2021版高考数学第四章三角函数、解三角形第7讲解三角形的综合应用练习理北师大版

第7讲 解三角形的综合应用[基础题组练]1．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选 D.由余弦定理可得，AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ×CB ×cos 120°＝102＋202－2×10×20×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝700.所以AC ＝107(km)．2．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1) mB ．180(2－1) mC ．120(3－1) mD ．30(3＋1) m解析：选C.因为tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，所以BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)．3．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A.作出示意图如图所示，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，在Rt △BCD 中，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.4．已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cosα＝34cos β，则v ＝( )A ．60B ．80C ．100D ．125解析：选C.画出图象如图所示，由余弦定理得(2.5v )2＝2002＋1502＋2×200×150cos(α＋β)①，由正弦定理得150sin β＝200sin α，所以sin α＝43sin β.又cos α＝34 cos β，sin 2 α＋cos 2α＝1，解得sin β＝35，故cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35，故cos(α＋β)＝1225－1225＝0，代入①解得v ＝100.5．地面上有两座相距120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2，且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( )A ．50 m ，100 mB ．40 m ，90 mC ．40 m ，50 mD ．30 m ，40 m解析：选B.设高塔高H m ，矮塔高h m ，在O 点望高塔塔顶的仰角为β. 则tan α＝H 120，tan α2＝h120，根据三角函数的倍角公式有H120＝2×h1201－⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1202.①因为在两塔底连线的中点O 望两塔塔顶的仰角互为余角， 所以在O 点望矮塔塔顶的仰角为π2－β，由tan β＝H 60，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝h60，得H 60＝60h .②联立①②解得H ＝90，h ＝40. 即两座塔的高度分别为40 m ，90 m.6．(2020·河北衡水三模)在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 为边BC 上的高，点E 满足AD →＝3AE →，若AB ＝m ，则BE 的长为________．解析：因为△ABC 是等腰三角形，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，所以∠ABC ＝30°，∠BAD ＝60°，又因为AB ＝m ，所以AD ＝12 m ，由AD →＝3 AE →，得AE ＝16m ，在△ABE 中，AB ＝m ，AE ＝16m ，∠BAE ＝60°，所以由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos ∠BAE ＝m 2＋136m 2－2m ×16m ×cos 60°＝3136m 2，所以BE ＝316m . 答案：316m 7.如图，在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D 的南偏东60°的B 处测得塔顶的仰角为30°，A ，B 的距离是84 m ，则塔高CD ＝________m.解析：设塔高CD ＝x m ， 则AD ＝x m ，DB ＝3x m.又由题意得∠ADB ＝90°＋60°＝150°， 在△ABD 中，利用余弦定理，得 842＝x 2＋(3x )2－23·x 2cos 150°， 解得x ＝127(负值舍去)，故塔高为127 m. 答案：1278．已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32，若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________．解析：因为AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32＝12AC ·BC ·sin ∠ACB ＝12×2×6×sin ∠ACB ，所以sin ∠ACB ＝12，所以∠ACB ＝π6或5π6，若∠ACB ＝5π6，∠BDC ＝π4<∠BAC ，可得∠BAC ＋∠ACB >π4＋5π6>π，与三角形内角和定理矛盾，所以∠ACB ＝π6，所以在△ABC 中，由余弦定理可得AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝2＋6－2×2×6×32＝2， 所以AB ＝AC ，所以∠B ＝π6，所以在△BCD 中，由正弦定理可得CD ＝BC ·sin ∠Bsin ∠BDC ＝6×1222＝ 3.答案： 39．在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB .由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知， cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC ＝5.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )·cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．解：(1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0，由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0， 又C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0. 在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1.[综合题组练]1．(2020·安徽宣城二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列．且对边分别为a ，b ，c ，若BA →·BC →＝20，b ＝7，则△ABC 的内切圆的半径为( )A. 3 B ．733C ．2D ．3解析：选A.因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.因为BA →·BC →＝ac cos B ＝20，所以ac ＝40.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝10 3.由余弦定理得cos B ＝（a ＋c ）2－2ac －b22ac ＝（a ＋c ）2－80－4980＝12，所以a ＋c ＝13，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ＝10r ，所以103＝10r ，解得r ＝3，故选A.2.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD . 已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为( )A ．50 5米B ．50 7米C ．5011米D ．5019米解析：选B.设该扇形的半径为r 米，连接CO .由题意，得CD ＝150(米)，OD ＝100(米)，∠CDO ＝60°， 在△CDO 中，CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°＝OC 2， 即1502＋1002－2×150×100×12＝r 2，解得r ＝50 7.3.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________．解析：由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DBsin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin 45°＝252（3－1）sin （90°＋θ），即25sin 45°＝252（3－1）cos θ，得到cosθ＝3－1.答案：3－14.如图，一位同学从P 1处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90°－α，后退l m 至点P 2处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，P 1，P 2三点在同一条水平线上，则塔BC 的高为________m ；旗杆BA 的高为________m ．(用含有l 和α的式子表示)解析：在Rt △BCP 1中，∠BP 1C ＝α， 在Rt △P 2BC 中，∠P 2＝α2.因为∠BP 1C ＝∠P 1BP 2＋∠P 2，所以∠P 1BP 2＝α2，即△P 1BP 2为等腰三角形，BP 1＝P 1P 2＝l ，所以BC ＝l sin α.在Rt △ACP 1中，AC CP 1＝AC l cos α＝tan(90°－α)，所以AC ＝l cos 2αsin α，则BA ＝AC －BC ＝l cos 2αsin α－l sin α＝l （cos 2α－sin 2α）sin α＝l cos 2αsin α.答案：l sin αl cos 2αsin α5．已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一座发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100 m 和BN ＝200 m ，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 3 m 后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．解：在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100， 所以PM ＝100 3.连接QM ，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，PQ ＝1003， 所以△PQM 为等边三角形，所以QM ＝100 3. 在Rt △AMQ 中，由AQ 2＝AM 2＋QM 2，得AQ ＝200.在Rt △BNQ 中，tan θ＝2，BN ＝200. 所以BQ ＝1005，cos θ＝55. 在△BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ cos θ＝(1005)2，所以BA ＝100 5. 即两发射塔顶A ，B 之间的距离是100 5 m.6．(应用型)如图所示，经过村庄A 有两条夹角60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin 60°＝AMsin （120°－θ）.因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ)．在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)．AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)． 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3.所以设计∠AMN ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．。