沪科版(安徽)数学八年级上册第13章知识点总结
沪科版数学八年级上册 第13章 小结与复习
方法总结
三角形的三条角平分线、三条中线、三条 高 (或延长线) 分别相交于一点，其中中线平分 三角形面积，直角三角形有两条高线在直角边上， 钝角三角形有两条高在三角形的外面.
第 13 章 三角形中的边角 关系、命题与证明
小结与复习
一、三角形的相关概念
A
不在同一直线上的三条线段首尾依次相接
组成的图形叫做三角形． ①三角形有三条边，三个内角，三个顶点；
②组成三角形的线段叫做三角形的边； B
C
③相邻两边所组成的角叫做三角形内角，简称角；
④相邻两边的公共端点是三角形的顶点；
⑤三角形 ABC 用符号表示为△ABC；
方法总结 三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三
条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查 是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查 较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在 求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有 着重要的作用.
针对训练 1.已知四组线段的长分别如下，以各组线 段为边，能组成三角形的是( C ) A．1，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10 2.在等腰三角形 ABC 中，它的两边长分别为 8 cm 和 3 cm，则它的周长为___1_9____cm. 3.以线段 3、4、x - 5 为边组成三角形，那么 x 的取 值范围是 6＜x＜12 .
⑥三角形 ABC 的边 AB 可用边 AB 所对的角 C 的小 写字母 c 表示，AC 可用 b 表示，BC 可用 a 表示.
沪科版八年级上册数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 三角形内角和定理及推论
540°
3 4
720°
(2)如图，从n边形的一个顶点可以引出________条对角(线n－，3把) n边形分成 ________个三角形. n边形的内角和为______________(用含n的代数式表示)； (n－2) (n－2)·180°
(3)请根据上面你所找到的规律计算十二边形的内角和． 解：十二边形的内角和为(12－2)×180°＝1800°.
沪科版八年级上
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 三命题与证明 第3课时三角形内角和定理及推论
核心必知 1 180° 2 互余 3 互余
提示：点击 进入习题
1B 2C 3B 4 见习题 5C
答案显示
6 见习题 7 见习题 8B 9 50°或80° 10 见习题
11 见习题 12 见习题 13 见习题
证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝90°－∠B＝28°， ∴∠FCD＝∠ECB－∠BCD＝16°. ∵∠CDF＝74°， ∴∠CFD＝180°－∠FCD－∠CDF＝90°， ∴△CFD是直角三角形．
12．如图，有一艘渔船上午9时在A处沿正东方向航行，在A处测得灯塔C在北 偏东60°方向上，渔船行驶2h到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东15° 方向上，试求△ABC各内角的度数．
10．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝46°，∠ACB＝80°，延长BC至D，使 ∠CAD＝∠D，求∠BAD的度数．
解：∵∠ACB＝80°， ∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－80°＝100°. 又∵∠CAD＝∠D，∠ACD＋∠CAD＋∠D＝180°， ∴∠CAD＝∠D＝40°. 在△ABD中，∠BAD＝180°－∠ABD－∠D＝ 180°－46°－40°＝94°.
沪科版八年级数学上第13章三角形中的边角关系、命题与证明13
其要注意的是等等边边三角三形角形是等腰三角形的特例．
3．三角形中任何两边的和大大于于第三边，任何两边的差小小于 于第三
边．
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典例导学 现有四根木棒，它们的长度分别是 2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，任取
其中三根，可以组成几种不同的三角形？请将其一一列举出来． 【思路分析】由三角形任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第 三边即可得出答案．
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13．已知 a，b，c 为△ABC 的三边长，b，c 满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且
a 为方程|x－4|＝2 的解，求△ABC 的周长，判断△ABC 的形状． 解：因为(b－2)2＋|c－3|＝0，所以 b－2＝0，c－3＝0，
(D )
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6．已知三角形的两边长分别为 3 cm 和 8 cm，则此三角形的第三边的长
可能是
(C)
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．13 cm
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7．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则如图所示
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解：(1)三角形两边之和大于第三边． (2)延长 AD 交 BC 于点 E， 因为在△ABE 中，AB＋BE>AE， 在△DEC 中，DE＋EC>DC， 所以 AB＋BE＋DE＋EC>AE＋DC， 所以(AB＋BE＋EC)＋DE>DE＋(AD＋DC)， 所以 AB＋BC>AD＋DC， 所以人们从 A 步行到 C 喜欢走小路．
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典例导学 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B.求证：△CDB 是直角
三角形．
【思路分析】要证△CDB 是直角三角形，可证∠B＋∠DCB＝90°，在△ABC
中，已知∠ACB＝90°，易证△CDB 是直角三角形．
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A．85° B．90° C．95° D．100°
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9．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，则∠B 为 A．15° B．30° C．50° D．60°
(D)
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10．已知三角形 ABC 的三个内角满足关系∠B＋∠C＝3∠A，则此三角形 (D)
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第 3 课时 三角形内角和定理的证明及 推论
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要点感知 1．三角形内角和定理：三角形的内角和等于 18180°0°. 2．为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅辅助线助线． 3．直角三角形的两锐角互互余 余． 4．有两个角互余的三角形是直直角角三三角形角形．
1 ∴∠EGD＝3×(180°－60°)＝40°， ∴∠1＝40°.
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(2)∠AEF＋∠FGC＝90°. 理由：∵AB∥CD， ∴∠AEG＋∠CGE＝180°， 即∠AEF＋∠FEG＋∠EGF＋∠FGC＝180°， 又∵∠FEG＋∠EGF＝90°， ∴∠AEF＋∠FGC＝90°.
沪科版八年级数学上册知识要点归纳总结
沪科版八年级数学上册知识要点归纳总结的解析式一次函数的解析式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0），其中k称为斜率，b称为截距。
3、斜率的意义斜率k表示函数图象上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，即k=Δy/Δx。
说明：斜率为正表示函数单调递增，斜率为负表示函数单调递减，斜率为0表示函数为常函数，斜率不存在表示函数图象为一条竖直的直线。
）4、截距的意义截距b表示函数图象与y轴的交点纵坐标。
说明：当函数图象经过y轴时，截距存在；当函数图象不经过y轴时，截距不存在。
）5、一次函数图象的性质一次函数图象为一条直线，其斜率决定了直线的方向和倾斜程度，截距决定了直线与y轴的位置关系。
一般形式为y=kx+b（其中k、b为常数，且k≠0），当b=0时，y=kx（k≠0），此时y是x的正比例函数。
一次函数的图像与性质：当b>0时，直线经过一、二、三象限；当b=0时，直线经过一、三象限及原点；当b0时，直线自左向右上升，经过一、二、三象限；当k<0时，直线自左向右下降，经过一、二、四象限。
确定一次函数图像与坐标轴的交点：与x轴交点为（-b/k,0），与y轴交点为（0,b）。
确定一次函数解析式——待定系数法：设函数关系式为y=kx+b，代入x和y的两对对应值，得关于k、b的方程组，解方程组求出k和b。
k和b的意义：∣k∣表示直线的“平陡”，越大越陡；b表示在y轴上的截距。
由一次函数图像确定k、b的符号：直线上升，k>0；直线下降，k0；直线与y轴负半轴相交，b<0.由一次函数图像确定x和y的范围：当x>a（或xb（或y<b）时，求x的范围，直线y=b上方（或下方）图象所对应的x的取值范围；当a<x<b时，求y的范围，直线x=a和x=b之间的图象所对应的y的取值范围；当a<y<b时，求x的范围，直线y=a和y=b之间的图象所对应的x的取值范围。
一次函数图象的平移：设m>0，n>0，左右平移直线y=kx+b向右（或向左）平移m个单位后的解析式为y=k（x－m）＋b或y=k（x＋m）＋b。
沪科版八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明章末小结与提升课件
解:设这个三角形的两边长分别为x,y,且x≥y,
则第三边长为24-x-y,根据题意得
+ = 3(24--),
= 10.5,
解得
1
= 7.5,
- = (24--),
2
∴24-x-y=6.
答:这个三角形的三边长分别为10.5 cm,7.5 cm,6 cm.
∠C=120°,则∠AED的度数是 80° .
-11-
章末小结与提升
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重难点突破
10.已知△ABC中,∠B=∠C,D为边BC上一点(不与点B,C重合),
E为边AC上一点,∠ADE=∠AED,∠BAC=44°.
(1)求∠C的度数;
(2)若∠ADE=75°,求∠CDE的度数.
解:(1)∵∠BAC=44°,
C.同位角相等
D.如果x与y互为相反数,那么x与y的和等于0吗
-16-
章末小结与提升
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重难点突破
15.命题:若a>b,则a2>b2.请判断这个命题的真假.若是真命题,
请证明;若是假命题,请举一个反例并适当修改命题的题设使
其成为一个真命题.
解:是假命题.
反例:当a=1,b=-2时,满足a>b,但a2=1,b2=4,a2<b2,
∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
∴∠GFB=90°,即FG⊥AB.
(2)∵FG⊥AB,CD⊥AB,
∴FG∥DC,∴∠2=∠3,
又∵∠1=∠3,∴∠1=∠2,∴DE∥BC.
-18-
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
章末小结与提升
知识网络
章末小结与提升
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沪科版八数上第13章三角形中的边角关系、命题与证明知能素养专题四与角平分线有关的模型归纳(习题课件)
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∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD 1
＝2(180°－x－y)－(90°－y) 11
＝2y－2x， ∵AD⊥BC，FM⊥BC，∴AD∥FM，∴∠EFM＝∠EAD，∴∠EFM＝12y－12x.
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类型二：两内角平分线的夹角 【模型展示】 如图，BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的 n 等分线(∠OBC ＝1n∠ABC，∠OCB＝1n∠ACB)⇒∠O＝180°－1n(180°－ ∠A)，特别需要注意：当 n＝2 时(角平分线)，∠O＝90°
1 ＋2∠A，此结论可用来快速解小题．
第 10 页
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4．(赵县期中)如图，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线交于点 O， (1)若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠BOC＝131030° °； (2)若∠ABC＋∠ACB＝110°，则∠BOC＝12125°5°； (3)若∠A＝84°，则∠BOC＝131232° °； (4)若∠BOC＝120°，则∠A＝6060° °； (5)若∠A＝n°，则∠BOC＝909°0°＋＋1 数学 上册 沪科版
7．如图，在△ABC 中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分 线交于点 E，求∠E 的度数．
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解：∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E， ∴∠EAC＝12∠DAC，∠ECA＝12∠ACF. 又∵∠B＝47°，∠B＋∠1＋∠2＝180°， ∴∠1＋∠2＝180°－47°＝133°， ∴∠DAC＋∠ACF＝360°－(∠1＋∠2)＝227°， ∴∠EAC＋∠ECA＝12∠DAC＋12∠ACF＝12(∠DAC＋∠ACF)＝113.5°， ∴∠E＝180°－113.5°＝66.5°.
沪科版八年级上册数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 证明
∴OE⊥OF.(垂直的1定义) 2
感悟新知
如图所示，AB⊥BC于B， 例3
DC⊥BC于C,∠1＝∠2， 求证：BE∥CF.
知3－练
证明：因为AB⊥BC，DC⊥BC，(已知) 所以∠ABC＝∠BCD＝90°.(垂直的定义) 又因为∠1＝∠2，(已知) 所以∠EBC＝∠FCB.(等角的余角相等) 故BE∥CF.(内错角相等，两直线平行)
感悟新知
1在下列题的括号内，填上推理的依据： 已知：如图，点B,A,E在 一条直线上,∠1=∠B. 求证：∠C=∠2. 证明:∵∠1=∠B,() ∴AD∥BC.() ∴∠C=∠2.()
知3－练
感悟新知
2补充完成下列题的证明，并填上推理的依据. 已知：如图，AB∥DC，AD//BC. 求证：∠A=∠C. 证明:∵AB//DC,() ∴∠A+∠D=180°.( ) ∴AD//BC,( ) ∴∠C+∠D=180°.( ) ∴∠A+∠D=∠C+∠D.( ) ∴∠A=∠C.( )
知3－练
感悟新知
已知：如图,∠AOB+∠BOC
例=1280°，OE平分∠AOB，
OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
知3－练
分析:要证明OE⊥OF，只要计算出∠1+∠2=90°就可以了.
证明:∵OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,(已知)
∴∠1=∠AOB1,∠2=∠BOC.(角1 平分线的定义) 又∵∠AOB+∠2 BOC=180°,(2已知)
知3－练
感悟新知
3下列说法错误的是( ) A．命题是判断一件事情的句子 B．基本事实的正确性必须得到证明 C．证明假命题举一个反例即可 D．推理的过程叫做证明 如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，则∠AOB＝ ∠COD，推理的理由是( ) A．同角的补角相等 B．同角的余角相等 C．AO⊥CO D．BO⊥DO
沪教版八年级数学上册第13章小结与复习
第13章小结与复习【学习目标】1．理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念；2．掌握三角形的三边间的关系；会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度．【学习重点】会灵活运用内角和定理及外角公式计算角度．【学习难点】证明命题推理分析的过程．【教学过程】学习行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入知识结构我能建： 三角形中的边角关系、命题与证明⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧三角形⎩⎪⎨⎪⎧概念三角形的分类三角形中的边角关系⎩⎪⎨⎪⎧三角形中三边的关系三角形中内角和180°三角形中重要线段：高、角平分线、中线三角形的外角及其推论命题与证明⎩⎪⎨⎪⎧命题概念及组成证明命题概念的一般步骤 自学互研知识模块一 三角形的边角关系 典例1：一个三角形的两边长分别为2和9，第三边为奇数，则此三角形的周长是多少？解：设第三边长为x ，∵9－2<x<9＋2，∴7<x<11，∵x 为奇数，∴x ＝9，∴三角形周长为2＋9＋9＝20方法指导：三角形内角和及外角的灵活应用，是本阶段学习的一个重点，必须让学生学会灵活转换．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．展示目标：知识模块一的展示重点在于三角形边角关系的应用．知识模块二的展示重点在于命题与证明的应用．仿例1：若一个等腰三角形的周长为17cm，一边长为3cm，则它的另一边长是7cm．典例2：如图，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线BD、CE相交于点O，且∠A＝60°，求∠BOC 的度数．(内角和定理)解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线BD、CE相交于点O，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，故∠BOC＝180°－(∠2＋∠4)＝180°－60°＝120°.思考：若∠A＝n°，则∠BOC的度数为多少？仿例2：如图，已知AB∥CD，若∠A＝20°，∠E＝35°，求∠C.(三角形的外角)解：∵∠EFB是△AEF的一个外角，∴∠EFB＝∠A＋∠E＝20°＋35°＝55°，∵AB∥CD，∴∠EFB ＝∠C＝55°.仿例3：如图，AE、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为(B) A．40° B．20° C．18° D．38°知识模块二命题与证明范例：下列命题错误的是(C)A．所有的实数都可用数轴上的点表示B．等角的补角相等C．无理数包括正无理数，0，负无理数D．两点之间，线段最短仿例1：请写出一个证明命题“若a>b，则|a|>|b|”是假命题的反例：2>－3，|2|<|－3|．仿例2：已知，如图，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，求证：(1)∠EGH>∠ADE；(2)∠EGH＝∠ADE＋∠A＋AEF.证明：(1)∵∠EGH是△FBG的外角，∴∠EGH>∠B.又∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∴∠EGH>∠ADE.(2)∵∠BFE是△AFE的外角，∴∠BFE＝∠A＋∠AEF，∵∠EGH是△BFG的外角，∴∠EGH＝∠B＋∠BFE，∴∠EGH＝∠B＋∠A＋∠AEF.又∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∴∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF.交流展示1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形的边角关系知识模块二命题与证明检测反馈【当堂检测】【课后检测】课后反思1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
【沪科版教材】八年级数学上册《第13章 小结与复习》课件PPT
5. △ABC中，∠B= 1∠A= 1∠C，求△ABC的三个内 34
角度数.
解：设∠B=x° ，则∠A=3x°，∠C=4x°， 从而x+3x+4x=180º， 解得x=22.5°．
即∠B=22.5°，∠A=67.5°，∠C=90°．
考点三 三角形的角平分线、中线和高
例3 下列说法错误的是（ B ） A.三角形的三条中线都在三角形内，且平分三角形面积 B.直角三角形的高线只有一条 C.三角形的三条角平分线都在三角形内 D.钝角三角形内只有一条高线 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念逐一进行判断. 【答案】B
③∠ADB=∠ADC=90°. B 注意：① 三角形的高是线段；
DC
② 锐角三角形三条高全在三角形的内部；
直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；
钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部.
③ 三角形三条高所在直线交于一点．
2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边中点的线段．
表示法：
① AD是△ABC的边BC上的中线；
2.三角形内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． (1) 从折叠可以看出：∠A+∠B+∠C=180º (2) 从剪拼可以看出：可知：∠A+∠B+∠C=180º
三角形的外角的定义: 三角形一边与另一边的延长 线组成的角，叫做三角形的外角.
② ∠1=∠2= 1∠BAC.
B
2
注意：①三角形的角平分线是线段；
12
D
C
②三角形三条角平分线全在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
④用量角器画三角形的角平分线．
四、命题与证明 对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题. 注意：① 命题有真命题和假命题两种. ② 命题由题设和结论两部分组成. 前一部分称之为 条件，后一部分称之为结论.
沪科版八年级上册数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 三角形中几条重要线段
1. 定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做该三角形这条
边上的高．一个三角形有三条高．
2. 位置图例： (1)锐角三角形：三条高都在三角 形内部，其交点也在三角形内
部(如图)．
感悟新知
(2)直角三角形：一条高在三角形内部， 两条高在三角形边上，其交点为直 角顶点(如图1)． (3)钝角三角形：一条高在三角形内部， 两条高在三角形外部，其交点在三 角形外部(如图2)．
（2）因为AD是△ABC的中线，所以
S△ABD=S△ABC=4.
因为BE是△ABD的中线，所以S△ABE=S△A1BD=2. 12
2
感悟新知
总结
知2－讲
三角形的中线把边分成相等的两条线段，故BD=CD， 且△ABD的边BD上的高与△ACD的边CD上的高相同， 根据等底同高的三角形的面积相等，可得所分得的两个 三角形的面积相等，即S△ABD=S△ADC=S△ABC.
感悟新知
(动手操作题，易错题)画出图中△ABC的三条
例6
高．(要标明字母，不写画法)
知3－练
感悟新知
知3－练
导引：“作一边上的高”可看作“过一点(这边所对角 的顶点)作已知直线(这边所在直线)的垂线”． 按照“过一点作已知直线的垂线”进行作图， 顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注 意AB，BC边上的高在三角形的外部，作高时 先延长AB与CB.
感悟新知
如例图3 ，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线， DE∥AC，DF∥AB，EF 交AD于点O，请问DO是
知1－练
△DEF的角平分线吗？
说明理由．
导引：要知道DO是不是△DEF的角平分线，只需要知
道∠EDO与∠FDO是否相等．若相等，根据三
沪科版八年级数学上第13章三角形中的边角关系、命题与证明13
基础夯实
整合运用
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知识点 2：推理与证明 5．如果 AB⊥EF，CD⊥EF，那么 AB∥CD，这一推理的依据是 A．垂直定义 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．等量代换 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
(D)
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3．下列说法中错误的是 A．所有的定义都是命题 B．所有的定理都是命题 C．所有的公理都是命题 D．所有的命题都是定理
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( D)
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4．某工程队在修建兰宁高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，这样做 能缩短路程的根据是两点两之点间之，间线，段线段最最短短(填公理内容)．
知识点 1：公理与定理 1．“两点之间，线段最短”这一语句 A．是定义 B．是基本事实 C．是定理 D．只是命题
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(B )
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2．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行是 A．公理 B．定理 C．定义 D．假命题
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(A )
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第 2 课时 定理与证明
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要点感知 数学中有些命题是从基基本本事实事实或其他真真命命题 题出发，用推理的方 法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定 理．
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【数学】沪科版八年级上册第13章【教案】三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质
第4课时三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质教学目标【知识与技能】1.掌握三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质.2.熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述.3.会灵活地运用三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质解决实际问题.【过程与方法】让学生在思考与探索的过程中了解三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质.【情感、态度和价值观】1.通过探索三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质,让学生体会到数学的严谨性和推理的用途.2.通过让学生积极思考、踊跃发言,使他们养成良好的学习习惯.3.通过生动的教学活动,发展学生的合情推理能力和表达能力,提高学生学习和探索数学的兴趣.重点难点【重点】三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质.【难点】三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质.教学过程一、创设情境,导入新知师:在前面我们学习了三角形的内角和定理及其有关直角三角形的两个推论,你还记得它的内容吗?学生回答.师:大家回忆一下我们是用什么方法证明三角形的内角和定理的?生:用折叠、剪拼和度量的方法.师:很好!在上节课我们主要学习了定理的证明过程，以及由定理而得出的两个有关直角三角形的性质，这节课在上节课的基础上我们继续研究三角形的另外两个性质，是有关三角形的外角的.二、共同探究,获取新知师:在三角形内角和定理的证明中,我们曾经如图中所示那样把△ABC的一边BC延长至点D,得到∠ACD,像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.在上图中,△ABC的外角,也就是∠ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有怎样的关系?你能给出证明吗?学生小组交流讨论后回答.生:∠ACD与∠ACB的和是180°,所以∠ACD=180°-∠ACB;根据三角形内角和定理,∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=180°-∠C.由等式的性质,得到∠ACD=∠A+∠B.师:很好!除了这个相等关系,还能得到什么大小关系?生:∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.师:很好!在证明中主要应用了三角形内角和定理,我们把这两个结论称为这个定理的两个推论.教师板书:推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论4 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.师:像这样,由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.推论3可以用来计算角的大小,推论4可以用来比较两个角的大小.【例】已知:如图所示,∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角.求证:∠1+∠2+∠3=360°.师:这个问题实质上是三角形外角和定理,即三角形三个外角的和是360°.请大家想一下,怎么证明这个命题?学生交流讨论后回答,然后集体订正.证明:∵∠1=∠ABC+∠ACB,∠2=∠BAC+∠ACB,∠3=∠BAC+∠ABC,(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质)∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,(三角形内角和定理)∴∠1+∠2+∠3=360°.三、课堂小结师:我们今天学习了哪些内容?你有什么收获?学生发言,教师点评.教学反思本节课我通过让学生自己思考设计证明思路,来培养学生积极思考的探索精神.让他们先理清思路,再做题,不但可以借鉴别人的思路,而且能做到整体把握,理清脉络.。
沪科版数学八年级上册第13章小结·评价
E1 D
F
A
2
G BC
K
H
J
1、如图，①图中有几个角是△ABC的 外角？说出它们的名称。②∠1、 ∠2 是不是△ABC的外角？为什么？
D
A
2、图中有几个三角形？
E
用符号表示这些三角形
和各自的边角
B
C
3、以AB为边的三角形有哪些？△ABC、△ABE
4、以E为顶点的三角形有哪些？
△ ABE 、△BCE、 △CDE
5、以∠D为角的三角形有哪些？
Байду номын сангаас
△ BCD、 △DEC
不等边三角形
按边分：
三角形
等腰三角形
底和腰不等的等腰三角形 等边三角形
直角三角形
按角分：三角形
斜三角形
锐角三角形 钝角三角形
A
C
F
E B
G
D
8、已知△ABC，证明：
(1)如图1－1－27，若P点是ABC和ACB的角平 分线的交点，则 P=；
初中数学课件
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一、内容整理
边角及其关系
三角形中元素
主要线段（角平分线、中线、高）
命题
真命题 假命题
公理 定理
推论
3、命题有真假之分。要说明一个命题是假命题。只 要——就可以了；而要说明一个命题是真命题， 必须——。
4、用自己的语言说说证明的基本步骤。
5、推理与论证是数学学习的重要内容，要学会有条 理地思考与表达。要逐步体会证明的必要性，理 解证明的基本过程，掌握直接证明的格式。请举 一个例子说明证明的必要必要性。
(2)如图1－1－28，若P点是ABC和外角ACE的 角平分线的交点，则P=；
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沪教版八年级数学上册复习要点
第十三章三角形中的边角关系
一、三角形的分类
1、按边分类：
2、按角分类：
不等边三角形直角三角形
三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形
钝角三角形
二、三角形的边角性质
1、三角形的三边关系：
三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。
2、三角形的三角关系：
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
三角形外角和定理：三角形的三个外角的和等于360°。
3、三角形的外角性质
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三、三角形的角平分线、中线和高
（说明：三角形的角平分线、中线和高都是线段）
四、命题
1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题。
2、命题分类
真命题：正确的命题
命题
假命题：错误的命题
3、互逆命题
4、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子
原命题：如果p，那么q；
逆命题：如果q，那么p。
称为反例。
（说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。
）。