高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：小题综合限时练5 Word版含解析

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新高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：小题综合限时练

新高考数学（鲁闽皖京渝津，文科）大二轮总复习：小题综合限时练限时练四(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知i为虚数单位，a∈r，若(a－1)(a＋1＋i)是纯虚数，则a的值为()．a．－1或1c．－1b．1d．32?a－1＝0，?2解析∵(a－1)(a＋1＋i)＝(a－1)＋(a－1)i是纯虚数，∴∴a＝－1.?a－1≠0，?答案c2．设不等式x2－x≤0的解集为m，函数f(x)＝lg(1－|x|)的定义域为n，则m∩n＝()．a．(－1,0]c．(0,1)b．[0,1)d．[0,1]解析由x2－x≤0，得m＝{x|0≤x≤1}，∵1－|x|＞0，∴n＝{x|－1＜x＜1}，∴m∩n ＝[0,1)．答案bπ2x－?的单调递减区间就是()．3．函数f(x)＝tan?3??kππkπ5π?a.??2－12，2＋12?(k∈z)kππkπ5π?b.??2－12，2＋12?(k∈z)π2πkπ＋，kπ＋?(k∈z)c.?63??π5πkπ－，kπ＋?(k∈z)d.?1212??πππkππkπ5π解析由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈z)得，－＜x＜＋(k∈z)，所以函数f(x)＝232212212πkππkπ5π2x－?的单调递增区间为?－，＋?(k∈z)．tan?3212212?答案b1?－0.84．已知a＝21.2，b＝??2?，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为()．a．cb．c解析先把相同底指数化为同底指数，再利用指数函数的单调性比较大小，最后利用中1?－0.80.8间值与对数函数值展开比较大小．a＝21.2>2，而b＝?＝2，所以15．未知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为()．a．24c．52b．39d．104解析∵3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，由等差数列的性质得6a4＋6a10＝48，∴a7＝4，∴数列{an}的前13项和为13a7＝52.答案c6．三棱锥s－abc及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱sb的短为()．a．211c.38b．42d．163解析挑ac的中点d，相连接bd，sd，由正视图及侧视图得，bd⊥平面sac，sc⊥平面abc，则∠sdb＝90°，且bd＝23，sd＝25，∴sb＝42.答案b7．继续执行例如图的程序框图，若输入的结果为3，则可以输出的实数x值的个数为()．a．1c．3b．2d．4解析此程序框图的算法功能是分段函数log2x，x＞2，y＝?2的表达式，当y＝3时，适当的x值分别为±2,8.?x－1，x≤2?答案cx2y28．已知f1，f2是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段f1f2为边作正三角形abmf1f2.若线段mf1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为()．a．4＋23b.3－1c.3－12d.3＋1解析∵正三角形mf1f2的边长为2c，设mf1的中点为n，∴f2n⊥nf1，在rt△nf1f2中，容易求得，|nf2|＝3c，|nf1|＝c，又n在双曲线上，∴|nf2|－|nf1|＝2a，∴2a＝3c2c－c，∴e＝＝＝3＋1.a3－1答案d9．若k∈[－3,3]，则k的值使过a(1,1)可以搞两条直线与圆(x－k)2＋y2＝2切线的概率等于()．1a.21b.32c.33d.4解析点在铅直，过该点可以搞两条直线与圆切线，故须要圆心与点a距离大于半径即可，42即(1－k)2＋1＞2，解得k＜0或k＞2，所以所求k∈[－3,0)∪(2,3]，概率为p＝＝.63答案c2a－310．未知f(x)就是定义在r上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝，则实数a的挑a＋1值范围为()．a．－1＜a＜4c．－1＜a＜0b．－2＜a＜1d．－1＜a＜2。

新高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：小题综合限时练6(含答案解析)

限时练六(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知R 是实数集，M ＝{x|2x＜1}，N ＝{y|y ＝x －1＋1}，则N∩(∁R M)＝( )．A ．(1,2)B ．[0,2]C ．∅D ．[1,2]解析 ∵2x ＜1，∴x －2x ＞0，∴x ＜0或x ＞2，∴M ＝{x|x ＜0或x ＞2}，∵y ＝x －1＋1≥1，∴N ＝{y|y≥1}，∴N∩(∁R M)＝[1,2]．答案 D2．在复平面内，复数－2＋3i3－4i(i 是虚数单位)所对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－2＋3i3－4i＝－2＋＋－＋＝－18＋i 25＝－1825＋125i ，∴－1825＋125i 对应的点为(－1825，125)，在第二象限答案 B3．在检验某产品直径尺寸的过程中，将某尺寸分成若干组，[a ，b)是其中的一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m ，该组在频率分布直方图上的高为h ，则|a －b|等于( )． A.m h B.hmC ．mhD ．与h ，m 无关解析根据频率分布直方图的概念可知，|a －b|×h ＝m ，由此可知|a －b|＝m h .答案 A4．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x)(1＋x)]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数，下列说法正确的是( )． A ．p ∨q 是假命题 B ．(綈p)∧q 是假命题 C ．p ∧q 是真命题D ．(綈p)∨q 是真命题解析对于命题p ：y ＝f(x)＝ln[(1－x)(1＋x)]，令(1－x)(1＋x)＞0，得－1＜x ＜1，∴函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数；∴命题p 为真命题；对于命题q ：y ＝f(x)＝e x －1e x ＋1，函数f(x)的定义域为R ，关于原点对称，f(－x)＝e －x－1e －x ＋1＝1e x －11e x＋1＝1－e x1＋e x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，∴命题q为假命题．∴(綈p)∧q 是假命题，故选B 答案 B5．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( )．A ．y ＝x ＋1的图象上B ．y ＝2x 的图象上C ．y ＝2x 的图象上D ．y ＝2x－1的图象上解析由程序框图知：x ＝1，y ＝1，输出(1,1)；x ＝2，y ＝2，输出(2,2)；x ＝3，y ＝4，输出(3,4)；x ＝4，y ＝8，输出(4,8)；x ＝5，y ＝16，结束循环，点(1,1)，(2,2)，(3,4)，(4,8)在y ＝2x－1的图象上．答案 D6．已知等边△ABF 的顶点F 是抛物线C 1：y 2＝2px(p ＞0)的焦点，顶点B 在抛物线的准线l上且AB ⊥l ，则点A 的位置( )． A ．在C 1开口内 B ．在C 1上 C ．在C 1开口外D ．与p 值有关解析设B(－p 2，m)，由已知有AB 中点的横坐标为p 2，则A(3p2，m)，△ABF 是边长|AB|＝2p 的等边三角形，即|AF|＝3p 2－p 22＋m 2＝2p ，∴p 2＋m 2＝4p 2，∴m ＝±3p ，∴A(3p2，±3p)，代入y 2＝2px 中，得点A 在抛物线上．答案 B7．若函数y ＝f(x)＋cos x 在[－π4，3π4]上单调递减，则f(x)可以是( )．A ．1B ．cos xC ．－sin xD ．sin x解析－sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ＝2cos (x ＋π4)，∵－π4≤x≤3π4，∴0≤x ＋π4≤π，∴函数y ＝－sin x ＋cos x 在[－π4，3π4]上为减函数．答案 C8．已知向量a ，b ，满足|a|＝2|b|≠0，且关于x 的函数f(x)＝13x 3＋12|a|x 2＋a·bx 在R 上有极值，则向量a ，b 的夹角的取值范围是( )． A.⎣⎡⎭⎫0，π6 A.⎝⎛⎦⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎤π3，πD.⎝⎛⎭⎫π3，2π3解析设a 、b 的夹角为θ，∵f(x)＝13x 3＋12|a|x 2＋|a||b|cosθ·x ＝13x 3＋12|a|x 2＋12|a|2cos θ·x ，∴f(x)＝x 2＋|a|x ＋12|a|2cos θ，∵函数f(x)有极值，∴f′(x)＝0有2个不同的实根，∴Δ＝|a|2－2|a|2cos θ＞0，即1－2cos θ＞0，∴cos θ＜12，∴π3＜θ≤π.答案 C9．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )． A. 2 B ．2 2 C. 3D.433解析设P 点在双曲线右支上，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由条件得∠PF 1F 2＝30°，由2a sin 30°＝4asin ∠PF 2F 1，得sin ∠PF 2F 1＝1，∴∠PF 2F 1＝90°，在Rt △PF 2F 1中，2c ＝2－2＝23a ，∴e ＝ca ＝ 3.答案 C10．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋1，x≤1，ln x ，x ＞1，则方程f(x)＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是(注：e 为自然对数的底数)( )．A.⎝⎛⎭⎫0，1eB.⎣⎡⎭⎫14，1e C.⎝⎛⎭⎫0，14 D.⎣⎡⎭⎫14，e解析 ∵y ＝ln x(x ＞1)，∴y′＝1x，设切点为(x 0，y 0)，∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，∴y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，若其与y ＝ax 相同，则a ＝1x 0，ln x 0－1＝0，∴x 0＝e ，∴a ＝1e .当直线y ＝ax 与y ＝14x ＋1平行时，直线为y ＝14x ，当x＝1时，ln x －14x ＝ln 1－14＜0，当x ＝e 时，ln x －14x ＝ln e －14e ＞0，当x ＝e 3时，ln x －14x ＝ln e 3－14e 3＜0，∴y ＝ln x 与y ＝14x 的图象在(1，e)，(e ，e 3)上各有1个交点，∴直线y ＝ax 在y ＝14x 和y ＝1e x 之间时，与函数f(x)的图象有2个交点，所以a ∈⎣⎡⎭⎫14，1e ，故选B.答案 B 二、填空题11．在面积为S 的矩形ABCD 内随机取一点P ，则△PAB 的面积小于S4的概率是______．解析如图，PE ⊥AB ，设矩形的边长AB ＝a ，BC ＝b ，PE ＝h ，由题意得， 12ah≤S 4＝ab 4，∴h≤b2，由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝121＝12. 答案 1212.把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，连接AC ，得到三棱锥C －ABD ，其正视图、俯视图为全等的等腰直角三角形(如图所示)，则其侧视图的面积为________．解析由条件知直观图如图所示，其中M 是BD 的中点，则CM ⊥平面ABD ，侧视图就是Rt △CMA ，CM ＝AM ＝1，CM ⊥AM ， S △CMA ＝12×1×1＝12.答案 1213．已知点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，y≥x ，x≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为________．解析要使弦AB 最短，只需弦心距最大，根据图象知点P(1,3)到圆心的距离最大，则|OP|＝10，圆的半径为14，∴|AB|min ＝214－10＝4.答案 414．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n ＞1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________.解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，∴a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，∴数列{a n }从第二项开始为等差数列，当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2，∴a 3＝a 2＋2＝4，∴S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋＋2＝91.答案 9115．已知g(x)＝－x 2－4，f(x)为二次函数，满足f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝0，且f(x)在[－1,2]上的最大值为7，则f(x)＝______.解析设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，则由题意可得f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝2ax 2＋2c －2x 2－8＝0，得a ＝1，c ＝4.显然二次函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值只能在x ＝－1时或x ＝2时取得．当x ＝－1函数取得最大值7时，解得b ＝－2；当x ＝2函数取得最大值7时，解得b ＝－12，所以f(x)＝x 2－2x ＋4或f(x)＝x 2－12x ＋4.答案 x 2－2x ＋4或x 2－12x ＋4。

高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题2第3讲专题训练 Word版含解析

一、选择题1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )． A.BC → B ．12AD → C.AD →D ．12BC →解析如图，EB →＋FC →＝－(BE →＋CF →) ＝－(12BA →＋12BC →＋12CA →＋12CB →)＝－(12BA →＋12CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选C.答案 C2．(2014·河南十所名校联考)在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若CM →＝－2CA →＋λCB →，则λ＝( )． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析由点A ，B ，M 三点共线知：－2＋λ＝1，所以λ＝3. 答案 C3．(2014·吉林省实验中学模拟)在△ABC 中，D 是AB 中点，E 是AC 中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12解析由题意知点F 为△ABC 的重心，设H 为BC 中点，则AF →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以x ＝13，y ＝13. 答案 C4．(2014·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC 的两个顶点为O (0,0)，A (1,1)，且OA →·OC →＝1，则AB →·AC →等于( )． A ．－1 B ．1 C. 2D ． 3解析依题意，|OA →|＝|OC →|＝|AB →|＝2，OA →·OC →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC ＝1，cos ∠AOC ＝12，∠AOC ＝π3，则|AC →|＝|OA →|＝|OC →|＝2，∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝1. 答案 B5．(2014·浙江卷)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1( )．A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定解析由于|b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b t ＋a 2t 2，令f (t )＝a 2t 2＋2a ·b t ＋b 2，而t 是任意实数，所以可得f (t )的最小值为4a 2·b 2－(2a ·b )24a 2＝4a 2b 2－4a 2b 2cos 2 θ4a 2＝4b 2sin 2 θ4＝1，即|b |2sin 2 θ＝1，则若θ确定，则|b |唯一确定．答案 B 二、填空题6．(2014·江西卷)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解析 e 1·e 2＝1×1×13＝13，|a |＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12×13＝3.答案 37.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2 MA →，则CM →·CB →＝________.解析法一如图建立平面直角坐标系．由题意知：A (3,0)，B (0,3)，设M (x ，y )，由BM →＝2MA →，得⎩⎨⎧ x ＝2(3－x )，y －3＝－2y ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2,1)，所以CM →·CB →＝(2,1)·(0,3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝ ⎛⎭⎪⎫23 BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3. 答案 38．(2014·杭州质量检测)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB ＝60°，若OA →·OB →＝6，则|OG →|的最小值是________．解析如图，在△AOB 中，OG →＝23OE →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(OA →＋OB →)，又OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos 60°＝6， ∴|OA →||OB →|＝12，∴|OG →|2＝19(OA →＋OB →)2＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →)＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋12)≥19×⎝ ⎛⎭⎪⎫2|OA →||OB →|＋12＝19×36＝4(当且仅当|OA →|＝|O B →|时取等号)．∴|OG →|≥2，故|OG →|的最小值是2. 答案 2 三、解答题9．(2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．(1)证明由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，即a ·b ＝0，因此a ⊥b .(2)解由已知条件⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，cos β＝－cos α＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sin α＋sin (π－α)＝1，即sin α＝12，故α＝π6或α＝5π6.当α＝π6时，β＝5π6(舍去)，当α＝5π6时，β＝π6.所以，α，β的值分别为5π6，π6.10．已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)． (1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8的取值范围．解 (1)由m ∥n ，可得3sin x ＝－cos x ，于是tan x ＝－13，∴sin x ＋cos x 3sin x －2cos x ＝tan x ＋13tan x －2＝－13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＝－29.(2)在△ABC 中A ＋B ＝π－C ，于是 sin(A ＋B )＝sin C ，由正弦定理，得3sin C ＝2sin A sin C ，∵sin C ≠0，∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形， ∴A ＝π3，于是π6<B <π2. ∵f (x )＝(m ＋n )·m ＝(sin x ＋cos x,2)·(sin x ，－1)＝sin 2 x ＋sin x cos x －2＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －2＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π8－π4－32＝22sin 2B －32.由π6<B <π2，得π3<2B <π， ∴0<sin 2B ≤1，－32<22sin 2B －32≤22－32，即f (B ＋π8)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，22－32.11．(2014·陕西卷)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．解 (1)法一 ∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎨⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝2 2. 法二 ∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)，∴|OP →|＝2 2. (2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎨⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.。

高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：大题分类规范练2 Word版含解析

规范练(二) 数列1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －p ，其中p 是不为零的常数．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)当p ＝3时，数列{b n }满足b n ＋1＝b n ＋a n (n ∈N *)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．(1)证明因为S n ＝4a n －p (n ∈N *)，则S n －1＝4a n －1－p (n ∈N *，n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.由S n ＝4a n －p ，令n ＝1，得a 1＝4a 1－p ，解得a 1＝p 3.所以{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列．(2)解当p ＝3时，由(1)知，则a n ＝(43)n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ＝1,2，…)，得b n ＋1－b n ＝(43)n －1，当n ≥2时，可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－(43)n －11－43＝3(43)n －1－1，当n ＝1时，上式也成立．∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3(43)n －1－1(n ∈N *)．2．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ·(a n ＋2)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由a 1＝2和a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，得 (2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，解得d ＝2或d ＝－1.当d ＝－1时，a 3＝0与a 2，a 3，a 4＋1成等比数列矛盾，舍去．所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)b n ＝2n ·(a n ＋2)＝2n ·(2n ＋2)＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1. S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，b n ＝log 24a n .(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－2a n －1＋1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，则a n a n －1＝2，数列{a n }为以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1；b n ＝log 24a n ＝log 24×2n －1＝ log 22n ＋1＝n ＋1；(2)由(1)可知a n b n ＝(n ＋1)2n －1，T n ＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋(n ＋1)×2n －1，2T n ＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n ＋1)×2n ，上面两式相减：－T n ＝2＋21＋22＋23＋…＋2n －1－(n ＋1)×2n ＝－n ×2n ， ∴T n ＝n ·2n .4．已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n 2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；数列{b n }为公比大于1的等比数列，且b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 015项和．解 (1)∵d n ＝3＋(－1)n 2， ∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n 2＝3n ，因为b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实数根．所以b 2＋b 4＝20，b 2·b 4＝64，解得：b 2＝4，b 4＝16，所以：b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b1＝2，b2＝4，公比均是8，T2015＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2015)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c 2014)＝2×(1－81 008)1－8＋4×(1－81 007)1－8＝20×81 007－67.。

高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：大题综合突破练1 Word版含解析

突破练(一)1．已知函数f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －1(ω＞0)的周期T ＝π.(1)若直线y ＝m 与函数f (x )的图象在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时有两个公共点，其横坐标分别为x 1，x 2，求f (x 1＋x 2)的值；(2)已知三角形ABC 的内角A 、B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －1 ＝sin (ωx －π6)－1， ∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin (2x －π6)－1，又∵y ＝f (x )的图象关于x ＝π3对称，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，y ＝m 与函数f (x )图象的交点关于x ＝π3对称， ∴x 1＋x 2＝2π3，∴f (x 1＋x 2)＝f (2π3)＝－32. (2)由(1)知f (C )＝sin (2C －π6)－1＝0， ∴C ＝π3.又∵m ∥n ，∴2sin A －sin B ＝0， ∴2a ＝b ，又a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2，c ＝3，解得：a ＝3，b ＝2 3.2．某市教育主管部门为了弘扬民族文化，在全市各中学开展汉字听写大赛，某学校经过七轮选拔，最后选出甲、乙两名选手代表本校参加市里决赛，甲、乙两名选手七轮比赛得分情况如下表所示：(1)(2)从甲选手的7次成绩中随机抽取两次成绩，求抽出的两次成绩的分数差距至少是3分的概率．解(1)由题意得x甲＝86＋94＋89＋88＋91＋90＋927＝90，x乙＝88＋89＋90＋91＋93＋92＋877＝90，s2甲＝17[(86－90)2＋(94－90)2＋(89－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(92－90)2]＝6；s2乙＝17[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2＋(92－90)2＋(87－90)2]＝4；因为6＞4，所以乙选手成绩更稳定．(2)从甲选手的七次成绩中随机抽取2次的所有基本事件为：(86,94)(86,89)，(86,88)，(86,91)，(86,90)，(86,92)，(94,89)，(94,88)，(94,91)，(94,90)，(94,92)，(89,88)，(89,91)，(89,90)，(89,92)，(88,91)，(88,90)，(88,92)，(91,90)，(91,92)，(90,92)共21种情况，则抽取的两次分数差距至少3分的事件包含：(86,94)(86,89)，(86,91)，(86,90)，(86,92)，(94,89)，(94,88)，(94,91)，(94,90)，(89,92)，(88,91)，(88,92)共12种情况．则抽取的两次成绩差距至少3分的概率P＝1221＝47.3．数列{a n}的前n项和为S n，若a n＋1＝－4S n＋1，a1＝1，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n.解(1)当n≥2时，a n＝－4S n－1＋1，又a n＋1＝－4S n＋1，∴a n ＋1－a n ＝－4a n ，即a n ＋1a n ＝－3，n ≥2，又a 2＝－4a 1＋1＝－3，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝－3的等比数列， ∴a n ＝(－3)n －1.(2)由(1)可得b n ＝n ·(－3)n －1，T n ＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n －1)·(－3)n －2＋n ·(－3)n －1，－3T n ＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n －2)·(－3)n －2＋(n －1)·(－3)n －1＋n (－3)n . ∴4T n ＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ·(－3)n . 所以，T n ＝1－(4n ＋1)(－3)n 16.4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面三角形P AD 是等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，AD ⊥CD ，平面P AD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，M 是棱PC 上一点，且AD ＝2BC ＝4，CD ＝2 3. (1)试确定点M 的位置，使得PE ∥平面BDM ，并证明； (2)在(1)的条件下，求三棱锥P －MBD 的体积．解 (1)点M 是PC 的中点．连接BE ，因为BC ∥AD ，DE ＝BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形，连接EC 交BD 于O ，连接MO ，则MO ∥PE ，又MO ⊂平面BDM ，PE ⊄平面BDM ，所以PE ∥平面BDM .(2)由题意V P －MBD ＝V P －DBC －V M －DBC ，由于平面P AD ⊥底面ABCD ，三角形P AD 是等边三角形，所以PE ⊥AD ，所以PE ⊥底面ABCD . 则PE 是三棱锥P －DBC 的高，由题意P A ＝AD ＝PD ＝4，所以PE ＝23，由(1)知MO 是三棱锥M －DBC 的高， MO ＝3，S △DBC ＝23，所以V P －DBC ＝4，V M －DBC ＝2，则V P －MBD ＝2.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，l 与抛物线的一个交点为A ，与抛物线的准线交于点B ，且AF →＝FB →.(1)求以AB 为直径的圆被抛物线的准线截得的弦长；(2)平行于AB 的直线与抛物线相交于C 、D 两点，若在抛物线上存在一点P ，使得直线PC 与PD 的斜率之积为－4，求直线CD 在y 轴上截距的最大值．解 (1)过A 作y 2＝4x 准线的垂线AH ，垂足为H ，则|AH |＝|AF |＝12|AB |，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，所以B (－1，－23)，|BF |＝4，所以以AB 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝16，所以，截得的弦长为4 3.(2)设直线CD ：y ＝3x ＋m ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，把y ＝3x ＋m 代入y 2＝4x ，消去x ，得3y 2－4y ＋4m ＝0，则 y 1＋y 2＝43，y 1·y 2＝4m3， Δ＝16－163m ＞0，所以m ＜33，所以，k PC ·k PD ＝4y 1＋y 0·4y 2＋y 0＝－4，所以y 1·y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝－4，所以y 20＋4y 03＋4m3＝－4，所以3y 20＋4y 0＋(4m ＋43)＝0.所以，Δ＝16－43(4m ＋43)≥0，所以m ≤－23 3. 当m ＝－233时，直线CD ：y ＝3x －233，所以直线在y 轴上截距最大值为－23 3.. 6．已知函数f (x )＝ln x .(1)求证：当0＜x＜1时，f(1＋x)＞4xx＋6；(2)若1f(x＋1)＜x＋1ax在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．(1)证明设g(x)＝ln(x＋1)－4xx＋6，则g′(x)＝1x＋1－24(x＋6)2＝x2－12x＋12(x＋1)(x＋6)2.当x∈(0,1)时，g′(x)＞0.∴g(x)在区间(0,1)上是增函数．∴g(x)＞g(0)＝0，∴ln(x＋1)＞4xx＋6.即当0<x<1时，f(1＋x)>4xx＋6.(2)解由已知，对∀x∈[1，＋∞)，有1ln(x＋1)＜x＋1ax恒成立．∵ln(x＋1)＞0，∴a＞0.从而，a＜x＋1x ln(x＋1)在区间[1，＋∞)上恒成立．令h(x)＝x＋1x ln(x＋1)，则h′(x)＝1x2[x－ln(x＋1)]．再令t(x)＝x－ln(x＋1)，则t′(x)＝1－1x＋1＝xx＋1＞0.∴t(x)在区间[1，＋∞)上递增，从而t(x)≥t(1)＝1－ln 2＞0.∴h′(x)＞0在区间[1，＋∞)上恒成立．∴h(x)在区间[1，＋∞)上递增．h(x)min＝h(1)＝2ln 2，∴0＜a＜2ln 2.。

高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题5第2讲专题训练 Word版含解析

一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是( )． A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(1，5)D ．(1，5]解析因为双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有ba ≤3，即b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1＜e ≤2. 答案 B2．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )． A ．1 B ．2 C.32D ． 3解析由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案 D3．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 的面积的最大值为( )． A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2(4－b 2)≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.4．(2014·四川卷)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )． A ．2 B ．3 C.1728D ．10解析设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵OA →·OB →＝2， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2. 联立⎩⎨⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0，∴y 1y 2＝－m ＝－2，∴m ＝2，即点M (2,0)．又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2| ＝y 1－y 2，S △AFO ＝12|OF |·|y 1|＝18y 1， ∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1 ＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3，当且仅当y 1＝43时，等号成立．答案 B 二、填空题5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1·PF 2的最小值为________．解析由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2. 答案－26．已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析设P (x ，y )，由题设条件，得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)(y －2)＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，由题意，可得2aa 2＋b 2＞1，即2a c ＞1，所以e ＝ca ＜2，又e ＞1，故1＜e ＜2. 答案 (1,2)7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围为________．解析可知e 21＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2，e 22＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2，所以e 21＋e 22＝2＞2e 1e 2⇒0＜e 1e 2＜1.答案 (0,1)8．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则ABCD 的值为________．解析由⎩⎨⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y ，得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，∴y A ＝14，y D ＝4.直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)．∴AF ＝y A ＋1＝54，DF ＝y D ＋1＝5， ∴AB CD ＝AF －1DF －1＝116.答案 116 三、解答题9．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.10．(2014·湖北黄冈中学等八校联考)如图所示，已知椭圆C 1和抛物线C 2有公共焦点F (1,0)，C 1的中心和C 2的顶点都在坐标原点，过点M (4,0)的直线l 与抛物线C 2分别相交于A ，B 两点．(1)写出抛物线C 2的标准方程； (2)求证：以AB 为直径的圆过原点；(3)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 2上，直线l 与椭圆C 1有公共点，求椭圆C 1的长轴长的最小值． (1)解设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，由F (1,0)，得p ＝2，∴C 2：y 2＝4x .(2)证明可设AB ：x ＝4＋ny ，联立y 2＝4x ，得y 2－4ny －16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，x 1x 2＝y 21y 2216＝16，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，即以AB 为直径的圆过原点．(3)解设P (4t 2,4t )，则OP 的中点(2t 2,2t )在直线l 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2t 2＝4＋2nt ，4t 4t 2＝－n ，得n ＝±1，又∵t ＜0，∴n ＝1，直线l ：x ＝y ＋4.设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，与直线l ：x ＝y ＋4联立可得：(2a 2－1)y 2＋8(a 2－1)y －a 4＋17a 2－16＝0，由Δ≥0，得a ≥342，∴长轴长最小值为34.11．(2014·苏、锡、常、镇四市教学情况调查)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上不同的三点，A (32，322)，B (－3，－3)，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上． (1)求椭圆的标准方程；(2)求点C 的坐标；(3)设动点P 在椭圆上(异于点A ，B ，C )且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM →·ON →为定值并求出该定值．解 (1)由已知，得⎩⎨⎧18a 2＋92b 2＝1，9a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝27，b 2＝272.所以椭圆的标准方程为x 227＋y 2272＝1.(2)设点C (m ，n )(m ＜0，n ＜0)，则BC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －32，n －32.由已知，求得直线OA 的方程为x －2y ＝0，从而m ＝2n －3.①又∵点C 的椭圆上，∴m 2＋2n 2＝27.② 由①②，解得n ＝3(舍)，n ＝－1，从而m ＝－5. 所以点C 的坐标为(－5，－1)．(3)设P (x 0，y 0)，M (2y 1，y 1)，N (2y 2，y 2)． ∵P ，B ，M 三点共线，∴y 1＋32y 1＋3＝y 0＋3x 0＋3，整理，得y 1＝3(y 0－x 0)x 0－2y 0－3. ∵P ，C ，N 三点共线，∴y 2＋12y 2＋5＝y 0＋1x 0＋5，整理，得y 2＝5y 0－x 0x 0－2y 0＋3. ∵点P 在椭圆上，∴x 20＋2y 20＝27，x 20＝27－2y 20. 从而y 1y 2＝3(x 20＋5y 20－6x 0y 0)x 20＋4y 20－4x 0y 0－9＝3(3y 20－6x 0y 0＋27)2y 20－4x 0y 0＋18＝3×32＝92.所以OM →·ON →＝5y 1y 2＝452.∴OM →·ON →为定值，定值为452.。

高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题1第4讲专题训练 Word版含解析

一、选择题1．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是( )．A ．[－1,1]B ．[－1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]解析 f ′(x )＝mx ＋1x －2≥0对一切x ＞0恒成立， ∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x .令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，则当1x ＝1，即x ＝1时，函数g (x )取最大值1.故m ≥1.答案 C2．(2014·广州调研)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )．A ．[0,1)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )．当a ≤0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0,1)内单调递增，无最小值．当a ＞0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a )．当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增；当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减．所以当a ＜1，即0＜a ＜1时，f (x )在(0,1)内有最小值．答案 D3．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫179，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫179，＋∞C．(－∞，2] D．(－∞，2)解析f′(x)＝x2－4x，由f′(x)>0，得x>4或x<0.∴f(x)在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增，∴当x∈[0，＋∞)时，f(x)min＝f(4)．∴要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥17 9.答案 A4．已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋3x＋1有两个极值点，则实数a的取值范围是()．A．(3，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3，3) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析f′(x)＝x2＋2ax＋3.由题意知方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－12＞0，解得：a＞3或a＜－ 3.答案 D二、填空题5．(2014·郑州质量预测)若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1在R上单调递增，则a的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．由题意知f′(x)≥0在R上恒成立，所以Δ＝36a2－4×3×3(a＋2)≤0，解得－1≤a≤2.答案[－1,2]6．若函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是______．解析对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－3x＝－x2＋4x－3x＝－(x－1)(x－3)x.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3.答案 (0,1)∪(2,3)7．(2014·浙江考试院抽测)已知m ∈R ，若函数f (x )＝x 3－3(m ＋1)x 2＋12mx ＋1在[0,3]上无极值点，则m 的值为________．解析 f ′(x )＝3x 2－6(m ＋1)x ＋12m ＝3(x －2)(x －2m )．由于f (x )在[0,3]上无极值点，则2m ＝2，所以m ＝1. 答案 18．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是______．解析由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减(可利用导数判断)，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线斜率为1，为求实数a 的值； (2)若函数g (x )＝2x ＋f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax .由已知f ′(2)＝1，解得a ＝－3.(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax . 由函数g (x )为[1,2]上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立，即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1,2]上恒成立，即a≤1x－x2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝1x－x2，在[1,2]上h′(x)＝－1x2－2x＝－⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋2x＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－7 2.所以a≤－7 2.10．(2014·北京西城区一模)已知函数f(x)＝ln x－ax，其中a∈R.(1)当a＝2时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)如果对于任意x∈(1，＋∞)，都有f(x)＞－x＋2，求a的取值范围．解(1)由f(x)＝ln x－2x，得f′(x)＝1x＋2x2，所以f′(1)＝3.又因为f(1)＝－2，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－5＝0.(2)由f(x)＞－x＋2，得ln x－ax＞－x＋2，即a＜x ln x＋x2－2x.设函数g(x)＝x ln x＋x2－2x，则g′(x)＝ln x＋2x－1.因为x∈(1，＋∞)，所以ln x＞0,2x－1＞0，所以当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝ln x＋2x－1＞0，故函数g(x)在x∈(1，＋∞)上单调递增，所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞g(1)＝－1.因为对于任意x∈(1，＋∞)，都有f(x)＞－x＋2成立，即对于任意x∈(1，＋∞)，都有a＜g(x)成立，所以a≤－1.11．(2014·辽宁五校协作体联考)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f′(x)是偶函数；③f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)设g(x)＝ln x－mx，若存在实数x∈[1，e]，使g(x)＜f′(x)，求实数m的取值范围．解(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0.①由f′(x)是偶函数得：b＝0.②又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，∴f′(0)＝c＝－1.③由①②③得：a＝13，b＝0，c＝－1，即f(x)＝13x3－x＋3.(2)由已知得：存在实数x∈[1，e]，使ln x－mx＜x2－1，即存在x∈[1，e]，使m＞x ln x－x3＋x. 设M(x)＝x ln x－x3＋x，x∈[1，e]，则M′(x)＝ln x－3x2＋2，设H(x)＝ln x－3x2＋2，x∈[1，e]，则H′(x)＝1x－6x＝1－6x2x.∵x∈[1，e]，∴H′(x)＜0，即H(x)在[1，e]上单调递减，于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1＜0，即M′(x)＜0，∴M(x)在[1，e]上单调递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3，于是有m＞2e－e3，故实数m的取值范围是(2e－e3，＋∞)．。

高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：真题感悟·考点整合选修4-5 Word版含解析

[真题感悟]1．(2014·广东卷)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．解析当x <－2时，原不等式等价于1－x －x －2≥5⇒x ≤－3，此时得到x ≤－3；当－2≤x ≤1时，原不等式等价于1－x ＋x ＋2≥5，此时无解；当x >1时，原不等式等价于x －1＋x ＋2≥5⇒x ≥2，此时得到x ≥2.于是原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．答案 {x ≤－3或x ≥2}2．(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________. 解析由|ax －2|<3，解得－1<ax <5，当a ＞0时，－1a ＜x ＜5a 与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a ＜0时，5a ＜x ＜－1a ，又不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13，故a ＝－3. 答案－33．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．解析根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.答案 5 4．(2014·重庆卷)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析法一设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x ≤－2，－x ＋3，－2<x <12，3x ＋1，x ≥12，∴x ＝12，函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|取最小值3×12＋1＝52，∴|2x －1|＋|x ＋2|≥52≥a 2＋12a ＋2，即2a 2＋a －1≤0，∴－1≤a ≤12.法二 |2x －1|＋|x ＋2|＝|x －12|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|x －12|＋|x ＋2|≥0＋|(x －12)－(x ＋2)|＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [考点整合]1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1na 2i )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1nb 2i ≥(∑i ＝1n a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．5．绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.需要灵活地应用．6．不等式的性质，特别是基本不等式链11a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.。

高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：大题综合突破练4 Word版含解析

突破练(四)1．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数h (x )的图象，再将h (x )的图象向右平移π3个单位得到g (x )的图象，求函数g (x )的解析式，并求g (x )在[0，π]上的值域．解 (1)∵f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ，∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)∵f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1―――――――――――→横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，∵x ∈[0，π]，∴x －π6∈[－π6，5π6]． ∴sin (x －π6)∈[－12，1]．∴g (x )在[0，π]上的值域为[0,3]．2．某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查．调查问卷共10道题，答题情况如下表：(1)比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(2)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．解 (1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ，P (A )＝1－55100＝0.45.(2)设答对题目数小于8的司机为A 、B 、C 、D 、E ，其中A 、B 为女司机，任选出2人包含AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE ，共10种情况，至少有一名女出租车司机的事件为AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE ，共7种．记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，则P (M )＝710＝0.7.3．已知四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，PC ＝2，且底面ABCD 是边长为1的正方形．E 是最短的侧棱PC 上的动点．(1)求证：P 、A 、B 、C 、D 五点在同一个球面上，并求该球的体积；(2)如果点F 在线段BD 上，DF ＝3BF ，且EF ∥平面P AB ，求PE EC 的值．(1)证明设P A 的中点为M ，连接AC ，CM ，则△P AC 为直角三角形，∴CM ＝PM ＝AM ＝62.设正方形ABCD 的中心为点O ，连接OM ，则OM ∥PC ，OM ＝1，∵PC ⊥底面ABCD ，∴OM ⊥底面ABCD ，又O 为BD 的中点，连接BM ，DM ，则BM ＝DM ＝1＋(22)2＝62，∴CM ＝PM ＝AM ＝BM ＝DM ，故点P 、A 、B 、C 、D 在以M 为球心，半径为62的球上，且V 球M ＝43π(62)3＝6π.(2)解连接CF 并延长交AB 于K ，连接PK .∵EF ∥平面P AB ，EF ⊂平面PCK ，平面PCK ∩平面P AB ＝PK ，∴EF ∥PK ，∵DF ＝3BF ，又AB ∥CD ，∴CF ＝3KF .∵EF ∥PK ，∴CE ＝3PE ，∴PE EC ＝13.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n ·b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.(1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n .解 (1)当n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1，∴a n ＝2n ＋1，∴3n ·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，∴b n ＋1＝4n ＋33n .∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式， ∴b n ＝4n －13n －1. (2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1，∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，① 13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n ＝3＋4×13(1－13n －1)1－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n ，∴T n ＝152－4n ＋52×3n －1. 5．已知点M (－1,0)，N (1,0)，动点P (x ，y )满足：|PM |＋|PN |＝2 3.(1)求P 的轨迹C 的方程；(2)是否存在过点N (1,0)的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且曲线C 上存在点Q ，使四边形OAQB 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程．解 (1)由|PM |＋|PN |＝23知道曲线C 是以M ，N 为焦点的椭圆，且a ＝3，c＝1，b ＝2，所以曲线C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由题意知l 的斜率一定不为0，故不妨设l ：x ＝my ＋1，代入椭圆方程整理得(2m 2＋3)y 2＋4my －4＝0，显然Δ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋3，y 1y 2＝－42m 2＋3，①假设存在点Q ，使得四边形OAQB 为平行四边形，其充要条件为OQ →＝OA →＋OB →，则点Q 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由点Q 在椭圆上，即(x 1＋x 2)23＋(y 1＋y 2)22＝1. 整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4xx 21＋6y 1y 2＝6.又A 、B 在椭圆上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6.故2x 1x 2＋3y 1y 2＝－3，②所以x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1，将①②代入上式解得m＝±2 2.即直线l的方程是：x＝±22y＋1，即2x±2y－2＝0.6．已知f(x)＝e x＋ax－1(e为自然对数)(1)当a＝1时，求过点(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝e x＋x－1，f(1)＝e，f′(x)＝e x＋1，f′(1)＝e＋1，∴函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝(e＋1)(x－1)，即y＝(e＋1)x－1，设切线与x、y轴的交点分别为A，B，令x＝0，得y＝－1；令y＝0，得x＝1e＋1.∴A(1e＋1，0)，B(0，－1)．∴S△OAB ＝12×1e＋1×1＝12(e＋1).(2)由f(x)≥x2得a≥1＋x2－e xx，令h(x)＝1＋x2－e xx＝1x＋x－e xx，则h′(x)＝1－1x2－e x(x－1)x2＝(x－1)(x＋1－e x)x2，令k(x)＝x＋1－e x，k′(x)＝1－e x，∵x∈(0,1)，∴k′(x)＝1－e x＜0，k(x)在x ∈(0,1)为减函数，∴k(x)＜k(0)＝0，又∵x－1＜0，x2＞0，∴h′(x)＝(x－1)(x＋1－e x)x2>0，∴h(x)在x∈(0,1)为增函数，h(x)＜h(1)＝2－e，因此只需a≥2－e.。

高考数学(文科)大二轮总复习：小题综合限时练5 Word版含解析

限时练(五)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知集合A ＝{x | lg(x ＋1)≤0}，集合B ＝{x |2x ≤1}，则A ∩B ＝( )． A ．{x |－1＜x ≤1} B ．{x |x ≤0} C ．{x |－1＜x ≤0}D ．{x |x ≤1}解析集合A ＝{x | lg(x ＋1)≤0}＝(－1,0]，集合B ＝{x |2x ≤1}＝(－∞，0]，则A ∩B ＝(－1,0]．答案 C 2．已知复数z ＝2i1＋i，则z ·z ＝( )． A ．1－i B ．2 C ．1＋iD ．0解析 z ＝2i1＋i ＝1＋i ，则z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2.答案 B3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2，a 5是方程2x 2－3x －2＝0的两个根，S 6＝( )． A.92 B ．5 C ．－92D ．－5解析由根与系数的关系可知a 2＋a 5＝32，由等差数列的性质知a 2＋a 5＝a 1＋a 6，根据等差数列的求和公式得S 6＝6(a 1＋a 6)2＝92.答案 A4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )．A．3 B．4C．5 D．6解析按照程序框图中的赋值语句要求将几次循环结果计算得出，通过判断语句，知每次运算依次为1×1＋1＝2,2×2＋1＝5,3×5＋1＝16,4×16＋1＝65，当i＝4时，计算结果为a＝65＞50，此时输出i＝4.答案 B5．下列选项中，说法正确的是()．A．“∃x0∈R，x20－x0≤0”的否定是“∃x∈R，x2－x＞0”B．若向量a，b满足a·b＜0，则a与b的夹角为钝角C．若am2≤bm2，则a≤bD．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件解析特称命题的否定是全称命题，选项A中“存在x0”的否定应该是“任意的x0”，所以A错误；当两向量共线反向时，数量积也是负值，所以B错误；C选项忽略了m＝0的情况，错误；命题“p∨q为真”分为三种情况，p真q 假；q真p假；p和q都真；而p∧q为真是p和q都真，所以显而易见选项D 正确．答案 D6．已知平面向量a＝(1,2)，a·b＝10，|a＋b|＝53，则|b|＝()．A．5 2 B．25C．3 2 D．2 5解析|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝5 3.解得|b|＝5 2.答案 A7．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中|φ|＜π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin ωx的图象，则只要将f (x )的图象( )．A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度 D ．向右平移π3个单位长度解析根据函数图象先确定参数值，由图象知函数周期为π，故ω＝2，图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，则2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，故φ＝π3.根据图象平移的规律，可知f (x )的图象向右平移π6可得到g (x )的图象．答案 B8．设a ＝log 2.83.1，b ＝log πe ，c ＝log e π，则( )． A ．a ＜c ＜b B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析易知0＜b ＜1,1＜a ＝log 2.83.1＜log 2.8π，又1＞log π2.8＞log πe ＞0， ∴1＜log 2.8π＜log e π＝c ， ∴1＜a ＜c ，∴b ＜a ＜c . 答案 C9．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1－2x ，则y ＝f (x )的图象大致为( )．解析f(x)＝x2＋2x＋1－2x＝(x＋1)2－2x，令g(x)＝(x＋1)2，h(x)＝2x，则f(x)＝g(x)－h(x)，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g(x)与h(x)的图象共有三个交点，其横坐标从小到大依次设为x1，x2，x3，在区间(－∞，x1)上有g(x)＞h(x)，即f(x)＞0；在区间(x1，x2)上有g(x)＜h(x)，即f(x)＜0；在区间(x2，x3)上有g(x)＞h(x)，即f(x)＞0；在区间(x3，＋∞)上有g(x)＜h(x)，即f(x)＜0.答案 A10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为()．A.x29－y216＝1 B.x24－y23＝1 C.x216－y29＝1 D.x23－y24＝1解析如图所示PF1⊥PF2，故圆的半径为5，|F1F2|＝10，又ba＝43，∴a＝3，b＝4.答案 A二、填空题11．在△ABC中，若2sin A＝sin C，a＝b，则角A＝________.解析根据正弦定理，可将条件化为c＝2a，又b＝a，根据余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝22，A＝π4.答案 π412．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的准线相切，则a ＝______. 解析抛物线的准线方程为y ＝－14a ，圆的方程可转化为(x －3)2＋y 2＝16，圆与准线相切，可得到14a ＝4，解得a ＝116. 答案 11613．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析根据三视图，可知原几何体是一个棱长分别为2、2、1的长方体和一个横放的直三棱柱的组合体，三棱柱底面是一个直角边分别为1、1的直角三角形，高是2，所以几何体体积易求得是V ＝2×2×1＋12×1×1×2＝5. 答案 514．已知变量x ，y 的值如表所示：如果y 与x 线性相关且回归直线方程为y ^＝b ^x＋72，则b^＝________.解析根据所给的三对数据，得到x ＝2＋3＋43＝3，y ＝5＋4＋63＝5，∴这组数据的样本中心点是(3,5)，∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴5＝3b ^＋72，∴b^＝12. 答案 1215.定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知y ＝f ′(x )的图象如图所示，若两个正数a 、b 满足f (2a ＋b )＜1，则b ＋1a ＋2的取值范围是________．解析根据导函数图象可知，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (2a ＋b )＜1＝f (4)，所以依题意可得到⎩⎨⎧2a ＋b ＜4，a ＞0，b ＞0，画出a ，b 的可行域，则所求b ＋1a ＋2可看作点(a ，b )与(－2，－1)连线斜率，画图易知答案．答案 (14，52)。

高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：小题分类补偿练5 Word版含解析

补偿练5 三角函数与三角恒等变换(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知cos(π2＋α)＝35，且α∈(π2，3π2)，则tan α＝( )． A.43 B.34 C ．－34D ．±34解析因为cos(π2＋α)＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34. 答案 B2．已知α是第四象限的角，若cos α＝35，则tan 2α＝( )． A.157 B.167 C.207 D.247解析由cos α＝35，α在第四象限得tan α＝－43，从而tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×(－43)1－(－43)2＝247. 答案 D3．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )．A ．－13 B ．－23 C.13D.23解析 ∵cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22 ＝1＋sin 2α2，∴cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23. 答案 D4．函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 图象的一条对称轴方程是( )．A ．x ＝－π12 B ．x ＝π3 C ．x ＝5π12D ．x ＝2π3解析 f (x )＝2(32sin 2x ＋12cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，令k ＝1，得x ＝2π3. 答案 D5．将函数f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x 的图象向右平移π4个单位得到函数g (x )的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )．A.62 B ．－1 C. 2D ．2解析由于f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，其图象向右平移π4个单位后得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4⎦⎥⎤＋π3的图象，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＋π3＝2sin π3＝62. 答案 A6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2<φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，－π3 B ．2，－π6C ．4，－π6 D ．4，π3解析由图知34T ＝5π12－(－π3)＝3π4，T ＝π，则ω＝2πT ＝2.注意到函数f (x )在x ＝5π12时取到最大值，则有2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，而－π2＜φ＜π2，故φ＝－π3. 答案 A7．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，若其图象向右平移π3个单位后关于y 轴对称，则( )． A ．ω＝2，φ＝π3 B ．ω＝2，φ＝π6 C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6解析由2πω＝π，得ω＝2，因为将f (x )的图象向右平移π3个单位后得g (x )＝ sin(2x －2π3＋φ)的图象，又g (x )为偶函数，所以－2π3＋φ＝k π＋π2，(k ∈Z )，又|φ|＜π2，取k ＝－1，得φ＝π6. 答案 B8．已知函数f (x )＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且f (16)＝1，则函数y ＝f (x )的图象向左平移13个单位后所得图象的函数解析式为( )． A ．y ＝2sin(πx ＋π3) B ．y ＝12sin(πx －π3) C ．y ＝2sin(πx ＋13)D ．y ＝12sin(πx －13)解析由最小正周期为2，得2πω＝2，则ω＝π，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，所以A sin π6＝1，A ＝2，所以f (x )＝2sin πx ，将函数y ＝f (x )的图象向左平移13个单位后得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象．答案 A9．设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )．A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π2)上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π2)上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在(0，π4)上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在(0，π4)上为减函数解析 f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，∵图象关于x ＝0对称，∴π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝π3＋k π(k ∈Z )，又∵|φ|＜π2，∴φ＝π3，f (x )＝ 2cos 2x .其最小正周期T ＝2π2＝π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减．答案 B10．关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的四个结论： P 1：最大值为2；P 2：把函数f (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π4个单位后可得到函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的图象；P 3：单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋7π8，k π＋ 11π8(k ∈Z )；P 4：图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋π8，－1(k ∈Z )．其中正确的结论有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析因为f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1.所以最大值为2－1，故P 1错误．将f (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π4个单位后得到f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2－1的图象，故P 2错误．由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，即增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )，故P 3正确．由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝kπ2＋π8，k∈Z ，所以函数的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π8，－1，k ∈Z ，故P 4正确．答案 B 二、填空题11．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________.解析由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，即cos(π6＋α)＝14，∴cos(π3＋2α)＝cos[2(π6＋α)]＝2cos 2(π6＋α)－1＝2×(14)2－1＝－78. 答案－7812．已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，2α∈[0,2π)，则tan α＝________. 解析由三角函数定义可知sin 2α＝32，cos 2α＝－12，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－ 3. 又2α∈[0,2π)，∴2α＝2π3， ∴α＝π3，∴tan α＝ 3. 答案313．函数y ＝tan ωx (ω＞0)与直线y ＝a 相交于A ，B 两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是__________．解析由函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k∈Z )．答案 [2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z )14．已知1－cos 2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________. 解析由1－cos 2αsin αcos α＝2sin 2αsin αcos α＝2tan α＝1，得tan α＝12，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－13－121－16＝－5656＝－1. 答案－115．设函数f (x )＝3sin (ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是______．(填序号) ①f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32；②f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，2π3上是减函数；③f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到函数y ＝3sin ωx 的图象．解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2， ∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝1或－1，∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴4π3＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，116π，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋3π2，k ∈Z ⇒k π＋π6＜x ＜k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6＜x ＜2π3，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，23π上单调递减，而在⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π6上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确． ④：应平移π12个单位，错误．答案 ①③。

高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：小题分类补偿练1 Word版含解析

补偿练1集合与简易逻辑(建议用时：40分钟)一、选择题1．设集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x－1≥0}，则集合A∩B＝()．A．(0,1) B．(0,1]C．(1,2) D．[1,2)解析A∩B＝{x|1≤x＜2}＝[1,2)．答案 D2．已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋2}，若A⊆B，则a的值为()．A．－2 B．－1C．0 D．1解析∵A⊆B，∴a＋2＝1，解得a＝－1.答案 B3．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()．A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜－1则x2＞1D．若x≥1或x≤－1则x2≥1解析交换原命题的条件和结论，再同时都否定，可得原命题的逆否命题．答案 D4．下列命题中的假命题是()．A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∃x∈R，lg x＜1C．∀x∈R，x2＞0 D．∃x∈R，tan x＝2解析当x＝0时，x2＝0，故C不成立．答案 C5．已知集合M ＝{x |y ＝ln(1－x )}，集合N ＝{y |y ＝e x ，x ∈R }(e 为自然对数的底数)，则M ∩N ＝( )．A ．{x |x ＜1}B ．{x |x ＞1}C ．{x |0＜x ＜1}D ．∅解析 M ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |x ＜1}，N ＝{y |y ＝e x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}，故M ∩N ＝{x |0＜x ＜1}．答案 C6．已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B 为( )．A ．{12，1，b }B ．{－1，12}C ．{1，12}D ．{－1，12，1}解析 ∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，∴12∈A ，12∈B ， ∴2a ＝12，b ＝12， ∴a ＝－1，b ＝12， ∴A ∪B ＝{－1，12，1}．答案 D7．给定命题p ：若x ∈R ，则x ＋1x ≥2；命题q ：若x ≥0，则x 2≥0，则下列各命题中，假命题的是( )． A ．p ∨q B ．(綈p )∨q C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析由题意，命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以綈p 是真命题，綈q 是假命题，故D 是假命题．答案 D8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－1≥0}，集合B ＝{x |x －1≤0}，则(∁U A )∩B ＝( )．A ．{x |x ≥1}B ．{x |－1＜x ＜1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|x＜－1}解析∵A＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴∁U A＝{x|－1＜x＜1}，又B＝{x|x－1≤0}＝{x|x≤1}，∴(∁U A)∩B＝{x|－1＜x＜1}．答案 B9．已知全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜9，x∈R}和B＝{x|－4＜x＜4，x∈Z}关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有()．A．3个B．4个C．5个D．无穷多个解析集合B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，而阴影部分所示集合为B∩(∁U A)＝{－3，－2，－1,0}，所以阴影部分所示集合共4个元素．答案 B10．下列有关命题的说法正确的是()．A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”B．命题“∃x0∈R，使得2x20－1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有2x2－1＜0”C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题解析A中的否命题是“若xy≠0，则x≠0”；B中的否定是“∀x∈R，均有2x2－1≥0”；C正确；当x＝0，y＝2π时，D中的逆否命题是假命题．答案 C二、填空题11．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)＜1}，则A∩(∁U B)＝__________.解析由log2(x－2)＜1，可得0＜x－2＜2，∴2＜x＜4，∴B＝{x|2＜x＜4}，∴∁U B＝{x|x≤2或x≥4}，∴A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤2}．答案 {x |－1≤x ≤2}12．命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”与它的逆命题、逆否命题、否命题中，真命题有__________个．解析原命题：“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”是真命题，故其逆否命题也是真命题；它的逆命题是“若△ABC 的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形”，也是真命题，故其否命题也是真命题．答案 413．已知集合M ＝{a,0}，N ＝{x |2x 2－3x ＜0，x ∈Z }，如果M ∩N ≠∅，则a ＝__________.解析 N ＝{x |2x 2－3x ＜0，x ∈Z }＝{1}． ∵M ∩N ≠∅， ∴a ＝1. 答案 114．设p ：x 2－x －20＞0，q ：log 2(x －5)＜2，则p 是q 的________条件．解析由x 2－x －20＞0，得x ＜－4或x ＞5，由log 2(x －5)＜2，得5＜x ＜9，所以p 是q 的必要不充分条件．答案必要不充分15．设命题p ：2x －1x －1≤0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析由2x －1x －1≤0，得12≤x ＜1；由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)＜0，得a ＜x ＜a ＋1.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＞a ，1≤a ＋1，解得0≤a ＜12. 答案 [0，12)。

高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题2第2讲专题训练 Word版含解析

一、选择题1．(2014·西安模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a ，则ba ＝( )． A. 2 B ．2 2 C. 3D ．2 3解析因为a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a ，所以由正弦定理，得sin A sin A sin B ＋sin B ()1－sin 2A ＝2sin A ，即sinB ＝2sin A ，所以b a ＝ 2. 答案 A2．(2014·益阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝3a sin B ，则角C 等于( )． A.π6 B ．π4 C.π3D ．5π6解析由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6. 答案 A3．(2014·吉林省实验中学一模)在△ABC 中，sin(A ＋B )·sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是( )． A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析因为sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2 C ，所以sin (A －B )＝sin C ，又因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A －B ＝C ，所以A ＝90°，所以△ABC 为直角三角形．答案 B4．(2014·福州模拟)在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，则sin C ＝( )． A.1313 B ．35 C.45D ．23913解析因为在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，所以S △ABC ＝12BC ×BA sin B ＝3，即12×1×BA ×32＝3，解得BA ＝4.又由余弦定理，得AC 2＝BC 2＋BA 2－2BC ·BA cos B ，即得AC ＝13，由正弦定理，得BA sin C ＝ACsin B ，解得sin C ＝23913. 答案 D5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C 等于( )． A.14 B ．24 C ．－14D ．－24解析依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.又0°＜B ＜180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，所以cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－14. 答案 C 二、填空题6．(2014·福建卷)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．解析由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A 代入数据得(3)2＝AB 2＋22－2AB ·2cos60°，解之得AB ＝1. 答案 17．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.解析在△AMC中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，∴∠AMC＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AM sin∠MCA ＝ACsin∠AMC，又△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝45°，BC＝100 m，∴AC＝100 2 (m)，∴AM＝1002sin 45°·sin 60°＝100 3 (m)，在△AMN中，MN⊥AN，∠NAM＝60°，∴MN＝AM·sin 60°＝1003×32＝150 (m)．答案1508．(2014·江苏卷)若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________．解析∵sin A＋2sin B＝2sin C.由正弦定理可得a＋2b＝2c，即c＝a＋2b2，cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－⎝⎛⎭⎪⎫a＋2b222ab＝3a2＋2b2－22ab8ab≥26ab－22ab8ab＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立．∴cos C 的最小值为6－24.答案6－24三、解答题9．(2014·安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．解由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝223.因为sin 2 A ＋cos 2 A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2 A ＝±1－89＝±13.①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×(－13)＝12，所以a ＝2 3.10．(2014·山东卷)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．解 (1)在△ABC 中，由题意知sin A ＝1－cos 2 A ＝33，又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin(A ＋π2)＝cos A ＝63. 由正弦定理可得 b ＝a sin B sin A ＝3×6333＝3 2.(2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos(A ＋π2)＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )．所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×(－33)＋63×63＝13.因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.11．(2014·贵州六校联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C ＝2b －c . (1)求sin A ；(2)求三角函数式－2cos 2C 1＋tan C ＋1的取值范围．解 (1)∵2a cos C ＝2b －c ，根据正弦定理，得2sin A ·cos C ＝2sin B －sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0＜A ＜π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32.(2)－2cos 2C 1＋tan C＋1＝1－2(cos 2 C －sin 2 C )1＋sin C cos C＝1－2cos 2 C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos2C ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π4，∵0＜C ＜23π， ∴－π4＜2C －π4＜1312π， ∴－22＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π4≤1，∴－1＜2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π4≤2，∴－2cos 2C1＋tan C＋1的取值范围是(－1，2]．。

高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：小题分类补偿练4 Word版含解析

补偿练4 不等式(建议用时：40分钟)一、选择题1．若a ＞b ＞0，则( )． A ．a 2c ＞b 2c (c ∈R ) B ．b a ＞1 C ．lg (a －b )＞0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b解析取a ＝2，b ＝1，c ＝0验证可得D 正确．答案 D2．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( )．A.52 B ．72 C.154D ．152解析由题意知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两个根， ∴x 1＋x 2＝2a ，x 1·x 2＝－8a 2，∴|x 2－x 1|＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝15. 又a ＞0，解得a ＝52. 答案 A3．“x ＞y ＞0”是“xy ＞1”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 x y ＞1⇔(x －y )y ＞0，由x ＞y ＞0，得(x －y )＞0，y ＞0，所以x ＞y ＞0⇒x y ＞1，具有充分性．由x y ＞1，得⎩⎨⎧ x ＞y ，y ＞0或⎩⎨⎧x ＜y ，y ＜0，所以x y ＞1⇒/ x ＞y ＞0，不具有必要性，故选A. 答案 A4．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －2≥0，x －y －1≤0，x －2y ＋2≥0，则x ＋y 的最大值为( )．A ．4B ．5C ．6D ．7解析画出可行域(如图)，目标函数向上平移至点A 时，取得最大值，由⎩⎨⎧x －y －1＝0x －2y ＋2＝0得A (4,3)，∴(x ＋y )max ＝4＋3＝7.答案 D 5．若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝(12)ln x，c ＝e ln x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c解析 ∵x ∈(e －1,1)，∴－1＜ln x ＜0,1＜(12)ln x ＜2，1e ＜e ln x ＜1，∴b ＞c ＞a . 答案 B6．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )． A.23 B ．223 C.33D ．233解析对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13(1x －x )，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22时等号成立)．答案 B7．若存在x 使不等式x －me x ＞x 成立，则实数m 的取值范围为( )． A ．(－∞，－1e ) B ．(－1e ，e) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析依题意得，关于x 的不等式x －me x ＞x ，即－m ＞e x x －x 有解．记f (x )＝exx －x (x ≥0)，则f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x －1≥e x ×2x ×12x－1＝2e x －1＞2－1＞0(x ＞0)，因此函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，f (x )的最小值是f (0)＝0，于是有－m ＞0，m ＜0，实数m 的取值范围是(－∞，0)．答案 C8．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是( )． A.355 B. 2 C. 5 D.13解析依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，|AM |的最小值等于点A (－1,1)到直线2x ＋y －2＝0的距离，即等于|2×(－1)＋1－2|22＋12＝355.答案 A9．已知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则2m ＋1n 的最小值为( )． A ．4 2 B ．8 C ．9D ．12解析易知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n 的最小值为9. 答案 C10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ＞0，－x 2＋4x ，x ≤0，若|f (x )|≥ax －1恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－∞，－6] B ．[－6,0] C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]解析在同一直角坐标系下作出y ＝|f (x )|和y ＝ax －1的图象如图所示，由图象可知当y ＝ax －1与y ＝x 2－4x 相切时符合题意，由x 2－4x ＝ax －1有且只有一负根，则Δ＝0且a ＋42<0，得a ＝－6，绕点(0，－1)逆时针旋转，转到水平位置时都符合题意，所以a ∈[－6,0]．答案 B 二、填空题11．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是__________．解析 ∵(x －1)2≥0且x ≠1， ∴x ＋5(x －1)2≥2⇔x ＋5≥2(x －1)2且x ≠1⇔2x 2－5x －3≤0且x ≠1，解得－12≤x ＜1或1＜x ≤3.答案 [－12，1)∪(1,3]12．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇔(x ＋y )2－xy ＝1⇔(x ＋y )2－1＝xy ≤(x ＋y 2)2，解得－233≤x ＋y ≤233. 答案23313．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，且目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为11，则实数k ＝________.解析画图后易知，目标函数在点(2,3)处取到最大值11，所以2k ＋3＝11，即k ＝4. 答案 414．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是________．解析依题意得，题中的圆心坐标是(0,1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝(4b ＋1c )(b ＋c )＝5＋4c b ＋bc ≥5＋24c b ×bc ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1(bc ＞0)，4c b ＝bc，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9. 答案 915．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y ) 为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x上的一个动点，则OM →·ON→的最大值是__________．解析 OM →·ON →＝2x ＋y ，如图：当直线2x ＋y ＝z经过点(1,1)时，达到最大值，zmax ＝3.答案 3。

高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：小题分类补偿练3 Word版含解析

补偿练3函数与导数(二)(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是()．A．y＝x2B．y＝2|x|C．y＝log21|x|D．y＝sin x解析函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log21|x|＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin x不是偶函数，综上所述，选C.答案 C2．曲线f(x)＝x2(x－2)＋1在点(1，f(1))处的切线方程为()．A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0解析∵f(x)＝x3－2x2＋1，∴f′(x)＝3x2－4x，∴f′(1)＝－1，又f(1)＝1－2＋1＝0，∴所求切线方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.答案 D3．已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(2)－f(1)＝()．A．3 B．1－ 2C.2－1 D．1解析设幂函数为f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝12，即f(x)＝x 12＝x，所以f(2)－f(1)＝2－1.答案 C4．设a ＝log 32，b ＝log 23，c ＝log 125，则( )． A ．c ＜b ＜a B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析 ∵0＜log 32＜1,1＜log 23＜log 24＝2，c ＝log 125＜log 124＝log 12(12)－2 ＝－2＜0，∴c ＜a ＜b . 答案 C5．已知函数f (x )＝sin x ＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝( )． A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析因为⎩⎪⎨⎪⎧f (lg 2)＝sin (lg 2)＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋1，所以f (lg 2)＋f (lg 12)＝sin(lg 2)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋2，而y ＝sin x 是奇函数，lg 12＝－lg 2，所以f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2. 答案 D6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )． A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]解析依题意x 2＋ax ＋1≥0对x ∈R 恒成立， ∴Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2. 答案 D7．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )． A ．1 B ．2 C ．0 D. 2解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2. 答案 B8．下列四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (1)＝( )．A.103B.43 C ．－23D ．1解析 f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－4)，由a ≠0，结合导函数y ＝f ′(x )，知导函数图象为③，从而可知a 2－4＝0，解得a ＝－2或a ＝2，再结合－a ＞0知a ＝－2，代入可得函数f (x )＝13x 3＋(－2)x 2＋1，可得f (1)＝－23. 答案 C9．某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )． A ．45.606 B ．45.6 C ．45.56D ．45.51解析设在甲地销售x 辆车，则在乙地销售(15－x )辆车，获得的利润为y ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30.当x ＝－3.062×(－0.15)＝10.2时，y 最大，但x ∈N ，所以当x ＝10时，y max ＝－15＋30.6＋30＝45.6. 答案 B10．已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f (x )x ＞0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析依题意，记g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，g (0)＝0，当x ＞0时，g ′(x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′(x )＋f (x )x ＞0，g (x )是增函数，g (x )＞0；当x ＜0时，g ′(x )＝x [f ′(x )＋f (x )x ]＜0，g (x )是减函数，g (x )＞0.在同一坐标系内画出函数y ＝g (x )与y ＝－1x 的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数是1. 答案 B 二、填空题11．函数f (x )＝1－lg (x －2)的定义域为__________．解析 ∵1－lg (x －2)≥0，∴lg (x －2)≤1，∴0＜x －2≤10，∴2＜x ≤12，∴f (x )＝1－lg (x －2)的定义域为(2,12]．答案 (2,12]12．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝__________.解析由题意a m ＝2，a n ＝3，所以a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. 答案 1213．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝3x 2－6b ，若f (x )在(0,1)内有极小值，只需f ′(0)·f ′(1)＜0，即－6b ·(3－6b )＜0，解得0＜b ＜12. 答案 (0，12)14．函数f (x )＝ax 2－(a －1)x －3在区间[－1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析当a ＝0时，f (x )＝x －3符合题意；当a ≠0时，由题意⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a －12a ≤－1，解得0＜a ≤13，综上a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1315．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，4x ，x ≤0，则f [f (－1)]＝________；若函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析 f [f (－1)]＝f (4－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2.令f (x )－k ＝0，即f (x )＝k ，设y ＝f (x )，y ＝k ，画出图象，如图所示，函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点，由图象可得实数k 的取值范围为(0,1]．答案－2 (0,1]。

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一、选择题1．(2014·杭州质量检测)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＜0，a 5＞|a 4|，则使S n ＞0成立的最小正整数n 为( )． A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析 ∵a 4＜0，a 5＞|a 4|，∴a 4＋a 5＞0， ∴S 8＝8(a 4＋a 5)2＝8(a 1＋a 8)2＞0.∴最小正整数为8.答案 C2．(2014·广州综合测试)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin (n ＋1)π2，记S n为数列{a n }的前n 项和，则S 2 014＝( )． A ．1 006 B ．1 007 C ．1 008D ．1 009解析由a n ＋1－a n ＝sin (n ＋1)π2⇒a n ＋1＝a n ＋sin (n ＋1)π2，所以a 2＝a 1＋sin π＝1＋0＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝1＋(－1)＝0，a 4＝a 3＋sin 2π＝0＋0＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝0＋1＝1，∴a 5＝a 1，如此继续可得a n ＋4＝a n (n ∈N *)，数列{a n }是一个以4为周期的周期数列，而2 014＝4×503＋2，因此S 2 014＝503×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1 008. 答案 C3．(2014·成都诊断)在等差数列{a n }中，a 1＝142，d ＝－2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{b n }，则此数列的前n 项和S n 取得最大值时n 的值是( )． A ．23 B ．24 C ．25D ．26解析因为从第一项起，每隔两项取出一项，构成数列{b n }，所以新数列的首项为b 1＝a 1＝142，公差为d ′＝－2×3＝－6，则b n ＝142＋(n －1)(－6)．令b n ≥0，解得n ≤2423，因为n ∈N *，所以数列{b n }的前24项都为正数项，从25项开始为负数项．因此新数列{b n }的前24项和取得最大值．故选B. 答案 B4．已知各项都为正的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )． A.32 B ．53 C.256D ．43解析由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由 a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m ＋n －2＝16a 21，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m ＋5≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫24m n ·n m ＋5＝32，当且仅当4m n ＝n m ，m ＋n ＝6，即n ＝2m ＝4时取得最小值32. 答案 A 二、填空题5．(2013·江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析每天植树棵数构成等比数列{a n }，其中a 1＝2，q ＝2，则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(2n －1)≥100，即2n ＋1≥102.∴n ≥6，∴最少天数n ＝6. 答案 66．(2014·江苏五市联考)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1.当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析根据题意，由于各项均为正数的等比数列{a n }中， a 2－a 1＝1，所以q ＞1.∵a 2a 1＝q ，∴a 1(q －1)＝1，a 1＝1q －1，∴a 3＝q 2q －1＝(q －1)2＋2(q －1)＋1q －1＝q －1＋1q －1＋2≥2(q －1)·1q －1＋2＝4，当且仅当q ＝2时取得等号，故可知数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1. 答案 2n －17．(2014·咸阳一模)已知函数f (x )＝x ＋sin x ，项数为19的等差数列{a n }满足a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.解析因为函数f (x )＝x ＋sin x 是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n }有19项，a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则必有f (a 10)＝0，所以k ＝10. 答案 108．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析由已知⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S 15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23，由于函数f (x )＝x 33－10x 23(x ＞0)在x ＝203处取得极小值也是最小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49. 答案－49 三、解答题9．(2014·邯郸模拟)已知等比数列{a n }前n 项和为S n ，且满足S 3＝72，S 6＝632， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋…＋log 2a 25的值．解 (1)法一由⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝72，S 6＝632，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝72，a 1(1－q 6)1－q ＝632，解得1－q 61－q 3＝9，得q ＝2，a 1＝12，所以，通项公式为a n ＝2n －2.法二由⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝72，S 6＝632，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝72，a 4＋a 5＋a 6＝28，得q 3＝8，q ＝2，a 1＝12，所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －2. (2)因为log 2a n ＝n －2，所以log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋...＋log 2a 25＝－1＋1＋3＋ (23)(－1＋23)×132＝143.10．(2014·皖南八校联考)设点P n (a n ，n )(n ＝1,2，…)，且P 1(1,1)，P n P n ＋1＝(n ＋1,1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项的和，是否存在正整数m ，使得S n ＜m －2 0142对一切n ∈N *成立？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解 (1)由题意得a n ＋1－a n ＝n ＋1，且a 1＝1， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.即数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)2， (2)由(1)知1a n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＜2.若S n ＜m －2 0142对一切n ∈N *成立，则m －2 0142≥2，∴m ≥2 018.故m 的最小值为2 018. 11．已知函数f (x )＝(x －1)2，g (x )＝4(x －1)，数列{a n }是各项均不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，点(a n ＋1，S 2n －1)在函数f (x )的图象上；数列{b n }满足b 1＝2，b n ≠1，且(b n －b n ＋1)·g (b n )＝f (b n )(n ∈N *)． (1)求a n 并证明数列{b n －1}是等比数列； (2)若数列{c n }满足c n ＝a n4n －1·(b n －1)，证明：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <3.(1)解因为点(a n ＋1，S 2n －1)在函数f (x )的图象上，所以a 2n ＝S 2n －1.令n ＝1，n ＝2，得⎩⎨⎧ a 21＝S 1，a 22＝S 3，即⎩⎨⎧a 21＝a 1，(a 1＋d )2＝3a 1＋3d ，解得a 1＝1，d ＝2(d ＝－1舍去)，则a n ＝2n －1. 由(b n －b n ＋1)·g (b n )＝f (b n )，得4(b n －b n ＋1)(b n －1)＝(b n －1)2.由题意b n ≠1，所以4(b n －b n ＋1)＝b n －1，即3(b n －1)＝4(b n ＋1－1)，所以b n ＋1－1b n －1＝34. 所以数列{b n －1}是以1为首项，公比为34的等比数列． (2)证明由(1)，得b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1.c n ＝a n4n －1·(b n －1)＝2n －14n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＝2n －13n －1.令T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，①13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②得，23T n ＝130＋231＋232＋233＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n .所以T n＝3－n ＋13n －1. 所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝3－n ＋13n －1<3.。

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一、选择题1．(2014·北京朝阳期末考试)函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( )． A ．[0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[0,1)∪(1，＋∞) D ．[0,1)解析由题意知⎩⎨⎧x －1≠0，x ≥0，∴f (x )的定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．答案 C2．(2014·新课标全国卷Ⅱ改编)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝( )． A ．1 B ．－1 C ．3D ．－3解析因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 答案 C3．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解析设a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c .答案 D4．(2014·山东卷)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )．A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析由对数函数的性质得0＜a ＜1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c ＞0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知，0＜c ＜1，故选D. 答案 D5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)>0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)≥ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，故选D. 答案 D 二、填空题6．(2014·浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.解析若a ＞0，则f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，得a ＝ 2. 若a ≤0，则f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0， f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．答案27．(2014·广州测试)已知函数f (x )＝2ax 2＋2x －3.如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，则实数a 的取值范围为____________．解析若a ＝0，则f (x )＝2x －3.f (x )＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a ≠0. 下面就a ≠0分两种情况讨论：(1)当f (－1)·f (1)≤0时，f (x )在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a ≤52.(2)当f (－1)·f (1)＞0时，f (x )在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a f (1)≤0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a f (－1)≤0，－1＜－12a ＜1，f (－1)·f (1)＞0，解得a ＞52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞8．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x 1，x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，给出下列命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4,4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．解析令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，解得f (－2)＝0，因为函数f (x )为偶函数，所以f (2)＝0，①正确；因为f (－4＋x )＝f (－4＋x ＋4)＝f (x )，f (－4－x )＝f (－4－x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，所以f (－4＋x )＝f (－4－x )，即x ＝－4是函数f (x )的一条对称轴，②正确；当x 1，x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，说明函数f (x )在[0,2]上是单调递减函数，又f (2)＝0，因此函数f (x )在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f (x )在[－2,0]上也只有一个零点，由f (x ＋4)＝f (x )，知函数的周期为4，所以函数f (x )在(2,4]与[－4，－2)上也单调，因此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (2 014)＝0，④正确．答案 ①②④三、解答题9．已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝12|x |＋2. (1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值．解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋2，因为|x |≥0，所以0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，即2＜g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0，得2x －12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程，当x ＞0时，由2x －12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2，故2x ＝1±2，因为2x ＞0，所以2x ＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，即⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1 (x ＞0)，－x 2－2x －1 (x ＜0).(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.所以k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．11．(2014·绵阳模拟)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.(2)函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x＋1)－12x ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a 有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根． ①当a ＝1时，则t ＝－34不合题意； ②当a ≠1时，Δ＝0，解得a ＝34或－3.若a ＝34，则t ＝－2，不合题意；若a ＝－3，则t ＝12； ③若方程有一个正根与一个负根，即－1a －1＜0，解得a ＞1.综上所述，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．。

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一、选择题1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )． A.BC →B ．12AD →C.AD →D ．12BC →解析如图，EB →＋FC →＝－(BE →＋CF →) ＝－(12BA →＋12BC →＋12CA →＋12CB →)＝－(12BA →＋12CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选C.答案 C2．(2014·河南十所名校联考)在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若CM →＝－2CA →＋λCB →，则λ＝( )． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析由点A ，B ，M 三点共线知：－2＋λ＝1，所以λ＝3.答案 C3．(2014·吉林省实验中学模拟)在△ABC 中，D 是AB 中点，E 是AC 中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，12解析由题意知点F 为△ABC 的重心，设H 为BC 中点，则AF →＝23AH →＝23×12(AB→＋AC →)＝13a ＋13b ，所以x ＝13，y ＝13. 答案 C4．(2014·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC 的两个顶点为O (0,0)，A (1,1)，且OA →·OC →＝1，则AB →·AC →等于( )． A ．－1 B ．1 C.2D ．3解析依题意，|OA →|＝|OC →|＝|AB →|＝2，OA →·OC →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC ＝1，cos ∠AOC ＝12，∠AOC ＝π3，则|AC →|＝|OA →|＝|OC →|＝2，∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝1. 答案 B5．(2014·浙江卷)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1( )． A ．若θ确定，则|a |唯一确定 B ．若θ确定，则|b |唯一确定 C ．若|a |确定，则θ唯一确定 D ．若|b |确定，则θ唯一确定解析由于|b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b t ＋a 2t 2，令f (t )＝a 2t 2＋2a ·b t ＋b 2，而t 是任意实数，所以可得f (t )的最小值为4a 2·b 2－(2a ·b )24a 2＝4a 2b 2－4a 2b 2cos 2 θ4a 2＝4b 2sin 2 θ4＝1，即|b |2sin 2 θ＝1，则若θ确定，则|b |唯一确定．答案 B 二、填空题6．(2014·江西卷)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________. 解析 e 1·e 2＝1×1×13＝13，|a |＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12×13＝3. 答案 37.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2 MA →，则CM →·CB →＝________.解析法一如图建立平面直角坐标系．由题意知：A (3,0)，B (0,3)，设M (x ，y )，由BM →＝2MA →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(3－x )，y －3＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2,1)，所以CM →·CB →＝(2,1)·(0,3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23 BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3.答案 38．(2014·杭州质量检测)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB ＝60°，若OA →·OB →＝6，则|OG →|的最小值是________．解析如图，在△AOB 中，OG →＝23OE →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(OA →＋OB →)，又OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos 60°＝6， ∴|OA →||OB →|＝12，∴|OG →|2＝19(OA →＋OB →)2＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →)＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋12)≥19×⎝⎛⎭⎪⎫2|OA →||OB →|＋12＝19×36＝4(当且仅当|OA →|＝|O B →|时取等号)．∴|OG →|≥2，故|OG →|的最小值是2. 答案 2 三、解答题9．(2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． (1)证明由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，即a ·b ＝0，因此a ⊥b .(2)解由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，cos β＝－cos α＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sin α＋sin (π－α)＝1，即sin α＝12，故α＝π6或α＝5π6.当α＝π6时，β＝5π6(舍去)，当α＝5π6时，β＝π6.所以，α，β的值分别为5π6，π6.10．已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)． (1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x 的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8的取值范围．解 (1)由m ∥n ，可得3sin x ＝－cos x ，于是tan x ＝－13，∴sin x ＋cos x 3sin x －2cos x ＝tan x ＋13tan x －2＝－13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13－2＝－29.(2)在△ABC 中A ＋B ＝π－C ，于是 sin(A ＋B )＝sin C ，由正弦定理，得3sin C ＝2sin A sin C ，∵sin C ≠0，∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3，于是π6<B <π2.∵f (x )＝(m ＋n )·m ＝(sin x ＋cos x,2)·(sin x ，－1)＝sin 2 x ＋sin x cos x －2＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －2＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8＝22sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8－π4－32＝22sin 2B －32.由π6<B <π2，得π3<2B <π， ∴0<sin 2B ≤1，－32<22sin 2B －32≤22－32，即f (B ＋π8)∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－32，22－32.11．(2014·陕西卷)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．解 (1)法一 ∵PA →＋PB →＋PC →＝0，又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝22.法二 ∵PA →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)，∴|OP →|＝22.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.。

高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题2第1讲专题训练 Word版含解析

一、选择题1．(2014·吉林省实验中学一模)函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋x 是( )．A ．非奇非偶函数B ．仅有最小值的奇函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值又有最小值的偶函数解析 f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋x ＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2 x ＋cos x －1，易知函数f (x )是偶函数，且当cos x ＝1时取最大值，cos x ＝－14时取最小值．答案 D2．(2014·福州一中模拟)将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得到函数的图象对应的解析式为( )． A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1B ．y ＝2cos 2 xC ．y ＝2sin 2 xD ．y ＝－cos 2x解析将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，可得到函数的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，再向上平移1个单位，所得到函数的图象对应的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1，化简可得y ＝－cos 2x ＋1，即y ＝2sin 2 x . 答案 C3．(2014·益阳模拟)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22等于( )．A.12 B ．22 C.32D ．1解析由图象可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，得到f (x )的一条对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12，所以x 1＋x 2＝2×π12＝π6，观察图象可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝1. 答案 D4．(2014·豫南五市模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)(x ∈R )满足2014f (－x )＝12014f (x )，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数，则θ的一个可能值是( )． A.π3 B ．2π3 C.4π3D ．5π3解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3，由2014f (－x )＝12014f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝0，所以函数f (x )是奇函数．所以θ＋π3＝k π(k ∈Z )，即θ＝k π－π3，故B ，D 可能正确，又因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数，所以D 不满足条件．答案 B5．(2014·北京东城区质量调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为( )． A ．2＋ 3 B ．4 C ．3D ．2－ 3解析因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，因此当πx 6－π3＝π2时，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3取最大值，即y max ＝2×1＝2，当πx 6－π3＝－π3时，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3取最小值，即y min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，因此y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 3. 答案 A 二、填空题6．(2014·重庆卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 227．(2014·江苏五市联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)在R 上的部分图象如图所示，则f (2 014)的值为________．解析根据题意，由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)在R 上的部分图象可知周期为12，由此可知T ＝2πω＝12，ω＝π6，A ＝5，将(5,0)代入可知，5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0，可知φ＝π6，所以f (2 014)＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2 014＋π6＝－52.答案－528．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴； ③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心； ④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象．其中正确命题的序号是________．解析由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得T ＝2π2＝π，故①对； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故④错，故填①③. 答案 ①③ 三、解答题9．(2014·福建卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f (5π4)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2 x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1 ＝2.(2)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 10. 如图，f (x )＝A sin(2ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0，－π＜φ＜0)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上的值域．解 (1)依题意，A ＝2，34T ＝2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝3π4，T ＝π.由T ＝2π2ω＝π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．代入⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝1，所以4π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，得φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )．又因为－π＜φ＜0，所以φ＝－5π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2，所以2x －5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－17π6，－11π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6∈[－2,1]，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上的值域为[－2,1]．11．(2014·西安第一中学模拟)设函数f (x )＝2cos 2 x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．解 (1)f (x )＝2cos 2 x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间． (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，则π4≤2x ＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π8(k ∈Z )为f (x )的对称轴．。