=

。

8.设()f x 在[1,2]上具有二阶导数()f x ''，且(2)(1)0f f ==。若

()(1)()F x x f x =-。证明：至少存在一点ξ(1,2)∈，使得()0F ξ''=。

证明：因为(1)(2)0F F ==，在[1,2]上应用罗尔定理，有1()0F ξ'=， 又因为(1)0F '=，所以在1[1,]ξ上应用罗尔定理，有()0F ξ''=，1[1,][1,2]ξ⊂。

9.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内存在点ξ和η，使得 ()()2a b

f f ξηη

+''=

。 证明：构造辅助函数2

()g x x =，()f x 与()g x 在(,)a b 内满足柯西中值定理，即有

22

()()()()()

()()()f b f a f f b f a g b g a g b a ηη'--=='--，(,)a b η∈

而()f x 在(,)a b 内满足拉格朗日中值定理，所以()()()()f b f a f b a ξ'-=-， 即()()2a b

f f ξηη

+''=

。

习题 3-2

1. 用洛必达法则求下列极限：

（1）0sin lim sin x ax bx →； （2）30sin lim x x x

x

→-； （3）332132lim 1x x x x x x →-+--+； （4）2

tan lim tan 3x x x π→； （5

）2

lim x ； （6）2

ln()2lim tan x x x ππ

+

→-； （7）2

120

lim x x x e

→； (8) 0

lim cot x x x →; （9）2

lim(sec tan )x x x π

→

-；

（10）11lim()1ln x x x x

→--； （11）tan 0lim x

x x +→； （12）1

lim x x x →+∞； （13）1

lim(1sin )x

x x →+; (14) 111

lim x

x x

-→

解：（1）（

型）；000sin (sin )cos lim

lim lim sin (sin )cos x x x ax ax a ax a bx bx b bx b →→→'==='；