2019届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第一次适应性考试(一模)数学(文)试题(解析版)

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第I卷(选择题满分60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)r、Z ［、X1 •已知集合A = {x|log2(x+l)<l},B = k - >1［,则A B=( )(3丿-XA. (—1,0)B. (―oo,0)C.(0,1)D. (l,4~oo)2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,-boo)单调递减的函数是()A. y = -x3B. y = ］n xC. y = cosxD. y = 2*cin x3•函数的图象可能是()4.设d〉0且Q工1,贝ij “函数/(兀)=ci x在R上是减函数”是“函数g(兀)=(2 —Q*在尺上递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4 2 |5.已知。

=2弓,方=45,(? = 253 ,贝9( )A. c<a<bB. a<b<cC. b<a<cD. b<c<a6.若实数d,方满足2" =3,3" =2,则函数f(x) = a x^x-b的零点所在的区间是()A. (―2,—1)B. (-l,0)C.(0,1)D. (1,2)7.已知命题p：u3x0e/?,使得xj + 2關+ l<0成立”为真命题，则实数。

满足( )A. ［-L1)B. (—00,—l)k_J(l,+oo)C. (1,+ 8)D. (―oo,—1)8.定义在/?上的奇函数/(尢)满足/(尢-4) = -/(兀)，且在区间［0,2］上递增，贝9()A. /(-25)</(ll)</(80)B. /(80)</(11)</(-25)C. /(-25) </(80) </(I 1)D. /(I 1) < /(80) < /(-25)9.已知函数y = /(x+l)是定义域为/?的偶函数，M/(x)在［l, + oo)上单调递减，则不等式10•若曲线Q:y = a^（x>0）与曲线C 2:y = e x 存在公共点，则d 的取值范围是（）11. 函数/(x) = 2m^ - 3nx" +10(m > 0, M > 0)有两个不同的零点，则5(lgm)2 +9(lgn)2 的最小值是()12. 函数/（兀）是定义在（0,+oo ）上的可导函数，导函数记为/（X ）,当X 〉0且兀H1时，2/E + U 〉0,若曲线y = f （x ）在x = l 处的切线斜率为一纟，则/（1）=（） x-\52 3 4 A. —B. —C. —D. 1 5 5 5 第II 卷（非选择题满分90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 任意幕函数都经过定点则函数/（x ） = n4-\og a （x-m ）（6? >^1）经过定点 _____ . 14. __________________________________________________ 函数/（x ） = \nx-ax 在［l, + oo ）上递减，则d 的取值范围是 ___________________________ .w' — x — 2 兀 > 0 . '■的零点个数为. x~ +2x,x<0丫2 _1_ y 1 16. 若函数/（兀）满足：办w 7?, /（兀）+ /（-%） = 2,则函数g （兀）=—-—— + f （兀）的最大 x +\值与最小值的和为.三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17. （本小题满分10分）已知命题〃：方程x 2+ax + — = 0有两个不相等的负实数根；命题q ：关于。

湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试一模文科综合试题

考试时间；2019年2月12日9:00-11:30长郡中学2019届第一次适应性考试文科综合能力测试本试卷分第I卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分，满分300分，时量150分钟．第I卷（140分）一、选择题：本大题共35小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

景观作为一个整体代表了地球表面的一部分，是在自然和人类的相互影响下逐步地改变、影响或适应特定的生态因子后形成的。

读图1,2,据此完成1-3题。

1我国典型传统村庄景观图2西欧典型传统村庄景观1.造成两幅景观图差异的直接原因是A．地形差异B甲文通运输方式不同C．气候差异D．农业生产方式不同2. 20世纪中期，图1地区农业单位而积产量明显增长，主要得益于A.规模扩大B．机械化 C.增加劳动力D．资金投入3.图2中大面积的植被最有可能是A．小麦B．水稻C．牧草 D.落叶阔叶林青海湖裸鲤是一种特有的高原洄游性鱼类，其生长极其缓慢，每年大约只长50克；裸鲤洄游会形成“群鸟猎鱼”等奇特的景观。

读图3,据此完成4--6题。

4.若过度捕捞裸鲤等鱼类，短期内一定会导致图3中A.渔鸥数量减少B．沼泽植物数量增多 C.鸬鹚数量减少D．水生昆虫数量增多5．下列因素中，与裸鲤生长缓慢相关的条件是A．地势高，空气稀薄B甲气温低，生长周期短C．天敌数量多D．饵料不足6甲裸鲤在上溯徊游时，最容易被群鸟猎食的河段可能是A．河道较窄，地势起伏较大的河段B．河道较宽，地势平缓的河段C．河道较宽，地势起伏较大的河段D．河道较窄，地势平缓的河段六盘水是20世纪60年代中期建立起来的工业城市，被石灰岩山丘环抱，水城河穿城而过，以凉爽的高原气候著称。

城市人口密集，在60 km2的土地上，居住了约60 万的人口。

为了改善城市居住环境，建设完善的生态基础设施，城市景观设计师们将水城河串联起现存的溪流、坑塘、湿地和低洼地，形成一系列蓄水池和不同承载力的净化湿地．构建了一个完整的雨水管理和生态净化系统，即绿色海绵体系。

湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(文)试题(解析版)

长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的运算，求并集即为求满足两个集合的最大范围。

【详解】集合A为，集合B为所以并集所以选D【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题。

2.2.复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，进而化简即可得到复数的虚部。

【详解】所以复数z的虚部为-3所以选B【点睛】本题考查了复数的基本运算和基本概念，注意复数的虚部只有数字，不含虚数单位，属于基础题。

3.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用二倍角的余弦公式求解即可. 详解：,故选C.点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式，属于简单题.4.4.某家具厂的原材料费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据回归直线经过样本平均数中心点，求得平均值，代入即可求得b 。

【详解】因为回归直线方程经过样本中心点，代入回归直线方程得所以选A【点睛】本题考查了回归直线的简单应用，注意回归直线会经过平均数中心点，而不是某个样本点，属于基础题。

5.5.已知向量，，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】由题意，所以答案A ，B 都不正确；又，且，所以答案C 不正确，应选答案 D 。

6.6.执行如图所示的程序框图输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据程序框图循环结构运算，依次代入求解即可。

【详解】根据程序框图和循环结构算法原理，计算过程如下：所以选A【点睛】本题考查了程序框图的基本结构和运算，主要是掌握循环结构在何时退出循环结构，属于基础题。

湖南省长郡中学2019届高三第一次模拟考试数学(文)试题

湖南省长郡中学2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设,a R i ∈为虚数单位.若复数()21z a a i =-++是纯虚数，则复数32a ii--在复面上对应的点的坐标为 A. 18,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 74,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 47,55⎛⎫-⎪⎝⎭D. 74,55⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知集合(){}(){}2222log 34,3200A x y x x B x x mx m m ==--=-+<>，B A ⊆若，则实数m 的取值范围为A. ()4+∞，B. [)4+∞，C. ()2+∞，D. [)2+∞，3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为 A.16B.23C.310D.254. 已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，若右支上有点M 满是221,cos 3OM OF MOF =∠=，则双曲线的离心率为5.长郡中学某次高三文数周测，张老师宣布这次考试的前五名是：邓清、武琳、三喜、建业、梅红，然后让五人分别猜彼此名次。

湖南省长郡中学2019届高三第一次高考模拟适应性考试文科数学答案

高三一模数学（文科）参考答案第 1 页
B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4，12，13，14，23，24，34，共 21 种情况，其中不在同一收入人群的有：A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4，共 12 种，所以所求概率为 P＝
12 4 ＝． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （8 分） 21 7
n 1

2n 1 1 n 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （9 分） 1 ， nn 1 n n 1
∴T2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝（1＋
1 1 1 1 1 1 ）－（＋）＋（＋）－…＋（＋ 2 2 3 3 4 2n 1
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （2 分）调整后 y 关于 x 的表达式为 y＝
0, x 5000 ． · · · · · · · · · · （4 分） x 5000 0 . 03 , 5000 x 8000
1 1 1 1 ）－（＋）＝1－＜1． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （12 分） 2n 2 n 2n 1 2n 1
0, x 3500 18．解：（Ⅰ）调整前 y 关于 x 的表达式为 y＝ x 3500 0.03,3500 x 5000 ， 45 x 5000 0.1,5000 x 8000

湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)数学(文)试题(解析版)

长郡中学2019届第一次适应性考试数学(文科)试题第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出所有小于150的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于3的个数即可求解。

【详解】列出所有小于150的三位回文数如下：101,111,121,131,141.从中任取两个数共有10种情况如下：（101,111），（101, 121），（101, 131），（101, 141），（111, 121），（111, 131），（111, 141），（121,131），（121,141），（131,141）.两个回文数的三位数字之和均大于3的有：（121,131），（121,141），（131,141）共3种情况.两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为：.故选：C【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题。

析系列数学(文)试题金卷10套：湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期开学摸底测试文数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数21z i=+（i 是虚数单位）的共轭复数在复数平面内对应的点是（） A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)-- 【答案】A考点：复数概念及运算.【易错点晴】在复数的四则运算上,经常因为疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2.已知函数(5),2(),22(),2x f x x f x e x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（）A ．2eB ．eC ．1D ．1e【答案】B 【解析】试题分析：2x <-时，(2016)(2016)f f -=，2x >时，函数周期为5，()(2016)1f f e ==. 考点：分段函数求值.3.抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于（） A ．118 B ．19 C ．16D ．536【答案】B 【解析】试题分析：基本事件36种，符合题意的为()()()()1,6,6,1,2,3,3,2共四种，故概率为19. 考点：古典概型.4.设,,a b c 为三角形ABC 三边长，1,a b c ≠<，若log log 2log log c b c b c b c b a a a a +-+-+=，则三角形ABC 的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定【答案】B考点：1.解三角形；2.对数运算.5.如图所示，已知椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 与C 的焦点不重合，分别延长12,MF MF 到,P Q ，使得1123MF F P =，2223MF F Q =，D 是椭圆C 上一点，延长MD 到N ，若3255QD QM QN =+，则||||PN QN +=（）A ．10B ．5C ．6D ．3【答案】A 【解析】试题分析：根据椭圆的定义和比例，有()1255||||||||41022PN QN DF DF +=⋅+=⋅=. 考点：直线与圆锥曲线位置关系.6.若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=（） A ．13 B ．13- C ．79D ．79-【答案】A 【解析】试题分析：212cos ()1cos cos sin 6232663παππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 考点：三角恒等变换.7.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为3，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（）A ．8B ．．4D ．【答案】B考点：三视图.8.定义区间12[,]x x 的长度为2121()x x x x ->，函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（）A ．-3 C ．1 D ．3【答案】D 【解析】试题分析：()2111f x a a x=+-为增函数，故()f x 与y x =有两个交点，22()1a a x x a x +-=，化简得()22210a x a a x -++=，2111,m n mn a a+=+=，()()2223241n m n m mn a a -=+-=-++，对称轴113a =时，取得最大值，故3a =.考点：函数导数与不等式. 9.已知函数2ln ||()x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（）【答案】A考点：函数图象与性质.10.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为4，则输出的结果是（） A ．1 B ．12- C ．54- D ．138-【答案】C 【解析】试题分析：4,1x y ==，循环，11,2x y ==-，循环，15,24x y =-=-，退出循环，故选C.考点：算法与程序框图.11.已知非零向量,a b 满足||2||a b =，若函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存有极值，则a 和b 夹角的取值范围是（） A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．[,]3ππ【答案】B考点：1.向量运算；2.函数导数. 【思路点晴】函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存有极值，转化过来，意思就是函数()f x 的导数在R 上有两个不相等的实数根，函数求导后得到()'2f x x a x a b =++⋅，利用判别式大于零，即有22140,cos 24aa ab a bθ-⋅≥≤=，两个向量所成的角的取值范围是[]0,π，在这个区间上，满足1cos 2θ≤的角的取值范围就是(,]3ππ.两个知识点的题目，只需要我们各个击破就能够解决.12.若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（） A ．[1,1]- B ．1[1,]3- C ．11[,]33- D ．1[1,]3-- 【答案】C 【解析】试题分析：函数在(,)-∞+∞单调递增()'22451cos 2cos cos cos 0333f x x a x x a x =-+=-++≥恒成立，即24cos 3cos 50x a x --≤恒成立，1cos 1x -≤≤，所以435011,,435033a a a +-≤⎧⎡⎤∈-⎨⎢⎥--≤⎣⎦⎩. 考点：导数与单调区间.【思路点晴】函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，也就是它的导函数恒大于等于零，我们求导后得到()'22451cos 2cos cos cos 0333f x x a x x a x =-+=-++≥恒成立，即24cos 3cos 50x a x --≤恒成立，这相当于一个开口向上的二次函数，而1cos 1x -≤≤，所以在区间的端点要满足函数值小于零，所以有435011,,435033a a a +-≤⎧⎡⎤∈-⎨⎢⎥--≤⎣⎦⎩.解决恒成立问题有两种方法，一种是分离参数法，另一种是直接用二次函数或者导数来讨论.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.在正方体ABCD 中，M 是BD 的中点，且,(,)AM mAB nAD m n R =+∈，函数()1x f x e ax =-+的图象为曲线Γ，若曲线Γ存有与直线()y m n x =+垂线的切线（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是 . 【答案】()1,+∞ 【解析】试题分析：依题意1,12m n m n ==+=，()y m n x x =+=，()'1,10,1x x f x e a e a a =-=-=->>.考点：1.向量运算；2.切线方程. 14.已知直线4x π=是函数()sin cos (0)f x a x b x ab =-≠图象的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 .【答案】4π考点：三角函数图象与性质.15.设,x y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若4M x y =+，1()2x N =，则M N -的最小值为 . 【答案】4-考点：线性规划.【思路点晴】本题的命题背景是线性规划，第一步我们就画出可行域，由图象可知，可行域为三角形. M N -的最小值即min max M N -，我们只需求出M 的最小值，减去N 的最大值即可.在图象中画出基准的4y x =-，向下平移到点()1,2-取得最小值为2-，而对于N ，这是一个减函数，由可行域可知定义域的取值范围是[]1,3-，故N 在1x =-是取得最大值为2，故min max 4M N -=-.16.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .【答案】【解析】试题分析：抛物线准线为2p y =-，代入双曲线得x =，焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，故=p =考点：圆锥曲线间的位置关系.【思路点晴】本题考查的是抛物线和双曲线的位置关系.先根据定义求出抛物线的焦点和准线方程分别为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭和2p y =-.将2p y =-代入双曲线的方程，可求得,A B 两点的坐标.得出坐标之后，根据题意，ABF ∆为等边三角形，也就是说AF k ==解得p =.此类题目主要的方法就是数形结合，然后利用圆锥曲线的定义来求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项14a =，前n 项和为n S ，且13240n n S S n +---=（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设函数23121()n n n n f x a x a x a x a x --=++++，'()f x 是函数()f x 的导函数，令'(1)n b f =，求数列{}n b 的通项公式，并研究其单调性. 【答案】（1）1*531()n n a n N -=⨯-∈；（2）15315(6)42n n n n b +⨯-+=-，单调递增数列.试题解析：（1）由13240n n S S n +---=，*()n N ∈，得132240n n S S n ---+-=(2)n ≥ 两式相减得1320n n a a +--=，可得113(1)(2)n n a a n ++=+≥又由已知214a =，∴2113(1)a a +=+，即{1}n a +是一个首项为5，公比3q =的等比数列， ∴1*531()n n a n N -=⨯-∈.考点：数列.18.（本小题满分12分）如图，三棱锥S ABC -，,E F 分别在线段,AB AC 上，//EF BC ，,ABC SEF ∆∆均是等边三角形，且平面SEF ⊥平面ABC ，若4,BC EF a ==，O 为EF 的中点.（1）当a =S ABC -的体积；（2）a 为何值时，BE ⊥平面SCO .【答案】（1；（2）83a =.（2）平面SEF ⊥平面ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =， ∴SO ⊥平面ABC ，故SO BE ⊥，要使BE ⊥平面SCO ，则需BE CO ⊥，延长CO 交AB 于D ，则CD AB ⊥，1124DE EO a ==，2AD =， ∴124AE a =+，即AE EF =，124a a +=，83a =，所以83a =时，BE ⊥平面SCO .考点：立体几何证明垂直与求体积. 19.（本小题满分12分）国内某知名大学有男生14000人，女生10000人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]）. 男生平均每天运动时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）；（2）若规定平均每天运动的时间很多于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别相关？”参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：【答案】（1）1.5；（2）①4000；②列联表见解析，不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别相关.【解析】（2）①样本中“运动达人”所占比例是2011206=，故估计该校“运动达人”有1(1400010000)40006⨯+=人；②由表可知：故2K 的观测值2120(1545555)962.7433.84120100507035k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别相关” 考点：1.频率分布直方图；2.独立性检验. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交于,M N 两点，且||3MN =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点F 且斜率为k ，l 与椭圆C 相交于,A B 两点，与以椭圆C 的右顶点E 为圆心相交于,P Q 两点（,,,A P B Q 自上至下排列），O 为坐标原点，95OA OB ∙=-，且||||AP BQ =，求直线l 和圆E 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（20y -=0y +=，圆E 的方程为22331(2)100x y -+=.试题解析：（1）设(,0)F c ，则由题意得222c a b =-，12c a =，223b a ∙=，解得2,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意，直线l 的斜率k 存有，设l 的方程为(1)y k x =-，联立椭圆方程得：2222(34)84120k x k x k +-+-=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】圆锥曲线命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 21.（本小题满分12分）已知函数ln ()kx kf x e+=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线与x 轴平行. （1）求k 的值；（2）设2'()()()g x x x f x =+，其中'()f x 为()f x 的导函数，证明：20,()1x g x e -∀><+.【答案】（1）1k =；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，意思就是曲线在该点的导数为0，即'1(1)0kf e-==，解得1k =；（2）先求得21ln 1()()(1ln )xx x x x x g x x x x x x xe e--+=+=--，设()1ln h x x x x =--，利用导数求得()h x 在(0,)+∞上的最大值为22()1h e e --=+，即2()1h x e -≤+.设()(1)x x e x ϕ=-+，利用导数求得()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，∴()(0)0x ϕϕ>=，即(1)0xe x -+>，所以101x x e +<<.所以21()()1xx g x h x e e-+=<+.考点：函数导数与不等式.【方法点晴】本题考查函数导数的基本原理.首先是导数与切线的关系，题目中曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，意思就是曲线在该点的导数为0，由此建立方程可求出1k =.本题第二问，利用综合法来分析，要证21()()1x x g x h x e e-+=<+，即是证2()1h x e -<+，且101x x e+<<.我们构造两个函数，一个是()1ln h x x x x =--，一个是()(1)x x e x ϕ=-+，利用导数作为工具来证明即可.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆M 与圆N 交于,A B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于,C D 两点，延长DB交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ，已知5,10BC DB ==. （1）求AB 的长；（2）求CFDE.【答案】（1）AB =（2）1.（2）根据切割线定理，知2CA CB CF =∙，2DA DB DE =∙，两式相除，得22CA CB CFDA DB DE=∙（*）由ABC ∆∽DBA ∆，得AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==，由（*）得1CFDE=. 考点：几何证明选讲.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρθ=+.（1）若极坐标为)4π的点A 在曲线1C 上，求曲线1C 与曲线2C 的交点坐标；（2）若点P 的坐标为(1,3)-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求||||PB PD . 【答案】（1）(2,0),(0,2)；（2）6.解得：1120x y =⎧⎨=⎩，2202x y =⎧⎨=⎩，故交点坐标分别为(2,0),(0,2).（2）由判断知，P 在直线1C 上，将1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入方程22220x y x y +--=得：24(cos sin )60t t αα--+=，设点,B D 对应的参数分别为12,t t ，则1||||PB t =，2||||PD t =，而126t t =，以1212||||||||||6PB PD t t t t ===. 考点：坐标系与参数方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设不等式|21|1x -<的解集为M ，且,a M b M ∈∈. （1）试比较1ab +与a b +的大小；（2）设max A 表示数集A中的最大数，且h =，求h 的范围. 【答案】（1）1ab a b +>+；（2）(2,)h ∈+∞.（2）∵h≥，h≥h≥∴2234()4()428a b a b abhab ab ab++⨯≥>≥=∴(2,)h∈+∞.考点：不等式选讲.。

湖南省长郡中学2019届高三数学上学期第一次月考(开学考试)试题文

长郡中学2019届高三月考试卷(一）数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{|02}A x x=<<，{|1}B x x=≥，则A B=（）A．{|01}x x<< B．{|1}x x≥ C．{|12}x x≤< D．{|0}x x>2。

复数z满足(2)36z i i+=-(i为虚数单位),则复数z的虚部为（）A．3 B．3- C．3i D．3i-3。

已知2sin5α=，则cos2α=（）A．725B．725- C．1725D．1725-4.某家具厂的原材料费支出x（单位：万元)与销售额y(单位：万元）之间有如下数据,根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为8.5y x b=+，则b为（）A．7.5 B．10 C．12.5 D．17.55。

已知向量(2,1)a=-，(1,3)b=-，则（）A．//a b B．a b⊥ C．//()a a b- D．()a a b⊥-6.执行如图所示的程序框图输出的结果是（ )A ．8B ．6C ．5D ．37。

已知曲线1C ：sin y x =，2C ：2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下面结论正确的是( ）A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C8.曲线()2x f x x e =-在点(0,(0))f 处的切线方程是( ） A ．210x y --= B ．10x y -+= C ．0x y -= D ．10x y --=9.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α2( ）A ．43πB ．63πC ．6πD ．46π10。

湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(文)(PDF版)

长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（文科）得分: _____________本试卷共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共12小题•每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合人=心|0<工<2},£=&|*$1},则AUB=A.{j?|0<.r<l}B.匕|工》1}C. {z| lMz<2}D. {広匕〉。

}★2•复数n满足之（2 + i） = 3 — 6i（i为虚数单位）•则复数之的虚部为A. 3B. -3C. 3iD. -3i3.已知sin a=-z~,则cos 2a=oA Z B—2 cH D—□* 25 •25 • 25•254.某家具厂的原材料费支H2、（单位:万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下数据•根据表中提供的全部数据•用最小二乘法得出丿与乂的线性回归方程为$ = & 5久+〃・则〃为、厂 2 4 5 6 825 35 6() 55 75★5.已知向量a=（— 2,1）,〃=（一1,3）,则A. a//b B a丄bC. a//（a—h）D. a丄（a—b）★6.执行如图所示的程序框图输出的结果是7.已知曲线C. ：y=sin M2 ：y=sin（2«r+普），则下面结论正确的是A.把G上各点的横坐标缩短到原来的+倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移?个单位长度，得到曲线GB.把G上各点的横坐标缩短到原來的+倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移于个单位长度，得到曲线GC.把G上各点的横坐标伸氏到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移警个单位长度，得到曲线D.把G上各点的横坐标伸长到原來的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移于个单位氏度，得到曲线G&曲线f（x） = 2x-^在点（0,/（（）））处的切线方程是A. 2工一y—l=0 $+1=0C.久一y=0 I）, y—1 = 09.平而a截球的球而所得恻的半径为1,球心（）到平而a的距离为施，则此球的体积为A. 4用兀B. 6箱兀C.用兀D. 4用冗10.已知*工）是定义在R上的偶函数，且在区间（一8,0］上单调递增.若实数a满足/"）＞/'（一施），则a的取值范围是A. （—OO,—血）B.（s/2 , +oo）C. （-72,72）D. （-OO,-V2）U（/2,+CXD）★ 11.已知四棱锥S-ABCI）的三视图如图所示，则围成四棱锥S-ABCI）的五个面中的最大面积是A. 3B. 6C. 8D. 1012.已知F是抛物线C：/=8^的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则丨FN | =A. 4B. 6C. 8D. 10选择题答题卡二、填空题:本题共4小题・每小题5分.共2（）分.严一夕鼻0,13._________________________________________________ 已知小歹满足占+3<2,则之=2久+歹的最大值为___________________________ .★14•若点P（l,l）为圆云+ b _6工=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为 _______ .15.在中，面积S=*（/ +圧一疋），则角（：的大小为 ______________ ・★16.已知函数/Cr） = lg卄号工一9在区间5」+l）（”WZ）上存在零点,则n= ________ .三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题•每个试题考生都必需作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）等比数列｛d”｝中，已知01=2,04=16.（T ）求数列仏”｝的通项公式；（II）若心心分别为等差数列血｝的第3项和第5项，试求数列仇｝的通项公式及前"项和S”・1& （本小题满分12分）已知四棱锥P-ABCI）中，底面ABCI）是边氏为2的正方形,PA = PD=V2, CD丄PD.E为CD的中点.（I ）求证:FD丄平而PAB；（|［）求三棱锥P-ABE的体积.PR某家电公司销售部门共有200名销售员•每年部门对每名销售员都有 1 400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22]（单位:百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3 组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6）,[6,10）,口0,14）,[14,18）, [18,22],并绘制出如下的频率分布直方图.（丨）求“的值，并计算完成年度任务的人数；（U）用分层抽样的方法从这20（）名销售员中抽取容量为25的样本•求这5组分别应抽取的人数；（m）现从（H）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三II游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.过椭恻C：若+君=1（5>0）的右焦点R的直线交椭I员1于AJ3两点,只为其左焦点，已知△AR B的周长为4州,椭圆的离心率为普.（I）求椭圆0的方程；（II）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线歹=曾工+加相交于不同的两点M、N.当| PM| =| PN|时,求实数加的值.已知函数/（^） = e*-4.（I ）当a=l时,求函数F（;r）=jr［/（工）一/"（丁）］的最小值; （U）若gCr）=l*》）l在［0,1］上单调递增，求实数。

【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试(一模)数学(文)试题(解析版)

长郡中学2019届第一次适应性考试数学（文科）试题注意事项:1.答题前,考生须认真核对条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号,并将其贴在指定位置,然后用0.5毫米黑色字迹签字笔将自己所在的县(市、区)、学校以及自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡和试卷的指定位置,并用2B铅笔在答题卡的“考生号”处填涂考生号。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在试卷、草稿纸或答题卡上的非答题区域均无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

湖南省长沙市长郡中学2019届高三高考模拟考试数学(文)试题Word版含答案

湖南省长沙市长郡中学2019届高三高考模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|110P x N x =∈≤≤,集合{}2|60Q x R x x =∈--<,则P Q 等于( )A ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．[]1,2D ．[1,3)2.复数z 满足(2)3z i i +=-,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第三象限3.某公司的班车分别在7:30,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过15分钟的概率是( ) A ．13B ．38C ．23D ．584.已知曲线2()ln x f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π,则a 的值为( )A ．1B ．4-C ．12-D ．1-5.已知平面向量a ,b 满足||3a =,||2b =,a 与b 的夹角为120︒,若()a mb a +⊥,则实数m 的值为( ) A ．3B ．2C ．32D ．16.设{}n a 是公差不为0的等差数列,满足22224567a a a a +=+,则{}n a 的前10项和10S =( )A ．10-B ．5-C ．0D ．57.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>,02ϕπ≤≤)在R 上的部分图像如图所示,,则(2018)f 的值为( ) A ．25B ．5-C ．52-D ．58.设0a b >>,1a b +=,且1()bx a=,1log aby ab =,1log bz a =,则x 、y 、z 的大小关系是（）A ．y z x <<B ．z y x <<C ．x y z <<D ．y x z <<9.《九章算术》是我国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为（） A ．4B ．5C ．7D ．1110.已知()f x 是定义在[]2,1b b -+上的偶函数，且在[]2,0b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（）A ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的四面体A OEF -中，下列结论中错误的是（） A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF所成角的正切值为C ．异面直线OH 和求AE 所成角为60︒ D ．四面体A OEF -的外接球表面积为6π12.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>与过原点的直线交于A 、B 两点，右焦点为F ，120AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为E 的焦距的取值范围是（） A ．[2,)+∞B ．[4,)+∞C．)+∞ D．)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量x ，y 满足约束条件10,0,240,x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y =-的最大值为．14.双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的渐近线与圆22(1x y +=相切，则此双曲线的离心率为．15.已知四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD，且2PA PD AD ===，4AB =，则球O 的表面积为．16.已知数列{}n a 满足对13n ≤≤时，n a n =，其对*n N ∀∈，有312n n n n a a a a ++++=+，则数列{}n n a ⋅的前50项的和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 4A =，2C A =. （1）求sinB 的值；（2）若4a =，求ABC ∆的面积S 的值.18.如图，五面体ABCDE 中，四边形ABDE 是菱形，ABC ∆是边长为2的正三角形，60DBA ∠=︒，CD =（1）证明：DC AB ⊥；（2）若C 在平面ABDE 内的正投影为H ，求点H 到平面BCD 的距离.19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图.（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0.01）（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台关照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值.附：相关系数公式()()niix x y y r --=∑0.55≈0.95≈.20.已知动点P 到定直线l ：4x =-的距离比到定点(2,0)F 的距离大2. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）在x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，使得2211||||AM BM +为定值.如果存在，求出点M 坐标；如果不存在，请说明理由.21.已知函数21()()f x x λ=-，2()ln f x x =（0x >，且1x ≠）.（1）当1λ=时，若对任意(1,)x ∈+∞，12()()f x k f x ≥⋅恒成立，求实数k 的取值范围；（2）若(0,1)λ∈，设()f x 12()()f x f x =，'()f x 是()f x 的导函数，判断'()f x 的零点个数，并证明. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l：1,51x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（2）若曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-，关于x 的不等式()3|21|f x x <-+的解集记为A . （1）求A ；（2）已知a ，b A ∈，求证：()()()f ab f a f b >-.湖南省长沙市长郡中学2019届高三高考模拟考试数学（文）试题答案一、选择题1-5:BDBDA 6-10:CDAAB 11、12：CB 二、填空题13.32 15.643π 16.2525 三、解答题17.解：（1）∵由3cos 4A =，得sin A =，∴221cos cos 2cos sin 8C A A A ==-=，∴sin C ==，又∵A B C π++=，[]sin sin ()sin()B A C A C π=-+=+，∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=（2）由正弦定理得sin sin a b A B =，得sin 5sin a Bb A==，∴ABC ∆的面积1sin 2S ab C ==. 18.（1）证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD ，因为ABC ∆是边长为2的正三角形，所以AB OC ⊥，OC =又四边形ABDE 是菱形，60DBA ∠=︒，所以DAB ∆是正三角形，所以AB OD ⊥，OD = 而ODOC O =，所以AB ⊥平面DOC ，所以AB CD ⊥.（2）解：取OD 的中点H ，连接CH ，由（1）知OC CD =，所以CH OD ⊥，AB ⊥平面DOC ，所以平面DOC ⊥平面ABD ，而平面DOC平面ABD OD =，所以CH ⊥平面ABD ，即点H 是C 在平面ABD 内的正投影，设点H 到平面BCD 的距离为d ，则点O 到平面BCD 的距离我2d ，因为在BCD ∆中，2BC BD ==，CD =，得1122BCD S ∆===，在OCD ∆中，OC OD CD ===1sin 602OCD S ∆=︒=，所以由O BCD B OCD V V --=，得11133BCD OCD S h S OB ∆∆⋅=⋅，即112133d =，解得26d =，所以H 到平面BCD的距离为2619.解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==，因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，====所以相关系数()()0.95niix x y y r --===≈∑，因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当70X >时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润13000210001000Y =⨯-⨯=元，当5070X ≤≤时，共有55周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润23000110005000Y =⨯-⨯=元，当50X <时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润330009000Y =⨯=元. 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元.20.解：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，因为动点P 到定直线l ：4x =-的距离比到定点(2,0)F 的距离大2，所以4x >-|4|2x =+-，化简得28y x =，所以轨迹C 的方程为28y x =.（2）假设存在满足条件的点(,0)M m （0m >），直线l ：x ty m =+，有2,8,x ty m y x =+⎧⎨=⎩2880y ty m --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，有128y y t +=，128y y m =-，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222222121111||||(1)(1)AM BM t y t y +=+++222122222212114114y y t mt y y t m++=⋅=⋅++，据题意，2211||||AM BM +为定值，则2221414t m t m λ+⋅=+，于是2222444m t m m t λλ+=+，则有224,1,m m m λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得4m =，故当4m =时，2211||||AM BM +为定值116，所以(4,0)M . 21.解：（1）当1λ=时，对任意(1,)x ∈+∞，2(1)ln 0x k x --⋅≥恒成立，令2()(1)ln g x x k x =--⋅，求导222'()x x kg x x--=，由1x >，则2222(1)0x x x x -=->，若0k ≤，则'()0g x >，所以()g x 在(1,)+∞上是增函数，所以()(1)0g x g >=，符合题意，当0k >时，令'()0g x =，解得10x =<，21x =>，则()g x 在2(1,)x 上是减函数，当2(1,)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不符合题意，综上可知k 的取值范围为(,0]-∞.（2）证明：由题意：2()(2ln 1)'()ln x x xf x xλλ-+-=，由此可得1x λ=为一个零点，令()2ln 1h x x xλ=+-（0x >），则22'()x h x x λ-=， ()h x 的减区间为(0,)2λ，单调增区间为(,)2λ+∞，其中01λ<<，则min ()()2ln11ln 4022h x h λλ==+<-<，()2ln 0h λλ=<，(1)10h λ=-<，当2x λ=>时，110h =+->，由零点存在定理及单调性可知在(,)2λ+∞上存在唯一的零点2x ，取2222()2x e e λλλ=<，则222()4ln 5e h e λλλ=+-，令2()4ln 5e g λλλ=+-，知()g λ在(0,1)上是减函数，故当(0,1)λ∈时，2()(1)50g g e λ>=->，即22()0h eλ>，由零点存在定理及单调性可知在22(,)2e λλ上存在唯一232(,)2x e λλ∈，3()0h x =，由()h x 的单调递减区间是(0,)2λ，则在(0,)2λ上()h x 仅存在唯一的零点3x ，综上可知'()f x 共有三个零点.22.解：（1）由1C ：2240x y x +-=，l ：230x y +-=. （2）点)4P π的直角坐标为(2,2)，(2cos ,sin )Q αα，1(1cos ,1sin )2M αα++， M 到l的距离|sin()|54d πα==+，23.解：（1）由()3|21|f x x <-+，得|1||21|3x x -++<，即1,21213,x x x ⎧≤-⎪⎨⎪---<⎩或11,21213,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++<⎩或1,1213,x x x ≥⎧⎨-++<⎩ 解得112x -<≤-或112x -<<，所以，集合{}|11A x R x =∈-<<. （2）证明：∵a ，b A ∈，∴11ab -<<，∴()|1|1f ab ab ab =-=-，()|1|1f a a a =-=-，()|1|1f b b b =-=-，∵()(()())111(1)(1)0f ab f a f b ab a b a b --=--++-=+->， ∴()()()f ab f a f b >-.。

2019届湖南省长沙市长郡高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题

2019届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题一、单选题1．设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

2．已知集合若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

3．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】列出所有小于150的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于3的个数即可求解。

4．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，若右支上有点满是，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，，在及中利用余弦定理，分别表示出.再利用双曲线定义列方程即可求解。

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2．已知集合若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】设，，由题可得：,在中，由余弦定理可得：，整理得：.在中，由余弦定理可得：，整理得：.由双曲线定义得：，即：.整理得：.故选:A【点睛】本题主要考查了余弦定理及双曲线定义，属于基础题。

5．长郡中学某次高三文数周测，张老师宣布这次考试的前五名是：邓清、武琳、三喜、建业、梅红，然后让五人分别猜彼此名次邓清：三喜第二，建业第三；武琳：梅红第二，邓清第四；三喜：邓清第一，武琳第五；建业：梅红第三，武琳第四；梅红：建业第二，三喜第五张老师说：每人的两句话都是一真一假已知张老帅的话是真的，则五个人从一到五的排名次序为（）A．邓清、武琳、三喜、建业、梅红B．邓清、梅红、建业、武琳、三喜C．三喜、邓清、武琳、梅红、建业D．梅红、邓清、建业、武琳、三喜【答案】B【解析】对邓清说的话一真一假分类逐一分析即可得到答案.【详解】假设邓清说话中：三喜第二为真，建业第三为假.则：梅红说话中：建业第二为真，三喜第五为假.这与邓清说话中：三喜第二为真，建业第三为假矛盾.所以邓清说话中：三喜第二为假，建业第三为真.则：梅红说话中：建业第二为假，三喜第五为真.则：三喜说话中：邓清第一为真，武琳第五为假则：武琳说话中：梅红第二为真，邓清第四为假.则：建业说话中：梅红第三为假，武琳第四为真.故选：B【点睛】本题主要考查了逻辑推理及分类讨论思想，属于基础题。

6．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值满足（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由程序框图逐一执行即可求解。

【详解】，,由程序框图逐一执行得：..不满足...不满足...不满足.…..满足.故.故选：B【点睛】本题主要考查了程序框图知识及裂项求和方法，还考查计算能力.属于基础题。

7．已知在等比数列中，，则的个位数字是（）A．B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】由求得，由求得，即可求得，列出，即可发现它们的个位数字是以4为周期重复出现的，问题得解。

【详解】设等比数列的公比为，首项为由得：.解得：.即：，由得：，所以，所以，所以：，，，，，，，由此可得的个位数是以4为周期重复出现的.所以的个位数字是的个位数字，即的个位数字是：9.故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式，还考查了周期性，属于基础题。

8．函数某相邻两支图象与坐标轴分别变于点，则方程所有解的和为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点可求得，从而得到，求出函数及的对称点，从而发现它们都关于点对称，在同一坐标系中，作出与的图像，结合图像即可求解。

【详解】由函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点，可得：.解得：.所以将代入上式得：=0，解得：=，又，所以.所以.令=，则所以的图像关于点对称。

令，且=，解得：.所以的图像关于点对称.所以函数与的图像关于点对称.在同一坐标系中，作出与的图像，如图：由图可得：函数与的图像在上有两个交点，这两个交点关于点对称.所以方程有且只有两个零点，且.所以方程所有解的和为：.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数图像以及三角函数性质，考查了转化思想及方程思想，考查计算能力，属于中档题。

9．已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面上取三点，其中为侧面的对角线上一点(与对角线端点不重合)，为侧面的一条对角线的两个端点.若以线段为直径的圆过点，则的最小值为（）A．4 B．C．2 D．【答案】D【解析】求出点P到直线AB的最短距离，由线段为直径的圆过点列不等式即可求解。

【详解】如图：连接HF与AB的中点NM，由长方体可得：线段NM是直线HF与AB的公垂线段.当点P在对角线HF的中点时，点P到直线AB距离最短为2.又以线段为直径的圆过点，则，即，解得：.所以的最小值为：.故选：D【点睛】本题主要考查了空间思维及转化能力，考查三视图知识，属于基础题。

10．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作直线交抛物线于两点，若且，则的值为（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】假设存在，设直线AB的方程为：，代入抛物线方程，可得根与系数的关系，由可求得，，再利用即可求解。

【详解】当不存在时，直线与抛物线不会交于两点。

当存在时，设直线AB的方程为：，，，则有：，联立直线与抛物线方程得：，整理得：，所以，，所以，，又，所以，整理得：，即：.解得：因为，所以又，，代入得：.解得：故选：B【点睛】本题主要考查了韦达定理及向量垂直的坐标关系，考查方程思想及抛物线定义，考查计算能力及转化能力，属于中档题。

11．小明站在点观察练车场上匀速行驶的小车的运动情况，小车从点出发的运动轨如图所示.设小明从点开始随动点变化的视角为，练车时间为，则函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】过点O作曲线的切线，切点为B,E，再过点O作一直线CD与曲线部分重合，如图，从图像分析即可得到选项。

【详解】过点O作曲线的切线，切点为B,E，再过点O作一直线CD与曲线部分重合，如图，当小明从点行驶到点B时，递增，当小明从点行驶到点C时，递减，当小明从点C行驶到点D时，为常数，当小明从点D行驶到点E时，递减，当小明从点E行驶到点P时，递增，故选：D【点睛】本题主要考查了图像特征，考查了分析能力及转化能力，属于基础题。

12．定义，已知为函数的两个零点，若存在整数n 满足，则的值（）A．一定大于B．一定小于C．一定等于D．一定小于【答案】D【解析】由为函数的两个零点可得：，.令，得到.即：，将变形为，从而可得.问题得解。

【详解】由题可得：.又为函数的两个零点，所以，.将函数图像往上平移时，开口大小保持不变，如图当函数图像往上平移时，变大，即：当时，越大，又由二次函数的对称性得：当时，最大令，则：，就是。

又=由已知得，所以一定小于，所以一定小于.故选：D【点睛】本题主要考查了韦达定理及方程与函数关系，考查了计算能力及转化能力，属于中档题。

二、填空题13．在平行四边形中，点是的中点，点是的中点，记，，用，表示，则__________．【答案】【解析】利用向量的加减法及数乘运算转化求解。

【详解】=.又，.解得：【点睛】本题主要考查了向量的加减运算、数乘运算，考查转化能力，属于基础题。

14．太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为___________.【答案】【解析】直接利用线性规划知识求最值。

【详解】如图，作出直线：，当直线往上平移至与阴影部分的圆的边界相切时，最大，此时圆心到直线的距离等于半径1，即：.解得：【点睛】本题主要考查了线性规划知识，考查转化能力及直线与圆相切的几何关系，属于基础题。

15．已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________.【答案】【解析】根据题意作出如下图形：由圆方程求出圆心连线斜率为：，计算出圆心距，再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形中列方程求得，联立方程即可求出，，问题得解。

【详解】根据题意作出如下图形：AB为两圆的公切线，切点分别为A,B.当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即不妨设过作AB的平行线交于点E，则：，且,直线的斜率为：，所以直线AB与直线的夹角正切为：.在直角三角形中，，所以，又,整理得：，解得：，又，解得：，，所以=.【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题。

16．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则，，必须满足__________．【答案】【解析】由整理得：，从而可判断，利用余弦定理得，整理得：，再利用不等式的性质即可得解。

【详解】因为,所以,整理得：,所以,即边最大，又，所以，整理得：.所以，又，，所以.即：【点睛】本题主要考查了两角和差的正弦、余弦公式，考查了余弦定理及不等式的性质，考查了转化思想，属于中档题。

三、解答题17．设正项数列的前项和，且是与的等比中项，其中.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，记数列的前项和为，求证：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）由是与的等比中项列方程整理，可得出：数列是首项为1，公差为1的等差数列，问题得解。

（Ⅱ）整理，代入的表示式子即可求解。

【详解】解：（Ⅰ）∵是与的等比中项，∴，等时，，∴.当时，，整理得.又，∴，即数列是首项为1，公差为1的等差数列.∴.（Ⅱ），∴.【点睛】本题主要考查了法的应用及等差数列概念，通项公式，还考查了数列裂项求和，属于基础题。