微积分第4章习题解答(上)

第四章 习题参考解答

习题4-1

1、下列各方程中,哪些是微分方程,哪些不是微分方程?若是微分方程，请指出其阶数

（1）是一阶微分方程；

（2）不是微分方程；

（3）是一阶微分方程；

（4）是二阶微分方程；

（5）是一阶微分方程；

（6）是一阶微分方程。

2、在下列各题所给的函数中，检验其中哪个函数是方程的解?是通解还是特解?

（1）（B ）是特解 （C ）是通解；

（2）(A)是特解 （B ）是通解；

（3）（A ）是通解（B ）是特解

3、求下列各微分方程在指定条件下的特解

（1）解：x x x y xe dx xe e dx ==-⎰⎰

(1)x y e x C ∴=-+

将(0)1y =代入上式，得2C =

故满足初始条件的特解为：2)1(+-=x e y x

（2）解：C x x

dx y +==⎰ln 将(1)1y =代入上式，得1C = 故满足初始条件的特解为：1ln +=x y

4、写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程

（1）解：设曲线为)(x y y =

由条件得2x y ='

（2）

解：设曲线为)(x y y =，则曲线上点),(y x P 处的法线斜率为y

k '-=1 由条件知PQ 中点的横坐标为0，所以Q 点的坐标为)0,(x -，从而有

01()y x x y -=-'--

即：20yy x '+= 注：DQ

PD

k =习题4-2

1、求下列微分方程的通解

（1）sec (1)0x ydx x dy ++= 解：原方程变形为：cos 1x

ydy dx x =-+

积分：11

cos 1x ydy dx x +-=-+⎰⎰ 得：sin ln 1y x x C =-+++ 所求的通解为：C y x x =++-sin 1ln

（2）10x y

dy dx += 解：原方程变形为：1010x y dy

dx = 积分：1010x

y dy

dx =⎰⎰ 得：11

1

1010ln10ln10y x C -=+

所求的通解为：1010x y C --=

（3）ln y y y '= 解：原方程变形为：ln dy

dx y y = 积分：1ln dy

dx y y =⎰⎰ 得：ln ln y x C =+，2ln x y C e =

所求的通解为：x Ce y e =

注：21,2C C e C e C ==；

（4）tan cot ydx xdy =

解：原方程变形为：cot tan ydy xdx =

积分：cos sin sin cos y x dy dx y x

=⎰⎰ 得：1ln sin ln cos y x C =-+

所求的通解为：sin cos y x C =

2、求下列微分方程满足给定初值条件的解

（1）2(1)0y dx x dy ++=，(0)1y = 解：原方程变形为：21dy dx

y x -=+ 积分：21dy

dx y x -=+⎰⎰ 得：1

ln 1x C y =++

将(0)1y =代入上式，得1C = 所求的特解为：11ln 1

++=x y

（2）(1)y y y '=-，(0)1y = 解：原方程变形为：(1)dy

dx y y =- 积分：1

1

()1dy dx y y -=-⎰⎰ 得：1ln y x C y -=+，即 1

x y Ce y -=

将(0)1y =代入上式，得0C =

所求的特解为：1=y

（3）011x

y

dx dy y x -=++，(0)1y =

解：原方程变形为：(1)(1)y y dy x x dx

+=+

积分：22()()y y dy x x dx +=+⎰⎰

得：

232311112323

y y x x C +=++ 将(0)1y =代入上式，得56C = 所求的特解为：523233232++=+x x y y

（4）sin cos cos sin y xdy y xxdx =，(0)4y π=

解：原方程变形为：tan tan ydy xdx =

积分：tan tan ydy xdx =⎰⎰ 得：1ln cos ln cos y x C =+ 即：cos cos y C x =

将(0)4y π

=代入上式，得2

C = 所求的特解为x y cos cos 2=

（5）2222()()0y xy dx x yx dy +-+=，(1)1y =- 解：原方程变形为：22

11y x dy dx y x ++= 积分：221111(

)()dy dx y y x x +=+⎰⎰ 得：11ln ln y x C y x

-+=-++ 即：0ln 11=++-C y

x x y 将(1)1y =-代入上式，得2C = 所求的特解为：02ln 11=++-y

x x y 3、一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点平分，求该曲线的方程 解：

设所求曲线方程为：()y f x = 由题意得：2tan 2y y y x x

θ'=-=-

=- 且满足：(2)3y = 将方程变形为：dy dx y x =- 积分：dy dx y x

=-⎰⎰ 得：1ln xy C = 即：1C xy e C =±=

将(2)3y =代入上式得6C =

故所求曲线为：6=xy 注：y k y x

'=- 4、设将质量为m 的物体在空气中以速度0v 竖直上抛，空气阻力为22k v ，这里k 为常数，v 为运动速度，求速度v 与时间t 的函数关系

解：设所求速度v 与时间t 的函数关系为：()v v t =

由牛顿第二定律知22ma mg k v =-- 即：22dv m mg k v dt

=--且满足：0(0)v v = 分离变量得：

dt dv v k mg m -=+22

积分：22()()m

d kv t C k kv =-++⎰

t C =-+