高考数学难点突破(3)

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高考数学的难点与突破

高考数学的难点与突破高考数学作为高考三门考试科目之一，在高中学生心中一直是备考的重点之一。

但是，不可否认的是，在高中学习过程中，数学总会有一些难点让学生觉得比较棘手。

本文将从高考数学的难点和突破两个方面进行探讨。

一、高考数学的难点1. 知识点的纵向难度高考数学作为一门学科，是立足于高中数学的基础上，进一步拓展和深化的。

因此，在知识点的纵向拓展上，高考数学难度自然也会随之升级。

如三角函数等概念的引入，既需要代数运算的基础，又需要平面几何的知识，而这些在初中数学和高中数学的基础中都已覆盖，这就加大了学生对于这些知识点的掌握难度。

2. 难度系数的横向分布高考数学中，不同难度系数的试题分布并不均衡。

比如在选择题中，有一些题目可能非常简单，但也有一些可能需要在众多知识点的交叉点上进行综合思考，这就对于学生的考试思维能力和解题技巧提出了更高的要求。

3. 题目难度的出题模式高考数学的出题模式也是一个不容忽视的难点。

一些题目可能在出题方式上有些变化，或者涉及到一些非常深入的思考，对于学生来说，考试压力更大，难度更高，这就需要对于知识点的掌握更为全面，更为熟悉。

二、高考数学的突破方法1. 全面掌握知识点高考数学的知识点非常庞杂，但是考试主要考察的知识点又非常明确，因此，学生在备考过程中，需要全面掌握所有的知识点，并结合考试重点和难点进行分析和简化，精炼出自己的解题模式。

2. 注重思维能力的培养高考数学注重的不止是基本知识的掌握，更重要的是思维的转化和运用，对于学生的思维能力和观察能力的培养非常关键。

学生在备考过程中，需要注重一些数学思维的训练，如归纳、推理、创新、逆向思维等，以培养自己的数学思维转化能力和解题能力。

3. 合理规划备考时间高考数学的复习周期非常长，学生需要进行全方位的复习和强化，并且需要在每一个知识点上下功夫，精耕细作。

此外，备考过程中还需要有系统地、有条理地进行规划和时间分配，以保证复习的全面性和深入性。

2020年高考数学(理)冲刺突破专题03 突破立体几何解答题的瓶颈

典例
(1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
(2)若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角 APBC 的余弦值.
(1)∠BAP＝∠CDP＝90°―→AB⊥AP，CD⊥PDAB∥CDAB⊥PD―→AB⊥平面 PAD―→结
论审题
(2)由(1)的结论―→AB⊥平面 PAD在平面 PAD 作 PF⊥ADAB⊥PF―→PF⊥平面路线
4．（2018•新课标Ⅲ）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧tt所在平面垂直，M 是tt上异于 C，D 的点．（1）证明：平面 AMD⊥平面 BMC；（2）当三棱锥 M﹣ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值．
【解析】（1）在半圆中，DM⊥MC， ∵正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧tt所在平面垂直， ∴AD⊥平面 DCM，则 AD⊥MC， ∵AD∩DM＝D， ∴MC⊥平面 ADM， ∵MC⊂平面 MBC， ∴平面 AMD⊥平面 BMC．（2）∵△ABC 的面积为定值， ∴要使三棱锥 M﹣ABC 体积最大，则三棱锥的高最大，此时 M 为圆弧的中点，建立以 O 为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图 ∵正方形 ABCD 的边长为 2， ∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），则平面 MCD 的法向量（1，0，0），设平面 MAB 的法向量为（x，y，z）
-
1．
所以二面角 APBC 的余弦值为－
3 .⑨
（2
3
019
•新课标Ⅲ）图 1 是由矩形 ADEB、Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB＝1，BE＝BF
＝2，∠FBC＝60°．将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2．

高三数学高考数学难点攻克与解题技巧分享与典型题型解析与解题思路探讨

高三数学高考数学难点攻克与解题技巧分享与典型题型解析与解题思路探讨数学作为高中阶段的重要学科之一，对于学生来说往往是最具挑战性的一门学科之一。

特别是在高考阶段，数学的难度系数也随之提升，考生们必须要有足够的准备和解题技巧才能更好地应对。

本文将分享一些高考数学的难点攻克方法和解题技巧，同时结合典型题型进行解析，以期能帮助广大考生在高考数学中取得更好的成绩。

一、高考数学的难点分析在高考数学中，有一些知识点和题型往往是考生们最头疼的难点。

下面我们就来分析一下这些难点并给出解题技巧。

1. 集合与函数集合与函数作为高考数学必学的知识点，常常出现在选择题和解答题中。

在解答集合与函数的问题时，考生需要注意以下几个方面：首先，对于集合的表示和操作要熟练掌握。

这包括交集、并集、差集等基本操作，以及集合的表示方法和判定集合之间的关系。

其次，对于函数的应用要灵活运用。

函数的定义域、值域、反函数等概念需要理解清楚，并能够熟练应用到各类问题中。

最后，要注意对于集合与函数的混合应用。

有些题目可能会结合集合和函数的性质进行综合求解，考生需要能够看清题目要求，灵活应用所学知识。

2. 三角函数三角函数是高考数学中的重点和难点之一。

学生在解三角函数相关的问题时，常常容易陷入一些常见的误区。

下面列举一些容易出错的地方：首先，角度的转化需要熟练。

弧度与角度之间的转化是解答三角函数问题的基础，考生需要通过练习熟练掌握。

其次，角度的定义域要注意。

例如，反三角函数的定义域需要符合对应三角函数值的范围，考生需要在解答问题时注意角度的合法性。

最后，要掌握三角函数的性质和常见的等式变形方法。

这样在解答复杂的三角函数问题时能够通过运用性质和等式来简化问题。

3. 函数与导数函数与导数是高考数学中的基础和重点内容，也是许多考生容易被绕晕的地方。

在解答函数与导数相关的问题时，考生需要注意以下几个难点：首先，对于函数的图像和性质要熟悉掌握。

通过观察函数的图像，可以大致了解函数的增减性、极值点等重要特征，从而更好地解答问题。

原函数与导函数混合还原问题 (十三大题型)高考数学重难点突破(原卷版)

重难点突破03 原函数与导函数混合还原问题目录1、对于，构造，2、对于，构造()()0(0)xf x f x '+><()()g x x f x =⋅()()0(0)xf x kf x '+><()()k g x x f x =⋅3、对于，构造，4、对于，构造5、对于，构造，6、对于，构造7、对于，构造，8、对于，构造9、对于，构造， 10、对于，构造 11、对于，构造， 12、对于，构造 13、对于，构造14、对于，构造 15、；；； 16、；．题型一：利用构造型例1．（安徽省马鞍山第二中学2022-2023学年高三上学期10月段考数学试题）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．()()0(0)x f x f x '⋅-><()()f x g x x =()()0(0)x f x kf x '⋅-><()()k f x g x x=()()0(0)f x f x '+><()()x g x e f x =⋅()()0(0)f x kf x '+><()()kx g x e f x =⋅()()0(0)f x f x '-><()()x f x g x e =()()0(0)f x kf x '-><()()bxf xg x e =sin ()cos ()0(0)x f x x f x '⋅+⋅><()()sin g x f x x =⋅sin ()cos ()0(0)x f x x f x '⋅-⋅><()()sin f x g x x=cos ()sin ()0(0)x f x x f x '⋅-⋅><()()cos g x f x x =⋅cos ()sin ()0(0)x f x x f x '⋅+⋅><()()cos f x g x x=()()(0)f x f x k '-><()[()]x g x e f x k =-()()ln 0(0)f x f x x x'+><()ln ()g x x f x =⋅()[()]f x c f x cx ''+=+()()[()()]f x g x f x g x '''+=+()()[()()]f x g x f x g x '''-=-()()()()[()()]f x g x f x g x f x g x '''+=2()()()()()[]()()f xg x 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--()()33-∞-⋃+∞，，()()3003-⋃，，()()3007-⋃，，()()327-∞-⋃，，1、对于，构造，2、对于，构造题型三：利用构造型例7．（河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考文科数学试题）已知定义在R 上的函数满足，且有，则的解集为（）A ．B ．C ．D ．例8．（河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考数学试题）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（）A ．B ．C ．D ．例9．（广东省佛山市顺德区北滘镇莘村中学2023届高三模拟仿真数学试题）已知是函数的导函数，对于任意的都有，且，则不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．变式6．（宁夏吴忠市2023届高三一轮联考数学试题）函数的定义域是，，对任意，，则不等式：的解集为（）A ．B ．C ．或D ．或【解题方法总结】1、对于，构造，2、对于，构造()()0(0)x f x f x '⋅-><()()f x g x x =()()0(0)x f x kf x '⋅-><()()k f x g x x=()nx e f x ()f x ()()0f x f x '+>()33f =()33e x f x ->()3,+∞()1,+∞(),3-∞(),1-∞R ()f x ()()102f x f x '+>()112f =()122x f x e ->(),2-∞()1,+∞(),1-∞()2,+∞()f x '()()y f x x =∈R x ∈R ()()1f x f x '+>()02023f =()e e 2022x x f x >+()2022,+∞()(),02023,∞∞-⋃+()(),00,∞-+∞U ()0,∞+()f x R ()02f =x ∈R ()()1f x f x '+>()e e 1x x f x ⋅>+{}0x x >{}0x x <{1x x <-}1x >{1x x <-}01x <<()()0(0)f x f x '+><()()xg x e f x =⋅()()0(0)f x kf x '+><()()kx g x e f x =⋅题型四：用构造型例10．（安徽省六安市第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题）定义在上的函数的导函数为，满足：，，且当时，，则不等式的解集为（） A ． B ．C ．D ．例11．（广东省汕头市2023届高三三模数学试题）已知定义在R 上的函数的导函数为，且满足，，则不等式）A ．B ．C ．D ．例12．（陕西省安康市2023届高三下学期4月三模数学试题）已知函数的定义域为，且对任意，恒成立，则的解集是（）A ．B ．C ．D ．变式7．（新疆克拉玛依市2023届高三三模数学试题）定义在R 上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（）A ．（1，+∞）B ．（1，+∞）C ．（∞，1）D ．（∞，1）变式8．（浙江省绍兴市新昌中学2023届高三下学期5月适应性考试数学试题）若定义在R 上的函数的导函数为，且满足，则不等式）A ．B ．C ．D ．变式9．（吉林省长春市吉大附中实验学校2022-2023学年高三上学期第四次摸底考试数学试题）设是函数的导函数，且，（e 为自然对数的底数），则不等式的()nxf x e (2,2)-()f x ()f x '()()40x f x e f x +-=()21f e =0x >()2()f x f x '>24(2)x e f x e -<(1,4)(2,1)-(1,)+∞(0,1)()f x '()f x '()()0f x f x ->2021(2021)f e =1ln f x e ⎛⎫< ⎪⎝⎭()2021,e +∞()20210,e()2021,ee+∞()20210,ee()f x R x R ∈()()0f x f x '-<()()4e 1e 23xf f x x >-+()4,+∞()1,4-(),3-∞(),4-∞()f x ()f x '1(1)3f -=-x ln 3()()f x f x '⋅<1(12y f x =-+122()30x f x -->----()f x ()f x '()()()2022,2022e f x f x f >='1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()60660,e ()20220,e()2022e ,∞+()6066e,∞+()f x '()f x ()()()3R f x f x x '>∈1e 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3ln f x x <解集为（）A ．B ．C ．D ．变式10．（四川省绵阳市南山中学2022-2023学年高三二诊热身考试数学试题）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（） A ． B ． C ． D ．变式11．（山东省烟台市2023届高三二模数学试题）已知函数的定义域为R ，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）．A ．B ．C ．D ．变式12．（江西省九江十校2023届高三第二次联考数学试题）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（） A ． B ．C ．D ．【解题方法总结】1、对于，构造，2、对于，构造题型五：利用、与构造型例13．（江西省2023届高三教学质量监测数学试题）定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（） A ．B ．C ．D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭)+∞R ()f x ()f x '()()f x f x '<()()2f x f x -=+()21f =()e x f x <(),2-∞()2,+∞()1,+∞()0,∞+()f x ()f x '()()e x f x f x -+='()00f =()()21e 1e exf x -<-11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,()1,1-()1,e -()f x R ()f x '()()1f x f x >'+(0)2023f =e ()e 2022x x f x -->+e 2022(,)+∞(,2023)-∞(0,2022)(,0)-∞()()0(0)f x f x '-><()()x f x g x e =()()0(0)f x kf x '-><()()bxf xg x e =sin x tan x ()f x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x y π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()()cos sin f x x f x x >-'()π20tan f x f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭->ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭π0,2⎛⎫⎪⎝⎭例14．（天津市南开中学2023届高三下学期统练二数学试题）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．例15．函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是（） A ．BC ．D变式13．已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【解题方法总结】1、对于，构造，2、对于，构造3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型题型六：利用与构造型例16．（重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x 的不等式的解集为（）()f x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()tan 0f x f x x '+>()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭()y f x =,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭12()()sin 2x x f x f x x e -'++=()'f x ()f x 43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭364f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2124f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(52312f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()tan 0f x f x x '+>()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭sin ()cos ()0(0)x f x x f x '⋅+⋅><()()sin g x f x x =⋅sin ()cos ()0(0)x f x x f x '⋅-⋅><()()sin f x g x x=cos x ()f x ()f x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 'π02x ≤<()()cos sin 0f x x f x x '+>()π2cos 3f x f x ⎛⎫>⋅ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．例17．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x 的不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．例18．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．【解题方法总结】1、对于，构造，2、对于，构造3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型题型七：复杂型：与等构造型例19．（广西柳州市2023届高三11月第一次模拟考试数学试题）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（） A ． B ． C ． D ．例20．（河南省多校联盟2023届高考终极押题（C 卷）数学试题）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（）ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ππππ2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,,πππ0332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,()f x ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()'f x 02x π<<()cos ()sin 0f x x f x x '+<()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x R ()f x 'R x ∈()()2cos f x f x x +-=[)0,+∞()sin f x x '>-()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭cos ()sin ()0(0)x f x x f x '⋅-⋅><()()cos g x f x x =⋅cos ()sin ()0(0)x f x x f x '⋅+⋅><()()cos f x g x x=n e ()()af x bg x +()f x ()f x 'x R ∈()()1f x f x '->()2022f x -()2021e 1x f x ->(),0-∞()0,+∞(),e -∞()e,+∞()f x ()f x 'R x ∈()()2f x f x >'+()12022f =()12020e 2x f x --<A ．B ．C ．D ．例21．（2023届高三冲刺卷（一）全国卷文科数学试题）已知函数与定义域都为，满足，且有，，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．变式14．（陕西省渭南市华州区咸林中学2022-2023学年高三上学期开学摸底考试数学试题）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（） A ． B ．C ．D ．变式15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（） A ． B ．C ．D ．变式16．（新疆新源县第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题）定义在R 上的函数满足：，，则不等式的解集为（） A ．B ．C ．D ．变式17．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2023届高三下学期第十二次适应性考试数学试题）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【解题方法总结】对于，构造题型八：复杂型：与型例22．（专题32盘点构造法在研究函数问题中的应用—备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破）已()0,∞+1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()1,+∞(),1-∞()f x ()g x R ()()()1e xx g x f x +=()()()0g x xg x xg x ''+-<()12e g =()4f x <()1,4()0,2(),2-∞()1,+∞()3,3-()f x 42()e ()0,(1)e ,()x f x f x f f x '+-==()f x [0,3)x ∈()2()f x f x '>24e (2)e x f x -<(2,1)-(1,5)(1,)+∞(0,1)()f x R ()f x '()()1f x f x '>+()(6)2f x f x +-=(6)5f =()210x f x e ++<(,0)-∞(0,)+∞(0,3)(3,6)()f x ()()'1f x f x +>()04f =()3x x e f x e >+()0,+¥()(),03,∞⋃+∞－()(),00,∞⋃+∞－()3,+∞R()f x ()()280f x f x '-->()02f =-()224xf x e >-()0,2()0,∞+()0,4()4,+∞()()(0)f x f x k'-><()[()]x g x e f x k =-()kx b +()f x知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（） A ． B ． C ． D ．例23．（辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．例24．（山东省泰安肥城市2023届高三下学期5月高考适应性训练数学试题（三））定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【解题方法总结】写出与的加、减、乘、除各种形式题型九：复杂型：与结合型例25．（2023届高三数学临考冲刺原创卷（四））已知函数的定义域为，导函数为，且满足，则不等式的解集为（） A ． B ． C ． D ．例26．（华大新高考联盟2023届高三3月教学质量测评文科数学试题）已知函数的定义域为，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为（）R ()f x ()()22f x f x +=-2x >()()()()2,11xf x f x f x f ''+>=若()12f x x <-(2,3)(),1-∞()()1,22,3⋃()(),13,-∞⋃+∞()f x R ()f x 'x ∈R ()1f x '>()()110f x f x ++-=()02f =-()11f x x ->-()4,+∞()3,+∞()2,+∞()0,∞+()1+¥，()f x ()f x '2(1)()()2x f x f x x x '-->-(1,)x ∈+∞(2)3f =2()1f x x x >-+()1,2()2+∞，()1,3()3+∞，y kx b =+()y f x =ln()kx b +()f x ()0,∞+()f x '()()ln 0f x xf x x '+>()()2020ln 20200f x x --≤()(),20202021,-∞⋃+∞()0,2021(]2020,2021(]2021,2022()f x R ()f x '0x >()()ln 0x x f x f x +⋅'<()()||44x f x f x ⋅>A ．B ．C ．D ．例27．（2023届高三数学新高考信息检测原创卷（四））已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且，则不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．变式18．（广东省梅州市2023届高三二模数学试题）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（） A ． B ． C ．D ．变式19．定义在上的函数满足，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【解题方法总结】 1、对于，构造 2、写出与的加、减、乘、除各种结果题型十：复杂型：基础型添加因式型例28．（辽宁省名校联盟2023届高考模拟调研卷数学（三））已知函数f （x ）为定义在R 上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．例29．定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（） A ．B ． ()(),10,-∞-⋃+∞()()1,00,-⋃+∞()(),10,1-∞-⋃()()1,01,-⋃+∞()f x R ()f x ¢()f x 102f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭()()()ln 20f x f x x x '+<()()220x x f x -->()()1,10,2,2⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭()11,0,22⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭()()1,02,-⋃+∞()(),10,2-∞-⋃()f x R ()f x '()f x 0x >()()()ln 20f x f x x x+>'102f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭()()20x f x -<()(),00,2-∞⋃()0,2()2,+∞()(),02,-∞⋃+∞(0)+∞，()f x ()()110,2ln 2xf x f '+=＞)(e 0x f x +>(02ln2)，(0,ln2)(ln21)，(ln2)+∞，()()ln 0(0)f x f x x x'+><()ln ()g x x f x =⋅ln()y kx b =+()y f x =()0,x ∈+∞()2'>f x x ()24f =()2312xf x x x x -+>+()()103-⋃+∞,,()()1,13,-+∞ ()(),10,3-∞- ()1,3-R ()f x ()()e 0x f x f x '-+<e ()'f x ()f x 3(3)3e f =()e x f x x >(,2)-∞(2,)+∞C．D．例30．定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（）A．B．0 C．1 D．2变式20．已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【解题方法总结】在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度题型十一：复杂型：二次构造例31．（福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题）函数满足：时，（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值例32．（江西省百所名校2022-2023学年高三第四次联考数学试题）已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．例33．（河南省濮阳市2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数为定义域在R上的偶函数，且当时，函数满足，，则的解集是（）A．B．C．D．(3),-∞(3,)+∞R()f x()()260f xf x-'-<()21e3=-f()2e3>-xf x x1-R()f x()()62sin0f x f x x x---+=0x≥()3cosf x x'≥-()π3ππ6224f x f x x x⎛⎫⎛⎫≥--++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π0,4⎛⎤⎥⎝⎦,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,6π⎛⎤-∞⎥⎝⎦,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭()f x1()'()2x xe f x e f x+=12f⎛⎫=⎪⎝⎭x>()f x()f x()1,+∞()f x'()()()()22x f x xf x xf x'++<⎡⎤⎣⎦()1,x∈+∞()14525f=()()233210x f x x++>+()1,2(),2∞-()2,3-()2,2-()1f x+1x≥()f x()()2ln2xxf x f xx'+=14ef=()4e1f x<(),2-∞⋃+∞(2()(),2e e,-∞-⋃+∞()2e,e-变式21．（宁夏平罗中学2023届高三上学期第一次月考数学试题）已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．变式22．（江西省九江市2023届高三三模数学（理）试题）已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（）A ．单调递增B ．单调递减C ．有极大值D ．有极小值变式23．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题）定义在上的函数满足，且，则（） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值变式24．（福建省泉州市2022-2023学年高二下学期期末教学质量跟踪监测数学（理）试题）设函数满足：，，则时，（） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值，又有极小值 D ．既无极大值，又无极小值变式25．（辽宁省大连市中山区第二十四中学2022-2023学年高三上学期11月月考数学试题）函数满足：时，A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极大值，也无极小值变式26．设函数的导数为，且，，，则当时，A ．有极大值，无极小值B ．无极大值，有极小值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值 R ()y f x =()y f x '=0x >()()0f x f x x '+<(2)3f =-6(21)21f x x --<-13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()0,∞+()f x '()f x ()()2xxf x x f x e '+=()1f e =()f x ()0,∞+()0,∞+()f x ()()2ln xf x f x x x '+=12f e =-()f x ()f x ()()2e xxf x f x x '+=()e12f =0x >()f x ()f x ()()2x xe f x e f x +'=1()2f =0x >()f x ()f x ()f x '()e ()x f x x xf x '+=(1)f π=-(2)2f π=-0x >()f x【解题方法总结】二次构造：，其中等题型十二：综合构造例34．（福建省泉州市泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）已知函数在上可导，其导函数为，若满足，关于直线对称，则不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．例35．（贵州省铜仁市2023届高三适应性考试数学试题（—））已知定义在上的函数，为其导函数，满足①，②当时，.若不等式有实数解，则其解集为（） A ．B ．C ．D ．例36．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三第一次模拟数学（文科）试题）已知是定义在R 上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（）A ．B ．C ．D ．变式27．（贵州省绥阳县育才中学2023届高三信息压轴卷数学试题）已知函数的定义域为R ，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（）()()()f x r x g x ⨯÷±(),,sin ,cos n nx r x x e x x =()f x R ()f x '()f x '()()01f x f x x '->-()e xf x y =1x =()22(0)ex xf x x f --<()1,2-()1,2()()1,01,2- ()(),01,-∞⋃+∞R ()f x ()f x '()()2f x f x x =--0x ≥()210f x x '++≥()()221331f x x x f x +++>+2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭()0,∞+()2,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭()f x ()f x '()f x 0x ≥()20f x x '->()13f =()22f x x >+()()1,01,-⋃+∞()(),11,-∞-⋃+∞()()1,00,1-U ()(),10,1-∞-⋃()f x ()f x '()()sin22f x f x x--=0x ≤()2cos 02x f x '+>()()2π1sin 2sin 122x x f x f x ⎛⎫++>++ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．变式28．（安徽省淮南市2023届二模数学试题）定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．变式29．（安徽省蚌埠市2023届高三上学期第一次质量检查数学试题）已知函数的定义域是，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【解题方法总结】结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者（为常见函数）题型十三：找出原函数例37．（甘肃省武威市第六中学2023届高三上学期第二次阶段性过关考试数学（文）试题）已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )的导函数f '(x 满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是A ．(0,e)B ．(0,) C ．(,e ) D ．(e,+∞)例38．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数A ．既有极大值又有极小值B ．有极大值，无极小值ππ,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()π,π,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ππ,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭()π,π,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭R ()f x ()()2cos 0f x f x x -++=0x ≥()sin f x x '>()2f x +()cos πx f x >-π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭π,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(),π-∞()f x 11,22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭R x ∈R ()40f x x '+<[]0,2απ∈()sin cos20f αα-<5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭50,,266πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭50,,233πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos ()()exx f x g x ⋅=()()f x r x +()r x ()()ln x xf x f x x+='()1f e e =e ()1f x e x e+>+1e1e()f x (1,)-+∞0x =()f x ()f x '()()ln(1)1f x f x x x x +-¢=+()f xC ．有极小值，无极大值D ．既无极大值也无极小值例39．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数 A ．既有极大值又有极小值 B ．有极大值，无极小值 C ．既无极大值也无极小值 D ．有极小值，无极大值【解题方法总结】熟悉常见导数的原函数.()f x (0,)+∞1x =()f x ()f x '()()ln f x f x x x x=-'()f x。

高三高数难点突破技巧

高三高数难点突破技巧面对高三的数学难点，挑战似乎无穷无尽，但只要掌握了一些突破技巧，成功便触手可及。

每一个难点都像一个复杂的谜团，它们有时躲在公式背后，有时隐藏在题型变化中，而破解它们需要的是策略和方法。

首先，理解是解决难点的关键。

每一个数学问题背后都有其固有的逻辑和原理。

将这些问题拆解开来，深入了解它们的基本概念和公式，可以帮助你看清问题的本质。

例如，对于函数的难点，理解函数的定义和性质比记住公式更为重要。

将复杂的概念用简单的语言表述出来，就能更好地掌握它们。

其次，强化练习是关键。

做题是巩固知识的有效方法，但做题时需要有针对性。

遇到难题时，不仅要反复练习，还要总结题型和解题技巧。

这就像是在攻克一个难关，需要不断试探和调整。

通过整理错题，分析错误原因，可以在复习中逐步提高，找到解决问题的最佳路径。

再者，时间管理同样重要。

高三的数学学习时间紧张，要合理分配时间，重点突破难点。

制定一个切实可行的学习计划，安排好每一天的学习任务，保证难点的突破有计划、有步骤地进行。

对于难点的突破，分阶段学习，每个阶段设定明确的目标，可以有效提高学习效率。

此外，善用学习资源也是突破难点的重要方式。

利用课本、参考书和网络资源，寻找不同的讲解方式和解题思路。

借助名师的讲解和辅导，可以帮助你从不同的角度理解问题，发现自己的不足之处。

小组讨论和互相帮助也是提高理解力和解题能力的有效方法。

最后，保持积极的心态非常关键。

数学难点的突破不仅仅依赖技巧和方法，更需要持之以恒的毅力和积极的心态。

遇到挫折时，保持冷静，调整策略，不断尝试和探索，就能逐步攻克难点，实现自我突破。

将这些技巧运用到实际学习中，你会发现，面对高三数学难点时，虽然挑战依然存在，但最终的解决方案已经在你手中。

每一次突破，都是你数学能力提升的过程。

高考数学难点突破与解题方法

高考数学难点突破与解题方法随着高考日益逼近，数学作为一门重要的科目，成为许多考生头疼的难题。

其中，存在着一些难点，对于许多考生来说是必须要突破的难关。

本文将介绍一些高考数学难点的突破方法和解题技巧，帮助考生在考试中取得更好的成绩。

一、代数与函数代数与函数是高考数学中的一大难点，其中包括方程、函数和不等式。

首先，要熟练掌握基本的代数知识，比如一元二次方程、分式方程等，切忌死记硬背，要通过大量的练习来加深理解。

其次，要了解各类函数的性质，包括基本初等函数的图像、性质和变化规律等。

高考中常见的函数类型有线性函数、二次函数和指数函数等，掌握它们的性质和变化规律能够解决不少难题。

最后，对于不等式的解法，要掌握常见的不等式性质，比如绝对值不等式、二次式不等式等，通过画图或代入法来解决。

二、立体几何立体几何也是高考数学中的难点之一。

在解题时，要注重对图形性质的理解和几何关系的把握。

了解常见几何图形的特征和性质，包括正方体、正四面体和圆锥等，会对解题有很大帮助。

同时，还需要掌握立体几何的投影问题，如求柱体、圆柱和圆锥的截面面积和体积等。

通过多做一些相关的题目进行练习，能够提高解决立体几何难题的能力。

三、概率与统计概率与统计在高考数学中占有一定的比重，也是一些考生容易忽视的部分。

在解题时，要注意理解概率与统计的基本概念和原理。

掌握概率计算的方法，包括排列组合、事件的计算和条件概率等。

对于统计的问题，要熟悉常见统计量的计算，如均值、中位数和标准差等。

此外，还要注意对数据的分析与解读，包括直方图和折线图的解读，以及数据的比较和推断分析。

四、解题技巧在考试时，掌握一些解题技巧对于突破数学难点是非常有效的。

首先，要学会研读题目，理解题目所给的条件和要求，抓住关键信息。

其次，学会尝试多种解题方法，从不同的角度入手，比较其优劣并选择最合适的方法。

此外，要善于归纳总结，在做题过程中，记录解题思路和方法，方便日后进行复习和总结。

数学高三年级第三节课突破难题的解题技巧

数学高三年级第三节课突破难题的解题技巧随着高三年级的到来，数学作为一门重要的学科，对于学生来说，解题技巧将起到至关重要的作用。

在高三数学学习中，难题是避免不了的。

本文将探讨一些突破难题的解题技巧，帮助同学们在解决数学难题时更加得心应手。

一、慎重审题解决数学难题前，首先要仔细审题。

有时候，题目会隐藏关键信息，只有通过仔细审题才能发现。

理解题目的要求，弄清题目中的条件、数据和问题，是解决难题的第一步。

同时，要学会提炼问题的本质，将复杂问题简化为易于理解和解答的形式。

二、合理组织思路在解决数学难题时，合理组织思路至关重要。

可以尝试使用思维导图、表格、图形等工具，将问题拆分为多个小问题，并找出它们之间的联系。

将复杂难题分解为若干个简单易解的子问题，并逐步推进，最终解决整个难题。

三、积累和应用基本解题方法数学是一门重视基本知识和基本解题方法的学科。

在解决高三数学难题时，我们可以通过积累和灵活应用基本解题方法，提高解题速度和准确性。

例如，代数方程的解法、函数图像的变化规律、三角函数的性质等等，都是解决数学难题的基础。

掌握这些基本知识和解题方法，将会事半功倍。

四、多角度思考问题数学难题往往有多种解题思路和方法。

为了突破难题，我们可以从不同的角度思考问题。

在解题过程中，可以尝试逆向思维、对称思维、类比思维等，以拓宽思路，找到问题的多种解答方法。

多角度思考问题，可以激发创造力，提高解题能力。

五、勤于归纳总结在解决数学难题的过程中，我们应该勤于归纳总结。

解题方法、答题技巧、易错点等，都需要在解题后进行总结。

可以将解题过程中的关键步骤、易错点整理成笔记，方便日后回顾和复习。

通过反复总结与应用，不断提升解题水平。

六、多练习、多实践数学难题的解题技巧需要通过多练习和实践来熟练掌握。

在课外时间，可以多做一些相关的练习题，挑战自己的解题能力，并及时纠正错误。

此外，还可以组织小组讨论或与同学们共同解题，相互交流解题思路，拓宽解题视野。

高考数学二轮复习热点难点突破之3、攻克抽象函数的五类问题(含答案)

热点难点突破系列之三、攻克抽象函数的五类问题抽象函数是高中数学的难点，大多数同学感觉找不着头绪，对抽象函数的研究往往要通过函数的性质来体现，如函数的奇偶性、单调性和周期性．利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略．下面从5个不同的方面来探寻一些做题的规律．1．抽象函数的定义域抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域，利用代换法得到不等式(组)进行求解．[典例1] 已知函数y ＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝2－2－log 2＋的定义域为________． [解析] 要使函数有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x 2－1≤8，x ＋1>0，2－log 2＋，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x 2≤9，x>－1，x≠3，则1≤x<3，所以函数的定义域为[1,3)．[答案] [1,3)[题后悟道] 函数y ＝f(g(x))的定义域的求法，常常通过换元设t ＝g(x)，根据函数y ＝f(t)的定义域，得到g(x)的范围，从而解出x 的范围．在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结构，使得分式、对数等都要有意义．2．抽象函数的函数值[典例2] (文)定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x ，y ∈R)，f(1)＝2，则f(－2)＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] 令x ＝y ＝0，得f(0)＝0，令x ＝y ＝1，得f(2)＝2f(1)＋2＝6，由0＝f(2－2)＝f(2)＋f(－2)－8得f(－2)＝2.[答案] A[典例2] (理)已知定义在R 上的单调函数f(x)满足：存在实数x 0，使得对于任意实数x 1，x 2，总有f(x 0x 1＋x 0x 2)＝f(x 0)＋f(x 1)＋f(x 2)恒成立．求：(1)f(1)＋f(0)；(2)x 0的值．[解] (1)因为对于任意实数x 1，x 2，总有f(x 0x 1＋x 0x 2)＝f(x 0)＋f(x 1)＋f(x 2)恒成立，令x 1＝1，x 2＝0，得f(x 0)＝f(x 0)＋f(0)＋f(1)，所以f(0)＋f(1)＝0.(2)令x 1＝0，x 2＝0，得f(0)＝f(x 0)＋2f(0)，即f(x 0)＝－f(0)．故f(x 0)＝f(1)．又因为f(x)是单调函数，所以x 0＝1.[题后悟道] 抽象函数求函数值往往要用赋值法，需要结合已知条件，通过观察和多次尝试寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来转化解答．3．抽象函数的奇偶性函数的奇偶性就是要判断－x 对应的函数值与x 对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y 轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．[典例3] 已知函数f(x)对任意x ，y ∈R ，都有f(x ＋y)＋f(x －y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．[证明] 取x ＝0，y ＝0，得2f(0)＝2f 2(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1；再取x ＝0，得f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y)＝2f(y)．所以f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)是偶函数．[题后悟道] 在利用奇偶函数的定义进行判断时，等式中如果还有其他的量未解决，例如本题中的f(0)，还需要令x ，y 取特殊值进行求解．4．抽象函数的单调性与抽象不等式高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点，常出现一些综合性问题，利用导数进行判断求解，并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式问题．(结合本节例2(2)学习)．5．抽象函数的周期性有许多抽象函数都具有周期性，特别是在求自变量值较大的函数值时，就要考虑寻找函数的周期，从而利用周期把函数值转化为已知求出．[典例4] 已知函数f(x)满足：f(1)＝14，4f(x)f(y)＝f(x ＋y)＋f(x －y)(x ，y ∈R)，则f(2 014)＝________. [解析] 取x ＝n ，y ＝1，有f(n)＝f(n ＋1)＋f(n －1)，同理f(n ＋1)＝f(n ＋2)＋f(n)，联立，得f(n ＋2)＝－f(n －1)，所以f(n ＋3)＝－f(n)，f(n ＋6)＝－f(n ＋3)＝f(n)，所以函数的周期为T＝6，故f(2 014)＝f(4)＝－f(1)＝－14. [答案] －14[题后悟道] 判断抽象函数的周期性时，给一个变量赋值是关键，但由于函数的周期性是函数的整体性质，因此另一个变量必须具有任意性．从以上几种类型来看，解答抽象函数问题并不是无计可施，只要我们善于观察、分析、掌握解题规律，把抽象问题形象化、具体化，问题就可以化难为易、迎刃而解．。

(03)抽象函数问题(含详细解析)

(03)抽象函数问题(含详细解析)2022届高考数学难点突破专题三抽象函数问题f(某)f(某)0的解集为某A．(1，0)(1，)B．(，1)(01)，C．(，1)(1，)D．(1，0)(01)，1.奇函数f(某)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式2.设定义在R上的函数f某满足f某f某213，若f12，则f99132D.2133.定义在R上的函数f(某)满足f(某y)f(某)f(y)2某yf(1)2，则f(3)等于A．13B.2C.A．2B．3C．6D．94.设f(某)是连续的偶函数，且当某>0时f(某)是单调函数，则满足f(某)f某3的所有某某4之和为A．3B．3C．8D．85．定义在R上的函数f(某)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(某)0在闭区间T,T上的根的个数记为n，则n可能为A.0B.1C.3D.56.已知定义域为R的函数f(某)在(8,)上为减函数，且函数y=f(某+8)函数为偶函数，则（）A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)7.若f(某)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对一切某＞0满足f(某/y)f(某)f(y),且f(6)=1,则不等式f(某+3)-f(1/某)＜2的解集为.8.R上的单调函数f某,f3log23，对于任意的实数m、n∈R，都有f(m+n)＝f(m)＋f(n)成立，若fk3某f3某9某20对于任意的实数R恒成立，则实数k的取值范围是.9.函数定义在R上，对任意实数m,n，恒有fmnfmfn，且当某0时，0f某1.若集合A某,yf某2fy2f1,B某,yfa某y21,aR，若AB，则实数a的取值范围是.10.函数f(某)对任意某1,某2∈R,当某1+某2=1时,恒有f(某1)+f(某2)=1,且f(0)=0,若an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+…+f(n-1/n),则an11.设函数f(某)是定义域为R+，且对任意的某,y都有f(某y)=f(某)+f(y),，当且仅当某>1时，f(某)>1某成立，则不等式f(a某1)>f(a-3)(0<a<1)的解集为（2）不f10;当某1时,f某0.（1）若anfn，则数列an的通项公式为12.已知函数f某满足：对任意的实数f某yf某fy2某y1成立，且等式f某22某3120的解集为13.已知F某是R上的减函数，且f某某F某（1）对于任意的某1,某2R,求证：f某1某1F某1某2,，并判断f某1f某2f某1某2是否为F某是R上减函数的必要条件；（2）如果（1）中判断成立，试将其推广一般情形（不必证明）；若不成立，请写出一个正确的结论（不必证明）。

专题六函数与导数难点突破03 极值点偏移问题-2023年高考数学二轮复习(全国通用)

突破点3 消参减元
例3 (2022年全国甲卷)已知函数 .
（1）若，求的取值范围；（2）证明：若有两个零点，，则 .
[解析] （1）的定义域为，，令，解得，令 ,解得 ,故函数在上单调递减，在上单调递增，故，
要使得恒成立，仅需，故，即的取值范围是 .（2）因为函数有两个零点，所以，即 .不妨设，，，要证明，即证明，即证明 .又在上单调递增，∴即证明 .
得，即．要证，需证，即证．设，则要证．令，则．
在上单调递增，则，即．故．
3.(2022·山东月考)已知函数有两个零点，．
（1）求实数的取值范围；（2）证明：．
[解析] （1）的定义域为，，①当时，，所以在上单调递增，故至多有一个零点，不符合题意.②当时，令，得；令，得 .故在上单调递减，在上单调递增，所以．
2.(2022·天津模拟)已知函数（，为实数）的图象在点处的切线方程为．
（1）求实数，的值及函数的单调区间；
（2）设函数，证明当时，．
[解析] （1）的导数为，∵曲线在点处的切线方程为，∴ 解得，．
令，得．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．的单调递减区间为，单调递增区间为 .（2）由（1）得，故 .由，
2.构造函数，即根据极值点构造辅助函数，若证，则令 .
3.判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
4.比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
5.转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．

2021高考数学重难点突破重难点03 立体几何(解析版)

重难点03 立体几何【命题趋势】立体几何一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点，文科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单几何体的体积，表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图.选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及简单几何体的变面积以及体积.本专题针对高考高频知识点以及题型进行总结，希望通过本专题的学习，能够掌握高考数学中的立体几何的题型，将高考有关的立体几何所有分数拿到.【满分技巧】基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.求点到平面的距离问题：采用等体积法.求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；④面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；⑤面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题1．（2020·上海松江区·高三一模）在正方体1111ABCD A B C D 中，下列四个结论中错误的是（）A ．直线1BC 与直线AC 所成的角为60︒B ．直线1BC 与平面1AD C 所成的角为60︒ C ．直线1B C 与直线1AD 所成的角为90︒D ．直线1B C 与直线AB 所成的角为90︒【答案】B 【分析】连接1AB ∵1AB C 为等边三角形，∴160ACB ∠=︒，即直线1B C 与AC 所成的角为60°，故选项A 正确；连接11B D ，∵1111AB B C CD AD ===，∴四面体11AB CD 是正四面体，∴点1B 在平面1AD C 上的投影为1AD C 的中心，设为点O ，连接1B O ，OC ，则63OC BC =，设直线1B C 与平面1AD C 所成的角为θ，则16313cos 22BC BCOC B C θ===≠，故选项B 错误；连接1BC ，∵11AD BC ，且11B C BC ⊥，∴直线1B C 与1AD 所成的角为90°，故选项C 正确；∵AB ⊥平面11BCC B ，∴1AB B C ⊥，即直线1B C 与AB 所成的角为90°，故选项D 正确．故选：B ．2．（2020·全国高三专题练习（文））一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A ．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱B ．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱C ．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱D ．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱【答案】D【分析】选项A 、B 中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C 中底面不是正方形，故排除选项A 、B 、C ，故选：D.3．（2020·浙江台州市·高三期中）设P 为空间一点，l 、m 为空间中两条不同的直线，α、β是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若P l ∈，P β∈，l α⊂，则l αβ=B ．若P α∈，P l ∈，//l m ，则m 与α必有公共点C ．若l α⊥，m β⊥，//αβ，则//l mD ．若l 与m 异面，l α⊂，m β⊂，则//αβ【答案】C【分析】对于A 选项，如下图所示：设m αβ=，l m P =，l α⊂，则P l ∈，P β∈满足，但l αβ≠，A 选项错误；对于B 选项，若l α⊂，P l ∈，则P α∈满足条件，若//l m ，则m α⊂或//m α，B 选项错误；对于C 选项，l α⊥，//αβ，可知l β⊥，又m β⊥，//l m ∴，C 选项正确；对于D 选项，如下图所示，l 与m 异面，l α⊂，m β⊂，但α与β相交，D 选项错误.故选：C.4．（2020·宜宾市南溪区第二中学校高三期中（文））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线11A C 上，F ，M 分别是AD ，CD 的中点，则下列结论中错误的是（）A ．11//FM ACB ．BM ⊥平面1CC F C ．三棱锥B CEF -的体积为定值D ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D【答案】D 【分析】在A 中,因为,F M 分别是,AD CD 的中点,所以11////FM AC AC ,故A 正确; 在B 中,因为tan 2BC BMC CM ∠==,tan 2CD CFD FD∠==,故BMC CFD ∠=∠, 故2BMC DCF CFD DCF π∠+∠=∠+∠=.故BM CF ⊥,又有1BM C C ⊥,所以BM ⊥平面1CC F ,故B 正确；在C 中,三棱锥B CEF -以面BCF 为底,则高是定值,所以三棱锥B CEF -的体积为定值,故C 正确.在D 中,BF 与平面11CC D D 有交点,所以不存在点E ,使得平面//BEF 平面11CC D D ,故D 错误.故选：D.5．（2020·河南开封市·高三一模（文））如图，将正四棱锥P ABCD -置于水平反射镜面上，得一“倒影四棱锥”P ABCD Q --.下列关于该“倒影四棱锥”的说法中，所有正确结论的编号是（）①//PA 平面BCQ ；②PQ ⊥平面ABCD ；③若,,,,P A B C D 在同一球面上，则Q 也在该球面上；④若该“倒影四棱锥”存在外接球，则AB PA =A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④【答案】D【分析】由题意四棱锥P ABCD -与四棱锥Q ABCD -是两个相同的正四棱锥连接,AC BD 相交于点O ，连接,OP OQ由四棱锥P ABCD -为正四棱锥，则PO ⊥平面ABCD .根据题意四棱锥Q ABCD -为正四棱锥,所以QO ⊥平面ABCD .,PO OQ 均垂直于平面ABCD ，所以P O Q ，，三点共线.所以PQ ⊥平面ABCD ,故②正确.由AC PQ O ⋂=，根据题意,,AP QC AO OC PO OQ ===所以APO △与CQO 全等，所以PAO OCQ ∠=∠所以//AP QC ,AP ⊄平面QCB ,QC ⊂平面QCB ,所以//PA 平面BCQ ，故①正确.当,,,,P A B C D 在同一球面上，若正方形ABCD 的外接圆不是球的大圆时，根据对称性，则Q 点不在此球面上，故③不正确.若该“倒影四棱锥”存在外接球，根据对称性则正方形ABCD 的外接圆是该球的大圆. 所以此时球的球心为正方形ABCD 的对角线的交点，即点O ,设2AB a = 则2OA a =，OA OP R == 所以22222AP a a a AB =+==,所以④正确.故选：D6．（2020·全国高三专题练习（文））如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E 、F 分别是棱AA '、CC '的中点，过直线E 、F 的平面分别与棱BB '、DD '交于M 、N ，设BM x =，]1[0x ∈，，则下列命题中错误的是（）A ．平面MENF ⊥平面BDDB ''B ．当且仅当12x =时，四边形MENF 的面积最小 C ．四边形MENF 周长()L f x =是单调函数D ．四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数【答案】C【分析】A 选项，∵//EF AC ，AC BD ⊥，'⊥AC BB ，∴AC BDD B ⊥''，∴EF ⊥平面BDD B ''，又∵EF ⊂平面MENF ，∴平面MENF ⊥平面BDD B ''，A 对，B 选项，由面//ABB A ''面CDDC '',又面ABB A ''⋂平面ENFM EM =,面CDD C ''⋂平面ENFM FN =,所以//EM FN ，同理//EN FM ,所以四边形MENF 为平行四边形.由EF ⊥平面BDD B ''，MN ⊂平面BDD B '',所以EF MN ⊥所以四边形MENF 为菱形，∴12MENF S EF MN =⋅，又2EF =MENF 的面积最小，只需MN 最小，则当且仅当12x =时，四边形MENF 的面积最小，B 对， C 选项，∵21()12MF x =-+21()4()12f x x =-+ ∴()f x 在[0]1，上不是单调函数，C 错， D 选项，C MENF F MC E F C NE V V V -''-'-=+，11124C ME S C E '∆'=⋅=，点F 到平面C ME '的距离为1，1113412F C ME V -'=⋅=，又11124C NE S C E '∆'=⋅=，点F 到平面C NE '的距离为1，1113412F C NE V -'=⋅=， ∴1()6h x =为常函数，D 对，故选：C .7．（2020·安徽高三月考（文））某几何体三视图如图，则该几何体的最长棱与最短棱长度之和为（）A ．33B ．5C ．25+D ．223+【答案】D【分析】解：该三视图还原后的几何体刚好是正方体的一部分将几何体嵌入棱长为2的正方体中即四面体ABCD ，则最长棱23BC =2CD =，故最长棱与最短棱长度之和为223+故选：D.二、填空题8．（2020·湖南常德市一中高三月考）在平行四边形ABCD 中，22AB =3BC =，且2cos A =，以BD 为折痕，将BDC ∆折起，使点C 到达点E 处，且满足AE AD =，则三棱锥E ABD -的外接球的半径为_________. 【答案】132【分析】在ABD △中，由22AB =3BC =，且2cos 3A =，平行四边形中，可得BC AD =，由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅，即(22223BD =+-222393⨯=，解得3BD =，折起后，AE AD =，可得3AE BD ==，3AD BE ==，且22AB ED == 所以三棱锥的三组对棱长相等，可将四面体ABED 放在长方体中，如图所示，设长方体的相邻三棱长分别为,,x y z ，外接球半径为R ，则222222998x y y z z x ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，则22213x y z ++=，即213R =13R = 所以四面体E ABD -13. 故答案为：132.9．（2020·全国高三其他模拟（文））已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，且//AD BC ，AD DC ⊥，224===AD DC CB ，AP PD ⊥，且AP PD =，22=PC 则三棱锥P BCD -外接球的表面积为________.【答案】283π 【分析】取AD 的中点E ，连接,PE BE ，因为AP PD =，可得AD PE ⊥，又由底面ABCD 是梯形，且//AD BC ，AD DC ⊥，22AD DC CB ==，可得AD BE ⊥，所以AD ⊥平面PBE ，又由AD ⊂平面ABCD ，所以所以PBE ⊥平面ABCD ，在直角PBC 中，222PB PC BC -=，在直角PAD △中，AP PD ⊥，AP PD ⊥且4=AD ，所以PBE △等边三角形，取BE 的中点F ，可得PF BE ⊥且3PF =设三棱锥P BCD -外接球的球心为O ，半径为r ，球心到ABCD 的距离为h ，在直角BOM 中，可得22222(2)r OM BM h =+=+，在直角PON △中，可得22222(3)1r PN OM h =+=+，解得273=r ，所以球的表面积为27284433S r πππ==⨯=. 故答案为：283π.10．（2020·湖南长沙市·长沙一中高三月考（文））以棱长为26O 为球心，以(13)R R <<为半径的球面与正四面体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是____________. 【答案】(0,82]π【分析】将棱长为6A BCD -补为正方体，则正方体边长为3所以该正四面体外接球半径为3，即3OB =，设CD 中点为E ，底面BCD 的中心为O '，连接BE ，OE ，如图：则32BE =22BO '=，2EO '=∴221OO BO BO '-=，223OE OO EO ''=+=，当13R <时，球在正四面体每个面上截得的轨迹都是圆，这些圆都是以各个面的中心为圆心的圆，设半径为(02)r r <. 所以总长度为4282r ππ⨯；33R <<时，球在四面方体每个面上截得的轨迹都是三段圆弧，其长度显然小于2π，当1R →或3R →时，球在正四面体每个面上截得的轨迹都是点，长度为0，故答案为：(0,82]π.11．（2020·江西高三其他模拟（文））在四面体ABCD 中，AC =BC ，AD =BD ，∠ABC =∠ABD =4π，CD =8，若四面体ABCD 的外接球的表面积为100π.则该四面体ABCD 的体积为_____________. 【答案】40【分析】AC =BC ，AD =BD ，∠ABC =∠ABD =4π， ADB ∴和ACB △是等腰直角三角形，取AB 中点O ，则可得OA OB OC OD ===，O ∴为四面体ABCD 的外接球的球心，设球半径为R ，则24100R ππ=，解得5R =，即5OA OB OC OD ====， ,,AB OC AB OD OC OD O ⊥⊥⋂=,AB ∴⊥平面OCD ，又221854122OCD S=⨯-=， 1112104033ABCD A OCD B OCD OCD V V V S AB --∴=+=⋅=⨯⨯=. 故答案为：40.三、解答题12．（2020·全国高三专题练习（文））如图，已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC =BC =AA 1=1，AC ⊥BC ，E 在AB 上，且BA =3BE ，G 在AA 1上，且AA 1=3GA 1.（1）求三棱锥A 1ABC 1的体积；（2）求证：AC 1⊥EG .【答案】（1）16；（2）证明见解析.【分析】（1）在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1，所以B 到平面ACC 1A 1的距离为1，所以1111A ABC B AA C V V --==111111326⨯⨯⨯⨯=.（2）如图所示：，在AC 上取点D ，使CD =13CA ，连接ED ，DG ，因为BE =13BA ，所以DE //BC ，又BC ⊥平面ACC 1A 1，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又AC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DE ⊥AC 1.在正方形ACC 1A 1中，由CD =13CA ，A 1G =13A 1A ，得DG ⊥AC 1.又DE ∩DG =D ，所以AC 1⊥平面DEG .所以AC 1⊥EG .13．（2020·四川成都市·成都七中高三期中（文））如图甲，平面四边形ABCD 中，已知45A ︒∠=，90︒∠=C ，105ADC ︒∠=，2AB BD ==，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BDC (如图乙)，设点E ，F 分别是棱AC ，AD 的中点.（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求三棱锥A BEF -的体积.【答案】（1）证明见解析；（23. 【分析】（1）图甲中，∵AB BD =且45A ︒∠=，45ADB ︒∴∠=，()()180180454590ABD ADB A ︒︒︒︒︒∴∠=-∠+∠=-+=，即AB BD ⊥，图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD 平面BDC BD =，∴AB ⊥平面BDC ，又CD ⊂平面BDC ，∴AB CD ⊥，又90DCB ︒∠=，∴DC BC ⊥，且AB BC B ⋂=，又AB ，BC ⊂平面AB C ，∴DC ⊥平面AB C ；（2）因为点E ，F 分别是棱AC ，AD 的中点，所以//EF DC ，且12EF DC =，所以EF ⊥平面ABC ，由（1）知，AB ⊥平面BDC ，又BC ⊂平面BDC ，所以AB BC ⊥，105ADC ︒∠=，45ADB ︒∠=，1054560CDB ADC ADB ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=， 90906030CBD CDB ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=，3cos30232BC BD ︒∴=⋅=⨯=1sin 30212DC BD ︒=⋅=⨯=，所以132ABC S AB BC =⨯⨯△132ABE ABC S S ==△△1122EF DC ==，所以11133332A BEF F ABE ABE V V EF S --==⋅⋅=⋅=△ 14．（2020·江西高三其他模拟（文））在如图所示的几何体中，底面四边形ABEF 为等腰梯形，AB ∥EF ，侧面四边形ABCD 是矩形，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，222EF AB ==1BC BE ==（1）求证：AF ⊥平面BCE ；（2）求三棱锥A -CEF 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【分析】（1）证明：取EF 的中点为M ，连接BM //,//,AB MF AF BM ∴1,2,BE AF BM EM ====222,,BE BM EM BM BE ∴+=∴⊥因为平面ABCD ⊥ 平面,,ABEF BC AB ⊥,BC BM BM ∴⊥∴⊥平面,BECAF ∴⊥平面BEC （2）1121221.323A CEF C AEF V V --==⨯⨯=15．（2020·河南新乡市·高三一模（文））如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且24AB AD ==，60DAB ∠=︒，1AD D D ⊥.（1）证明：1AD BD ⊥.（2）若112D D D B ==，求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）33【分析】：（1）证明：在ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，由余弦定理得222cos6023BD AB AD AB AD =+-⋅︒=则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，而1AD D D ⊥，1BD D D D ⋂=，故AD ⊥平面11D DBB ，又1BD ⊂平面11D DBB ，1AD BD ∴⊥.（2）解：如图所示：取BD 的中点O ，连接1D O ，由（1）可知：AD ⊥平面11D DBB ， AD ⊂平面ABCD ， ∴平面11D DBB ⊥平面ABCD ，由于11D D D B =， 1D O BD ∴⊥，故1D O ⊥平面ABCD ，即1D O 为四棱柱1111ABCD A B C D -的高，又12DD =，3DO =， 2211431D O DD DO =-=-=，由AD BD ⊥知：梯形的高2233h ⨯== ∴梯形ABCD 的面积为1(24)3332⨯+= 故111133133ABCD A C D B V -==。

高考数学教材复习全国版破解难点优质课(三)最值、范围、证明问题(5课件)

点为 H,过点 E 且与 OP 垂
建立△MAP 的面积关于 k 的函数,最后利用基本
直的直线交直线 AH 于点
不等式求最值.
M,求△MAP 面积的最大值.
图 Y3-1
课堂考点探究
例 1 [2018·济南二模] 如图 Y3-1,已知离心
率为
2
的椭圆
2
2 2
C: 2 + 2 =1(a>b>0)经过点
圆心 P 的轨迹为曲线 C.
(2,0)时,R=2,所以当圆 P 的半径最长时,其方程为
(1)求 C 的方程;
(x-2)2+y2=4.【关键 1:利用椭圆定义及圆与圆的位置关系
(2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直确定圆的方程】
线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|=2 3.【关
调性法;(5)三角换元法;(6)导数法等.
课堂考点探究
案例
【基本不等式法】[2014·全国卷
Ⅰ] 已知点 A(0,-2),椭圆
x2 y2
E: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为
a
b
3
,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF
2
2 3
的斜率为 ,O 为坐标原点.
3
(1)求 E 的方程;
(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交
(1 + 2 ) -41 2 =
为线段 AB 的中点,
1
2 1+ 2
所以|AP|= |AB|= 2 ,
2
2 +1
(2)若点 E 关于 x 轴的对称

高三数学难点攻克方法总结

高三数学难点攻克方法总结在高三数学学习中，同学们经常会遇到一些难题和难点。

为了帮助同学们更好地攻克高三数学难题，我总结了以下几种有效的方法。

一、理论知识的巩固和扩充1. 复习基础知识：高三数学的难点往往源于基础知识没有扎实掌握。

因此，在攻克高三数学难题之前，一定要先复习和巩固基础知识，如函数、方程、不等式等。

可以通过课本和习题集进行系统性的复习，做一些基础题加深理解。

2. 扩充理论知识：高三学习的数学内容较为复杂，需要掌握更多的理论知识。

同学们可以通过阅读相关的数学辅导书籍、参加数学培训班等方式，扩充数学知识面，进一步提高数学水平，为攻克难题打下坚实基础。

二、提高解题能力1. 培养思维习惯：在解决数学难题时，培养良好的思维习惯是非常重要的。

要养成仔细分析问题、有条理地解题的习惯，善于运用归纳法、逆向思维等解题方法，从而更好地理解和解决数学难题。

2. 善于归纳总结：在攻克数学难题的过程中，要善于归纳总结共性和规律，将类似的问题归纳成一个类型，这样可以在遇到类似问题时迅速找到解题方法，并且能锻炼自己的归纳思维能力。

3. 深入理解数学概念：对于难题，往往需要对数学概念有更深入的理解。

当遇到数学难题时，不仅要知其然，更要知其所以然。

通过将数学概念与实际生活中的问题相结合，进行思维拓展，从而更加深入地理解数学内容，提高解题能力。

三、合理安排学习时间1. 制定学习计划：在攻克高三数学难题时，合理的学习计划非常重要。

同学们应该根据自己的实际情况，制定周密的学习计划，将重点和难点的内容安排在相对较为充裕的时间段，在多次的复习与联系中，提高对数学内容的理解和掌握。

2. 分解大目标：将整个学习过程分解为一个个小目标，并制定相应的计划和策略，逐步攻克难题。

同时要保持耐心和毅力，不要轻易放弃，相信自己的能力和潜力，坚持下去。

四、积极参加讨论和解题活动1. 参加数学学习小组：可以与同学一起组建数学学习小组，通过相互讨论和解题，共同攻克高三数学难题。

高考数学突破高考数学难题的解题技巧

高考数学突破高考数学难题的解题技巧高考数学作为高中阶段学习的重点科目之一，一直以来都是考生们最为头疼的科目之一。

在备战高考期间，很多学生都会遇到一些难题。

本文将介绍一些解题技巧，帮助考生们突破高考数学的难题。

一、理清思路在面对高考数学难题时，很多同学常常感到无从下手，原因之一是没有理清解题思路。

因此，首先要做的是认真阅读题目，明确题目要求，理解题目背景和条件，并画出相应的图形。

以一道几何题为例：已知△ABC 中，∠A=60°，AC=BC，点D在边AB上，使三角形ADC与△ABC相似。

求证：∠A=∠C。

在阅读题目后，我们要明确题目要求：证明∠A=∠C。

然后理解题目背景和条件：△ABC 中，∠A=60°，AC=BC，点D在边AB上，使三角形ADC与△ABC相似。

二、分析解题方法在理清思路之后，我们需要分析解题方法。

在不同的题型中，可能需要使用的解题方法也有所不同。

例如：1. 几何题：（1）通过角和边的关系进行证明；（2）运用相似三角形性质进行证明。

2.代数题：（1）整理方程进行求解；（2）运用因式分解进行求解。

针对不同的题型，我们需要熟练掌握相应的解题技巧，以便能够迅速解题。

三、运用数学原理在解高考数学难题时，运用数学原理是非常重要的。

数学原理是解题的基础，通过运用数学原理可以进一步推导和解决问题。

举例来说，对于一道求导题：已知函数y=x^2，求函数y在点(1,1)处的导数。

在解答这道题的过程中，我们需要运用到导数的定义：导数定义为函数在某一点的切线的斜率，即函数y=x^2在点(1,1)处的导数为2x。

四、经典题型分析高考数学考试中，有一些经典题型经常出现。

经过对这些题型的掌握和分析，我们能够更好地应对类似的题目。

1. 几何题：（1）相似三角形求解题：在解决这类题目时，我们可以利用相似三角形的性质，比如相似三角形的对应角相等等，推导出所需要的结果。

2. 代数题：（1）求解方程题：求解方程的过程中，要注意运用因式分解、配方法等求解技巧。

高中数学难点突破方法总结

高中数学难点突破方法总结
一、高中数学难点突破方法总结
高中数学一直被认为是许多学生的噩梦，尤其是一些难点知识
点更是让人望而生畏。

然而，只要掌握了正确的学习方法和技巧，
就能够轻松突破这些难点，让数学变得简单起来。

首先，要克服数学难点，关键在于掌握基础知识。

建议学生在
学习数学之前，先夯实基础，掌握好基本的数学概念和运算方法。

只有打好基础，才能够更好地理解和应用高中数学中的难点知识点。

其次，要善于总结归纳。

在学习过程中，遇到难点知识点时，
可以尝试将相关知识点进行总结归纳，形成自己的思维导图或笔记。

通过整理和梳理知识点，可以帮助学生更好地理解和记忆，从而突
破数学难点。

另外，要多做练习。

练习是掌握数学的关键，尤其是对于难点
知识点。

建议学生多做相关练习题，不仅可以巩固知识，还可以帮
助学生发现自己的不足之处，及时调整学习方法和策略。

最后，要勇于请教。

在学习过程中，遇到难点知识点时，不要
犹豫，要及时向老师或同学请教。

通过与他人的交流和讨论，可以
帮助学生更好地理解和掌握数学难点，从而顺利突破难关。

总的来说，要克服高中数学难点，关键在于掌握好基础知识，
善于总结归纳，多做练习，勇于请教。

只有通过不懈的努力和坚持，才能够轻松突破数学难点，取得优异的成绩。

愿每位学生都能够在
数学的世界里畅行无阻，享受学习的乐趣！。

高三数学难点突破方法

高三数学难点突破方法高三是学生们备战高考的关键时期，而数学作为其中一门重要科目，常常给学生们带来困扰。

许多学生认为数学难以理解，难以掌握，但事实上，只要我们掌握一些有效的学习方法和技巧，就能够突破数学难点，提高自己的数学水平。

本文将从几个方面介绍高三数学难点的突破方法。

I. 温故知新在高三备考过程中，我们常常会遇到一些比较困难的数学难点，而这些难点往往建立在一些基础概念之上。

因此，温故知新是我们突破数学难点的第一步。

首先，我们应该复习并巩固基础知识。

可以通过查看教材或者课堂笔记来回顾自己学过的知识点，有助于加深对基础概念的理解。

其次，我们可以寻找相关的练习题来巩固所学内容。

通过反复练习，我们可以更好地理解和掌握基础概念，并逐渐提升自己的解题能力。

II. 理清思路数学考试中，许多难点题目往往给人一种“无从下手”的感觉。

因此，在解答这类题目时，理清思路非常重要。

首先，我们应该仔细阅读题目，理解问题的要求。

在阅读题目时，可以用自己的话将题目重新表达一遍，以确保自己理解准确。

其次，我们应该尝试将问题转化为已经学过的知识点或者解题方法。

通过将问题与已知知识相关联，我们能够更好地理解题目，找到解题的思路。

最后，我们应该将解题思路进行详细的步骤拆解，把复杂的问题化简为简单的小步骤。

这样可以提高解题的逻辑性和条理性，避免在解题过程中出现错误。

III. 善于归纳总结在高三备考过程中，我们会遇到各种各样的数学难题。

当我们成功解决一个难题时，我们应该善于归纳总结，记录下解题的关键点和思路。

对于已经解决的难题，我们可以将解题思路、关键公式或者相关知识点整理成笔记，方便以后查阅和复习。

这样做不仅可以帮助我们加深对知识点的理解，还可以提升自己的记忆能力。

此外，我们还可以将解题思路和方法与同学分享，相互学习和交流，从不同的角度去理解和解决同一个问题，有助于拓宽我们的思路。

IV. 多做真题在备考过程中，多做一些真题对于突破数学难点非常有帮助。

高考数学难点突破--隐零点专题(有答案)

专题三 . 隐零点专题知识点一、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则①有关系式0)('0=x f 成立，②注意确定0x 的合适范围.二、含参函数的隐零点问题已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系，②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关. 例1.已知函数)2ln()(+-=x e x g x ，证明)(x g ＞0.例2.（2017052001）已知函数x a e x f x ln )(-=.（I ）讨论)(x f 的导函数)('x f 的零点的个数；（II ）证明：当0>a 时，)ln 2()(a a x f -≥.例3.（2017.全国II.21）已知函数x x ax ax x f ln )(2--=，且()0f x ≥.（I ）求a ；（II ）证明：)(x f 存在唯一的极大值点0x ，且2022)(--<<x f e . 例 4.(2016.全国甲.21)（I ）讨论函数2(x)e 2x x f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> （II ）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax a g x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.例 5.（2013.湖北.10）已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则 A.21)(,0)(21->>x f x f B.21)(,0)(21-<<x f x fC.21)(,0)(21-<>x f x fD.21)(,0)(21-><x f x f 例6.（2017022802）已知函数)ln 1()(x x x f +=.（I ）求函数)(x f 的单调区间及其图象在点1=x 处的切线方程；（II ）若Z ∈k ，且)()1(x f x k <-对任意1>x 恒成立，求k 的最大值.例1例4导数压轴题中的“隐零点”问题之专项训练题1、设函数()2xf x e ax =--. (Ι)求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.变式训练：已知函数()()ln ,f x x x ax a R =+∈.（Ⅰ）若函数()f x 在)2,e ⎡+∞⎣上为增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()()()1,,1x f x k x ax x ∀∈+∞>-+-恒成立，求正整数k 的值.2、已知函数()()ln xf x e x m =-+. (Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >.变式训练：已知函数()32213f x x x ax =+++在()1,0-上有两个极值点1x 、2x ，且12x x <.(Ι)求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：()21112f x >.3、已知a R ∈，函数()2x f x e ax =+；()g x 是()f x 的导函数. （Ⅰ）当12a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00g x =；（Ⅲ）若存在实数,a b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值.变式训练：已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+. （Ⅰ）求()f x 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.4、已知函数()()222ln 22=-++--+f x x a x x ax a a ，其中0>a . （Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）证明：存在()0,1∈a ，使得()0≥f x 在区间()1,+∞内恒成立，且()0=f x 在区间()1,+∞内有唯一解.变式训练 ,已知函数()222ln 2f x x x ax a =-+-+，其中0>a ，设()g x 是()f x 的导函数.（Ⅰ）讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）证明：存在()0,1∈a ，使得()0≥f x 恒成立，且()0=f x 在区间()1,+∞内有唯一解.变式训练,已知函数()2ln 12a f x x x x =-++，()21x a g x ae ax a x=++--，其中a R ∈. （Ⅰ）若2a =，求()f x 的极值点；（Ⅱ）试讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若0a >，()0,x ∀∈+∞，恒有()()g x f x '≥（()f x '为()f x 的导函数），求a 的最小值.变式训练 ,已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0？若存在，则求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.。

高考数学二轮复习中难提分突破特训3课件文

中难提分突破特训(三)
1．已知函数 f(x)＝2sinxsinx＋π3. (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)锐角△ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，角 A 的平分线交 BC 于 D，直线 x＝A 是函数 f(x)图象的一条对称轴，AD＝ 2BD＝2，求边 a.
(2)不妨设直线 l1：θ＝6π(ρ∈R)与曲线 C 的交点为 O，M，则
ρM＝|OM|＝4sinπ6＝2，
又直线 l2：θ＝23π(ρ∈R)与曲线 C 的交点为 O，N，则 ρN＝|ON|＝4sin23π＝2 3. 又∠MON＝π2，所以 S△OMN＝12|OM|·|ON|＝12×2×2 3＝展共享单车的基本事件包含{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A2，A3}，{A2，A4}， {A3，A4}，共 6 个．
∴P(A)＝160＝35. ∴从年龄在[15,20)的被调查人中随机选取 2 人进行调查，恰好这 2 人都支持发展共享单车的概率是35.
又在直角三角形 PEB 中，EB＝ PB2－PE2＝3，
所以 VP－BEF＝VF－PEB＝13×12×
3×3×23＝
3 3.
4．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
x＝2cosθ， y＝2sinθ＋2
(θ 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求 C 的极坐标方程；
k＝30＋105×0×5＋305××5－301＋0×55×2 10＋5≈2.38＜2.706.
∴不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，认为年龄
与是否支持发展共享单车有关系．
(2)“从年龄在[15,20)的被调查人中随机选取 2 人进行调查，恰好这 2 人都支持发展共享单车”记为事件 A.