工程优化设计-理论基础

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02-优化的设计数学基础

22
2.7 最优解与最优解条件
1.无约束优化设计问题的最优解条件
无约束优化问题的最优解的实质是求目标函数的最 min f (X ) f (X *) X En
小值:
对一维问题
数x*等为于极零值的点ff ''的'((xx**)必)00要极条大件点 f’(x)=0。一阶导
点为驻点，极f '值'(x*点) 是0 极驻小点点，但驻点不一定
1
2
x1
x1(k ) ,
x2
x2(k ) ,,
xn
x(k) n
2 f (X (k x12
2 f (X (k x2x1
) )
) )
, ,
2 f (X (k x1x2 2 f (X (k
x22
) )
) )
,, ,,
2 f (X (k x1xn 2 f (X (k x2xn
) )
) )
x1 x2
x(k) 1
x(k) 2
.
2 f (X (k))
xnx1
,
2 f (X (k)) xnx2
,,
2
f (X xn2
(
k
)
)
xn
xn(k )
f ( X (k) ) f ( X (k) )T ( X X (k) ) 1 ( X X (k) )T 2 f ( X (k) )(X X (k) ) 2
2 f (X (k x2x1
)
)
,
2
f (X x22
(k
)
)
,,
2 f (X (k x2xn
)
)
,,
2 f (X (k)

第三章优化设计问题的若干理论基础2

目标函数是凸函数，可行域是凸集，则最优点是内点。

相当于·X*无约束问题的最优点。

目标函数是凸函数,可行域是凸集，则目标函数等值线与适时约束曲面的切点为最优点，而且是全局最优点。

Q pRpQR则目标函数等值线与适时约束曲面可能存在多个切点，是局部极值点，其中只有一个点是全局最优点。

结论u极小点在可行域内，是一个内点u极小点是一个边界点起作用约束。

如其它的几种情况。

则，该方向要满足以下两个条件——a )这是一个可行方向，即这个方向必须在可行域内，b )这是一个使函数值下降的方向。

Ⅱ. 如果它是一个局部极小点，那么又是否是一个全域极小点？Ⅰ. 这个点是否是一个局部最小点？Ⅰ℘∈X约束优化问题的最优解及其必要条件库恩-塔克条件在优化实用计算中，为判断可行迭代点是否是约束最优点，或者对输出的可行结果进行检查，观察其是否满足约束最优解的必要条件，引入库恩-塔克条件。

上式也称为约束优化问题局部最优点的必要条件。

=≥=≥=∇−∇−∇∑∑==j u q x h x g x F u q u j v k v v k u u k ,...,2,10.. (321)00)()()(11λνµµλν，，K -T 条件：这q 个约束的梯度向量线性无关，则点为约束极小点的必要条件是：目标函数的负梯度向量可以表示为约束梯度向量的线性组合，即：()[]()[]0)()(≥∇=∇∑∗∗u q uu X g X f λλ其中，210()[])(∗∇X f )(∗X将上式用梯度形式表示，为或者表明库恩-塔克条件的几何意义是，在约束极小值点x *处，函数f (x )的梯度一定能表示成所有起作用约束在该点梯度（法向量）的非负线性组合。

()())(0)(-)(1)()(1)(k u qu u k k q u u uk x g x f x g x f ∇=∇=∇∇∑∑==λλ库恩-塔克条件的几何意义若x k 点是极值点，则可以写成此条件要求点x k 一定要落在约束曲面g 1(x )=0和g 2(x )=0的交线上，而且-∇f (x k )和∇g 1(x k ) 及∇g 2(x k )应该线性相关，即三者共面。

优化设计——精选推荐

优化设计优化设计：就是在规定的设计限制条件下，运⽤最优化原理和⽅法将实际⼯程设计问题转化为最优化问题，然后以计算机为⼯具进⾏寻优计算，在全部可⾏设计⽅案中，寻求满⾜预定设计⽬标的最佳设计⽅案。

优化设计的⽅法：⾸先必须将实际问题加以数学描述，形成⼀组由数学表达式组成的数学模型；然后选择⼀种最优化数值计算⽅法和计算机程序，在计算机上进⾏寻优运算求解，得到⼀组最佳的设计参数。

这组设计参数就是设计的最优解。

优化设计的步骤：（1）设计课题分析（2）建⽴数学模型（3）选择优化设计⽅法（4）上机计算求优解上述优化设计过程的四步其核⼼是进⾏如下两项⼯作：⼀是分析设计任务，将实际问题转化为⼀个最优化问题，即建⽴优化问题的数学模型；⼆是选⽤适⽤的优化⽅法在计算机上求解数学模型，寻求最优设计⽅案。

数学模型三要素：设计变量（独⽴）：⽬标函数的极⼩化minf(x)：约束条件：g(x)<0等值线有以下⼏个特点：(1) 不同值的等值线不相交；(2) 除极值点外，在设计空间内，等值线不会中断；(3) 等值线充满整个设计空间；(4) 等值线分布的疏或密，反应出函数值变化的慢或快；(5) ⼀般来说，在极值点附近，等值线近似是同⼼椭圆族，极值点就是椭圆的中⼼点。

在设计空间内，⽬标函数值相等点的连线：对于⼆维问题，构成了等值线；对于三维问题，构成了等值⾯；对于四维以上的问题，则构成了等值超曲⾯。

约束条件约束条件是设计变量选取的限制条件，或称设计约束。

按照约束条件的形式不同，约束有不等式和等式约束两类，⼀般表达式为：约束的⼏何意义是它将设计空间⼀分为⼆，形成了可⾏域和⾮可⾏域。

不满⾜约束条件的设计点构成该优化问题的不可⾏域。

可⾏域也可看做满⾜所有约束条件的设计点的集合，因此，可⽤集合表⽰如下：对于优化问题数学模型的求解，⽬前可采⽤的求解⽅法有三种：数学解析法⽤数学解析法（如微分、变分法等）来求出最优解数学解析法是优化设计的理论基础。

建筑结构分析与设计的理论基础

建筑结构分析与设计的理论基础在建筑工程领域中，建筑结构分析与设计是一个至关重要的环节。

它涉及到对建筑物的承载能力、稳定性和安全性进行综合考虑和计算，以确保建筑物可以在设计寿命内正常运行。

本文将重点探讨建筑结构分析与设计的理论基础。

一、力学基础建筑结构分析与设计的理论基础之一是力学理论。

力学是研究物体的力学特性、运动规律和相互作用的学科，它包括静力学和动力学两个方面。

在建筑结构中，静力学是最基础的理论，它是研究建筑物在平衡状态下受力的学科。

静力学的基本原理包括平衡条件、力的合成和分解、受力分析等。

通过对建筑物受力进行合理的分析和计算，可以确保建筑物在承载设计荷载时不会发生力学失稳。

而动力学是研究物体在外力作用下的运动规律的学科。

在建筑结构设计中，动力学主要用于分析建筑物在地震、风力等外力作用下的响应和振动特性。

通过动力学的分析，可以为建筑物的抗震设计和振动控制提供依据。

二、材料力学材料力学是建筑结构分析与设计的另一个重要理论基础。

它研究材料在力的作用下的变形特性和破坏机理，为建筑结构的材料选择和计算提供依据。

常见的建筑材料包括混凝土、钢材、木材等。

它们的受力性能和特性不同，需要根据具体情况进行合理的选择和计算。

材料力学中的弹性力学、塑性力学和破坏力学等理论可以帮助工程师准确估算建筑材料的受力性能，从而保证建筑结构的安全性和稳定性。

三、结构力学结构力学是建筑结构分析与设计的核心理论基础之一。

它研究建筑物的力学特性和受力行为，为建筑结构的分析和设计提供方法和准则。

结构力学包括静力学和动力学两个方面。

在静力学领域，结构力学通过应力、应变和位移的计算，对建筑物受力状态进行分析和评估。

在动力学领域，结构力学通过模拟和计算建筑物在外力作用下的振动特性，为抗震设计和振动控制提供依据。

四、结构分析与设计方法建筑结构分析与设计的理论基础还包括各种结构分析与设计方法。

这些方法包括解析法、数值法和试验法等。

解析法是指通过数学公式和力学原理，直接推导出建筑结构的受力状态和变形情况。

优化设计-最优化基础理论+对分法

1. 最优化技术的理论基础
1.4 Lagrange乘数法
在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，其
一般形式是在条件
限制下，求函数的极值。
条件极值与无条件极值的区别：条件极值是限制在一个子流形上的
极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
Title in here
对分法
1.8.1.2 对分法迭代步骤已知 (t ) ， (t ) 表达式，终止限． (1)确定初始搜索区间 [a, b，要求 ] '(a) 0， '(b) 0 (2) 计算[a, b] 的中点 c 1 (a b) ． 2 a c ( c ) 0 (3) 若，则，转(4)；若 (c) 0 ，则 t * c，转(5)；若 (c) 0 ，则 b c ，转(4)． (4) 若| a b | ，则 t * 1 (a b) ，转(5)；否则转(2)． 2 * (5) 打印t ，停机．
然后用这条切线与横轴交点的横坐标t k 1作为根的新的近似（如图）．它可由方程（4.4）在令 y 0 的解出来，即 (t k )
t k 1 t k
(t k )
这就是Newton切线法迭代公式．
Newton切线法
1.8.2.2 Newton切线法迭代步骤已知 (t ) ， (t ) 表达式，终止限． (1) 确定初始搜索区间 [a, b] ，要求 '(a) 0， '(b) 0 (2) 选定 t 0 ． (3) 计算t t0 '(t0 ) / "(t0 ) ． (4) 若| t t 0 | ，则 t 0 t ，转（3）；否则转（5）． (5) 打印t， (t ) ，停机．

工程设计中的优化方法

箱形梁优化设计的数学模型
min f (X), X∈R4 s.t. gj(X)≤0, j=1, 2, ···, 6 属约束非线性规划问题。选用可行方向法求解。
优化结果：取出三种跨度的优化结果见表5-1。
所用数据为：F1=120kN， F2=12kN，[σ]=140MPa
表5-1 箱形梁设计结果比铰
跨度 l(cm)
优化目标函数就是求目标函数的极小值或极大
值，即
min f (X) 或 max f (X)。
• 用效果函数(如性能指标、利润等)作目标函数，则是求极大值； • 用费用函数(如能源、材料、经费等)作目标函数，则求极小值。
单目标和多目标优化问题
• 单目标优化问题：只包含一个优化目标的问题 • 多目标优化问题：存在两个或两个以上优化目
常规设计（mm）
x1
x2
x3
x4
1050 760 340 6 10 1350 880 390 6 10 1650 1010 440 6 10
优化设计(mm)
x1
x2
x3
x4
790 310 5
8
870 380 6
6
1020 370 6
8
减轻自重
（%）
19.8 18.8 13.7
3. 优化设计的计算方法
• 可行域域内设计点（设计方案）满足所有约束条件。
gu(X)=0
可行域
可行域内的设计点称为可行点。不可行域
• 不可行域域内的设计点
设计空间
不满足或不全满足约束条件。不可行域内的设计点
称为不可行点，一般是工程实际不能接受的方案。
约束优化设计中，最优点一般是约束区域的边界点，即设计点位于某个约束面上： gu(X)=0 (1≤u≤p)

优化设计的概念和原理

优化设计的概念和原理概念1 前言对任何一位设计者来说,其目的是做出最优设计方案,使所设计的产品或工程设施,具有最好的使用性能和最低的材料消耗与制造成本,以便获得最佳的经济效益和社会效益。

因此,在实际设计中,科技人员往往首先拿出几种不同的方案,通过对比分析以选取其中的最优方案。

但在现实中,往往由于经费限制,使所选择的候选方案数目受到很大的限制,因此急需一种科学有效的数学方法,于是诞生了“最优化设计”理论。

最优化设计是在计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术,是根据最优化原理和方法综合各方面因素,以人机配合方式或“自动探索”方式,在计算机上进行的半自动或自动设计,以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。

其设计原则是最优设计:设计手段是电子计算机及计算程序;设计方法是采用最优化数学方法.本文将就最优化设计常用的概念如:设计变量、目标函数、约束条件等做简要介绍。

2设计变量设计变量是在设计过程中进行选择最终必须确定的各项独立参数。

在选择过程中它们是变量,但当变量一旦确定以后,设计对象也就完全确定。

最优化设计就是研究如何合理地优选这些设计变量值的一种现代设计方法。

在机械设计中常用的独立参数有结构的总体配置尺寸,元件的几何尺寸及材料的力学和物理特性等。

在这些参数中,凡是可以根据设计要求事先给定的,则不是设计变量,而称之为设计常量。

最简单的设计变量是元件尺寸,如杆元件的长度,横截面积,抗弯元件的惯性矩:板元件的厚度等。

3目标函数目标函数即设计中要达到的目标。

在最优化设计中,可将所追求的设计目标(最优指标)用设计变量的函数形式表示出来,这一过程称为建立目标函数,一般目标函数表达为f(x)=f(xl,xZ,…,x。

)此函数式代表设计的某项最重要的特征,例如所设计元件的性能、质量或体积以及成本等。

最常见的情况是以质量作为函数,因为质量的大小是对价值最易于定量的一种量度。

虽然,费用有更大的实际重要性,但通常需有足够的资料方能构成以费用做为目标函数。

工程流体力学中的压力场分析与优化设计

工程流体力学中的压力场分析与优化设计压力场是流体力学中的关键参数之一，对于工程流体力学的分析和优化设计起着重要作用。

本文将围绕工程流体力学中的压力场进行分析与优化设计，从理论基础、分析方法以及优化设计等方面进行讨论。

一、理论基础1.1 流体静力学理论流体静力学是研究流体在静止状态下的力学行为的学科。

其中，压力是描述流体静力学特性的基本参数之一。

通过分析流体静力学方程，可以得到压力场的分布规律。

1.2 流体动力学理论流体动力学是研究流体在运动状态下的力学行为的学科。

在流体动力学中，通过控制方程和边界条件，可以得到压力场在流体运动中的变化规律。

研究流体动力学有助于揭示压力场形成的原因与机制。

1.3 数值模拟方法数值模拟方法是工程流体力学中常用的分析手段之一。

通过建立数学模型和数值解法，可以模拟流体在不同条件下的压力场分布情况。

常用的数值模拟方法有有限元法、有限体积法等。

二、分析方法2.1 理论分析方法理论分析方法是通过建立适当的数学模型和方程，推导出压力场的分布规律。

通过理论分析，可以快速了解压力场的基本特性，为进一步的优化设计提供指导。

2.2 实验分析方法实验分析方法是通过实际的流体实验获得压力场的分布数据，从而对压力场进行定量分析。

实验分析可以提供真实可靠的压力场数据，但需要耗费较大的时间和资源。

2.3 数值模拟方法数值模拟方法是目前工程流体力学中常用的压力场分析方法。

通过建立数学模型、设置边界条件和采用数值解法，可以模拟不同条件下的压力场分布情况。

数值模拟方法具有高效、经济的优点，可以为优化设计提供较为准确的结果。

三、优化设计3.1 最优形状设计在工程流体力学中，通过优化设计来达到最优形状是常见的目标。

最优形状设计旨在通过调整流体的流动路径和流动速度，使得压力场分布更加合理、均匀。

通过数值模拟和优化算法，可以获得最优形状设计的结果。

3.2 最优工艺设计在工程实践中，通过优化工艺参数来达到最优压力场分布也是常见的方法。

优化设计方法

优化设计方法引言在现代科技发展的趋势下，优化设计方法逐渐成为产品设计领域的关键技术。

优化设计方法旨在通过数学模型和计算机模拟，寻找最佳设计方案，提高产品性能和效率。

本文将介绍常见的优化设计方法及其应用领域，以及如何使用这些方法来提高产品设计效果。

1. 数学优化模型数学优化模型是优化设计方法的基础。

通过数学模型，我们可以描述设计问题，并将其转化为数学形式。

最常见的数学优化模型包括线性规划、非线性规划和多目标规划。

•线性规划：线性规划是一种将目标函数和约束条件均为线性关系的优化模型。

线性规划广泛应用于生产优化、资源分配等问题。

•非线性规划：非线性规划是一种目标函数或约束条件存在非线性关系的优化模型。

非线性规划常用于工程设计、经济决策等领域。

•多目标规划：多目标规划是一种存在多个目标函数的优化模型。

多目标规划可以同时考虑多个设计指标，并寻找它们之间的最佳平衡。

数学优化模型为优化设计方法提供了理论基础和计算手段。

2. 优化算法优化算法是实现优化设计方法的关键。

根据问题的特点和数学模型的复杂程度，可以选择不同的优化算法。

•梯度下降法：梯度下降法是一种迭代算法，通过不断调整设计参数，使目标函数逐渐趋近最小值。

梯度下降法适用于凸优化和连续设计空间。

•遗传算法：遗传算法是通过模拟自然进化过程，通过不断迭代和交叉变异，使设计方案不断进化和优化的一种算法。

遗传算法适用于复杂的非线性优化问题。

•蚁群算法：蚁群算法模拟蚂蚁觅食过程，通过信息素的传递和蚂蚁的合作，在设计空间中寻找最佳解。

蚁群算法适用于组合优化和离散设计空间。

不同的优化算法适用于不同的问题类型，选择适合的优化算法可以提高设计效率和优化结果的准确性。

3. 优化设计应用领域优化设计方法在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用领域：3.1. 工程设计在工程领域，优化设计方法可以帮助工程师寻找最佳的设计方案，提高工程系统的性能和效率。

例如，优化设计方法在结构设计中可以减小结构重量，提高结构的稳定性和耐久性。

工程最优化设计课程设计

工程最优化设计课程设计一、课程设计背景随着时代的变迁，工程设计也在不断地发展和进步。

然而，随着工程设计的复杂度不断提高，需要对设计方案进行有效地优化，以达到更好的效果和降低成本。

因此，需要培养具备工程最优化设计能力的工程师，来满足社会的需求。

二、课程设计目标本门课程旨在培养学生具备工程最优化设计的理论基础和实践能力，并帮助学生了解如何进行多种设计模型的最优化处理。

在课程结束后，学生将能够：•熟悉各种最优化方法，如模拟退火算法、遗传算法等；•掌握最优化理论及其应用；•能够进行实际的最优化设计项目；•能够评估设计方案，并提出有针对性的优化建议。

三、课程设计内容1.最优化理论基础–单变量函数的最大值和最小值求解–多元函数的最大值和最小值求解–约束条件下的最优化问题2.最优化方法介绍–模拟退火算法–遗传算法–粒子群算法–梯度下降法3.实际案例分析与解决–车辆行驶路径最优化设计–工业生产线的时间和资源调度优化–城市交通路网规划的最优化设计4.实践项目–学生自主选择一个工程最优化设计项目，进行实际设计和优化，并撰写完整的报告。

四、课程设计评估1.学生的平时表现（占总分20%）–课堂讨论活跃度–作业完成情况–课程笔记清晰度和完整度2.期末项目（占总分80%）–项目完成度–最优化解决方案的优越性–报告质量五、总结本门课程将为学生的职业发展提供有力的帮助，为他们以后工程最优化设计的实践提供强有力的支持。

相信在这门课程的学习中，学生将不仅拥有最新的方法和技能，还能开拓视野，加深对工程最优化设计的理解和掌握。

建筑物热传递模型及优化设计研究

建筑物热传递模型及优化设计研究随着建筑节能需求的不断提高，建筑物热传递模型及其优化设计也成为了当前研究的热点之一。

本文将围绕建筑物热传递模型的理论基础、优化设计方法和实际应用展开探讨。

一、建筑物热传递模型的理论基础在建筑物热传递模型的研究中，热传递理论是主要的理论基础。

热传递理论通过研究热传导、对流传热和辐射传热三个方面的机制，建立了一系列数学模型来描述建筑物内外部热流的分布和传递规律。

例如，热传导方程可以通过考虑建筑物材料的热导率、温度差和距离等因素，计算出建筑物内部的热量传导过程。

此外，对流传热和辐射传热模型也可以结合实际建筑物的气流和辐射条件，来描绘建筑物内部和外部的换热过程。

二、建筑物热传递模型的优化设计方法建筑物热传递模型的优化设计是指通过合理设计建筑物的结构和材料，以最大程度地减小热量传递损失，提高建筑物的能源利用效率。

在实际的建筑设计过程中，有许多方法可供选择，如热工性能计算、仿真模拟、参数优化等。

首先，热工性能计算是一种常见的建筑物热传递模型优化设计方法。

它通过计算建筑物在不同工况下的热工性能参数，如传热系数、表面温度等，来评估不同设计方案的能耗和舒适性。

通过针对不同参数进行优化，可以找到最佳设计方案。

其次，仿真模拟在建筑物热传递模型的优化设计中也发挥着重要的作用。

通过建立建筑物的三维数字模型和热传递模型，并结合建筑物的使用情况、气候条件等因素，进行仿真分析，可以模拟出建筑物在不同工况下的热传递情况。

在此基础上，可以通过调整建筑物的结构、材料和绝热层等参数，实现热传递模型的优化设计。

第三，参数优化也是一种常用的建筑物热传递模型优化设计方法。

通过建立数学模型和优化目标函数，将建筑物的结构参数和热传递参数等作为设计变量，通过优化算法搜索最佳设计方案。

参数优化方法可以针对特定的问题进行调整，可根据需求选择不同的优化算法，如遗传算法、粒子群算法等。

三、建筑物热传递模型的实际应用建筑物热传递模型的优化设计在实际应用中可以带来很多益处。

第1章优化设计的基本概念

第1章优化设计的基本概念
优化设计的概念是指在目标最优化的情况下，采用最佳的设计方案来
满足用户需求。

这种设计有利于简化流程、降低成本、提升产品质量和提
高效率。

优化设计可以将对最终结果影响最大的因素全部考虑在内，以找
出最优设计方法，实现最优的制造效果，达到降低成本、提高效率的目标。

优化设计可以从易于理解的角度来将其分为两个步骤--分析阶段和优
化阶段。

在分析阶段，要从物理和动力学角度对设计进行分析，找出因素
和对象。

在优化阶段，要综合考虑受影响因素，确定最优的设计方案。

这
两个步骤可以根据设计的不同需求选择不同的优化方案，从而确定最终的
设计方案。

优化设计可以分为数值优化设计和综合优化设计。

数值优化设计是根
据具体数值分析和优化；综合优化设计是通过综合分析和优化，考虑多个
设计要素，从而获得最优的设计结果。

优化设计的应用可以概括为：结构优化，功能优化，流程优化，材料
优化，制造工艺优化，测试及检验优化等。

在实施优化设计时，首先需要
明确需求，即给出优化目标以及用以衡量优化结果的指标。

现代设计理论与方法-优化设计.ppt

变异运算用来模拟生物在自然的遗传环境中由于各种偶然因素引起的基因突变，它以很小的概率随机地改变遗传基因（表示染色体的符号串的某一位）的值。在染色体以二进制编码的系统中，它随机地将染色体的某一个基因由1变为0，或由0变为1。
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在初始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过程在早期就陷入局部解而进入终止过程，从而影响解的质量。为了在尽可能大的空间中获得质量较高的优化解，必须采用变异操作。
可见，这是一个三维非线形规划问题。为了
简化问题，可根据等式约束条件消去一个设计变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量：
h = 3 /（ l ·w）
则该问题从原来的三维问题转化为二维问题。
4．建立数学模型的一般过程 1）分析设计问题，初步建立数学模型即使是同一设计对象，如果设计目标和设计
条件不同，数学模型也会不同。因此，要首先弄清问题的本质，明确要达到的目标和可能的条件，选用或建立适当的数学、物理、力学模型来描述问题
交叉体现了自然界中信息交换的思想。交叉有单点交叉、多点交叉、还有一致交叉、顺序交叉和周期交叉。单点交叉是最基本的方法，应用较广。它是指染色体切断点有一处，例：
A:101100 1110 101100 0101
B : 001010 0101001010 1110
（3）变异 (Mutation Operator)
3．约束条件 1）概念为产生一个可接受的设计，设计变量本身或
相互间应该遵循的限制条件，称为约束条件。
2）表示方法
约束条件一般可表示为设计变量的不等式约束函数形式和等式约束函数形式，即
gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≤0 或者 gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≥0

优化设计第2章优化设计

x1 d , x2 l
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化：约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。一维搜索方法主要有：分数法黄金分割法（0.618法）二次插值三次插值法等本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则

第二章-优化设计

优化数学模型：设计变量：
X x1 x2
T
x3
目标函数：
min f X x1 x2 2 x1 x3 x2 x3
x2
1 1 x1 x2 10 x x1 2 约束条件：
g1 X 4 x1 0 g 2 X x2 0
设计变量X
设计常量
设计变量:在优化设计过程中需要调整和优选的参数。
特点：
（1）实际工程设计对象的不同，则选取的设计变量也就不同。它可以是几何参数：如零件外形尺寸、截面尺寸、机构的运动尺寸等；也可以是某些物理量：如零部件的重量、体积、力与力矩、惯性矩等；还可以是代表机器工作性能的导出量：如应力、变形等。总之，设计变量必须是对该项设计性能指标优劣有影响的参数。（2）设计变量是一组相互独立的基本参数。它的每一个分量都是相互独立的。
x1
二、优化设计数学模型
可以看出，优化设计的数学模型需要用设计变量、目标函数和约束条件等基本概念进行描述，可以写成以下统一的形式：设计变量：
X x1 , x2 xn 目标函数：
T
f ( X ) f ( x1 , x2 , xn )
约束条件：
不等式约束条件：等式约束条件：
综上所述，优化数学模型是对实际问题的数学描述和概括，是进行优化设计的基础。因此，根据设计问题的具体要求和条件建立完备的数学模型是关系优化设计成败的关键。数学模型的最优解是否是实际问题的最优解，完全取决于数学模型和实际问题的符合程度。
三、优化问题的分类
一维无约束优化问题无约束优化问题工程优化问题多维无约束优化问题
2
3）函数梯度充分小准则目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即

优化设计概述

在约束优化设计问题中，如果目标函数是多峰的，或约束集合是非凸集，则有可能存在不止一个局部极小点。我们总是期望获得全域最优解，但一般情况下是很难断定所得的一个解就是全域最优解的。
在优化设计求解过程中，绝大多数的优化方法都是通过参照当前点周围的信息来判断是否找到了最优解，这样求得的解很可能是局部最优解，不同的初始点可能求得不同的最优解。所以，在求解约束优化设计问题时，通常的做法是用多种优化方法、多种程序、多个初始点来求同一个问题，再从求得的多个局部最优解中取一个最好的解作为全局最优解。
当优化数学模型中的问题函数均为设计变量的线性函数，则称为线性规划问题。若问题函数中包含非线性函数时，则称为非线性规划问题。多数工程优化设计问题的数学模型是属于有约束的非线性规划问题。
1.2.3非线性规划的优化方法分类 1）对非线性规划不预先作转换的分析方法：如梯度投影法、
容许方向法、简约梯度法（要使用导数）
X {x1, x2 ,..., xn}T
在优化设计中，把这个n维的欧氏实空间称为设计空间，用 Rn表示。
设计变量通常是有取值范围的，即上下界约束值： ai xi bi
设计变量的取值多数是连续值，但有些设计变量只能选用规定的离散值。
对于有离散型设计变量的优化设计问题，有两种处理方法：一是先按连续型设计变量对待进行求解，然后再对最优解进行离散化后处理，但是离散化后处理有时会使结果远离最优解；
求 min . s.t.
X {x1, x2 ,...,xn}T F(X ) X DRn
gi (X ) 0 hj( j 1,2,...,p)
1、设计变量在工程设计中，区别不同的设计方案，通常是以一组取值不同的参数来表示。这些参数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量，也可以是表示构件质量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中，可能有一部分参数根据实际情况预先确定了数值，它们在优化设计过程中始终保持不变，这样的参数称为给定参数。另一部分参数则是需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中是变化的，这类参数称为设计变量，它们相当于数学上的独立自变量。一个优化设计问题如果有n个设计变量，而每个设计变量用表示，则可以把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行阵的转置：

简述价值工程优化设计方案

简述价值工程优化设计方案一、概述在工程领域，价值工程是一种系统的方法，主要目的是通过改善设计方案，以实现节约成本、提高效率、增加功能等目标。

价值工程优化设计方案是以价值工程理论为基础，对设计方案进行全面综合评估，通过优化设计方案，实现最佳的经济效益和社会效益。

二、价值工程的基本原理价值工程的基本原理是通过对设计方案的全面评估，找出存在的问题和改进建议，以实现成本降低、效率提升、质量提高等目标。

价值工程的核心思想是通过对设计方案的优化，有效地实现资源的最佳利用，同时保证项目的质量和安全。

三、价值工程的优化设计方法价值工程的优化设计方法主要包括以下几个方面：1、系统化的分析：通过对设计方案进行系统化的分析，找出其中存在的问题和改进建议。

这一步需要全面、系统的了解设计方案的各个方面，包括结构、材料、设备、施工方法等。

2、创造性的提出改进建议：在系统化分析的基础上，提出创造性的改进建议，包括技术方案、材料选择、施工方法等，并进行评估，选择最佳的方案。

3、经济性的评估：对提出的改进建议进行经济性评估，包括成本估算、效益分析等，在确保质量和安全的前提下，实现最佳的经济效益。

4、社会效益的评估：除了经济效益外，价值工程还强调提高设计方案的社会效益。

因此，需要评估改进建议对环境、社会的影响，确保设计方案的可持续发展。

四、价值工程优化设计方案的实施步骤价值工程优化设计方案的实施步骤主要包括以下几个方面：1、明确目的和任务：明确优化设计的目的和任务，明确优化设计的范围和目标，确保实施过程的高效和有序。

2、组织实施团队：组织专业的团队进行优化设计方案的实施，包括设计师、工程师、经济师等，并确定每个成员的职责和任务。

3、系统化的分析：对设计方案进行系统化的分析，包括结构、材料、设备、施工方法等，并找出存在的问题和改进建议。

4、提出创造性的改进建议：在系统化分析的基础上，提出创造性的改进建议，进行评估，选择最佳的方案。

5、经济性的评估：对提出的改进建议进行经济性评估，包括成本估算、效益分析等，确保达到最佳的经济效益。

第二章优化设计理论基础

1
第一节极值理论
由极值的充分条件求函数的二阶导数矩阵，并判断其正定性得
0 6 x 6 12 0 2 f ( X 1) 1 1 0 8 0 6 x 4 2 2
3
矩阵正定
0 6 x 6 12 0 2 f ( X 2 ) 1 0 8 1 6 x2 4 0
x1
x2
a11 x3 a21 a31
a12 a22 a32
a13 y1 y a23 2 a33 y3
( x1a11 x2a21 x3a31 ) y1 ( x1a12 x2a22 x3a32 ) y2 ( x1a13 x2a23 x3a33 ) y3 (数)
-2
矩阵不定
0 6 x 6 12 0 2 f ( X 3 ) 1 3 0 8 0 6 x 4 2 2
3
矩阵不定
0 6 x 6 12 0 2 f ( X 4 ) 1 0 8 3 6 x2 4 0
解：因
g1 ( X ) 22 0 4 0 g2 ( X ) 0 g3 ( X ) 2
得知，点 X k 的起作用约束是 g1 ( X ) 0 和 g 2 ( X ) 0 。
第一节极值理论
约束问题的极值条件
在点 X k 有
2( x 3) 2 f ( X k ) 1 0 2 x 2 2 x 4 g1 ( X k ) 1 1 1 0 g 2 ( X k ) 1
第一节极值理论
约束问题的极值条件

工程最优化设计理论、方法和应用PPT课件

∆Xk = αk dk 即 Xk+1=Xk+αk dk 满足f(Xk+1) < f(Xk)
于是变成求
f(Xk+1)=f(Xk+αk dk )
的极值点问题
这里的核心问题是确定
?dk ?αk
1.解析法:可以确定dk(目标函数的负梯度方向)，也可求出
一元函数的极值确定一最佳搜索步长αk，即φ(αk ) = f(Xk+αk dk )，应有φ’(αk )=0
min f (x1,..., xn )
s.t. gk (x1,..., xn ) 0 k 1,..., n
Eular,Lagrange, Problems in infinite dimensions, calculus of variations
1950s－, 数学规划法，即：数值计算法(迭代法)—通过计算求得最优解。
供应量
360
300
200
？
分析：设每天生产甲产品 x1 件，乙产品 x2 件，于是该生产计划问题可归结为
求变量 x1， x2 使函数 f(x1,x2)=60x1+120x2 极大化
需满足条件
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360
g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2 300
g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2 200
Fe
2EI
L2
其中，I钢管截面惯性矩
I (R4 r4 ) A (T 2 D2 )
4
8
1
刚好满足强度约束条件时，有
F1 A
F(B2 h2 ) 2
TDh
y
其中 A是钢管截面面积 A=π(R2-r2)= πTD