沪科版数学九年级上册23.2解直角三角形及其应用(第一课时)
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形 解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角 三角形．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，那 么解直角三角形的基本类型及其解法总结如下表：(方法不唯一)
5 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，则∠A的度数为(
A．90°B．60°C．45°D．30°
)15
D
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A，最适宜的做法是(
)
A．计算tanA的值求出
C
B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出
D．先计算sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝6，解此直角三角形
11 22
∴∠BEC＝∠C，∴BC＝BE. ∵∠C＝∠C，∠CBE＝∠A＝36°， ∴△CBE∽△CAB，
∴
解得AE＝2 －2(负值舍去)．
在Rt△CCBAAD＝E中CCE，B，cos即A＝A4E＝4－AEAE，
5
【答案】C
AADE＝2
25－2＝
5＋1 4.
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tanB＝.
求：
(1) ∴BD＝DC＝2，BC＝4.
在 Rt△ACB 中，tan B＝ACCB＝34，∴A4C＝34，∴AC＝3. 由勾股定理得 AD＝ AC2＋CD2＝ 32＋22＝ 13， AB＝ AC2＋BC2＝ 32＋42＝5.
(2)sin∠BAD的值．
解：过点D作DE⊥AB于E， ∴∠C＝∠DEB＝90°， 又∵∠B＝∠B，∴△DEB∽△ACB，
∴DACE＝DABB，∴D3E＝25，∴DE＝65， 6
九年级数学上册23-2解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形教案新版沪科版
23.2解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形教学目标【知识与技能】在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上,会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度价值观】在探究学习的过程中,培养学生合作交流的意识,使学生认识到数与形相结合的意义与作用,体会到学好数学知识的作用,并提高学生将数学知识应用于实际的意识,从而体验“从实践中来,到实践中去”的辩证唯物主义思想,激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦,产生后继学习激情,增强学好数学的信心.教学重难点【教学重点】直角三角形的解法。
【教学难点】灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
课前准备课件、教具等。
教学过程一、情境导入在直角三角形中，除了直角外，一共有五个元素，即三角形的三条边和两个锐角．尝试探究已知哪些元素能够求出其他元素．二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】已知斜边和一直角边解直角三角形李1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝23，a ＝3，解这个直角三角形．解析：已知一条斜边和一条直角边，可以先利用勾股定理求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的度数．解：在Rt △ABC 中，b ＝c 2－a 2＝12－9＝ 3.∵sin A ＝a c ＝323＝32，∴∠A ＝60°. ∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°.方法总结：在解直角三角形时，可以画一个直角三角形的草图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，进而结合勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数求解．【类型二】已知两直角边解这个直角三角形例2 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3－1，b ＝3－3，解直角三角形．解析：根据直角三角形中各元素之间的关系，选择合适的式子求解．解：由tan B ＝b a ，得tan B ＝3－33－1＝ 3. ∴∠B ＝60°，则∠A ＝30°.由sin A ＝a c ，得c ＝a sin A ＝3－112＝23－2. 【类型三】已知直角三角形一边一锐角解直角三角形例3 在Rt △ABC 中，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C ＝90°，∠B ＝60°，a ＝4，解这个三角形．解析：如图所示，本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值，可根据直角三角形中各元素之间的关系解决．解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°，∴c ＝2a ＝2×4＝8.由tan B ＝b a ，知b ＝a ·tan B ＝4·tan60°＝4 3.(或b ＝c 2－a 2＝82－42＝43) 方法总结：解直角三角形时，正确选择关系式是关键，选择关系式遵循以下原则：(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系式；(2)选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算．探究点二：解直角三角形的简单应用【类型一】利用直角三角形求面积例4 在△ABC 中，∠A ＝55°，b ＝20cm ，c ＝30cm ，求三角形ABC 的面积S △ABC .(精确到0.1cm 2)解析：(1)求三角形面积需要作高；(2)需构造直角三角形．解：作AB 上的高CD ，在Rt △ACD 中，∵CD ＝AC ·sin A ＝b ·sin A .∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12bc ·sin A . ∵∠A ＝55°，b ＝20cm ，c ＝30cm ，∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×20×30·sin55° ＝12×20×30×0.8192＝245.8(cm 2)．方法总结：求三角形面积可先作高构造直角三角形，然后用已知量的三角函数表示出高，代入数据即可求得．【类型二】构造直角三角形解决问题例5 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，将此矩形折叠，使C 点和A 点重合，求折痕EF 的长．解析：由题意可知A 点和C 点关于直线EF 对称，连接AC ，则AC ⊥EF ，且OA ＝OC ，于是构造了Rt △AOE ，利用解直角三角形的知识求出OE 即可．解：如图，连接AC ，则AC ⊥EF ，OA ＝OC ，∴∠AOE ＝90°.又∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10，∴OA ＝5.在Rt △ADC 中，tan ∠DAC ＝DC AD ＝68＝34.在Rt △AOE 中，tan ∠EAO ＝OE AO ，∴OE ＝AO ·tan∠EAO ＝AO ·tan∠DAC ＝5×34＝154.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOE ＝∠COF ，OA ＝OC ，∠OAE ＝∠OCF ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF .∴EF ＝2OE ＝2×154＝152. 方法总结：折叠后折痕两边的图形成轴对称，从而利用对称性构造直角三角形，并利用解直角三角形求出线段的长．三、课堂小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思教学过程中引导学生对所学理论知识进行系统的复习，归纳整合成一个知识网络，能够清楚认识到各个知识点之间的联系，为接下来综合应用的学习打下基础．教学过程中还应当把握教学进度，确保学生能够牢牢把握基础知识．。
上海沪科版初中数学九年级上册23.2 第1课时 解直角三角形2
上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！23.2 解直角三角形及其应用 第1课时 解直角三角形［教学目标］1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算；2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。
［教学重点与难点］用函数的观点理解正切，正弦、余弦 ［教学过程］ 一、知识回顾1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，分别写出∠A 的三角函数关系式：sinA ＝_____，cosA=_____，tanA ＝_____。
∠B 的三角函数关系式_________________________。
2、比较上述中，sinA 与cosB ，cosA 与sinB ，tanA 与tanB 的表达式，你有什么发现？_________________________________________①如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。
②如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。
③在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。
④如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10,sinA=53，则BC=_____。
⑤在Rt △ABC 中，∠C=90°,AB=10,sinB=54,则AC=_____。
⑥如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC=15,sinC=53，则AB=_____。
⑦在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=32，AC=12，则AB=_____,BC=_____。
二、例题例1、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。
新沪科版九年级上册初中数学 23.2 解直角三角形及其应用 教学课件
第十五页，共二十六页。
新课讲解
解：在Rt△ACD中，∠ACD=52°，CD=EB=8 m. 由tan∠ACD= ，得 AD=CD·tan∠ACD
=8×tan52°
=8×1.279 9≈10.2（m）.
由DB=CE=1.6 m，得
AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8（m）. 答：树高AB为11.8 m.
方时叫做仰角（angle of elevation）；当视线在水平线下方时叫做俯 角（angle of depression）.
第十四页，共二十六页。
新课讲解
【例1】如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他
站在距离水杉树8 m的E处，测得树顶的仰角∠ACD =52°，已知测角器的架高CE=1.6 m，问树高AB为
为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔 200 米处的地面上，用高1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为 60°48 ′．根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明 珠塔，DC为测角仪的支架，DC=1.20米，CB=200米，∠ADE=60°48 ′.
根据在前一学段学过的长方形对边相等的有关知识，你能求出AB
第十九页，共二十六页。
新课讲解
【例1】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC,路基顶 宽BC=9.8 m,路基高BE=5.8 m,斜坡AB的坡度i=1ː1.6，斜坡CD的 坡度i′=1ː2.5，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1 m）与斜坡的 坡角α和β（精确到1 °）的值.
第二十页，共二十六页。
在Rt△ACD 中， CD = AC · sin A ，
5
∴ S△ABC =
最新沪科版九年级数学上册精品课件23.2 解直角三角形及其应用(第1课时)
a
b
(3)边角之间的关系：sinA=___c__，cosA=___c__，
a
tanA=____b_.
讲授新课
一、已知两边解直角三角形
例：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6 ,
解这个直角三角形. A
解：
2
C
6
B
在图中的Rt△ABC中，根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能 求出这个直角三角形的其他元素吗？
B 6
A 2.4 C
二、已知一边一锐角解直角三角形
例：在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，
你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
B 6
）75°
A
C
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素 的过程．
事实上，在直角三角形的六个元素中， 除直角外，如果再知道两个元素（其 中至少有一个是边），这个三角形就 可以确定下来，这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素．
A
C D
课堂练习
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分
线 AD 4 3 ，解这个直角三角形.
解：
A
∵AD平分∠BAC
6 43
CD
B
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;
B
解：根据勾股定理得
c a=30
A b=20 C
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； ∠B＝72°，c = 14.
解：
A c=14 b B aC
4. 如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜 角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险， 那么梯子的长至少为多少米?
新沪科版九年级数学上册课件： 解直角三角形
( 4 )根据( 1 )( 2 )( 3 )题的结论,试猜想 S△ABC 与12bc·sin A 的大小
关系,并给出证明.
解:( 4 )猜想 S△ABC=12bc·sin A, 理由:作△ABC 的高 CD,
在 Rt△ADC 中,∵CD=AC·sin A=bsin A, ∴S△ABC=12AB·CD=12c·bsin A=12bc·sin A.
第23章
第1课时 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-12-
第23章
第1课时 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-13-
解:( 1 )∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tan A=������������������������, ∴∠E=30°,BE=6tan 60°=6 3, 又∵∠CDE=90°,CD=4,∠E=30°,∴CE=8,
( 1 )当∠A=30°,b=6,c=3 时,S△ABC= 4.5 ,12bc·sin A= 4.5 ;
(
2
)当∠A=45°,b=6,c=3
时,S△ABC=
92 2
,12bc·sin
A=
92 2
;
( 3 )当∠A=60°,b=4,c=3 时,S△ABC= 3 3 ,12bc·sin A= 3 3 ;
略
第23章
第1课时 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-7-
识点3 构造直角三角形 7.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos A的值为( B )
A.12
B.
2 2
C.
3 2
23.2.1+解直角三角形课件+2024-2025学年沪科版数学九年级上册
∠ ABC ＝ ＝ ， BC ＝8，
∴ AB ＝10，∴ AC ＝ − ＝ − ＝6.
1
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4
5
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14. [2024·西安月考]如图，在△ ABD 中， AC ⊥ BD ， BC ＝
8， CD ＝4， cos ∠ ABC ＝ ， BF 为 AD 边上的中线.
∴∠ B ＝60°， a ＝ c ＝ ×2 ＝ .
∵ sin B ＝ ，∴ b ＝ c sin B ＝2 ×
1
2
3
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5Байду номын сангаас
6
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＝3.
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5. 【教材改编题】在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°.
(2)已知 a ＝5 ，∠ A ＝45°，求∠ B ， b ， c .
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12. 【易错题】在△ ABC 中， AB ＝10， AC ＝2 ，∠ B ＝
15 或10
30°，则△ ABC 的面积为
.
易错点睛：未给出具体三角形，易忽略三角形的高在外部的
情况导致出错.
1
2
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13.
如图， AD 是△ ABC 的中线，tan B ＝ ，
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计1
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计1一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
本节主要让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理计算直角三角形的边长，以及学会用三角函数解决实际问题。
教材通过引入直角三角形的边长和角度的关系，引导学生探究并发现勾股定理，进一步运用勾股定理解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认识有一定的基础。
同时，学生已经掌握了锐角三角函数的定义和性质，为本节学习解直角三角形提供了前提。
但在解决实际问题时，部分学生可能对将实际问题转化为数学模型有一定的困难。
三. 教学目标1.了解直角三角形的性质，掌握勾股定理及运用。
2.学会用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：掌握勾股定理，会用勾股定理计算直角三角形的边长。
2.教学难点：将实际问题转化为数学模型，运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究直角三角形的性质。
2.运用实例分析法，让学生学会将实际问题转化为数学模型。
3.采用合作学习法，培养学生团队合作、交流分享的能力。
六. 教学准备1.准备相关直角三角形的图片和实例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪等。
3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）–利用多媒体展示一些与直角三角形相关的图片，如建筑物的侧面、三角板等。
–提问：你们对这些图片有什么观察和发现？–引导学生关注直角三角形的特征，引发学生对直角三角形性质的兴趣。
2.呈现（10分钟）–介绍直角三角形的定义和性质。
–引导学生发现并总结直角三角形的边长关系，即勾股定理。
–通过实例演示，让学生理解并掌握勾股定理的运用。
3.操练（10分钟）–让学生分组讨论，尝试用勾股定理计算给定直角三角形的边长。
沪科版数学九年级上册23.2解直角三角形及其应用(第1课时)教学ppt
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解直角三角形及其应用（1）
新课引入
解直角三角形常
用关系：
∠A＋ ∠ B＝90°
c
解直角 三角形
a2+b2=c2
三角函数 关系式
A
b
sin A a , sin B b
c
c
cos A b , cos B a
c
c
tan A a , tan B b
b
a
灿若寒星
例题分析
例2 在 △ABC中，
∠A=55°,b=20cm,Cc=30cm,求三角形的面
积S△ABC（精确到b 0.1cm2）
55°
A
c
B
灿若寒星
例题分析
解 ：如图，作AB上的高CD.在
Rt△ACD1 中， 2
∵CD=A1C·sinA=bsinA 2
C b
∴S = △ABC 1 AB·CD
2
1
60°
3
2
1 2
3
新课讲解
练一练
B
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3
┌
（2）若∠B=60°，AC=3，则BC=
3
A
C
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= （4）若∠A=α°，BC=m，则AC=
3 tan
m
tan
灿若寒星
新课讲解
解直角三角形的原则：
(1) 有角先求角 (2) 有斜用弦,
宁乘毋除,
无角先求边 无斜用切； 取原避中.
灿若寒星
例题分析
例1 在Rt△ABC中，
∠C=90°,∠ac B=42°6',c=287.4,解这个直角
沪科版数学九年级上册 23.2 解直角三角形(第一课时) 教案
23.2解直角三角形及其应用（第一课时）一、教学目标1. 理解直角三角形五个元素的关系，会用勾股定理、直角三角形两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
2. 通过学习会选择简单解法解直角三角形，通过学习逐步培养分析问题和解决问题的能力。
3. 培养学生自主探索与合作交流的学习习惯。
二、重难点重点：直角三角形的解法难点：三角函数在解直角三角形中的应用三、教学方法启发引导-问题探究四、教具准备班班通、三角板、课件、练习纸五．教学过程1. 问题引入如何测量位于中国的世界上最高的电视塔-广州电视塔的高度。
2. 复习回顾（1）在Rt △ABC 中共有几个基本元素？哪几个？（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，除了直角外，还有几个元素？哪几个元素？（3）如图，在Rt △ABC 中，a 、b 、c ， ∠A 、∠B ，这五个元素间有怎样的关系呢 ？三边之间关系：222c b a =+锐角之间关系：互余 边角之间关系：b a A c b A c a A ===tan ,cos ,sin3. 探究新知在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
问题：（1）在直角三角形中，除直角外，再给你一个已知元素你能解出这个直角三角形吗？（2）在直角三角形中，除直角外，再给你两个已知元素一共有多少种给法？利用这两个已知元素能解出相应的直角三角形吗？ 探索讨论解直角三角形的条件是什么？已知的除直角外的两个元素（至少有一条边）。
解直角三角形的依据是什么？直角三角形三边关系，锐角关系，边角关系。
上面能够确定直角三角形的已知元素，可以分几类？已知两条边，已知一边一角。
4.巩固提升【已知两边】（1）在Rt △ABC 中,∠C=90°,a=1,b=3,解这个直角三角形。
【已知一边一角】（2）在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=53°,c=5,解这个直角三角形。
沪科版数学九年级上册23.2解直角三角形及其应用
沪科版数学九年级上册23.2解直角三角形及其应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在下列情况下，可解的直角三角形是( )A ．已知b=3，∠C=90°B ．已知∠C=90°,∠B=46°C ．已知a=3,b=6,∠C=90°D ．已知∠B=15°,∠A=65° 2．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3cos 5A =，2a =，则b c +的值为（ ） A ．4 B ．8 C ．1 D ．63．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A =35，BE=2，则tan ∠DBE 的值（ ）A ．12B ．2CD 4．如图，在五边形ABCDE 中，A B ∠=∠，90C D E ∠=∠=∠=︒，4DE DC ==，AB =ABCDE 的周长是（ ）A ．16B ．14+C ．12+D ．10二、填空题 5．△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=34，则BC 的长 ．6．如图，在ABC △中，cos A =tan 2B =，AC =则AB =__________.7．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5A =，36a b c ++=，则a = __________，b =__________，c =__________，tan A =__________.8．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，斜边AB 上的中线长为3，则斜边上的高长为__________.9．已知：1ABC S =△，B 是钝角，1AB =，4AC =，则A ∠=__________度.三、解答题10．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ，点D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠ADC ＝60°，求△ABC 的周长(结果保留根号)．11．.如图，已知:在△ABC 中，∠A=60°,∠B=45°,AB=8.求△ABC 的面积（结果可保留根号）．12．如图，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝13，cos C ＝2，AC .求： （1）BC 的长；（2）sin ∠ADC 的值．13．如图，在ABC ∆中，D 是AB 的中点，DC AC ⊥，且1tan 3BCD ∠=，求tan A 的值.14．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=45，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）15．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH.(1)求sinB的值；(2)如果BE的值.16．如图所示，四边形ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使点A与点E重合，折痕为MN，MN与AE相交于点G，若1tan3AEN∠=，10DC CE+=.求：（1）ANE的面积；（2）sin ENB∠的值.参考答案1．C【解析】【分析】要解直角三角形，必须求出直角三角形的三个内角和三边长.【详解】A 项中，缺少∠A 或∠B 的值，故不能解直角三角形；B 项中，知道角的关系，但是没有边的大小，故不能解直角三角形；C 项中，利用勾股定理求出c 的值，然后利用锐角三角函数的定义求出∠A 和∠B.D 项中，∠C=100°，不是直角三角形.故选C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握直角三角形的性质.2．A【分析】根据余弦函数的定义及勾股定理即可直接求解.【详解】解：如图3cos 5A ==AC AB =b c ，则设b=3x,c=5x 又2a =∴222c b a =+ 即()()222532x x =+解得：x=±12∴x=12∴b c +=8×12=4 故选A.【点睛】 本题考查了余弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，熟练掌握余弦定理及勾股定理是解题的关键．3．B【解析】【详解】试题解析：设AE =3x ， ∵3cos 5A =，3.5AE AD ∴= 5,AD x ∴= ∴BE =5x−3x=2x=2，∴x=1,∴AD=5,AE=3,4DE x ∴===tan 2.DE DBE BE∴∠== 故选B.4．B【分析】可连接CE ，作AF ⊥CE ，BG ⊥CE 于F 、G ，根据多边形的内角和定理和等腰直角三角形的性质即可求出AB 、AE ＋BC ，进而求出答案．【详解】解：连接CE ，作AF ⊥CE ，BG ⊥CE 于F 、G ，根据五边形的内角和定理和已知条件，可得△CDE，△AEF，△BCG都是等腰直角三角形，则CE＝∴FG＝AB，∴AE＋BC＝＝6，所以五边形的周长是4＋4＋6＝14．故选：B．【点睛】倍.5．【详解】首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长：∵△ABC中，∠C=90°，AB=8，，∴3AC AB cosA864=⋅=⨯=．∴BC===．故答案为6．【分析】过C作CD AB⊥于D,根据含30°角的直角三角形求出CD,解直角三角形求出AD,在BDC中解直角三角形求出BD,相加即可求出答案.【详解】过C 作CD AB ⊥于D,则90ADC BDC ︒∠=∠=,cos A =∴A ∠=45°AC =cos AD CD AC A ∴===tan CD B BD==, 4BD ∴=,4AB BD AD ∴=+=+,故答案为: 4+.【点睛】本题考查了勾股定理,解直角三角形,含30度角的直角三角形的性质的应用,关键是能正确构造直角三角形.7．9 12 1534 【分析】在直角三角形ABC 中，3sin 5a A c ===，所以可假设a ＝3t ，c ＝5t ，然后根据勾股定理求得b ＝4t ．又因为周长为36，可列关于t 的方程，解答后求解．解答：解：设a＝3t，c＝5t，由勾股定理知，c2＝a2＋b2，则b＝4t．由a＋b＋c＝36，得t＝3．所以a＝9，b＝12，c＝15．tan A=93124ab==．故答案为：9；12；15；3 4【点睛】本题利用了设适当的参数，运用勾股定理和锐角三角函数的概念求解．8【分析】根据直角三角形的性质可求AB的长度；运用三角函数的定义求解．【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，斜边上的中线为3，∴AB＝6，又∵∠A＝30°，∴BC＝3．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴sin60CD BC，∴CD【点睛】此题的关键是利用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角函数的定义来求解．9．30作出图形,过点B 作BD AC ⊥于D,根据三角形的面积求出BD,再根据直角三角形30︒角所对的直角边等于斜边的一半解答.【详解】解:如图,过点B 作BD AC ⊥于D,4AC =,1412ABCS BD ∴=⨯⋅=, 解得12BD =, 1AB =,30A ︒∴∠=.【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,三角形的面积,作辅助线并利用三角形的面积求出AC 边上的高是解题的关键,作出图形更形象直观.10．5++7 【解析】在Rt △ADC 中，∠C ＝90°，AC =∠ADC ＝60°，因为sin AC ADC AD ∠==AD ＝2．由勾股定理得：1DC ==．所以BD ＝2AD ＝4，BC ＝BD ＋DC ＝5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =BC ＝5，由勾股定理得：AB ==所以Rt △ABC 的周长为5AB BC AC ++=++11．【详解】过C 作CD ⊥AB 于D ，利用直角三角形的性质求得CD 的长．已知AB 的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．解答：解：过C 作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ADC 中，∵∠CDA=90°，∴DA CD =cot ∠DAC=cot60°即 在Rt △BDC 中，∵∠B=45°，∴∠BCD=45°，∴CD=BD ．∵AB=DB+DA=CD+CD×3=8，∴．∴S △ABC =12AB×CD=12×8×（）答：△ABC 的面积为．12．（1）BC ＝4；（2）sin ∠ADC ＝2. 【解析】（1）如图，作AE⊥BC，∴CE =AC •cos C =1，∴AE =CE =1，1tan 3B =， ∴BE =3AE =3，∴BC =4；（2）∵AD 是△ABC 的中线，∴DE =1，∴∠ADC =45°，∴sin 2ADC ∠=．13．32【解析】【分析】过点B 作BE CD ⊥，交CD 的延长线于点E ，则90BED ︒∠=.通过证明ACD BED ∆≅∆可证AC BE =，12CD ED CE ==．由1tan 3BE BCD CE ∠==，可证3CE BE =，然后根据正切函数的定义即可求出tan A 的值.【详解】解：如图，过点B 作BE CD ⊥，交CD 的延长线于点E ，则90BED ︒∠=.又∵DC AC ⊥，∴90ACD ︒=∠，∴ACD BED ∠=∠，∵D 是AB 的中点，∴AD BD =．又∵ADC BDE ∠=∠，∴ACD BED ∆≅∆.∴AC BE =，12CD ED CE ==．∵1tan 3BE BCD CE ∠==， ∴3CE BE =. 113322tan 2CE BE CD A AC BE BE ⨯====. 【点睛】本题就是考查了全等三角形的判定与性质，三角函数的定义．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．14．（1）8；（2）143． 【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE 和CE 的长，根据BC=BE ﹣CE 即可求得BC 的长；（2）根据题意求得AE 和DE 的长，由AD=AE ﹣DE 即可求得AD 的长．【详解】（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8， ∴BC=BE ﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE ﹣DE=10﹣=，即AD 的长是．考点：解直角三角形．15．（1（2） 3.【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，可得出CD=BD ，则∠B=∠BCD ，再由AE ⊥CD ，可证明∠B=∠CAH ，由AH=2CH ，可得出CH ：AC=1sinB 的值；（2）根据sinB 的值，可得出AC ：AB=1AB=AC=2，则CE=1，从而得出BE ．【详解】（1）∵∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴CD=BD ，∴∠B=∠BCD ，∵AE ⊥CD ，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACH=90°，∴∠B=∠BCD=∠CAH ，即∠B=∠CAH ，∵AH=2CH ，∴由勾股定理得，∴CH ：AC=1∴；（2）∵，∴AC ：AB=1∴AC=2．∵∠CAH=∠B ，∴sin ∠，设CE=x （x ＞0），则x ，则)2222x +=， ∴CE=x=1，AC=2，在Rt △ABC 中，222AC BC AB +=，∵AB=2CD=∴BC=4，∴BE=BC ﹣CE=3．16．（1）103；（2）35【分析】（1）先由tan ∠AEN=13，DC+CE=10可得出BE=13AB ，再由翻折变换的性质得出∠AEN=∠EAN ，所以可以先设BE=a ，从而求出AB=3a ，CE=2a 进而求出a 的值， 由a 的值可得出AB=6，CE=4．求出底AD 的长，然后再由tan ∠AEN 与边的关系，求出高，最后利用面积公式求面积；（2）sin ∠ENB 的值用正弦定义求即可．【详解】解：（1）由折叠可知：MN 为AE 的垂直平分线，∴AN=EN ，∴∠EAN=∠AEN （等边对等角），∴tan ∠AEN=tan ∠EAN=13， ∴设BE=a ，AB=3a ，则CE=2a ，∵DC+CE=10，∴3a+2a=10，∴a=2，设MN 与AE 交于点G ，∵由（1）知a=2，∴AB=6，CE=4，∵ ，∴EG=12AE=12×又∵13 NGGE=，∴NG=103，∴103 =，∴AN=NE=103，∴S△ANE=110102233⨯⨯=；（2）∵Rt△ENB中，EB=2，NE=103，∴sin∠ENB=2103EBNE==35．【点睛】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键．。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第1课时)教学设计
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质、锐角三角函数的概念和勾股定理的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生学会解直角三角形，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
教材中通过丰富的实例，引导学生探究直角三角形的边角关系，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和锐角三角函数的概念有一定的了解。
但在解决实际问题时，还可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为解直角三角形的问题，并运用相应的解决方法。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主探究解直角三角形的方法。
2.实例分析法：教师通过展示实例，让学生观察、操作，培养学生的动手操作能力。
3.小组合作法：学生分组讨论，共同解决实际问题，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备相关的教学材料，如PPT、实例、习题等。
2.学生准备：学生需要预习相关内容，了解直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜边长度等，引导学生思考如何解决这些问题。
沪科版-数学-九年级上册- 23.2解直角三角形及其应用第1课时
解直角三角形及其应用 第1课时 解直角三角形教学目标1．理解直角三角形中边与边之间的关系，角与角之间的关系和边与角之间的关系．2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余，以及锐角三角函数解直角三角形．3．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．教学重难点直角三角形的解法；三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程导入新课1972年比萨发生地震，这座高54.5 m 的斜塔大幅度摇摆22分之多，仍巍然屹立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1 m 增加至5.2 m ，而且还以每年倾斜1 cm 的速度继续增加，随时都有倒塌的危险．用倾斜多少角度来描述比萨斜塔的倾斜程度．学习了三角函数的有关知识，现在能解决这个问题了吗？推进新课一、新知探究【问题1】 (1)在三角形中共有几个元素？(2)Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c ，∠A ，∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ 探究：师生共同思考，在解直角三角形的过程中，要用到哪些已学过的知识？总结：如图所示，解直角三角形时一般要用到下面的某些知识：(1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；(3)边角之间的关系：sin A ＝∠A 的对边斜边＝a c ，sin B ＝∠B 的对边斜边＝b c ； cos A ＝∠A 的邻边斜边＝b c ，cos B ＝∠B 的邻边斜边＝a c ； tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝a b ，tan B ＝∠B 的对边∠B 的邻边＝b a. 【问题2】 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．在直角三角形中要求这5个元素，其中至少要知道几个元素？这几个元素可以都是角吗？学生探究、思考．教师引导共同总结．结论：在直角三角形中要求这5个元素，至少要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素．这种由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．二、巩固提高【例1】 在△ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，a ＝6，解这个三角形．解：∵tan A=632BC AC ==，∴∠A=60°，∠B=90°－∠A=90°－60°=30°，AB=2AC=22.【例2】 在△ABC 中，∠C 为直角，c ＝287.4，∠B ＝42°6′，解这个三角形．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如果不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．【例3】 求比萨斜塔修复前的倾斜角(∠A)．看1972年的情形：设塔顶中心点为B ，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A ，过B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点C(如图)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2 m ，AB ＝54.5 m ，sin A ＝BC AB ＝5.254.5≈0.095 4. 所以∠A ≈5°28′.(斜塔2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角可类似地求出，由学生独立完成)三、达标训练1．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝32，求cos B 及tan B 的值． 2．在Rt △A BC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，b ＝20，解这个直角三角形．(精确到0.1)3．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝25，∠A 的平分线AD ＝4315，解这个直角三角形．解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了针对各种条件的练习，使学生熟练解直角三角形，并培养学生的运算能力．本课小结1．解直角三角形就是已知直角三角形的三条边、三个角中的2个元素(其中有一个必须是边)，求其他元素的过程．2．解直角三角形常用的知识有：勾股定理，正弦、余弦、正切，两个锐角和为90°. 注意：解直角三角形要结合图形．3．解直角三角形计算上比较烦琐，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．。
九年级数学上册23.2解直角三角形及其应用解直角三角形课件新版沪科版
C
D
B
D′
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思考2：有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为 60米，AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个 (zhège)三角形场地的面积．
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必做题： 书本(shūběn)P93/4、P94/7题．
更上一层楼
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初涉中考题
课后思考：如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板 的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一 水平地面(dìmiàn)上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0．01） （2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的
视线
仰角 俯角
水平线
视线
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合作与探究
【探究1】直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处， 此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三 点在一条(yī tiáo)直线上，测得大桥两端的俯 角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
解：由题意(tíyì)得，
PAO 30, PBO 45
答案: 15.1米
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数学建模及 方程思想
思想与方法
解方程
解
解
直角三角形
构建
简单(jiǎndān)实 际问题
数学模型
三角形
梯形(tīxíng)
组合(zǔhé)图 形
通过作高 转化为直 角三角形
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思想与方法
1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括(bāokuò) 两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出 正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角 或它们之间的关系. 2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图 不是(bù shi)直角三角形，可添加适当的辅助线，画出 直角三角形.